MÔN TON- KHI 11-VÒNG 2 Năm học 2013-2014 Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề) !"2,5 điểm). Giải hệ phương trình : ( ) ( ) ( ) = + = + + = + + + 2 2 3 4 2 4 6 4 2 2 1 3 1 4 1 x y x y z y y z x z z z #(2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh 2AB = . Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa mãn 2 2 2 MA MB MC+ = . Tìm quỹ tích của điểm M. $(2,5 điểm). Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + %(3,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u xác định bởi 1 1u = và 2 1 3 2 n n u u + = + * , n N∀ ∈ . a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u . b) Tính tổng 2 2 2 2 1 2 3 2015 S u u u u= + + + + . HẾT Họ và tên học sinh:………………………………… SBD:……………………… &'()*+!!,-# . /012 3'456 012 Câu 1(2,5đ) Nếu x=0 thì (1) => y=0, (2)=> z=0. Thay vào (3) thỏa mãn. 78 Nếu x≠0 thì (1)=> y>0, (2)=> z>0, (3)=> x>0. 7#8 Ta có 2x 2 = y(1 + x 2 ) ≥ 2xy (BĐT cosi)⇔ x ≥ y 3y 3 = z(y 4 + y 2 +1) ≥ z.3y 2 ⇔ y ≥ z (vì y 4 + y 2 + 1 ≥ 3y 2 ) 4z 4 = x(z 6 + z 4 + z 2 +1) ≥ x.4z 3 ⇔ z ≥ x (vì z 6 + z 4 + z 2 + 1 ≥ 4z 3 ) => x ≥ y ≥ z ≥ x ⇔ x = y = z !78 Khi đó thay vào hệ ta được: x = y = z = 1. Hệ có 2 nghiệm: (0;0;0), (1;1;1) 7#8 Câu 2(2đ) Chọn hệ trục tọa độ Bxy sao cho ( ) 0;0B , tia Bx qua A và tia By qua C. Vì 2AB = , ABC∆ vuông cân tại B, nên ta có: ( ) 2;0A , ( ) 0;2C . Giả sử ( ) ;M x y . 78 2 2 2 MA MB MC+ = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y⇔ − + + + = + − ⇔ 2 2 4 4 0x y x y+ − + = . Đây là pt của đường tròn tâm ( ) 2; 2I − , 2 2R = . !7 Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm ( ) 2; 2I − , bán kính 2 2R = . 78 Câu 3(2,5đ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 a b a b a ab b ab a b+ = + − + ≥ + 78 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c⇒ + + ≥ + + = + + = + + 78 ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc c a b 1 a b c ab a b c ab a b c ⇒ ≤ = = + + + + + + + + 78 Tương tự: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc a b c 1 a b c bc a b c bc a b c ≤ = = + + + + + + + + ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc b c a 1 a b c ca a b c ca a b c ≤ = = + + + + + + + + 78 Vậy: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c 1 a b 1 b c 1 c a 1 a b c + + + + ≤ = + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 78 Câu 4a (1,75đ) Dễ thấy * 0, n u n N> ∀ ∈ . Có 2 2 2 1 1 3 2 3 2 n n n n u u u u + + = + ⇔ = + . 7#8 Đặt 2 n n v u= thì có: ( ) 1 1 3 2 1 3 1 n n n n v v v v + + = + ⇔ + = + * , n N∀ ∈ . 78 Đặt 1 n n x v= + , ta có: 1 3 n n x x + = * , n N∀ ∈ . Suy ra ( ) n x là cấp số nhân với 1 2x = , ccông bội q= 3. 78 Suy ra 1 1 1 2.3 2.3 1 2.3 1 n n n n n n x v u − − − = ⇒ = − ⇒ = − * , n N∀ ∈ . 78 Câu 4b (1,25đ) 9:; 0 1 2 2014 2.3 2.3 2.3 2.3 2015S = + + + + − 78 ( ) 0 1 2 2014 2 3 3 3 3 2015= + + + + − 7#8 ( ) 2015 2 3 1 2015 3 1 − = − − 7#8 2015 3 2016= − 7#8 . MÔN TON- KHI 11- VÒNG 2 Năm học 2013-2014 Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề) !"2,5 điểm). Giải hệ phương trình. n u u + = + * , n N∀ ∈ . a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u . b) Tính tổng 2 2 2 2 1 2 3 2015 S u u u u= + + + + . HẾT Họ và tên học sinh: ………………………………… SBD:……………………… &'()*+!!,-# . của điểm M. $(2,5 điểm). Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + %(3,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u xác định bởi 1 1u =