Câu I: (2 điểm). 1.Giải phương trình: 3 3 (1 tanx)cos x (1 cotx)sin x 2sin2x.+ + + = 2. Tìm các nghiệm trong khoảng ( ) ;−π π của phương trình: 2 2sin 3x 1 8sin 2xcos 2x. 4 π + = + ÷ Câu II: (3 điểm). 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ ? 2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011.≤ ≤ Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 5 k 5 k 5 2011 5 2011 5 2011 2016 C .C C .C C .C C − − + + + = . 3.Cho dãy số (u n ) xác định bởi : 1 1 11 10 1 9 n n u u u n, n N. + = = + − ∀ ∈ Tìm công thức tính u n theo n. Câu III: (2 điểm). 1. Cho P n = ++ −−− 2)1)(n(n 2 1 3.4 2 1 2.3 2 1 Gọi U n là số hạng tổng quát của P n . Tìm Un n lim +∞→ 2. Tìm giới hạn: 2 3 x 0 (x 2012) 1 2x 2012 4x 1 lim x → + − − + Câu IV: ( 3 điểm). 1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó. 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu Nội dung Điểm I 2.0 1. (1.0 ). K: sin xcosx 0.> Khi ú pt tr thnh: sinx cosx 2 sin xcosx+ = . (1) 0.25 K: sinx cosx 0+ > dn ti sinx 0;cosx 0.> > 0.25 Khi ú: (1) sin2x 1 x k . 4 = = + 0.25 KL nghim : x 2m . 4 = + 0.25 2. (1.0 ).K: sin 3x 0. 4 + ữ (1) 0,25 Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi pt: 1 sin 2x 2 = x k ; 12 = + 5 x k 12 = + 0.25 Trong khong ( ) ; ta nhn cỏc giỏ tr : x 12 = ; 11 x ; 12 = 5 x 12 = ; 7 x . 12 = 0.25 Kt hp vi k (1) ta nhn c hai giỏ tr tha món l: x 12 = ; 7 x . 12 = 0,25 Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: toán 11 THPT II 3.0 1. (1.0 đ). TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0. Số các số tìm được là 2 3 4 5 5.C .C .5! 36000= (số). 0.5 TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0. Số các số tìm được là 3 3 4 5 C .C .6! 28800= (số). 0.25 Đ/ số 36000 28800 64800+ = số. 0.25 2. (1.0 đ) Dễ thấy ( ) ( ) ( ) 5 2011 2016 1 x 1 x 1 x+ + = + ; và ( ) 5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 M 1 x C C x C x C x C x C x= + = + + + + + ( ) 2011 0 1 1 k k 2011 2011 2011 2011 2011 2011 N 1 x C C x C x C x .= + = + + + + + ( ) 2016 0 1 k k 2016 2016 2016 2016 2016 2016 P 1 x C C x C x C x .= + = + + + + + 0.25 0.25 Ta có hệ số của k x trong P là k 2016 C . Vì P M.N= , mà số hạng chứa k x trong M.N là : 0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 C .C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x − − − − − − − − − − + + + + + 0.25 nên 0 k 1 k 1 5 k 5 k 5 2011 5 2011 5 2011 2016 C .C C .C C .C C − − + + + = 0.25 3. (1 điểm) Ta có: 1 2 3 11 10 1 10 11 1 9 102 100 2 10 102 1 9 2 1003 1000 3 u u . u . . = = + = + − = = + = + − = = + 0.25 Dự đoán: u n = 10 n + n (1) 0.25 Chứng minh: Ta có: u 1 = 11 = 10 1 + 1 , công thức (1) đúng với n=1 Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : u k = 10 k + k 0.25 Ta có: u k + 1 = 10(10 k + k) + 1 - 9k = 10 k+1 + (k + 1). Công thức(1) đúng với n=k+1 Vậy u n = 10 n + n, ∀ ∈ n N. 0.25 III 2.0 1. (1 đ) Ta có: 2)1)(k(k 3)k(k 2)1)(k(k 2 1 ++ + = ++ − 0.25 Cho k=1,2,3,…,n ta được 1.4.2.5.3.6 n(n 3) 2.3.3.4.4.5 (n+2)(n 1) n S + = + 0.25 ⇒ U n = (n 3) 3(n 1) + + 0.25 ⇒ Un n lim +∞→ = (n 3) 1 lim n 3(n 1) 3 + = →+∞ + 0.25 2.(1 điểm) Ta có 3 3 x 0 1 2x 1 4x 1 1 L Lim x 1 2x 2012 2012 x x → − − + − = − + − ÷ . 0.25 3 x 0 Limx 1 2x 0 → − = . 3 2 2 3 3 x 0 x 0 x 0 3 3 1 2x 1 2x 2 2` Lim Lim Lim x 3 x( (1 2x) 1 2x 1) ( (1 2x) 1 2x 1) → → → − − − − = = = − − + − + − + − + x 0 x 0 x 0 4x 1 1 4x 4 Lim Lim Lim 2 x x( 4x 1 1) 4x 1 1 → → → + − = = = + + + + 0.5 Vậy 2 16096 L 0 2012 2012.2 3 3 − − = + − = 0.25 IV 3.0 1.(2 đ) +) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành. 0.5 +) MNPQ là hình vuông = ⇔ = MN NP MP NQ ⇔ M là trung điểm của AB và a = c. 1.0 +) Lúc đó S MNPQ = 2 1 4 b . 0.5 2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 60 0 biến M thành M’; C thành C’ 0.25 Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’ MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng. 0.5 Khi đó góc BMA=120 0 , góc AMC=120 0 Ta được vị trí của M trong tam giác ABC. 0.25 Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa . TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0. Số các số tìm được là 3 3 4 5 C .C .6! 288 00= (số) . 0.25 Đ/ số 36000 288 00 6 480 0+ = số. 0.25 2. (1.0 đ) Dễ thấy ( ) ( ) ( ) 5 2 011 2016 1 x. M bên trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu Nội dung Điểm I 2.0 1. (1.0 ). K: sin xcosx 0.> Khi. Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: toán 11 THPT II 3.0 1. (1.0 đ). TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0. Số các số tìm được là 2 3 4 5 5.C .C .5! 36000= (số) .