7e0MMyJ de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 so gd

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu   Giải phương trình sin x  cos x   sin x  cos x   Câu a) Xét khai triển: 1  x 1  x  1  2013 x   a0  a1 x  a2 x   a2013 x 2013 Tính 1  22   20132  b) Chọn ngẫu nhiên số có chữ số đơi khác Tính xác suất để số chọn khơng nhỏ 2013 a2  Câu a) Cho dãy số  un  xác định sau: u1  1, u2  3, un   2un 1  u n  1, n  1, 2, Tính un n n lim b) Cho phương trình: m  x  1  x  x   x  x   ( x ẩn, m tham số) Chứng minh với giá trị thực m phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt Câu a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh mặt phẳng  A ' BD  song song với mặt phẳng  CB ' D '  Tìm điểm M đoạn BD điểm N đoạn CD’ cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (A’BD) b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện Câu Cho a, b, c số thực P  x   ax3  bx  cx Tìm tất số a, b, c cho P    26 P  x   với số thực x cho x  -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) (Đáp án có 03 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu 1(2đ) Nội dung trình bày  Điểm  Ta có sin x  cos x   sin x  cos x      2sin x.cos x  cos x  1  2sin x    sin x    0,5  sin x  1  sin x  1   cos x  2sin x  1   2sin x  1    2sin x  1 cos x   sin x      sin x  cos x  0,5   x   k 2  +) sin x    k   x  5  k 2  +) 2(2đ) sin x  cos x    0,25 1   sin x  cos x   sin  x    2 6  0,25       x    k 2 x   k 2    k     x    5  k 2  x    k 2  6 Vậy phương trình cho có họ nghiệm  5  x   k 2 , x   k 2 , x   k 2 , x    k 2  k  6 2.a (1,0 điểm)    2013  Ta có 1  x 1  x  1  2013 x      k  x    i j  x  A.x  k 1   1i  j  2013  Suy a2   i j  1    2013  12  2   20132     1 i  j  2013 0,5  0,5 0,25 1  2013  2014   2013  1007   a2  12  22   20132      2 2  2.b (1,0 điểm) Ta có n     số cách chọn số có bốn chữ số đôi khác  9.9.8.7 A biến cố chọn số có bốn chữ số đôi khác abcd không nhỏ 0,25 0,25 2013 Ta tính số số có bốn chữ số đơi khác abcd số xảy với a  , b 0,1, ,9 \ 1 , c  0;1; ;9 \ 1; b d  0;1; ;9 \ 1; b; c có cách chọn suy trường hợp có 9.8.7 số thỏa mãn Từ hai trường hợp ta n  A  7.8.9.9  7.8.9  7.8.9.8 Do xác suất cần tìm là: P  A  n  A 7.8.9.8   n    9.9.8.7 0,5 0,25 3(2,0đ) 3.a (1,0 điểm) Ta có un   u n 1  un 1  un  1, n  1, 2, suy un  un 1 lập thành cấp số cộng có cơng sai nên un   u n 1  u2  u1  n.1  n  (1) Từ (1) ta un  u1  un  un 1  un 1  un    u2  u1  n  n    n  n  1 n  n  1 u u lim n2  lim  Vậy lim n2  n  n n  n  n 2n 2 3.b (1,0 điểm) Đặt f  x   m  x  1  x  x   x  x  ta f  x  xác định liên tục 0,25 0,5  un     n  0,25 Ta có f  2   1, f    1, f 1  1, f    Do ta f  2  f    0, f   f 1  0, f 1 f    nên phương trình f  x   có nghiệm thuộc  2;  ,  0;1 , 1;  suy phương trình có nghiệm phân biệt 4(3đ) 0,5 0,5 4.a (1,5 điểm) A D M C B N D' A' 0,5 C' B' Ta có tứ giác BCD’A’ hình bình hành nên CD ' BA '  CD '  BDA '  (1) Ta có tứ giác BDD’B’ hình bình hành nên B ' D ' BD  B ' D '  BDA ' (2) Từ (1) (2) ta  A ' BD   CB ' D '             Đặt BM  x.BD, CN  y.CD ' Khi MN  MB  BC  CN   xBD  AD  y.CD '          x AB  AD  BC  y AA '  AB   x  y  AB  1  x  AD  y AA '     0,5 0,25 Do MN vng góc (A’BD) nên MN  BD, MN  BA ' Từ ta được:    x  MN BD  1  x   x  y    x  y         x  y y  x  y    y   MN BA '     0,25     Do BM  BD, CN  CD ' 3 4.b (1,5 điểm) M A D S R C B O D' A' N 0,5 P B' Q C' Gọi S trung điểm AB, MS BD  MS  BDC '  NS C ' D  NS  BDC '  suy  MNS   BDC '  Do  MNS  BC ' nên (MNS) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến qua N song song với BC’ cắt B’C’ Q Do  MNS  BD B ' D ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với 5(1đ) B’D’ cắt D’C’ P’, P’ trung điểm C’D’ nên P’ trùng với P Do  MNS  C ' D nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ R Do thiết diện cắt (MNP) hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo lục giác a MSNQPR cạnh MR  có tâm O suy ra: 3a 3a S MSNQPR  SOMS  OM OS sin 600  Vậy S MSNQPR  4   Đặt f 1  m, f  1  n, f    p , m , n , p  ta có hệ 2 3m  n  p   a  a  b  c  m a  b  c  m   mn    b   a  b  c  n  a  b  c  n a b c a  2b  4c  p   16 p  3m  n    p  8 c   3m  n  p 16 p  3m  n Ta có f      m  n   9m  n  16 p    16  26 3 m  a    Dấu xảy  n   b   p  1  c  3   Ta có f  x   x  3x , xét 1  x  tồn  : x  cos  a    f  x   4cos   3cos   cos 3 suy f  x   với 1  x  Vậy b   c  3  Hết 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 ...SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) (Đáp án có 03 trang) I LƯU Ý... nên (MNS) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến qua N song song với BC’ cắt B’C’ Q Do  MNS  BD B ' D ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với 5(1đ) B’D’ cắt D’C’ P’, P’ trung điểm... theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ R Do thi? ??t diện cắt (MNP) hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo lục giác a MSNQPR cạnh MR  có tâm O suy ra: 3a 3a S MSNQPR  SOMS  OM OS sin 600