[r]
(1)Sở GD & ĐT Hà Nội
Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9Năm học 2008 - 2009
Thời gian : 120 phút
Bài 1- (4đ) a) Rót gän:
3
12 3 1 4
14
b) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trị nguyên x x46x311x26x1 có giá trị số phơng
Bài - (4®) Cho biĨu thøc:
2 :
1
1
x y x y x y xy
P
xy
xy xy
a) Rót gän P
b) Tính giá trị P với
2 x
c) Tìm giá trị lớn P Bài 3- (4đ) Giải phơng trình :
2
) 2 5
a x x x
2
) 10 12 40
b x x x x
Bài (6đ)
a) Cho ABC, phân giác AD Biết AB = c, AC = b, ¢ = 2 ( < 450). CMR: AD=2 bc cos α
b+c
b) Cho tam giác ABC, đờng phân giác AD, đờng cao BH, trung tuyến CE đồng quy O CMR: AC cosA = BC.cosC
Bài (2đ) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có dạng:
(2)Sở GD & ĐT Hà Nội
Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm Đáp án Đề thi chọn học sinh GiỏiNăm học 2008 - 2009 Thêi gian : 120 phót
Bµi - 4®
2
2
3
) 12 3 1 4 14
3.2
12 3 3
2.2
6 2 3 2
3 6
a
b) Ta cã:
4
2
2
2
2
6 11 1
3
3
3
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
Do x nguyªn nªn x23x1 nguyªn nªn
2
2 3 1
x x
nguyên đpcm Bài - 4đ
a) KX: x, y 0; xy Rút gọn đợc:
1 x P
x
b)
2
2
3 ; 1
2
x x
2 6 4 13
P
c) Theo bất đẳng thức Cơsi có x 1 x(do đkxđ)
2
1
1
x x
P
x x
(dÊu “=” x¶y x = vµ y 1) VËy maxP = x = vµ y 1; y0
(3)
2
2
2
2
) 2 5
6 2
3
3
3
a x x x
x x x x
x x
x
x x
(§K:
5 x
) Vậy phơng trình có nghiệm x =
2
) 10 12 40
1 4 10
4 10
2 2
b x x x x
x x
VT x x
(Theo bđt Côsi)
DÊu “=” x¶y
4
6 10
x
x x
2
2
12 36 4
VP x x x
DÊu “=” x¶y x =
VËy VT = VP vµ chØ x = nghiệm phơng trình x = Bài 4- 6đ
a) Gọi diện tích tam giác ADB, ADC, ABC lần lợt S1, S2,S3
Ta cã :
S1=1
2AD c sin α ; S2=
1
2AD b sin α⇒S=S1+S2=
1
2AD sin α (b+c)
S=1
2bc sin α⇒ 12ADsin α(b +c)=
2bc sin α ; Doãin α=2sin α cos α
⇒ AD=bc sin α
b +c
b) Vẽ EF BH Trong BAH có EF đờng trung bình BAH EF =1/2.AH HOC đồng dạng FOE (g.g) CH
EF = OC OE Do AD tia phân giác  cña AEC OC
OE= AC AE ⇒
CH EF =
AC AE (1)
Trong HAB cã H=900 AH = AB.cosA Trong HBC cã H = 900 CH = BC cosC Thay vµo (1) cã: AB.BC.cosC = AC AB cosA BC cosC = AC cosA
Bµi - 2®
Gọi A(x0; y0) điểm cố định mà (d) qua nh vậy:
c
b
S2 S1
D A
B C
1
F O
H
E
D A
C
(4)
0
0 0
0 0
0 0
2 2
2 2
2
2
m x m y m
x y m x y m
x y x
x y y
VËy A(1; -2)
Ta cã OH OA OH lín nhÊt b»ng OA
dấu = xảy (d) qua A vuông góc với OA
Vì A(1 ; -2) suy phơng trình đờng thẳng OA y = -2x phơng trình (d) :
2
(5)Sở GD & ĐT Hà Nội
Phòng GD & §T Hun Tõ Liªm
§Ị KiĨm tra chän häc sinh Giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thêi gian : 90 phót
Bµi - (5®) Cho biĨu thøc:
2 :
1
1
x y x y x y xy
P
xy
xy xy
a Rót gän P
b Tính giá trị P với
2 x
c Tìm giá trị lớn P
Bài 2- (2đ) Chứng minh với giá trị nguyên x x46x311x26x1 có giá trị số phơng
Bài 3- (5đ) Giải phơng trình :
2
) 1
a x x
2
) 10 12 40
b x x x x
Bµi (6đ)
a) Cho ABC, phân giác AD Biết AB = c, AC = b, ¢ = 2 ( < 450). CMR: AD=2 bc cos α
b+c
b) Cho tam giác ABC, đờng phân giác AD, đờng cao BH, trung tuyến CE đồng quy O CMR: AC cosA = BC.cosC
Bài (2đ) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có dạng:
(6)Së GD & §T Hà Nội
Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm
Đáp án Đề kiểm tra chọn học sinh Giỏi
Năm học 2008 - 2009 Thời gian : 90 phút Bài - 5đ
a KX: x, y 0; xy Rút gọn đợc: x P x
(2®)
b
2
2
3 ; 1
2
x x
(1®)
c
2 6 4 13
P
(1®)
d Theo bất đẳng thức Cơsi có x 1 x(do đkxđ) 1 1 x x P x x
(dÊu “=” x¶y x = vµ y 1) VËy maxP = x = vµ y 1; y0 (1đ)
Bài - 2đ Ta có:
4
2
2
2
2
6 11 1
3
3
3
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
Do x nguyªn nªn x23x1 nguyªn nªn
2
2 3 1
x x
nguyên đpcm Bài 3- 5®
2
2 2
2
2
2
2
1
) 1 1
1
1 1
1
1
2 x
a x x x x
x x x x x x x x x
(2,5đ)
Vậy phơng trình cã nghiÖm x1;x
2
) 10 12 40
1 4 10
4 10
2 2
b x x x x
x x
VT x x
(Theo bđt Côsi)
Dấu = xảy
(7) 2
2 12 36 4 6 4 4
VP x x x
DÊu “=” x¶y x =
VËy VT = VP vµ x = nghiệm phơng trình x = (2,5đ) Bài 4- 6đ
a) Gäi diƯn tÝch c¸c tam gi¸c ADB, ADC, ABC lần lợt S1, S2,S3
Ta có :
1 2
1 1
.sin ; sin sin ( )
2 2
1 1
sin sin ( ) sin
2 2
sin
S AD c S AD b S S S AD b c
S bc AD b c bc
bc AD
b c
b) Vẽ EF BH Trong BAH có EF đờng trung bình BAH EF =1/2.AH HOC đồng dạng FOE (g.g) CH
EF = OC OE Do AD tia phân giác  AEC OC
OE= AC AE ⇒
CH EF =
AC AE (1)
Trong HAB cã H=900 AH = AB.cosA Trong HBC cã H = 900 CH = BC cosC Thay vµo (1) cã: AB.BC.cosC = AC AB cosA BC cosC = AC cosA
Bài - 2đ
Gi A(x0; y0) l điểm cố định mà (d) qua nh vậy:
0
0 0
0 0
0 0
2 2
2 2
2
2
m x m y m
x y m x y m
x y x
x y y
VËy A(1; -2)
Ta cã OH OA OH lín nhÊt b»ng OA
dấu = xảy (d) qua A vuông góc với OA
Vỡ A(1 ; -2) suy phơng trình đờng thẳng OA y = -2x phơng trình (d) :
2
y x
c
b
S2 S1
D A
B C
1
F O
H
E
D A
C