Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân Đại số lớp 12 đầy đủ chi tiết | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn qu[r]

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x  xác định K (K khoảng đoạn nửa đoạn )

 Hàm số F x được gọi nguyên hàm hàm số f x  K Fʹ x   f x với x K. Định lý 1: Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K với số C, hàm số

   

G x F x C nguyên hàm f x  K

Định lý 2: Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x  có dạng F x C,với C số

Hai định lý cho thấy:

Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K F x C,C là họ tất nguyên hàm f x  trênK Kí hiệu

    f x dx F x C



Chú ý: Biểu thức f x dx  vi phân nguyên hàm F x  f x , 

  ʹ   

dF x F x dx f x dx. 2 Tính chất nguyên hàm Tính chất 1

    f ʹ x dx f x C



Tính chất

   

kf x dx k f x dx

  , k số khác Tính chất

       

f x g x dx f x dx g x dx

    

 

  

3 Sự tồn nguyên hàm

Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K. 4 Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số hợp u = u x 

Nguyên hàm hàm số hợp u = ax + b;a0  dx x C

 du u C d ax bax b C

 

1

1

x

x dx C



 





   



  1

1 u

u C



 



   

  

  

1

1 ax b

ax b dx C

a

 

 





    

1

ln

dx x C

x  

 1du ln u C

u  

 dx 1ln ax b C

axb  a  



2

1

dx C

x   x



1

du C

u   u

  2

1 1

dx C

a ax b

axb    



3

xdx x xC

  udu23u uC  

1

3

ax bdx ax b ax b C

a

    



2

dx x C

x  



2

du u C

u  

 1

.2

dx ax b C

a

axb   



x x

e dxe C

 u u

e due C

 eax bdx 2eax b C

a

   

  0, 1

ln

x

x a

a dx C a a

a

   

  0, 1

ln

u

u a

a du C a a

a

   

  

0,

ln

mx n

mx n a

a dx C a a

m a



    

 sinxdx cosxC

 sinudu cosu C sinax b dx 1cosax b C a

    

 cosxdxsinxC

 cosudusinu C cosax b dx 1sinax b C a

   

 tanxdx ln cosx C

 tanudu ln cosu C    

1

tan ax b dx ln cos ax b C a

    

 cotxdxln sinx C

 cotuduln sinu C    

1

cot ax b dx ln sin ax b C a      cot sin xdx  xC



1

cot sin udu  u C

 2   

1

cot

sin axb dx a axb C 

2

1

tan cos xdx xC



1

tan cos udu u C

 2   

1

tan

cos axb dx a axb C  ln tan sin x dx C

x  

 ln tan

sin

u

du C

u  

   1ln tan

sin

dx ax b

C

ax b a

     ln tan

cos

x dx C x           ln tan

cos

u du C u             cos ln tan dx ax b ax b C a            

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 Phương pháp đổi biến số

f u(x) uʹ(x)dx F u(x)    C



Hệ quả: Với u ax b a   0 ta có

   

f ax b dx F ax b C a

   



2 Phương pháp tính nguyên hàm phần:

Định lý 2: Nếu hai hàm số uu x  vv x  có đạo hàm liên tục K thì:            

u x vʹ x dx u x v x  uʹ x v x dx

 

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm nguyên hàm phép biến đổi sơ cấp 1 Phương pháp giải

 Biến đổi hàm số dấu nguyên hàm dạng tổng, hiệu biểu thức chứa x, trong biểu thức chứa x dạng có bảng nguyên hàm.

 Áp dụng công thức nguyên hàm bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm 2 Bài tập

Bài tập Nguyên hàm hàm số  

x x

f x e

 

A ln

x

x

x e C

e



  B.

ln 12 

x

x

x e C

e



 



C.

ln 12 

x

x

x e C

e



 

 D.  

2 ln

x

x

x e C

e   

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

 

2 2

ln

x

x x

x x

x dx dx e dx x e C

e e e

 

       

  

 

  

Bài tập Nguyên hàm hàm số    2019

2

f x x x

A    

2021 2020

2

2021 1010

x x

C

 

   B.    

2020 2018

2

2021 1009

x x

C

 

 

C.    

2021 2020

2

2021 1010

x x

C

 

  D.    

2021 2020

2

2021 1010

x x

C

 

 

Ta có:      

       

2019 2019

2021 2020

2020 2019

2 2

2

2 2

2021 1010

x x dx x x dx

x x

x dx x dx C

 

      

 

      

 

 

Bài tập Nguyên hàm hàm số   21

x

f x e 



A.

ln x

x e  C B. 1ln 1

2

x

x e  C

C. lne2x  1 C D. xlne2x  1 C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:  

2 2

2 2

1

1

1 1

x x x

x x x

e e e

e e e

 

  

  

Do    

2

2

2 2

1

1 1

1 ln

1 2

x x

x

x x x

d e e

dx dx dx x e C

e e e



 

         

    

   

Bài tập Nguyên hàm hàm số  

2

f x

x x



   là: A.  2 3 23

6 x x C

    

 

  B

1

2

6 x x C

    

 

C 1 1 2

6 x 6 x x C D.  

1

2 2

6 x x 6 x C Hướng dẫn giải

Chọn A Ta có:

       

1 2

4

2

1 2 1

2 2 2 2

4 3 6

x x

dx dx

x x

x x x x C x x x x C

  



  

 

              

 

 

Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: a b a b

a b



 



Lưu ý:  

3

ax bdx ax b ax b C

a

    



Bài tập Nguyên hàm hàm số   25 13

5

x f x

x x

 

  là:

A ln x 3 ln x 2 C B 3ln x 3 ln x  C C ln x 3 ln x 2 C D ln x 3 ln x  C

Chọn D Ta có:

  

2

5 13 13

5

x x

x x x x

  

   

Ta phân tích: 5x13A x  2 B x3  1

Thế x 2 x 3 vào (1) ta có B 3 A 2

Khi    

  

2

2 3

5 13

5 3

2 ln 3ln

x x

x

dx dx dx dx

x x x x x x

x x C

  

   

     

    

   

Bài tập Nguyên hàm hàm số  

4

1 x f x

x x

 

 là: A ln 1ln 1

2

x x  C B. ln xlnx4 1 C

C  

ln ln

2

x x  C D ln 1ln 1

2

x  x   C Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:  

   

4

4

4

5 4

1

1

ln ln

1

1

x x

x x

dx dx dx dx x x C

x x x x x x

 

       

  

   

Bài tập Nguyên hàm hàm số  

2

3 3

3

x x

f x

x x

 



  là: A ln 2 ln

1

x x C

x

    

 B

3 ln 2 ln

1

x x C

x

    

 C 2 ln ln

1

x x C

x

    

 D

3 ln ln

1

x x C

x

    

 Hướng dẫn giải

Chọn A Ta có:

   

2

2

3 3 3

3 1 2

x x x x

dx dx

x x x x

    

   

 

Ta phân tích  2     

3x 3x 3 A x1 B x1 x 2 C x2 Ta dùng giá trị riêng, tính A1,C B 2 (thay x   2 A 1;x  1 C x   ) B

Khi

     

2

2

3 3 1

2 ln 2 ln

2 1

1

x x

dx dx dx dx x x C

x x x

x x x

          

  

  

Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho nguyên hàm hữu tỉ     P x

I dx

Q x

 , với P x    

Q x đa thức, cụ thể sau:

 Nếu degP x degQ x  ta thực phép chia P x cho   Q x (ở đây, kí hiệu   

 

deg P x bậc đa thức P x ). 

 Khi degP x degQ x  ta quan sát mẫu số Q x ta tiến hành phân tích thành các  nhân tử, sau đó, tách P x theo tổ hợp nhân tử Đến đây, ta sử dụng đồng  thức (hoặc giá trị riêng) để đưa dạng tổng phân thức

Một số trường hợp đồng thức thường gặp Trường hợp 1:

ax b cx1 d ad1bc axa b cxc d

 

   

      

Trường hợp 2:

ax mxb cx n d axA b cxBd AxaxBa xb cx AddBb

  

   

     

Ta đồng thức mx n AxBa x AdBb  1 Cách Phương pháp đồng hệ số

Đồng đẳng thức, ta Ac Ba m Ad Bb n

 



  

 Suy A, B Cách Phương pháp giá trị riêng

Lần lượt thay x b;x d

a c

    vào hai vế (1), tìm A, B

Trường hợp 3:

 2  2

mx n A B

ax b

ax b ax b

  



 

Trường hợp 4:

     

        

2

2

*

mx n A B C

cx d ax b

ax b cx d ax b

mx n A cx d B ax b C ax b cx d

   

 

  

        

Lần lượt thay x b;x d;x

a c

     vào hai vế (*) để tìm A, B, C

Trường hợp 5:

  

1 A Bx C

x m ax bx c

x m ax bx c



 

  

   với

2

4

b ac

   

Trường hợp 6:

  2 2  2  2

1 A B C D

x a x b

x a x b x a x b

   

 

Bài tập Cho hàm số f x xác định   \      

 thỏa mãn '  ;  0

2

f x f

x

 



 1

f  Giá trị biểu thức P f    1 f là:

A. ln ln 2 B. 3ln ln 5 C. ln 5 D. ln15 Hướng dẫn giải

Chọn D         ln

2

' ln

2 1

ln

2

x C x

f x f x dx dx x C

x

x C x

                   

Vì  

  12

0 1

2 f C C f            

Suy    

 

1 ln 2

2 ln

2

x khi x

f x

x khi x

           

Do P f    1 f  3 ln ln 5  3 ln15

Bài tập Cho hàm số f x xác định   \ 1;1 , thỏa mãn

     

2

' ; 3 ln

1

f x f f

x

   



1

0

2

f  f  

    Giá trị biểu thức      2

P f   f  f là:

A ln ln 5 B ln 2 ln ln 5  C ln 2 ln ln 5  D ln 2 ln 5 Hướng dẫn giải

Chọn C

   

2 1

' ln

1 1

x

f x f x dx dx dx C

x x x x



 

       

     

  

Hay  

1 ln 1 1

ln ln 1

1

1

ln

1 x

C x x

x x

f x C C khi x

x x

x

C x x                                      

Theo ra, ta có:

   

1

2

3 ln

2 ln

Do      2 ln 3 2 ln3 1 ln 2 ln ln 5

f   f  f  C C  C   

Bài tập 10 Nguyên hàm

Px x  dx là: A 3 3

1

8

P x  x  C B. 3 1

8

P x  x  C C 33

1

P x  C D 3 13

4

P x  x  C Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:      

1

3 2 3 3

1 1

2

x x  dx x  d x   x  C

 

Bài tập 11 Nguyên hàm hàm số sinxcosxsinxdx là: A 1 1sin 1cos

2x4 x4 xC B

1 1

sin cos 2x4 x4 x C C 1sin 1cos

2

x x xC D 1 1sin 1cos

2x4 x4 x C Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:    

sin cos sin sin sin cos

1 cos sin 1

sin cos

2 2 2

x x xdx x x x dx

x x

dx x x x C

  



   

        

   

 



Bài tập 12 Nguyên hàm hàm số 2 2 sin xcos xdx

 là:

A tan xcotx B tanC xcotxC C tanxcotxC D cotxtanxC Hướng dẫn giải

Chọn B Ta có:

2

2 2 2

1 sin cos 1

tan cot

sin cos sin cos cos sin

x x

dx dx dx x x C

x x x x x x

  

       

 

  

Bài tập 13 Nguyên hàm hàm số 4 2

4 cos x4 cos x1dx

 là:

A cot 2

x C

 B tan 2x C C cot 2x C D tan

2 x

C  Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:     

  

  2  

1 1 1 tan

(2 )

4 cos cos (2 cos 1) cos 2 cos 2

x

dx dx dx d x C

Bài tập 14 Nguyên hàm hàm số

tan xdx

 là:

A

2

tan

ln cos

x

x C

  B

2

tan

ln sin

x

x C

 

C

2

tan

ln cos

x

x C

  D

4

tan cos

x C x Hướng dẫn giải

Chọn A

Từ  

tan xtanx tan x tanx

Suy    

2

3 cos tan

tan tan tan ln cos

cos

d x x

xdx xd x x C

x

    

  

Bài tập 15 Gọi F x nguyên hàm hàm số   f x sin tanx x thỏa mãn

3

F   

  Giá trị

4 F  

  là:

A

2 12



  B

2 12



  C

2 12



  D

2 12

  

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:   sin tan 2 sin cos sin 2 sin2

cos x

F x x xdx x x dx xdx

x

   

Suy   1 cos  sin 2

x F x   x dx x C

Theo giả thiết, ta có: 1sin2 3

3 3

F        C  C 

 

Vậy   sin

2

x

F x  x   

Do 1sin 3

4 4 12

F            

   

Bài tập 16 Gọi F x nguyên hàm hàm số   f x cos 24 x thỏa mãn F 0 2019 Giá trị

8 F  

  là: A 3 16153

64  

B 3 129224

8  

C 3 129224 64  

D 3 129224 32  

Ta có:  

 

2

4 cos

cos 2 cos cos

2

1 cos8

1 cos 4 cos cos8

4

x

x x x

x

x x x



 

    

 



 

      

 

Do   3 cos cos8  sin 1sin

8 8

F x   x x dx  x x xC

 



Mà F 0 2019 nên ta có C 2019 Vậy   sin 1sin 2019

8

F x   x x x

 

Do 129224

8 64

F       

Bài tập 17 Gọi F x nguyên hàm hàm số    

5

cos sin

x f x

x 

 , với x k2 ,k

 

   thỏa

mãn  

F   Giá trị F

  là: A 2

3 B 0. C

5

3 D

1 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta thấy:    

       

5

3

3

2

cos

cos sin sin cos cos sin sin

sin cos

1 sin sin cos cos sin

3

x

x x x x x x

x

x x

F x x d x xd x x C

    



       

Theo giả thiết, ta có  

F   nên C  1

Vậy  

3

sin cos sin

3

x x

F x  x  C

Do

2

F 

 

Chú ý:

Với *

n   , ta có:  

1

cos

cos sin cos cos

1

n

n n x

x xdx xd x C

n



    



 

  sin

sin cos sin sin

1

n

n n x

x xdx xd x C

n



  



 

Bài tập 18 Biết cos x dx aln 5sin x C, a, b  5sin x b



   



  , a

A.10 B. 4

C. D. 3

Hướng dẫn giải CHỌN D

 

d 5sin x

cos x

dx

5sin x 5sin x  

 

  1ln 5sin x C

5

  

Vậy a 1, b 5.  Nên 2a b  3

Bài tập 19 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x   1 sin x2 biết F

2

        A. F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

B. F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

C. F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

D. F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

Hướng dẫn giải CHỌN B

Ta có

 2  2  cos 2x

1 sin x dx sin x sin x dx sin x dx

3

x cos x sin 2x c

2

  

        

 

   

  

3 3

F cos sin c c

2 2 4

            

 

Vậy F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

Bài tập 20 Cho cos 2x dx F x  C sin x cos x  

 F   a b Tính Aa b  6

A. 2 B 2. C 1. D. 1

Hướng dẫn giải CHỌN C

Ta có: F x  cos 2x dx cos x sin x2 dx sin x cos x sin x cos x



 

 

 

cos x sin x cos x sin x   

dx cos x sin x dx sin x cos x sin x cos x

 

    



 

 

F a b A

Bài tập 21 Cho tích phân 2 2 dx a sin x cos x 

 Tính A 12 cot 2x theo a

A.

4a B. 2a2 C. 3a2 D. a2

Hướng dẫn giải CHỌN C

Ta có:   2

2 2 2

1 sin x cos x 1

F x dx dx dx

sin xcos x sin x cos x cos x sin x

 



     

 

  

tan x cot x

 

Theo đề:

2

2

2

sin x cos x sin x cos x cos 2x

tan x cot x a

cos x sin x sin x cos x sin 2x cos 2x a

sin 2x

cos 2x a

A 12 12 3a

2 sin 2x

 

     

  

 

    

 

Bài tập 22 Cho F x  nguyên hàm hàm số

2

sin cos 4sin

x

dx

x x



 0

2     

 

F f  Tính  0       

F F 

A 7

9 B

7 9

 C. D.1

Lời giải CHỌN B

Ta có

cos2 4 sin2 

d x x   2sin cosx x8sin cosx x dx 6sin cosx xdx3sin 2xdx

 2 

1

sin cos sin

xdx d x x

  

Do :

2

sin cos sin

x

dx

x x

  

2

2

cos 4sin

3 cos 4sin

d x x

x x

 



  

2

2

cos 4sin

3 cos 4sin

d x x

x x

 



 2 cos2 4sin2

3 x x C

  

 0 2 2.4

2 3

F  F      C   C

 

Vậy  0 2.2

2 3

Bài tập 23 Gọi F x nguyên hàm hàm số    

2

8 x f x

x 

 khoảng 2 2;2 2 thỏa mãn F 2  Khi phương trình F x  có nghiệm là:x

A. x 0 B. x 1 C. x  1 D. x  1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:    2

2

1

8

8

x

F x dx d x x C

x x

       

 

 

Mặt khác  

2

F    x    C C

Vậy  

8

F x   x 

Xét phương trình  

 

2

2

2

2

8

8

2

1 3

2 4

1

x

F x x x x x x

x x

x x

x x

x x

x

  

           

  

 



 

 

      



  

   

 

Bài tập 24 Cho F x nguyên hàm hàm số     4 31 2

x f x

x x x

 

  khoảng 0;  1

2

F  Tổng SF 1 F 2 F 3   F2019 A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D

2019 2020  Hướng dẫn giải

Chọn C Phân tích  

 2  2

4 2 2

2 2

2 1

x x x

f x

x x x x x x x

  

  

   

Khi  

 2 2  2 2  

2x 1

F x dx d x x C

x x

x x x x



     



 

 

Mặt khác  1 1 1

2 2

F        C C

Vậy  

 

2

1 1

1 1

1

F x

x x x x x x

 

         

Do  1  2  3 2019 1 1 1 1 2019

2 3 2019 2020

1 1

1 2019 2018 2018

2020 2020 2020

SF F F  F           

 

 

      

 

Bài tập 25 Cho hàm số f x có đạo hàm xác định  thỏa mãn   f 0 2 2,f x  và0       2 

' 1 ,

f x f x  x  f x    Giá trị x f 1 là:

A 2 B 10 C 3 D 6

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:            

 

2

2

'

' 1

1

f x f x

f x f x x f x x

f x

     



Suy    

   

 

 

     

2

2

2

1 '

2 1

1

d f x

f x f x

dx x dx x dx f x x x C

f x f x



         

 

   

Theo giả thiết f 0 2 2, suy 1 2 2    C C Với C  3 1 f2 x x2  x f x  x2 x 321 Vậy f 1  24 2

Bài tập 26 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f 0  và3  

 2   2

'

f x f x  x  x Giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1 là:

A. 2 423 B. 2 153 C. 342 D. 315

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:   2    

' *

f x f x  x  x

Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức (*) ta được:  

 2    2  3  3 2 3  3 2

' 2 6

3

f x f x dx x  x dx f x x  x  x C f x  x  x  x C

 

Theo giả thiết, ta có f 0  nên  

 3  3 2  3  3 2

0 2.0 2.0 27 6 27

f    C   C  C f x  x  x  x

Ta tìm giá trị lớn hàm số  

3 6 27

g x  x  x  x đoạn 2;1 Ta có g x' 9x212x    6 0, x  2;1 nên đồng biến đoạn  

2;1

Vậy  

    

3

2;1 2;1

maxf x maxg x 42

 

 

Dạng 2: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u = u x   1 Phương pháp giải

Định lí: Cho  f u du  F u C uu x  hàm số có đạo hàm liên tục    '  

f u x u x dxF u x C



Các bước thực đổi biến: Xét If u x  u x dx' 

Bước 1: Đặt uu x , suy duu x dx' 

Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu ẩn u ta If u du  F u C, F u là  nguyên hàm hàm số f u  

Bước 3: Trả biến x ban đầu, ta có nguyên hàm cần tìm IF u x  C

Hệ quả: F x nguyên hàm hàm số   f x K ,  a b;a0 ta có:

   

f ax b dx F ax b C

a

   



2 Bài tập

Bài tập Nguyên hàm F x hàm số   f x x e2 x31, biết  1 F   là:

A.  

1

1

x

F x  e   B C   2019

3

x

F x  e   C   1

3

x

F x  e   D  

3

x

F x  e  Hướng dẫn giải

Chọn D Đặt

1

ux  ta có 2 du x dxx dx du

Suy   1

3

u u

f x dx e du e C

 

Do   1

3

x

F x  e   C Mặt khác  1

3

F   nên C  Vậy 0  

3

x

f x dx e 



Lưu ý: Ta viết sau:   2 1 1  3  1

1

3

x x x

f x dx x e dx e d x   e  C

Chú ý: Với viết  

1

x dx d x  , ta tính ngun hàm cho cách đơn giản nhanh gọn

Bài tập Nguyên hàm sin 3cos

x

M dx

x 



 là:

A 1ln 3cos 

M  x C B 2ln 3cos

3

M  x C

C 2ln 3cos

M   x C D 1ln 3cos

3

M   x  C Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt u 1 3cosx, ta có du 3sinxdx hay sin xdx  du

Khi 2ln

3

M du u C

u

     

Vậy sin 2ln 3cos

1 3cos

x

M dx x C

x

    

  Bài tập

   

4

sin x

4 a

I dx , a, b

b sin 2x sin x cos x





 

  

 

  

  

  Tìm tỉ lệ a

b A.

3 B.

1

2 C.

2

1 D.

3 Hướng dẫn giải

CHỌN B

Đặt  

2

dt cos x sin x dx sin x dx t sin x cos x

sin 2x t

      

  

    

  

 x :

4 

 t : 1

   

2

2

2 2 2

1

1

1 dt dt

I

2 t

2 t t t 1



      



   

 

Bài tập Cho cos x sin xdx F x3   C F 0  a b 1.

4   

Tính 2

A a b 2018

A 2018. B 2016. C 2022. D 2020.

3

cos x sin xdx



Đặt u cos x  du sin xdx

 

   

4

3

2

3

u cos x

cos x sin xdx u du C C

4

1

F a b a b

4

A a b 2018 a b 2ab a b 2018 2018

       

        

        

 

Chú ý: ý với a 0 m n, ;n0 ta ln có:

m n m n

a  a Bài tập Nguyên hàm

1

R dx

x x 



 là:

A 1ln 1

2 1

x

R C

x  

 

  B

1 1

ln

2 1

x

R C

x  

 

 

C ln 1

1 x

R C

x  

 

  D

1 ln

1 x

R C

x  

 

  Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt

1

u x u   Suy x xu2 dx2udu

Khi

 

2 1

ln

1 1

1

u u

R du du du C

u u u u

u u



 

       

   

  

  

Vậy ln 1

1 x

R C

x  

 

 

Bài tập Nguyên hàm Sx3 x29dx là:

A    

2

2

2

9

3 9

5

x x

S    x  x   C

B    

4

2

2

9

3 9

5

x x

S    x  x  C

C    

2

2

2

9

3 9

5

x x

S    x  x   C

D  

2

2

2

9

3

5

x x

S    x   C

Xét 2

9

Sx x  dxx x  xdx

Đặt 2

9

u x  u x  Suy x2 u2 xdxudu

Khi    

5

2

9

5 u

S u  u udu u  u du  u C

Vậy    

2

2

2

9

3 9

5

x x

S    x  x   C

Bài tập Nguyên hàm ln

T dx

x x





 là:

A

2 ln

T C

x

 

 B. T2 lnx 1 C

C 2ln 1 ln

T x x C D. T lnx 1 C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: 1 ln 1 ln

ln ln

T dx d x x C

x x x

     

 

 

Bài tập Nguyên hàm  

  2020 2022 x U dx x   

 là:

A 2021 x U C x        

  B

2020 6060 x U C x           C 2021 6063 x U C x        

  D

2023 6069 x U C x          

Hướng dẫn giải Chọn C

Xét  

   

2020 2020

2022

2

1

1

x x

U dx dx

x x x                Đặt

 2  2

2 1

1 1 1

x

u du dx du dx

x x x



    

  

Suy 2020 2021

3 6063

U u du u C Vậy

2021 6063 x U C x           Lưu ý:     1 n n n

ax b ax b

dx C

Bài tập Xét nguyên hàm

 

2

ln

1 ln

x

V dx

x x



 

 Đặt u 1 ln x, khẳng định sau sai?

A. dx 2u 2du

x   B

 2 2  

2

2

u u

V u du

u 

 

C 5 16

4

5

V u  u  u  u C D

5

3

16

5

u u

V   u  u C Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt  2 2  

1 ln 1 ln ln dx 2

u x u x x u u u du

x

            

Khi

     

 

2 2

4

2 ln

2

1 ln

2 16

2 4

5

u u

x

V dx u du

u

x x

u u u u du u u u u C



  

 

        

 



Bài tập 10 Gọi F x nguyên hàm hàm số   f x sin cos 22 x x thỏa F   

  Giá trị 2019 

F  là:

A 2019  15

F    B F2019 C 0 2019  15

F    D 2019 

15

F  

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt sin 2 cos cos

2

u xdu xdx du xdx

Ta có    2  4

3 5

1

sin cos

2

1 1

sin sin

6 10 10

F x x xdx u u du u u du

u u C x x C

    

     

  

3

1 1

0 sin sin

4 10 15

F            C C  

Vậy  

sin sin

6 10 15

F x  x x

Do 2019  15

Bài tập 11 Biết  

     

2

1

x dx

C

x x x x g x



  

   

 (với C số) Gọi S tập

nghiệm phương trình g x  Tổng phần tử S bằng: 

A 0. B 3  C. 3 D 3 

Hướng dẫn giải Chọn C

Vì x x 1x2x  3 1 x23xx23x2 1 x23x12

  nên ta đặt ux23x, du2x3dx

Nguyên hàm ban đầu trở thành

 2

1 1

du

C u u    



Suy  

   

2

1 3

x dx

C

x x x x x x



  

     



Vậy    

3

2

3 1;

3

2 x

g x x x g x x x

x

  

  

        

  

  

Do 5;

2

S     

 

 

Tổng giá trị phần tử S 3 Bài tập 12 I 3cos 2x sin 4xdx F x  C

2 sin x cos x 

  

 

 Tính F ,  biết F x  không chứa hệ số tự A. 17

3 B.

2

3 C.

15

3 D.

9 Hướng dẫn giải

CHỌN A

 

   

 

3 sin 2x cos 2x 3cos 2x sin 4x

I dx dx

2 sin x cos x sin x cos x sin 2x cos x sin x cos x sin x

dx sin x cos x

 

 

   

  



 

 



Đặt  

2

dt cos x sin x dx t sin x cos x

sin 2x t

  



   

 2

3

2

3

3 t t 2t 5t 6

I dt dt 2t 4t dt

2 t t t

2

t 2t 3t ln t C

   

 



 

 

        

    

 

     

 

  

Dạng 3: Tìm nguyên hàm cách đổi biến dạng 1 Phương pháp giải

Kiến thức cần nhớ:

Ta biết đẳng thức sau:

2

sin tcos t , với t  

 

 

2

2

2

1

1 tan ,

cos

1

1 cot ,

sin

t t k k

t

t t k k

t

 



     

    

 

Với tốn sau ta khơng thể giải nguyên hàm đổi biến số dạng 1, đòi hỏi người học phải trang bị tư đổi biến theo kiểu “lượng giác hóa” dựa vào đẳng thức lượng giác số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem xét nguyên hàm sau đây:

Các kĩ thuật đổi biến dạng thường gặp cách xử lí

Bài tốn 1: Tính 1

2

dx A

a x





 Bài tốn 1: Tính 1

2

dx A

a x



 

Đặt x asint, với ; 2 t  

  cos

x a t với t 0; Bài toán 2: Tính A2 2dx 2

a x

 

 Bài tốn 2: Tính A2 2dx 2

a x

   Đặt x atant, với ;

2 t 

  Bài tốn 3: Tính A3 a xdx

a x  



 Bài tốn 3: Tính A3 a xdx

a x  

  Đặt xacos 2t với 0;

2 t  

 

Bài tốn 4: Tính A4  xaxb dx Bài tốn 4: Tính A4  xaxb dx

Đặt  

sin

x a b a t với 0; t  

Bài tốn 5: Tính 2

A  x a dx Bài toán 5: Tính A5 x2a dx2 Đặt

sin a x

t

 với ;

2 t  

 

2 Bài tập

Bài tập Nguyên hàm

2 x I dx x  

 là:

A

2

4 arcsin

2

x x x

C 

  B

2

4 arccos

2

x x x

C 

 

C arccos

2

x x x

C 

  D 2 arcsin

2

x x x

C 

 

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt x2 sint với ; 2 t 

  Ta có cost 0 dx2 costdt Khi

2

2

4 sin

2 cos sin 4 sin

t

I tdt tdt

t

 



  (vì cos 0, ;

2 t  t   

 ) Suy I2 cos 2  t dt  2t sin 2tC

Từ sin arcsin x

x t t

2

4 sin 2 sin cos

2

x x

t t t 

Vậy 2 arcsin 2

x x x x

I dx C

x



   

 

Bài tập Nguyên hàm

 23

1 I dx x  

 là:

A. 3 22

1 x  B C

2 x C x 

 C  23

1 x C x   D 1 x C x  

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt xcos ,t t  0  dx sin t dt

Khi sin 3 2 cot

sin sin

t dt dt

I dt t C

t t

      hay

2 x I C x    Vậy

 23

Ví dụ Nguyên hàm 2

I dx

x 



 là:

A arctan x C B arccot x C C arcsin x C D arccos x C Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt xtant với ; 2 t  

 , ta có  

2

1 tan dx  t dt

Khi  

2

1

1 tan tan

I t dt dt t C

t

    



 

Vậy 2 arctan

1

I dx x C

x

  

 

Dạng 4: Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần 1 Phương pháp giải

Với uu x  vv x  hàm số có đạo hàm khoảng K ta có:  u v 'u v v u' ' Viết dạng vi phân d uv vdu udv

Khi lấy nguyên hàm hai vế ta được: d uv vduudv

Từ suy udvuvvdu  1

Cơng thức (1) công thức nguyên hàm phần

Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp nguyên hàm phần

Bài tốn: Tìm Iu x v x dx    , u x   v x hai hàm có tính chất khác nhau,  chẳng hạn:

 

u x hàm số đa thức, v x hàm số lượng giác.   

u x hàm số đa thức, v x hàm số mũ.   

u x hàm số logarit, v x hàm số đa thức.   

u x hàm số mũ, v x hàm số lượng giác.  Phương pháp nguyên hàm phần

Bước 1: Đặt    

    ' du u x dx u u x

dv v x dx v v x dx  

 

 

   

 

  

Lưu ý: Đặt uu x  (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Tức là, có logarit ưu tiên đặt u logarit, khơng có logarit ưu tiên u đa thức,… thứ tự ưu tiên xếp

Còn nguyên hàm vv x dx  ta cần Chọn số thích hợp Điều làm rõ qua Bài tập minh họa cột bên phải

2 Bài tập

Bài tập Kết nguyên hàm  2

ln

Ix x dx là:

A.  

2

2

2

ln

2

x x

x C

    B.    

2

2 ln

2 x

x  x    C

C.    

2 ln

x  x  x C D.  

2

2

2

ln

2

x x

x C

   

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt  

2 2

2

2

ln 2

2

x

du dx

u x x

x

dv xdx v

 



  

  

  



 

 



Khi    

2 2

2

2

ln ln

2 2

x x x

I  x  xdx  x   C

Chú ý: Thơng thường với

2

2 x dvxdx v

Tuy nhiên trường hợp này, ta để ý

2

2 x

v  mang lại hiệu

Bài tập Kết nguyên hàm ln sin 22 cos  cos

x x

I dx

x 

 là:

A. tanx2 ln sin  x2 cosx x ln cosx  C B. tanx2 ln sin  x2 cosx x ln cosx C C. tanx2 ln sin  x2 cosx x ln cos xC D. cotx2 ln sin  x2 cosx x ln cosx  C

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt

 

2

cos sin ln sin cos

sin cos

sin cos tan

cos cos

x x

u x x du dx

x x

dx x x

dv

v x

x x

 

    

  

  



    

Khi    

   

cos sin tan ln sin cos

cos tan ln sin cos ln cos

x x

I x x x dx

x

x x x x x C



   

     



Chú ý: Ở Bài tập này, Chọn vtanx2 rút gọn tử mẫu nguyên hàm vdu



Bài tập Kết nguyên hàm

sin Ix xdx là:

A 2

cos sin cos

5x x 25x x 125 x C

    B 2

cos sin cos

5x x 25x x 125 x C

   

C. 2

cos sin cos

5x x25x x125 x D C

2

1 2

cos sin cos

5x x 25x x 125 x C

   

Hướng dẫn giải Chọn D

Phân tích: Ở ta ưu tiên

ux đa thức, nhiên bậc u nên ta phần hai lần thu kết Nhằm tiết kiệm thời gian, gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể sau:

Bước 1: Chia thành cột:

+ Cột 1: Cột u lấy đạo hàm đến 0.

+ Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu phép toán đường chéo + Cột 3: Cột dv lấy nguyên hàm đến tương ứng với cột 1.

Bước 2: Nhân chéo kết cột với Dấu phép nhân có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-),… cộng tích lại với

Khi 2

cos sin cos

5 25 125

I  x x x x xC

Chú ý:

Kĩ thuật đơn giản tiết kiệm nhiều thời gian

hàm nguyên hàm hai cột Nếu nhầm lẫn đáng tiếc Bài tập Nguyên hàm 4 3x

Ix e dx là: A

4

3

2

4 12 24 24

3 3 3

x

x x x x

I     e C

  B

5

x

x e

I  C

C

4

3

2

4 12 24 24

3 3 3

x

x x x x

I     e C

  D

4

3

2

4 12

3 3

x

x x x

I   e C

 

Hướng dẫn giải Chọn A

Nếu làm thông thường phần lần ta thu kết Ở đây, chúng tơi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết nhanh chóng

Vậy

4

3

2

4 12 24 24

3 3 3

x

x x x x

I     e C

 

Bài tập Nguyên hàm Iexsinxdx là:

A. 2exsinxcosxC B. 2exsinxcosxC

C 1 sin cos 

x

e x x C D 1 sin cos 

2

x

e x x C

Hướng dẫn giải Chọn C

Khi đó, ta kết luận Iexsinxexcosxexsinxdx Hay 2Iexsinxex cosx Vậy sin cos 

2

x

I e x x C

Chú ý: Chỉ dừng lại đạo hàm có dạng giống dịng Dòng cuối thu sinxe dxx I

  

Bài tập Tìm Ilnnaxb v x dx   , v x hàm đa thức,   n   ,* a b;a0

Hướng dẫn giải

Phân tích: Vì ưu tiên u x lnnax nên b  

lnn

na ax b

du dx

ax b

 



 tiếp tục đạo hàm cột khơng được, phải chuyển lượng t x  na

ax b 

 từ cột sang nhân với v x cột để  rút gọn bớt; tiếp tục trình đạo hàm cột 0, ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường

Bài tập 6.1 Kết nguyên hàm Ix lnxdx là: A

2

ln

2

x x

C

  B.

2

ln

2

x x

C

  C ln 2

4

x x

C

  D ln 2

4

x x

C

 

Vậy ln ln 2

2

x x

Ix xdx  C Chú ý: chuyển lượng t x 

x

 bên cột sang nhân với   2 x

v x  ta thu kết

x Khi bên cột cịn lại 1, đạo hàm 0; bên cột có nguyên hàm

2x

2

4 x Bài tập 6.2 Kết nguyên hàm   3 

4 ln

I x x dx là:

A.            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2 x

x x x  x  x x  x  x x   x C

B.            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2 x

x x x  x  x x  x  x x   x C

C.            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2 x

x x x  x  x x  x  x x   xC

D.            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2 x

x x x  x  x x  x  x x   x C

Hướng dẫn giải Chọn B

Vậy            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2 x

I x x x  x  x x  x  x x   xC

Chú ý: Chuyển

x, nhân với  

2

Chuyển

x, nhân với  

2

3x 3x thu 6x 6 Chuyển

x, nhân với  

2

3x 6x thu 3x 6

Bài tập Cho F x   x1ex nguyên hàm hàm số f x e Biết hàm số   2 x f x  

có đạo hàm liên tục  Nguyên hàm hàm số  

' x

f x e là:

A. 2x e xC B. 2x e x C C. 1x e x C D. 1x e xC Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có F x'  f x e  2x exx1ex  f x e . 2x  f x e . 2x x e. x.

Xét  

' x

f x e dx 

Đặt

   

2 2

'

x x

u e du e dx

dv f x dx v f x

   

 

   

 

 

Do      

x x x x

I f x e   f x e dxxe  x e C Vậy I f' x e dx2x 2x e xC

Dạng 5: Các toán thực tế ứng dụng nguyên hàm 1 Phương pháp giải

Ý nghĩa vật lí đạo hàm:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình SS t , với S t quãng đường mà chất điểm đó  đi thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu.

Gọi v t   a t vận tốc tức thời gia tốc tức thời chất điểm thời điểm t, ta có:    ' 

v t S t a t v t' 

Từ ta có: S t v t dt  v t a t dt  2 Bài tập

Bài tập Một vật chuyển động với gia tốc    / 2

1

a t m s

t 

 , t khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu Vận tốc ban đầu vật Hỏi vận tốc cảu vật giây thứ 10 bao nhiêu?

A 10 m/s. B 15,2 m/s. C 13,2 m/s. D 12 m/s.

Vận tốc vật thời điểm t tính theo cơng thức:     3 ln 1

v t a t dt dt t C

t

    



 

Vì vận tốc ban đầu (lúc t 0) vật v0 6m s/ nên:  0 3ln 6   ln v       C C v t  t 

Vận tốc vật chuyển động giây thứ 10 là: v 10 3 ln 10 1  6 13, 2m s/  Bài tập Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc   2 2

/

24 16

a t   t  t m s , t khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát Hỏi vào thời điểm (s) sau xuất phát vận tốc vận động viên bao nhiêu?

A 5,6 m/s. B 6,51 m/s. C 7,26 m/s. D 6,8 m/s.

Hướng dẫn giải Chọn B

Vận tốc v t nguyên hàm gia tốc   a t nên ta có: 

    5

24 16 96 48

v t  a t dt  t  t dt  t  t C

 

 

Tại thời điểm ban đầu t 0 vận động viên vị trí xuất phát nên vận tốc lúc là:

 

0

1

0 0 0 0

96 48

v  v         C C

Vậy công thức vận tốc  

96 48

v t   t  t

Vận tốc vận động viên giây thứ v 5 6,51m s/ Chú ý: Gia tốc vật chuyển động    2

/

a t m s

t 

 Ta tính v t a t dt  , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v0 6m s/ Suy cơng thức tính vận tốc v t thời điểm t tính  v 10

Bài tập Một nhà khoa học tự chế tên lửa phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu 20 m/s Giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chịu tác động trọng lực Hỏi sau 2s tên lửa đạt đến tốc độ bao nhiêu?

A 0,45 m/s. B 0,4 m/s. C 0,6 m/s. D 0,8 m/s.

Hướng dẫn giải Chọn B

Xem thời điểm t  nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s Ta có 0  0

Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường thời điểm t

 

9,8 /

n

s t   m s

Nguyên hàm gia tốc vận tốc nên ta có vận tốc tên lửa thời điểm t

  9,8 9,8

v t   dt  tC