Mặt cầu Toán 12 A Lý thuyết I Với Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức (2022) Toán 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn cầu và các khái niệm liên qu[.]
Mặt cầu - Toán 12 A Lý thuyết I Với Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức (2022) - Toán 12 biên soạn bám sát chương trình Tốn 12 giúp bạn học tốt mơn Tốn cầu khái niệm liên quan đến mặt cầu Mặt cầu - Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r (r > 0) gọi mặt cầu tâm O, bán kính r Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r S(O; r) hay viết tắt (S) Như ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r} - Nếu hai điểm C; D nằm mặt cầu S(O; r) đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu - Dây cung AB qua tâm O gọi đường kính mặt cầu Khi đó, độ dài đường kính 2r - Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính biết đường kính mặt cầu Ví dụ Cho tứ diện ABCD có O trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện Tìm tập hợp điểm M không gian thỏa mãn hệ thức Lời giải: a (với a > không đổi) Gọi E; F trung điểm cạnh AB CD Suy O trung điểm EF Ta có: Vậy tập hợp điểm M cần tìm khơng gian mặt cầu tâm O bán kính r= Điểm nằm nằm ngồi mặt cầu Khối cầu Cho mặt cầu tâm O bán kính r A điểm khơng gian - Nếu OA = r ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; r) - Nếu OA < r ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; r) - Nếu OA > r ta nói điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r) Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O; r) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O, bán kính r Biểu diễn mặt cầu - Ta thường dùng phép chiếu vng góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu Khi đó, hình biểu diễn mặt cầu hình trịn - Muốn cho hình biểu diễn mặt cầu trực quan ta thường vẽ thêm hình biểu diễn số đường trịn nằm mặt cầu Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu Ta xem mặt cầu mặt tròn xoay tạo nên nửa đường trịn quay quanh trục chứa đường kính nửa đường trịn Khi đó, giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ trục mặt cầu gọi kinh tuyến mặt cầu, giao tuyến (nếu có) mặt cầu với mặt phẳng vng góc với trục gọi vĩ tuyến mặt cầu Hai giao điểm mặt cầu với trục gọi hai cực mặt cầu II Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) Khi h = OH khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) Ta có ba trường hợp sau: Trường hợp h > r Nếu M điểm mặt phẳng (P) OM ≥ OH Từ suy OM > r Vậy điểm M thuộc mặt phẳng (P) nằm mặt cầu Do đó, mặt phẳng (P) khơng có điểm chung với mặt cầu Trường hợp h = r - Trong trường hợp điểm H thuộc mặt cầu S (O; r) Khi đí, với điểm M thuộc mp(P) khác với H ta ln có: OM > OH = r nên OM > r Như vậy, H điểm chung mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Khi ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) H - Điểm H gọi tiếp điểm mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P), mp(P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu Vậy ta có: - Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) điểm H (P) vng góc với bán kính OH điểm H Trường hợp h < r - Trong trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn tâm H; bán kính - Đặc biệt h = tâm O mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu S(O; r) đường trịn tâm O bán kính r Đường trịn gọi đường tròn lớn Mặt phẳng qua tâm O mặt cầu gọi mặt phẳng kính mặt cầu III Giao mặt cầu với đường thẳng.Tiếp tuyến mặt cầu Cho mặt cầu S(O; r) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu vng góc tâm O ∆ d = OH khoảng cách từ O đến ∆ Nếu d > r ∆ khơng cắt mặt cầu S(O; r), với điểm M thuộc ∆ ta có OM > r điểm M thuộc ∆ nằm mặt cầu Nếu d = r điểm H thuộc mặt cầu S(O; r) Khi đó, với điểm M thuộc ∆ khác H ta ln có: OM > OH = r nên OM > r - Như H điểm chung mặt cầu S(O; r) đường thẳng ∆ Khi đó, ta nói đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) H Điểm H gọi tiếp điểm ∆ mặt cầu Đường thẳng ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu - Vậy: Điều kiện cần đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) điểm H ∆ vng góc với bán kính OH điểm H Nếu d < r đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S(O; r) hai điểm M; N phân biệt Hai điểm giao điểm đường thẳng ∆ với đường tròn giao tuyến mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (O; ∆) - Đặc biệt, d = đường thẳng ∆ qua tâm O căt mặt cầu hai điểm A; B Khi đó, AB đường kính mặt cầu - Nhận xét: a) Qua điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r) có vơ số tiếp tuyến mặt cầu Tất tiếp tuyến vng góc với bán kính OA mặt cầu A nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm A b) Qua điểm A nằm mặt cầu S(O; r) có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu cho Các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A Khi độ dài đoạn thẳng kẻ từ A đến tiếp điểm - Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, cịn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu IV Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu - Mặt cầu bán kính r có diện tích là: S = 4πr2 Câu 3: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S,ABC , biết cạnh đáy có độ dài a , cạnh bên SA = Lời giải: Câu 4: Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Lời giải: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi G, G; tâm hai đáy ABC A'B'C' Ta có GG' trục tam giác ABC A'B'C' Gọi O trung điểm GG' O cách đỉnh hình lăng trụ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu R = OA Xét tam giác OAG vuông G , ta có: Câu 5: Cho mặt cầu tâm O bán kính R điểm A khơng gian Điểm A khơng nằm ngồi mặt cầu khi: A OA = R B OA ≤ R C OA < R D OA > R Lời giải: Đáp án B Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vg cân đỉnh B BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a Khẳng định sau đúng? A Điểm S nằm mặt cầu tâm A bán kính a B Điểm S nằm mặt cầu tâm A bán kính 2a C Điểm C nằm mặt cầu tâm A bán kính 2a D Cả ba điểm S, B, C nằm mặt cầu tâm A bán kính 2a Lời giải: Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a AC = Đáp án C Câu 7: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R mặt phẳng (P) Kí hiệu h khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) có nhiều điểm chung với mặt cầu (S) : A h ≤ R B h ≥ R C h > R D h < R Lời giải: Từ vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án D Câu 8: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R đường thẳng d Kí hiệu h khoảng cách từ O đến đường thẳng d Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu: A h ≤ R B h = R C h > R D h < R Lời giải: Từ vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) đường thẳng d tiếp xúc cắt mặt cầu (S) Đáp án A Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh 2a, SA vng góc với đáy SA = a Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là: A 2a B a Lời giải: Ta có mặt cầu S(A;r) tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) r = d(A; (SBC)) Hạ AH ⊥ SB H Do BC ⊥ AB BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) , suy BC ⊥ AH Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay d(A; (SBC)) = AH Xét tam giác vng SAB ta có: Đáp án D Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a SA vng góc với đáy, góc cạnh bên SB đáy 45o Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo đường trịn có bán kính a là: Lời giải: Ta có mặt cầu S(A;r) cắt mặt phẳng (SBD) theo đường trịn có bán kính a ta có Ta có: Hạ AK ⊥ BD K, hạ AH ⊥ SK H Do BD ⊥ AK BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK) , suy BD ⊥ AH Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ (SBDB) hay d(A; (SBD)) = AH Xét tam giác vuông SAK tam giác vng ABD ta có: Khi ta có: Đáp án C II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a, SA vng góc với đáy SA = 2a Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với SC theo a : ... giao tuyến (nếu có) mặt cầu với mặt phẳng vng góc với trục gọi vĩ tuyến mặt cầu Hai giao điểm mặt cầu với trục gọi hai cực mặt cầu II Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Gọi... mặt cầu Ta xem mặt cầu mặt tròn xoay tạo nên nửa đường trịn quay quanh trục chứa đường kính nửa đường trịn Khi đó, giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ trục mặt cầu gọi kinh tuyến mặt cầu, ... chung mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Khi ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) H - Điểm H gọi tiếp điểm mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P), mp(P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu