Chuyên đề Lũy thừa Toán 12 A Lý thuyết I Khái niệm lũy thừa 1 Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a an = a a a a ([.]
Chuyên đề Lũy thừa - Toán 12 A Lý thuyết I Khái niệm lũy thừa Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n số nguyên dương Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a tích n thừa số a an = a.a.a… a (n thừa số a) Với a ≠ 0, ta có: a0 = Trong biểu thức am ; ta gọi a số, số nguyên m số mũ – Chú ý: 00 0–n khơng có nghĩa Lũy thừa với số mũ ngun có tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương Ví dụ Tính giá trị biểu thức: Lời giải: Phương trình xn = b Đồ thị hàm số y = x2k + có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4 Từ đó, ta có kết biện luận số nghiệm phương trình xn = b sau: a) Trường hợp n lẻ: Với số thực b, phương trình có nghiệm b) Trường hợp n chẵn: Với b < 0, phương trình vơ nghiệm Với b = , phương trình có nghiệm x = Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối Căn bậc n a) Khái niệm: Cho số thực b số nguyên dương n ( n ≥2) Số a gọi bậc n số b an = b Ví dụ Căn bậc ba 27 Căn bậc bốn 256 – – Từ định nghĩa kết biện luận số nghiệm phương trình x n = b; ta có: Với n lẻ b∈R: Có bậc n b, kí hiệu Với n chẵn : + b < : không tồn bậc n b + b = 0: có bậc n b số + b > 0: có hai trái dấu; kí hiệu giá trị dương bn; cịn giá trị âm b) Tính chất bậc n Từ định nghĩa ta có tính chất sau: Ví dụ Rút gọn biểu thức: Lời giải: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ – Cho số thực a dương số hữu tỉ ; m ∈ℤ; n ∈ℕ; n≥2 Lũy thừa a với số mũ r số ar xác định bởi: Ví dụ Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a số dương, α số vô tỉ Ta thừa nhận rằng, ln có dãy số hữu tỉ (rn) có giới hạn α dãy số tương ứng arn có giới hạn khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy số (rn) – Ta gọi giới hạn dãy số arn thừa số a với số mũ α, kí hiệu aα – Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1α =1 ; ( α∈ℝ) II Tính chất lũy thừa với số mũ thực Cho a; b số thực dương, α, β số thực tùy ý Khi đó, ta có: Nếu a > aα > aβ α > β Nếu a < aα > aβ α < β Ví dụ Rút gọn biểu thức: Lời giải: Với a > ta có: Ví dụ So sánh số Lời giải: B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Biểu thức biểu thức đây? A a-2 + b-2 B a-2 - b-2 C a2 + b2 D a-6 - b-6 Lời giải: Sử dụng đẳng thức α2 - β2 = (α + β)(α - β), ta có Chọn đáp án A Bài 2: Cho a b số dương thỏa mãn đồng thời ab = ba b=9a Tìm a Lời giải: Thế b=9a vào đẳng thức lại ta a9a = (9a)a => (a9)a => a9 = 9a => a8 = ( a > 0) Chọn đáp án B Bài 3: Biết (a + a-1)2 = Tính giá trị a3 + a-3 A.0 B C D Lời giải: Sử dụng đẳng thức ta có Mặt khác => a3 + a-3 Chọn đáp án A Bài 4: Biết x = + 2t y = + 2-t Hãy biểu diễn y theo x Lời giải: Từ giả thiết ta có x - = 2t Chọn đáp án D Bài 5: Biểu thức 2222 có giá trị A 28 B 216 C 162 D 44 Lời giải: 2222 = 224 = 216 (24 = 16) Chọn đáp án B Bài 6: A B -2 C 116 D 16 Lời giải: Chọn đáp án A Bài 7: Tính giá trị biểu thức Lời giải: Chọn đáp án D Bài 8: Giá trị biểu thức sau 0,0000000375? Lời giải: Viết lại 0,0000000375 = 375.1010 Trong số phương án có (38)10-7 = 0,735.10-7 = 375.10-10 Chọn đáp án C Bài 9: Tính giá trị biểu thức 2560,16.2560,09 A.4 B 16 C 64 D 256,25 Lời giải: Chọn đáp án A Bài 10: Rút gọn biểu thức Lời giải: Chọn đáp án D II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Tính giá trị biểu thức Lời giải: Bài 2: Rút gọn biểu thức viết kết cho lũy thừa dương Lời giải: Bài 3: Nếu x > y > Lời giải: Bài 4: Với x ≥ Lời giải: Bài 5: Biểu thức a3 + a-3 Lời giải: Bài 6: Nếu 21998 - 21997 - 21996 + 21995 = k.21995 giá trị k là? Lời giải: 21998 - 21997 - 21996 + 21995 = 21995(23 - 22 - + 1) = 3.21995 = k.21995 => k = Bài 7: Cho a,b,x số dương thỏa mãn (2a)2b = ab.xb Khi x Lời giải: (2a)2b = ab.xb ⇔ [(2a)2 ]b = (a.x>b) ⇒(4a2)b = (ax)b ⇒ 4a2 = ax ⇒ x = 4a Bài 8: Trong phịng thí nghiệm, khối lượng 50 giọt máu cân 0,532 gam Biết khối lượng riêng máu 1060kg/m3 giọt máu hình cầu có khối lượng nhau.Tính đường kính giọt máu Lời giải: Bài 9: Tính số nguyên n lớn thỏa mãn n200 < 5300 Lời giải: Ta tìm n số nguyên dương Khi n200 < 5300 (n2)100 < (53)100 n2 < 53 = 125 n < ≈ 11,18 Ta thấy số nguyên dương n lớn thỏa mãn n = 11 Bài 10: Giả sử a số thỏa mãn a + a-1 = Tính giá trị biểu thức a4 + a-4 Lời giải: a + a-1 = ⇔ 16 = (a + a-1)2 = a2 + + a-2 ⇒ 14 = a2 + a-2 => 196 = (a2 + a-2)2 = a4 + + a-4 => a4 + a-4 = 194 III Bài tập vận dụng Bài Cho Giữa x y có hệ thức sau đây? Bài Rút gọn biểu thức Bài Rút gọn biểu thức: Bài Biểu thức (x-1 + y-1)-1 bằng? Bài Nếu 102y = 25 10-y bằng? Bài Rút gọn biểu thức P = 23.a3b2.(2a-1b2)-2 Bài Bài Tính Bài Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 y = x4 (H.26, H.27), biện luận theo b số nghiệm phương trình x3 = b x4 = b Bài 10 Chứng minh tính chất ... giải: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ – Cho số thực a dương số hữu tỉ ; m ∈ℤ; n ∈ℕ; n≥2 Lũy thừa a với số mũ r số ar xác định bởi: Ví dụ Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a số dương, α số vô tỉ Ta thừa. .. chọn dãy số (rn) – Ta gọi giới hạn dãy số arn thừa số a với số mũ α, kí hiệu aα – Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1α =1 ; ( α∈ℝ) II Tính chất lũy thừa với số mũ thực Cho a; b số thực dương, α,... luận có lời giải Bài 1: Tính giá trị biểu thức Lời giải: Bài 2: Rút gọn biểu thức viết kết cho lũy thừa dương Lời giải: Bài 3: Nếu x > y > Lời giải: Bài 4: Với x ≥ Lời giải: Bài 5: Biểu thức a3