Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân... Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa cùng số cùng số mũ + Nếu hai luỹ thừa có cùng số (lớn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn lớn Nếu m>n thì am>an (a>1) + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có số lớn lớn Nếu a>b thì an>bn ( n>0) Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân (a<b thì a.c<b.c với c>0) Ví dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn Hướng dẫn: Các số 32 và 16 khác là luỹ thừa lên ta tìm cách đưa 3210 và 1615 luỹ thừa cùng số 3210 = (25)10 = 250 1615 = (24)15 = 260 Vì 250 < 260 suy 3210 < 1615 Bài tập 1: So sánh: Bài 1: So sánh các số sau? a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n N* ) Hướng dẫn: a) Đưa cùng số b) Đưa cùng số c) Đưa cùng số mũ 12 d) Đưa cùng số mũ n 23 22 13 16 Bài 2: a) và 6.5 b) 7.2 và c) 2115 và 275.498 Hướng dẫn: a) Đưa hai số dạng tích đó có thừa số giống 522 b) Đưa hai số dạng tích đó có thừa số giống là 213 c) Đưa hai số dạng tích luỹ thừa số là và Bài 3: a) 19920 và 200315 Bài 5: 27 và 72 b) 339 và 1121 Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49 Hướng dẫn : Vì 128 > 49 nên 27 > 72 a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540 Bài a) 95 và 273 b) 3200 và 2300 200315 > 200015 = (2.103)15 = (24 53)15 = a) Ta có: 95 = (32)5 = 310 260.545 273 = (33 )3 = 39 b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121 Vì 310 > 39 nên 95 > 273 Bài 4: So sánh hiệu,hiệu nào lớn hơn? b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 72 45-7244và 72 44-7243 2300 = (23) 100 = 8100 Hướng dẫn: Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300 c, 3500 và 7300 7245-7244=7245(72-1)=7245.71 7244-7244=7244(72-1)=7244.71 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 (2) 7300 = 73.100 (73 )100 = (343)100 Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300 d, 85 và 47 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47 => 85 < 47 e, 202303 và 303202 202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101 Ta so sánh 2023 và 3032 2023 = 23 101 1013 và 3032 => 3032 < 2023 3032 = 33 1012 = 9.1012 303202 < 2002303 f, 321 và 231 321 = 20 = 910 ; 231 = 230 = 810 910> 810 => 321 > 231 g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 371320 = (372)660 = 1369660 Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979 (3) Bài 7: So sách các cặp số sau: a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315 và B = (35)3 = 315 Vậy A = B b/ A = 300 và B = 3200 A = 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100 Vì < nên 8100 < 9100 và A < B Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 và 1714 Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn a) 1030 và 2100 b) 333444 và 444333 c) 1340 và 2161 d) 5300 và 3453 Bài 2: So sánh các số sau a) 5217 và 11972 b) 2100 và 10249 c) 912 và 27 d) 12580 và 25118 e) 540 và 62010 f) 2711 và 818 Bài 3: So sánh các số sau a) 536 và 1124 b) 6255 và 1257 c) 32n và 23n (n N * ) d) 523 và 6.522 Bài 4: So sánh các số sau a) 7.213 và 216 b) 2115 và 275.498 c) 199 20 và 200315 d) 339 và 1121 Bài 5: So sánh các số sau a) 7245 7244 và 7244 7243 b) 2500 và 5200 c) 3111 và 1714 d) 324680 và 237020 e) 21050 và 5450 g) 52 n và 25 n ; ( n N ) Bài 6: So sánh các số sau a) 3500 và 7300 999910 d) 202303 và 303202 371320 h) 1010 và 48.505 Bài 7: So sánh các số sau a) 10750 và 7375 b) 85 và 3.47 c) 9920 và e) 321 và 231 g) 111979 và i) 199010 19909 và 199110 b) 291 và 535 c) 544 và 2112 (4) 2100 Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số cách viết hệ thập phân Bài giải: 100 Muốn biết có bao nhiêu chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh với 1030 và 1031 * So sánh 2100 với 1030 Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So sánh 2100 với 1031 Ta có: 2100 = 231 269 = 231 263 26 = 231 (29)7 (22)3 = 231 5127 43 (1) 1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53 = 231 6257 53 (2) Từ (1) và (2) ta có: 231 5127 43 < 231 5127 53 Hay 2100 < 1031 ( **) Từ (*),( **) ta có: 1031 < 2100 < 1031 Số có 31 chữ số nhỏ Số có 32 chữ số nhỏ 100 Nên có 31 chữ số cách viết hệ thập phân Bài 10: So sánh A và B biết a) A = 19 30 19 31 ; B = 19 31 19 32 218 20 ; B = 20 22 c) A = ; B = b) Bài giải: 19.(19 30 5) 19 19 31 95 90 Nên 19A = = = + 31 31 31 31 19 19 19 19 31 31 32 19.(19 5) 19 19 95 90 B = 32 nên 19B = = = + 19 19 32 19 32 19 32 90 90 Vì 31 > 32 19 19 30 A= (5) 90 90 > + 32 Hay 19A > 19B Nên A > B 19 19 2 (218 3) 218 20 12 b) A = 20 nên A = = 20 = - 20 22 3 3 3 3 20 20 22 (2 3) 3 12 B = 22 nên 22.B = = 22 = 1- 22 22 3 3 3 3 9 9 Vì 20 > 22 Suy - 20 < 1- 22 Hay 22 A < 22 3 3 3 3 Suy + 31 B Nên A < B c) Ta có: A= = (5 ) 5(1 ) (1) 8 Tương tự B = ( 2) Từ (1) và (2) Ta có 1 A= +5>5>4> + =B nên A > B Bài tập 10: Cho A = + + 22 + +230 Viết A + dạng lũy thừa Bài 4: Tìm x N biết a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 b) + + + + 99 = (x -2)2 Bài giải: 3 3 a) + + + + 10 = (x +1)2 ( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 55 = x +1 x = 55- x = 54 b) + + + + 99 = ( x -2)2 99 1 = ( x - 2) 502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + (6) x = 52 ( Ta có: + + 5+ + ( 2n+1) = n2) Bài 5: Tìm cặp x ; y N thoả mãn 73 = x2 - y2 Ta thấy: 73 = x2 - y2 ( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2 Vậy cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 Bài 2: Tìm x N* biết A = 111 - 777 là số chính phương x chữ số x chữ số Bài giải: + Nếu x = Ta có: A = 11 - = = 22 (TM) + Nếu x > Ta có A = 111 - 777 = 34 2x chữ số x chữ số mà 34 Suy A không phải là số chính phương ( loại) Vậy x = c) Dùng tính chất chia hết Bài 1: Tìm x; y N biết: 35x + = 5y *)Nếu x = ta có: 350 + = 2.5y 10 = 2.5y 5y = y =1 *) Nếu x >0 + Nếu y = ta có: 35x + = 2.50 35x + = ( vô lý) + Nếu y > ta thấy: 35x + vì ( 35x ; ) Mà 5y ( vô lý vì 35x + = 2.5y) Vậy x = và y = Bài 1: Tính tổng A = + + 22+ + 2100 (7) B = - 32 + 33 - - 3100 Bài giải: 100 A = + + + + => 2A = + 22 + 23 + + 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100) Vậy A = 2101 - B = - 32 - 33 - - 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101) 4B = - 3101 Vậy B = ( 3- 3101) : Bài 2: a) Viết các tổng sau thành tích: 22 ; 22 23 ; 22 23 24 b) Chứng minh rằng: A 22 23 22004 chia hết cho 3; và 15 Bài 3: a) Viết tổng sau thành tích 34 35 36 37 b) Chứng minh rằng: B 32 399 M40 Bài 4: Chứng minh rằng: a) S1 52 53 52004 M6;31;156 b) S 22 23 2100 M31 c) s3 165 215 M33 Bài Tính các tổng sau cách hợp lý a) A 20 21 22 22006 b) B 32 3100 c) C 42 43 4n d) D 52 52000 Bài Cho A 22 23 2200 Hãy viết A+1 dạng luỹ thừa Bài Cho B 32 33 32005 CMR: 2B+3 là luỹ thừa Bài Cho C 22 23 22005 CMR: C là luỹ thừa Bài 9: Chứng minh rằng: a) 55 54 53 M7 b) 76 75 M 11 c) 109 108 107 M222 e) 106 57 M59 g) 3n 2n 3n 2n M 10n N * h) 817 279 913 M45 i) 810 89 88 M55 k) 109 108 107 M555 Bài 10 Tính nhanh a S = + + 22 + 23 + + 262 + 263 b S = + +32+ 33+ + 320 c S = + + 42 + 43+ + 449 Bài 11 Tính tổng a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 b) B = - 74 + 74 - + 7301 Bài giải: 200 a) A = + + + + + 25 A = 52 + 54+ + 5202 (8) 25 A - A = 5202 - Vậy A = ( 5202 -1) : 24 b) Tương tự B= 304 73 1 Bài 3: Tính 1 1 + + + + 100 7 7 4 4 B = + - + + 200 5 5 A= Bài giải: 1 1 + + + + 100 7 7 1 7A = + + + + 99 7 1 => 7A - A = - 100 A = 1 100 : 4 4 B = + - + + 200 5 5 4 5B = -4 + + + + 201 5 B+5B = -4 + 200 B = 200 : A= Bài 3: Tính A = 25 28 25 24 25 20 25 25 30 25 28 25 26 25 Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 + +252 + = (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252) = (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1) = (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252) Vậy A = 1 25 = 626 Bài tập 11: Viết 2100 là số có bao nhiêu chữ số tính giá trị nó Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abc biết (a + b + c)3 = abc (a b c) Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd (9) (a + b + c + d)4 = abcd (10)