Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên gồm lý thuyết kiến thức về lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán giúp các em củng cố kiến thức để giải các bài toán vận dụng. Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết các bài tập.
Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA A Lý thuyết: Khái niệm: a a.a.a a (a 0, n N ) nthuaso Quy ước: a1 = ; a0 = 1; 0n = ( n thuộc N*) a2 : bình phương a ( a ≠ 0) ; a3 : lập phương a ( a ≠ 0) Các tính chất: Với a, b ≠ ; m, n thuộc N am an a mn ; a m : an a mn ;(a m )n a( m ) ;(a m )n a m.n ;(a.b)n a m a n n B Bài tập Bài 1: Tính gi{ trị c{c biểu thức sau a A 310.10 310.6 39.22 11.322.37 915 b B (2.314 ) 2 3610.2515 c C 308 11.322.37 915 e E (2.314 ) 212.14.126 d D 355.6 49.36 64 49.4.9 412 410.(9 42 ) F 4 f 100.164 100.48 48.100 Lời giải a A 310.10 310.6 39.22 310.(10 6) 310.24 3 39.24 11.322.37 915 11.329 330 329 (11 3) 3.8 6 b B (2.314 )2 4.328 4.328 3610.2515 (62 )10 (52 )15 620.530 8 612.522 c C 8 30 (6.5) 212.14.126 32.72.2.7.2.32.7 22.34.74 d D 5 35 2.3 2.3 7 11.322.37 915 2 e E (2.314 ) 49.36 64 49.4.9 412 410.(9 42 ) 4 f F 100.164 100.48 48.100 Bài 2: Viết c{c tích sau dạng lũy thừa a 3y 3y 3y ( y ≠ 0) 100 c z z z x ( z 0) 100 b x x x ( x 0) d (m1 )2 (m2 )3.(m3 )4 (m99 )100 (m 0) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải a 3y 3y 3y ( y ≠ 0) = (3y)3 b x1.x2 x100 x12 100 x5050 ( x 0) 100 c z z z x ( z 0) z147 100 z (1001).34:2 z101.17 3 99 100 d (m ) (m ) (m ) (m ) (m 0) m m m 1.2 2.3 99.10 m 99.100.101 Bài 3: Tính tổng sau a A 2 b B 2015 2016 Lời giải a A 2015 A 22 23 22016 A A A 22016 1 2016 b B 3B 1 2 2017 2B 2017 32017 1 B Bài 4: Tính S = + + + + < + 8192 Lời giải: S 20 21 213 2S 22 214 S 214 1 16383 Bài 5: Viết tổng sau th|nh bình phương số tự nhiên a 13 b 13 + 23 c 13 + 23 +33 d 13 + 23 + 33 +43 e phát biểu dạng tổng quát ( không cần chứng minh ) Lời giải: a 13 = 12 ; b (1+2)2 ; c (1+2+3)2 ; d (1+2+3+4)2 e 13 + 23 + 33 +43 + 0) a > b Dạng 1: Biến đổi số số mũ Bài 1: Hãy so sánh a 1287 424 c 536 1124 b 818 2711 d 3260 8150 e 3500 7300 Lời giải : 1287 (27 )7 249 1287 424 a Có : 24 24 24 (2 ) 818 332 818 2711 b 11 33 27 536 12512 536 1124 c 24 12 11 121 3260 2300 8100 3260 8150 d 50 200 100 81 3500 243100 3500 7300 e 300 100 343 Bài 2: Hãy so sánh a 1619 825 b 2711 818 e 7.213 216 f 5100 3500 b 6255 1257 d 523 6.522 g 230 330 430 3.2410 Lời giải a 1619 (24 )19 276 ;825 (23 )25 275 276 275 1619 825 b 2711 (33 )11;81 (34 ) 332 333 332 2711 818 c 625 (5 ) 20 ;125 (5 ) 125 625 5 21 d 5.5 6.5 6.5 23 22 22 22 23 e 7.2 8.2 12 7.2 13 13 13 16 16 13 f 5300 (53 )100 125100 & 3500 (33 )100 243100 5300 3500 g 430 (2 ) 30 (2.2) 30 230.230 (23 )10 (2 )15 810.315 810.310.3 (8.3)10 2410.3 Vậy 230 330 430 3.2410 Bài 2: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( n 1)2 a 32n.(n+2) (n N ) b 256n 16n+5 với n N Lời giải: 32 n ( n 2) 9n ( n 2) 9n 2 n ( n 1) n n 1 a Ta có: n 2n n 2n 2 ( n 1)2 9n.( n 2) 9( n 1) 32 n ( n 2) (n N ) 9 b 256n = 162n suy toán trở thành so sánh 2n n + +) Nếu 2n > n + n +) Nếu 2n = n + n +) Nếu 2n < n + n Vậy: Nếu ≤ n < 256n > 162n Nếu n = 256n = 162n ; Nếu n > 256n < 162n Bài 3: Chứng minh rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải: 263 (29 )7 3127 63 27 63 (1); 28 528 (2) 527 263 528 63 9 7 (2 ) 128 (5 ) 625 527 1259 Dạng 2: Đƣa tích có thừa số giống Bài 1: Hãy so sánh a 2115 275 498 b 20152015 – 20152014 20152016 – 2015 2015 d d A 7245 7244 ; B 7244 7243 c 201510 + 20159 201610 - 20152015 e 7150 3775 Lời giải: a 21 ;27 49 21 27 49 15 b 15 15 15 16 15 20152015 20152014 20152014 (2015 1) 2014.20152014 20152016 20152015 2014.20152015 c 2015 2015 2015 (2015 1) 2016.2015 ;2016 2016.2016 10 9 10 d A= 7244 (72 1) 7244.71 B 7243 (72 1) 7243.71 A B e Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150 3150 (2) mà 2150 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 3775 > 7150 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 2: Hãy so sánh a 3210 2350 b 231 321 c 430 3.2410 d 202303 303202 Lời giải : 2770 ;2350 3270 3210 2350 210 a b 2.2 2.8 ;3 3.3 3.9 31 30 c 30 10 21 20 10 21 31 260 230.230 ;3.2410 3.(3.8)10 311.230 430 3.2410 202303 (2.101)303 2303.101303 2303.1013.101 8101.1013.101 8101.101101.1012.101 d 303202 (3.101)2.101 32.101.101 2.101 9101.1012.101 202303 303202 Bài 3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA – PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP Dạng 1: So sánh thông qua lũy thừa trung gian - Để so s{n h lũy thừa A B, ta tìm lũy thừa M cho: A < M < B hoặc: A >M>B Trong đó: A v| M ; M B so sánh trực tiếp Bài 1: Hãy so sánh b 19920 ;200315 a 2225 3151 c 291 536 Lời giải: 225 75 75 75 75 150 151 a (2 ) (3 ) A B M b Ta có: 199 200 (8.25) (2 )20 (2 ) 20 20 20 3 20 60 40 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 260.545 260.540 200315 19920 91 90 18 18 18 36 c (2 ) 32 25 A M B Bài 2: So sánh a 9920 910.1130 b 96142 100.2393 Lời giải: 9920 [(99) ]10 980110 (223 )10 2230 ; a 2230 (2.11)30 230.1130 810.1130 910.1130 96142 100042 10126 100.10124 ; b 100.2393 100.(233 )31 100.(104 )31 100.10124 96142 100.2393 Bài 3: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a 199010 + 19909 199110 c 3339 ;1121 b 10750 7375 Lời giải: a 1990 1990 1990 (1990 1) 1991.1990 1991.1991 1991 10 9 b 107 108 (4.27) 50 50 50 9 10 2100.3150 ;7375 7275 (8.9)75 2225.3150 7375 10750 c Ta có: (3 ) 81 39 40 10 10 1121 1120 (112 )10 12110 12110 1120 1121 339 Bài 4: So sánh a 9920 999910 b 85 3.47 c 202303 303202 d 1010 48.505 Lời giải 2 10 10 20 10 a Ta thấy : 99 < 99.101 = 9999 => (99 ) < 9999 hay 99 < 9999 15 14 14 7 b Ta có: = = 2.2 < 3.2 = 3.4 => < 3.4 c Ta có: 202 303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 10 10 10 10 d Ta có : 10 = = 2 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Từ (*) v| (**) => 1010 < 48 505 Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải Với b|i n|y , học sinh lớp không định hướng c{ch l|m , gi{o viên gợi ý: chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) Từ (1) v| (2) => 527 < 263 < 52 Dạng 2: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian - Để so s{nh hai lũy thừa A v| B, ta tìm hai lũy thừa X y cho: A < X < Y < B A > X > Y > B Trong c{c lũy thừa A X ; X Y ; Y B so sánh trực tiếp Bài 1: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a 1720 3115 b 19920 10024 c 3111 1714 Lời giải: 20 20 80 75 15 15 15 a 17 16 (2 ) 32 31 A X B Y 20020 220.10020 (23 )7 10020 107.10020 10024 20 b 199 c 31 32 ;17 16 31 17 11 11 55 14 56 11 14 Bài 2: So sánh a 111979 371321 b 10750 5175 c 3201 6119 Lời giải: 111979 111980 (113 )660 1331660 ; a 371321 371320 (372 )660 1369660 1331660 111979 b 107 150 (3.50) 50 201 c 50 50 925.5050 5025.5050 5075 5175 3200 (35 )40 24340 ;6119 6120 (63 )40 21640 3201 6119 Bài 3: Chứng minh : 21995 < 5863 Lời giải Có 210 =1024, 55 =3025 210 (211)24 > (211) 26 = 2270 21720.2270 < 21720 3172 < 5860 Vậy 21990 3n => 35 > 3n 32 => > n , n nguyên dương Vậy n = 4; 3; Bài 14: Tìm số nguyên n lớn cho: n200 < 6300 Lời giải Ta có: n200 = (n2)100 ; 6300 = (63)100 = 216100 Để n200 < 6300 (n2)100 < 216100 n2 < 216 n Z (*) Số nguyên lớn thoã mãn (*) l| n = 14 Bài 15: Tìm c{c số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 Lời giải Ta giải bất đẳng thức 364 < n48 n48 < 572 Ta có : n48 > 364 (n3)16 > (34)16 (n3)16 > 8116 n3 > 81 Vì n Z nên n > (1) Mặt kh{c n48 < 572 (n2)24 < (53)24 (n2)24 < 12524 n2 < 125 n Z => -11 n 11 (2) Từ (1) (2) => < n 11 Vậy n 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 * Từ tốn thay đổi câu hỏi để đƣợc tốn sau: Số1: Tìm tổng c{c số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 ( giải tương tự ta có c{c số nguyên n thỗ mãn 5+6+7+8+9+10+11=56) Số2: Tìm tất c{c số nguyên có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 5; 6; 7; 8; 9;) Số3: Tìm tất c{c số ngun có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 10; 11) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com BÀI 6: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA A PHƢƠNG PHÁP Nội dung tốn : Tìm x để VT (x) = VP , ta đ{nh gi{ sau : - Nếu x > x0 VT(x) > VP - Nếu x < x0 VT(x) < VP - Nếu x = x0 VT(x) = VP Kết luận x = x0 giá trị cần tìm Bài 1: Tìm STN x > , thỏa mãn : a 4x-1 + 4x = b 3x + 32x-1 = 2268 Lời giải : a Nhận thấy x > 4x-1 > 41-1 = 40 = ; 4x > 41 = 4x-1 + 4x > ( loại ) +) Nếu x = 4x-1 + 4x = 40 + 41 = = VP ( thỏa mãn ) Vậy x = thỏa mãn toán b Nhận thấy x = : VT = VP +) Nếu x > 3x + 32x-1 > 34 + 37 = 2268 ( Loại) +) Nếu ) < x < 3x + 32x-1 < 2268 = VP ( Loại ) Bài 2: Tìm STN x , thỏa mãn a 2x + 5x + 7x = 14 b 2x + x = 20 c 2x = 46 – 3x (1) Lời giải : a Nhận thấy +) Nếu x = 2x + 5x + 7x = ≠ 14 ( Loại ) +) Nếu x = thỏa mãn +) Nếu x > 2x + 5x + 7x > 14 ( Loại ) Vậy x = b Nhận thấy +) Nếu x = 2x + x = 20 ( thỏa mãn ) +) Nếu x > 2x + x > 24 + = 20 ( Loại ) +) Nếu < x < 2x + x < 24 + = 20 ( Loại ) Vậy x = c 2x = 46 – 3x 2x + 3x = 46 +) Nếu x ≥ 2x ≥ 25 = 32 ; 3x ≥ 3.5 = 15 2x + 3x ≥ 47 > 46 ( Loại ) +) Nếu x ≤ 2x ≤ 24 = 16 ; 3x ≤ 3.4 =12 2x + 3x ≤ 28 < 46 ( Loại ) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com Vậy không tồn giá trị x thỏa mãn tốn Bài 3: Tìm x thuộc N, biết: 3x + 3x+1 + 2x+2 = 388 (1) Lời giải : Nếu x < , VT(1) < VP (1) Loại Nếu x > , VT > VP Loại Nếu x = VT = VP ( thỏa mãn ) Vậy x =4 Bài 4: Tìm x , y , z thuộc N , biết : x ≤ y ≤ z v| : 2x + 3y + 5z = 156 (1) Lời giải : Từ (1) 5z < 165 z ≤ z 0,1, 2,3 +) Nếu z = x ≤ y ≤ 3, thay v|o (1) ta : 125 156 31(2) x y x y Ta có : 3y < 31 v| y ≤ +) Nếu y = 3, thay v|o (2) ta : 2x = 4 x = ( thỏa mãn) Vậy x = ; y = ; z = Cách khác : Ta có : 5z < 156 z ≤ +) z = x ≤ y ≤ 2, thay v|o (1) : VT(1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156 ( loại) z = Thay vào (1) : 2x + 3y + 53 = 156 2x + 3y = 31 (*) ( x ≤ y ≤ 3) Nếu y ≤ x ≤ 2x + 3y ≤ 22 + 32 = 13 < 31 ( loại) Vậy y = 2x + 33 = 31 2x = x = Vậy x = ; y = ; z = Bài 5: Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : x2 32 y 1 5z 40(1) Lời giải: x Nhận thấy 2 2 x 40 x x x y 1 +) Nếu x =0, (1) trở th|nh : 5z 40 32 y 1 5z 36(2) Ta có : VT (2) khơng chia hết cho ; VP(3) chia hết cho Loại ( Hoặc xét tiếp ) y 1 +) Nếu x = , (1) trở th|nh : 3 5z 40 32 y 1 5z 32(3) Ta có : 32y+1 < 32 y y +) y = , (3) trở th|nh : 27 + 5z = 32 z +) y=0 , (3) trở th|nh : 32 29(loai) z z Vậy x = y = z = Bài 6: ( khó ) Tìm c{c STN x, y, z thỏa mãn : 2x + 2y + 2z = 210 Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Lời giải : Vì x, y, z có vai trị nên khơng tính tổng qu{t, ta giả sử x ≤ y ≤ z Ta có : 210 = 1024 = 2x + 2y + 2z ≥ 3.2x 2x ≤ 210 x ≤ Ta có : 2x + 2y + 2z = 210 (1 x yx 2z x ) 210 y x z x 210 x 2108 4(*) +) Nếu y > x y – x > y – x ≥ ; z –x ≥ VT(*) l| số lẻ, VP(*) l| số chẵn ( Loại) y = x, thay vào (*) (*) zx 210 x 2108 (**) Nếu z – x = VT (**) 3;VP(**) l| số chẵn ( Loại) z x (**) 2z x 210 x 2z x1 29 x (***) VT (***)là sô le;VP(***) sô chan Loai Nếu z – x – z-x-1=0,(***) 2=29-x x y 8; z BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tìm x thuộc N thỏa mãn : 5x + 5x+2 = 650 Lời giải : 5x + 5x+2 = 650 (1 ) 650 x x Bài 2: Tìm x thuộc N, biết : 2x = 46 – 3x Lời giải : +) Nếu x 32;3x 15 3x 47(loai) x x +) Nếu 16;3x 12 VT 28(loai) Vậy không tồn x x x 1 Bài 3: x N , biêt:3 x 2x2 388 Lời giải : Đ{nh gi{ x < VT < VP ; Nếu x > VT > VP Vậy x = Bài 4: Tìm x, y thuộc N, biết rằng: x ≤ y ≤ z v|: 156(1) x y z Lời giải: Ta có: 5z ≤ 156 suy z ≤ +) Nếu z ≤ x ≤ y ≤ VT(1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156 ( loại) suy z = Thay v|o (1) : 156 31(2)( x y 3) x y x y Nếu y x 13(loai) y x x y 2 x Bài 5: Tìm số nguyên dương x cho : 3x + 4x = 5x Lời giải : Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Website:tailieumontoan.com x x 3 4 3x + 4x = 5x 5 5 +) x = không thỏa mãn ; x = thỏa mãn x 3 3 Nếu x ≥ : 5 5 x 2 4 4 3 4 ; 5 5 5 5 Vậy x = giá trị cần tìm Bài 6: Tìm số nguyên x, y cho : 5x3 = 3y + 317 Lời giải: +) y = không thỏa mãn +) Neeys y = x = thỏa mãn +) Nếu y ≥ 3y chia hết cho , m| 317 chia dư v| 5x3 = 3y + 317 nên 5x3 chia dư Điều mâu thuẫn 5x3 chia dư , Vậy x = ; y = thỏa mãn toán BÀI 7: MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA Bài 1: Tìm c{c STN x, y, z kh{c 0, biết : x2 + y2 + z2 = 116 chia x, y, z cho 2, 3, thương v| số dư Lời giải : Theo đầu b|i, ta đặt x = 2m ; y = 3m ; z = 4m ( m thuộc N* ) Vì x2 + y2 + z2 = 116 nên : (2m) (3m) (4m) 116 29m 116 m m 2 2 2 Vậy x = ; y = ; z = Bài 2: Tìm c{c số tự nhiên x, y biết a 2x + 124 = 5y b 2x + 80 = 3y Lời giải : a Nếu x ≥ 2x ln l| số chẵn 2x + 124 l| số chẵn Mặt kh{c 5y l| số lẻ với y thuộc N 2x + 124 ≠ 5y ( loại ) b Tương tự x = ; y = Bài 3: Tìm c{c số nguyên dương x , a , b , biết : 4x + 19 = 3a (1) 2x + = 3b Lời giải : Ta phải khử ẩn l| a, b x Theo đề b|i, ta có : 2x + = 3b suy 4x + 10 = 3b (2) (1) - (2) : = 3a – 3b (*) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Website:tailieumontoan.com a b VP(*) VP 33 ; mà VT(*) = /3 Nếu b > theo (*) b=1 VT(*) VP(*)(loai) b b=2 +) Nếu b = suy = 3a – suy 3a = 15 ( loại) +) Nếu b = suy a = Vì 2x + = 3b suy x = Bài 4: Tìm x, y thuộc N*, thỏa mãn : 2x + 57 = y2 (1) Lời giải : Nếu x l| số lẻ, đặt x = 2k + x k 1 4k Chia cho dư 3du1 VT(1) chia dư ; VP(1) chia dư 1 Loại x phải l| số chẵn Đặt x = 2k (1) 2k 57 y y (2k )2 57 ( y 2k )( y 2k ) 57 1.57 3.19 k y 29 y +) TH1 : k k 2 28(khong k ) y 57 y 2k y 11 y 11 +) TH2 : k k y 19 2 k x Bài 5: Hai số tự nhiên x, y thỏa mãn : x2 – 2y2 = CMR : y l| số chẵn Lời giải : x2 – 2y2 = x y 2 Giả sử y l| số lẻ y2 chia dư ; 2y2 chia dư ; 2y2 + chia dư ; mà x2 chia dư suy : y phải chẵn ( đpcm) Bài 6: Tìm c{c số nguyên dương a, b, c thỏa mãn : a3 + 3a2 + = 5b a + = 5c Lời giải: b c b 1(hoacb 5) b c b a3 + 3a2 + = 5b a (a 3) a mà 5b chia hết 25 với b c 2(loai) c 1; a 2; b Bài 7: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: x ≤ y v| x2 + y2 = 202 (1) Lời giải: Ta có 202 l| số chẵn suy x, y phải tính chẵn lẻ Nếu x, y lẻ VT dư ; VP dư vô lý x, y chẵn 2 Đặt x = 2x1 ; y = 2y2, thay v|o (1), được: x1 y1 10 du Sưu tầm chia du TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Website:tailieumontoan.com 2 Suy x1 ; y1 phải chẵn ; Đặt x1 = 2x2 ; y1 = 2y2 x y2 2 Ta có : x y x2 y2 y2 y2 y2 x y x y 25 y 12 2 Từ x2 y2 2 Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 3x + 63 = y2 (1) Lời giải: k 1 Giả sử x l| số lẻ : x = 2k + ( k thuộc N ) x 3.9k Ta có chia dư 9k chia dư 3.9k chia dư 9k + 63 chia dư ; m| y2 chia dư Suy loại Vậy x l| số chẵn Đặt x =2k v| thay v|o (1), : 32k + 63 = y2 (3k )2 63 y 63 y (3k )2 ( y 3k )( y 3k ) y 3k y 32 +) TH1 : k k y 63 3 31(loai) k y 12 y 12 y (t / m) +) TH2 : k k k y 21 y 3k y y (loai ) +) TH3 : k k y 3 k Vậy x =4 ; y = 12 BÀI 7: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG A Chữ số tận tích - Chữ số tận tích chữ số tận tích c{c chữ số h|ng đơn vị - Tích c{c số lẻ ln l| số lẻ - Tích số chẵn v| số TN l| số chẵn - x0.a y - x5.a y0 ( với a chẵn ) - x5.a y5 ( với a lẻ ) B Chữ số tận lũy thừa n - x0 y ( c{c STN tận n}ng lên lũy thừa bậc n chữ số tận ) n n n - x1 y1; x5 y5; x6 y6(n N ) - x2 4k Sưu tầm y6(k 0); x2 k 1 * y 2; x2 4k 2 y 4; x2 k 3 y8 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 Website:tailieumontoan.com k 1 4k y1; x3 2k y6; x4 4k y1; x7 4k y6; x8 2k y1; x9 - x3 - x4 - x7 - x8 - x9 4k 2 y3; x3 k 1 y4 k 1 y7; x27 k 1 y8; x8 k 1 y9 k 3 y9; x3 4k 2 4k 2 y9; x2 y7 k 3 k 3 y 4; x8 y3 y2 Dạng : TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Bài 1: Tìm chữ số tận c{c số sau a 2152005 có : 2005 = 4.2501 + suy tận l| b 932005 = 934.501 + = [(93)4]501 93 tận l| tận l| tận l| c 67102 có : 102 = 4.25 + 67102 =[ (67)4]25 672 tận tận tận 42.991 (42 )99 tan cung 199 d tan cung e 2012 2013 503 [(2012) ] 2012 tan cung tan cung 1004 20072008 (20072 )1004 ( A9)1004 .1;13582008 (13582 )1004 A4 f 3456 g 16 (22 )1728 41728 6;5235 5232.53 (522 )16 A8 B4 A8 C6 A8 9 9 h Ta có: 99 l| số lẻ nên có tận l| 67 mule 4;81975 8.81974 (82 )987 4.8 i Bài 2: Tìm chữ số tận c{c số sau a 2002 2005 20024 k 20023 .8 t / c8 t / c6 b 431999 671001 1999 Ta có : 43 434 k 433 7;671001 674 q 671 t / c t / c1 100 c 98.98 98 98 t / c7 tc1 t / c7 98147 100 98101.17 984k 1 984k.981 .8 Bài 3: Tìm chữ số tận : 99999 a Ta có : 99999 = 2k +1 ( số lẻ ) 99999 92k 1 92k.9 có tận l| 203 b 207 Sưu tầm 201202 TÀI LIỆU TỐN HỌC 25 Website:tailieumontoan.com 202203 Ta có : 201 chia dư 201 4k 2074k 1 2074k.207 .7 199200 c 198 Ta có : 199 = 4k + ; 1992 = ( 4k+3)2 = 16k2 + 24k + = 4q + 199200 (1992 )100 (4q 1)100 4n 1984n1 1984 n.198 Bài 4: Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số tận A Lời giải: 1004 A = (172) 1004 (32 )1004 1004 (172)1004 (32 )1004 91004 91004 Cho M = 1725 + 2424 – 1321 chia hết cho 10 1725 17.1724 17.(172 )12 17 7; 244 1321 1320.13 (132 )10 13 1.13 Bài 5: Chứng tỏ rằng: a A 5(n N , n 2); b.B 2n a A [(2 )] 2n b B 4n 2n-2 4n 10(n N , n 1) n2 162 5 n1 n1 (24 )4 164 .6 .0 10 Bài 6: a Cho A = 9999932015 – 6666672013 , chứng minh A chia hết cho 10 b Tìm chữ số tận của: B = 2.4.6 n - Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa n|o có số lớn lớn a n b n (n > 0) a > b Dạng 1: Biến đổi số số mũ