Chuyên đề lũy thừa, mũ và logarit - Lư Sĩ Pháp

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo?. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩ[r]

GIẢI TÍCH 12

HÀM SỐ

LŨY THỪA

MŨ VÀ LÔGARIT

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Quý đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn tài liệu TRỌNG TÂM GIẢI TÍCH 12

Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo quy định.

Bài tập Giải tích 12 gồm phần Phần Phần tự luận

Ở phần tơi trình bày đầy đủ lí thuyết tập có hướng dẫn giải học Với mong muốn mong em nắm phương pháp giải tập trước chuyển sang giải Toán trắc nghiệm

Phần Phần trắc nghiệm có đáp án

Ở phần tơi trình bày tóm tắt lý thuyết cần nắm, kĩ làm trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần thiết q trình làm trắc nghiệm

Cuốn tài liệu xây dựng cịn có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh để lần sau tập hoàn chỉnh

Lư Sĩ Pháp

GV_ Trường THPT Tuy Phong LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC

Phần 1 Hàm số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit

Bài Lũy Thừa 01 – 08 Bài Hàm Số Lũy Thừa 09 – 13 Bài Lôgarit 14 – 24 Bài Hàm Số Mũ – Hàm Số Lơgarit 25 – 34 Ơn Tập Hàm Số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit 35 – 41

Phần 2 Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình

Mũ – Lơgarit

Bài Phương Trình Mũ 42 – 52 Bài Phương Trình Lơgarit 53 – 64 Bài Hệ Phương Trình Mũ – Lôgarit 65 – 71 Bài Bất Phương Trình Mũ 72 – 77 Bài Hệ Phương Trình Lơgarit 78 – 83 Ơn tập Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình

Mũ – Lôgarit 84 – 98

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II

Bài Lũy thừa – Hàm số lũy thừa 99 – 104 Bài Lôgarit 105 – 108 Bài Hàm Số Mũ – Hàm Số Lôgarit 109 – 119 Bài Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình

Mũ – Lơgarit 120 – 126 Ôn tập chương II 127 – 153

CHƯƠNG II PHẦN I

HÀM SỐ LŨY THỪA

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

-o0o -§1 LŨY THỪA A KIẾN THỨC CẦN NẮM I KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1 Lũy thừa với số mũ nguyên Cho a∈ℝ,n∈ℕ* Khi đó:

thừa số

n n

a =a a a

Trong biểu thức: an, ta gọi a số, n số mũ

2 Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ Cho a≠0,n∈ℕ*, quy ước: a n , 1a0

a

− = =

Chú ý:

0

0 0−n khơng có nghĩa

Người ta thường dùng lũy thừa 10 với số mũ nguyên để biểu thị số lớn số bé Chẳng hạn: Khối lượng Trái Đất 5,97.10 kg ; khối lượng nguyên tử hiđrô 24

24

1,66.10 kg−

3 Căn bậc n a) Khái niệm

Cho số thực b số nguyên dương n≥2 Số ađược gọi bậc n số b an =b

Khi n lẻ b∈ℝ : Tồn bậc n b , kí hiệu nb

Khi n chẵn:

b< : Không tồn bậc n b

b= : Có bậc n b , kí hiệu 0n =

0

b> : Có hai bậc n b trái dấu, kí hiệu giá trị dương nb, cịn giá trị âm −nb

b) Tính chất bậc n

Với hai số không âm a b, , hai số nguyên dương m n, , ta có: na b.n = na b n n ,( 0)

n

a a

b

b = b > ( )

m

n m

na = a

m na =m.na , lẻ

, chẵn

nan a n

a n



=



4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a>0 số hữu tỉ r m

n

= , m∈ℤ,n∈ℕ,n≥2 Lũy thừa a với số mũ r số ar xác định bởi:

m n

r n m

a =a = a

5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a số dương, αlà số vô tỉ ( )rn dãy số hữu tỉ cho lim n

n→+∞r =α

Khi đó: lim rn

n

aα a

→+∞

II Tính chất lũy thừa với số mũ thực

Cho a b số thực dương; , α β, số thực tùy ý Khi đó, ta có: 1) a aα β =aα β+ 2) a a

a

α α β β = −

3) ( )aα β =aα β 4) ( )a b α =a bα α

5) a a

b b

α α

α

  =  

  6) a

α >

7) Nếu a>1 aα >aβ ⇔ >α β 8) Nếu 0< <a 1 aα >aβ ⇔ <α β

B BÀI TẬP ẠNG Tính giá trị biểu thức

Rút gọn biểu thức Bài 1.1 Tính biểu thức sau: a)

2 5

9 27

A= b)

3 4

144 :

B= c)

0,75 5

1 0,25

16

C

−

−

 

=  +

  d) ( ) ( )

2 1,5

3

0,04 0,125

D= − − −

HD Giải a) ( ) ( )

2

2 6

2 5

5 5 5

9 27 3 3

A= = = = + = =

b)

3 3 3 3 4 2 2

144 : 12 : :

B= = = = =

c)

0,75 5 3 5

3

2

1 0,25 16 4 2 2 40

16

C

−

−

 

=  + = + = + =

 

d) ( ) ( )

3

2 2 3

1,5 3 2

3 1

0,04 0,125 121

25

D

− −

− −    

= − =  −  = − =

   

Bài 1.2 Tính biểu thức sau:

a) ( )

10

4

3

1 .27 0,2 25 128

3

A

− −

−

− − −

   

=  + +  

    b)

3 2

4 2

B= + − − − c) C=(251 2+ −52 2).5− −1 2 d)

3 5

6

D

+

+ +

=

HD Giải

a) ( )

10

4

3 10

3

1 .27 0,2 25 128 3 1 . 1 .2 3 8

3 27 0,2 25 128

A

− −

−

− − −

   

=  + +   = + + = + + =

   

b) B=43+ 2.21 2− 2− −4 =26 2 4+ + − − − =23 =8

c) (251 52 2).51 2 (52 2 52 2).51 2 52 2 2 52 2 5 24

C= + − − − = + − − − = + − − − − − = − − =

d)

3 5

3 5 5 2 5 5

6 2 .3 2.3 18

2 3

D

+ + +

+ − − + − −

+ + + +

= = = = =

Bài 1.3 Tính biểu thức sau:

a)

1

3

0,75 1

81

125 32

A

− −

−    

= +  − 

    b) ( ) ( )

1 11 2

2 0

3 3

0,001 64

B= − − − − − − +

c) 0,75 0,5 27 25 16 C −   = +  −

  d) ( ) ( )

1

2

4 0,25

0,5 625 19

4 D − −   − = − − −  + −   HD Giải

a) ( )( ) ( )

1

1 3 3 5 1 3

3

3 4 4 3

0,75 1 1 1 80

81 3

125 32 5 27

A − − − − − − − − −               = +  −  = +   −   = +  −  = −              

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 11 2

0 3 3

3 3 111

0,001 64 10 2 10 2

16

B= − − − − − − + = − − − − − − + = − − − + =

c) ( )( ) ( )( ) ( )

2

0,75 1

2

3 4

0,5 2

3

27 25 5 12

16 C − − −   = +  − = + − = + − =  

d) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3

12 2

4 0,25 4 4 19

0,5 625 19

4 27

D − − − −   − −    = − − −  + − = − − −   −     

4 19 19

2 11 10

2 27 27 27

−

 

= − −  − = − − =

  Bài 1.4 Tính biểu thức sau:

a) A= 54 85− b) B= 33 c) 45

16

C= d) D= 729 HD Giải

a) A= 54 85− = −5 32 = −5( )2 = −2 b) B=33 =3( )3 =

c)

4

4

4

1 81 81

5

16 16 16

C= = = = d) D=3 729 =6729 3=

Bài 1.5 Cho ,a blà số thực dương Rút gọn biểu thức sau: a)

( )

7 2 2 a a A a + − + −

= b) ( )

3

5 3.

a B a a + − − −

= c) ( )

4

3 12

a b C

a b

= d)

1

3 3

1

3 3

a a a a

D

a a a a

− − − − = − − + HD Giải a) ( ) ( )( )

7 7 2 2 2 2

a a a a

A a a a a + − + + − − + − + −

= = = = b) ( ) ( )( )

3

3 3 2

5 3. 5

a a a

B a

a

a a a

+

− − +

− − − + −

= = = =

c) ( )

4

3 2 12 12

a b a b a b

C ab

a b a b

a b

= = = = d) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = − = + − − = − +

a a a a

D a a a

a a a a

1 2 3 1 3 1

1

1

Bài 1.6 Cho a b số thực dương Rút gọn biểu thức sau: ,

a)

4 3

1

4 4

a a a A

a a a

− −   +       =   +      

b) ( )

( )

1

5 5

2

3

3

b b b

B

b b b

c)

1 1 3 3 3

a b a b C

a b

− −

− =

− d)

1

3

6

a a b b D a b + = + HD Giải

a) ( )

4

3 3 4

2 3 3

1 1

4 4 4 4

,

1

a a a

a a a a

A a a

a

a a

a a a

− − + + − −   +     + +   = = = = ≠ − +   + +      

b) ( )

( )

1

1 5 5 5

1 1 5

5

5 5

2 2 2

3

3 3 3 3

1 1,( 1)

b b b

b b b b b b

B b

b

b b b b b b b b

− − + − + − − −   −   −   − −   = = = = = ≠ −   −  −  −  

c) ( )

1 2 3 3 1 1

1 3 3

3

2

3

3

1 ,

a b a b a b a b

C a b a b

ab

a b a b

− − − − − −   −     −   = = = = ≠ − − d)

1 1 3 6

1 1 3 3 1 6 6

a b a b a b b a

D a b ab

a b a b

  +     +   = = = = + +

Bài 1.7 Cho ,a blà số thực dương Rút gọn biểu thức sau: a)

2 1 2

1 b b :

A a b

a a     = − +    −      b)

1

4 2

1 1

4 2

a a b b

B

a a b b

− − − − = − − + c) 1

3 : a b

C a b

b a

 

 

= +   + + 

   

d) ( )

2

3 3 3

D= a+ b a +b − ab

 

HD Giải

a) ( ) ( )

2

2

1 2 2

2

1 b b : b : a b :

A a b a b a b

a a a a a

       − 

= − +   −  = −  − =  − =

 

     

b) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1

2

4

4 2

1 1 1

4 2

1

1

1

a a b b

a a b b

B a b a b

a a b b a a b b

− − − − − − − − = − = − = + − − = + − + − +

c) ( )

( )

1 3 3 3

1 3

3 3

2

3 3 3 3 3

3

:

2

a a ab

a b a b ab

C a b

b a ab a b a b a b

ab +     + = +   + + = = = + + +     +

d) ( )

3

2 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3

D= a+ b a +b − ab   = a +b a −a b +b    = a  +b  = +a b

        

ạng Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức So sánh giá trị biểu thức

Chú ý: Nếu a>1 α β< ⇔aα <aβ Nếu 0< <a α β< ⇔aα >aβ

Bài 1.8 Hãy so sánh cặp số sau:

a) 5 3 b) 76 3 73 c)

1      

3

1    

  d)

8

3      

3

3       HD Giải

a) Ta có: 3= 12,3 = 18.Do 12 18< nên 3 2< Vì số a= >5 nên 52 <53

b) Ta có: 108 54 76 73

a

 = > =

⇒ > 

= >



c) Ta có:

2

2 20 18 1 1

1 3 3

0

3

a

 = > =

   

 ⇒

<

    

< = <     

 d) Ta có:

8

8 3 3

1 4 4

0

2

a

 < =

   



⇒ >

    

< = <     



Bài 1.9 Hãy so sánh cặp số sau:

a) 310 520 b) 45 37 c) 413 523 d)

3

1      

2

1       HD Giải

a) Đưa hai cho bậc 15, ta được:

15

3 15

15

5 15

10 10 100000

20 20 8000

 = =

 

= =

 Do >

100000 8000 nên 310> 520

b) Ta có:

12

4 12

12

3 12

5 125

7 2401

 = =

 

= =



Do 125 2401< nên 45<37

c) Ta có:

20 20

20

5 20

13 13 371293

23 23 279841

 = =

 

= =



Do 371293 279841> nên 413> 523

d) Ta có:

3

3 1 1

1 3 3

0

3

a

 >

   

 ⇒

<

    

< = <     



Bài 1.10 Hãy so sánh cặp số sau:

a) 33 b) 3+330 363

c) 37+ 15 10+328 d) ( )

5

3 − 3314

3

−

HD Giải

a) Ta có: ( )

( )

6

6

2 2

3



= = =

 

 = =



Do 9< nên 2<33

b) Ta có:

3

3

3

3

3 3 30 4

3 30 64

30 27

63 64

 >

 ⇒ + >



⇒ + >

 > = 

< =

c) Ta có:

3

3

3

3

3

7 7 15 6

15 16

7 15 10 28

10 10 28 6

28 27

 < =

 ⇒ + <

 < =

 ⇒

+ < +



 > =

 ⇒

+ >

 

> =

  

d) Ta có: ( ) ( )

5 5

6 12

5

6 3 14

1 5

3

1 1 4 12

3

3 1

4

3

1

3

1

3 3 3

3

3

− −

− −

− − −

− − −



= 



⇒ =



 = = = =

 

Bài 1.11 Khơng dùng máy tính bảng số Chứng minh:

a) 37 2+ +37 2− = b) 36 847 36 847

27 27

+ + − =

c) 3+ − 2− = d) 39+ 80 +39− 80 3= HD Giải

a) 37 2+ +37 2− =

Cách Ta có: 7 2+ = + + + = +( )1 3.Tương tự: 2− = −( )1 Suy ra: 37 2+ +3 1− = + 1+ − 2=

Cách Đặt x= 37 2+ +37 2− Ta cần chứng minh x=2 Ta có:

3

3 3 3

3 7 2 7 2 7 7 2 7 2 7 2

x = + + −  = + + − + + −  + + −

   

=14 3− 37 2+ +37 2− =14 3x−

 

Từ ta có: x3+3x−14 0= ⇔(x−2)(x2+2x+ = ⇔ =7) x (vì x2+2x+ >7 0)

Cách Ta có: 37 2+ − = −1 Do 37 2+ +37 2− = 37 2+

37 2− nghiệm phương trình X2−2X− =1 0 , tức là:

3

7 2 (1) 2 (2) 

+ = +

 

 − = −



Ta chứng minh đẳng thức (1) Ta có: ( )1+ 3= +1 2 2+ + = + Từ suy (1) Đẳng thức (2) chứng minh tương tự Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh

b) 36 847 36 847

27 27

+ + − = Đặt 36 847 36 847

27 27

x= + + − Ta cần chứng minh x=3

Ta có:

 

 

= + + −

 

 

3 36 847 36 847

27 27

x

 

 

⇔ = + + − + + −  + + − 

 

3 6 847 6 847 3 63 847 63 847 36 847 36 847

27 27 27 27 27 27

x

( )( )

3 12 363 847. 12 3.5 5 12 0 3 3 4 0 3

27

x x x x x x x x x x

(vì x2+3x+ >4 0)

c) 3+ − 2− = Cách Ta có:

( )( )

2

4 4 4 16 12

 + − −  = + + − − + − = − − =

 

 

Vì 3+ − 0− > nên 3+ − 2− = Cách Ta có: 4 3± =( )3 2±2 1+ =( )3 1± Nên: 3+ − 3− =( ) ( )3 1+ − 1− =2

d) 39+ 80 +39− 80 3= Có thể giải ba cách câu a) Đặt x= 39+ 80 +39− 80 Ta cần chứng minh x=3

Ta có: ( )( )

3

3

3 9 80 9 80 3 18 0 3 3 6 0 3

x = + + −  ⇔x − x− = ⇔ x− x + x+ = ⇔ =x

  (vì

2 3 6 0

x + x+ > )

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.12 Hãy tính:

a) ( )

3

3

A= 

  b)

1 3

4 16

B= − + c) C=27 : 32 d) ( )

5 58

2

D=

Bài 1.13 Đơn giản biểu thức sau: a)

4

4 4

a b a ab

A

a b a b

− +

= −

− + b) 3 3

a b a b

B

a b a b

− +

= −

− +

c) (3 )2

3 :

a b

C ab a b

a b

 + 

= −  −

+

  d)

1

4

4

1 . . 1

1

a a a

D a

a a a

− +

= +

+ +

Bài 1.14 Đơn giản biểu thức sau:

a)

2 2.

A a a

−

 

=  

  b)

4

:

B=aπ a a π c) C=( )a 3 d) D=a 2.a13:3a3

Bài 1.15 Đơn giản biểu thức sau:

a)

( )

2 2

2

a b

A

a b

−

= +

−

b) ( )( )

2 3 3

4 3

1

a a a a

B

a a

− + +

=

−

c)

5 5 7

3 . 3

a b C

a a b b

− =

+ +

d) ( )

1

4

D a b ab

π

π π  π 

= + − 

 

Bài 1.16 So sánh số:

a) 600 400 b)

5

1

−

     

3 14

2.2 c) 30 40 d)

π

     

3,14

1       Bài 1.17 Chứng minh rằng: ( )

0,75 5

2

1 0,25 40

16

−

−

 

+ =

 

 

a) b a

a b

2

2

.

− −

   

   

    (a≠0,b≠0) b) (a b )(a b )

1

2 + −2+ −2 − ,( a≠0,b≠0)

c)

a a a

a

a a a

4

3 3

1

4 4

,( 0)

−

−

 

+

 

 

  >

 

+

 

 

 

d) x y ( )x y

1

1

2 2

2 2

− −

−

 

   

 

+ +

   

 

     

e)

n n n

n

1

3 3

1

2 3 4

2 −

 

−

 

 

 

f) ( )a

a

2

6 4

4

Kết quả:

Bài 1.12 A=3 3, B=64 , C=1, D=4

Bài 1.13 A=4b , B=23 ab, C=1, D= a

Bài 1.14 A a= , B= a, C =a3, D=a1,3

Bài 1.15

2

2a

A

a b

=

− ,

3 1

B=a + ,

5 3

C=a −b , D= aπ −bπ

Bài 1.16 a) 3600>5400, b)

3

14

1 2.2

2

−

  =  

  , c)

30 40

7 >4 , d)

3,14

1

9

π

   

<

   

   

Bài 1.18 a)

a b4 1

b) a b2 c) a d)

xy 1

§2 HÀM SỐ LŨY THỪA A KIẾN THỨC CẦN NẮM 1 Định nghĩa

Hàm số y x= α, với α∈ℝ, gọi hàm số lũy thừa 2 Tập xác định

Tập xác định hàm số lũy thừa y x= α tùy thuộc vào giá trị α:

Với α nguyên dương, tập xác định D=ℝ

Với α nguyên âm 0, tập xác định D=ℝ\ { } Với α không nguyên, tập xác định D=(0;+∞)

Lưu ý: y x , 1,n n

α α

= = số chẵn Tập xác định: D=[0;+∞) 3 Đạo hàm

Hàm số y x= α(α∈ℝ ) có đạo hàm với x>0 ( )xα / =αxα−1

Cơng thức tính đạo hàm hàm hợp hàm số lũy thừa có dạng: ( )uα / =αuα−1.u/

4 Tính chất hàm số lũy thừa khoảng (0;+∞)

α> α<0

Đạo hàm y/ =αxα−1 y/ =αxα−1

Chiều biến thiên Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến Tiệm cận Khơng có Tiệm cận ngang trục Ox , tiệm cận đứng trục Oy

Đồ thị

Đồ thị qua điểm ( )1;1

Hình dạng đồ thị ứng với giá trị khác α

B BÀI TẬP ẠNG Tìm tập xác định hàm số lũy thừa y x= α

Tập xác định hàm số lũy thừa y x= α tùy thuộc vào giá trị α: Với α nguyên dương, tập xác định ℝ

Với α nguyên âm 0, tập xác định ℝ\ 0{ } Với α không nguyên, tập xác định (0;+∞)

Bài 2.1 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) ( )

1

1

y= −x − b) ( )

3

2

y= −x c) y=(x2−1)−2 d) y=(x2− −x 2) HD Giải

a) Hàm số xác định 1− > ⇔ <x x Vậy tâp xác định là: D= −∞( ;1)

b) Hàm số xác định 2−x2 > ⇔ −0 2< <x 2

Vậy tâp xác định là: D= −( 2; 2)

c) ( )

( )

2

2

1

1

y x

x

−

= − =

− Hàm số xác định

2 1 0 1

x − ≠ ⇔ ≠ ±x

Vậy tâp xác định là: D=ℝ\ 1;1{ }−

d) Hàm số xác định x2− − > ⇔ < −x 2 0 x 1 x>2

Vậy tâp xác định là: D= −∞ − ∪( ; 1) (2;+∞) Bài 2.2 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y=3( )x−1 −3 b) y=4 x2−3x−4 c) y (x3 8)3

π

= − d) ( )

1 3 2

y= x − x + x HD Giải

a) ( )

( )

3

3

3

3

1

y x

x

−

= − =

− Hàm số xác định ( )

3

1

x− ≠ ⇔ ≠x

Vậy tâp xác định là: D=ℝ\ 1{ }

b) Hàm số xác định x2−3x− ≥ ⇔ ≤ −4 x x≥4

Vậy tâp xác định là: D= −∞ − ∪( ; 1 4;+∞)

c) Hàm số xác định x3− > ⇔ >8 x

Vậy tâp xác định là: D=(2;+∞)

d) Hàm số xác định x3−3x2+2x> ⇔ < <0 x x>2 Vậy tâp xác định là: D=( ) (0;1 ∪ 2;+∞)

ẠNG Đạo hàm hàm số lũy thừa Cho hàm số y x= αcó tập xác định ;D α∈ℝ

( )xα / =α.xα−1 ( )uα / =αuα−1.u/ với u=u x y( ), =u xα( )

Lưu ý: ( )

/ 1

2

x

x

= ( )

/ /

2

u u

u

=

( )/

1

1

n

n n

x

n x −

= ( )

/ /

1

( ) ( )

( )

n

n n

u x u x

n u− x

= Bài 2.3 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) ( )

1

2

2

y= x − +x b) y=(3x+1)π2 c) ( )

4

y= − −x x d) y= −( )5 x

HD Giải

a) ( ) ( ) ( ) ( )( )

/

1 / 1

/ 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1

3

y = x − +x  = x − +x x − +x − = x− x − +x −

 

b) ( ) ( ) ( ) ( )

/

/ 1

/ 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2

2

y x x x x

π π π− π π−

 

= +  = + + = +

 

c) ( ) ( ) ( )( )

1

/

/ 4 4 1 2 4

4

y = − −x x − −x x − = − − x − −x x −

d) ( ) ( ) ( ) ( )

/

3 / 3

/ 5 3 5 5 3 5

y = −x  = −x −x − = − −x −

 

Bài 2.4 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y=(2x+1)π b)

3

3

1

x y

x

+ =

− c) ,( 0,b 0)

a b

x a

y a

b x

   

=    > >

    d) ( )

3 8

y x

π

= −

HD Giải

a) ( ) ( ) ( ) ( )

/ / 1 1

/ 2 1 2 1 2 1 2 2 1

y = x+ π =π x+ x+ π− = π x+ π−

 

b) ( )

( )

/

2

/ 3

3

3

/ 3

3 2 2 2

3 2

3

3 3

3 3

6

1

1

1 1 1 1

3

1 1

x x

x x

x x

y

x x x x

x

x x x

 + 

 

 +   −  −

=  = = =

−

       

  + + +

−

     

− − −

     

c)

/ / /

/

a b a b a b

x a x a x a

y

b x b x b x

              

     

=     =     +                  

     

1

2

a b a b a b

a x a x a a x a a b

b

b b x b x x b x x

− −

              −

=     +    −     =

             

d) ( ) ( ) ( ) ( )

/

/ 1

/ 8 3 8 8 3 8

3

y x x x x x

π π π π

π

− −

 

= −  = − − = −

 

 

ẠNG Khảo sát hàm số lũy thừa y x= α

Khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thểm ta phải xét hàm số tồn tập xác định Tập xác định

Tập xác định hàm số lũy thừa y x= α tùy thuộc vào giá trị α Sự biến thiên

Tìm đạo hàm y Xét dấu / y kết luận chiều biến thiên hàm số /

Tìm tiệm cận (nếu có) Lập bảng biến thiên Đồ thị

Lưu ý: Đồ thị hàm số qua điểm ( )1;1

Bài 2.5 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a)

4

y=x b) y=x−3 c) y=x−4 d) y=xπ2

HD Giải a)

4

y=x Tập xác định: D=(0;+∞) Sự biến thiên: Đạo hàm:

1 / 3

3

y = x

/ 0

y > khoảng (0;+∞)nên hàm số đồng biến Giới hạn:

0

lim 0, lim

x→ y= x→+∞y= +∞

Bảng biến thiên:

y'

y x

+∞

+

+∞

Đồ thị:

1

0 x

y

b) y x 13 x

−

= = Tập xác định: D=ℝ\ 0{ } Sự biến thiên: Đạo hàm: y/ 34 0, x D

x

= − < ∀ ∈

Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;0) (0;+∞) Giới hạn:

0

lim , lim

x→−y= −∞ x→+y= +∞⇒x= TCĐ

lim 0, lim 0

x→−∞y= x→+∞y= y

⇒ = TCN Bảng biến thiên:

+∞

∞

0

∞ +∞ y'

y x

Đồ thị: Hàm số cho hàm số lẻ Nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

1

0 x y

c)

4

1

y x x

−

= = Tập xác định: D=ℝ\ 0{ } Sự biến thiên: Đạo hàm: y/ 45

x

= −

/ 0

y > khoảng (−∞;0)nên hàm số đồng biến khoảng y/<0

trên khoảng (0;+∞) nên hàm số nghịch biến khoảng Giới hạn:

0

lim , lim

x→−y= +∞ x→+y= +∞⇒x= TCĐ

lim 0, lim 0

x→−∞y= x→+∞y= ⇒y= TCN

Bảng biến thiên:

+

x

y y'

+∞ +∞

0

0

∞ +∞

Đồ thị: Hàm số cho hàm số chẵn Nên đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng

1

1

0 x

y

d) y=xπ2 Tập xác định: D=(0;+∞)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: /

2

y x

π

π −

=

/ 0

y > khoảng (0;+∞)nên hàm số đồng biến Giới hạn:

0

lim 0, lim

Bảng biến thiên:

y'

y x

+∞

+

+∞

Đồ thị:

1

0 x

y

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 2.6 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y=x4 b) y=x7 c) y= x0 d) y=x−15 e) y=8 x

f) y=7 x g)

5

y=x− h) y x= π i) y=x j)

1

y=x Bài 2.7 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y= 35x+4 b) ( ) 2

4

y= −x c) y=(x2+ −x 2)−2 d) y= x2+3x−4

Bài 2.8 Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) y= x b)

5

1

y x

= c) y= n x−1 d) y=n xm

e) y= x4+x2+1 f) y= 4x2−3x−1 g) y=(12−x) 3 h) ( ) 4

y= x + −x

Bài 2.9 Hãy vẽ đồ thị cặp hàm số sau hệ trục tọa độ: a) y=x4 y= x41 b) y=x5 y=x−5 c) y=x2 y=x12

Bài 2.10 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a)

1

y=x− b) y=xπ4 c) y=( )3 x

Kết quả:

Bài 2.6 a) D=ℝ ; b) D=ℝ ; c) D=ℝ\ 0{ }; d) D=ℝ\ 0{ }; e) D=0;+∞); f) D=ℝ; g) D=(0;+∞); h) D=(0;+∞); i) D=(0;+∞); j) D=(0;+∞)

Bài 2.7 a) D=ℝ; b) D= − 2;2 ; c) D=ℝ\ 2;1{ }− ; d) D= −∞ − ∪( ; 4 1;+∞)

Bài 2.8 a)

5

1

5 x ; b)

1 5x x

− ; c)

( )

1 1n n

n x− −

; d) m n xm n

n

−

e)

( )

3

2

4

3

x x

x x

+

+ +

; f)

2

8

2

x x x

−

− − ; g) ( )

3

3 12 x −

− − ; h)

( 2 )3

2

4

x x x

+ + −

§3 LÔGARIT A KIẾN THỨC CẦN NẮM 1 Định nghĩa

Với hai số dương a b a, ( )≠1 Số α nghiệm đẳng thức aα =b gọi lôgarit số a

b kí hiệu logab Như vậy: α =logab⇔aα =b

Chú ý: Khơng có lơgatir số âm số

2 Tính chất

Cho hai số dương a b, a≠1 Ta có:

log 0a = logaa=1

logab

a =b loga( )aα =α

3 Quy tắc tính

a) Lơgarit tích

Với số dương a, b b 1, 2 a≠1 Ta có: loga( )b b1 2 =logab1+logab2 Lưu ý: Lơgarit tích tổng lôgarit

b) Lôgarit thương

Với số dương a, b b1, 2và a≠1 Ta có:

1

2

loga b logab logab

b = −

Lưu ý: Lôgarit thương hiệu lôgarit

1

loga log , ( ,ab a b 0,a 1)

b= − > ≠

c) Lôgarit lũy thừa

Với số dương a, b a≠1 Với α, ta có: logabα =αlogab

Lưu ý: Lơgarit lũy thừa tích số mũ với lôgarit số

1

log n log , ( , 0, 1)

a b=n ab a b> a≠

d) Đổi số

Cho ba số dương , ,a b c với a≠1,c≠1 Ta có: log

log

logc

a

c

b b

a

= logab=log logac cb

1

log ,

log

a

b

b b

a

= ≠ log 1log , a

aα b=α b α≠

4 Kí hiệu lơgarit thập phân, lơgarit tự nhiên a) Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân lôgarit số 10 log b thường viết log b lg b 10 b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên (lôgarit Nê – pe) lôgarit số e logeb viết ln b

Lưu ý: lim 1

n n

e

n

→+∞

 

=  + 

  giá trị gần e là: e≈2,718281828459045 B BÀI TẬP

ạng Tìm điều kiện để biểu thức lơgarit có nghĩa

Lưu ý: logab có nghĩa

0

b a

 > 

< ≠



Bài 3.1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:

a) log 12( −x2) b) logπ(x2+3x−4) c) 1( )

3

log x +x −2x d) 1( )

2

log x +5x −6 HD Giải

a) ( 2)

2

log x− có nghĩa ⇔ −1 x2 > ⇔0 x2< ⇔ − < <1 1 x 1

b) log (x2 3x 4)

π + − có nghĩa

2 3 4 0

x x

⇔ + − > ⇔ x< −4hoặc x>1

c) 1( )

3

log x +x −2x có nghĩa ⇔x3+x2−2x> ⇔0 − < <2 x 0hoặc x>1

d) ( )

1

log x +5x −6 có nghĩa

2

4

2

6

5

1

x x

x x

x x

 < −  < −

⇔ + − > ⇔ ⇔

> >

 



Bài 3.2 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:

a) logx−3(x2−4) b) log

3

x x−

HD Giải

a) logx−3(x2−4) có nghĩa 2

3

0

3

2

2

x x

x x

x

x

 < ≠

 < − ≠ 



⇔ ⇔ < − ⇔ < ≠

− >

 

  >

 

b) log

3

x x− có nghĩa

0 1 2

1

7 0 3

3

x x

x x

x

 < ≠  < ≠

 

⇔ ⇔ ⇔ < ≠

> >

 

−

 

ạng Tính giá trị biểu thức Rút gọn biểu thức

Lưu ý: Vận dụng dùng linh hoạt tính chất; quy tắc tính lơgarit

Bài 3.3 Tính: a) 1

2

log b) log3

27 c)

log d) 32log 53

HD Giải a)

2

1 1

2 2

1

log log log

2

−

 

= =   = −

  b)

3

3

3 3

1

log log log 3

27 −

 

=   = = −

  c)

3

1 1

2 2

1

log log log

2

−

 

= =   = −

  d) ( )

3

2log log

3 = =5 =25

Bài 3.4 Tính: a) log21

8 b)

4

log c) log 34 d) log 0,125 0,5 HD Giải

a) log21 log 22( ) 3log 22

−

= = − = − b) 1 22 2

4

1

log log log

2

−

= = − = −

c) ( )

1

4 4

3 3

1

log log log

4

= = = d) d) log 0,125 log0,5 = 0,5( )0,5 3=3 Bài 3.5 Tính:

a) 4log 32 b) 27log 29 c) 9log 23 d) 4log 278

HD Giải

a) 4log 32 22log 32 2log 32( )2 9

= = = b)

3 3

9

log

3log 2

3log

log 2 2

27 3 2

       

= = = = =

c) 312 3

2log

log 4log log

9 =3 =3 =3 =2 =16 d) 4log 278 =22log 323 =22log 32 =2log 32 =9

Bài 3.6 Tính:

a) log217

4 b)

51

log

1 25

 

 

  c)

3

5log

3 d) 271

log

3 HD Giải

a)

1 log27

2

2

1

log 2 log

7 1

4 2

7 49

   

= =  =  =

 

  b) ( )

5

5

1 2

log 1 1

3 2 log log

3

1 5 5 9

25

− −

−  

   

= =  = =

     

     

c) 35log 23 =( )3log 23 =25=32 d) ( )

1 3

3

27 3

1

1

log log 2

log 3 log 2 3 3

1

3 3

2

− − − −

= = = = =

Bài 3.7 Tính:

a) 1 1 1

2 2

1

log 2 log log

3

+ + b) 1 1 1

3 3

1

2 log log 400 3log 45

− +

c) log 49 log 3437 − 7 d) log 35 1log 155

−

HD Giải

a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1

log 2 log log log log log log log log

3 3 3 12

 

+ + = + + + =  =

 

b) ( ) ( )

1 3

2

3 2

1 1 1

3 3 3

1

2 log log 400 3log 45 log log 400 log 45

− + = − +

1 1 1 1 1 3

3 3 3

36.45

log 36 log 20 log 45 log log 81 log

20

= − + = = = − = −

c) log 49 log 343 log7 7 7 49 log71 log 77

343

− = = = − = −

d)

1

5 5 5 5

1 1

log log 15 log log 15 log log log

2 15 5

−

− = − = = = = −

Bài 3.8 Tính:

a)

7

log 16

log 15 log 30− b) 5

1

log log 12 log 50

− +

c) 1( 3 2 )

4

log log 4.log d) log 12 log 15 log 208 − 8 + 8 HD Giải

a)

4

7 7

1

7 7

7

log 16 log 16 log log 15

log 15 log 30 log log log

30

−

= = = = −

− −

b) log 35 1log 12 log 505 5 1log 35 1log 35 1log log log 25 5 5

2 2

− + = − − + +

= −log 2 log 25 + + 5 =

c) 1( 3 2 ) 1( 3 2 ) 1 2

4 4

1

log log 4.log log log 2.log log log

2

d)

4

8 8 8

12.20

log 12 log 15 log 20 log log 16 log

15

− + = = = =

Bài 3.9 Tính:

a) 5

5

log 36 log 12 log

−

b) 1log 36 log 14 3log 217 7 7

2 − −

c) 36 1

6

1 log log

2

− d) 36log 56 +101 log2− −8log 32

HD Giải

a) 5 5

2

5 5

36 log

log 36 log 12 12 log

log log log

−

= = =

b)

7 7 7 7

1log 36 log 14 3log 21 log log 14 log 21 log log 7 2

2 14.21 −

 

− − = − − =  = = −

 

c) 36 1 6 6 6

6

1 1 1

log log log log log

2 2 2

− = + = =

d) 36log 56 +101 log2− −8log 32 =62log 56 +10log 10 log 210 − 10 −23log 32 =6log 56 +10log 510 −2log 32 = − + =5 32 3

Bài 3.10 Rút gọn biểu thức sau:

a) 1 9 3

3

1 log log 49 log

7

+ − b) log 6.log 9.log 3 8 6

c)

2

loga log

a

b + b d) log1 1log 4 log

8 2+ +

HD Giải

a)

2

2

1 3 3 3

3

1

log log 49 log log log log log log log 3log

7 −

−

+ − = + − = − + + =

b) ( )

2

3 6 2

2 2

log 6.log 9.log log 6.log log log log log

3 3

= = = =

c)

2 2

loga log loga loga loga loga

a

b + b = b + b = b = b

d) log1 1log 4 log log8 log2 log log8 log8

8 2+ + = − + + = − + =

Bài 3.11 Rút gọn biểu thức sau: a) log4 1log36 3log9

9 2+ +2 b)

27

log 72 log log 108 256

− +

c) log1 log 0,375 log 0,5625

8− + d)

7 5

1 log log log

72 49 − 5− 

+

 

 

 

HD Giải

a)

3 3

3

4 9

log log36 log log log log log18

9 2 9 2

     

   

   

+ + =    =   =  =

 

 

   

     

 

b) ( )

6

3 2

16

27

log 72 log log 108 log log log

256

− + = − +

3

16

3 2 20 2

6

2

log 2.3 log 20 log2 log3

−

   

=  =  = −

c) log1 log 0,375 log 0,5625 log2 log 0,5 log 0,5 3( )

8− + = − − +

3

log2 log2 log3 log2 log3 log2 log3 log 16

− − − −

= − − + + = + =

d) 7 5 5

2

1log log 6 log

log 6 log

2 1 45

72 49 72 49 72

2 16

−

− −    

   

 

+ =  + = + =

   

      

     

ạng Tìm x

Lưu ý: Vận dụng định nghĩa

logax= ⇔ =α x aα, 0( < ≠a 1)

logxb= ⇔α xα =b, 0( < ≠x 1,b>0)

Đưa biểu thức số : logax=logab⇔ =x b, 0( < ≠a 1,b>0) Tính chất; quy tắc tính lơgarit

Bài 3.12 Tìm x, biết:

a) log5x=4 b) log 52( )−x =3 c) log3(x+ =2) d) 1( )

6

log 0,5+x = −1 HD Giải

a) log5x= ⇔ =4 x 54 =625 b) log 52( −x)= ⇔ − =3 x 23⇔ = −x

c) log3(x+ = ⇔ + =2) x 33⇔ =x 25 d) ( )

1

6

1

log 0,5 0,5 5,5

6

x x x

−

 

+ = − ⇔ + =  ⇔ =

  Bài 3.13 Cho a b số dương Tìm x, biết:

a) log3x=4 log3a+7log3b b) 2 2 2

3 3

1

log log log

4

x= a+ b c) log5x=2 log5a−3log5b d) 1 1 1

2 2

2

log log log

3

x= a− b HD Giải

a) ( )4 7

3 3 3 3

log x=4 log a+7log b⇔log x=log a +log b ⇔log x=log a b ⇔ =x a b

b)

4 4

1 1

7 7

4 4

2 2 2 2

3 3 3 3

1

log log log log log log log log

4

x= a+ b⇔ x= a + b ⇔ x= a b ⇔ =x a b

 

c)

2

2

5 5 5 5 3

log x log a 3log b log x log a log b log x log a x a

b b

= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

d)

2

2 3 3

3

1 1 1 1 1

2 2 2 2 5

2

log log log log log log log log

3

a a

x a b x a b x x

b b

= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Bài 3.14 Tìm x, biết: a) log3 log9

2

x+ x= b) log4 1log 216 log 10 log 34 4 4

x= − +

c) 1 3 3 3

3

1

log log 125 log log

3

x= − + d) log6x=3log 0,5log 25 log 36 + 6 − 6

HD Giải

a) log3 log9 log3 1log3 3log3 log3

2 2 2

x+ x= ⇔ x+ x= ⇔ x= ⇔ x= ⇔ =x

b) ( )

1

4 4 4

216

log log 216 log 10 log log log

3 10

x x

 

 

= − + ⇔ =  

 

 

log4 log4 486 243

100 50

x   x

⇔ =  ⇔ =

 

c) ( )

2

1

1 3 3 3

3

1 1

log log 125 log log log log 125 log log

3 2

x= − + ⇔ − x= − +

1

3 3

5.2

log log log log

4

x x x

−

   

⇔ − =  ⇔ =   ⇔ =

   

d)

3

6 6 6

2 40

log 3log 0,5log 25 log log log

9

x= + − ⇔ x=  ⇔ =x

 

ạng Biểu diễn lôgarit qua yếu tố cho trước Chứng minh đẳng thức

Bài 3.15

a) Cho log 202 =α Hãy tính log theo 20 α b) Cho log a2 = Hãy tính log 1250 theo a 4

c) Cho log 330 =a,log 530 =b Hãy tính log 1350 theo a, b 30 d) Cho log c15 = Hãy tính log 15 theo c 25

HD Giải

a) Ta có: α=log 20 log 52 = 2( )2 =2 log log log 52 + 2 = + 2 ⇒log 52 = −α

Mặt khác:

20

2

log log

log 20

= Vậy log 520 α

α

− =

b) Ta cần phân tích 1250 thành tích lũy thừa Ta có: 1250 2.5=

Do đó: 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4

4 2 2

1 1

log 1250 log 2.5 log 2.5 log log log

2 2 a

= = = + = + = +

Vậy: log 12504 1(1 )

2 a

= +

c) Ta có: 1350 5.30=

Do đó: ( )

30 30 30 30 30

log 1350 log 5.30= =2 log log log 30 2+ + = a b+ +1

d) Ta có: 3( ) 3

25

3 3

log 3.5

log 15 log log log

log 15

log 25 log log log

+ +

= = = =

Mặt khác:

( )

3

15

3 3

log 1

log log

log 15 log 3.5 log

c

c

= = = = ⇒ = −

+ Vậy:

( )

25

1

1 1

log 15

1

2

c

c c

+ −

= =

  −

−

 

 

Bài 3.16

a) Cho log 153 =a b, =log 103 Hãy tính log 50 theo ,3 a b

b) Cho log 32 =a b, =log 5,3 c=log 27 Hãy tính log 63 theo 140 a b c , ,

c) Cho logab= Hãy tính a

b

a b

5

log

d) Cho log 725 =a b, =log 52 Hãy tính log 6,125 theo 5 a b ,

HD Giải

a) Ta có: 1( )

2

2

3

3

3

log 50 log 2.5= =2 log log 5+ Mặt khác:

( )

3 3

log 15 log 3.5 log log

a= = = + ⇒ = −a

( )

3 3 3

log 10 log 2.5 log log log log

b= = = + ⇒ = −b = − +b a

Do đó: log 50 23 = (b a− + +1 4) ( )a− =1 2a+2b−2

b) 140 140( )2 140 140

3

2

log 63 log log log

log 140 log 140

= = + = +

( ) ( )

3

2

log 5.7 log 5.7

= +

3 3 7

2

2 log log log log log

= +

+ + + +

Mặt khác:

3

2

1

log

log a

= =

7

log log 2.log 3.log 5= =c a b

3

7

1 1

log

log log 2.log ca

= = =

Vậy: log 63140 2

2 2

ac c cab abc c b

a ca

+

= + =

+ + + +

+ +

c) Ta có: ( )

( ) ( )

a a

a b

a a

b a b

a b

a

b b

5

5 log log5 6 12

log

1 5 2 5

log log

2

+ + +

= = = = −

− −

d) Ta có: log 6,125 log5 56125 log549 log 49 log log 3log 25 5 5 5

1000

= = = − = −

Mặt khác:

a log 725 1log 75 log 25 a

2

= = ⇒ = b

b

2

5

1

log log

log

= = ⇒ =

Vậy: a

b

5

3 log 6,125 4= − Bài 3.17 Hãy chứng minh:

a) 1 3

2

1

log log 2

2

+ < − b) log log 23 + 7 >

c) 4log 75 =7log 45 d) 3log 52 =5log 32

HD Giải a) Ta có: 1

2

3 1 log 3

1 log

2

=

coâ si

2

3 1

log 3 2

1 log

2

−

+ > ( 1

2

3 1 log 3

1 log

2

Mặt khác: log3 1 0

2< nên

3 1

log 3 2

1 log

2

− − > hay 1 3

2

1

log log 2

2

+ >

b) Ta có: log 0,log 03 > 7 > 3 7

1

log 7 log 3

log 3

= ≠

Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có: 7

7 1

log 3 2

log 3

+ > Suy ra: log log 23 + 7 >

c) log 75 log 45 log 75 log 45

4 5

4 =7 ⇔log 4 =log 7 ⇔log log 4.log 7= (đúng)

d) log 52 log 32 log 52 log 32

3 2

3 =5 ⇔log 3 =log 5 ⇔log log 3.log 5= (đúng)

Bài 3.18 Hãy chứng minh: a) a

a ab

c

b a b c a c ab c

log

1 log ,( , , 0; , , 1)

log = + > ≠

b) alogcb =blogca,(0<a b c, , ≠1)

HD Giải

a) Ta có: a c c c c c

a

ab c c c

c

c a ab a b b

b

c a a a

ab 1

log log log log log log

1 1 log

1

log log log log

log

+

= = = = + = +

b) Ta có: c c a ( )a c c

a

b a b b a

alog =alog log = alog log =blog Vậy alogcb =blogca,(0<a b c, , ≠1)

Bài 3.19 Cho x2+9y2 =10 ,( ,xy x y>0;0< ≠a 1) Chứng minh: loga(x 3y) log 2a 1(logax logay)

2

+ − = +

HD Giải

Ta có: x2+9y2 =10xy⇔x2+6xy+9y2 =16xy⇔(x+3y)2 =16xy

Lấy lôgarit số a hai vế, ta có:

( ) ( ) ( )

a x y a xy x y a ax ay

2 4

log +3 =log 16 ⇔2 log +3 =log + log +log

( ) ( ) ( ) ( )

a x y a ax ay a x y a ax ay

1 1

log 3 2log 2 log log log 3 2log 2 log log

2 2

⇔ + = + + ⇔ + − = +

ạng So sánh lôgarit

Lưu ý: Cho a b, >0, ta có:

Nếu c>1 logca<logcb⇔ <a b Nếu 0< <c 1 logca<logcb⇔ >a b

Hệ quả:

Nếu c>1 logca> ⇔ >0 a 1 Nếu 0< <c 1 logca> ⇔ < <0 0 a 1

Bài 3.20 So sánh cặp số sau: a) log0,31

2 log 0,7π b) log 212 log 70,2

c) log 32 log 56 d) log 0,30,2 log 0,40,5

HD Giải a) Ta có:

0,3

0,3 1 1

log 0 (1)

1 1 2

2

 <



⇒ >



<

 

0,7 1 log 0,7 (2)

1 π

π

 <

⇒ <



>



Từ (1) (2), suy ra: log0,31 log 0,7

2 > π

b) Ta có:

12 2 1

log (1) 12 1

 >

⇒ >



>

 0,2

7 1

log (2) 0,2 1

 >

⇒ <



<



Từ (1) (2), suy ra: log log 712 > 0,2

c) Ta có: log log 22 > 2 ⇒log (1)2 >

6 6

log log 6< ⇒log (2)<

Từ (1) (2), suy ra: log log 52 > 6

d) Ta có: log 0,3 log 0,20,2 < 0,2 ⇒log 0,3 (1)0,2 <

0,5 0,5 0,5

log 0,4 log 0,5> ⇒log 0,4 (2)>

Từ (1) (2), suy ra: log 0,3 log 0,40,2 < 0,5 Bài 3.21 So sánh cặp số sau:

a) log 53 log 47 b) log 20,3 log 35

c) log 102 log 305 d) log 103 log 578

HD Giải a) Ta có: log log 33 > 3 ⇒log (1)3 >

7 7

log log 7< ⇒log (2)<

Từ (1) (2), suy ra: log log 43 > 7

b) Ta có: log log 10.3 < 0,3 ⇒log (1)0,3 <

5 5

log log 1> ⇒log (2)>

Từ (1) (2), suy ra: log log 30,3 < 5

c) Ta có: log 10 log 82 > 2 ⇒log 10 (1)2 >

5 5

log 30 log 125< ⇒log 30 (2)<

Từ (1) (2), suy ra: log 10 log 302 > 5

d) Ta có: log 10 log 93 > 3 ⇒log 10 (1)3 >

8 8

log 57 log 64< ⇒log 57 (2)<

Từ (1) (2), suy ra: log 10 log 573 > 8 Bài 3.22 So sánh cặp số sau:

a) 1 log3

2+ log19 log2− b)

5 7

log 2

+ log5 log 7

2

+

HD Giải

a) Ta có: 1 log3 1log10 log3 log3 10 10 3 10

2 2 α

và log19 log2 log19 10 19

2 β 2

β = − = ⇒ =

Ta lại có: ( )

2

360

3 10 90

4 3 10 19

2

19 361

2 4



= =

 

⇒ <



 

 =

 

  

Nên 10α <10β

α β

⇒ < hay 1 log3 log19 log2

2+ < −

b) Ta có: log5 7 5 7 10

2 2 α

α = + ⇒ + = log5 log log 10 5 7

2 β

β = + = ⇒ =

Ta lại có:

2

2

5 7 32 10 7 8 5 7

5 7

2 4 2 5 7

2

5 7 5 7

 +  +

  = = +

 

  +

⇒ >



 

=

 

 



Nên 10α >10β ⇒α β> hay log5 7 log5 log 7

2 2

+ > +

ạng Lôgarit thập phân – Lôgarit tự nhiên

Lưu ý: Cho a b, >0, ta có:

a

10

log gọi lôgarit thập phân a kí hiệu loga hay lga

ea

log gọi lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê – pe) a kí hiệu lna Bài 3.23 Đổi sang lôgarit Nê – pe

a) log2(x2+16) b) lg(x−5) HD Giải

a) (x ) (x )

2

2

ln 16

log 16

ln2

+

+ = b) lg(x 7) (ln x 7) ln10

− − =

Bài 3.24 Rút gọn biểu thức sau:

a) A=(lna+logae)2 −ln2a−log ,(02ae < ≠a 1)

b) a

a

B a e a

a e

3 2

2ln 3log ,(0 1)

ln log

= + − − < ≠ HD Giải

a) ( ) a

a a a a a

A= lna+log e −ln2a−log2e=ln2a+2ln loga e+log2e−ln a−log2e

a

a a

a a e a e

a

2 1 2

ln 2ln log ln log 2

ln

= + + + − − =

b) a

a

B a e a a

a e a a

3 2 3 3

2ln 3log 2ln 2ln 0

ln log ln ln

= + − − = + − − =

Bài 3.25 Hãy tính

a) A ( ) ( )

20 20

log 2 3 log 2 3

= + + − b) B=3log log 7( + +) ( − )

c) C e e 1

ln ln

= + d) D=5lne−1+4ln( )e2 e HD Giải

a) A ( ) ( ) ( )( )

20

20 20

20

log 2 3 log 2 3 log 2 3 2 3  log1 0

= + + − =  + −  = =

b) B=3log log 7( + +) ( − =) (log 1+ )3+log 7( − )

=log 7( + )( − =) log1 0=

c) C e e e e

e

1 1 1 1

ln ln ln ln1 ln ln

2 2 2

= + = + − = − = −

d) D=5lne−1+4ln( )e2 e = −5lne+10lne=5lne=5

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 3.26 Tính:

a) a a a a

a

5 23

4 .

log  

 

 

b)

n dấu căn

5 5 5

log log 5

Bài 3.27

a) Biểu diễn log 830 qua log 530 log 330 b) Biểu diễn log 209 qua a=log2,b=log3

Bài 3.28 Biểu diễn trực tiếp y theo x, biết: a) lny 1lnx ln 4

3

= + b) logy 1logx log3 2

+ =

Bài 3.29

a) Cho log 72 =a,log 2412 =b Hãy tính log 168 theo a, b 54 b) Cho log 156 =a,log 1812 =b Hãy tính log 24 theo 25 a b , Kết quả:

Bài 3.26 a) 173

60 ; b) −n Bài 3.27 a) log 3 log log 330 = − ( 30 + 30 ) b)

1 log 20

2

a b

+

=

Bài 3.28 a) y x

1 4

= ; b) y x 3

= Bài 3.29

a) 7

54

7 7

log 168 log 3log log 168

log 54 log 3log + +

= =

+ Từ giả thiếtlog 72 =a,log 2412 =b ta tính log 27

và log 37 từ hệ phương trình: a

ab

7

7

2log log 3 3log log 3

 + =

 

+ =



b) log 2425 1log 245 3log 25 1log 35

2 2

= = +

a 6

2

1 log 3

log 15 (1)

log log 3

+

= =

+ ; b

5

12

5

log 2log 3

log 18 (2)

2log log 3

+

= =

+

§4 HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠGARIT A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I Hàm số mũ 1 Định nghĩa

Cho a>0,a≠1 Hàm số y=ax gọi hàm số mũ số a

2 Đạo hàm hàm số mũ Giới hạn:

t

t

e t

0 1

lim 1

→ − =

( )ex / =ex ( )eu / =u e/. u ( )ax / =axlna ( )au / =auln a u/

3 Khảo sát hàm số mũ y=ax,(0< ≠a 1) >

a 1 0< <a 1

Tập xác định: D=ℝ

Sự biến thiên: • y/ =ax.lna> ∀0, x

• Giới hạn: x x

xlim→−∞a =0, limx→+∞a = +∞

• TCN: trục Ox Bảng biến thiên

Đồ thị

Tập xác định: D=ℝ

Sự biến thiên: • y/ =ax.lna< ∀0, x

• Giới hạn: x x

xlim→−∞a = +∞, limx→+∞a =0

• TCN: trục Ox Bảng biến thiên

Đồ thị

Bảng tóm tắt tính chất hàm số mũ y=ax,(0< ≠a 1)

Tập xác định D= = −∞ +∞ℝ ( ; )

Đạo hàm x

y/ =a .lna

Chiếu biến thiên a>0: Hàm số đồng biến

a

0< <1: Hàm số nghịch biến Tiệm cận Trục Ox tiệm cận ngang

Đồ thị Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía trục hoành (y=ax > ∀ ∈0, x )

ℝ

1 Định nghĩa

Cho a>0,a≠1 Hàm số y=logax gọi hàm số lôgarit số a 2 Đạo hàm hàm số lôgarit

( ax)

x a

/ 1

log

ln

= ( )

a

u u

u a

/ / log

ln

=

( )x

x

/ 1

ln = ( ) u

u

/ /

lnu =

3 Khảo sát hàm số lôgarit y=log ,(0ax < ≠a 1)

>

a 1 0< <a 1

Tập xác định: D=(0;+∞)

Sự biến thiên:

• y x

x a

/ 0, 0

ln

= > ∀ >

• Giới hạn: a a

x

xlim log→0+ x= −∞, lim log→+∞ x= +∞

• TCĐ: trục Oy Bảng biến thiên

Đồ thị

Tập xác định: D=(0;+∞)

Sự biến thiên:

• y x

x a

/ 0, 0

ln

= < ∀ >

• Giới hạn: a a

x

xlim log→0+ x= +∞, lim log→+∞ x= −∞

• TCĐ: trục Oy Bảng biến thiên

Đồ thị

Bảng tóm tắt tính chất hàm số mũ y=log ,(0ax < ≠a 1)

Tập xác định D=(0;+∞) Đạo hàm y/ = xln1a

Chiếu biến thiên a>0: Hàm số đồng biến

a

0< <1: Hàm số nghịch biến

Tiệm cận Trục Oy tiệm cận đứng

Bảng đạo hàm hàm số luỹ thừa, mũ, logarit Hàm sơ cấp Hàm hợp (u u x= ( ))

( )xα / =αxα−1

x x

/

1

  = −    

( )x

x

/

2 =

( )xu / =uxu−1.u/

u

u u

/ /

2

1  

= −    

( ) u

u

u

/ /

2 =

( )ex / =ex

( )ax / =axlna

( )eu / =u e/. u

( )au / =auln a u/ ( a x) x a

/

log

ln =

( )x x

/

ln =

( a )

u u

u a

/ /

log

ln =

( ) u u

/ /

ln u = ( )u v+ / = +u/ v/ ( )u v− / = −u/ v/

( )u v. / =u v u v/. + . /

/ / /

2

u u v u v

v v

  −

=  

 

B BÀI TẬP ạng Tìm tập xác định hàm số lôgarit

Lưu ý: Hàm số log ( ) (với a f x 0< ≠a 1) xác định f x( ) 0> Bài 4.1 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y x

x

1 ln

2

− =

− − b) y x x

2

ln 12

= − −

c) y=log 45( −x)2 d) y= x2+ −x 2.log 93( −x2)

HD Giải

a) Hàm số xác định x x

x

1 0 1

2

−

⇔ > ⇔ − < <

− − Vậy tập xác định hàm số là: D ;12

 

= − 

  b) Hàm số xác định ⇔x2−4x−12 0> ⇔ < −x x>6

Vậy tập xác định hàm số là: D= −∞ − ∪( ; 2) (6;+∞)

c) Hàm số xác định ⇔(4−x)2> ⇔ ≠0 x Vậy tập xác định hàm số là: D=ℝ\ 4{ } d) Hàm số xác định

x

x x x

x

x x

x

2

2

2

1

1

9

3

 ≤ −

 + − ≥  − < ≤ −

 

⇔ ⇔ ≥ ⇔

≤ <

− >

  



− < < 

Vậy tập xác định hàm số là: D= − − ∪( 3; 2 1;3)

Bài 4.2 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y=log 22( − x) b) y=log3(x2−2x)

c) y 1(x2 x )

5

log

= − + d) y x

x 0,4 log + = − HD Giải

a) Hàm số xác định 2x x

2

⇔ − > ⇔ < Vậy tập xác định hàm số là: D ;5

2

 

= −∞ 

  b) Hàm số xác định ⇔x2−2x> ⇔ <0 x 0 x>2

Vậy tập xác định hàm số là: D= −∞( ;0) (∪ 2;+∞)

c) Hàm số xác định ⇔x2−4x+ > ⇔ <3 x 1 x>3 Vậy tập xác định hàm số là: D= −∞ ∪( ;1) (3;+∞)

d) Hàm số xác định x x

x

3 0 1

1

+

⇔ > ⇔ − < <

− Vậy tập xác định hàm số là: D ;12

 

= − 

 

ạng Giới hạn

Lưu ý: ( )

1

1

lim lim x

x→±∞ x x→ x e

  + = + =     ( ) ln lim x x x → + =

lim x

x e x → − = sin lim x x x

→ =

tan lim x x x → =

Bài 4.3 Tính giới hạn sau: a) lim x x e x →

− b)

0 lim x x x e e x →

− c) ( )

5

lim 2x 3x

x→ − d)

1

lim x

x→+∞ xe x

  −       HD Giải a) 3 0 1

lim 3lim 3.1

3 x x x x e e x x → → − = − = = b)

2 3

0 0

1 1 3

lim lim lim lim

5 5 5 5

x x x x x x

x x x x

e e e e e e

x x x x x

→ → → →

 

− = − − − = − − − = − = −

 

 

c) ( ) 5

5

lim 2x 3x 211

x→ − = − = −

d)

1

0

1

lim lim lim

1

y x

x

x x y

e e xe x y x + →+∞ →+∞ →   − − − = =    

  (với

1, 0

y x y

x

+

= → +∞⇒ → )

Bài 4.4 Tính giới hạn sau:

a) 3

9

lim log

x→ x b)

( )

0

ln lim x x x → +

c) ( ) ( )

0

ln ln lim x x x x → + − +

d) ( )

0

ln lim sin x x x → + HD Giải

a) 3 3

9

lim log log

x→ x= =

b) ( ) ( ) ( )

0 0

ln 4 ln ln

lim lim lim

4

x x x

x x x

x x x

→ → →

+ + +

= = =

c) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

ln ln ln ln

lim lim lim

x x x

x x x x

x x x

→ → →

+ − + + +

= −

( ) ( )

0

ln ln

3lim lim

d) ( )

( ) ( )

0

0

0

ln ln

lim

ln 3 3 3 3 3

lim lim

sin sin

sin 2 lim 2

2

x

x x

x

x x

x x x

x x x x x → → → → + + + = = =

Bài 4.5 Tính giới hạn sau: a)

5 3 lim x x e e x + →

− b)

0 lim 1 x x e x → −

+ − c)

( 3) ln lim x x x → +

d) ( )

0

ln lim tan x x x → + HD Giải a)

5 3 3 5

3 3

0 0

1 5

lim lim lim lim

2 2

x x x x

x x x x

e e e e e e e

e e e

x x x x

+ → → → →     − = − = − = − =        

b) ( )( ) ( )

0 0

1 1

1

lim lim lim 1

1

x

x x

x x x

e x e e x x x x → → → − + + − = = − + + = + −

c) ( ) ( ) ( )

3 3 2

3

0 3

2

ln ln ln

lim lim lim 1.0

2

2 .

x x x

x x x x

x x x

x → → →   + +  +  = = = =    

d) ( )

( )

0

ln

ln 2 1

lim lim 2

tan tan x x x x x x x x → →  +    +   = = =      

ạng Đạo hàm hàm số

Lưu ý: Dùng cơng thức tính đạo hàm hàm số

Bài 4.6 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y=8x2+ +x 1 b) y=2xex+3sin 2x c) y=5x2−2 cosx x d) x x y + = HD Giải

a) y/ =(8x2+ +x 1)/ =8x2+ +x 1(x2+ +x 1 ln8 8)/ = x2+ +x 1(2x+1 ln8)

b) y/ =(2xex+3sin 2x) ( )/ = 2xex /+(3sin 2x)/ =2ex( )x+ +1 cos2x

c) y/ =(5x2−2 cosx x) ( ) (/ = 5x2 /− cosx x)/ =10x+2 sinx( x−ln 2.cosx)

d) ( ) ( )( )

( ) ( )

x x

x x

x

x x x

x y / / / /

1 3 1 ln3

1

3 3

+ − + − +

 + 

=  = =

 

Bài 4.7 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y=(x2−2x+2)ex b) y=(sinx−cosx e) 2x c)

x x x x e e y e e − − − =

+ d)

x x

y=2 − e

HD Giải

a) y/ =(x2−2x+2)ex/ =(x2−2x+2 )/ ex+(x2−2x+2)( )ex / =(2x−2)ex+(x2−2x+2)ex =x e2 x

 

b) y/ =(sinx−cosx e) 2x/ =(sinx−cosx e)/ 2x+(sinx−cosx e)( )2x /

 

=(cosx+sinx e) 2x+2 sin( x−cosx e) 2x =(3sinx−cosx e) 2x

c) ( ) ( ) ( )( )

( )

x x x x x x x x

x x

x x

x x

e e e e e e e e

e e y

e e e e

/ /

/ /

2

− − − −

−

− −

− + − − +

 − 

=  =

+

  +

( ) ( )

( ) ( )

x x x x

x x x x

e e e e

e e e e

2

2

4

− −

− −

+ − −

= =

+ +

d) ( ) ( ) ( ) ( )

x

x x x x x x x

x

e

y e e e

e

/

/ / /

/ 2 2 2 ln 2 2 ln 2

2

= − = − = − = −

Bài 4.8 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y=x3 ex2+1 b) y=3x− 33x +2 c) y=(x2+1)ex d) y=(sinx+cosx) ex

HD Giải

a) ( ) ( )

x x x

x

x x x

x x x

x e x x e x x e e

y x e x e x e

e e e

2 2

2

2 2

2 2

/

3 2

/

/ 1 3 1 3 1 3

2 1

+ + +

 

= +  = + + = + + =

  + + +

b) ( ) ( )

x x

x x x x

x x

e y

/

3 3

/

/

3

3 3

3 3 ln3 ln3

2 2

+

= − + = − = −

+ +

c) y/ =(x2+1)ex/ =(x2+1) (/ex+ x2+1 ) ( )ex / =( )x+12ex

 

d) y/ =(sinx+cosx) ex/ =(sinx+cosx)/ ex +(sinx+cosx)( )ex /

 

 

( ) ( ) ( )

x x

x e e

x x / e x x x x

cos sin sin cos 3cos sin

2

= − + + = −

Bài 4.9 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y=ln(x2+1) b) y x

x

ln

= c) y= +(1 ln lnx) x d) y x= 2ln x2+1

HD Giải

a) y (x ) (x ) x

x x

/ /

/

2

1 2

ln

1

+

 

= +  = =

+ +

b) y x ( )x x x x x

x x x

/

/ /

/

2

ln ln

ln − ln

  −

=  = =

 

c) y ( x) x ( x) x ( x) ( )x x x

/ / /

/ =1 ln ln+  = +1 ln ln + +1 ln ln =1 ln+

 

d) y (x x ) x x x ( x ) x (x ) x

x x

/

3 /

/ 2 2

2

1

ln ln ln

1

+

= + = + + = + +

+ +

Bài 4.10 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y=ln cosx b) ln1 sin

cos

x y

x

+

= c) ln1

1

x y

x

− =

+ d)

2 1 1

ln x

y

x

+ − =

HD Giải

a) ( ) ( )

/ /

/ ln cos cos sin tan

cos cos

x x

y x x

x x

b) ln1 sin ln sin ln cos cos

x

y x x

x

+

= = + −

( )/ ( ) (/ )/

/ ln sin ln cos sin cos cos sin

1 sin cos sin cos cos

x x x x

y x x

x x x x x

+

= + − = − = + =

+ +

c) ln1 ln ln

1

x

y x x

x

−

= = − − +

+ ( ) ( ) ( )

/ /

/ /

2

1 2

ln ln

1 1

x x

y x x

x x x

− +

= − − + = − =

− + −

d)

2

2

1

ln x ln 1 ln

y x x

x

+ −

= = + − −

( ) ( )/ ( )

2 /

/

2 2

1 1 1 1 1

ln 1 ln

1 1 1

x x

y x x

x

x x x x x x

+ − + −

= + − − = − = =

+ − + + − +

Bài 4.11 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y=log 22( x+1) b) y=3x2−lnx+4sinx c) y=log(x2+ +x 1) d) y log x3

x

= HD Giải

a) ( ) ( )

( ) ( )

/ /

/

2

2 2

log

2 ln 2 ln

x

y x

x x

+

 

= +  = =

+ + b) ( )

/

/ 3 ln 4sin 6 4 cos

y x x x x x

x

= − + = − +

c) ( ) ( )

( ) ( )

/

/

/

2

1 2 1

log

1 ln10 ln10

x x x

y x x

x x x x

+ + +

 

= + +  = =

+ + + +

d) ( ) ( )

/ /

/

3

3

/ 3

2 2

1 log

log log

log ln3 log ln3 ln

ln ln3

x x

x x x x

x x x x

y

x x x x x x

− −

  − −

=  = = = =

 

Bài 4.12 Cho hàm số f x( ) ln= (x+ x2+1) Tính f/( )3

HD Giải

Ta có: ( ) ( )

( )

/

/ 2

/

2 2 2

1

1 1 1 1

( ) ln

1 1 1

x

x x x x

x

f x x x

x x x x x x x x

+

+ + + + +

 

= + +  = = = =

+ + + + + + + +

Vậy: /( )3 1

f = =

+ Bài 4.13

a) Cho y=e4x+2e−x Chứng minh: y///−13y/−12y=0

b) Cho y=e2xsin 5x Chứng minh: y//−4y/+29y=0

HD Giải

a) y=e4x+2e−x Ta có:

/ // ///

4

16

64

x x

x x

x x

y e e

y e e

y e e

− −

−

 = −



= +

 

= −



( ) ( ) ( )

/// 13 / 12 64 4x 2 x 13 4 4x 2 x 12 4x 2 x

VT =y − y − y= e − e− − e − e− − e + e−

b) Cho y=e2xsin 5x Ta có: ( )

( )

/ //

2sin 5cos5 21sin 20 cos5

x x

y e x x

y e x x

 = +

 

= − +



( ) ( )

// 4 / 29 2x 21sin 5 20 cos5 4 2x 2sin 5 5cos5 29 2xsin 5

VT =y − y + y=e − x+ x − e x+ x + e x =e2x(−21sin 5x+20 cos5x−8sin 5x−20 cos5x+29sin 5x)= =0 VP (ĐPCM)

Bài 4.14 Chứng minh rằng: a) Hàm số 2

3

x x

y

−

−

= đồng biến ℝ b) Hàm số y=3x(x− x2+1) nghịch biến ℝ

HD Giải a) Hàm số 2

3

x x

y

−

−

=

Tập xác định D=ℝ

/

/ 2 ln 2 ln 0,

3

x x x x

y x

− −

 −  +

=  = > ∀ ∈ ⇒

  ℝ hàm số

2

3

x x

y

−

−

= đồng biến ℝ b) Hàm số y=3x(x− x2+1)

Tập xác định D=ℝ

( )( ) ( )

/ 2

2

1

3 ln3 3 ln3

1

x x x x

y x x x x

x x

   

= − + +  − = − +  − 

+ +

   

Mặt khác:

2 2

/

2

1

0,

1

ln3 ln3

1

x x x x x x

y x

x x

 + > = ≥ ⇒ − + <



⇒ < ∀ ∈



> > ⇒ − >



+ +



ℝ

Vậy: Hàm số y=3x(x− x2+1) nghịch biến ℝ

Bài 4.15 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a) y=2x đoạn −1;2

  b) y=2x đoạn −1;1 HD Giải

a) Hàm số y=2x

Tập xác định: D= ⊃ −ℝ  1;2 y/ =( )2x / =2 ln 0,x > ∀ ∈x ℝ

( )1 21

2

y − = − = ; y( )2 =22 =4 Vậy:

1;2

Max y

−    =

,

1;2

1

Min y

−    =

b) Trên đoạn −1;1 , ta có: 2 , 0;1 ,khi 1;0

x x

x

x y

x

−

 ∈ 

  

= =

 

∈ −

  



Do đó, đoạn 0;1  hàm số đồng biến, đoạn −1;0 hàm số nghịch biến Suy giá trị lớn giá trị nhỏ đạt đầu mút Ta có: y( )− =1 2− −( )1 =2 ;y( )1 = =21 ;

( )0 20 1

y = = Vậy: ( ) ( )

1;1 1

Max y y y

− 

  = − = =

, ( )

1;1

Min y y

− 

  = =

ạng Khảo sát hàm số mũ lôgarir

Lưu ý: Các bước khảo sát hàm số

Bài 4.16 Khảo sát hàm số sau:

a) y=2x b)

2

x

y=  

 

HD Giải a) y=2x

Tập xác định: D=ℝ Sự biến thiên:

/ 2 ln 0,x

y = > ∀ ∈x D nên hàm số đồng biến ℝ

lim 2x 0; lim 2x

x→−∞ = x→+∞ = +∞⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang trục Ox

Bảng biến thiên:

+

2

1

x

y y'

0

0

+∞ +∞

Đồ thị:

y

x

2

1

O

b)

2

x

y=    

Tập xác định: D=ℝ Sự biến thiên:

/ ln1 0,

2

x

y =   < ∀ ∈x D

  nên hàm số nghịch biến ℝ

1

lim ; lim

2

x x

x→−∞ x→+∞

   

= +∞ = ⇒

   

    Đồ thị có tiệm cận ngang trục Ox Bảng biến thiên:

∞ +∞

+∞

0

y'

y

x

1

1

Đồ thị:

1

O

1

x y

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4.17 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y =log8(x2−3x−4) b) y=log 3(− +x2 5x+6) c)

2 0,7

9 log

5 x y

x

− =

+ d)

3 log

3

x y

x

− =

+

e) 1

3 4 log

4 x y

x

− =

+ f) log 2( 2)

x

y= π − g) log 33( x 9)

y= − − h)

2 16

log

5

x y

x

π

− =

+ Bài 4.18 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y =log8(x2−3x−4) b) y=log 3(− +x2 5x+6) c)

2 0,7

9 log

5 x y

x

− =

+

d) 1

3 4 log

4 x y

x

− =

+ e) log 2( 2)

x

y= π − f) y=log 33( x−1−9)

a) y =(3x+1)e b) y= x c) y= 3ln 22 x d) y= cosx Bài 4.20 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y =3 12x + x b) y=4x2+ +x 1 c) y=4cosx d)

1 cos

3 x

y=

Bài 4.21 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y =5x2 −lnx+8cosx b) y log3x log(x2 x 1) x

= + + + c) y= x2 +1.lnx d) y=ecos2x

Bài 4.22 Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y = +x ln sinx+cosx b) 1

2 4

x

x y= − e

  c) ln1

x x e y e =

+ d)

ln 1 ln

ln

x x

y

x x x

− = +

+

Bài 4.23 Chứng minh đẳng thức sau:

a) y//+2y/ +2y=0 với y=e−xsinx b) xy/+ =1 ey với ln

1 y x   =   +  

c) xy/ =y y( lnx−1) với

1 ln

y

x x

=

+ + d)

/ // 0

y xy+ +x y = với y=sin ln( )x +cos ln( )x

Bài 4.24 Tính giới hạn sau: a) lim

1 x x x →+∞     +

  b)

2 1 lim x x x x − →+∞  +    −

  c)

ln lim x e x x e → −

− d) lim0 sin

x x x e e x − → − Kết quả: Bài 4.17

a) D= −∞ − ∪( ; 1) (4;+∞) ; b) D= −( )1;6 ; c) D= − − ∪( 5; 3) (3;+∞) ; d) D= −∞ − ∪( ; 3) (3;+∞) e) D= −∞ − ∪( ; 4) (4;+∞) ; f) D= +∞(1; ) ; g) D=(3;+∞); h) D= − − ∪( 5; 4) (4;+∞)

Bài 4.18 a)

( )

/

2

3 ln8

x y

x x

− =

− − ; b) ( )

/

2

4 10 ln3

x y

x x

− + =

− + + ; c) ( )( )

2 /

2

10

9 ln 0,7

x x y x x + + = − + d) ( ) / 16 ln3 y x =

− ; e) ( )

/ ln

2 ln

x x

y

x

=

− ; f)

1 / 3 x x y − − = −

Bài 4.19 a) y/ =3 3e( x+1)e−1 ; b) /

3

1

y

x

= ; c)

1 / ln 23

3

y x

x

−

= ; d) / 5

6 sin cos x y x = −

Bài 4.20 a) y/ =3 ln3 12 ln12x + x ; b) y/ =(2x+1 4) x2+ +x 1ln

c) y/ = −sin 4x cosxln 4 ; d)

1

/ cos

2

sin .3 ln3

cos x

x y

x

=

Bài 4.21 a) y/ 10x 8sinx

x

= − − ; b)

( )

/

2

1 ln

ln3 ln10

x x

y

x x x

− +

= +

+ +

c) ( )

2 /

2

ln 1

1 x x y x x + + =

+ ; d)

/ 2sin cos2x

y = − x e Bài 4.22 a) / cos

sin cos x y x x = + ;

/ . 2x

y =x e ; c) / 1 x

y

e

=

+ ; d) ( )

/

2

1 ln

1 ln

x y

x x x

− −

= +

+

Bài 4.24 a) 1

e ; b)

6

e ; c) 1

ÔN TẬP

HÀM SỐ LŨY THỪA

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Bài Đơn giản biếu thức sau:

a) A=25log 65 +101 log2+ −2log 94 b) b

2

log log

B=

c) log5 23

3

C= d) 2

96 12

log 24 log 192 log log

D= −

HD Giải

a) ( )5 ( )2

1

log log2 log log log2 log 2

25 10 10.10 20 53

A= + + − = + − = + − =

b)

1

3

4

2 5 2

1

log log log log log log

8

B= = = = − = −

c) log5 23 log2 log3 1log2 1log2

3 3 2

C= =  +  + =

 

 

d) 2 ( ) ( )

2 2

96 12

log 24 log 192

log 12.2 log 96 log 96.2 log 12 log log

D= − = −

(1 log 12 log 96 log 96 log 12 log 96 log 12 log2 ) 2 ( 2 ) 2 2 2 296 log 32 12

= + − + = − = = =

Bài Tìm tập xác định hàm số sau:

a)

3 3x

y=

− b)

1 log

2

x y

x

− =

−

c) y=log x2− −x 12 d) y= 25x −5x

HD Giải

a) Hàm số xác định ⇔3x − ≠ ⇔ ≠3 x 1 Vậy tập xác định hàm số là: D=ℝ\ 1{ }

b) Hàm số xác định 1

2

x

x x

−

⇔ > ⇔ <

−

3

x> Vậy tập xác định hàm số là: ( ;1) 3;

2

D= −∞ ∪ +∞

 

c) Hàm số xác định ⇔x2− −x 12 0> ⇔ < −x 3hoặc x>4

Vậy tập xác định hàm số là: D= −∞ − ∪( ; 3) (4;+∞) d) Hàm số xác định ⇔25x− ≥ ⇔5x 0 52x ≥5x ⇔ ≥x 0

Vậy tập xác định hàm số là: D=0;+∞) Bài Tìm tập xác định hàm số sau:

a)

4x

y=

− b)

3

log

x y

x

+ =

−

c) y= logx+log(x+2) d) y= log( )x− +1 log( )x+1

HD Giải

a) Hàm số xác định 4 2 0 22 2

2

x x x

⇔ − > ⇔ > ⇔ > Vậy tập xác định hàm số là: 1;

2

D= +∞

b) Hàm số xác định 2

1

x

x x

+

⇔ > ⇔ − < <

− Vậy tập xác định hàm số là:

2;1

D= −   

c) Hàm số xác định ( ) ( )

2

log log1

log log

0

x x x x

x x

x x

  + ≥  + − ≥

   

⇔ + + > ⇔ ⇔

> 

> 



1 2 1 2

0

x hoặc x x

x

 ≤ − − ≥ − +

⇔ ⇔ ≥ − +

>



Vậy tập xác định hàm số là: D= − + 2;+∞)

d) Hàm số xác định ( ) ( ) ( )( )

2

log 1 log1

log log

1

x x x

x x

x x

  − + ≥  − >

   

⇔ − + + ≥ ⇔ ⇔

> 

> 



2 2

1

x hoặc x x

x

 ≤ ≥

⇔ ⇔ ≥

>

 Vậy tập xác định hàm số là: D 2; )



= +∞

Bài Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y=log 3(− +x2 4x+5) b) log 27

x x

y= π − − 

 

c) y= logx−2(x2−8x+15) d) ( )

log

y= x − x+ + −x

HD Giải a) Hàm số xác định ⇔ − +x2 4x+ > ⇔ − < <5 x Vậy tập xác định hàm số là: D= −( )1;5

b) Hàm số xác định 32 32 33 4

27

x − x x − x − x x x x x

⇔ − > ⇔ > ⇔ − > − ⇔ − + > ⇔ <

3

x> Vậy tập xác định hàm số là: D= −∞ ∪( ;1) (3;+∞)

c) Hàm số xác định ( )

2

2

2

0

3

log 15 15

3

8 14

4

x

x x

x

x x x x

x hoặc x x x

x hoặc x

−

 >

 < − ≠ 

≠

 

⇔ − + ≥ ⇔ − + > ⇔

< >

 − + ≥ 

  ≤ − ≥ +



4

4

x x

 − ≤ <

⇔

 ≥ + 

Vậy tập xác định hàm số là: D=4− 2;3)∪ +4 2;+∞)

d) Hàm số xác định ⇔log3( x2−3x+ + −2 x)⇔ x2−3x+ + − ≥ ⇔2 x x2−3x+ ≥ −2 x

( )

2

2

3

3 1

1

3 2 1

2

3 3 2

3

3

3

x

x x

x

x x x x

x

x x x

x

x x x

x

 < 

 − < 

≤  

   ≤

− + ≥ 



  ≥   ≤

⇔ ⇔ ⇔ ≤ < ⇔

 − ≥  ≥

  ≥ 

  ≥

  

 − + ≥ − 

 



  ≥

 

Vậy tập xác định hàm số là: D= −∞( ;1∪2;+∞)

HD Giải

Ta có: ( ) ( )

/ /

/

2

1

( ) ln

1

x x

x x

x x

e e

f x e e

e e

+ +

 

= + +  =

+ +

Mà: ( ) ( )

2

/

2

1

1

x x x

x

x x x

x x

e e e

e

e e e

e e

+ +

+ + = + =

+ +

Do đó: /

2

( )

x x

e f x

e

=

+ Vậy: ( )

ln2 /

2ln2

2

ln

5

1

e f

e

= = =

+ +

Bài Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y=e3 1x+ cos2x b) ln 1

y= x − c) y=log2(x2+ex)

d) y=5cosx+sinx e) 3

3 log

y= x− − x f) y= 3(3x−2)

HD Giải

a) y/ =(e3 1x+ cos2x) ( )/ = e3 1x+ /cos2x e+ 1x+ (cos2x)/ =3e3 1x+ cos2x−2e3 1x+ sin 2x

b) ( ) ( )

( ) /

3

2 /

/

3

1 3

ln

2

1

x x

y x

x x

−

= − = =

− −

c) ( ) ( )

( ) ( )

/ /

/

2 2

2 log

ln ln

x x

x

x x

x e x e

y x e

x e x e

+ +

 

= +  = =

+ +

d) y/ =(5cosx+sinx)/ =(cosx+sinx)/5cosx+sinx.ln 5=(cosx−sin 5x) cosx+sinx.ln

e) / /

3

1

3 log

ln3

y x x x

x

− −

 

= −  = − −

f) ( ) ( )

1 /

/ 3 3 2 2 3 2 3

y = x−  = x− −

Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a) f x( ) ln= (x2+ −x 2) đoạn 3;6 

  b) f x( )=x2lnx đoạn 1;e  c) f x( )=xe−x nửa khoảng 0;+∞)

 d) f x( )=e2x−4ex +3 đoạn 0; ln 4  HD Giải

a) f x( ) ln= (x2+ −x 2) đoạn 3;6 Tập xác định: D=ℝ\ 2;1− ⊃3;6

( ) /

/

2

2

( ) ln

2

x

f x x x

x x

+

 

= + −  =

+ −

/( ) 0 3;6

2

f x = ⇔ = − ∉x  

( )3 ln 3( 3 2) ln10

f = + − = f( )6 =ln 6( 2+ − =6 2) ln 40

Vậy:

3;6 ( ) ln 40

Max f x

 

  =

3;6

Min ( ) ln10f x

    =

b) f x( )=x2lnx đoạn 1;e  Tập xác định: D=(0;+∞ ⊃) 1;e

( )/

/( ) 2ln 2 ln 0, 1;

f x = x x = x x x+ > ∀ ∈x  e nên ( )f x đồng biến

Vậy: ( )

1;e ( )

Max f x f e e

   

= = ( )

1;

Min ( )

e f x f

 

  = =

c) f x( )=xe−x nửa khoảng 0;+∞)

( )/ ( )

/( ) x x 1

f x = xe− =e− −x f x/( ) 0= ⇔ =x ( )0 0, 1( ) 1; lim ( )

x

f f f x

e →+∞

= = =

Bảng biến thiên:

0

0 e

y'

y x

+

+∞

Vậy:

) ( )

0;

1

( )

Max f x f e

 +∞

 = =

) ( )

0;

Min ( )f x f 0

 +∞

 = =

d) f x( )=e2x−4ex+3,x∈0;ln 4

  Tập xác định: D= ⊃ℝ 0;ln 4

2

' x x

y = e − e ' 2 ln 0;ln

0( )

x

x x

x

e

y e e x

e ptvn

 =

 

= ⇔ − = ⇔ ⇔ = ∈ 

= 

( )0 0; ln 2( ) 1; ln 4( )

f = f = − f =

Vậy: ( )

0;ln4 ( ) ln

Max f x f

   

= = ( )

0;ln4 ( ) ln

Min f x f

   

= = −

Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a) f x( )=x2−ln 2( − x) đoạn −2;0

  b) f x( )=xln3x đoạn

2

; 3

e e

 

 

 

c)

2

ln

( ) x

f x x

= đoạn 1;e3

  d) f x( )=x2lnxtrên đoạn 1e;e2

 

 

 

HD Giải

a) f x( )=x2−ln 2( − x) đoạn −2;0 Tập xác định: ;1 2;0

D= −∞ ⊃ − 

 

( ) /

/( ) ln 2 2 2,

1 2

x x

f x x x x x

x x

− + +

 

= − −  = + = ∀ <

− −

/

1 2;0

( ) 2 1

2;0

x

f x x x

x

 = ∉ − 



= ⇔ − + + = ⇔

 

= − ∈ − 



( )2 ln 5; 1 ln 2; 0( )

2

f − = − f− = − f =

  Vậy: Max f x−2;0 ( ) ln 5= − 2;0

1 ( ) ln

4

Min f x

− 

  = −

b) f x( )=xln3x đoạn

2

; 3

e e

 

 

  Tập xác định: ( )

2

0; ;

3

e e D= +∞ ⊃ 

 

/( ) ln3 0,

f x = + x> ∀ ∈x D

2 2

;

3 3

e e e e

f  = f =

   

Vậy:

2

2

; 3

2 ( )

3

e e

e Max f x

       

=

2

; 3

( )

e e

e Min f x

       

= c)

2

ln

( ) x

f x x

/

2

/

2

ln ln ln

( ) x x x

f x x x   − =  =   ; / 2 1; ln

( ) ln ln

ln 1;

x e

x

f x x x

x x e e

 = ∈ 

 =   

= ⇔ − = ⇔ ⇔

= = ∈ 

   

( ) ( )2 ( )3

2

4

1 0; ;

f f e f e

e e

= = = Vậy:

3

1;

4 ( )

e

Max f x e

   

=

3

1;e ( )

Min f x

   

= d) f x( )=x2lnxtrên đoạn 1;e2

e

 

 

  Tập xác định: ( )

2 0; ; D e e   = +∞ ⊃    ( ) ( )/

/ 2ln 2 ln

f x = x x = x x x+ ;

2 / ;

( ) ln 1

ln 1;

2

x e

x e

f x x x x

x x e e e    = ∉   =       = ⇔ + = ⇔ ⇔ = −     = ∈       

( )2

1 1; 1 ; 2

2

f f f e e

e e e e

 

 

= −  = − =

 

    Vậy:

4 1;e ( ) e

Max f x e

     

=

2 1; ( ) e e

Min f x e

     

= − Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) f x( )=e2 3− x đoạn 0;2 

  b)

3 3 3

( ) x x

f x =e − + đoạn 0;2 

c) ( )

2

( ) ln

x

f x = − −x đoạn −2;1 d) ( ) 3 ln

f x = x + −x x đoạn 1;2  HD Giải

a) f x( )=e2 3− x đoạn 0;2 

  Tập xác định: D= ⊃ℝ 0;2

( )/

/( ) 3x 3 3x 0,

f x = e− = − e − < ∀ ∈x D Nên f x nghịch biến 0;2( )  

Vậy: ( )

0;2 ( )

Max f x f e

   

= = ( ) 4

0;2

1

( )

Min f x f

e

   

= =

b) ( ) x3 3x

f x =e − + đoạn 0;2  Tập xác định: D= ⊃ℝ 0;2

( )/ ( )

/( ) x 3x 3 1 x 3x

f x = e − + = x − e − + ; /( ) 1 0;2

1 0;2

x

f x x

x  = − ∉   = ⇔ − = ⇔   = ∈    

( )0 3; 1( ) ; 2( )

f =e f =e f =e Vậy:

0;2 ( )

Max f x e

 

  =

0;2 ( )

Min f x e

 

  =

c) ( )

2

( ) ln

x

f x = − −x đoạn −2;1 Tập xác định: D= −∞( ;3)⊃ − 2;1

( ) /

2

/( ) 4 ln 3 4, 3

2 3

x x x

f x x x x

x x

  − + +

= − −  = + = ∀ <

− −

  ;

/( ) 0 3 4 0 2;1

4 2;1

x

f x x x

x  = − ∈ −   = ⇔ − + + = ⇔   = ∉ −    

( )2 ln 5; ( )1 8ln 2; 1( ) ln

2

f − = − f − = − f = −

Vậy:

2;1

1

( ) ln 2

Max f x

−   

= −

2;1

1 ( ) 8ln

2

Min f x

−   

= −

d) f x( )= x2+ −3 xlnx đoạn 1;2  Tập xác định: D=(0;+∞ ⊃) 1;2

( ) ( )/ ( )

/

2

3 ln ln

3

x

f x x x x x

x

= + − = − +

Với x∈1;2 ta có: ( )

1

1 ln

3

3

1 ln

x

x

x x

x x



< 

⇒ − + <

 +

+ 

+ ≥



Nên f x nghịch biến đoạn ( ) 1;2

Vậy: ( )

1;2 ( )

Max f x f

 

  = =

( )

1;2 ( ) ln

Min f x f

 

  = = −

Bài 10 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y=(x2+2 ).x e−x đoạn [0;2] b) y= f x( )=e2x −4ex +3 đoạn 0; ln 4 

 

HD Giải a) y=(x2+2 ).x e−x

TXĐ: D = ℝ

− − −  = ∈

= + − + = − = ⇔

 = − ∉



x x x x

y x e x x e e x y

x

/ (2 2) ( 2 ) (2 2) ' 0 [0;2]

2 [0;2]

( ) ( ) 2

(0) 0; 2 2 ; (2)

y = y = + e− y = e−

Vậy: ( ) ( )

[0;2] 2 2 ; [0;2] (0)

Max y=y = + e− Min y=y =

b) y= f x( )=e2x −4ex +3 TXĐ : D= ⊃0;ln 4

 

ℝ

2

' x x

y = e − e ; ' 2 ln 0;ln

0(ptvn)

x

x x

x

e

y e e x

e

 =

 

= ⇔ − = ⇔ ⇔ = ∈ 

= 

( )0 0; ln 2( ) 1; ln 4( )

y = y = − y = Vậy: ( ) ( )

0;ln4 ln 3; 0;ln4 ln

Max y y Min y y

   

  = =   = = −

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11 Cho , ,a b xlà số dương Đơn giản biểu thức sau:

a) ( )

( )

1

1 3

2 2 2

1

2

a ab a b a b

A

a a b

a ab

−

   

+ − −

   

=   − 

+

   − 

   

b)

1

log log

16 81 15

B= + +

c)

2

a x a x a x a x

B

a x a x a x a x

− −

 + +   − + 

= −  − − 

+ + + −

   

d) D=491 log 2− +5−log 45

Bài 12 Tìm tập xác định hàm số sau:

a)

5x 25

y=

− b) y=log sin( x+cosx) c)

2

1

2

3 log log

1

x y

x

 − 

=  

+

 

Bài 13 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y= x2−25 lg 42+ ( + −x x2) b) ( 2)

2.log

y= x + −x −x

c) ( 2)

3

log

y= − x x− d) 1( )

5

log

y= x− − Bài 14 Tìm tập xác định hàm số sau:

a) 1

2

1 log

5

x y

x

− =

+ b)

2

1

2

1

log log

5

x

y x x

x

−

= − − −

+

c) ( )

3

log

y= x − x+ + −x d) log2 1

1

y

x x

 

=  − 

− +

 

a) y=3x e2 x +3cos4x b) y=4x3−3 sin 22x ( x+1)

c) y=3x2−ln 2x+5cosx d) ( )

3

log

y= x + x+ Bài 16 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y=e1 x− 2 đoạn −1;1

  b) y=ex(x2− −x 1) đoạn 0;3 c) y=log2x−4 logx+3 đoạn 10;1000  d) y=27x − −9x 8.3 1x − đoạn 0;1

  Bài 17 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y=ex2−2x đoạn 0;3

  b) y=ln( )x e+ đoạn 0;e

c) 1( )

2

log

y= x+ đoạn 1;3 d) y=xe−x đoạn 0;2

  Bài 18 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y=x e2 x đoạn −1;2

  b) y=ex(x2−2x−2) đoạn 1;4  c) y= −x lnx đoạn 1;

2 e

 

 

  d)

3

1 1

2 2

1log log 3log 1

3

y= x+ x− x+ đoạn 1;4

 

 

 

Bài 19 Tính giá trị đạo hàm hàm số sau điểm x0:

a)

0

log

,

x

x

y x

e

= = b) y=ln x x( 2−2 , x) x0 =1

Kết

Bài 11 a) A=3 b ; b) B=36; c) C a x ax

+

= ; d) 25

2

D=

Bài 12 a) x≠2 ; b) ,

4 k x k k

π π

− + π < < + π ∈ℤ ;

c) 17 89

2 x

− < ≤ − 1 17 89

2 x

+ < ≤ +

Bài 13 a) D= − − ∪( 6; 5 5;7); b) D= − − ∪( 3; 2 1;3);

c) D= − − 7; 1− + 7 ; d) 4;21

5

D=    Bài 14 a) D= −∞ −( ; \ 5) { }− ; b) D=(3;+∞);

c) D= −∞( ;1∪2;+∞); d) D= −1 2; 1− ∪ +) 1 2;1)

Bài 15 a) (3x2+6x e) x−12sin 4x b) 12x2−32x2sin 2( x+1 ln3 cos 2) + ( x+1)

 

c) 6x 5sinx x

− − d)

( )

2

3 ln3

x x x + + +

Bài 16

a) ( )

1;1 ( )

Max f x f e

−   

= = ( )

1;1 ( ) 1

Min f x f

−   

= ± =

b) ( )

0;3 ( )

Max f x f e

   

= = ( )

0;3 ( )

Min f x f e

   

= = −

c) ( ) ( )

10;1000Max f x( ) Max x1;3 g( ) g g

   

   

= = = = ( )

10;1000Min f x( ) Max x1;3 g( ) g

   

   

= = = −

d) ( )

0;1 ( ) 1;3 g( )

Max f x Max x g

   

   

= = = − ( )

0;1 ( ) 1;3 g( ) 13

Min f x Max x g

   

   

PHẦN II

PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

-o0o -

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT §1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A KIẾN THỨC CẦN NẮM 1 Phương trình mũ

Phương trình mũ có dạng: ax =b a ( >0,a≠1) - Nếu b≤0, phương trình vơ nghiệm

- Nếu b>0, phương trình có nghiêm x=logab

2 Phương trình mũ đơn giản

Phương trình đưa phương trình mũ cách áp dụng phương pháp: Phương pháp Đưa số

Biến đổi phương trình đưa dạng af x( )=ag x( )

Với 0< ≠a Ta có: af x( ) =ag x( )⇔ f x( )=g x( )

Nếu số a thay đổi ( ) ( )

( 1) ( ) ( )

f x g x a

a a

a f x g x

 > 

= ⇔  

− − =

  



Đặc biệt: af x( ) = ⇔1 f x( ) 0= ( )

( )

( ) ( )

( )

g x

f x

f x f x

g x

 =



  = ⇔  ≠

  

 =

 Phương pháp 2: Đặt ần số phụ

Dạng Phương trình có dạng: Aa2x+Bax+ =C 0, Aa3x+Ba2x +Cax + =D 0(bậc hai, bậc ba), ta đặt

( )

,

x

t=a t>

Dạng Phương trình có dạng: A a. 2x+B a b( )x+C b. 2x =0

Biến đổi phương trình đưa dạng:

2

0

x x

a a

A B C

b b

   

+ + =

   

    Đặt ( )0

x

a

t t

b

 

=  >

  Dạng Phương trình có dạng: A a x+B b x+ =C

Với a b =1 a bx x =1 Đặt t=ax,( )t>0 , bx

t

= Phương pháp Lấy lơgarit hai vế (lơgarit hóa)

Với M N, >0 0< ≠a Ta có:

loga loga

M= ⇔N M= N f x( ) ( ) log

a

a =M⇔ f x = M

( ) ( ) ( ) ( )log

f x g x

a

a =b ⇔ f x =g x b hay f x( ) g x( ) ( ) ( )log b

a =b ⇔g x = f x a

B BÀI TẬP

ấn đề Giải phương trình mũ cách đưa số

Với 0< ≠a Ta có: af x( ) =ag x( ) ⇔ f x( )=g x( ) af x( ) = ⇔1 f x( ) 0=

Bài 1.1 Giải phương trình sau: a) ( )

1

1,5

3

x

x−   +

= 

  b)

1

9x+ =27 x+ c)

2 2 3

1

1 7

7

x x

x

− − +

 

=  

  d)

2 5 6

5x − −x =1 HD Giải

a) ( )

1

5 3

1,5 1

3 2

x x x

x

x x x

+ − − −

−      

=  ⇔  =  ⇔ − = − − ⇔ =

     

Vậy phương trình có nghiệm x=1

b) 9 272 32( )1 33 1( ) 2( ) (1 3 2 1) 4 1 0

4

x x

x+ = x+ ⇔ + = + ⇔ x+ = x+ ⇔ − − = ⇔ = −x x

Vậy phương trình có nghiệm

x= −

c)

2 2 3 2 3 1

1

1 7 1 2 3 1

7 7

x x x x x

x x x x

− − − − − −

+

     

= ⇔ = ⇔ − − = − −

     

     

2 2 0

2

x x x

x

 = −

⇔ − − = ⇔

=

 Vậy phương trình có nghiệm x= −1,x=2

d) 52 52 50

6

x x x x x x x

x

− − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = −

 =  Vậy phương trình có nghiệm x= −1,x=6

Bài 1.2 Giải phương trình sau:

a) (0,3)3 2x− =1 b) 25

5

x

  =  

  c)

2 3 2

2x − +x =4

d) (0,5) (0,5)x+7 2− x =2 e) (2+ 3)2x = −2 f) (3 2− )3x = +3 2

HD Giải a) (0,3)3 (0,3)3 (0,3)0 2

3

x− = ⇔ x− = ⇔ x− = ⇔ =x Vậy phương trình có nghiệm

3

x=

b) 25 52 2

5

x

x x x

−

 

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

 

  Vậy phương trình có nghiệm x= −2

c) 2x2− +3 2x = ⇔4 2x2− +3 2x =22 ⇔x2−3x+ =2 2 3 0

3

x x x

x

 =

⇔ − = ⇔

=



Vậy phương trình có nghiệm x=0,x=3 d)

7

7

(0,5) (0,5) 2

2

x x

x x

+ + −

+ − = ⇔  =

   

8

2x− x x

⇔ = ⇔ − = ⇔ =

Vậy phương trình có nghiệm x=9

e) (2+ 3)2x = −2 3⇔ +(2 3) (2x = +2 3)−1 1

x x

⇔ = − ⇔ = −

Vậy phương trình có nghiệm

x= −

Chú ý: ( )( ) ( )

1

1

2 3 3

2

−

+ − = ⇒ − = = +

+

f) (3 2− )3x = +3 2⇔ −(3 2) (3x = −3 2)−1 1

x x

⇔ = − ⇔ = −

Vậy phương trình có nghiệm

x= − Bài 1.3 Giải phương trình sau:

a) 32 1x− +32x =108 b) 2x+1+2x−1+2x =28

c) 2.3x+1−6.3x−1− =3x d) 0,125.42 3x− =( )4 2 x

HD Giải

a) 32 32 108 1.32 32 108 32 81 2 4 2

3

x− + x = ⇔ x+ x = ⇔ x = ⇔ x= ⇔ =x Vậy phương trình có nghiệm x=2

b) 2 28 2.2 1.2 28

2

x+ + x− + x = ⇔ x + x+ x = ⇔ x = ⇔ =x Vậy phương trình có nghiệm x=3

c) 2.3x+1−6.3x−1−3x = ⇔9 6.3x−2.3x− = ⇔3x 9 3x = ⇔ =9 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x=1

d) ( ) ( ) ( )

5 2

2 3

0,125.4 2 2 2 3

2

x x

x

x− = ⇔ − − = ⇔ x− − = x⇔ =x

Vậy phương trình có nghiệm x=6 Bài 1.4 Giải phương trình sau:

a) ( )

5

0,75

3

x

x−   −

= 

  b)

4

2x+ +2x+ =5x+ +3.5x

c) 52x− −7x 17 17 02x + x = d) 2 5x+1 x =200

HD Giải a) ( )

5 5

2 3 3

0,75

3 4

x x x x x

x−  −   −   −   −   −

=  ⇔  =  ⇔  = 

          ⇔2x− = − ⇔ = −3 x x

Vậy phương trình có nghiệm x= −2

b)

1

4 2

2 3.5 20.2 8.5

5

x

x+ + x+ = x+ + x ⇔ x = x ⇔  =  ⇔ =x

   

   

Vậy phương trình có nghiệm x=1

c)

0

2 2 7

5 17 17 16.7 16.5

25 25

x

x − −x x + = ⇔ x − x ⇔ x = x ⇔  =  ⇔ =x

   

   

Vậy phương trình có nghiệm x=0

d) 5x+1 x =200⇔2.10x =2.102 ⇔10x =102⇔ =x 2 Vậy phương trình có nghiệm x=2

Bài 1.5 Giải phương trình sau:

a) 5x+1+6.5x−3.5x−1=52 b) 3x+1+3x+2+3x+3 =9.5x+5x+1+5x+2

c) 2x x+1=72 d) ( )0,5 3+ x =( )2 −x

HD Giải

a) 6.5 3.5 52 5.5 6.5 3.5 52 52.5 52 5

5

x+ + x − x− = ⇔ x+ x− x = ⇔ x = ⇔ x = ⇔ =x

Vậy phương trình có nghiệm x=1

b) 3 3 3 9.5 5 5 (3 27 3) (9 25 5) 3 5 1 0

5

x

x+ + x+ + x+ = x+ x+ + x+ ⇔ + + x = + + x ⇔ x = x ⇔  = ⇔ =x

c) 3 2x x+1=72⇔2.6x =72⇔6x =62 ⇔ =x 2 Vậy phương trình có nghiệm x=2

d) ( )0,5 ( )2 2 (2 ) 2 2 3

2

x x

x x x

x x

− −

+ − +

= ⇔ = ⇔ − − = − ⇔ = − Vậy phương trình có nghiệm

5

x= −

Bài 1.6 Giải phương trình sau:

a) 3x+4+3.5x+3 =5x+4+3x+3 b) 6x+6x+1=2x+2x+1+2x+2

c) 8.3x +3.2x =24 6+ x d) 4.3x+2+5.3x−7.3x+1=60

HD Giải a) 3x+4+3.5x+3 =5x+4+3x+3

81.3x 27.3x 625.5x 375.5x 54.3x 250.5x

⇔ − = − ⇔ =

3

3 3

5

x

x

   

⇔  =  ⇔ = −

   

Vậy phương trình có nghiệm x= −3

b)

0

1 1

6 2 7.6 7.2

3

x

x+ x+ = x+ x+ + x+ ⇔ x = x ⇔  =  ⇔ =x

   

   

Vậy phương trình có nghiệm x=0

c) 8.3x +3.2x =24 6+ x ⇔(8.3 2x − x x) (− 8.3 3.2− x)=0⇔3 2x( − x) (−3 2− x)=0

(8 )(3 3)

3

x

x x

x

x x

 − =  =

⇔ − − = ⇔ ⇔

= − =

 

 Vậy phương trình có nghiệm x=3,x=1 d) 4.3x+2+5.3x −7.3x+1=60⇔36.3x+5.3x−21.3x =60⇔20.3x =60⇔3x = ⇔ =3 x

Vậy phương trình có nghiệm x=1

ấn đề 2: Giải phương trình mũ cách đặt ần số phụ

Dạng Phương trình có dạng: Aa2x +Bax + =C 0;Aa3x +Ba2x+Cax+ =D 0(bậc hai, bậc ba), ta đặt

x

t=a

Dạng Phương trình có dạng: A a. 2x+B a b( )x+C b. 2x =0

Biến đổi phương trình đưa dạng:

2

0

x x

a a

A B C

b b

   

+ + =

   

    Đặt

x

a t

b

 

= 

  Dạng Phương trình có dạng: A a x+B b x+ =C

Với a b =1 a bx x =1 Đặt t=ax, bx

t

= Lưu ý: Ẩn số phụ t>0

Bài 1.7 Giải phương trình sau:

a) 64x − −8x 56 0= b) 9x−4.3x−45 0=

c) e2x −4.e−2x =3 d) (7 3+ ) (x −3 2− 3)x + =2 0

HD Giải a) 64x− −8x 56 0= ⇔82x − −8x 56 0= Đặt t=8 (x t>0)

Phương trình viết lại theo t: 56 8

t

t t t

t

 =

− − = ⇔ ⇔ = = −



Với t=8⇒8x = ⇔ =8 x 1 Vậy phương trình có nghiệmx=1 b) 9x−4.3x−45 0= ⇔32x−4.3x−45 0= Đặt t=3 (x t>0)

Phương trình viết lại theo t: 4 45 0 9

5

t

t t t

t

 =

− − = ⇔ ⇔ = = −



Với t=9⇒3x = ⇔ =9 x 2 Vậy phương trình có nghiệmx=2

c) 2x 2x 2x 12 x

e e e

e

−

− = ⇔ − = Đặt t=e2x(t>0)

Phương trình viết lại theo t: 3 4

t

t t t t

t t

 = −

− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ = =



Với 4 1ln

2

x

t= ⇒e = ⇔ =x Vậy phương trình có nghiệm 1ln

x=

d) Nhận xét rằng: 3+ = +(2 ; 2) (2 + 2)( − 3)=1 Do đặt t= +(2 3)xđiều kiện t > 0, thì:(2 3)x

t

− = (7 3+ )x =t2

Khi phương trình tương đương với:

( )( ) ( )

2

2

1

3 2 3

3 phương trình vô nghiệm

t

t t t t t t

t t t

 =

− + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔

+ + =



Với t=1⇒(2+ 3)x = ⇔ =1 x Vậy phương trình có nghiệm x=0 Bài 1.8 Giải phương trình sau

a) 3.4x−2.6x =9x b) 27x+12x =2.8x

c) 35 35 12

x x

   

+ + − =

   

    d)

2

1 cot sin

4 x +2 x − =3 HD Giải

a)

2

2

3.4 2.6

3

x x

x− x = x ⇔   −   − =

   

    Đặt

2 ( 0)

x

t=   t>

 

Phương trình viết lại theo t:

1

3 1

3

t

t t t

t

 = 

− − = ⇔ ⇔ =

= − 

Với

3

x

t= ⇒   = ⇔ =x

  Vậy phương trình có nghiệmx=0 b)

3

3

27 12 2.8

2

x x

x + x = x ⇔  +  − =

   

    Đặt ( 0)2

x

t=   t>

 

Phương trình viết lại theo t: t3+ − = ⇔ −t 2 0 ( 1)(t t2+ + = ⇔ =t 2) 0 t 1(vì t2+ + =t 2 0 vơ nghiệm)

Với

2

x

t= ⇒   = ⇔ =x

  Vậy phương trình có nghiệmx=0

c) 35 35 12

x x

 +  + −  =

   

    Ta có

1

6 35 35 35

6 35

x x x

x

 +   −  = ⇒ +  =

     

       

−

 

 

Đặt 35 ( 0)

x

t= +  t>

  Phương trình viết lại theo t:

2 35

1 12 12 0

6 35

t

t t t

t t

 = +

+ = ⇔ − + = ⇔

 = −  Với t= +6 35⇒ 6+ 35x = +6 35⇔ +(6 35)21.x = +6 35⇔ =x

 

Với 35 35 35

x

t= − ⇒ +  = − ⇔ = −x

 

d) Điều kiện sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈Z (*) Vì 12 cot2

sin x= + x nên phương trình (1) biết dạng:

2 cot

cot

4 x 2.2 x + − = (2) Đặt t=2cot2x điều kiện t≥1 cot2x≥ ⇔0 2cot2x ≥20 =1

Khi phương trình (2) có dạng: ( )

( )

2 2 0 nhaän

3 loại

t t t

t

 =  + − = ⇔

= − 

Với 2cot2 cot2 cot , (thỏa đk(*))

2

x

t= ⇒ = ⇔ x= ⇔ x= ⇔ = +x π kπ k∈ℤ

Vậy phương trình có nghiệm là: ,

x= +π kπ k∈Z

Bài 1.9 Giải phương trình sau:

a) 9x−4.3x−45 0= b) 25x −6.5x+ =5 0 c) 4.9x+12x−3.16x =0

d) 132 1x+ −13 12 0x− = e) 35 31010 84

x x−

+ = f) (3x +2x)(3x+3.2x)=8.6x

HD Giải a) 9x−4.3x−45 0= Đặt t=3 (x t>0)

Phương trình viết lại theo t: ( )

( )

2 4 45 0 nhaän

5 loại

t t t

t

 = 

− − = ⇔

= − 

Với t=9⇒3x = ⇔ =9 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x=2 b) 25x −6.5x+ =5 0 Đặt t=5 (x t>0)

Phương trình viết lại theo t: 6 0

5

t t t

t

 =

− + = ⇔

= 

Với t=1⇒5x = ⇔ =1 x 0 với t=5⇒5x = ⇔ =5 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x=0,x=1

c) Chia hai phương trình cho 16x đặt ( 0)

4

x

t=   t>

  , ta được:

2

1

4 3

4

t t t

t

 = − 

+ − = ⇔

=  Vậy phương trình có nghiệm

4

t= ⇒x=

d) Đặt t=13 (x t>0), ta được: ( )

( )

2

1 nhaän

13 12 12

1 loại

13

t t t

 = 

− − = ⇔

= − 

Với t=1 13⇒ x =130 ⇔ =x 0 Vậy phương trình có nghiệm x=0

e) d)

10 10

3x +3x− =84 Đặt 3 (10 0)

x

t= t> , ta có phương trình:

( )

2

9

84 252 26

3 loại

3

t t

t t t

t

 = 

+ = ⇔ + − = ⇔

= − 

Với 9 310 9 20

x

t= ⇒ = ⇔ =x Vậy phương trình có nghiệm x=20

f) Chia hai vế phương trình cho (6x x >0), ta được:

3 1 3. 8

2

x x

         +   +   =       

   

Đặt ( 0)

x

t=   t>

ta có phương trình: ( )

3

1

3

1 t 3 x log 3

t t t t x

t

 = ⇒ =

  

+  + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ =

  

Với

0

3

1

2

x

t= ⇒   =   ⇔ =x

    Với 32

3

3 log

2

x

t= ⇒   = ⇔ =x

  Vậy phương trình có nghiệm x=0 3

2

log

x=

Bài 1.10 Giải phương trình sau:

a) 8− +x 2.4x +2x − =2 b) 4x+1−6.2x+1+ =8 0

c) 31+x+31−x =10 d) 34 8x+ −4.32x+5+27 0=

HD Giải

a) Đặt t=2 ,(x t>0), ta có phương trình: ( )

1

2 ( 1)( 1)(2 ) loại

2

t

t t t t t t t

t

 = 

− + + − = ⇔ − + − = ⇔ = −

 =  Với t=1⇒2x = ⇔ =1 x

Với t=2⇒2x = ⇔ =2 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x=0 x=1

b) Đặt t=2 ,(x+1 t>0), ta có phương trình: 6 0

4

t t t

t

 =

− + = ⇔

=  Với t=2⇒2x+1= ⇔ + = ⇔ =2 x 1 x

Vớit=4⇒2x+1= ⇔ + = ⇔ =4 x x 1 Vậy phương trình có nghiệm x=0 x=1

c) Đặt t=3 ,(x t>0), ta có phương trình:

3

3 10 1

3

t

t t

t

 = 

− + = ⇔

=  Với t=3⇒3x = ⇔ =3 x

Với 1

3

x

t= ⇒ = ⇔ = −x Vậy phương trình có nghiệm x=1 x= −1

d) 34 8x+ −4.32x+5+27 0= ⇔32 2( x+4)−12.32x+4+27 0=

Đặt t=32x+4,(t>0), ta có phương trình: 12 27 0

9

t

t t

t

 =

− + = ⇔

= 

Với 32 4

2

x

t= ⇒ + = ⇔ x+ = ⇔ = −x

Vớit=9⇒32x+4 = ⇔9 2x+ = ⇔ = −4 x 1 Vậy phương trình có nghiệm

2

x= − x= −1

Bài 1.11 Giải phương trình sau:

a) (4− 15) (tanx+ +4 15)tanx =8 b) 5cos 3x

π

  +    =

c) 6.4x−13.6x+6.9x =0 d) 2x−1+2x−2+2x−3=448

HD Giải a) Ta có (4− 15 4)( + 15)=1 Đặt t= −(4 15)tanx,(t>0)

Ta phương trình: 15

4 15

t t t

t

 = +

− + = ⇔

 = − 

Với 15 (4 15)tan 15 tan ,

4

x

Với 15 (4 15)tan 15 tan ,

x

t= + ⇒ − = + ⇔ x= − ⇔ = − +x π kπ k∈ℤ

Vậy phương trình có nghiệm ,

x= ± +π kπ k∈ℤ

b) 5cos cos ,

6

x

x x k k

π

π π π

  +  

 = ⇔  + = ⇔ = + ∈

 

 

ℤ Vậy phương trình có nghiệm ,

9

x= +π kπ k∈ℤ

c) 6.4 13.6 6.9 13

3

x x

x − x+ x = ⇔   − +   =

   

    Đặt ,( 0)3

x

t=   t>

 

Ta có phương trình:

3

6 2

6 13 13

2

t

t t t

t

t

 = 

− + = ⇔ − + = ⇔

 = 

Với 3

2

x

t= ⇒   = ⇔ = −x

 

Với 2

3 3

x

t= ⇒   = ⇔ =x

  Vậy phương trình có nghiệm x= ±1 d) 2x−1+2x−2+2x−3=448 Đặt t=2 ,x−3 t>0

Phương trình cho có dạng: 2t+ + =t t 448⇔ =t 64 Vậy nghiệm phương trình cho: x=9

Bài 1.12 Giải phương trình sau:

a) 32x+4+45.6x−9.22x+2=0 b) 8x+1+8.(0,5)3x+3.2x+3=125 24.(0,5)− x

c) x2+ −5 x −2 x2+ − +5 x = −4 d) sin2 cos2

81 x +81 x =30 HD Giải

a) Nghiệm phương trình: x= −2 Gợi ý:Chia hai vế phương trình cho 6x, đặt ( 0)

2

x

t=   t>

  , đưa

phương trình cho dạng: 9t2+ − =5 0t

b) 8x+1+8.(0,5)3x+3.2x+3=125 24.(0,5)− x

3

3

1

8.2 24.2 24 125

2

x x

x x

⇔ + + + =

3

1

8 24 125

2

x x

x x

   

⇔  + +  + =

    Đặt

1

2 ,

2

x x

y= + y≥ , ta phương trình:

( ) 125

8 24 125

8

y − y + y= ⇔y = ⇔ =y

Khi đó: 2

x x

+ = , đặt t=2 (x t>0), ta có phương trình:

2

5 1 0

1

2

t t t

t

 = 

− + = ⇔

=  Với t=2⇒2x = ⇔ =2 x 1 Với 21

2 x

t= ⇒ = − ⇔ = −x

Vậy nghiệm phương trình x= −1,x=1

c) Nghiệm phương trình x=2 Gợi ý: Đặt t=2 x2+ −5 x(t>0), đưa phương trình cho dạng:

2 4 0

d) Nghiệm phương trình , ,

6

x= ± +π kπ x= ± +π kπ k∈ℤ Gợi ý: Đặt t=81cos2x(t>0)và

2

sin x= −1 cos x, đưa phương trình cho dạng: t2−30 81 0t+ =

ấn đề Giải phương trình mũ cách lấy lơgarit hai vế (lơgarit hóa)

Với M N, >0 0< ≠a Ta có:

loga loga

M = ⇔N M = N f x( ) ( ) log

a

a =M⇔ f x = M

( ) ( ) ( ) ( )log

f x g x

a

a =b ⇔ f x =g x b hay f x( ) g x( ) ( ) ( )log b

a =b ⇔g x = f x a

Bài 1.13 Giải phương trình sau:

a) 7x−1=2x b) 22 1x− =3 c)

3 2x x =1 d) 22 1x− +4x+1=5

HD Giải

a) 7

2

7

7 log

2

x

x− = x ⇔  = ⇔ =x

 

  Vậy phương trình có nghiệm x=log 727

b) 2

2

1 log

2 log

2

x− = ⇔ x− = ⇔ =x + Vậy phương trình có nghiệm log 32

2

x= +

c) Lấy lôgarit hai vế với số 3, ta được:

( )

2 2

3 3

2

0

log log log log

log

x x x

x x x x

x

 =

+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −  Vậy phương trình có nghiệm x=0,x= −log 32

d) 1

4

1 10 10

2 4.4 log

2 9

x− + x+ = ⇔ x + x = ⇔ x = ⇔ =x Vậy phương trình có nghiệm

4

10 log

9

x=

Bài 1.14 Giải phương trình sau

a) 2x−1 x2 =8.4x−2 b) 2 5x x =0,2 10( )x−1 c) 2

2

2

x − x =

d)

1

5 8x xx 500

−

= e) 34x =43x f) 57x =75x

HD Giải

a) Lấy lôgarit hai vế với số 2, ta được: 2x−1 x2 =8.4x−2

x 2 x2 2 x 2

( 1)log log ( 2)log

⇔ − + = + − ( )

2

2

1 log log

1 log

x

x x

x

 =

⇔ − − + − = ⇔

= −  Vậy phương trình có nghiệm x=1;x= −1 log 3.2

b) 5x x =0,2 10( )x−1 ⇔10x =2.10 10−1 5( 1)x− ⇔ =x log2 5(− + x−1) 4 6 log2 1log2

2

x x

⇔ = − ⇔ = − Vậy phương trình có nghiệm = −3 log2

2

x

c) Lấy logarit số hai vế phương trình ta được:

log 22 2 log2 2 log 12 2 log 02

x − x = ⇔x − x= − ⇔x − x+ − =

Ta có ,

2

1 log log

∆ = − + = > Suy phương trình có nghiệm x = ±1 log 3.2 d) Viết lại phương trình dạng:

1 3

3

8

5 8x x 500 2x xx 5 2x xx

− − −

−

= ⇔ = ⇔ =

Lấy logarit số vế, ta được: ( )

3

3

2 2

log 2x xx log 5x log 2xx

− −

− −

   

= ⇔ + =

   

   

   

( ) 2

3

3 log x log

x

x

−

⇔ − + = ( )

2

3

3 log

log

x x

x x

 =

  

⇔ −  + = ⇔ = −

 

 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt:

2

1 3;

log

x= x= −

e) 34x 43x

= ( )4 ( )3

3

log 3x log x

⇔ = 3 4( )

3

4

4 log log log log

3

x

x x   x

⇔ = ⇔  = ⇔ =

  f) 57x 75x

= ( )7 ( )5

5

log 5x log x

⇔ = 5 7( )

5

7

7 log log log log

5

x

x x   x

⇔ = ⇔  = ⇔ =

 

ấn đề 4: Giải phương trình mũ phương pháp đồ thị Dạng: ax =αx+β

Vẽ hệ trục đồ thị hàm số y=ax y=αx+β

Dựa vào đồ thị, tìm hoành độ giao điểm hai đường, nghiệm phương trình cho Thử lại phép tính

Bài 1.15 Chứng minh phương trình 4x+5x =9 có nghiệm x=1 HD Giải

Ta có x=1là nghiệm phương trìn cho 4 51+ =1 9 Ta chứng minh nghiệm

Thật vậy, xét hàm số f x( ) 4= x +5x

Ta có f(x) đồng biến tập xác định ℝ f x'( ) ln ln 0,= x + x > ∀ ∈x ℝ Do đó:

+ Với x > f(x) > f(1) hay 4x+5x >9, nên phương trình khơng thể có nghiệm x >

+ Với x < f(x) < f(1) hay 4x+ <5x 9, nên phương trình khơng thể có nghiệm x <

Vậy, phương trình cho có nghiệm x=1 Bài 1.16 Giải phương trình sau:

a) 9x+2(x−2).3x+2x− =5 b) x.2x =x(3− +x) 2 1( x− )

HD Giải

a) Đặt t=3 (x t>0) Khi đó, phương trình cho có dạng: t2+2(x−2) 2t+ x− =5 0

Suy ra: t= −1(loại) t= −5 2x Do đó, ta có: 3x = −5 (1)x

Nhận thấy, x=1 nghiệm (1)

Mặt khác, hàm số f x( ) 3= x đồng biến, hàm số g x( ) 2= − xluôn nghịch biến tập xác định ℝ ,

nên x=1 nghiệm (1)

Vậy, phương trình cho có nghiệm x=1

b) x.2x =x(3− +x) 2 1( x− ⇔) x.2x −x(3− −x) 2.2x+ =2 ⇔2 (x x− +2) x2−3x+ =2 0

( )

2 ( 2) ( 2)( 1) ( 2)

2 (2)

x x

x

x

x x x x x

x

 =

⇔ − + − − = ⇔ − + − = ⇔

= − 

Giải (2) Nhận thấy x=0 nghiệm (2)

Mặt khác, hàm số f x( ) 2= x đồng biến, hàm số g x( ) 1= −xluôn nghịch biến tập xác định ℝ , nên

0

x= nghiệm (2)

Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x=2,x=0

Bài 1.17 Giải phương trình sau phương pháp đồ thị

a) 2−x =3x+10 b) 3x = −11 x c)

3

x

x

−

 

= − +  

  d)

1 1

3

x

x

  = +     HD Giải

a) Vẽ đồ thị hàm số y=2−x đường thẳng y=3x+10trên

một hệ trục tọa độ, ta thấy chúng cắt điểm có hoành độ

x= − Thử lại, ta thấy x= −2thỏa mãn phương trình cho Mặt khác, hàm số ( )

2

x x

f x = − =  

  nghịch biến, hàm số 10

y= x+ đồng biến tập xác định ℝ Vậy x= −2 nghiệm (Hình a)

b) Vẽ đồ thị hàm số y=3x đường thẳng y= −11 xtrên

hệ trục tọa độ, ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ

x= Thử lại, ta thấy x=2thỏa mãn phương trình cho Mặt khác, hàm số f x( ) 3= x đồng biến, hàm số

11

y= −xluôn nghịch biến tập xác định ℝ Vậy x=2

là nghiệm (Hình b)

c) Nghiệm phương trình x=1 Gợi ý: Giải tương tự câu a), b)

d) Nghiệm phương trình x=0 Gợi ý: Giải tương tự câu a), b)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1.18 Giải phương trình sau:

a) e2x −3ex − +4 12e−x =0 b) 3.4 1.9 6.4 1.9

3

x+ x+ = x+ − x+

c) 2x2−1−3x2 =3x2−1−2x2+2 d) 36 15x 37 15x 13

+ + − =

   

   

Bài 1.19 Giải phương trình sau: a)

1 1

4−x +6−x =9−x b) 4ln 1x+ −6lnx−2.3lnx2+2 =0

c)

1 2cos2 cos2

4+ x−7.4+ x =4 d) 3log4x 12 3log4x 12

x

+ −

+ =

Bài 1.20 Giải phương trình sau: a)

5 17

7

32xx 0,25.128xx

+ +

− = − b) 5x−1=10 5x −x x+1

c) 4x−3x−0,5 =3x+0,5−22x−4 d)

2

3 x+ −4.3 x+ +28 log 2=

Kết quả:

Bài 1.18 a) x∈{ln 2;ln3}; b)

x= − ; c) x= ± 3; d) x=3

Bài 1.19 a) 5 1

2

3 log

2

x= − ; b) x=e−2; c) ,

3

x= ± + π ∈π k k ℤ; d)

2

4 log

3

4

x=

Bài 1.20 a) x=10; b) x= −2; c)

x= ; d) ;

x∈ − − 

 

Hình a y = 3x+10

y = 2-x

4

-2

y

x

11

Hình b y = 11- x y = 3x

2 y

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

A KIẾN THỨC CẦN NẮM I Công thức lôgarit

Với a, b số dương a≠1 logab aα b

α ⇔ = log 0, loga = aa=1 logab , log ( )

a

a =b aα =α

Với số dương a, b b1, 2và a≠1

( )1 2

loga b b =logab +logab 1 2

2

loga b logab logab

b = −

Với số dương a, b a≠1,α∈ℝ,n∈ℕ*

☺ log log

a ab

b= − logab logab

α =α log n 1log

a b ab

n

= Với số dương a, b ,c a≠1,c≠1

log log

logc

a

c

b b

a

= log ( 1)

log

a

b

b b

a

= ≠ logaα b 1log (abα 0)

α

= ≠

Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên : log10x=lgx log10x=logx; logex=lnx

Lưu ý: lim 1

n

n

e

n

→+∞

 

=  + 

  giá trị gần e là: e≈2,718281828459045 II Phương trình lơgarit

1 Phương trình lơgarit

Phương trình lơgarit có dạng logax=b,(0< ≠a 1)

Theo định nghĩa lơgarit, phương trình ln có nghiệm x=ab, với b

2 Phương trình lơgarit đơn giản

Phương trình đưa phương trình lơgarit cách áp dụng phương pháp: Phương pháp 1: Đưa số

Biến đổi phương trình dạng:

0

log ( ) log ( ) ( ) ( ) ( )

a a

a

f x g x f x

f x g x

 < ≠



= ⇔ >

 =



Chú ý:

1/ log ( )

( )

a b

a f x b

f x a

 < ≠



= ⇔

=

 2/ ( ) ( )

0 ( )

log ( ) log ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x

x

f x g x f x g x

f x g x

ϕ ϕ

ϕ

 < ≠ 

= ⇔ > >

 =

 3/ loga f2( ) logx = a f x( )

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ

Đặt t=log ( )a f x , với a f x( ) thích hợp để đưa phương trình lơgarit phương trình đại số t Dạng A(logax)2+Blogax C+ =0 (0< ≠a 1) Đặt t=logax

Dạng logA ax B+ logxa C+ =0 (0< ≠a 1) Đặt t logax logxa (0 x 1)

t

= ⇒ = < ≠

Phương pháp 3: Mũ hóa hai vế

Áp dụng định nghĩa lôgarit: α =logab⇔aα =b (0< ≠a 1,b>0)

Phương pháp 4: Giải phương pháp đồ thị: Dạng: logax=αx+β;(a≠1,α≠0)

Dựa vào đồ thị, tìm hồnh độ giao điểm hai đường, nghiệm phương trình cho Thử lại phép tính

Phương pháp 5: Dùng tính đơn điệu

Đốn nghiệm áp dụng tính chất hàm số lơgarit (hoặc mũ) chứng minh nghiệm

Chú ý:

1/ 0< ≠a 1:y=logax hàm số giảm (nghịch biến)

2/ a>1:y=logax hàm số tăng (đồng biến)

B BÀI TẬP ấn đề 1: Đưa số

Biến đổi phương trình dạng: loga f x( ) log ( )= ag x Ta cĩ: log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0( )

( ) ( )

a a

f x g x

f x g x

f x g x

 > >



= ⇔

=  Bài 2.1 Giải phương trình sau:

a) log3x+log9x+log27x=11 b) log (53 x+ =3) log (73 x+5)

c) log(x− −1) log(2x−11) log2= d) log (2 x− +5) log (2 x+ =2)

HD Giải a) Điều kiện: x>0

2

3 27 3

log x+log x+log x=11⇔log x+log x+log x=11 log3 1log3 1log3 11

2

x x x

⇔ + + =

6

log x x 729

⇔ = ⇔ = = (thỏa đk) Vậy phương trình có nghiệm x = 729

b) Điều kiện: 3

5

7

x

x x

 + >

⇔ > − 

+ > 

3

log (5x+ =3) log (7x+ ⇔5) 5x+ =3 7x+ ⇔ = −5 x 1(không thỏa đk) Vậy phương trình cho vơ nghiệm

c) Điều kiện: 11

2

2 11

x

x x

 − >

⇔ > 

− > 

1

log( 1) log(2 11) log2 log log2

2 11

x

x x

x

−

− − − = ⇔ =

−

1 2 1 4 22 7

2 11

x

x x x

x

−

⇔ = ⇔ − = − ⇔ =

− (thỏa đk)

Vậy phương trinh có nghiệ x=7

d) Điều kiện: 5

2

x

x x

 − >

⇔ > 

+ > 

2 2

log (x− +5) log (x+ = ⇔2) log ( x−5)(x+2)= ⇔ −3 (x 5)(x+ =2) 18

x x x

x

 = −

⇔ − − = ⇔

=



So với điều kiện, nghiệm phương trình x=6 Bài 2.2 Giải phương trình sau:

a) log7( )x−1 log7x=log7x b) 3 3 1

3

log x+log x+log x=6

c) log log

x

x

x+ =− d) log2 x− +3 log 32 x− =7

HD Giải a) Điều kiện: x>1

Ta có: log7( )x−1 log7x=log7x⇔log7( )x− = ⇔ − = ⇔ =1 x x Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình x=8

b) Điều kiện: x>0

Ta có: 3 3 1 3 3 3 3

3

log x+log x+log x= ⇔6 log x+2 log x−log x= ⇔6 log x= ⇔ =3 x 27 Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình x=27

c) Điều kiện: x>1

Ta có: log log 2

1

x

x x

x x x x

x x x

 =

+ = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔



− −  = −

Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình x=4 d) Điều kiện: x>3

Ta có: ( )( )

2 2

log x− +3 log 3x− = ⇔7 log x−3 3x−7 = ⇔2 3x −16x+21 4=

2

3 16 1

3

x

x x

x

 = 

⇔ − + = ⇔

= 

Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình x=5 Bài 2.3 Giải phương trình sau:

a) log(x2−6x+ =7) log(x−3) b) ( ) ( )

4 2

log log x +log log x =2

c) 1 1 1

2 2

log (x+ +1) log (x− −1) log (7− =x) d) 2 1( )

2

1

log log x x

x= − −

HD Giải a) Điều kiện:

2 6 7 0

3

x x

x x

 − + >



⇔ > 

− > 

( )

log x −6x+ =7 log(x− ⇔3) x −6x+ = −7 x 10

2

x x x

x

 =

⇔ − + = ⇔

=  Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm x=5

b) Điều kiện:

log

1

log

x

x x

 > 

⇔ > 

>

 Ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

4 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

1

log log log log log log log log

2

1log log log log log 2 3log log 1 2

2 2

log log log 2 16

x x x x

x x x

x x x x

 

+ = ⇔ +  =

 

⇔ + + = ⇔ − =

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

c) Điều kiện:

1

1

7

x

x x

x

 + >



− > ⇔ < < 

 − >



Ta có:

( )

x x x x x x

x

x x x x x x

x

2

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

1

2

1 log ( 1) log ( 1) log (7 ) log ( 1) log ( 1) log (7 ) log

2

1

log log (7 ) (7 ) ` 14 51

2 17

+ + − − − = ⇔ + + − − − =

 =

 

⇔ − =  − ⇔ − = − ⇔ + − = ⇔

= −

  

Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là: x=3 d) Điều kiện:

2 1 0

0

x x

x x

 − − >



⇔ > 

>



Ta có: 2 1( ) 1 1( )

2 2

1

log log x x log x log x x x x x

2 2 1 0

1

x

x x

x

 = +

⇔ − − = ⇔

 = − 

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm x= +1

Bài 2.4 Giải phương trình sau: a) 1log( 5) log5

2 x + − =x x+log5x b) ( )

2

1log 4 1 log8 log 4 x − x− = x− x

c) log 2x+4 log4x+log8x=13 d) log5x+log25x+log125x+log625x=25

HD Giải

a) Phương trình cho tương đương

( )

2

2

5

5 0

1log 5 0

2

x x x x

x x

x x x x



 + − >  + − >

 

> ⇔ >

 

  + − =



 + − =



2

2

5 0

6

x x x x x

 + − >



⇔ >

 + − =

 21

2 2

3

x

x x

x

 −

>  

⇔ ⇔ =

= −   = 

Vậy phương trình có nghiệm x=2

b) Phương trình cho tương đương

( )

2

2

4

0

8 4

log log

4

x x x x

x x

x x x

x x

x



 − − >  − − >

 

> ⇔ >

 

 

− − =



 − − =



2

2

4

x

x x

 > +



⇔

− − =



2

5

5

x

x x

x

 > +



⇔ = − ⇔ =

 

=  

Vậy phương trình có nghiệm x=5 c) Điều kiện x>0

Phương trình cho tương đương :

2 2

2

log x+4 log x+log x=13

2 2

1

2 log log log 13 log

3

x x x x x

⇔ + + = ⇔ = ⇔ =

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm x=8 d) Điều kiện x>0 Ta có: log5x+log25x+log125x+log625x=25

12

5 5 5

1 1

log log log log 12 log 12

2

x x x x x x

⇔ + + + = ⇔ = ⇔ =

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm là: x=512 Bài 2.5 Giải phương trình sau:

a) log2(x+ +3 log) 2( )x− =1 log 52 b) ( ) ( ) ( ) 1

2

log x + +3 log log= x− −1 log x+1

c) log 2.log log 2x 2x = 16x d) log3(x+2)2+log3 x2+4x+ =4

HD Giải a) Điều kiện: x>1

Ta có: log2(x+ +3 log) 2( )x− =1 log 52 ⇔log2(x+3)( )x− =1 log 52 ⇔(x+3)( )x− =1

2 2 8 0

2

x

x x

x

 = −

⇔ + − = ⇔

=

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2

2

log x + +3 log log= x− −1 log x+ ⇔1 log x + −3 log 5= −log x− −1 log x+1

( )( ) ( )( ) 2

log x x log x x x 2x

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =

2

4

2

ptvn x

x x

  = −

⇔ ⇔

= = ±

 

  Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm là:

x=

c) Điều kiện:

1

1; ;

2 16

x

x x x

 >  

≠ ≠ ≠

 

Ta có: 2 16

2 2 2

1 1 1

log 2.log log

log log log 16 log log log

x x = x ⇔ x x= x ⇔ x + x = + x

( )

2 2 2

4

4 log log log log log 1

4

x

x x x x x

x

 = 

⇔ + = + ⇔ = ⇔ = ± ⇔

=  Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm là: ;4

4

x∈    d) Điều kiện: x≠ −2

Ta có: ( )2 ( )2 ( )2

3 3

log x+2 +log x +4x+ = ⇔4 log x+2 +log x+2 =9

3 3

2 27 25

2 log log log 27

2 27 29

x x

x x x x

x x

 + =  =

⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ ⇔

+ = − = −

 

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm là: x∈ −{ 29;25} Bài 2.6 Giải phương trình sau:

a) log (4 2)( 3) log4 2

x

x x

x

−

 + + + =

  + b) logx4+log 4x= +2 logx3 c) 2log3x2.5log3x =400 d) ln 4( x+ −2 ln) ( )x− =1 lnx

HD Giải

a) Điều kiện:

( 2)( 3) 3

2 0 2

3

x x

x x

x x

 + + >

 < −



⇔

 − 

>

> 

 + 

Phương trình cho tương đương : log (4 2)( 3) log 164 16

3 2 5

x x

x x x

x x

 =

 − 

+ + = ⇔ − = ⇔

 

+ 

   = − (thỏa

điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x=2 x= −2 b) Điều kiện x>0 Phương trình cho tương đương:

4 logx+log log+ x=2 log10 3log+ x⇔logx=log5⇔ =x (thỏa điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x=5

c) Điều kiện x>0 Ta có: log3 log3 log3

3

2 x x 400 20 x 20 log

x x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Vậy phương trình có nghiệm x=9

d) Điều kiện x>1 Ta có: ln 4( x+ −2) ( )ln x− =1 lnx⇔ln 4( x+ =2) lnx x( )− ⇔1 4x+ =2 x2−x

2

5 33

2

5

5 33

2

x x x

x

 +

=  

⇔ − − = ⇔

− =  

Vậy phương trình có nghiệm 33

Bài 2.7 Giải phương trình sau:

a) log( 9x)2 =log log3x 3( 2x+ −1 1) b) log3x+log4x=log5x

HD Giải

Điều kiện:

2 0

2 1

x

x x

x

 > 

+ ≥ ⇔ >

 

+ − > 

Phương trình viết dạng:

( ) ( )

2

2

3 3 3

1

2 log log log 1 log log log 1

2 x x x x x x

 

= + − ⇔ = + −

 

 

( ) ( )

2

3 3 3

log x log logx 2x 1 log x log 2x 1 log x

⇔ = + − ⇔ − + −  =

( )

3

3

log 1

log log 1 2 1 2 1 1

x x

x x x x x

 =  =



⇔ ⇔

 − + − =  = + − + +



( ) ( )2

1

4 2

2 2

x x

x x

x x

 =  =



⇔ ⇔

+ = +

 + = +

 

2

1

1

0

0

4 4

4

2

x

x x

x

x

x x

x

x x

x

 =

 =   =

=

  

⇔ − = ⇔ ⇔ =

= 

   =

≥ − 

  ≥ −

 So với điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x=1,x=4

b) log3x+log4x=log5x

Điều kiện x>0 Ta biến đổi số 3: log4x=log 3.log ; log4 3x 5x=log 3.log5 3x Khi phương trình có dạng:

3

log x+log 3.log x=log 3.log x ⇔log3x(1 log log 3+ 4 − 5 )= ⇔0 log3x= ⇔ =0 x

Vậy phương trình có nghiệm x=1 ấn đề 2: Đặt ẩn phụ

Đặt t=log ( )a f x , với a f x( ) thích hợp để đưa phương trình lơgarit phương trình đại số t Dạng A(logax)2+Blogax C+ =0 (0< ≠a 1) Đặt t=logax

Dạng logA ax B+ logxa C+ =0 (0< ≠a 1) Đặt t logax logxa (0 x 1)

t

= ⇒ = < ≠

Bài 2.8 Giải phương trình sau:

a) log (22 x−1)2+log (2 x−1)3=7 b) log log log 243 04x − 2x + 9 = c) log3x−log 33 x− =1 d) ( )

2

2

log log

x

x − + − =

e)

5 log− x+1 log+ x = f)

1 1

4 log− x+2 log+ x=

HD Giải a) Điều kiện: x>1 Đặt t=log (2 x−1),

Phương trình viết lại theo t là:

1

4 7

4

t t t

t

 = 

+ − = ⇔

= − 

Với t=1⇒log (2 x− = ⇔ − = ⇔ =1) x x 3(thỏa điều kiện)

Với

7

4

2

7 log ( 1) 1 2 1 2

4

t= − ⇒ x− = − ⇔ − =x − ⇔ = +x − ( thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x =

7

1

x= + −

b) Điều kiện: 0; 1;

2

x> x≠ x≠ Ta có: 4 2 9

8

1

log log log 243 0

log log 2

x − x + = ⇔ x− x+ =

Đặt t=log (2x t≠ −1,t≠ −2)

Phương trình viết lại theo t:

3

3 5 19 12 0

4

2

5

t

t t

t t t

 = − 

− + = ⇔ + + = ⇔

+ +  = − (thỏa điều kiện)

Với t= −3⇒log2x= − ⇔ =3 x 2−3(thỏa điều kiện) Với

4

4 log 2

5

t= − ⇒ x= − ⇔ =x − (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x=2−3 x=2−45

c) Điều kiện: x>0 Đặt t= log (3x t≥0) Phương trình viết lại theo t: 2

t t t

t

 =

− + = ⇔

=  Với t=1⇒ log3x= ⇔1 log3x= ⇔ =1 x 3(nhận)

Với

3

2 log log 81

t= ⇒ x = ⇔ x= ⇔ =x = (nhận)

Vậy phương trình có nghiệm x=3 x=81 d) Điều kiện:

2

2

2

x x

 − >

 

− ≠

 Đặt ( )

2

log ( 0)

t= x − t≠

Phương trình viết lại theo t: 3 2

t

t t t

t t

 =

+ = ⇔ − + = ⇔

= 

Với t=1⇒log 22( x2− = ⇔5 1) 2x2− =5 2 7

2

x x

⇔ = ⇔ = ± (thỏa điều kiện)

Với t=2⇒log 22( x2− = ⇔5) 2x2− =5 9

2

x x

⇔ = ⇔ = ± (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm

x= ±

x= ±

e) Điều kiện:

log

log

x x x

 > 

≠ 

 ≠ −



Đặt t=log (x t≠5,t≠ −1)

Phương trình viết lại theo t: 2

5

t t t

t t t

 =

+ = ⇔ − + = ⇔

− +  =

Với t=2⇒x=100 Với t=3⇒x=1000 Vậy phương trình có nghiệm: x=100 x=1000

f) Phương trình có nghiệm: x=10 x=100 Bài 2.9 Giải phương trình sau:

a) log2x3−20 log x+ =1 b) log 27 log log 243 09x − 3x + 9 =

c)

4 16

log log

log log

x x

x = x d)

3 27

9 81

1 log log

1 log log

x x

x x

+ +

=

+ +

( )2

2

log x −20 log x+ = ⇔1 3logx −20 logx + =1 ⇔9 log2x−10 logx+ =1

Đặt t=logx Phương trình viết lại theo t:

1 10

9 10 1

10

t x

t t

t x

 = ⇒ =



− + = ⇔

= ⇒ =

 Vậy phương trình có nghiệm x=10

1

10

x=

b) Nghiệm phương trình x=3−3và x=3−0,8

Gợi ý: 9 3 9

27

1

log 27 log log 243 0

log log

x − x + = ⇔ x− x+ = Đặt=log3x

c) Nghiệm phương trình x=2và 16

x= Gợi ý: Đưa lôgarit số đặt t=log2x

d) Nghiệm phương trình x=1và 243

x= Gợi ý: Đưa lôgarit số đặt t=log3x

Bài 2.10 Giải phương trình sau:

a) log22x−9 log8x=4 b)

2

1 1

4 log+ x+2 log− x=

c) log (3 x−2).log5x=2.log (3 x−2) d)

2

log x−5log x+ =6 HD Giải

a) Điều kiện x>0 Đặt t=log2x Khi đó, ta có: 3 0

4

t t t

t

 = −

− − = ⇔

=



Với 1

2

t= − ⇒x= Với t=4⇒x=16 Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm là: ;16

2

x∈    b) Điều kiện x>0 Đặt t=log ,2x t≠ −4,t≠2

Ta có: 1 3 0

4 2

t t t

t t t

 = −

+ = ⇔ + + = ⇔

+ −  = −

Với 1

2

t= − ⇒x= Với

4

t= − ⇒x=

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm là: 1;

x∈    c) Phương trình có nghiệm x=3 x=5

Gợi ý: Điều kiện x>2 3 ( 5 )

5

log ( 2) log ( 2) log

log

x

pt x x

x

 − =

⇔ − − = ⇔

− = 

d) Phương trình có nghiệm x=4 x=8 Gợi ý: Điều kiện x>0 Ta đặt t=log2x Bài 2.11 Giải phương trình sau:

a) log log 22( x+ ) (2 x+1+ =2) b)

2

1 log log (+ x+ = x+2) c) ln3x−3ln2x−4 lnx+12 0= d) e2x −3ex − +4 12e−x =0

HD Giải

a) Phương trình cho tương đương :log 22( x+1 log 2) 2 ( x+1)= ⇔2 log 22( x+1 log 2)  + 2( x+1)=2

   

Đặt t=log 12( x + ) Phương trình viết lai theo t: (1 ) 2 2 0

2

t

t t t t

t

 =

+ = ⇔ + − = ⇔

Suy ra: ( )

( )

2

2 2

log 1

0

1

2 ( )

log 2

4

x x

x

x x

x loại x

 + =  =

 + =

 

 ⇔ ⇔ ⇔ =

 

 + = − + = = −

 

  

.Vậy phương trình có nghiệm x=0

b) Điều kiện: x+ >2 0,x+ ≠2 Đặt t=log (5 x+2) Phương trình viết lại theo t: 1 t t2 t 0,(t 0)

t

+ = ⇔ − − = ≠

2

t t

 = −

⇔

= 

Với log (5 2)

5

t= − ⇒ x+ = − ⇔ + = ⇔ = −x x

Với t=2⇒log (5 x+ = ⇔ + =2) x 25⇔ =x 23

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm 9, 23

x= − x=

c) Đặt t=ln ,x x( >0) Ta có phương trình:

2

2 12

3

t

t t t t

t

 = − 

− − + = ⇔ =

 = 

Với t= −2⇒lnx= − ⇔ =2 x e−2 Với t=2⇒lnx= ⇔ =2 x e2

Với t=3⇒lnx= ⇔ =3 x e3 Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm x∈{e−2; ;e e2 3} d) Đặt t=ex,( )t>0 Ta có phương trình:

( )

2

2 loại 12

3 4 12

3

t

t t t t t t

t

t

 = − 

− − + = ⇔ − − + = ⇔ =

 = 

Với t=2⇒ex = ⇔ =2 x ln Với t=3⇒ex = ⇔ =3 x ln3

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm x∈{ln 2;ln3} ấn đề 3: Mũ hóa hai vế

Áp dụng định nghĩa lôgarit: α=logab⇔aα =b (0< ≠a 1,b>0) Bài 2.12 Giải phương trình sau:

a) log 33( x 8)

x

+ = + b) log2x x( −1)=1

c) log3x x( + =2) d) 2− +x 3log log 35 = 5( x −52−x)

HD Giải

a) log 33( x+ = + ⇔8) x 3x+ =8 32+x ⇔3x + =8 9.3x ⇔3 8x = ⇔ =x

Vậy phương trình có nghiệm x=0

b) Điều kiện: x x( − >1) log2 ( 1) ( 1) 2 2

x

x x x x x x

x

 = −

 − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔

  =

 Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm x= −1vàx=2

c) Điều kiện: x x( + >2) log3 ( 2) ( 2) 31 2 3

x

x x x x x x

x

 =

+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔

= −  Vậy phương trình có nghiệm x=1 x= −3

d) ( )

2

5 5

3

2 3log log log

8

x x

x x

x x

−

−  − 

− + = − ⇔  = −

 

x x

x x x x x x x x x x x

2

2 2 2 2

3 5 3 5 8.5 3 9.5 3 5 25 1 2 0 2

8

−

− − − − − − −

−

⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

Vậy phương trình có nghiệm x=2

Bài 2.13 Giải phương trình sau:

a) log (4x x+ =3) b) log3x+log (3 x+ =2) c) log2(x2− −3 log (6) 2 x−10) 0+ = d) log 22( x+1− =5) x

HD Giải

a) Điều kiện x x( − >3) Ta có log4 ( 1) ( 3) 41 4

x

x x x x x x

x

 =

+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔

= − 

b) Điều kiện x>0 Ta có: log3 log (3 2) log (3 2) 2 3

x

x x x x x x

x

 =

+ + = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔

= −  Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm x=1

c) Điều kiện:

2 3 0

3

6 10

x

x x

 − >



⇔ > 

− >

 Ta có:

( ) x x

x x x x

x x

2

2

2 2

1

log log (6 10) log

6 10

 −   =

− − − + = ⇔  = ⇔ − + = ⇔

−  =

 

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm là: x=2

d) ( )

2

log 2x+ − = ⇔5 x 2x+ − =5 2x ⇔2x = ⇔ =5 x log ấn đề 4: Giải phương pháp đồ thị

Dạng logax=αx+β;(a≠1,α ≠0)

Vẽ hệ trục đồ thị hai hàm số: y=logax y=αx+β

Dựa vào đồ thị, tìm hồnh độ giao điểm hai đường, nghiệm phương trình cho Thử lại phép tính

Dùng tính đơn điệu

Đốn nghiệm áp dụng tính chất hàm số lơgarit (hoặc mũ) chứng minh nghiệm

Chú ý:

1/ 0< ≠a 1:y=logax hàm số giảm (nghịch biến) 2/ a>1:y=logax hàm số tăng (đồng biến) Bài 2.14 Giải phương trình sau:

a) 1

3

log x=3x b) log3x= − +x 11 c) log4

4

x

x= d) 1

2

16x =log x HD Giải

a) Vẽ đồ thị hàm số 1

3

log

y= x đường thẳng y=3xtrên hệ trục tọa độ Căn vào đồ thị, ta thấy chúng cắt điểm có hoành độ

1

x=

Thử lại, ta thấy

x= thỏa mãn phương trình cho Mặt khác, hàm số 1

3

log

y= xluôn nghịch biến, hàm số y=3xluôn đồng biến Vậy

3

x= nghiệm phương trình cho

b) Vẽ đồ thị hàm số y=log3x đường thẳng y= −11 xtrên hệ trục tọa độ Căn vào đồ thị, ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ x=9

Thử lại, ta thấyx=9thỏa mãn phương trình cho

Mặt khác, hàm số y=log3xluôn đồng biến, hàm số y= −11 xluôn nghịch biến Vậyx=9là nghiệm phương trình cho

c) Vẽ đồ thị hàm số y=log4x đường thẳng y x

= hệ trục tọa độ Căn vào đồ thị, ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ x=4

Thử lại, ta thấyx=4thỏa mãn phương trình cho

Mặt khác, hàm số y=log4xluôn đồng biến, hàm số y x

= nghịch biến (0;+∞)

Vậyx=4là nghiệm phương trình cho

d) Vẽ đồ thị hàm số y=16x đường thẳng

1

log

y= xtrên hệ trục tọa độ Căn vào đồ thị, ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ

4

x=

Thử lại, ta thấy

x= thỏa mãn phương trình cho Mặt khác, hàm số y=16xluôn đồng biến, hàm số

1

log

y= xluôn nghịch biến Vậy

4

x= nghiệm phương trình cho

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 2.15 Giải phương trình sau:

a) log2x−log4(x− =3) b) 25 125

5

log log

log log

x

x x =

c)

( )

( ) ( )

1

6

log

1 1

log log

x

x x

−

+ =

+ + d)

log log7

7 x+x =98

Bài 2.16 Giải phương trình sau:

a) 81sin2x +81cos2x =30 b)

3 1

2

log log x−3log x+5=2

 

c) 4log 1x− −6logx −2.3logx2+2 =0 d)

3

log 3x=3 log x−1 Bài 2.17 Giải phương trình sau:

a) 1log 2( 1) 1log( 9)

2 x x

− − = − b) 2( ) 1

8

1log 2 log 3 5

6 x− − =3 x−

c) log log 33( x − ) (3 x+1− =3) d) ( ) ( )

5

Kết quả:

Bài 2.15

a) Đưa lôgaritcơ số 2, x∈{ }4;12

b) Đưa lôgaritcơ số 5, x=

c) Điều kiện: − < <3 x x≠ −2 Đưa lơgaritcơ số 2, x=3 d) Có xlog7=7logx, x=100

Bài 2.16

a) Đặt t=81cos2x,( )t>0 Ta có phương trình: 81 30, , ;

6

t x k k k

t

 π π 

+ = ∈ ± + π ± + π ∈ 

 

ℤ

b) Đặt 1

2

log

t= x Ta có phương trình: 3 9, ;2

16

t − + =t x∈ 

 

c) Viết phương trình cho thành: 4 2( )logx 2−2 3logx logx −18 3( )logx =0, sau chia hai vế cho ( )3logx

và

log

2

2 ; 10

3

x

t=   x= −

 

d) Đặt t= log ,3x t( ) { }≥0 x∈ 3;81 Bài 2.17

a) x=13

b) Điều kiện: x>2,

Biến đổi phương trình thành: 1log2( 2) 1log 32( 5) log2( 3)( 5)

6 x− +6 x− = ⇔3 x− x− = ⇒x=

c) Ta có: log 33( x+1− =3) log 3 1 log 13 ( x− = +) 3( x− ) Đặt ( )

3

log 1x

t= −

Ta phương trình:

3

3 log 28

6

2 log 10

t x

t t

t x

 = − ⇒ = − +

+ − = ⇔

= ⇒ =

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Định nghĩa:

Hệ phương trình mũ, lơgarit hệ phương trình có chứa phương trình mũ phương trình lơgarit

2 Cách giải:

Khi giải hệ phương trình mũ lơgarit, ta dùng phương pháp giải hệ phương trình học như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ,

B BÀI TẬP Bài 3.1 Giải hệ phương trình sau:

a)

2x 2y

x y

 + =  

− =

 b) 4

20

log log log

x y

x y

 + =  

+ = +

 HD Giải a) (1)

2x 2y (2)

x y

 + =  

− =

 Từ (1)⇔ = −y x, vào (2), ta được:

1

2x−2−x = ⇔2 4x−2.2x− =2 (*)

Đặt t=2 ,x t>0 Phương trình (*) trở thành: 2 0

1 (loại)

t t t

t

 = +

− − = ⇔

 = − 

Với t= +1 3⇒2x = +1 3⇔ =x log 12( )+ ⇒y= −1 log 12( )+ Vậy nghiệm hệ phương trình:( )x y; =(log 12( )+ ;1 log 1− 2( )+ )

b)

4 4

20 (1) log log log (2)

x y

x y

 + =  

+ = +

 Điều kiện:

0

x y

 > 

>

 (*)

Từ (2)⇔log4xy=log 364 ⇔xy=36

Hệ phương trình cho tương đương: 20 , 36

x y

x y xy

 + = ⇒ 

=

 nghiệm

phương trình: 20 36

18

X

X X

X

 =

− + = ⇔

=

 (thỏa *) Vậy hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 2;18 và( ) ( )x y; = 18;2

Bài 3.2 Giải hệ phương trình sau: a) 31

2

x y y

x y y

+ + −

 + =

 

=

 b)

2.2 3.3 19

2

x y

x y

 + =

 

− = 

HD Giải a) 31

2

x y y

x y y

+ + −

 + =

 

=

 Đặt

2 ( 0)

3 ( 0)

x y y

u u

v v

+

 = >

 

= >



Hệ cho trở thành:

u v u u

u v v v

 + =  =  =

⇔

  

= = =

Với 2

3 3 1

x y y

u x y x

v y y

+   =  =  + =  = ⇒ ⇔ ⇔     =  = = =    

Với 2

3

log log log

3

log

2 log

x y y x x y u y v y +    + = = −  =  =   ⇒ ⇔ ⇔     = =  =   =    

Vậy hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 0;1 và( ) (x y; = log log 2;log 22 − 3 3 ) b) 2.2 3.3 19

2

x y x y  + =   − =

 Đặt

2 ( 0) ( 0)

x y

u u

v v

 = > 



= >

 (*)

Hệ cho trở thành: 19

2

u v u

u v v

 + =  =

⇔

 

− = =

  (thỏa (*))

Với 5 log 52

3 3

x y x u v y   =  =  =  ⇒ ⇔    =  =  =

   Vậy hệ cho có nghiệm ( ) ( )

; log 5;1

x y =

Bài 3.3 Giải hệ phương trình sau: a)

( )

2

2

2 2

log log

x y x y

x y − +  + =   − =

 b) 2

1

log log

xy x y  =   + =  HD Giải a) ( ) 2

2 2 (1) log log (2)

x y x y

x y − +  + =   − =

 Ta nhân hai vế (1) cho

y

− , ta được: 22( )x y− +2x y− =2(*)

Đặt t=2 (x y− t>0), phương trình (*), trở thành: 2

2(loại) t t t t  = + − = ⇔ = − 

Với t=1⇒2x y− = ⇔ − = ⇔ =1 x y x y

Thay x y= vào phương trình (2), ta được:

( )2

2 2

1

log log log log

2

x x− = ⇔ x − x− =

  2

log 2

4

log 16

x x x

x x x

−   = −  =  = ⇔ ⇔ ⇔ =  =     =

Vậy hệ cho có nghiệm ( ); 1; 4

x y = 

 và( ) (x y; = 16;16)

b) 21 2

log log

xy x y  =   + =

 Điều kiện:

0 x y  >  >  (*) Hệ cho tương đương: log2 log 2

log log

x y x y  + =   + =

 Đặt:

log log u x v y  =  =  Ta có hệ phương trình: 2 21

1

u v u

v u v  + =  =  ⇔   = − + =  



1 u v  = −  =  Với 10

1 log

1

1 log

10

x

u x

v y y

 =

 =  = 

⇒ ⇔

  

= − = − =

   (thỏa (*))

Với

1

1 log

10

1 log 10

u x x

v y y   = −  = −  = ⇒ ⇔    = =

   = (thỏa (*))

Vậy hệ cho có nghiệm ( ); 10; 10

x y = 

 và( )

1

; ;10

10

x y = 

Bài 3.4 Giải hệ phương trình sau:

a) 2( )

2

log 4x 2x

y x y  − =   + =

 b) ( ) ( )

2

5

9

log log

x y

x y x y

 − =   + − − =  HD Giải

a) 2( )

2

log 4x 2x

y x y  − =   + =

 Điều kiện:

1

y> (*)

Hệ cho tương đương:

( )2 2 ( )2 2

3

2 3 3

x x

x x

y y

y y y y

 − =  − =   ⇔   + = − + − =    ( ) 1

3 2

3 2

1

1 1

6 loại

2

2 2

x x

x y x

y

y

y y y y y

  − =  =  = −  − =     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − = = =       =   Kết hợp với (*), hệ cho có nghiệm ( ); 1;1

2

x y = − 

  b) ( ) ( ) 2 5

log log

x y

x y x y

 − =

 

+ − − =

 Điều kiện:

3

3

x y x y

 + >



− >

 (**)

Hệ cho tương đương: ( )( )

( ) ( )

5

3

log log

x y x y

x y x y

 − + =   + = + −  ( )( ) ( )

3

3

x y x y x y x y

 − + =  ⇔ + = −  ( ) ( )

5 1

3

3

x y x y x

x y y

x y x y

 − =  − =  =



⇔ ⇔ ⇔

+ = =

+ = −  

 (vì 3x y+ >0,3x y− >0)

Kết hợp với (**), hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;2

Bài 3.5 Giải hệ phương trình sau:

a) 2 ( 2 ) ( )

2

2

log log

3x xy y 81

x y xy

− +  + = +    =  b) ( ) 2

4

2 log log

x x y

x y  − + + =   − − =  HD Giải a) Điều kiện: xy>0(*)

Hệ cho tương đương: ( )

2 2

2

2 2 2

2

2

4 4

x y

x y xy x y x y

y y

x xy y x xy y

  + = − =  =  =    ⇔ ⇔ ⇔     = ± = − + =        − + =

Kết hợp với (*), hệ cho có nghiệm: ( ) ( )x y; = 2;2 ( ) (x y; = − −2; 2) b) Điều kiện: x>2,y>0(**) Hệ cho tương đương:

( )

2

2

4

2 log 2 log

x x y

x y  − + + =   − = 

2 4 2 0 3 0 0

2

2

x

x x y x x

y

x y x y

 − + + =  − =  =   ⇔ ⇔ ⇔ = − − = − =   

 

3 x y  =  =  Kết hợp với (**), hệ cho có nghiệm: ( ) ( )x y; = 3;1

Bài 3.6 Giải hệ phương trình sau: a)

( ) ( )

2

3

3

log log

x y

x y x y

 − =

 

+ − − =

 b) ( )

5

2

log log 7.log log log log 3log

a) Điều kiện: x y+ >0,x y− >0(*)

Hệ cho tương đương:

( )( )

( ) 3( ) 3 log log log

x y x y

x y x y  + − =  −  + − =   ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) 3 3 3

log log

log 3 2

log 1 1

log

log

log

x y x y

x y x y x

x y

x y y

x y x y  + + − =  + =   + =  =   ⇔ − ⇔ ⇔ ⇔ − = = − = + − =     

Kết hợp với (*), hệ cho có nghiệm: ( ) ( )x y; = 2;1

b) Điều kiện: x>0,y>0(**) Hệ cho tương đương: 5

2 2

log log log

3 log log 3log

x y y x  + = +   + = +  5 3 2

log log 10 10

5

8

log log

xy xy x

y y x y x  =  =  =   ⇔ ⇔ ⇔ = = =     

Kết hợp với (**), hệ cho có nghiệm: ( ) ( )x y; = 2;5

Bài 3.7 Giải hệ phương trình sau: a)

2 2

2

log log log ( )

log ( ) log log

x y xy

x y x y

 = +   − + =  b) 3

log log 2

4 ( )

3 12

xy

xy

x y x y

 = +   + − − =  HD Giải a) Điều kiện: x>0,y>0,x>y(*)

Biến đổi phương trình thứ hệ: log2x=log2y+log ( )2 xy ⇔log2x=log2y+(logx+logy)2

2 log

2 log log log 1

log log

y y

y x y

x y y

x  =  =  ⇔ + = ⇔ ⇔ + = =  

Với y=1 vào phương trình thứ hai, ta được: log (2 x− +1) log log1 0x = ⇔ − = ⇔ =x 1 1 x 2(thỏa (*))

Với y x

= vào phương trình thứ hai, ta được: log2 x log logx

x x   − + =     ( ) ( ) 2 2

2 2

2

1 1 loại

log log 2 loại

1

log log 1 1

1 2

log log

x x x

x x

x x

x x x

x x x

x x x

x  −  − = =   = −  −     ⇔  + = ⇔ ⇔ − ⇔ = ⇔   − =   = −   =  

Khi

2

x= ⇒y= (thỏa (*))

Vậy hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;2 ( ); 2;

x y = 

 

b) Điều kiện: xy>0(**) Lưu ý: alogcb=blogca

Từ phương trình thứ nhất: 4log3xy = +2 ( )xy log 23 ⇔22 log( 3xy) = +2 2log3xy

( ) ( )

3

3

log log log

3 log

2 loại

2 2 log

2

xy

xy xy

xy xy xy

 = −

⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

 =

 Từ phương trình thứ hai:

( )2 ( ) ( ) (2 )

2 3 3 12 2 3 12 0 3 18 0

3

x y

x y x y x y xy x y x y x y

x y

 + =

+ − − = ⇔ + − − + − = ⇔ + − + − = ⇔

Khi đó: 3

log log 2

3

4 ( ) hoặc

6

3 12

xy xy xy

xy

x y x y

x y x y

 = +  =  =  ⇔    + = + = − + − − =    

Với 3

6 3 6 3 6

xy x x

x y y y

   =  = +  = − ⇔    + = = − = +    (thỏa (**))

Với :

3 xy x y  =  + = −

 hệ vô nghiệm

Vậy hệ cho có nghiệm ( )x y; = +(3 6;3− 6)và ( )x y; = −(3 6;3+ 6)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 3.8 Giải hệ phương trình sau:

a) 2 12 x y 0,5

x y − −  + =   + =

 b)

3.2 2.3 2,75

2 0,75

x y x y  + =   − = − 

Bài 3.9 Giải hệ phương trình sau: a)

( )

5

3 1152

log x y x y −  =   + =

 b) ( ) ( )

2

2

2

log log

x y

x y x y

 − =

 

+ − − =

 Bài 3.10 Giải hệ phương trình sau:

a) ( ) ( )

2

log log

log log 1 log log3

x y x y

x y  − = − +   − = −  − 

b) 1

2

2 log 15 log log

y

y y

x

x x +

 − =

 

= +

 Bài 3.11 Giải hệ phương trình sau:

a)

2 2

11

log log log 15

x y x y  + =   + = +  b) ( ) ( ) ( ) 2

log log8

log log log3

x y

x y x y

 + = +

 

+ − − =

 Bài 3.12 Giải hệ phương trình sau:

a)

( )

3

3 972

log x y x y  =   − =

 b) 2

25

log log

x y x y  + =   − =  Bài 3.13 Giải hệ phương trình sau:

a) 3

1 x y x y  + =   + =  b) 3 x y x y − −  + =    + =  Bài 3.14 Giải hệ phương trình sau:

a)

4 4

20

log log log

x y x y  + =   + = +

 b) 2

1

4 x y 0,5

x y − −  + =   + = 

Bài 3.15 Giải hệ phương trình sau: a) ( ) ( ) ln ln ln6 ln5 6 x y x y  =   =

 b)

2

2 5

x x y

x x y

+ − +  + =   = 

Bài 3.16 Giải hệ phương trình sau:

a) 14( )

2

1

log log

25 y x y x y  − − =    + =  b)

( )2

9

1

3log log

a) ( ); 1; 2

x y =   

Gợi ý:Cách Rút y từ phương trình đầu, vào phương trình thứ hai ta được: 4−2x +4−2(1 )−x =0,5 Sau

đó đặt t=4 (−2x t>0)

cách Viết phương trình đầu thành 4x y+ =4 hay 4x y =4 Sau đặt u=4 ,x v=4 (y u>0,v>0)

b) ( ) (x y; = −2;0) Gợi ý: Đặt u=2 (x u>0),v=3 (y v>0) Bài 3.9

a) ( ) (x y; = −2;7) Gợi ý: Tính y từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu b) ( ); 1;

2

x y = 

  Gợi ý: ĐKXĐ phương trình:x y± >0 Khi đó:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2 2

2

log log

2

log

log log log 1

log

x y x y

x y

x y

x y x y x y

 + + − =

 − = 

 

⇔ −

 

+ − − = + − =

 





Sau đó, đặt u=log2(x y v+ ), =log2(x y− )

Bài 3.10

a) ( ) ( )x y; = 6;2 Gợi ý: Quy giải hệ phương trình

2 32

( 0)

12

x y

x y xy

 − =



> > 

=



b) ( ) (x y; = 512;1) Gợi ý: Đặt u=log (2x x>0),v=3 (y v>0) Bài 3.11

a) ( ) ( )x y; = 5;6 ( ) ( )x y; = 6;5 Gợi ý: Điều kiện: 0

x y

 > 

>

 Biến đối phương trình thứ hai hệ nhu sau:log2x+log2y= +1 log 152 ⇔log2xy=log 302 ⇔xy=30

b) ( ) ( )x y; = 8;4 Gợi ý: Điều kiện: 0

x y x y

 + >

 − >



Hệ phương trình tương đương: ( )

2 2

log log80 80

3

log log3

x y x y

x y x y

x y x y

 + =  + =

 

⇔ +

 + 

= =

 

−

− 

 Bài 3.12

a) ( ) ( )x y; = 5;2 Gợi ý: Điều kiện:x y− >0

( )

3

3 972 972 3

log 3 972 36

x y x y

y y y

x y x y x

x y x y + y

 =  =  = +  = +  =

   

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    

− =  − =  =  =  =



b) ( ) ( )x y; = 20;5 Gợi ý: Điều kiện:x>0,y>0.Biến đổi phương trình thứ hai hệ thành: x

y=

Bài 3.13

a) ( ) ( )x y; = 1;0 ( ) ( )x y; = 0;1 Gợi ý: Cách 1.Rút y từ phương trình thứ hai, vào phương trình thứ đầu ta được: 3x +31−x =4 Sau đặt t=3 (x t>0)

Cách Viết phương trình đầu thành 3x y+ =3 hay 3x y =3 Sau đặt u=3 ,x v=3 (y u>0,v>0)dẫn đến hệ:

u v u v

 + = 

Bài 3.14

a) ( ) ( ) ( )x y; ={ 2;18 ; 18;2 } Gợi ý: Điều kiện: x>0,y>0, biến đổi phương trình thứ hai hệ sau:

4 4 4

log x+log y= +1 log 9⇔log xy=log 36⇔xy=36 b) ( ); 1;

2

x y = 

  Gợi ý: Cách :Rút y từ phương trình đầu, vào phương trình thứ hai ta được:

( )

2

4− x+4− −x =0,5, sau đặt t=42x

Cách 2: Viết phương trình đầu thành 4x y+ = ⇔4 4x y =4, sau đặt u=4 ,x v=4y

Bài 3.15 a) ( ); 1;

6

x y = 

  Gợi ý: Điều kiện: x>0,y>0, lấy lôgarit số e hai phương trình hệ dẫn đến hệ:

( ) ( )

ln 5.ln ln ln

ln ln ln ln ln ln

x y

x y

 =

 

+ = +



b) ( ) (x y; = log 5;log log ; ;2 5 − 2 ) ( ) ( )x y = 1;0 Gợi ý: Đặt: ,( 0)

5 ,( 0)

x x y

u u

v + v

 = > 



= >

 ta có hệ:

7 10

u v u v

 + = 

=  Bài 3.16

a) ( ) ( )x y; = 3;4 Gợi ý: Điều kiện: x>0,y>0 Biến đổi hệ: 14 2 2

2

log

25 25

y

y x y x

x y x y



=  − =

 

− ⇔

 

+ =

 

+ =



b) ( ) ( ) ( )x y; ={1;1 ; 2;2 } Gợi ý: Biến đổi hệ: 3

1 1

3

log 27

x y x y

x x

y y

 − + − =  − + − =

 

 

⇔

    

= =

    

    

 

1 2

x y x x

x y x y

 − + − = 

  − − =

⇔ ⇔

=

= 

 

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

§4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A KIẾN THỨC CẦN NẮM

Bất phương trình mũ Dạng ax >b a,( >0,a≠1)

x

a >b Tập nghiệm

1

a> 0< <a

0

b≤ ℝ ℝ

0

b> (log ; )

ab +∞ (−∞;logab)

Dạng ax ≥b a,( >0,a≠1) x

a ≥b Tập nghiệm

1

a> 0< <a

0

b≤ ℝ ℝ

0

b> log ; )

ab

 +∞

 (−∞;logab

Dạng ax <b a,( >0,a≠1)

x

a <b Tập nghiệm

1

a> 0< <a

0

b≤ O O

0

b> ( ;log )

ab

−∞ (log ;ab +∞)

Dạng ax ≤b a,( >0,a≠1) x

a <b Tập nghiệm

1

a> 0< <a

0

b≤ O O

0

b> ( ;log

ab

−∞  log ;ab +∞)

Lưu ý:

Để giải bất phương trình mũ, ta biến đổi đưa bất phương trình mũ bất phương trình đại số

Khi giải bất phương trình mũ, áp dụng tính chất đồng biến nghịch biến hàm số mũ:

( ) ( ) ( ) ( )

1

f x g x f x g x

a a

a a

 >  >



⇔

 

> >

 



( ) ( ) ( ) ( )

0

0

f x g x f x g x

a a

a a

 >  <



⇔

 

< < < <

 

 Bất phương trình f a( )x ≥0

Cách giải: Đặt ẩn phụ t=ax, đưa bất phương trình hệ

( )

t f t

 > 

≥ 

Bất phương trình af x( ) ≥b giải phương pháp lấy logarit hai vế

B BÀI TẬP ạng Giải bất phương trình mũ cách đưa số

Lưu ý:

( ) ( ) ( )

( )

1: f x g x

a> a ≤a ⇔ f x ≤g x 1: f x( ) g x( ) ( ) ( )

a a a f x g x

< < ≤ ⇔ ≥

Bài 4.1 Giải bất phương trình sau:

a) 3x2−x <9 b) 3

2− +x x <4 c)

2

2

7

9

x − x

  ≥     HD Giải

a) 3x2−x < ⇔9 3x2−x <32 ⇔x2− < ⇔ − < <x 2 1 x 2(do số a = lớn 1)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S= −( )1;2

b) 2 2 22 2

2

x x x x x x x x x

x

− + < ⇔ − + < ⇔ − + < ⇔ − + > ⇔ <

 >  Vậy tập nghiệm bất phương trình : S= −∞ ∪( ;1) (2;+∞)

c)

2

2 3

2

7 7 2 3 1

9 9

x x x x

x x

− − −

     

≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ −

     

     

2

2 1

2

x x x

⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Vậy tập nghiệm bất phương trình : 1;1

S= 

 

Bài 4.2 Giải bất phương trình sau:

a) 22 1x− +22x−2+22 3x− ≥448 b) 2x−2 >4x+1

c) ( ) ( )2 1 1

x x

x

+

−

+ ≥ − d) ( ) ( )

1

1

5

x x

x

− −

+

+ ≥ −

HD Giải a) 22 22 22 448 1.22 1.22 1.22 448

2

x− + x− + x− ≥ ⇔ x + x + x ≥

7.22 448 22 512 29 9

8 x x x x

⇔ ≥ ⇔ ≥ = ⇔ ≥ ⇔ ≥

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S 9;

 

= +∞

 

b) 2x 4x 2x 22x 2

x x

− > + ⇔ − > + ⇔ − > +

( )

2 4 4 4 2 1 3 12 0 4 0

x x x x x x x

⇔ − + > + + ⇔ + < ⇔ − < <

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S= −( 4;0)

c) ( ) ( )2 1 1 (1)

x x

x

+

−

+ ≥ − Điều kiện: x≠1 Ta có: ( )( )2 1+ 1− = ⇒( ) ( )2 1− = 1+ −1

Do đó: ( ) ( )

2

1

(1) 2 1

1

x x

x x x x

x

x x

+ −

− + −

⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ − ⇔ ≥

+ −

5

x x

− − − +

⇔ ≤ ≤ x>1

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S 1; (1; )

2

− − − + 

= ∪ +∞

 

 

d) Điều kiện: x≠ −1 ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1 1

5 5

1

x x

x x

x x x x

x

− −

− − −

+ + −

+ ≥ − ⇔ + ≥ + ⇔ − ≥ −

+

2 2

0

1

x x

x x

+ −

⇔ ≥ ⇔ − ≤ < −

+ x≥1

a) 2 2 x x x −

− ≤ b) ( ) ( )

3

1

10 10

x x

x x

− +

− +

+ < −

c) 2 5 x x −     >    

    d) ( )

2

3

8,4 xx

− + < HD Giải a) 2 1 2

1 2  1 2 1

2

2

x x x

x

x x x x x

− − − −     ≤ ⇔  ≤  ⇔ − ≥ −     ( ) 2 2 2 x x x x x

x x x

 − ≤ 

− ≥

 

⇔ − > ⇔ ≥

    − ≥ −  

Vậy tập nghiệm bất phương trình : S=2;+∞)

b) ( ) ( ) ( ) ( )

3

1 3

10 10 10 10

x x x x

x x x x

− + − − +

− + − +

+ < − ⇔ + < +

( ) ( )(2 )

1 3

10 0

1 3

x x

x x x x x

x x x x

− + +

− + − + −

⇔ + < ⇔ + < ⇔ <

− + − +

3

1

x x

− < < −

⇔

 < <



Vậy tập nghiệm bất phương trình : S= − −( 3; 5) ( )∪ 1;

c)

2

2

0

2

2 2 0 1 2

2

5

1

x x x x

x x x x x

x x x

−  − ≥  < ≤

     

> ⇔ − < ⇔ > ⇔ < − ⇔ < ≤

   



      >

− = 

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình : S=(1;2

d) ( ) ( ) ( )

3 0

1

1

3

8,4 8,4 8,4

1

x x

x x x x

x

− −

+ < ⇔ + < ⇔ − < ⇔ <

+ Vậy tập nghiệm bất phương trình: S= −∞( ;3)

ạng Giải bất phương trình mũ cách đặt ẩn phụ

Bài 4.4 Giải bất phương trình sau:

a) 4x−2.52x <10x b) 2x+2−x− <3

c) 3x+2+3x−1≤28 d) 4x+3.2x+ >2 0

HD Giải a) 4x −2.52x <10xchia hai vế bất phương trình cho 10x,

ta được: 2

5

x x

   

− <

   

    Đặt

2 ,( 0)

x

t=   t>

  Ta có :

2

2 1 0

0 0 t t t t t t t t   − −

− < <

 

⇔ ⇔ < <

 

 >  >

 

Do đó: 2

5

2

0 log

5

x

x

 

<  < ⇔ >

  (do

2 1

5< ) Vậy tập nghiệm bất phương trình là:

log 2;

S= +∞

 

b) 2x+2−x − <3 0 Đặt t=2 ,(x t>0),

Ta có :

2

1 3 0 0 3 5 3 5

2 0 t t t t t t t t   − +

+ − < < − +

 

⇔ ⇔ < <

 

 >  >

 

Do đó: 5 log23 log23

2 2

x x

− < < + ⇔ − < < + hay ( ) ( )

2

log 3− 1− < <x log 3+ 1− Vậy tập nghệm bất phương trình là: S=(log 32( − 1;log 3)− 2( + 1)− )

c) 3 28 9.3 1.3 28 3

3

x+ + x− ≤ ⇔ x+ x ≤ ⇔ x ≤ ⇔ ≤x

Vậy tập nghiệm bất phương trình : S= −∞( ;1

d) 4x +3.2x + >2 0 Đặt t=2 ,(x t>0), ta có:

2 3 0 0 1

2

t t t

t t

 − + >  < <



⇔

 

> >

 



Do đó:

1

2

x x

x x

 <  < ⇔

 

> >

 

 Vậy tập nghiệm bất phương trình : S= −∞( ;0) (∪ +∞1; ) Bài 4.5 Giải bất phương trình sau:

a) 4

4

x

x − x < b) ( ) ( )

1

0,4 x 2,5 x+ 1,5

− >

c)

1

4 8

2

x x

x x

+ −

− + < d)

1

1

3x +5 3≤ x+ −1 HD Giải

a) 4 4.4 4.3 3.4 4.3

4 4

x x x x x x

x x x x x x

− + − +

< ⇔ < ⇔ <

− − −

Chia tử mẫu cho (4x x >0), ta được:

3

4 0

3

4

x

x

 

− +  

  <  

− 

 

Đặt ( 0)

4

x

t=   t>

  , ta có:

0 0

4

4 1

1

t

t t

t t

 > 

< <

 

⇔

 − 

>

  >

− 



Suy ra:

3

0

4

0

3 1

4

x

x

x x

  

 <  <

 >

  

⇔



<   

 >     

Vậy tập nghiệm bất phương trình : S= −∞( ;0) (∪ +∞1; )

b) ( ) ( )0,4 x− 2,5 x+1>1,5 Đặt ,

x

t=   t>

 

Ta bất phương trình: 1,5 22 5

2

t t t t

t

− > ⇔ − − > ⇔ > (do t>0)

Với 5

2

x

t> ⇒   > ⇔ < −x

  Vậy tập nghiệm bất phương trình: S= −∞ −( ; 1) c)

1

2

1

4 8 2 2.2 8 2 2 2.2 8 0

2

x x

x x x x x x x

x

+

− −

− + < ⇔ − + < ⇔ + − >

Đặt t=2 ,x t>0 Ta có: t2+ − > ⇔ < −2 0t t 4hoặc 2

t>

Với t>2⇒2x > ⇔ >2 x 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình: S 1;=( +∞)

d) 11

3x +5 3≤ x+ −1 Đặt ,

x

t= t>

Ta có bất phương trình: 1

5 3

t t

t

t t t

 − ≤ +

≤ ⇔ ⇔ < ≤

+ −  − > Do đó:

1 3 3 1 1

3

x x

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S= −( 1;1 Bài 4.6 Giải bất phương trình sau:

a) 2

3

x

x − x ≤ b)

1

9x <3x+ +4

c) 3x−3− +x 2+ >8 0 d)

2log

log

1 5.2 4

2

x

x

−

 

< −

    HD Giải

a) 2

3 3

1

x

x− x ≤ ⇔ − x ≥

  −    

Đặt ( 0)

2

x

t=   t>

  , ta có:

0

2 0

1

t t

t

t t

 >  < <

 

⇔

 − 

≥ ≥

 

− 



Suy ra:

3

0

2

1

3

2

x

x

x x

  

 <  <

 <

  

⇔



≥   

 ≥     

Vậy tập nghiệm bất phương trình : S= −∞( ;0)∪ +∞1; )

b) 9x <3x+1+ ⇔4 32x −3.3x − <4 0 Đặt t=3 ,(x t>0)

Ta có: 2 0

3

t

t t t

 > 

⇔ < < 

− − <

 Suy ra: log 43

x < ⇔ <x

Vậy tập nghiệm bất phương trình : S= −∞( ;log 43 )

c) 3x − − +x 2+ > ⇔8 3x −9.3−x + >8 0 Đặt t=3 ,(x t>0)

Ta có: 2 0

8

t

t t t

 > 

⇔ < < 

+ − >

 Suy ra:

x > ⇔ >x

Vậy tập nghiệm bất phương trình : S=(0;+∞) d)

2log 2log log

log

1 5.2 4 5. 4 0

2 2

x x x

x

−

     

< − ⇔ − + <

     

     

Đặt t=3 ,(x t>0) Ta có:

2

0

1

5

t

t t t

 > 

⇔ < < 

− + <



Suy ra:

log log

1 1

1 log

2 2 100

x x

x x

−

     

<  < ⇔ <  <  ⇔ − < < ⇔ < <

     

Vậy tập nghiệm bất phương trình : ;1 100

S= 

 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4.7 Giải bất phương trình sau:

a) 5x2+x ≤25x+1 b)

2 5 3

1 125

5

x − +x

 

>  

 

c) 2x+2x+1≤ +3x 3x+1 d) 2x+2−2x+3−2x+4 >5x+1−5x+2

Bài 4.8 Giải bất phương trình sau:

a)

2 1 1

1 3. 12

3

x x+

   

+ >

   

    b)

1 2

c) ( ) ( )

2

2 1

5 1+ − +x x+2− + +x x <3 1− − +x x d)

2

2

2

9

3

x x

x x

−

− −   ≤

    Bài 4.9 Giải bất phương trình sau:

a) 9x−5.3x + <6 0 b) 2−x2 >2−x

c)

1

2 5.3 1

2

x x

x x

+ +

− <

− d)

4 7.5

3

5 12.5

x

x+ x

− ≤

− +

Bài 4.10 Giải bất phương trình sau:

a) ( ) ( )

1 5

2

7

x x

− +

+ ≤ − b) 25x−30.5 125 0x+ >

c) 31 1

3

x x

x+ x+

+ ≥ −

− d)

( )2

log

1 1

2

x −

 

>  

 

Kết

Bài 4.7

a) 1− ≤ ≤x b) x>0 c) x≥2 d) x>0 Bài 4.8

a) − < <1 x b) 2< <x c)

1

x x

 < 

>

 d) 1− 2≤ ≤ +x

Bài 4.9

a) log 23 < <x b) x∈ −( ) ( )1;0 ∪ 0;1

c) 2 2

3

log 3;log

x∈ 

  d)

5

5

log 0,4 log 0,8 log

x x

 < <

 >



Bài 4.10

a) 2;

2

x∈ − − 

  b) x∈ −∞ ∪( ;1) (2;+∞)

§5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT A KIẾN THỨC CẦN NẮM

Bất phương trình lơgarit Dạng logax>b a( >0,a≠1)

logax>b a>1 0< <a

Nghiệm (ab;+∞) ( )0;ab

Dạng logax≥b a( >0,a≠1)

logax≥b a>1 0< <a

Nghiệm ab;+∞)

 (0;a  b Dạng logax<b a( >0,a≠1)

logax<b a>1 0< <a

Nghiệm ( )0;ab (ab;+∞)

Dạng logax≤b a( >0,a≠1)

logax≤b a>1 0< <a

Nghiệm (0; b

a  ab;+∞)



Lưu ý:

Để giải bất phương trình lơgarit, ta biến đổi để đưa bất phương trình lơgarit bất phương trình đại số

Khi giải bất phương trình lơgarit, áp dụng tính chất đồng biến nghich biến hàm số lôgarit:

( ) log ( ) log ( )

1

1 ( ) ( )

a a

g x f x g x

a a

f x g x

 >

 >

 

⇔ >

 

>

  >



( ) log ( ) log ( )

0

0 ( ) ( )

a a

f x f x g x

a a

f x g x

 >

 >

 

⇔ < <

 

< <

  <



(loga )

f x ≥ , f hàm số Có thể giải phương pháp: Đặt t=logax, giải bất phương trình f t( )≥0, sau giải bất phương trình lơgarit tương ứng

B BÀI TẬP

ạng Giải bất phương trình lơgarit cách đưa số

Lưu ý:

( ) ( ) 1: log ( ) log ( )

( )

a a

f x g x

a f x g x

f x

 <

> < ⇔

>



( ) ( ) 1: log ( ) log ( )

( )

a a

f x g x

a f x g x

g x

 >

< < < ⇔

>  Bài 5.1 Giải bất phương trình sau:

a) log (50,5 x+10) log< 0,5(x2+6x+8) b) log (4 ) 28 − x ≥

c) log (2 x− +3) log (2 x− ≤2) d) 1 1

2

log (2x+ >3) log (3x+1) HD Giải

a) log (50,5 x+10) log< 0,5(x2+6x+8)

Điều kiện bất phương trình: 52 10 2

4

6

x x

x

x x

x x

 + >  > −



⇔ ⇔ > −

 

< − > −

+ + >

 

 (*)

Ta có: log (50,5 x+10) log< 0,5(x2+6x+ ⇔8) 5x+10>x2+6x+8⇔x2+ − < ⇔ − < <x 2 x

Kết hợp với (*), Vậy tập nghiệm bất phương trình: S= −( )2;1

b) log (4 ) 28 2 30

4 64 30

x x

x x

x x

 − >  <

− ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ −

− ≥ ≤ −

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S= −∞ −( ; 30)

c) 2 2

2

3 log ( 3) log ( 2)

log ( 3)( log

x

x x

x x

 − >



− + − ≤ ⇔  

− − ≤

  



3 3 4

( 3)( 2

x x

x

x x x

 >  >

⇔ ⇔ ⇔ < ≤

− − ≤ ≤ ≤

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S=(3;4

d) 1 1

2

3

2

log (2 3) log (3 1) 2

2 3 2

x x

x x x

x x

x



 + >  > −

+ > + ⇔ ⇔ ⇔ >

+ < +

  >

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S=(2;+∞)

Bài 5.2 Giải bất phương trình sau:

a) 1 1

5

log (3x− >5) log (x+1) b) log0,2x−log (5 x− <2) log 30,2

c) log 4.log2 12

12

x

x x

− ≥

− d) ( )

 

− <

 

 

 

2

2

log log x 1

HD Giải

a) 1 1

5

5

3 5

log (3 5) log ( 1) 3

3 3

x x

x x x

x x

x



 − >  >

− > + ⇔ ⇔ ⇔ < <

− < +

  <

Vậy tập nghiệm bất phương trình: 5;3

S= 

 

b) Ta có: 5 1 0,2

5

log (x− = −2) log (x− = −2) log (x−2)

0,2 0,2

0,2 0,2 0,2

2

log log ( 2) log

log log ( 2) log

x

x x

x x

 > 

− − < ⇔

+ − <



0,2 0,2

2

log ( 2) log ( 2)

x x

x x x x

 >  >



⇔   ⇔

− < − >

   



2

3

2

x x

x

x x

x x

 >  >



⇔ ⇔ ⇔ >

< − >

− − >

 

 Vậy tập nghiệm bất phương trình: S=(3;+∞) c) Điều kiện:

0, 5 2

(*)

5 12 0 12 3

12

x x

x x

 > ≠ 

⇔ < <

 − > 

− 

Ta có: 2 2 2 2

2

5 12 12 12

log 4.log log log log

12 log 12 12

x

x x x

x

x x x x

− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤

(vì 2; 12

x∈ 

  log2x<0)

(6 2)( )

5 12 0 0 6 2

12 12

3

x

x x

x x

x x

x



− ≤ ≤ 

+ −

−

⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔

− − 

>  Kết hợp với (*), tập nghiệm bất phương trình: 1;

12

S= 

 

d) 3 1( ) 3 1( ) 3

2

log log x −2 < ⇔1 log log x −2 <log

   

   

( ) ( )

1 1

2 2

1

0 log log log log

8

x x

⇔ < − < ⇔ < − < 1 2 2 2

8 2 2

x x x

⇔ > − > ⇔ > > ⇔ < <

Vậy nghiệm bất phương trình:

2 < <x

3

2

x

− < < −

Bài 5.3 Giải bất phương trình sau:

a) log0,1(x2+ − >x 2) log (0,1 x+3) b) 1( ) 3

3

log x −6x+ +5 log (2− ≥x)

c) log(x2− − <x 2) log 3( )−x d) ln x− +2 ln x+ ≤4 3ln

HD Giải

a) ( )

2

0,1 0,1

2

log log ( 3)

2

x x

x x x

x x x

 + − >



+ − > + ⇔

+ − < + 

2

2

5 5

x x

x x

x x



 + − > < − >

 

⇔ ⇔

− < − < <

 

 

5

1

x x

− < < −

⇔

 < <



Vậy tập nghiệm bất phương trình S= −( 5; 2− ∪) ( )1;

b) Điều kiện: 2− >x x2−6x+ >5 0

( ) ( )

( )

2 2

1 3

3

2 2

1

3

log log (2 ) log log (2 )

log log (2 ) (2 )

x x x x x x

x x x x x x x

− + + − ≥ ⇔ − + ≥ − −

⇔ − + ≥ − ⇔ − + ≤ − ⇔ − ≥

Do bất phương trình cho tương đương với:

2

1

6

2

2 1

2

x x

x x x x x

x

x



 − >  <

 

− + > ⇔ < > ⇔ ≤ <

 

 − ≥ 

  ≥

 Vậy tập nghiệm bất phương trình ;1

2

S=   

c) ( ) ( )

( )

2

2

2 1

log 2 log 3 11

2

11 5

2

5

x x x x x

x x x x x

x

x x x x



 − − >  < − >

 < −

 

 

− − < − ⇔ − > ⇔ < ⇔

< <

  

− − < −

  <



 Vậy tập nghiệm bất phương trình ( ; 1) 2;11

5

S= −∞ − ∪ 

 

d) ln x− +2 ln x+ ≤4 3ln 2⇔ln(x−2)(x+4) ≤ln8⇔ (x−2)(x+4) ≤8

2

2

2

2 17

8 8

2 16 17 17 17

x x

x x x

x x

x x x x

 

 + ≥ ≤ − ≥ − − ≤ ≤ −

 

⇔ − ≤ + − ≤ ⇔ ⇔ ⇔

+ − ≤ − − ≤ ≤ − +

   ≤ ≤ − +

Vậy tập nghiệm bất phương trình S= − −( 17; 2− ∪) (0; 1− + 17) Bài 5.4 Giải bất phương trình sau:

a) (2x−7 ln) ( )x+ >1 b) (x−5 log)( x+ <1)

c) 1( ) 5( )

5

log x −6x+18 log+ x− <4 d) ln 3( ex− ≤2) 2x

HD Giải

a) (2x−7 ln) ( )x+ >1 ( )

( )

7

7

2 2

2

ln 1 1

7

2 7 2 1 0

2

ln 1 0

0 1

x

x x

x x x

x

x x

x

x x

x

 >

 

 − > 

>

 

  

+ > + > 

   >

⇔ ⇔ ⇔ < ⇔

 − <  



  <  − < <

 

 + <  

− < <

 

 

  

< + < 



Vậy tập nghiệm bất phương trình: ( )1;0 7;

S= − ∪ +∞

 

b) (x−5 log)( x+ <1)

5

log log 1

5 10

5

log log

x x

x x

x

x x

x x

 − >  >

 

+ < < −

 

 

⇔ ⇔ ⇔ < <

 − <  <

 

+ > > −

 

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình: ;5 10

S= 

 

c) 1( ) 5( )

5

log x −6x+18 log+ x− <4 Điều kiện: x− >4 x2−6x+18 0>

( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 5

5

2 2

1

5

log 18 log log 18 log ( 4)

log 18 log ( 4) 18 ( 4) 2

x x x x x x

x x x x x x x

− + + − < ⇔ − + < − −

⇔ − + < − ⇔ − + > − ⇔ + >

Do bất phương trình cho tương đương với:

4

6 18

2

x x

x x x x

x x

 − >  >

 

− + > ⇔ ∀ ∈ ⇔ >

 

 + >  > −

 

ℝ

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S=(4;+∞)

d) ( )

( )

3

ln 2

ln ln

x x

x x

e

e x

e e

 − >



− ≤ ⇔

− ≤



2

3

x

x x

e

e e

 > 

⇔

 − + ≥



2 ln

3 2 2

ln

1

1 3 3

x x

x

x x

x e

e

x e

e e

  ≥  ≥

>

  

⇔ ⇔ ⇔

< ≤

< ≤

 ≤ ≥  

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình: ln ;02 ln 2; )

S= ∪ +∞

 

ạng Giải bất phương trình lơgarit cách đặt ẩn phụ

Bài 5.5 Giải bất phương trình sau:

a) 3log log 3log 0x + 4x + 16x ≤ b)

1 log

1 log

x x

−

≤ +

c) log23x+5log22x+log2x− ≥2 d) 1 ( )

5

log 6x+ −36x ≥ −2 HD Giải

a) Điều kiện: x>0 4 16

4 4

3

3log log 3log 0

log log log

x + x + x ≤ ⇔ x+ x+ + x+ ≤

Đặt t=log , 4x (x>0,t≠0,t≠ −1,t≠ −2), ta có:

( )( )

2

3 0 16 0

1 2

t t

t t t t t t

+ +

+ + ≤ ⇔ ≤

+ + + +

1

2

16

3 1 1

2

1 0 1

2

t x

t x

t x



< − ⇒ < <

  

⇔ − ≤ < − ⇒ ≤ <



− ≤ < ⇒ ≤ <



Vậy tập nghiệm bất phương trình: 0;1 1; 1;1

6

S= ∪ ∪ 

     

b) Đặt t=log , (4x x>0), ta có bất phương trình:

1

1 2

1 2

4

t t

t

t

 < − 

− ≤ ⇔

+  ≥



Với log4 1

2 2

t< − ⇒ x< − ⇔ < <x Với log4

4

t≥ ⇒ x≥ ⇔ ≥x

Vậy tập nghiệm bất phương trình: 0;1 2; )

S= ∪ +∞

 

c) log32x+5log22x+log2x− ≥2 Đặt t=log , (2x x>0),

Ta có: 2t3+5t2+ − ≥ ⇔ +t 2 0 ( )t 2 2( t2+ − ≥t 2) 0

1

2

4

1 2

t x

t x



− ≤ ≤ − ⇒ ≤ ≤



⇔

 ≥ ⇒ ≥

 Vậy tập nghiệm bất phương trình: 1; 2; )

4

S= ∪ +∞

 

d) 1 ( )

5

log 6x+ −36x ≥ −2 Điều kiện: 6x+1−36x >0

Đặt t=6 ,x ( )t>0 , ta có: ( )

2

1

5

6

log

5

6

t t t

t t

t t t

 − >  ≤



− ≥ − ⇔ ⇔

≤ < − ≤

 

 Với t≤1⇒6x ≤ ⇔ ≤1 x 0 Với

6

5≤ <t 6⇒5 6≤ x < ⇔6 log 5≤ <x

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S= −∞( ;0)∪log 5;16 )

Bài 5.6 Giải bất phương trình sau:

a) log20,5x+log0,5x− ≤2 b) log20,2x−5log0,2x< −6

c) log32x−5log3x+ ≤6 d) log 2.log 2.log 4x 2x 2 x>1

HD Giải

a) log0,52 x+log0,5x− ≤2 Đặt t=log0,5x, (x>0) Bất phương trình trở thành: t2+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤t 2 0 2 t 1

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S=0,5;4

b)

0,2 0,2

log x−5log x< −6 Đặt t=log0,2x, (x>0) Bất phương trình trở thành: t2− + < ⇔ < <5 0t 2 t 3

Với 2< <t 3⇒2 log< 0,2x< ⇔3 0,008< <x 0,04

Vậy tập nghiệm bất phương trình: S=0,008;0,04

c) log32x−5log3x+ ≤6 Đặt t=log , (3x x>0) Bất phương trình trở thành: t2− + ≤ ⇔ ≤ ≤5 0t t

Với 2≤ ≤t 3⇒2 log≤ 3x≤ ⇔ ≤ ≤3 x 27 Vậy tập nghiệm bất phương trình: S=9;27 d) Điều kiện:

0, 1

x x

x

 > ≠ 

 ≠  

.Ta có:

( )

2

2

2 2

log log

log 2.log 2.log 1

log log log log

x x

x x

x

x x x x

+

> ⇔ > ⇔ >

+ Đặt t=log ,2x t( ≠0,t≠ −1) Khi đó:

( )

2

2

2 1 0

1 0 2

t

t t

t t t t t

− < < −

+ > ⇔ − + > ⇔

+ +  < <

Suy ra: 2

2

1

2 log

2

0 log 1 2

x x

x x



− < < −  < <

 ⇔

 < <

  < <

Vậy tập nghiệm bất phương trình: ( )2

1 1; 1;2

2

S= ∪

 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 5.7 Giải bất phương trình sau:

a) log2(x2−16)≥log 42( x−11) b) 1 2( ) 2

2

1 log log log

2

x

 + >

 

c) log 3x( x− >1) logx(x2+1) d) log 5x( x2−8x+ >3)

Bài 5.8 Giải bất phương trình sau: a)

3

log logx − x <0 b) log2(x+4)(x+ ≤2)

c) log2 log232 1

x x

x

−

+ >

+ d) 1

3

1

log log

2

x x

     

  − <   − 

     

   

Bài 5.9 Giải bất phương trình sau:

a) x(log3x+4)<243 b) ( )

0,2

log x − ≥ −4

c) log log2 0,5 15 16

x

 

− ≤

 

  d) log 163( 2.12 )

x− x ≤ x+

Kết quả

Bài 5.7

a) x∈5;+∞) b) x∈ −∞( ;1) c) ;2 \ 1{ }

x∈ 

  d)

1 5; 3;

2

x∈ ∪ +∞

   

Bài 5.8

a) x∈( ) (0;1 ∪ 3;+∞) b) x∈ − − 65; 4− ∪ − − +) ( 2; 65 c) x∈ +∞(1; ) d) x∈ − +∞( 1; ) Bài 5.9

a) ;3

243

x∈ 

  b) x∈ − 3;3 c) x∈0;log 31 42 − ) d) x log 2;log 343 43

 

∈ 



ƠN TẬP

PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

Bài Giải phương trình sau:

a) 25x −6.5x+ =5 0 b)

2

2 log x−14 log x+ =3 c) 72 1x+ −8.7 0x+ =

d) log2( )x− +3 log 3.log4 3x=2 e) 31−x− + =3x f) ( )

2

log x+3log 2x − =1 HD Giải

a) Đặt t=5 ,x t>0 Phương trình viết lại theo t:

5

t t t

t

 =

− + = ⇔

= 

Với t=1⇒5x = ⇔ =1 x 0 Với t=5⇒5x = ⇔ =5 x

Vậy nghiệm phương trình cho x∈{ }0;1

b) Điều kiện: x>0

Ta có: 22 4 22 2

2

log 8

2 log 14 log log 7log 1

log

2

x x

x x x x

x x

 = 

= 

− + = ⇔ − + = ⇔ ⇔

=  =

 Vậy nghiệm phương trình cho x∈{ }2;8

c) Đặt t=7 ,x t>0 Phương trình viết lại theo t:

1

7 1

7

t t t

t

 = 

− + = ⇔

= 

Với t=1⇒7x = ⇔ =1 x 0 Với 7 1

7

x

t= ⇒ = ⇔ = −x

Vậy nghiệm phương trình cho x∈ −{ }1;0

d) Điều kiện: x>3

Ta có: log2( )x− +3 log 3.log4 3x= ⇔2 log2( )x− +3 log4x= ⇔2 log2( )x−3 x=2

( )

2 3 4 0 loại

4

x x x

x

 = −

⇔ − − = ⇔

=

 Vậy nghiệm phương trình cho x=4 e) 31 3 2 0 3 2 0 ( )3 2.3 0

3

x x x x x

x

− − + = ⇔ − + = ⇔ − − =

Đặt ,x

t= t> Phương trình viết lại theo t: 2 loại( )

t t t

t

 = −

− − = ⇔

= 

Với t=1⇒3x = ⇔ =3 x 1.Vậy nghiệm phương trình cho x=1

f) Điều kiện: x>0 Ta có: 22 2( ) 22 2

2

1

log 2

log 3log log 3log

log

4

x x

x x x x

x

x

 = 

 = −

+ − = ⇔ + + = ⇔ ⇔

= −

 

 =

 Vậy nghiệm phương trình cho 1;

4

x∈ 

 

a) log2( )x− −1 log 34( x− + =2) b) 32 1x+ −4.3 0x + =

c) 3.8x +4.12 18x− x −2.27x =0 d) 2x2+x −4.2x2−x −22x+ =4

HD Giải a) Điều kiện: x>1(*)

Ta có: log2( )1 log 34( 2 0) log2 1 4 2

3

x x

x x x x x

x x

− −

− − − + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ − = − ⇔ =

− −

Kết hợp với (*), nghiệm phương trình cho x=2 b) Đặt t=3 ,x t>0 Phương trình viết lại theo t:

1

3 1

3

t t t

t

 = 

− + = ⇔

= 

Với t=1⇒3x = ⇔ =1 x 0 Với 3 1

3

x

t= ⇒ = ⇔ = −x

Vậy nghiệm phương trình cho x∈ −{ }1;0 c)

3

2 2

3.8 4.12 18 2.27

3 3

x x x

x + x− x− x = ⇔   +   −  − =

     

      Đặt , 03

x

t=   t>

 

Khi ta được: ( ) (2 ) ( )

1 loại

3 2

3

t

t t t t t

t

 = − 

+ − − = ⇔ + − = ⇔

= 

Với 2

3 3

x

t= ⇒   = ⇔ =x

  Vậy phương trình có nghiệm x=1

d) 2x2+x−4.2x2−x−22x + = ⇔4 2x2−x(22x − −4) (22x − = ⇔4) (22x−4 2)( x2−x − =1)

2

2

2

2 2

0

2

x x

x x

x x x x

−

 − =  =  =

⇔ ⇔ ⇔

= − =

− = 

  



Vậy phương trình có nghiệm x∈{ }0;1 Bài

a) Giải hệ phương trình:

( ) ( )

2

3

2

2 log log

x y x

x y

 + = −

 

− − + =



b) Giải phương trình: 2 1( ) 2( )

2

1

2 log log log 2

2

x+ − x = x− x+

HD Giải a) Điều kiện: x>1;y> −1(*)

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 3

2 4

2 log log log log 1

x y x x y x x y x

x y x y x y

 + = −  + = −  + = −

  

⇔ ⇔

  

− − + =  − = +  − = +

 



2 2 3 0 1 3

3

2

2

x

x x

x x

x

y y

y x

y x

 = −

 − − =   = −  =

 

⇔ ⇔ = ⇔ 

= − =

= −

  

 

= − 

Kết hợp với, nghiệm hệ phương trình cho ( ) ( )x y; = 3;1

b) Điều kiện: 0< <x 1(*)

Ta có: ( ) ( )

2

2

2

1

2 log log log 2 2

2 1

x

x x x x x x

x

+ − = − + ⇔ = − +

− ( )

2

2 1

x

x x

x

⇔ = + −

( ) ( )

2

2 1 2 1 1 1

1

x x x x x x

x x x x

x x

   

⇔ = + ⇔ − − = ⇔ +   − =

− −  −   − 

− −

2 neân

1 1

x x x

x x x

 

⇔ − =  > + > 

−  − −  ⇔ +x x− =2

Đặt t= x t,( )≥0 Khi đó:

( )

2 2 0

1 loại

t t t

t

 = − +

 + − = ⇔

 = − −



Với t= − +1 3⇒x= −4 3(thỏa (*))

Vậy nghiệm phương trình cho x= −4 Bài Giải bất phương trình

a) log log 32( )x 3( )x >1 b) 4x−3.2x+ x2− −2 3x −41+ x2− −2 3x >0

HD Giải a) Điều kiện: x>0(*)

Ta có: log log 32( )x 3( )x > ⇔ +1 (1 log2x)(1 log+ 3x)> ⇔ +1 (1 log2x)(1 log 2.log+ 3 2x)>1

( )

3 2 2 3

1 log 2.log x log x log log 2.logx x log x log log x log 6

⇔ + + + > ⇔  + >

Đặt t=log2x.Khi đó: 3 3

2

0 log log

log

t t t

t

 >

 + > ⇔

  < −



Với t>0⇒log2x> ⇔ >0 x Với log 62 log2 log 62

t< − ⇒ x< − ⇔ < <x

Kết hợp với (*) Vậy, tập nghiệm bất phương trình cho là: 0;1 (1; )

S= ∪ +∞

 

b) Điều kiện: x≤ −1hoặc x≥3(**)

Ta có: 4x−3.2x+ x2− −2 3x −41+ x2− −2 3x > ⇔0 4x− x2− −2 3x −3.2x− x2− −2 3x − >4 0 Đặt t=2x− x2− −2 3x ,( )t>0

Khi đó: 3 0 4

4

t

t t t

t

 < −

− − > ⇔ ⇔ >

> 

Với 2 2 2

2

x x x

t> ⇒ − − − > ⇔ x − x− < − ⇔ < <x x

Kết hợp với (**).Vậy, tập nghiệm bất phương trình cho là: 3;7

S= 

 

Bài Giải phương trình

a) 42x+ x+2 +2x3 =42+ x+2+2x3+ −4x 4 b) ( 2) ( )

2

2

log 8−x +log 1+ +x 1−x − =2 HD Giải

a) Điều kiện: x≥ −2(*)

Phương trình cho tương đương với :( )( )

4

4 2

2

2 (1)

2 2

2 (2)

x

x x x

x x

+ −

+ −

 − =

− − = ⇔

− =

 Giải (1): 24x−24 = ⇔0 24x =24 ⇔4x= ⇔ =4 x 1

Giải (2) : 22 x+2−2x3−4 = ⇔0 22 x+2 =2x3−4 ⇔2 x+ =2 x3−4 Nhận xét: x≥34 Xét hàm số f x( ) 2= x+ − +2 x3 34;+∞) Ta có '( )

2

f x x

x

= − <

+ , suy f x( ) nghịch biến )

34;

 +∞

Do phương trình có nghiệm nghiệm Ta nhận thấy f(2) 0= , nên phương trình (2) có nghiệm x=2

Kết hợp (*), phương trình cho có nghiệm x∈{ }1;2 b) Điều kiện: − ≤ ≤1 x 1(**)

Ta có: ( 2) ( ) ( )

2

2

log 8−x +log 1+ +x 1−x − = ⇔ −2 x =4 1+ +x 1−x

⇔ −(8 x2)2 =16 2 1( + −x2)(1)

Đặt t= 1−x t2; ≥0 Phương trình (1) trở thành:

( 2)2 4 2

7+t =32(1 )+ ⇔ +t t 14t −32 17 0t+ = ⇔ −( )t 2(t2+ +2 17t )= ⇔ =0 t

Với t=1⇒ 1−x2 = ⇔ =1 x 0, thỏa mãn (**) Vậy phương trình cho có nghiệm x=0 Cách khác:

Ta giải phương trình 8−x2 =4 1( + +x 1−x) cách đặt t= 1+ +x 1−x Giải t = Ta giải phương trình 8−x2 =4 1( + +x 1−x) cách đặt u= 1+x,

2 2

1

v= −x⇒u v = −x Giải u.v = Bài Giải phương trình sau:

a) ( ) ( )2 1− x + 1+ x−2 0= b) (3+ 5) (x+16 3− 5)x =2x+3

HD Giải a) ( ) ( )2 1− x + 1+ x −2 0= Đặt t=( )2 ,− x t>0,

Phương trình viết lại theo t: t 2 t t t

+ − = ⇔ = − = +

Với t= − ⇒x=1 Với t= + ⇒x= −1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x= −1 x=1

b) (3 5) (16 5) 3 16

2

x x

x x

x+  +   − 

+ + − = ⇔  +   =

   

   

Đặt 5 1, 0( )

2

x x

t t

t

 +   − 

=  ⇒  = >

   

Phương trình viết lại theo t: t 16 8 0 t2 8 16 0t t 4

t

+ − = ⇔ − + = ⇔ =

Với 3 5

2

3

4 log

2

x

t= ⇒ +  = ⇔ =x +

 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm: 3 5

2

log

x= +

Bài Giải phương trình sau:

a) (2+ −x x2) (sinx = + −2 x x2)2− cosx b) 1+ 2− 2x = +(1 2− 2x).2x

HD Giải a) Phương trình biến đổi dạng:

( )( )

2

2

1 (*)

2

1 (1)

2 sin cos

sin cos (2)

x x x

x x

x x x x

x x

− < <

 + − > 

 

⇔ − − =

 

+ − − − + = 

 

Giải (1) ta

x= ± thoả mãn điều kiện (*)

Giải (2): 1sin 3cos sin

2 x x x x

π

 

+ = ⇔  + =

 

2 ,

3

x π π kπ x π kπ k Z

⇔ + = + ⇔ = + ∈

Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có:

1

1 2 0,

6 k k k k Z

π π π π

π π

   

− < + < ⇔ − − < <  − ⇔ = ∈

    ta nhận x

π

=

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt

x= ±

x=π b) Điều kiện 2− 2x ≥ ⇔0 22x ≤ ⇔ ≤1 x

Như 2< x ≤1, đặt 2 sin , 0;

2

x

t t  π 

= ∈ 

 

Khi phương trình có dạng: 1+ sin− 2t =sin sint( + − 2t) ⇔ cos+ t = +(1 cos sint) t

3 cos sin sin 2 cos 2sin cos

2 2

t t t t

t t

⇔ = + ⇔ = cos sin3

2

t t

⇔  − =

 

cos (1) 2 1

2 2

0

3 2 1

sin 2

2

x

x

t

t x

x

t t

  

= =

  =  = −

 

⇔ ⇔ ⇒ ⇔

=

  =  = 

= 

 



π

π

Vậy phương trình có nghiệm x= −1và x=0

Bài Giải phương trình sau:

a) 22x2+1−9.2x2+x +22x+2 =0 b)

( )

3

3

1 12

2 6.2

2

x x

x x−

− − + =

HD Giải Chia vế phương trình cho 22x+2 ≠0 ta được:

22 2 9.2 2 1 0 1.22 2 9.2 1 0

2

x − −x − x − −x + = ⇔ x − x − x −x + =

⇔2.22x2−2x−9.2x2−x + =4 0

Đặt t=2x2−x điều kiện t>0 Khi phương trình tương đương với:

2

2

2

2

4 2 2 2 1

2 1

2

2

2

x x x x

t

x x x

t t

x

t x x

−

− −

 =  



= − = = −



− + = ⇔ ⇒ ⇔ ⇔

=

=  =  − = − 



Vậy phương trình có nghiệm x= −1và x=2

b) ( )

3

3

3

1 12 2

2 6.2

2 2

2

x x x x

x x x

x−

   

− − + = ⇔ − −  − =

 

  (1)

Đặt

3

3

3

2 2

2 2 3.2

2 2

x x x x x

x x x x

t= − ⇒ − = −  +  − = +t t

   

Khi phương trình (1) có dạng: 6 1 2

x x

t + − = ⇔ = ⇔t t t − =

2 1(1)

1 2 2

2

x

u u

u u u u x

u

 = −

− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⇒ = ⇔ =

=  Vậy phương trình có nghiệm x=1

Bài Giải phương trình sau:

a) 4x2− +3 2x +4x2+ +6x =42x2+ +3 7x +1 b)

1 1

8 18

2 2 2

x

x− + + x + = x− + −x +

HD Giải

a) 4x2− +3 2x +4x2+ +6x =42x2+ +3 7x + ⇔1 4x2− +3 2x +42x2+ +6x =4x2− +3 2x 42x2+ +6x 5+1

Đặt

2

3 2

4

, , x x x x u u v v − + + +  =  >  = 

Khi phương trình trở thành: u v+ =uv+ ⇔ −1 ( )( )u 1− =v

2

3 2

2

1

1 2

1

5

x x

x x

x

u x x x

v x x x

x − + + +  =     = = − + =  = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =  =  + + = −     = − 

Vậy phương trình có nghiệm x= −1,x=1,x=2và x= −5

b) 81 1 181 81 1 1 181

2 2 2 2 2 2

x

x− + + x+ = x− + −x+ ⇔ x− + + −x+ = x− + −x +

Đặt:

1

2 1, , 1

2 x x u u v v − −  = +  >  = +

 Nhận xét rằng: ( ) ( )

1 1

2x x 2x x

u v= − + − + = − + − + = +u v

Phương trình tương đương với hệ:

8 18 8 18

9 9;

8

u v u v

u v u v

u v uv u v u v uv

  = =  + = + =   ⇔ ⇔ +    + = = =   + =   

Với u = v = 2, ta được:

1

2 1

2

x x x − −  + =  ⇔ =  + =

 Với u =

9

v= , ta được:

1

1

2

4 x x x − −  + =  ⇔ =  + =   Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 x=4

Bài 10 Giải phương trình sau:

a) 22x − 2x+ =6 6 b)

2

log x+ log x+ =1 HD Giải

a) 22x− 2x+ =6 6 Đặt u=2x, điều kiện u>0 Khi phương trình thành: u2− u+ =6

Đặt v= u+6,điều kiện v≥ 6⇒v2 = +u

Khi phương trình chuyển thành hệ:

( ) ( )( )

2

2 2

6 1 0

1

u v u v

u v u v u v u v

u v v u  = +  − =  ⇔ − = − − ⇔ − + + = ⇔   + + = = +   

Với u = v, ta có:

( )

2 6 0 2 3 8

2 loại

x

u

u u x

u

 =

− − = ⇔ ⇒ = ⇔ =

= − 

Với u + v + = 0, ta có :

( )

2

2

1 21

21 21

2

5 log

2

1 21 loại

x

u

u u x

Vậy phương trình có nghiệm x=8 log2 21

x= −

b) log22x+ log2x+ =1 1(1) Đặt u=log2x Khi phương trình thành: u2+ u+ =1 (2)

Điều kiện: 02 1

1

u

u u

 + ≥ 

⇔ − ≤ ≤ 

− ≥

 Đặt v= u+1 điều kiện 0≤ ≤v

2 1

v u

⇒ = +

Khi phương trình chuyển thành hệ:

( ) ( )( )

2

2 2

1 1 0

1

u v u v

u v u v u v u v

u v

v u

 = −  + =



⇒ − = − + ⇔ + − + = ⇔

 

− + = = +

 



Với v= −u ta được:

1

2 2

2

1

1

2

1 log

2 5 (1)

2

u

u u x x

u

−

 −

= 

− 

− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

+ =  

Với u v− + =1 ta được: 2

2

1

log

0

0 1

1 log

2

x x

u u u

u x x

 =

 =

 = 

+ = ⇔ ⇒ ⇔



= −  = − =

  

Vậy phương trình có nghiệm:

1

2

x

−

= ,x=1và

2

x=

Bài 11 Giải phương trình sau:

a) ( )

2

lg x−lg log 4x x +2 log x=0 b) ( ) ( )2

4 4

2 log x − +x log x+1 −2 log x=4 HD Giải

a) Điều kiện: x>0

Biến đổi phương trình dạng: ( )

2

lg x− +2 log x lgx+2 log x=0 Đặt t=lgx , phương trình trở thành: t2− +(2 log2x t) log+ 2x=0

Ta có: ∆ = +(2 log2x)2−8log2x= −(2 log2x)2 Suy phương trình có nghiệm:

2

2 log

t

t x

 = 

=



Với t=2⇒lgx= ⇔ =2 x 100 Với log2 lg lg lg

lg2

x

t= x⇒ x= ⇔ x= ⇔ =x

Vậy phương trình có nghiệm x=100 x=1 b) Điều kiện: x≥2

( 2 ) ( )2 ( ) ( )

4 4 4

2 log x − +x log x+1 −2 log x= ⇔4 log x x−1+3 log x+ −1 log x=4

( ) ( )

4

2 log x log x

⇔ − + + − = Đặt t= log4( )x−1 ,t≥0

Khi phương trình trở thành:

( )

2 3 0

4

t t t

t

 =

+ − = ⇔

= − 

Với log4( )1 log4( )1

t= ⇔ x− = ⇔ x− = ⇔ =x Vậy phương trình có nghiệm x=3

Bài 12 Giải phương trình sau:

a) ( )2 ( )

2 2

log x x−1 +log logx x − − =x

  b) ( ) ( )

2

2

a) Điều kiện:

( )2 0 x x x x x x

 − > 



> ⇔ >



 − >



Biến đổi phương trình dạng:

( 2 )2 ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

log x x log logx x x 2 log x x log logx x x

x

−

+ − − = ⇔ − + − − =

Đặt ( )

2 2

log log

u x x

v x

 = −

 

=

 Khi phương trình trở thành: ( )( )

1

2 2

2

u

u v uv u v

v

 =

+ − − = ⇔ − − = ⇔

= 

( ) 2

2

1(loại)

log 2 0

2

log 4

x

x x x x

x x x x  = −  − =  − − =   ⇒ ⇔ ⇔ = =  =    =

Vậy phương trình có nghiệm x=2 x=4

b) Điều kiện:

2 2

1

1

1

x

x x x

x x

 − ≥



− − > ⇔ ≥

 

+ − >



Đặt ( )

( ) 2 2 log log

u x x

v x x

 = − −

 

 = + −



Nhận xét rằng: ( ) ( )

2

log log

u v+ = x− x − + x+ x − =log2(x− x2−1 ) (x+ x2− =1) log 02 =

Khi phương trình chuyển thành:

( ) ( ) 2 2

log 1

0

3 2 log 1 1

x x

u v u v u

u v v v x x

 − − = −  + =  = −  = −  ⇔ ⇔ ⇒     + = = =     + − =  2 1 5 x x x x x  − − =  ⇔ ⇔ =  + − = 

Vậy phương trình có nghiệm

x=

Bài 13 Giải phương trình sau:

a) log2(x2− + =4) x log 82 (x+2) b) ( )

6

2 log x+ x =log x

HD Giải

a) log2(x2− + =4) x log 82 (x+2) Điều kiện

2 4 0

2

x

x x

 − >



⇔ > 

+ >

 Viết lại phương trình dạng:

( ) ( ) ( )

2 2

4

log log log log

2

x

x x x x x x

x

−

− − + = − ⇔ = − ⇔ − = −

+ Nhận xét rằng:

Hàm số y=log2(x−2) hàm đồng biến Hàm số y= −3 x hàm nghịch biến

Vậy phương trình có nghiệm nghiệm Nhận xét x=3là nghiệm phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x=3 b) Điều kiện x>0

Ta có: ( ) ( ) ( )

6 6

1

2 log log log log log log

2

x+ x = x⇔ x+ x = x⇔ x+ x = x

Đặt ( )

4

6

6

log log 4

4

t

t t t

t

x x

t x x x

x  + =  = + = ⇔ ⇒ + = = 

4

3

t t

t t t    

⇔ + = ⇔  +  =

Xét hàm số: ( )

3

t t

f t =   +  

    Ta có:

/( ) ln2 ln1 0, ( )

3 3

t t

f t =   +   < ∀ ∈t ⇒ f t

   

ℝ hàm nghịch biến ℝ

Ta lại có: f( )1 1= suy phương (1) có nghiệm t=1 Với t=1⇒ x= ⇔ =4 x 16 Vậy phương trình có nghiệm x=16 Bài 14 Giải phương trình: ( ) ( )

2

2

log x −2x− =3 log x −2x−4 HD Giải Điều kiện:

2

2

2 1 5

x x x

x x x



 − − > < −



⇔



− − >

  > +

 

Viết lại phương trình dạng:

( ) ( ) ( ) ( )

2

5

log x −2x− =3 log x −2x− ⇔4 log x −2x− =3 log x −2x−4 (1) Đặt t=x2−2x−4 (1) ( )

5

log t log t

⇔ + = (2)

Đặt y=log4t⇒t=4y phương trình (2) chuyển thành hệ:

4 4 5 1

5

1

y y

y

y y

y

t t

 =    



⇒ + = ⇔ + =

    

+ =

    

 (3) Hàm số ( )

4

5

y y

f y =   +  

    hàm nghịch biến Ta có:

Với y=1, (1) 1f = y=1 nghiệm phương trình (3) Với y>1, ( )f y < f(1) 1= phương trình (3) vơ nghiệm Với y<1, ( )f y > f(1) 1= phương trình (3) vơ nghiệm Vậy y=1 nghiệm phương trình (3)

Với 2 4 2

2

x

y t x x x x

x

 =

= ⇒ = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔

= −  Vậy phương trình có nghiệm x=4 x= −2

Bài 15 Giải phương trình sau:

a)x2+3log2x =xlog 52 b) 3log2x+ =x

HD Giải a)x2+3log2x =xlog 52 Đặt

2

log 2t

t= x⇒x= Điều kiện: x>0

Khi phương trình có dạng: ( )2t 2+ =3t ( )2t log 52 ⇔ + =4 3t t 5t

Chia hai vế cho 5t ≠0 ta được:

5

t t

   

+ =

        Xét hàm số: ( )

5

t t

f t =   +  

    Ta có:

/( ) ln4 ln3 0, ( )

5 5

t t

f t =   +   < ∀ ∈t ⇒ f t

   

ℝ hàm nghịch biến ℝ

Vế phải phương trình hàm

Do phương trình có nghiệm nghiệm Nhận xét t=2 nghiệm phương trình (2)

2

4 1

5

   

+ =

   

   

Với t=2⇒log2x= ⇔ =2 x

Vậy x=4 nghiệm phương trình b) 3log2x+ =x 2 Điều kiện: x>0, đặt

2

log 2t

Xét hàm số: f t( ) 2= +t t Ta có: f t/( ) ln3 ln 0,= t + t > ∀ ∈t ℝ⇒ f t( )là hàm đồng biến ℝ

Vế phải phương trình hàm

Do phương trình có nghiệm nghiệm Nhận xét t=0 nghiệm phương trình (2) 30+20 =2

Với t=0⇒log2x= ⇔ =0 x 1 Vậy x=1 nghiệm phương trình Bài 16 Giải phương trình: ( )

2

3

3

1

log 2

5

x x

x x

− −

 

− + + +  =

  (1)

HD Giải

Điều kiện:

2

x

x x

x

 ≤

− + ≥ ⇔

≥ 

Đặt u= x2−3x+2;u≥0⇒x2−3x+ =2 u2⇔3x x− − = −2 1 1 u2

Khi (1) có dạng: ( )

2

1

1

log 2

5

u

u

−

 

+ +  =

  (2)

Xét hàm số ( ) ( ) ( )

2

2

1

3

1

log log

5

u

u

f u u u

−

 

= + +  = + +

  Tập xác định D=0;+∞) Đạo hàm: /( ) ( )1 1.2 ln 0,2

5 ln3

u

f u u u D

u

= + > ∀ ∈

+ Suy hàm số đồng biến D

Vế phải phương trình hàm

Do phương trình có nghiệm nghiệm Mặt khác ( )1 log 23( ) 1.5

5

f = + + = Khi (2) ( ) ( )1 3

2

f u f u x x x ±

⇔ = ⇔ = ⇒ − + = ⇔ =

Vậy phương trình có nghiệm

x= ±

Bài 17 Giải phương trình sau:

a) 4− +x 2x+1=2x+2−x b) ( )

3

log x + + −x log x=2x x−

HD Giải

a) 4− +x 2x+1=2x+2−x ⇔ −2 4( x−2.2 1x + =) 2x +2−x ⇔ −2 1( x − )2=2x+2−x

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 2x +2−x ≥2 2x −x =2 Mặt khác, ta có: 2 1−( x− )2≤ ∀ ∈2, x ℝ

Do đó: ( ) ( )

2

2 2 2

2 2

2

2 2

x x

x x x

x

x x

x

−

−

 − − =  − =

 

− − = + ⇔ ⇔ ⇔ =

= 

 + = 

 Vậy phương trình có nghiệm x=0

b) Điều kiện: x>0 Ta có: ( ) ( )2

3 3

1

log x x log x 2x x log x x

x

 

+ + − = − ⇔  + + = − −

 

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: log 13 x log 3 x log 13

x x

 

 

+ + ≥  + = =

   

   

Do đó: ( )

( )

2

3

2

1 1

log 1 1 3

1

log 1 1

1

1 1

x x

x

x x x x

x

x x

   

+ + =

  

      + + =

+ + = − − ⇔ ⇔ ⇔ =

 

    − =

− − =

 Vậy phương trình có nghiệm x=1

Lưu ý: Giải phương trình phương pháp đánh giá:

Giải phương trình mũ lơgarit dạng f x( )=g x( ), ta sử dụng bất đẳng thức để đánh giá:

( ) ( )

f x ≤ ≤c g x , với c∈ℝ Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )

f x c f x g x

g x c

 =

= ⇔

= 

Bài 18 Giải phương trình sau: 2x2−x+93 2− x +x2+ =6 42 3x− +3x x− +5x

HD Giải

Ta có: 2x2−x +93 2− x+x2+ =6 42 3x− +3x x− 2+5x⇔2x2−x+x2− −x 3x x− =24x−6+4x− −6 36 4− x

Xét hàm số: f(t) 2= + −t t 3−t

Ta có: f t/( ) 2= + −t t 3-t =2 ln ln3 0,t t+ + −t > ∀ ∈t ℝ⇒ f t( )là hàm số đồng biến

Khi đó: ( ) (4 6) 4 6 5 6 0

3

x

f x x f x x x x x x

x

 =

− = − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔

=  Vậy phương trình có nghiệm x∈{ }2;3

Lưu ý: Phương trình đưa phương trình dạng f u( )=g v( )

Giải phương trình mũ lơgarit dạng f u( )=g v( ), ta sử dụng tính đơn điều hàm số: Cho hàm số y= f x( )đơn điệu D Khi đó: f u( )=g v( )⇔ = ∀u v, u v D, ∈

Bài 19 Giải hệ phương trình

a) 2( )

2

log 4x 2x

y x

y

 − =

 

+ =

 b)

( ) ( )

2

2

2

log log

3x xy y 81

x y xy

− +

 + = +

 

 =

 HD Giải

a) 2( )

2

log 4x 2x

y x

y

 − =

 

+ =

 Điều kiện:

1

y> (*)

Hệ cho tương đương:

( )2 2 ( )2 2

3

2 3 3

x x

x x

y y

y y y y

 − =  − =

 

⇔

 

+ = − + − =

 



( )

2

1 1

3 2

3 2

1

1 1

6 loại

2

2 2

x x

x y x

y

y

y y y y

y



 − =  =  = −

 − =

   

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

=

− = = =

   

  = 

 Kết hợp với (*), hệ cho có nghiệm ( ); 1;1

2

x y = − 

 

b) ( ) ( )

2

2

2

log log

3x xy y 81

x y xy

− +

 + = +

 

 =



Điều kiện: xy>0(**)

Hệ cho tương đương: ( )

2 2

2

2 2 2

2

2

4 4

x y

x y xy x y x y

y y

x xy y x xy y



 + = − =  =  =

  

⇔ ⇔ ⇔

   

= ± =

− + = 

   

  − + =

a) log( log ) 26 64

xy y x

xy

 + =

 

=

 b) ( )

3

log

2 12 3x 81

x y

y y y

 + =   − + =  HD Giải a) log( log ) 26 (1)

64 (2)

xy y x

xy

 + =

 

=

 Điều kiện:

0,

0,

x y

x y

 > > 

≠ ≠

 (*)

Đặt t logxy logyx t

= ⇒ =

5

(1) 26 26 1

5

t

t t t

t t  =    ⇔  + = ⇔ − + = ⇔ =   

Với 5 log 5

x

t= ⇒ y= ⇔ =y x Do đó, ta có:

5 2 32 64 x y x y xy  =  =  ⇔   = =   

Với log

5 x

t= ⇒ y= ⇔ =y x Do đó, ta có: 32

2 64 x y x y xy   =  = ⇔   = =   

Kết hợp với (*), hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 2;32 ( ) ( )x y; = 32;2

b)

( )

log (1) 12 3x 81 (2)

x y

y y y

 + =

 

− + =

 Điều kiện: y>0(*)

Từ (1) x log3y x log327 3x 27

y y

⇔ = − ⇔ = ⇔ = Thế vào (2), ta được:

( ) 27 4( )

(2) 12 81 12

3

y loại

y y y y y

y y

 = −

⇔ − + = ⇔ + − = ⇔

= 

Với y=3⇒x=2 Vậy hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 2;3 Bài 21 Giải hệ phương trình sau:

a)

( )

2 2

2

log log log

log log log

x y xy

x y x y

 = +

 

− + =

 b) ( ) ( )

log log log4 log3 4 x y x y  =   =  HD Giải a) ( )

2 2

2

log log log (1)

log log log (2)

x y xy

x y x y

 = +

 

− + =

 Điều kiện:

0, 0

x y

x y

 > > 

− >

 (*)

( )2

2 2

(1)⇔log x=log y+ logx+logy ⇔2 log y+2 log logx y=0

log

1

log log

y y

x y y

x  =  =  ⇔ ⇔ + = =  

☺ Với y=1, vào (2), ta được: log2( )x− +1 log log1 0x = ⇔ − = ⇔ =x 1 x 2 (nhận) ☺ Với y

x

= , vào (2), ta được:

2

2 1 2

log x log logx log x log x

x x x

  − − + = ⇔ − =     2 2 2

1 1 ( )

log log 2

2 1

1 2

log log

x

x x vô nghiệm x

x

x x

x

x x x

x x x  −  − = =    = −  ⇔ ⇔ − ⇔ = ⇔  −  =  = =  

So với (*), nhận x= suy

y= Vậy hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 2;1 ( ); 2;

x y = 

b) Điều kiện: x>0,y>0(*)

Khi đó, lấy lơgarit số 10 hai vế, ta được:

( ) ( )

log log3 log log log log3 log log

log log log log3 log3 log log 4.log log3.log3

x y x y x y x y  =  =  ⇔   + = + =  

Đặt u=log ,x v=logy, ta có hệ:

( ) ( )

.log3 log

log log log3 log3

u v u v  =   + = + 

Giải hệ, ta được:

1

log 4

1 log3 x u v y  =   = −  ⇔   = −   = 

So với (*), hệ cho có nghiệm ( ); 1;

x y = 

 

Bài 22 Giải hệ phương trình sau: a)

4

4

log log

x y x y  − + =   − =  b) 3

log log

3 log log

x y x y  + − =   − − = −  HD Giải a)

4 (1)

log log (2)

x y x y  − + =   − =

 Điều kiện: x≥1,y≥1(*)

2

4 2

1

(2) log log log log

2

x y x y x y

⇔ = ⇔ = ⇔ =

Do y≥1, nên: (1) 4 3 0 4 3 0 1( 1)

3( 9)

y x

x y y y

y x

 = =

⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

= =

 Vậy, hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 ( ) ( )x y; = 9;3

b)

2

log log

3 log log

x y x y  + − =   − − = −

 Điều kiện:

5

2,0

x≥ < ≤y (*)

Đặt: ( )

2

2

2 3

log 1 log

,

5 log

5 log

u x u x

u v v y v y  = −  + =   ≥ ⇔   − = = −    

Hệ cho trở thành:

( )

2 2

2

1 3 4

3

u v u v

u v v u

 + + =  + =   ⇔   − − = −  + =    ( )( ) 2

3

3

u v u v u v

u v u v  − + − =  =   ⇔ ⇔ + − =  + =   

hoặc 2

3

u v u v  + − =   + − =

 (vô nghiệm)

1 u v  = ⇔ =



4 u v  = −  = −

 (loại) Với

2 log log 81 x u x y v y  =  =   = ⇒ ⇔    = =  =

   (nhận)

Vậy, hệ cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 4;81 Bài 23 Giải bất phương trình sau:

a) ( )

2

log

1 1

2

x − +x

 

<  

  b)

2

4x +3.3 x +x.3 x <2 3x +2x+6 c) log 4.log2 12

12

x

x x

− ≥

− d) 0,5

15

log log 2

a) Điều kiện:

x> +

x< − Vì 1

< <

0 1   =    ( ) ( )

log

2

1

1 1 log 3 1 0 3 1 1 0 3

2

x x

x x x x x

− +

 

< ⇔ − + > ⇔ − + > ⇔ < <

   

Kết hợp điều kiện, nghiệm bất phương trình cho là:

x −

< <

2 x

+ < <

b) 4x2+3.3 x +x.3 x <2 3x2 3+2x+ ⇔ + −6 (3 x 2x2)3 x −2(x−2x2+ <3) 0

( 2x2 x 3 3)( x 2) 0

⇔ − + + − < ⇔

2

2

3 (1)

0

x

x x

x

− + + >

 − <   > 

2

3 (2)

0

x

x x

x

− + + <

 − >   >  2 3

(1) log log

0

x

x x

x



− < < 



⇔ < ⇔ ≤ <

 >   3 ì log

2 v   < <     3

(2) log

0

x x

x x



< − >

 

⇔ >

 >   x ⇔ >

Vậy nghiệm bất phương

0≤ <x log

2

x>

c) Điều kiện

5

0

12

5 12 0

12 x x x x x   > 

≠ ⇔ < <

  −

 >

− 

Ta có: log 4.log25 12

12 x x x − ≥ −

2 2

2

2 .log 12 2 log 12 2 log

log 12 12

x x

x

x x x

− −

⇔ ≥ ⇔ ≥

− −

5

ì ; log 12

v x x

   

∈ <

   

 

 

(6 2)( )

5 12 0 0 6 2

12 12

3 x x x x x x x x  − ≤ ≤  + − − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ − −  > 

Kết hợp với điều kiện, nghiệm bất phương trình

12< ≤x

d) log log2 0,5 15 log0,5 15 15 ( )0,5 31

16 16 16 16

x x x x

   

− ≤ ⇔ < − ≤ ⇔ > − ≥ ⇔ > ≥

   

   

2

31

log 0 log 31

16 x x

⇔ > ≥ ⇔ ≤ < − Vậy nghiệm bất phương trình 0≤ <x log 31 42 −

Bài 24 Giải bất phương trình sau: a) ( )

1

0,5 x ≥0,0625 b) ( )

0,2

log x − ≥ −4

c) log 163( x−2.12x)≤2x+1 d) 15 2

3 log log 0,3 x x + + > HD Giải

a) Ta có: ( )

1 4

1 1 1 1 1 1 1 4

0,5 0,0625 4

2 16 2 0

x x

x x x

x x

x



      −  ≥

≥ ⇔  ≥ ⇔  ≥  ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔

      <

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: ( ;0) 1;

S= −∞ ∪ +∞

 

b) Điều kiện: x>2 x< −2

Ta có: ( ) ( ) ( )1 ( )

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

log x − ≥ − ⇔4 log x − ≥4 log 0,2 − ⇔log x − ≥4 log

2 4 5 9 0 3 3

x x x

⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: S= − − ∪ 3; 2) (2;3

c) ( )

2

2 2

3

4

log 16 2.12 16 2.12 2.4 3 3

3

x x

x− x ≤ x+ ⇔ < x − x ≤ x+ ⇔ < x− x x ≤ x ⇔ <  −   ≤

   

   

Đặt ,

3

x

t=   t>

  , ta có hệ bất phương trình:

2

2 3

2 0 2

0

t t t

t t t t t

t t

 − ≤ − ≤ ≤

 

− > ⇔ < > ⇔ < ≤

 

 >  >  

Với 4 4

3

4

2 3 log log

3

x

t   x

< ≤ ⇒ <  ≤ ⇔ < ≤

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: 4 4

3

log 2;log

S=  

 

d) 15 2

3

log log

2

1 2 2 2

5

3 4 3

0,3 log log log

2

2 2

x

x x x x x x

x

x x x x

+

+ > ⇔ + < ⇔ + > ⇔ + > ⇔ − ⇔ < <

+ + + +

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: = 

 

3 0;

2

S

Bài 25 Giải bất phương trình sau:

a) log 144 log log 25( x+ )− 5 < + 5( x−2+1) b) ( ) ( )

3

3

2 log 4x− +3 log 2x+ ≤3 HD Giải

a)log 144 log log 25( ) 5 5( 1) log5 1442 log 5.25( )4

2

x

x x

x

−

−

+

+ − < + + ⇔ <

+

2

4 144 80 4 144 80.2 80

2

x

x x

x

− −

+

⇔ < ⇔ + = +

+ Đặt

x

t= >

Khi đó, ta có: t2−20 64 0t+ < ⇔ < <4 t 16

Với 4< <t 16⇒4 2< x <16⇔ < <2 x 4 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: ( )2;4

S=

b) Điều kiện:

x> ( ) ( ) ( )

2

3

4 3

2 log log

2

x

x x x

x

−

− − + ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤

+ Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: 3;3

4

S= 

CHƯƠNG II

HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LƠGARIT

-o0o -§1 LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I LŨY THỪA

thừa số

n n

a =a a a

0

1, 1

n

a a

a

− = =

Nếu a>1

aα >aβ ⇔ >α β

Nếu 0< <a

aα >aβ ⇔ <α β

0

aα > a aα β =aα β+ a

a a

α α β β

−

= ( )aα β =aα β

( )a b α =a bα α

a a

b b

α α

α

  =    

na b.n =na b ,( 0)

n n

n

a a

b b = b >

( )

m

n m

na = a m na =m.na

, lẻ

, chẵn

nan a n

a n



=

 =

m

n m

n

a a

II HÀM SỐ LŨY THỪA 1 Định nghĩa

Hàm số y=xα, với α∈ℝ , gọi hàm số lũy thừa 2 Tập xác định

Tập xác định hàm số lũy thừa y= xα tùy thuộc vào giá trị α: Với α nguyên dương, tập xác định D=ℝ

Với α nguyên âm 0, tập xác định D=ℝ\ { }

Với α không nguyên, tập xác định D=(0;+∞) Lưu ý: y x , 1,n n

α α

= = số chẵn D=[0;+∞) 3 Đạo hàm

Hàm số y=xα(α∈ℝ ) có đạo hàm với x>0 ( )xα ′ =αxα−1

Công thức tính đạo hàm hàm hợp hàm số lũy thừa có dạng: ( )uα ′=αuα−1 u′

4 Tính chất hàm số lũy thừa khoảng (0;+∞)

α> α<0

Đạo hàm y′ =αxα−1 y′ =αxα−1

Chiều biến thiên Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến

Tiệm cận Không có

Tiệm cận ngang trục Ox , tiệm cận đứng trục Oy

Đồ thị

Đồ thị qua điểm ( )1;1

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho ,a b số thực dương Tính = +

+

1

3

6

a b b a J

a b

A

3

1 .

J ab

= B J=1 C J= 3ab. D J=ab.

Câu 2: Với a≠0,b≠0 Tính ( )( )

2 2 .

H = a +b a− +b− −

A H =a b2 B H =ab C H= +a2 b2 D H = −a2 b2

Câu 3: Tìm tập xác định D hàm số ( )

1

3 4

3

y= x − x + x

A D= −∞( ; 0)∪( )1; B D=(0;1)∪(2;+∞). C D=ℝ D D=( )1; Câu 4: Tìm tập xác định D hàm số =8 .

y x

A D=[0;+∞) B D=(0;+∞) C D=ℝ\ { } D D= −∞( ;0 ]

Câu 5: Tính đạo hàm hàm số y= −(5 x)

A y′ = 5( −x) 1+ B y′ = − 5( −x) 1+

C y′ = − 5( −x) 1− D y′ = 5( −x)

Câu 6: Tính đạo hàm hàm số y= n xm A y mn xm n

n

−

′ = B y n n xm n

m

−

′ = C y mn xn m

n

−

′ = D y mmxm n

n

−

′ = Câu 7: Cho ,a b số thực dương Tính

4

4 4

a b a ab P

a b a b

− +

= −

− +

A P= 4b B P= 4a C P=a D P=b

Câu 8: Tính

0,75

0,5

3

27 25

16

K

−

 

= +  −

 

A K= −25 B K=8 C K=12 D K=10

Câu 9: Tính ( ) ( )

1 11 2

2 0

3 3

0,001 64

J= − − − − − − +

A J=10 B 211 16

J= C

16

J= D 111

16

J=

Câu 10: Xét hàm số lũy thừa y x= α khoảng (0;+∞), với

0

α > Mệnh đề sai ? A Hàm số đồng biến B Hàm số nghịch biến

C

0

lim

x

xα

+

→ = lim

α →+∞ = +∞

x x D Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận

Câu 11: Tìm tập xác định D hàm số ( )2

1

y= x − −

A D= +∞(1; ) B D= −∞ − ∪ +∞( ; 1) (1; ) C D= −( 1;1 ) D D=ℝ\{ }−1;1

Câu 12: Mệnh đề sai ? A

3

1

3

   

>

   

    B

Câu 13: Cho blà số thực dương Tính ( )

( )

1

5 5

2

3

3

b b b

H

b b b

−

−

− =

−

A H =b B H =1 C H= +b D H = −b

Câu 14: Tìm tập xác định D hàm số =( − )

1 2

4

y x

A D= −( 2; ) B D= −[ 2; ]

C D=ℝ D D= −∞ − ∪( ; 2) (2;+∞) Câu 15: Cho alà số thực dương Tính

( )

7 2 2

.

a a M

a

+ − + −

=

A M=a B M =a5 C M=1 D M=a3

Câu 16: Cho ,a b số thực dương Tính

2 1 2

1 b b :

L a b

a a

   

= − +    − 

 

 

A L

b

= B L

a

= C L= +a b D L= −a b

Câu 17: Cho alà số thực dương Tính ( )

3

5 3.

a N

a a

+ −

− −

=

A N

a

= B N=a2. C .

N=a D N=1

Câu 18: Cho a b, số thực dương Tính ( )

4

3 12

a b P

a b

=

A P=a B P=ab C P a

b

= D P=b

Câu 19: Tính ( ) ( )

1

2

4 0,25

0,5 625 19

4

L

−

−   −

= − − −  + −

 

A L=0 B L=1 C L=100 D L=10

Câu 20: Tính ( )

10

4

3

1 .27 0,2 25 128 .

3

P

− −

−

− − −

   

=  + +  

   

A P=1 B P=12 C P=8 D

2

P=

Câu 21: Tập xác định hàm số lũy thừa y x= α tùy thuộc vào giá trị α

Mệnh đề sai ?

A Với α không nguyên, tập xác định ℝ B Với αnguyên dương, tập xác định ℝ

C Với α nguyên âm 0, tập xác định ℝ\ { } D Với α không nguyên, tập xác định (0;+∞)

Câu 22: Tìm tập xác định D hàm số

1 4.

A D= −∞( ;0 ] B D=[0;+∞) C D=ℝ\ { } D D=(0;+∞) Câu 23: Mệnh đề ?

A 3 2+ +3 2 7.− = B 2> 33 C 3+330> 364 D ( )

5

6 3 14

3

3

− −

< Câu 24: Tính

2 5

6 .

2

H

+

+ +

= A

3

H = B H =4 C H=12 D H=18

Câu 25: Cho alà số thực dương Tính

1

3 3

1

3 3

a a a a

Q

a a a a

−

−

− −

= −

− +

A Q=0 B Q a

= C Q=2 a D Q=2

Câu 26: Mệnh đề sai ?

A

3,14

1 .

9

π

   

<

   

    B

30 40

7 >4 C 3600 >5 400 D

3

14

1 2.2

2

−

 

<

   

Câu 27: Cho nlà số thực dương Tính

1

3 3

1

2

n n n

H

n−

 

−

 

 

 

=

A H =4n−3 n2 B H =3n−4 n2 C H=2 n D H =3n−4 n4

Câu 28: Cho ,a b số thực dương Tính ( )

2

3 3 3 .

N = a+ b a +b − ab

 

A N=1 B N a b

= C N= +a b D N= −a b

Câu 29: Xét hàm số lũy thừa y x= α khoảng (0;+∞), với α <0 Mệnh đề ?

A Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến C Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận D

0

lim

x

xα

+

→ = lim

α →+∞ = +∞

x x

Câu 30: Cho alà số thực dương Tính

4 3

1 4

a a a K

a a a

−

−

 

+

 

 

 

=  

+

 

 

 

A K=a2 B K= +a C K=1 D K=a Câu 31: Tìm tập xác định D hàm số y= −(1 x)−13.

A D= −∞( ;1 ) B D=ℝ\ { } C D= +∞(1; ) D D=ℝ Câu 32: Tính 43 2.21 2.2 2.

M= + − − −

A M=2 B M =16 C M=32 D M=8

Câu 33: Tìm ập xác định D hàm số ( )

2

A D=ℝ\{−1; } B D= −∞ − ∪( ; 1) (2;+∞)

C D=ℝ D D= −( 1; )

Câu 34: Tìm tập xác định D hàm số = 2+3 −4.

y x x

A D= −( 4;1 ) B D= −∞ − ∪ +∞( ; 4] [1; ) C D= −[ ]4;1 D D=ℝ\{ }−4;1

Câu 35: Tính N=(251+ −52 2).5− −1 2

A

N= B

5

N = C 24

5

N = D

5

N =

Câu 36: Cho a>0 Tính

4

3 3

1

4 4

.

a a a

I

a a a

−

−

 

+

 

 

 

=

 

+

 

 

 

A I = +a B I a

= C I=1 D I=a Câu 37: Trong hàm số sau, hàm số ln đồng biến tồn tập xác định nó?

A

2 3.

y=x− B 2.

y=x C y=x−3 D y= 5x

Câu 38: Tìm tập xác định D hàm số y= 35x+4.

A D=ℝ B D=[0;+∞) C

4

\

5

 

= − 

 

ℝ

D

D

4

;

5

 

= − +∞ 



D

Câu 39: Cho a b, số thực dương Tính ( )

2

3 3

3 :

a b

Q ab a b

a b

 + 

= −  −

+

 

A Q= +a b B P= 3ab C P=0 D Q=1 Câu 40: Tìm tập xác định D hàm số y=(x2+ −x 2)−2.

A D= −( 2;1 ) B D=ℝ\{ }−2;1

C D= −[ ]2;1 D D= −∞ − ∪ +∞( ; 2] [1; ) Câu 41: Tính

1

3

0,75 1

81

125 32

I

− −

−    

= +  − 

   

A I =27 B 80 27

I = − C

7

I= − D

5

I= −

Câu 42: Tính đạo hàm hàm số ( )

1

2

2

y= x − +x

A ( )( )

2

2

1 4 1 2 1 .

3

y′ = x− x − +x − B ( )( )

2

2

4

y′ = x− x − +x −

C ( )

2

2

1 2 1 .

3

y′ = x − +x − D ( )( )

2

2

1 4 1 2 1

3

y′ = x− x − +x

Câu 43: Cho a b, số thực dương Tính

1

4 2

1 1

4 2

a a b b

M

a a b b

−

−

− −

= −

A M=ab B M = +a b C M

a b =

+ D M= −a b

Câu 44: Tính đạo hàm hàm số ( )

1

4

y= − −x x

A ( )( )

1

1 1 2 4 .

4

y′ = − + x − −x x − B ( )( )

3

1

y′ = − + x − −x x −

C ( )( )

3

1 1 2 4 .

4

y′ = − + x − −x x − D ( )( )

3

1 1 2 4 .

4

y′ = + x − −x x −

Câu 45: Cho ,a b số thực dương Tính

1 1 3 3 3

a b a b I

a b

− −

− =

− A I

ab

= B I =1 C I=3 ab D

3

1 .

I ab

= Câu 46: Cho biểu thức 3

=

P x x x , với x>0 Mệnh đề ? A

1 2.

=

P x B

2 3.

=

P x C

13 24.

=

P x D

1 4.

=

P x

Câu 47: Tính đạo hàm hàm số y= n x−1 A

( )

1 .

1n n

y

n x +

′ =

−

B

( )

1 .

1n n

y

x −

′ = −

C ( )1n1

n

y′ =n x− − D

( )

1 .

1n n

y

n x −

′ =

− Câu 48: Tính đạo hàm hàm số y= x.

A

5

1 .

y x

′ = B

5

1 .

y

x

′ = − C

5

1 .

y

x x

′ = D

4

1 .

y

x x

′ = Câu 49: Tính đạo hàm hàm số y=(3x+1 )π2

A (3 )2

2

y x

π

π

′ = + B y′ =(3x+1)π2−1 C (3 1)2

2

y x

π

π −

′ = + D 3(3 1)2

y x

π−

′ = +

Câu 50: Cho ba số thực a b c, , khác Đồ thị hàm số y=x ya, =x yb, =xc cho hình vẽ bên Mệnh đề ?

A a b c< < B b> >a c C a c< <b D c a b< <

Câu 51: Tìm tập xác định D hàm số ( )

3 5

2

y= −x

A D= −( 2; ) B D=ℝ\{− 2; } C D= − 2;  D D=ℝ Câu 52: Cho ,x y số thực dương Tính ( )

1

1

2 2 .

2 2

y y

K x x

− −

−

 

   

 

= +  + 

 

     

A K xy

§2 LƠGARIT A KIẾN THỨC CẦN NẮM 1 Định nghĩa

Với hai số dương a b, ( )a≠1 Số α nghiệm đẳng thức aα =b gọi lôgarit số a b

và kí hiệu logab Như vậy: logab a b

α

α = ⇔ =

Chú ý: Khơng có lơgatir số âm số

2 Các công thức logab aα b

α = ⇔ = (0< ≠a 1,b>0)

log 0a = logaa=1

logab

a =b log ( )

a a

α =α α =α

logab logab β

β =

loga b logab

β α

α β =

loga b logab

( )1 2

loga b b =logab +logab

1

1

2

loga b logab logab

b = −

= −

1

loga logab

b =1

log n log

a b ab

n

logb loga

a =b

lnb lna

a =b

Cho ba số dương a b c , ,

với a≠1,c≠1 Ta có:

log log

log

c a

c

b b

a

=

logab=log logac cb

1

log ,

log

a

b

b b

a

= ≠

10

log b=logb

logeb=lnb 3 Kí hiệu lơgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân lôgarit số 10 log b thường viết log b lg b 10 b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên (lôgarit Nê – pe) lôgarit số e logeb viết ln b

Lưu ý: lim 1

n

n

e

n

→+∞

 

=  + 

  giá trị gần e là: 2,718281828459045

e≈

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm x để biểu thức log

3

x

x− có nghĩa

A 2

3< ≠x B

2

x< hoặc x>0 C 0

3

x

< ≠ D

3

x>

Câu 2: Tìm x để biểu thức ( )

3

log x +x −2x có nghĩa

A − < <2 x 0hoặc x>1.B − < <2 x C − < <2 x D x>1

Câu 3: Tìm x để biểu thức ( )

logx− x −4 có nghĩa

A x>3 B 4< ≠x C 3< ≠x D x< −2hoặc x>2

Câu 4: Biểu thức logab có nghĩa

A

0

b a

 ≥ 

< ≠

 B

0 .

0

b a

 > 

< ≠

 C

0 .

0

a b

 > 

< ≠

 D

0.

b a

 > 

>

 Câu 5: Tính log 209 biết a=log 2,b=log

A log 209

+

= b

a B

1

log 20

2 +

= a

b C

1 log 20= +a

b D log 209 2

+

= a b

Câu 6: Mệnh đề sai ?

A 4log 278 =9 B 27log 29 =2 C 9log 23 =16 D 4log 32 =3

Câu 7: Tính log 35 1log 15.5

A

H = B H = −15 C

3

1

log

3

H= D

5

log

H =

Câu 8: Biết log 26 =a, log 56 =b Tính

3

log theo a b A log 53

1

= −

b

a B log 53 =1− a

b C log 53 = b

a D log 53 = + −1

a b

Câu 9: Biết log 25 =a

5

log 3=b Hãy tính

5

log 72 theo a b A log 725 = +a b B

5

log 72=2a+3 b C

5

log 72=3a+2 b D

5

log 72= +a 2b+2 Câu 10: Mệnh đề ?

A

51

log

1 1.

25

 

=

 

  B

21

log

4

7

= C 35log 23 =64 D 27

log

1

3

2 = Câu 11: Với số thực dương ,a b Mệnh đề ?

A

3

2 2

2

log log log

3

 

= + −

 

 

a

a b

b B

3

2 2

2

log log log

3

 

= + +

 

 

a

a b

b

C

3

2 2

2

log  = +1 3log −log

 

a

a b

b D

3

2 2

2

log  = +1 3log +log

 

a

a b

b

Câu 12: Biết log 25 =a log 35 =b Hãy tính log 30 theo a 5 b

A log 305 = + +a b B

5

log 30=2a+ +b 1. C

5

log 30=2a+2 b D

5

log 30= −a 2b−1 Câu 13: Tìm x để biểu thức 1( )

2

log x +5x −6 có nghĩa

A − < <1 x B x< − 6 x>

C 5< <x D x< −1hoặc x>1

Câu 14: Biết log 2=a, log 3=b Tính log 0,18 theo a 3 b.

A log 0,183 2.

3

+ −

= a b B log 0,183 2.

3

+ − =b a

C log 0,183 2.

3

− +

= b a D log 0,183 2.

3

+ − = b a

Câu 15: Tính 1log 36 log 14 3log 21.7 7 73

S= − −

A log21

S= B S=log 49.7 C log5

5

S= D S=log 3.7

Câu 16: Tính 1 1 1

2 2

1

log 2 log log

3

M= + +

A 12

M= B

2

log

M = C 1

2

1

log

12

M= D M=4

Câu 17: Tính 1( 3 2 )

4

log log 4.log

P=

A P=2 B P= −2 C

2

P= D

2

P= −

Câu 18: Biết 72 491 log log 62 7 5 log 45 a ( , )

a b b

− −

 

+ = ∈

 

 

 

ℤ Tính

45

log log

F= a+ b

A F=3 B F=47 C 45

2

Câu 19: Mệnh đề ? A ( )

5

6 3 14

3

3

−

−

≠ B log 0,3 log 0,4.0,2 > 0,5

C log 10 log 57.3 < 8 D log0,31 log 0,7.

2 > π

Câu 20: Biết a=ln 2,b=ln 5 Tính ln1 ln2 ln98 ln 99

2 99 100

= + + + +

S theo a b

A S= − −a b B S=2a+2 b C S= +a b. D S= − −2a 2 b

Câu 21: Cho a=ln2. Tính ln1 1ln 16 8 16

S= − theo a

A 11

a

S= B

8

a

S= C

16

a

S= D

16

a S=

Câu 22: Mệnh đề sai ?

A 1 log3 log19 log2.

2+ > − B

5 7 log5 log 7

log .

2 2

+ > +

C log log 3.0,3 < 5 D log 0,3 log 0,4.0,2 < 0,5

Câu 23: Biết log6x=3log 0,5log 25 log 3.6 + 6 − 6 Tìm x

A 10

x= B x=216 C 40

9

x= D x=36

Câu 24: Tính I =log10(tan 4)+log10(cot )

A I =1 B I =0 C I=log D I=log16

Câu 25: Biết log3x=4 log3a+7 log 3b Tìm x

A x=28 ab B x=a b7 C x=ab D x=a b4

Câu 26: Tính log 35 1log 12 log 50.5 5

K= − +

A K =log 1.2 B K= −2 C

5

log 25

K= D

2

K=

Câu 27: Tìm x để biểu thức logπ (x2+3x−4) có nghĩa

A − ≤ ≤4 x B x< −4hoặc x>1 C − < <4 x D x≠ −4và x≠1

Câu 28: Biết log72 2log 27 log 108 log2 log3 ( , , , 0) 256

b

a a b c c

c

− + = + ∈ℕ ≠ Tính S= + +a b c

A S=13 B S=17 C S=23 D 35

2

S=

Câu 29: Tính

1 1

3 3

1

2 log log 400 3log 45

N = − +

A N=4 B

2

1 log

32

N = C

2

1 log

16

N= D

16

N=

Câu 30: Tìm x để biểu thức log x2( − 2) có nghĩa

A − ≤ ≤1 x B − < <1 x C x< −1 x>1 D x≠ ±1

Câu 31: Tính log1 log2 log98 log 99

2 99 100

= + + + +

S

Câu 32: Tính T =36log 56 +101 log2− −8log 32

A T=2 B T=25 C T =3log 33 D T=27

Câu 33: Biết log1 log0,375 log 0,5625 log ( , )

a a b b

− + = ∈ℕ Tính ( )

a b

G=a + b

A G=145 B G=64 C G=15 D G=81

Câu 34: Cho a=log 5,2 b=log 3.2 Tính

3

log 675

H = theo a b,

A H 2a b b

+

= B H 3a b

a

+

= C H 2a

b

= + D

3

a b H = +

Câu 35: Cho log 153 =a b, =log 103 Tính

3

log 50 theo ,a b

A log 50 33 = a+2b−1 B

3

log 50 2= a+2b−2

C log 503 = + −a b D

3

log 50= − −a b Câu 36: Mệnh đề sai ?

A log3

27= − B

2

log 2.= C 1

2

log 8= −3 D 32log 53 =25

Câu 37: Tính P=log 49 log 343.7 − 7 A P=log 7.7 B

7

1

log

49

P= C log 51

5

P= D P= −294

Câu 38: Mệnh đề sai ?

A 3log log 7( ) (+ + − =) 0. B log 2( + 3)20+log 2( − 3)20 =1.

C ln ln1 1.

2 e

e

+ = − D 5lne−1+4ln( )e2 e =5.

Câu 39: Tìm x để biểu thức ( )

3

log x +x −2x có nghĩa

A − < <2 x B − < <2 x 0hoặc x>1

C − < <2 x D x>1

Câu 40: Cho logab=5, logac= −2 Tính

1 3

log

= a

a b P

c

A 35 =

P B P=35. C P=1. D 1.

3 =

P

Câu 41: Biết logab=2 Tính

2

loga loga

E= b + b

A E=1 B E=2 C E=4 D E=8

Câu 42: Biết 1 3 3 3

3

1

log log 125 log log

3

x= − + Tìm x

A x=10 B

5

x= C x=3 D x=5

Câu 43: Cho a=log2 b=log3 Tính =log 72 log− 27 +log 108

256

H theo a b

A 20

H = a− b B H =10a−5 b C

2

H= a− b D H =3a−2 b

Câu 44: Với số thực dương ,a b Mệnh đề ?

A ln( ) lnab = a+ln b B ln( ) ln ln ab = a b C ln ln .

ln =

a a

b b D ln =ln −ln a

§3 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LƠGARIT A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I Hàm số mũ 1 Định nghĩa

Cho a>0,a≠1 Hàm số y=ax gọi hàm số mũ số a

2 Đạo hàm hàm số mũ Giới hạn:

t

t

e t

0 1

lim 1

→ − =

( )ex / =ex ( )eu / =u e/. u ( )ax / =axlna ( )au / =auln a u/

3 Khảo sát hàm số mũ x

y=a ,(0< ≠a 1)

>1

a 0< <a 1

Tập xác định: D=ℝ

Sự biến thiên: • y/ =ax.lna> ∀0, x

• Giới hạn: x x

xlim→−∞a =0, limx→+∞a = +∞

• TCN: trục Ox Bảng biến thiên

Đồ thị

Tập xác định: D=ℝ

Sự biến thiên: • y/ =ax.lna< ∀0, x

• Giới hạn: x x

xlim→−∞a = +∞, limx→+∞a =0

• TCN: trục Ox Bảng biến thiên

Đồ thị

Bảng tóm tắt tính chất hàm số mũ x

y=a ,(0< ≠a 1)

Tập xác định D = = −∞ +∞ℝ ( ; ) Đạo hàm y/ =ax.lna

Chiếu biến thiên a>0: Hàm số đồng biến

a

0< <1: Hàm số nghịch biến Tiệm cận Trục Ox tiệm cận ngang

Đồ thị Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía trục hồnh (y=ax > ∀ ∈0, x )

II Hàm sô lôgarit 1 Định nghĩa

Cho a>0,a≠1 Hàm số y=logax gọi hàm số lôgarit số a 2 Đạo hàm hàm số lôgarit

( a x) x a

/ 1

log

ln

= ( au) u

u a

/ / log

ln

=

( )x

x

/ 1

ln = ( ) u

u

/ /

lnu =

3 Khảo sát hàm số lôgarit y=log ,(0ax < ≠a 1)

>1

a 0< <a 1

Tập xác định: D=(0;+∞)

Sự biến thiên:

• y x

x a

/ 0, 0

ln

= > ∀ >

• Giới hạn: a a

x x

x x

0

lim log , lim log

+ →+∞

→ = −∞ = +∞

• TCĐ: trục Oy Bảng biến thiên

Đồ thị

Tập xác định: D=(0;+∞)

Sự biến thiên:

• y x

x a

/ 0, 0

ln

= < ∀ >

• Giới hạn: a a

x x

x x

0

lim log , lim log

+ →+∞

→ = +∞ = −∞

• TCĐ: trục Oy Bảng biến thiên

Đồ thị

Bảng tóm tắt tính chất hàm số mũ y=log ,(0ax < ≠a 1)

Tập xác định D=(0;+∞) Đạo hàm y/ = xln1a

Chiếu biến thiên a>0: Hàm số đồng biến

a

0< <1: Hàm số nghịch biến

Tiệm cận Trục Oy tiệm cận đứng

Bảng đạo hàm hàm số luỹ thừa, mũ, logarit Hàm sơ cấp Hàm hợp (u=u x( ))

( )xα / =αxα−1

x x

/

1

  = −    

( )x

x

/ 1

2 =

( )xu / =uxu−1.u/

u

u u

/ /

2

1  

= −    

( ) u

u

u

/ /

2 =

( )ex / =ex

( )ax / =axlna

( )eu / =u e/ u

( )au / =auln a u/

( a x) x a

/

log

ln =

( )x x

/

ln =

( a )

u u

u a

/ /

log

ln =

( ) u u

/ /

ln u =

( )u v+ / = +u/ v/ ( )u v− / = −u/ v/

( )u v. / =u v u v/. + . /

/ / /

2

u u v u v

v v

  −

=  

 

III ỨNG DỤNG VÀO BÀI TỐN THỰC TẾ Bài tốn Tiền lãi

Dạng “Lãi đơn” tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh Cơng thức tính: T =M(1+r n )

Trong đó: T: Số tiền vốn lẫn lãi sau n kì hạn M: Tiền gửi ban đầu

n: Số kì hạn tính lãi r: Lãi suất định kì theo %

Dạng 2: “Lãi kép” số tiền lãi khơng tính số tiền gốc mà cịn tính số tiền lãi tiền gốc sinh thay đổi theo định kì

1 Lãi kép gửi lần: Công thức (1 )n

T =M +r

Trong đó: T: Số tiền vốn lẫn lãi sau n kì hạn M: Tiền gửi ban đầu

n: Số kì hạn tính lãi r: Lãi suất định kì theo %

VD1 Bạn Bình gửi vào ngân hàng với số tiền triệu đồng khơng kì hạn với lãi suất 0,65% Tính số

tiền bạn Bình nhận sau năm Giải:

Ta có:

( )

 =



= = ⇒ = + =

  = 

24

1000000

0,65% 0,0065 1000000 0,0065 1168236,313 năm = 24 tháng

M

r T

n

(đồng)

VD2. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.10 mét khối Biết tốc độ sinh trưởng khu rừng

Ta có: ( )

5

5

5

4.10

4% 0,04 4.10 0,05 4,8666.10 ( )

5 naêm

M

r T m

n

 =



= = ⇒ = + ≈

  = 

2 Lãi kép gửi định kì

Trường hợp Tiền gửi vào cuối tháng: (1 )n

n

M

T r

r

 

=  + − 

Trường hợp Tiền gửi vào đầu tháng: (1 )n (1 )

n

M

T r r

r

 

=  + −  +

VD3. Một anh sinh viên gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng 80 000 000 với lãi suất 0,9%

tháng a) Hỏi sau năm số tiền sổ bao nhiêu, biết suốt thời gian anh sinh viên khơng rút đồng vốn lẫn lãi

Giải:

Ta có: ( )60

80000000

0,9% 0,009 80000000 0,009 136949345,6

5 năm = 60 tháng

M

r T

n

 =



= = ⇒ = + =

  = 

b) Nếu tháng anh sinh viên rút số tiền vào ngày ngân hàng trả lãi hàng thàng rút tiền (làm tròn 1000 đồng) để sau năm vừa hết số tiền vốn lẫn lãi Giải:

Sau n tháng, số tiền rút hàng tháng tổng cộng = (1+ )n−1

n

a

T r

r (áp CT lãi kép gửi hàng

tháng)

Số tiền ban đầu sau n tháng: = (1+ )n n

T M r

Vậy tháng thứ n, số tiền vừa rút hết : ( )

( )

(1 )

1 (1 )

1

+

 

+ −  + − = ⇒ =

+ −

n

n n

n

a Mr r

M r r a

r r (1)

Công thức (1) gọi công thức trả hết nợ sau n tháng

Trong đó: M: Tiền gửi ban đầu; r : lãi suất theo %; a : Tiền nợ cần phải trả

Vậy anh sinh viên rút số tiền là:

( ) ( )

60 60

80000000.0,9% 0,9% (1 )

1731425,144 1.731.000 (1 0,9%)

1

+ +

= = = ≈

+ −

+ −

n n

Mr r a

r

VD4. Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng vay ngân hàng theo phương án trả góp

a) Nếu cuối tháng tháng thứ anh A trả 5.500.000 đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0,5% tháng sau anh A trả hết số tiền

b) Nếu anh A muốn trả hết nợ vòng năm trả lãi với mức 6%/năm tháng anh phải trả tiền(làm trịn đến nghìn đồng)

Giải:

Số tiền nợ ban đầu M=300000000, lãi suất r=0,5%, số tiền trả là: a=5500000 Tìm n Áp dụng Công thức:

( )

6

(1 ) 5,5.10 300.10 0,5%(1 0,5%) 63,85 (1 0,5%)

1

+ +

= ⇔ = ⇒

+ −

+ − ≃

n n

n n

Mr r

a n

r

Vậy sau 64 tháng anh A trả hết số tiền b)

( )

6

5

(1 ) 300.10 0,5%(1 0,5%)

5934910, 011 12 (1 0,5%)

12 1

+ +

= ⇒ = =

 + −   + − 

 

n n

Mr r

a a

r

Vậy theo YCBT, anh A phải trả với số tiền là: 5.935.000 đồng

VD5. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ơng muốn hồn nợ cho ngân

A ( )

( )

3

3

120 1,12 1,12

m=

− (triệu đồng) B

( )3

100 1,01

m= (triệu đồng)

C 100.1,03

m= (triệu đồng) D ( )

( )

3

3

1,01 1,01

m=

− (triệu đồng)

Giải:

Số tiền nợ ban đầu M=100000000, lãi suất r=12%/năm hay r=1%/tháng, n=3

Áp dụng Công thức:

( )

3

3

(1 ) 100.0, 01(1 0, 01) 1, 01 (1 0, 01) 1, 01

1

+ +

= ⇒ = =

+ − −

+ −

n n

Mr r

a a

r

Bài toán Bài toán “Dân số”

Dân số giới ước tính theo cơng thức S= Aeni (1), A dân số năm lấy làm mốc

tính, S dân số sau n năm, i tỉ lệ tăng dân số hàng năm

Công thức (1) gọi công thức lãi kép liên tục hay công thức tăng trưởng mũ

VD1. Cho biết năm 2003.Việt Nam có 80 902 400 người tỉ lệ tăng dân số 1, 47% Hỏi năm 2020

Việt Nam có người, tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi Giải

Vào năm 2010, tức sau 17 năm

Dân số Việt Nam S=Aeni=80902400.e17.0,0147≈103870350(người)

VD2. Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% năm sau

2 năm số tiền thu vốn lẫn lãi là: ni 100. 2.0,08 117,351087

S=Ae = e ≈ (triệu đồng)

VD3. Cho biết năm 2010 Việt Nam có 89 000 000 người tỉ lệ tăng dân số 1,05% Hỏi năm 2050

Việt Nam có người, tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi Giải

Vào năm 2050, tức sau 34 năm Dân số Việt Nam

40.1,05%

89000000 135454578,5

ni

S= Ae = e ≈ (người)

VD4 Năm 2008, tỉ lệ thể tích khí CO2trong khơng khí 385,26

10 Biết tỉ lệ thể tích khí CO2

khơng khí tăng 0,52% hàng năm Hỏi 2020, tỉ lệ thể tích khí CO2 khơng khí bao nhiêu? Giải:

Vào năm 2020, tức sau 12 năm Thể tích khí CO2: 2 12.0,52%

385,

4,100022633.10 10

−

= ni= =

Co

V Ae e

Bài toán Ứng dụng Vật lí

Trong vật lí, phân rã chất phóng xạ biễu diễn công thức

1

( )

2

t T

m t =m   

 

Trong m khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm 0 t=0 ); ( )m t khối lượng chất phóng

xạ thời điểm ,t T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để số nguyên tử chất phóng xạ

bị biến thành chất khác)

VD1 Cho biết chu kì bán rã chất phóng xạ 24 (1 ngày đêm) Hỏi 250 gam chất

lại sau:

a) 1,5 ngày đêm b) 3,5 ngày đêm Giải:

Áp dụng công thức ( ) 0

t T

m t =m   

  Ta có: T =24 1= ngày đêm, m0=250 gam a) Khối lượng chất phóng xạ cịn lại sau 1,5 ngày đêm

1,5

1

(1,5) 250 88,388

2

m =    ≈

b) Khối lượng chất phóng xạ lại sau 1,5 ngày đêm

3,5

1

(3,5) 250 22, 097

m =    ≈

  gam

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tính đạo hàm hàm số y=2xex+3sin x

A y′ =2ex( )x+ +1 3cos2 x B y′ =2( )x+ +1 cos2 x C y′ =2ex( )x+ +1 cos2 x D y′ =2ex +6 cos2 x

Câu 2: Biết (3x2−lnx+4sinx)′=ax+ +b ccos , ( , ,x a b c∈ℚ)

x Tính S=2a+ −3b c

A S= −1 B S=25 C S= −7 D S=31

Câu 3: Cho đồ thị hàm số x,(0 1)

y=a < ≠a Mệnh đề ? A Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía trục hoành

B Đi qua điểm ( )1;0 ( )a;1 , nằm phía trục hồnh C Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía trục hồnh D Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía bên phải trục tung Câu 4: Biết (3 +log2 + )′=3 ln + + , ( , , ∈ℕ*)

ln

x x e x x a ce x a b c

x b Tính

b c a

S =a + +b c

A S=44 B S=40 C S=20 D S=18

Câu 5: Tính đạo hàm hàm số 3x

x y= +

A ln3 3x

x

y′ = B ln3

3x

x

y′ = − C ( )1 ln3

3x

x

y′ = − + D ( )1 ln3 3x

x y′ = + +

Câu 6: Tìm tập xác định D hàm số y=log3(x2−2 x)

A D= −∞( ;0) (∪ 2;+∞) B D=ℝ\ 0;2 { }

C D=( )0;2 D D=(2;+∞)

Câu 7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )=x2lnx đoạn [ ]1; e

A

[ ]1;e ( )

Max f x =

   

=

1;e ( )

Min f x B

   

=

1;e ( )

Max f x e

[ ]1;e ( )

Min f x =

C [ ]

2 1;e ( )

Max f x =e

[ ]1;e ( )

Min f x = D

   

=

1;e ( )

Max f x e

[ ]1;e ( )

Min f x =

Câu 8: Tính đạo hàm hàm số y=(x2−2x+2)ex

A y′ =x e2 x. B y′ =(2x−2) ex C y′ =2x e2 x. D y′ =(x2−2x e) x.

Câu 9: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến tập xác định ?

A 1

2

log

y= x B

( )

5

log

y x

−

= C y=log 3x D

4

log

y= π x

Câu 10: Tìm tập xác định D hàm số y=log 2( − x)

A D=ℝ B \  

=  

  ℝ

D C 5;

2

D= +∞

  D

5 ;

2

D= −∞ 

Câu 11: Cho ba số thực dương , ,a b c khác Đồ thị hàm số y=ax,y=bx,y=c cho x

hình vẽ bên Mệnh đề ?

1

y = ax y = cx

y = bx

x y

O

A a< <b c B c> >a b

C b> >c a D a> >b c

Câu 12: Cho đồ thị hàm số y=log ,(0ax < ≠a 1) Mệnh đề ? A Đi qua điểm ( )1;0 ( )1;a , nằm phía bên phải trục tung

B Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía bên phải trục tung C Đi qua điểm ( )1;0 ( )a;1 , nằm phía bên trái trục tung

D Đi qua điểm ( )1;0 ( )a;1 , nằm phía bên phải trục tung

Câu 13: Cho ba số thực dương , ,a b c khác Đồ thị hàm số y=logax y, =log ,bx y=logc x cho

trong hình vẽ bên Mệnh đề ?

A c> >a b B a> >b c

C b> >c a D a< <b c

Câu 14: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )=xln3x đoạn  

  ; 3 e e A         = 2 ; 3

( )

e e

Max f x e

        = ; 3 ( ) e e

Min f x e B

2 ; 3 ( ) e e e Max f x

       

=

2 ; 3 ( ) e e e Min f x

        = C ; 3

( )

e e

Max f x

       

=

2 ; 3 ( ) e e

Min f x

        = D         = 2 ; 3 ( ) e e e Max f x

        = ; 3 ( ) e e e Min f x

Câu 15: Tính đạo hàm hàm số y=(sinx−cosx e) 2x.

A y′ =(3cosx+sinx e) 2x. B y′ =(3cosx−sinx e) 2x.

C y′ =(sinx−cosx e) 2x. D y′ =(3sinx−cosx e) 2x.

Câu 16: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )=x2lnxtrên đoạn  

 

 

2

1; .

e e

A

2

4 1;e ( ) e

Max f x e

     

=

      = − 2 1; ( ) e e

Min f x

e B

4 1;e ( ) e

Max f x e

     

=

2 1; ( ) e e

Min f x e       = C       = 1;e ( ) e

Max f x e

      = 2 1;e ( ) e

Min f x e D

      = 2 1;e ( ) e

Max f x e

2 1; ( ) e e

Min f x e

     

Câu 17: Tìm tập xác định D hàm số log0,43

x y

x + =

−

A ;

3

 

= −∞ − 

 

D B D= −∞( ;1 ) C 2;1

D= − 

  D D=ℝ\ { } Câu 18: Tính đạo hàm hàm số y=2x − ex

A ln2

2

x x

y′ = + e B ln2

2

x x

y′ = − e C

2

x x

y′ = − e D y′ =2 ln 2x + ex Câu 19: Tìm tập xác định D hàm số y= x2+ −x 2.log 93( −x2)

A D= −( 3;3 ) B D= − − ∪ 3; 2 1;3 

C D= −[ 3;3 ] D D= − − ∪( 3; 2 1;3 )

Câu 20: Cho hàm số =   +

 

1

ln

1

y

x Mệnh đề ?

A xy′ +ey′ =ey. B xy′ + =y ey. C y′+y′′=y′′. D xy′ + =1 ey.

Câu 21: Cho đồ thị hàm số = x,(0< ≠1)

y a a Mệnh đề ? A Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía bên phải trục tung

B Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía trục hồnh C Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía trục hoành D Đi qua điểm ( )1;0 ( )a;1 , nằm phía trục hồnh Câu 22: Cho hàm số y=e−xsin x Mệnh đề ?

A y′′+2y′+2y=0 B y′′+2y′−2y=0 C y′′+2y′=y2. D y′′−3y′+2y=0.

Câu 23: Cho ba số thực dương , ,a b c khác Đồ thị hàm số y=log ,ax y=log ,bx y=logc x cho

trong hình vẽ bên Mệnh đề ?

A c> >a b B a< <b c

C c> >b a D b< <c a

Câu 24: Tìm tập xác định D hàm số y=log 45( −x)2 là:

A D=ℝ B D= −∞( ;4  C D=(4;+∞) D D=ℝ\ { } Câu 25: Tính đạo hàm hàm số y=ln 1( + x+1 )

A

1

′ =

+ +

y

x B ( )

1

2 1

′ =

+ + +

y

x x

C

( )

1 1

′ =

+ + +

y

x x D ( )

1 .

1 1

′ =

+ + +

y

x x

Câu 26: Tính đạo hàm hàm số y= +(1 ln ln x) x

A y′ =x(1 ln + x) B y 1 2ln x x +

′ = C y x ln x x +

′ = D y 1 ln x

Câu 27: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

ln

( ) x

f x x

= đoạn 1;e3. A

   

=

3

1;

4 ( )

e

Max f x

e    

=

3

1;e ( )

Min f x B

3

1;

4 ( )

e

Max f x e

   

=

3

1;e ( )

Min f x

   

=

C

   

=

3

2 1;e ( )

Max f x e

   

=

3

1;e ( )

Min f x D

   

=

3

2 1;e ( )

Max f x e

   

=

3

1;e ( )

Min f x

Câu 28: Tìm tập xác định D hàm số ln

2

x y

x

− =

− − A 3;1

2

D= − 

  B ( )

3

; 1;

2

 

= −∞ − ∪ +∞

 

D

C 3;

2

 

= − +∞ 

 

D D \

2

 

= − 

 

ℝ

D

Câu 29: Xét hàm số 2

x x

y

−

−

= Mệnh đề ?

A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số đồng biến ℝ C Hàm số nghịch biến (−∞;0 ) D Hàm số đồng biến (0;+∞) Câu 30: Tính đạo hàm hàm số y=5x2−2 cos x x

A y′ =10x+2 sinx x−ln 2.cos x B y′ = +10 sinx( x−cos x)

C y′ =5x2+2 sinx( x−ln 2.cos x) D y′ =10x+2 sinx( x−ln 2.cos x)

Câu 31: Tính đạo hàm hàm số y ln x x =

A y 1 ln x2 x

+

′ = B y 2x

x

−

′ = C y 1 ln x2

x

−

′ = D y ln x2

x

′ = Câu 32: Cho đồ thị hàm số y=log ,(0ax < ≠a 1) Mệnh đề ?

A Đi qua điểm ( )1;0 ( )a;1 , nằm phía bên trái trục tung

B Đi qua điểm ( )1;0 ( )1;a , nằm phía bên phải trục tung C Đi qua điểm ( )1;0 ( )a;1 , nằm phía bên phải trục tung

D Đi qua điểm ( )0;1 ( )1;a , nằm phía bên phải trục tung

Câu 33: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )=x2−ln 2( − x) đoạn − 

 2;0  A

−   2;0 =

( ) ln5

Max f x

−  2;0 =

( ) ln2

Min f x B

−  2;0 =

( )

Max f x [ 2;0]

1 ( )

4

Min f x

− =

C

[ 2;0] ( ) ln

Max f x

− = − −2;0 = −

1 ( ) ln

4

Min f x D

−   

= −

2;0 ( )

Max f x

−   

=

2;0 ( )

Min f x

Câu 34: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )=xe−x đoạn  +∞)

0; A

[0; )

1 ( )

Max f x e

+∞ = Min f x0; ¥+ ) ( ) 0.= B Max f x0;+∞) ( )=e [Min f x0;+∞) ( ) 0.=

C

[0; ) ( )

Max f x

+∞ = Min f x0;+∞) ( ) 0.= D Max f x0;+∞) ( )=e [Min f x0;+∞) ( ) 1.=

Câu 35: Tìm tập xác định D hàm số ( )

5

log

y= x − x+

C D=(3;+∞) D D=( )1;3 Câu 36: Biết (3x2−ln 2x+5cosx)′=ax+b+ sin , ( , ,c x a b c∈ℤ)

x Tính

2 2

A= x +x , biết x x1, 2là

hai nghiệm phương trình 0.

ax +bx+ =c

A 61 36

A= B 25

36

A= C 11

36

A= D 91

36

A=

Câu 37: Cho hàm số y=sin ln( )x +cos ln ( )x Mệnh đề ?

A y+xy′+x y2 ′′=0. B y y+ +′ y′′=0. C xy y+ +′ x y2 ′′=0. D y′+xy′′+x y2 ′′′=0.

Câu 38: Tính đạo hàm hàm số y= x2ln x2+1

A ( )

2

2

2 ln

1

x

y x x

x

′ = + +

+ B ( )

2

2

3

ln

1

x y x x

x

′ = + +

+

C ( )

3

2

ln

1

x y x x

x ′ = + + + D 2

ln

1

x y x x

x

′ = + +

+

Câu 39: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )=e2x −4ex+3 đoạn  

0;ln  A

[0;ln 4] ( )

Max f x =

   

= −

0;ln4 ( )

Min f x B

   

=

0;ln4 ( )

Max f x

   

=

0;ln ( )

Min f x

C

   

=

0;ln4 ( ) ln

Max f x

   

=

0;ln4 ( ) ln2

Min f x D

   

=

0;ln4 ( )

Max f x

   

= −

0;ln4 ( )

Min f x

Câu 40: Tìm tập xác định D hàm số y=ln x2−4x−12

A D= −( 2;6 ) B D= −∞ − ∪( ; 2 (6;+∞ C D= −[ 2;6 ] D D= −∞ − ∪( ; 2) (6;+∞)

Câu 41: Biết ( ( ))

( ) ′ + + + = ∈ + + ℤ 2

log , ( , , )

4 ln

ax b

x x a b c

x x c Tính P=abc a b c( + + )

A P=9 3 B P=7 3 C P=6 3 D P=5 3

Câu 42: Cho ba số thực dương , ,a b c khác Đồ thị hàm số y=ax,y=bx,y=c cho x

hình vẽ bên Mệnh đề ?

1

y = ax y = c

x

y = bx

x y

O

A b< <c a B a< <c b

C a< <b c D c< <a b

Câu 43: Tính đạo hàm hàm số y exx e xx

e e − − − = + A

( )2

4 .

x x

y

e e−

′ =

+ B ( )2

x

x x

e y

e e−

′ =

+ C ( )2

1 .

x x

y

e e−

′ =

+ D ( )2

x x x x e e y e e − − + ′ = + Câu 44: Tính đạo hàm hàm số y=ln(x2+1 )

A 22

x y

x

′ =

+ B

2 . x y x ′ =

+ C

2 . x y x ′ =

+ D

Câu 45: Biết (3x e2 x+3cos4x) (′= ax2+bx e) x+ sin , ( , ,c x a b c∈ℤ) Tính P=ab bc ca+ + A P=100 B P= −120 C P=48 D P= −90

Câu 46: Xét hàm số y=3x(x− x2+1 ) Mệnh đề ?

A Hàm số đồng biến (0;+∞) B Hàm số đồng biến ℝ

C Hàm số nghịch biến ℝ D Hàm số nghịch biến (−∞;0 ) Câu 47: Tính đạo hàm hàm số y=8x2+ +x

A y′ =8x2+ +x 1ln8 B y′ =8x2+ +x 1(2x+1 ln8.)

C y′ =(2x+1 ln 8.) D y′ =(2x+1 ln 8.)

Câu 48: Cho hàm số y=e4x +2e−x. Mệnh đề ?

A y′′′−13y′−12y=0 B y′′−13y′−12y=0

C y′′′−13y′′−12y′=0 D y′′′+13y′+12y=0 Câu 49: Biết ( + + + − )′= + + − ∈

+ ℤ

3 ln(2 1) , ( , , )

2

x b x

x x e ax ce a b c

x Tính ( )

c

S= ab +

A

S = B

6

S = C S=6 D

6

S=

Câu 50: Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội công ty Bảo Việt với thể lệ sau: Cứ đến tháng hàng năm người đóng vào cơng ty 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi 6% / năm Hỏi sau 18 năm kể từ ngày đóng, người thu tất tiền? Kết làm tròn đến hai chữ số phần thập phân

A 393,12 (triệu đồng) B 403,32 (triệu đồng) C 412, 23 (triệu đồng) D 293,32 (triệu đồng)

Câu 51: Một người đầu tháng đặn gửi vào ngân hàng khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 6% tháng Biết đến cuối tháng thứ 15 người có số tiền 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền số sau?

A 635.000 B 535.000 C 613.000 D 643.000

Câu 52: Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0

0,5 tháng Nếu cuối tháng, tháng thứ sau vay, ơng hồn nợ cho ngân hàng số tiền cố định 5,6 triệu đồng chịu lãi số tiền chưa trả Hỏi sau khoảng tháng ông A trả hết số tiền vay?

A 63 tháng B 36 tháng C 64 tháng D 60 tháng

Câu 53: Số lượng vi A phịng thí nghiệm tính theo công thức s t( )=S(0).2 ,t

đó S(0)là số lượng vi A lúc ban đầu, s t số lượng vi khuẩn A sau t phút Biết sau phút số ( ) lượng vi khuẩn A 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu ?

A 19 phút B phút C 48 phút D 12 phút

Câu 54: Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng, bao gồm gốc lãi ? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi người khơng rút tiền

§4 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LƠGARIT

A KIẾN THỨC CẦN NẮM I Phương trình

§1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ §2 PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1 Phương trình mũ

Phương trình mũ có dạng: ax =b a ( >0,a≠1) Nếu b≤0, phương trình vơ nghiệm

Nếu b>0, phương trình có nghiêm loga

x= b

1 Phương trình lơgarit Phương trình lơgarit có dạng

logax=b,(0< ≠a 1)

Theo định nghĩa lơgarit, phương trình ln có nghiệm x=ab, với b

2 Phương trình mũ đơn giản

Phương trình đưa phương trình mũ cách áp dụng phương pháp: Phương pháp Đưa số

Biến đổi phương trình đưa dạng af x( ) =ag x( )

Với 0< ≠a Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

a =a ⇔ f x =g x

Đặc biệt: af x( ) = ⇔1 f x( ) 0=

Phương pháp 2: Đặt ần số phụ Dạng Phương trình có dạng:

2x x 0

Aa +Ba + =C , Aa3x+Ba2x +Cax + =D 0, ta

đặt t=ax,( )t>0

Dạng Phương trình có dạng:

2

x ( )x x

A a +B a b +C b =

Biến đổi phương trình đưa dạng:

2

0

x x

a a

A B C

b b

   

+ + =

   

    Đặt ( )0

x

a

t t

b

 

=  >

  Dạng Phương trình có dạng:

x x

A a +B b + =C

Với a b =1 a bx x =1 Đặt t=ax,( )t>0 ,

đó bx

t =

2 Phương trình lơgarit đơn giản

Phương trình đưa phương trình lơgarit cách áp dụng phương pháp:

Phương pháp 1: Đưa số Biến đổi phương trình dạng:

0

log ( ) log ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( )

a a

a

f x g x f x g x f x g x

 < ≠



= ⇔ > >

 =



Chú ý:

0

log ( ) ( )

( )

a

b

a f x b f x

f x a

 < ≠



= ⇔ >

 =

 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ

Đặt t=log ( )a f x , với a f x thích hợp để đưa ( ) phương trình lơgarit phương trình đại số t Dạng

( )2

loga loga (0 1, 0)

A x +B x C+ = < ≠a x>

Đặt t=logax

Dạng logA ax B+ logxa C+ =0 (0< ≠a 1) Đặt t logax logxa (0 x 1)

t

= ⇒ = < ≠

Phương pháp Lấy lơgarit hai vế (lơgarit hóa) Với ,M N>0 0< ≠a Ta có:

loga loga

M= ⇔N M= N

( ) ( ) log

f x

a

a =M⇔ f x = M

( ) ( ) ( ) ( )log

f x g x

a

a =b ⇔ f x =g x b hay f x( ) g x( ) ( ) ( )log

b

a =b ⇔g x = f x a

Phương pháp 3: Mũ hóa hai vế Áp dụng định nghĩa lôgarit:

log

log ab (0 1, 0)

ab a a b a b

= ⇔ α = = < ≠ >

II Bất phương trình

Bất phương trình mũ Bất phương trình lơgarit Khi giải bất phương trình mũ, áp dụng

tính chất đồng biến nghịch biến hàm số mũ:

( ) ( ) ( ) ( )

1

f x g x f x g x

a a

a a

 >  >



⇔

 

> >

 



( ) ( ) ( ) ( )

0

0

f x g x f x g x

a a

a a

 >  <



⇔

 

< < < <

 



Để giải bất phương trình mũ, ta biến đổi đưa bất phương trình mũ bất phương trình đại số

Khi giải bất phương trình lơgarit, áp dụng tính chất đồng biến nghich biến hàm số lôgarit:

( ) log ( ) log ( )

1

1 ( ) ( )

a a

g x f x g x

a a

f x g x

 >

 >

 

⇔ >

 

>

  >



( ) log ( ) log ( )

0

0 ( ) ( )

a a

f x f x g x

a a

f x g x

 >

 >

 

⇔ < <

 

< <

  <



Để giải bất phương trình lơgarit, ta biến đổi để đưa bất phương trình lơgarit hoặc bất phương trình đại số

III Hệ phương trình 1 Định nghĩa:

Hệ phương trình mũ, lơgarit hệ phương trình có chứa phương trình mũ phương trình lơgarit

2 Cách giải:

Khi giải hệ phương trình mũ lôgarit, ta dùng phương pháp giải hệ phương trình học như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ,

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết phương trình ( )2

3

log x+2 +log x +4x+ =4 9có hai nghiệm Tìm tổng S hai nghiệm

A S= −29 B S= −24 C S= −4 D S=25

Câu 2: Số nghiệm phương trình 9x−4.3x −45 0.=

A B C D Nhiều

Câu 3: Giải bất phương trình    ≥  

   

1 4

1 .

2

x

A x<0 B x<0 >1

x C >1

x D x<0 ≥1

x

Câu 4: Số nghiệm phương trình − +8x 2.4x+ − =2x

A B C Nhiều D

Câu 5: Biết phương trình log2( )x− −1 log 34( x− + =2) 0có nghiệm a Tính

logaa 7.

P=a +

A P=8 B P=9 C P=2 D P=11

Câu 6: Tìm nghiệm phương trình ( +1− =)

log 2x x

A x=log 2.5 B x=log 5.2 C x=5 D 2.

5

x=

Câu 7: Giải bất phương trình ( )

−

 

>  

 

2

log

1 1.

2

A x∈ −( 2; ) B x∈( )1;

C x∈ −( 2; − ) D x∈ −( 2; 1− ∪) ( )1;

Câu 8: Giải bất phương trình 3( − +) 1( + ≤)

3

2 log 4x log 2x

A − ≤ ≤3

8 x B < ≤

1 3.

4 x C ≤ ≤

3 3.

4 x D < ≤

3 3.

4 x

Câu 9: Tìm nghiệm phương trình 5x2− −5x 1.

=

A x= −5 x= −6 B x=2 x=3 C x=1 x= −6 D x= −1 x=6

Câu 10: Giải bất phương trình ≤ −

2 2.

3

x

x x

A x< −2 B x≥3 C x<0hoặc x≥1 D 0< ≤x

Câu 11: Giải bất phương trình

+

   

+ >

   

   

2 1 1

1 3. 12.

3

x x

A − < <1 x B x>0 C x< −1hoặc x>0 D x< −1 Câu 12: Tìm nghiệm phương trình log22x−5log2x+ =6

A x=3 x=8 B x=4 x=8 C x=2 x=3 D x=2 x=4 Câu 13: Biết x nghiệm phương trình 6x +6x+1=2x+2x+1+2x+2 Tính 3x 2 x

P= + + +

A P=72 B P=9 C P=8 D P=17

Câu 14: Tìm nghiệm phương trình 2−2 =3

2

2

x x

A x= ±1 log 3.2 B x= +1 log 2.3

C x= −1 log 3;2 x=2 D x= ±1 log 2.3

Câu 15: Tìm nghiệm phương trình −1 = −2 2x x 8.4 x

A x=1;x= +1 log 3.2 B x=1;x= −1 log 2.3 C x=2;x= −2 log 3.2 D x=1;x= −1 log 3.2

Câu 16: Biết phương trình (2+ 3)2x = −2 3có nghiệm x1 biết phương trình

( )3

3 2− x = +3 2có nghiệm x2 Tính P=x x1 .2

A

P= B

2

P= − C

3

P= − D

6

P= −

Câu 17: Giải hệ phương trình

( ) ( )

 − =

 

+ − − =



2

5

9

log log

x y

x y x y

A ( ) ( )x y; = 1;2 B ( ) ( )x y; = 2;2 C ( ) ( )x y; = 1;1 D ( ) ( )x y; = 2;1

Câu 18: Biết phương trình ( ) ( )2 1− x+ 1+ x −2 0= có hai nghiệm x x1, 2 Tính

( )3

1 2

K = x +x − x x +

A K=5 B K=1 C K= −1 D K=21

Câu 19: Phương trình log3x= − +x 11 có nghiệm thuộc khoảng ?

Câu 20: Tìm nghiệm phương trình

π

  +    x = cos

6

5

A x= +π kπ ,k∈ℤ

9 B

π π = + ∈ℤ

x k ,k

3 C

π π = + ∈ℤ

x k ,k

4 D

π π

= + ∈ℤ

x k ,k

5 Câu 21: Giải bất phương trình 4 −21−+1+ <8

2

x x

x x

A 0< <x B x>2 C x<3 D x>1 Câu 22: Giải bất phương trình 3 3x− − +x 2+ >8 0.

A x>1 B x<0 C x>0 D 0< <x l Câu 23: Tìm nghiệm phương trình log 33 x=3 log3x−1

A x=3 x=81 B x=1 x=4 C x=3 x=27 D x=1 x=9 Câu 24: Tìm nghiệm phương trình 2 5x x =0,2 10( )x−1 5.

A = −3 log2; 2=

2

x x B = +3 log2

2

x

C x= −3 log2.2 4 D =1; = −3 1log2

2

x x

Câu 25: Tìm nghiệm phương trình 5 8x x−x1 =500 A = = −

2

1

3;

log

x x B = = −

5

1

3;

log

x x C = = −

2

1

2;

log

x x D x=1;x=3

Câu 26: Giải bất phương trình

+ +

>

1 2

3 log log

2

0,3

x x

A 0< <

2

x B x<0 C >

x D 1< <

2

x

Câu 27: Phương trình 1

3

log x=3x có nghiệm thuộc khoảng ?

A ( )0;1 B (2;+∞) C (−∞;0 ) D ( )2;3 Câu 28: Giải bất phương trình + + + ≥ −

−

1

3 1

4

3

x x

x x

A x∈ +∞1; ) B x∈ − 1;1 

C x∈ −∞ −( ;  D x∈ −∞ − ∪( ; 1 1;+∞).

Câu 29: Giải bất phương trình ( 2− + )+ ( − <)

1

5

log x 6x 18 log x

A x>6 B x>4 C x>2 D x<4

Câu 30: Giải bất phương trình < −

4 4.

4

x

x x

A x< −3 B x>2 C x<0hoặc x>1 D 0< <x Câu 31: Giải bất phương trình 22 1x− +22 2x− +22 3x− ≥448.

A x≥2 9 B x≥9 2 C 9≤ <5

2 x D x≥4

Câu 32: Tìm nghiệm phương trình 9x+1 272x+1.

=

A x= −2 B x=0 C 1.

4

Câu 33: Giải hệ phương trình ( ) ( )

− +

 + = +

 

 =

 2

2

2

log log

3x xy y 81

x y xy

A ( ) ( )x y; = 2;2 ( ) (x y; = − −2; ) B ( ) ( )x y; = 2;2 C ( ) (x y; = 2; 2− ) ( ) (x y; = −2;2 ) D ( ) (x y; = − −2; )

Câu 34: Giải bất phương trình ( + )− < + ( −2+ )

5 5

log 144x log log 2x

A 4< <x 16 B 2< <x C 3< <x D 1< <x Câu 35: Tìm nghiệm phương trình 2x2− +3x 4.

=

A x=0 x= −3 B x=2 x=1 C x=0 x=3 D x= −1 x=3

Câu 36: Phương trình có hai nghiệm x=2 x=5

A 3x2− +3x 1.

= B log2 x− +3 log2 3x− =7

C x2+7x+10 0.= D log(x2−6x+7)=log(x−3 )

Câu 37: Tìm nghiệm phương trình

− − +

 

=

   

x x

x

2 2 3

1

1 7

7

A x=3 x= −2 B x= −1 x=2 C x= −1 x=3 D x=2 x=3

Câu 38: Tìm nghiệm phương trình log3x+log4x=log 5x

A x=10 B x=0 C x=1 D x=100

Câu 39: Giải bất phương trình 4x+3.2x+ >2

A x<0hoặc x>1 B x>1 C x<0 D 0< <x Câu 40: Tìm nghiệm phương trình log log4( 2x)+log log2( 4x)=2

A x=8;x=4 B x=16;x=4 C x=16 D x=4 Câu 41: Giải bất phương trình ( ) ( )0,4 x − 2,5 x+1>1,5

A x< −1 B x< −3 C x> −4 D − < <4 x Câu 42: Giải bất phương trình   < − −

   

2log

log

1 5.2 4.

2

x

x

A 1001 < <x 101 B < <1

100 x C < <

1 1.

10 x D 0< <x Câu 43: Giải bất phương trình ≤ +

+ 1−

1 .

3x 3x

A x≤1 B − < ≤1 x C x> −1 D − < <1 x Câu 44: Giải bất phương trình − + ≤

3

log x 5log x

A x≤9hoặc x≥29 B 2≤ ≤x C 5< <x 21 D 9≤ ≤x 27 Câu 45: Giải bất phương trình 4x 2x+1 8 0.

+ − >

A x>1 B x<2 C x>3 D 1≤ <x

Câu 46: Giải bất phương trình

−

− −   ≤

   

2

2

2

9

3

x x

x x

A 1− 2< < +x 2. B x≥ −1 C x≤ +1 D 1− 2≤ ≤ +x

Câu 47: Biết x nghiệm phương trình

2

log x− +3 log 3x− =7 Tính P=2log 55 x+5 x

Câu 48: Phương trình 1

2

log 16x

x= có nghiệm thuộc khoảng ?

A [ ]2;5 B (−2;4 ) C 1;0

 

−

 

  D (3;+∞)

Câu 49: Giải hệ phương trình  + =

+ = +

 4

20

log log log

x y

x y

A ( ) ( )x y; = 2;3 và( ) ( )x y; = 3;2 B ( ) ( )x y; = 2;1 và( ) ( )x y; = 1;2 C ( ) ( )x y; = 4;1 và( ) ( )x y; = 1;2 D ( ) ( )x y; = 2;18 và( ) ( )x y; = 18;2 Câu 50: Số nghiệm phương trình 132 1x+ −13 12 0.x− =

A B C D

Câu 51: Giải bất phương trình 3x+2+3x−1≤28.

A x>1 B 0≤ ≤x C x<0 D x≤1 Câu 52: Phương trình log x4

x

= có nghiệm thuộc khoảng ?

A (4;7 ] B (5;+∞) C ( )2;5 D (−∞;1 ) Câu 53: Giải bất phương trình log (4 ) 2.8 − x ≥

A − ≤ <30 x B x≤ −30 C x≥30 D x<2

Câu 54: Giải bất phương trình ( 2− + +) − ≥

1

3

log x 6x log (2 x) A − ≤ <1 x B 1≤ <1

2 x C ≤ ≤

1 1.

2 x D − < <1 x Câu 55: Tìm nghiệm phương trình 3.8x+4.12 18 2.27x− x− x =0

A x=1 B x=1 x=2 C x=0 x= −1 D x=1 x=0 Câu 56: Giải hệ phương trình

( )

 − + + = 



− − =



2

2

4

2log log

x x y

x y

A ( ) ( )x y; = 3;1 B ( ) ( )x y; = 1;2 C ( ) ( )x y; = 2;1 D ( ) ( )x y; = 1;3 Câu 57: Biết phương trình 32 1x+ −4.3 0x+ = có hai nghiệm

1,

x x Tính H =x13+ +x23

A H =2 B H = −1 C H =1 D H =0

Câu 58: Giải bất phương trình (x−5 log)( x+ <1) A − < <1 x B <

10

x C < <5

10 x D x>5

Câu 59: Tìm nghiệm phương trình 3x−1 27.

=

A x=7 B x=5 C x=3 D x=4

Câu 60: Biết phương trình ( )

2

log x+3log 2x − =1 0có hai nghiệm x x1, 2 Tính 1 2

1

1

K x x

x x

= + −

A

K= B 34

5

K = C 47

8

K = D

3

K =

Câu 61: Giải bất phương trình

+ + >

1 2

3 log log

2

0,3

x x

A x>2 B − < <3 x C 0< <3

Câu 62: Giải hệ phương trình  ( − =)

+ =



2

2

log 4x 2x

y x

y

A ( ) ( )x y; = 1;2 B ( )= − 

 

1

; 1;

2

x y C ( ) ( )x y; = −1;1 D ( )= 

 

1

; 2;

2

x y

Câu 63: Giải bất phương trình log (32 x− >1)

A x>3 B x<3 C 1

3< <x D

10.

x>

Câu 64: Giải hệ phương trình

( ) ( )

 + = −

 

− − + =



2

3

2

2log log

x y x

x y

A ( ) ( )x y; = 3;1 B ( ) (x y; = − −1; ) C ( ) ( )x y; = 2;6 D ( ) ( )x y; = 1;3 Câu 65: Tìm nghiệm phương trình 32x−1 32x 108.

+ =

A x=3 B

x= C x=2 D x=4

Câu 66: Giải bất phương trình − > −

2 x x

A x∈ −( )1;0 B x∈ −( )1;1 C x∈( )0;1 D x∈ −( ) ( )1;0 ∪ 0;1 Câu 67: Số nghiệm phương trình 2x2+x−4.2x2−x−22x + =4 0là

A B C D

Câu 68: Tìm nghiệm phương trình

+ +

− = −

5 17

7

32xx 0,25.128xx

A x=2;x=3 B x=10 C x=10;x=5 D x=1;x=10 Câu 69: Giải bất phương trình 9x <3x+1+4.

A 0< <x log 4.3 B x>1 C x<log 4.3 D x>log 4.3

Câu 70: Tìm nghiệm phương trình +8− +5+ =

3x 4.3 x 28 log A = −3 ; = −1

2

x x B x= −3 ; 1.2 x= C = −1; =3

x x D x=3 ; 1.2 x= Câu 71: Tìm nghiệm phương trình log2 x− +3 log 32 x− =7

A x=5 B =1 ; 5.=

3

x x C = −1; 5.=

3

ÔN TẬP CHƯƠNG II

HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LƠGARIT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT -0O0 -

Câu 1: Giải bất phương trình ( )

2

log x − − ≥ −5x

A x∈ −( 1;6 ) B x∈ − − ∪( 2; 1) ( )6;7

C x∈ − − ∪[ 2; 1) (6;7 ] D x∈ −[ 2;7 ]

Câu 2: Giải phương trình log3x+log9x+log27x=11

A x=216 B x=729 C x=18 D x=24

Câu 3: Tính (3 ) (3 3 )

4

log log 49 21

P= − + + +

A P=2 B P=3 C P=4 D P=1

Câu 4: Ông B gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn năm với lãi suất 7,65%/năm Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền m mà ông B gửi thu (cả vốn lẫn lãi) sau năm triệu đồng ?

A m=15 0,0765( + )5 (triệu đồng) B m=15 0,0765( )5 (triệu đồng) C m=15 2.(0,0765)( + )5 (triệu đồng) D m=15 0,765( + )5 (triệu đồng) Câu 5: Tính H =loga3 a với a>0 a≠1

A H = −3 B

H = − C H =3 D

3

H =

Câu 6: Tìm tập xác định D hàm số y= logx+log(x+2 )

A D=(0;+∞) B D= − + 2;+∞)

C D= − − 2; 1− +  D D=( 2;+∞)

Câu 7: Xét hàm số y=3x(x− x2+1 ) Mệnh đề ?

A Hàm số nghịch biến (−∞;0 ) B Hàm số nghịch biến ℝ C Hàm số đồng biến ℝ D Hàm số đồng biến (0;+∞) Câu 8: Tìm nghiệm phương trình 3.8x +4.12 18 2.27x− x − x =0

A x=1 B x=1;x=3 C x=2;x=4 D x=5

Câu 9: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( 2− ≥ −)

0,2

log x

A S= − 3;3  B S= − − ∪ 3; 2) (2;3 

C S= −( 2;2 ) D S= −∞ − ∪( ; 2) (2;+∞)

Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y=log5(x2−mx m+ +2) xác định với

x

A m≤ −2 B m∈ −(2 3; 2 + )

Câu 11: Cho hai hàm số ( ) , ( )

2

x x x x

a a a a

f x g x

− −

+ −

= = Mệnh đề ?

A ( )f x hàm số chẵn, g x hàm số lẻ ( ) B ( )f x hàm số lẻ, g x hàm số chẵn ( )

C ( )f x g x hàm số chẵn ( ) D ( )f x g x hàm số lẻ ( )

Câu 12: Tìm tập xác định D hàm số

2

1

5 2 ln

1

y x x

x

= − − +

−

A D=( )1;3 B D=( )1;2 C D=[1;3 ) D D=(1;2 ]

Câu 13: Biết log 3=a Tính

81

1

log 100 theo a A

81

1

log 100= 8a B 81

16

log 100 = a C 81

2

log 100 = a D

4 81

1

log 100=a Câu 14: Cho hàm số f x( )=xln x Đồ thị đồ thị hàm số y= f x′( )

A B C D

Câu 15: Tính đạo hàm hàm số y=(x2+1 )e4x.

A 2 4x.

y′ = x e B y′ =2e4x 2( x2+ +x )

C .( 1 )

4

x

y′ = e x + D y′ =8 x e4x

Câu 16: Tìm nghiệm phương trình log2 x− +3 log2 3x− =7 A x=5 B 1;

3

x= x= C 1;

3

x= x= D x=3

Câu 17: Tìm nghiệm phương trình 32x+1−4.3x+ =1 0.

A x=0;x= −1 B x=2;x=1 C x=3;x=0 D x= −1;x=1

Câu 18: Tính P=log 36 log 144.2 − 2

A P=4 B P= −4 C P= −2 D P=2

Câu 19: Với a>0 Tính

( ) 7

2 2

a a K

a

+ − + −

=

A K=a5. B .

K=a C K =a4 D K =a3

Câu 20: Biết log 156 =a b, =log 1812 Tính log 24 theo , 25 a b

A log 2425

2

b a ab b

− =

+ − + B 25

5

log 24

2

a b ab a

− =

+ − +

C log 2425

2

b a ab b

− =

+ − + D 25

5

log 24

2

b a ab b

+ =

+ + +

Câu 21: Tìm tập nghiệm S phương trình 2

1 2

2

x

x x

− − ≤

Câu 22: Tìm giá trị của biểu thức =  

 

 

5

4

loga a a a

M

a

A 173 60

M = B 60

173

M = C 175

60

M = D M =12

Câu 23: Tìm tập xác định D hàm số ( ) ( )

2

2

1

log log 16

2

= + + − −

y x x

A D= −∞ − ∪( ; 4) [16;+∞) B D= −[ 4;16]

C D= − +∞( 4; ) D D= −( 4;16 ]

Câu 24: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau thánh kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ơng A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ơng A hồn nợ

A ( )

( )

3

3

1,01 1,01

m=

− (triệu đồng) B

( )3

100 1,01

m= (triệu đồng)

C 100.1,03

m= (triệu đồng) D ( )

( )

3

3

120 1,12 1,12

m=

− (triệu đồng) Câu 25: Tìm nghiệm phương trình log2 log4 log8 11

2

x+ x+ x=

A x=2 B x=4 C x=8 D x=16

Câu 26: Cho log 330 =a,log 530 =b Hãy tính log 1350 theo , 30 a b

A log 135030 = + +a b B log 135030 = + +a b

C log 1350 230 = a b+ D log 1350 230 = a b+ +1

Câu 27: Tìm giá trị của biểu thức = −

96 12

log 24 log 192 log log

I

A I=2 B I =3 C I=5 D I=6

Câu 28: Trong hàm số đây, hàm số đồng biến tập xác định ? A =

2

log

y x B = π

4

log

y x C y=log 3x D

( − )

= 1

5

log

y x

Câu 29: Mệnh đề sai ?

A 1 1

2

log a=log b⇔ = >a b B log2x< ⇔ < <0 x

C lnx> ⇔ >0 x D 1 1

3

log a>log b⇔ > >a b

Câu 30: Giải bất phương trình log 32( x− <2)

A 0< <x B log 23 < <x C x>1 D x>log 2.3

Câu 31: Tìm nghiệm phương trình 2( − 2)+ 1( + + − − =)

2

log x log x x

A x=4 B x=2 C x=0 D x=3 Câu 32: Hỏi phương trình 3x2−6x+ln(x+1) 03+ = có nghiệm phân biệt ?

A B C D

A log 0.a = B alogab=b. C log ( )

a a

α =α D log 1.

a =

Câu 34: Cho log a2 = Hãy tính log 1250 theo 4 a A log 12504 =1(1 − )

2 a B = ( + )

1

log 1250

2 a

C log 1250 4 = + a D = ( + )

1

log 1250

2 a

Câu 35: Cho số thực dương ,a b với a≠0 Mệnh đề ?

A 2( )

1

log log

2 a

a ab = + b B 2( )

1

log log

2 a

a ab = + b

C loga2( )ab = +2 2log ab D 2( )

1

log log

2 a

a ab = b

Câu 36: Tìm nghiệm phương trình

2

2 log x−14 log x+ =3

A x=8;x= B x=4;x=2 C x= 2;x= D x=8;x=4

Câu 37: Tìm tập xác định D hàm số log

x y

x

− =

−

A D=ℝ\ { } B D=[1;2 )

C D= −∞ ∪( ;1) (2;+∞) D D=( )1;2

Câu 38: Tìm tập xác định D hàm số 1( )

2

log

y= x− +

A D= −∞( ;2) (∪ 4;+∞) B D= −∞( ;2 )

C D=(2;4 ] D D=[2;4 )

Câu 39: Số nghiệm phương trình 1lg( 5) lg 5 lg

2 x + − =x x+ 5x

A B C Nhiều D

Câu 40: Tính đạo hàm hàm số y=log 3x

A y′ =xln B y′ =1

x C

1 . log ′ =

y

x D

1 ln ′ =

y x

Câu 41: Số nghiệm phương trình 25x−6.5x+ =5

A nghiệm B nghiệm C Vô nghiệm D nghiệm

Câu 42: Tìm giá trị của biểu thức

 

 

=

 

 

5 5 5

dấu

log log

n

M

A M = −n B

n

M = C

5n

n

M = D M =n

Câu 43: Tính

125

1 1log 4

log log

81 25 49

P= − + 

 

A P=219 B P=16 C P=216 D P=19

Câu 44: Tính 32

log log log

H = + +

A H = −2 B H =2 C H =4 D H =3

Câu 45: Tìm giá trị của biểu thức = + +

1

log log

16 81 15

M

Câu 46: Tìm nghiệm phương trình 2 + 1( − )= 2( − + )

2

1

2 log log log 2

2

x x x x

A x=2 B x= −2 C x= −4 D x = +4

Câu 47: Tính đạo hàm hàm số y=13 x

A 13 x

y′ = − B 13

ln13

x

y′ = C y′ =13 ln13.x−1 D y′ =13 ln13.x

Câu 48: Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến tập xác định ? A

x

y

π

 

=  

  B

x

y = π 

  C

4

x

y

π

 

=  

  D

x

y =

Câu 49: Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng, bao gồm gốc lãi ? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi người khơng rút tiền

A 11 năm B 12 năm C 14 năm D 13 năm Câu 50: Biết log 142 =a Tính A=log 3249 theo a

A

( )

= −

5 .

2

A

a B = ( )−

2 .

5

A

a C A a= −1 D A=a1 −1

Câu 51: Với a b, số thực dương tùy ý a≠1, đặt

3

loga log

a

P= b + b Mệnh đề ?

A P=27log ab B P=15log ab C P=6 log ab D P=9 log ab

Câu 52: Cho log 52 =a, log 32 =b Tính H =log 6753 theo , a b

A H =2a+3

b B = +3

a H

b C = +

2 .

a H

b D = +

3a 2. H

b

Câu 53: Cho

2

( ) log

f x = x − Tìm tất giá trị thực x để f/( )x <0

A x>1 B x< −1 C x>0 D − < <1 x

Câu 54: Đặt a=log 3,2 b=log 3.5 Hãy tính log 45 theo 6 a b

A

2

2

log 45 a ab

ab

−

= B log 456 a 2ab

ab b

+ =

+ C log 456 a 2ab

ab

+

= D

2

2

log 45 a ab

ab b

− =

+

Câu 55: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số ( ) ( )

log log 2

y=  m− x + m− x m+ 

xác định với x

A ;7

m∈ −∞ 

  B

7; .

m∈ +∞

  C

7;7

m∈ 

 D

2 7; . 3

m∈ − 

 

Câu 56: Cho hàm số f x( ) ln 4= ( x−x2) Mệnh đề ?

A (2) 1.f′ = B (2) 0.f′ = C ( 1)f′ − = −1, D (5) 1, 2.f′ =

Câu 57: Trong phát biểu đây, có phát biểu ?

1 Hàm số y=log ,ax a( >0,a≠1) đồng biến khoảng (0;+∞) a>1

2 Đồ thị hàm số y=xα khơng có đường tiệm cận

3 Với ,a b>0,a≠1, ta có: aα = ⇔ =b α log ab

4 Phương trình x

a =b, (a b, >0,a≠1)ln có nghiệm

Câu 58: Xét hàm số ( )= cos2x.

f x e Mệnh đề ?

A / 3

6

f π = − e

  B

/ 3

6

f π = e

  C

3

/ 2.

6

f π =e

  D

/ 3

6

f π = − e

  Câu 59: Tìm giá trị của biểu thức =

2

log log

H

A H =3 B H =5 C H = −3 D H = −5

Câu 60: Tìm tập xác định D hàm số =ln(− +2 5 −6 )

y x x

A D=( )2;3 B D= −∞( ;2) (∪ +∞3; )

C D= −∞ ∪ +∞( ;2] [3; ) D D=[ ]2;3

Câu 61: Tìm nghiệm phương trình log2(x− =5)

A x=11 B x=3 C x=21 D x=13

Câu 62: Số nghiệm phương trình 9x+2(x−2).3x+2x− =5 0

A B C D

Câu 63: Gọi x x nghiệm phương trình: 1, 2 3x2− +3x 2=9 Tính

1

S= +x x

A S=3 B S=1 C S=2 D

2

S=

Câu 64: Cho hàm số ln 1

y x

=

+ Mệnh đề ? A / 1 y.

xy + =e B xy/− =1 ey C xy/− = −1 ey D xy/+ = −1 ey

Câu 65: Tập xác định D hàm số ( )

log

y= − +x x+ là:

A D=ℝ B D= −( 1;5)

C D= −∞ − ∪( ; 1) (5;+∞) D D= −[ 1;5]

Câu 66: Xét số nguyên dương ,a b cho aln2x b+ lnx+ =5 0có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 phương trình 5log2x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân biệt x x3, 4thỏa mản x x1 2 >x x3 4 Tìm giá trị nhỏ Smin S=2a+3 b

A Smin =30 B Smin =33 C Smin =25 D Smin=17

Câu 67: Cho log 202 =α Tính K =log 520 theo α A α

α+

=

K B α

α−

=

K C =α−2

2

K D K= +α

Câu 68: Tính log 42

= a

I a với 0< ≠a

A I=8 B I =4 C I=2 D I =16

Câu 69: Biết log0,57 1

a > log

2

b >

− Mệnh đề ? A 0< <b a>1 B 0< <a b>1

C a>1 b>1 D 0< <a 0< <b

Câu 70: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình ( 3)

log 4x +2m =x có hai nghiệm phân biệt

A 0

m

< < B

2

m< C m>0 D

2

m>

Câu 71: Cho x y, số thực lớn thỏa mãn x2+9y2 =6 xy Tính 12 12 12

1 log log

log ( )

x y

M

x y

+ +

=

A M=1 B

M = C

2

M= D

3

M =

Câu 72: Tính giá trị log 10n m

A= ( ,m n∈ℕ,n>2) :

A A m

n

= B A=mn C A n

m

= D A=n m

Câu 73: Xét hàm số y ln x x

= Mệnh đề ?

A Hàm số ó cực đại B Hàm số có cực tiểu

C Hàm số khơng có cực trị D Hàm số có cực đại cực tiểu Câu 74: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( ) ln= (x2+ −x 2) đoạn  

3;6  A

 

3;6 =

( ) ln6

Max f x

  3;6

Min f(x)=ln3 B

3;6 ( ) ln 40

Max f x

 

  =

  3;6 =

( ) ln10

Min f x

C

3;6 ( ) ln 40

Max f x

 

  =

  3;6 =

( ) ln12

Min f x D

 

3;6 =

( ) ln36

Max f x

  3;6 =

( ) ln10

Min f x

Câu 75: Với số thực dương a bthỏa mãn a2+b2=8 ,ab mệnh đề ? A log( ) (1 log log )

2

a b+ = a+ b B log( ) log log

2

a b+ = + a+ b

C log(a b+ )= +1 loga+log b D log( ) (1 log log )

a b+ = + a+ b

Câu 76: Xét hàm số y=e−xsin x Mệnh đề ?

A y/ /+2y/+2y=0. B y/ / /+2y/+2y=0. C y/ / /−2y/+2y=0. D y/ /−2y/ +2y=0.

Câu 77: Giải bất phương trình

1 1 2

4x− >2x− +3 A 0

2

x

< < B 0< <x C 1

2 < <x D

1

2 2< <x Câu 78: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số ln( 4)

y= x −mx+ có tập xác định ℝ A − < <2 m B m=2 C m<2 D m>2 m< −2

Câu 79: Đặt log a12 = log 712 =b Mệnh đề ?

A log 72

a b

=

− B log 72 1

a b

=

+ C log 72 1

b a

=

− D log 72 1

b a

= + Câu 80: Cho c=log 315 Giá trị log 15 theo c 25

A log 1525

c

=

+ B 25

1

log 15

1 c =

− C 25

2

log 15

1 c =

− D 25

1

log 15

2(1 c) =

− Câu 81: Tính đạo hàm hàm số ( ) 2x 1sin

f x =e + x

A f x′( ) 2= e2x+1cos x B ( ) 2x 1(sin 2 cos )

f x′ =e + x+ x

C ( ) 2 2x 1sin

f x′ = e + x D f x′( ) 2= e2x+1(sin 2x+cos x)

Câu 82: Tính đạo hàm hàm số y=3(3x−2 )2

A y′ =2 3( x−2)−13 B ( )

3

y′ = x− − C y′ =2 3( x−2)−3 D ( )

1

2

y′ = x−

Câu 83: Tìm tập xác định D hàm số 1

2

1

log

5

x y

x − =

+

Câu 84: Tìm tập nghiệm S phương trình 2 1

2

log (x− +1) log (x+ =1)

A 13

S= + 

 

 

B S={ }3 C S={2− 5;2+ } D S={ }2+ Câu 85: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( )0,5 1x ≥0,0625

A = −∞( )∪ +∞

 

1

;0 ;

4

S B = 

 

1 0;

4

S

C = −∞( )∪ +∞

 

1

;0 ;

2

S D = ∪( +∞)

 

1

0; 2;

4

S

Câu 86: Đặt a=log 3,2 b=log 35 Biểu điễn P=log 456 theo , a b

A P a 2ab

ab

+

= B P a 2ab

ab b

+ =

+ C

2

a ab P

ab b

+ =

− D

2

a ab P

ab b

− =

+ Câu 87: Tìm nghiệm phương trình log log2( 4x)=1

A x=16 B x=8 C x=4 D x=2

Câu 88: Tìm tập xác định D hàm số = 1( − +)

2

log

y x

A D=[ ]2; B D=( )2;4

C D=(2;4  D D= −∞( ;2) (∪ 4;+∞). Câu 89: Tập nghiệm S bất phương trình 3x ≥ −5 2xlà

A S= +∞[1; ) B S= −∞( ;1 ] C S= +∞(1; ) D S= ∅

Câu 90: Tìm giá trị của biểu thức P=25log 65 +101 log2+ −2log 94

A P=35 B P=53 C P=56 D P=65

Câu 91: Tìm nghiệm phương trình 31−x− + =3x 2 0.

A x=0 B x=2 C x=3 D x=1

Câu 92: Tìm nghiệm phương trình ( )

log x + + =x

A x=1;x=2 B x=2;x= −3 C x= −3;x=0 D x=2;x=3

Câu 93: Tính P=a4log 5a2 với a>0 a≠1

A 5 8

P= B P=5 C P=5 D P=5

Câu 94: Tìm tập xác định D hàm số log2

x y

x

− =

−

A D=(2;+∞) B D= −∞ ∪( ;1) (2;+∞)

C D=( )1;2 D D= −∞( ;1 )

Câu 95: Đặt log 3=a Tính log 9000

A log 9000 3= +a B log 9000=a2+3 C log 9000 = a 2 D log 9000 = + a

Câu 96: Tìm nghiệm phương trình log3(x+ = −2) log 3x

A x=1;x= −3 B x=0;x=2 C x=1 D x=2

Câu 97: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )=ex3− +3 3x đoạn  

A

0;2 ( )

Max f x e

   

=

   

=

0;2 ( )

Min f x e B

   

=

0;2 ( )

Max f x e

  0;2 =

( )

e Min f x

C

   

=

0;2 ( )

Max f x e

   

=

0;2 ( )

Min f x e D

   

=

0;2 ( )

Max f x

   

=

0;2 ( )

Min f x

Câu 98: Xét hàm số ( ) 2

t t

f t

m

=

+ với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m cho f x( )+ f y( ) 1= với số thực x y thỏa mãn , ex y+ ≤e x( +y). Tìm số phần tử S

A B C D Vô số

Câu 99: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y=(x2+2 ).x e−x đoạn [0;2]

A = =

[0;2] 2; [0;2]

Max y Min y B =( + ) =

[0;2] 2 ; [0;2]

Max y e Min y

C = +( ) − =

[0;2] 2 ; [0;2]

Max y e Min y D = + =

[0;2] 2 2; [0;2]

Max y Min y

Câu 100: Cho hai số

1 10 10

2

a= + − log sin2

7

b=  π 

  Mệnh đề ? A a>0 b>0 B a<0 b>0 C a<0 b<0 D a>0 b<0

Câu 101: Xét hàm số y=e4x +2e−x. Mệnh đề ?

A y/ / /−13y/ =12 y B y/ / /+13y/ =12 y C y/ /+13y/ =12 y D y/ /−13y/ =12 y

Câu 102: Hàm số có đạo hàm ′ =3 ln ?x +

y x

A y= +3x x 7. B y= +3x 7 x C

log

= +

y x x D y=3 xx 7

Câu 103: Biểu diễn trực tiếp y theo x, biết ln 1ln ln

y= x+

A

1

4

y= x B

4 3.

y=x C

1

x

y= D

1

4

y= +x

Câu 104: Biểu diễn trực tiếp y theo x, biết log +1log =log3

y x

A y=

x B y=3 x C =

1 .

y

x D y= +3 x

Câu 105: Tính đạo hàm hàm số

x x

e e y

x

−

− =

A ( )2

x x x x

x e e e e y

x

− −

+ + −

′ = B ( )2

x x x x

x e e e e y

x

− −

− − +

′ =

C ( )2

x x x x

x e e e e y

x

− −

+ − +

′ = D 2( 2 )

x x

e e y

x

−

+ ′ =

Câu 106: Cho hai hàm số y=a yx, =bx với a b hai số thực dương khác 1, có đồ thị , ( )

1

C

( )C2 hình bên Mệnh đề ?

A 0< < <a b B 0< < <b a

C 0< < <a b D 0< < <b a

A x=1;x= −1 B 7;

x= x= C x=0;x= −1 D x=2,x=1

Câu 108: Bất phương trình log 2( 2−11 +15 1)≤

x x có nghiệm nguyên ?

A B C D Vô số

Câu 109: Cho log 52 =a;log 32 =b Biểu diễn log 135 theo , a b

A log 1353 3a b

b

+

= B log 1353 a 3b

a

+

= C log 1353 a 3b

b

+

= D log 1353 3a b

a

+ = Câu 110: Biết hàm số 2x

y= có giá trị 1024 Tìm x

A x=9 B x=11 C x= −10 D x=10

Câu 111: Tìm tập xác định D hàm số = + − +

0,8

2

log

5

x y

x

A 5;55 34

D= − 

  B

1 55; . 34

D= − 

  C

 

= − 

 

1 55; . 34

D D ;

2

D= −∞ − 

 

Câu 112: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ( )

2

( ) ln

x

f x = − −x đoạn −2;1  A

−   

= −

2;1

1 ( ) ln

2

Max f x

−   

= −

2;1

1

( ) ln 2

Min f x

B

2;1

1

( ) ln 2

Max f x

− 

  = −

− 

 2;1 = −

1

( ) 8ln 2

Min f x

C

− 

 2;1 = +

1 ( ) 8ln

2

Max f x

− 

2;1 = +

1

( ) ln 2

Min f x

D

−   

=

2;1 ( ) 8ln2

Max f x

−   

=

2;1 ( ) 4ln2

Min f x

Câu 113: Với x>0,y>0 Tính

5

4

4

x y xy H

x y

+ =

+

A H =1 B H =xy C H x y

= D 2.

H =x y

Câu 114: Tìm nghiệm phương trình log2(x− −1) 2log 34( x− + =2)

A x=2 B x=1 C

2

x= D x=0

Câu 115: Tìm tập xác định D hàm số = − ( 2− + )

2

logx 15

y x x

A D=( )3;5 B D=4− 2;4+ 2)∪5;+∞)

C D=4− 2;3)∪4+ 2;+∞) D D=4− 2;4+  Câu 116: Tìm tập xác định D hàm số y= 25x−5 x

A D=(2;+∞) B D=[5;+∞) C D=0;+∞) D D=ℝ\ { } Câu 117: Tìm giá trị của biểu thức L=491 log 2− +5−log 45

A 49

L= B 25

2

L= C 25

49

L= D 25

4

L=

Câu 118: Tính đạo hàm hàm số xsin

A cos

x

y′ = e x+π 

  B sin

x

y′ = e x−π 

 

C cos

4

x

y′ = − e x+π 

  D sin

x

y′ = e x+π 

 

Câu 119: Tìm tập xác định D hàm số 3

2

1

log

2

x y

x x

+ =

− −

A D=(2;+∞) B D= −∞ − ∪( ; 1) (2;+∞)

C D= − +∞( 1; ) D D= −∞ −( ; )

Câu 120: Tìm tập xác định D hàm số y= log(x− +1) log(x+1 )

A D= − 2;  B D= 2;+∞) C D= −[ ]1;1 D D=0;  Câu 121: Tập số x thỏa mãn log0,4(x− + ≥4)

A x∈(4;+∞) B 13;

x∈ +∞

 C

13

;

2

x∈ −∞ 

  D

13 3;

2

x∈ 

 

Câu 122: Mệnh đề sai ?

A Đồ thị hàm số y=log ,ax a( >0,a≠1) có tiệm cận đứng trục Oy

B Hàm số y=log ,ax a( >1) đồng biến khoảng (0;+∞) C Hàm số y=log ,ax a( >0,a≠1) Có tập xác định (0;+∞)

D Đồ thị hàm số y=log ,ax a( >0,a≠1) nằm phía trục hồnh Câu 123: Tìm tập xác định D hàm số

1

2

1

log log

5

x

y x x

x −

= − − −

+

A D=(3;+∞) B D= −∞( ;3 ) C D= −( 2;3 ) D D= −( 4;3 )

Câu 124: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 4x −2x+1+ =m 0 có hai nghiệm thực

phân biệt

A m∈( )0;1 B m∈ −∞( ;1 ) C m∈(0;+∞) D m∈(0;1  Câu 125: Đặt log 2=a b=log 3.Tính log 20 9

A log 209 =1+b

a B

1 log 20= +a

b C

1

log 20

2 +

= a

b D

1

log 20

2 +

= b

a

Câu 126: Tính đạo hàm hàm số y=ln cos ( x)

A y′ =tan x B y′ = −cot x C

cos

y

x

′ = D y′ = −tan x

Câu 127: Cho log3a=2 log2

b= Tính 3 3 1

4

2 log log (3 ) log

I=  a + b

A

I = B

2

I = C I=4 D I=0

Câu 128: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( )

2

log x <log x+6 A S= −∞ − ∪( ; 3) (2;+∞) B S= −( 2;3 )

C S= −( 3;2 \ ) { } D S= −( 2;3 \ ) { }

Câu 129: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log22x−5log2x+ ≥4

C S=2;16  D S= −∞ ∪ ;1) 4;+∞) Câu 130: Tính đạo hàm hàm số ln 1.

y= x −

A

( )

2

3

2

x y

x

′ =

− B

2 1

x y

x ′ =

− C ( )

2

2

3

x y

x

′ =

− D ( )

3 .

2

x y

x

′ = − Câu 131: Tính đạo hàm hàm số ( )

2

log x

y= x +e

A

( )

2 .

ln

x x

x e y

x e

+ ′ =

+ B ( )ln 2

x x

x e y

x e

+ ′ =

+ C ( )

2

ln

x x

e y

x e

+ ′ =

+ D

( )

2

2 x ln

x

x e y

x e

+ ′ =

+ Câu 132: Tính đọa hàm hàm số y=log x

A

10 ln

y

x

′ = B y

x

′ = C

ln10

y x

′ = D y ln10

x

′ = Câu 133: Tính đạo hàm hàm số ( ) ln( x 1 2x)

f x = e + +e là:

A

2

( )

1

x x

e f x

e

′ =

+ B

2

( ) x

f x′ = +e C

2

1

( )

1 x

f x

e

′ =

+ D ( ) 2 1

x x

e f x

e

′ =

+ Câu 134: Tìm nghiệm phương trình 2 1.

8

− =

x

A x= −1 B x=4 C x= −2 D x=3

Câu 135: Cho số a dương khác số dương ,b c Trong khẳng định sau, có bao nhiều khẳng định Đúng ?

1 Khi a>1 logab> ⇔ >0 b Khi 0< <a logab> ⇔ <0 b logab=logac⇔ =b c log n = log

a b n ab

A B C D

Câu 136: Cho ,a b số thực dương Tính

1

3

6

a b b a P

a b

+ =

+ A P 31

ab

= B P= 3ab. C

( )3

1

P ab

= D P=( )ab

Câu 137: Tìm tập xác định D hàm số = π − − 

 

 

2 4

log

27

x x

y

A D= −∞ ∪( ;1) (3;+∞) B D=( )1;3

C D=ℝ\ 1;3 { } D D=[ ]1;3

Câu 138: Gọi M giá trị lớn hàm số f x( ) (= −x ln) x đoạn 1;e2

e

 

 

  Tìm M A M =3(e2−1 ) B M 1(e2 1 )

e

= − C M 1

e

= − D M =2(e2−1 )

Câu 139: Cho hàm số ( ) 7x x2

f x = Mệnh đề sai ?

A f x( ) 1< ⇔ +1 xlog 0.2 < B f x( ) 1< ⇔ +x x2log 0.2 <

C

7

( ) log

f x < ⇔ x +x < D f x( ) 1< ⇔xln 2+x2ln 0.<

Câu 140: Cho hàm số ( ) cos2 x

f x =e Tính

6

f′π 

A

3 2.

6

f′π =e

  B f e

π

 

′ =

  C

3 2.

6

f′π = −e

  D f e

π

 

′ = −

  Câu 141: Mệnh đề sai ?

A lna<lnb⇔ < <0 a b B 1 1

3

log a>log b⇔ > >a b

C log2x< ⇔ < <0 x D lnx> ⇔ >0 x

Câu 142: Tìm tập xác định D hàm số = − 3x

y

A D=(3;+∞) B D= +∞(1; ) C D=ℝ\ { } D D=ℝ\ { } Câu 143: Cho a số thực dương khác Mệnh đề với số thực dương x y , ?

A log log loga

a

a

x x

y= y B loga loga log a

x

x y

y = −

C loga x logax log ay

y= + D loga log (a )

x

x y

y= −

Câu 144: Biết log 127 =a b, =log 247 Tính log 168 theo 54 a b,

A

( )

54

1

log 168

8

ab

b b

+ =

− B 54 ( )

1

log 168

5

ab

a b

+ =

−

C

( )

54

1

log 168

8

ab

a b

− =

+ D 54 ( )

1

log 168

8

ab

a b

+ =

−

Câu 145: Gọi x x hai nghiệm phương trình: 16 17.4 16 01, 2 x− x+ = Tính

1 .2

P=x x

A P=0 B P=1 C P=3 D P= −1

Câu 146: Tìm tập xác định D hàm số = − +

1

1

log

1

x y

x

A D=ℝ\{ }−1;1 B D= −( 1;1 )

C D= −∞ − ∪ +∞( ; 1) (1; ) D D= −[ ]1;1

Câu 147: Tìm tập nghiệm S bất phương trình

2

1

3 27

−

  <    

x

A S= − +∞( 1; ) B S=(5;+∞) C S= −∞( ;5 ) D S= −∞ −( ; )

Câu 148: Tìm nghiệm phương trình

2

log x−9 log x=4 A 1;

2

x= x= B x=2;x=6 C 1;

2

x= x= D x=1;x=6

Câu 149: Tìm tập xác định D hàm số ( )

log

y= x − x−

A D= −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞) B D= − 1;3 

C D= −∞( ;1∪3;+∞) D D= −( )1;3 Câu 150: Trong hàm số ( ) ln , ( ) ln1 sin , ( ) ln

sin cos cos

x

f x g x h x

x x x

+

= = = , hàm số có đạo hàm

1 cos x ?

A ( )g x f x ( ) B ( ).h x C ( ).g x D ( ).f x

Câu 151: Tìm tập xác định D hàm số = (− +2 + )

3

log

A D= −[ 1;5 ] B D=ℝ\{ }−1;5

C D= −( )1;5 D D= −∞ − ∪( ; 1) (5;+∞) Câu 152: Giải bất phương trình

1

2 0.

4

x

x x x

− −

+ ≤

− +

A x>3 B x<3 C x>4 D x<4

Câu 153: Với a>0,a≠1,b>0 Tính P=a3 2log− abtheo , a b

A 3.

P=a b B P=ab2 C P=a b3 −2 D P=a b3

Câu 154: Cho hàm số f x( ) = x x2 Mệnh đề sai ?

A f x( ) 1< ⇔ +1 xlog 0.2 < B f x( ) 1< ⇔xlog 27 +x2<0

C f x( ) 1< ⇔xln 2+x2ln 0.< D 2

( ) log

f x < ⇔ +x x <

Câu 155: Tính đạo hàm hàm số y=log 22( x+1 ) A

(2 11 ln 2)

y x

′ =

+ B y′ =2x2 +1 C ( )

2 .

2 ln

y x

′ =

+ D y′ =2x1 +1

Câu 156: Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng vay ngân hàng theo phương án trả góp Nếu cuối tháng tháng thứ anh A trả 5.500.000 đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0,5% tháng sau anh A trả hết số tiền

A 64 tháng B 65 tháng C 60 tháng D 52 tháng Câu 157: Tập số x thỏa mãn

2

3

5

x− −x

   

≤

   

   

A x∈ −∞ +∞( ; ) B x∈ +∞[1; ) C x∈ +∞[3; ) D x∈ −∞( ;1 ]

Câu 158: Biết hàm số

x

y=  

  có giá trị 27 Tìm x A x=3 B

3

x= − C x= −3 D

x=

Câu 159: Năm 2008, tỉ lệ thể tích khí CO2trong khơng khí 385,26

10 Biết tỉ lệ thể tích khí CO2

trong khơng khí tăng 0,52% hàng năm Hỏi 2020, tỉ lệ thể tích V khí CO2 khơng khí bao nhiêu? A 385, 26 0,52%

10 =

V B 385, 26 0,52%.12

10 =

V e C 385, 26 0,52%

10 =

V e D 385, 26 12.0,52%

10 =

V e

Câu 160: Xét số thực dươngx y thỏa mãn , log3

xy

xy x y x y

− = + + −

+ Tìm giá trị nhỏ Pmin

của P= +x y

A min 11 19

P = + B min 11 19

9

P = − C min 11

3

P = − D min 18 11 29

21

P = −

Câu 161: Giải bất phương trình log 24( 1)

x− ≥

A x>1 B x>2 C

2

x≥ D x<1

Câu 162: Tập số x thỏa mãn

4

2

3

x −x

   

≤

   

   

A ;2

x∈ −∞ 

  B

2

;

3

x∈ − +∞ 

 C

2 ;

5

x∈ −∞ 

  D

2

;

5

x∈ +∞

Câu 163: Tìm nghiệm phương trình ( ) ( )2 1− x+ 1+ x−2 0.=

A x=1;x= −1 B x=2;x= −2 C x=2;x=3 D x=0;x=4

Câu 164: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 7.102( x−5.25x)>2x+1

A S= −[ 1;0 ] B S= −[ 1;0 ) C S= −( 1;0 ) D S= −( 1;0 ]

Câu 165: Cho ,a b số thực dương Tính

1 1 3 3 3

a b a b P

a b

− −

− =

−

A P

ab

= B P 31

ab

= C P= 3ab. D P=ab.

Câu 166: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 4x 2x 0

m

+ − + + = có nghiệm

A m≥1 B m≤ −1 C m≥ −1 D m≤1

Câu 167: Tìm nghiệm phương trình 16x−17.4x+16 0.=

A x=0;x=2 B x=2;x=4 C x=0;x=3 D x=1;x=4

Câu 168: Giải bất phương trình ( )

2

log x − + >5x

A x>3 B 1< <x C 2< <x D x<2 x>3

Câu 169: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối Biết tốc độ sinh trưởng khu rừng 4% năm Hỏi sau năm, khu rừng có mét khối gỗ?

A 4.10 0,05 ( ).5( + )60

m B 4.10 10 0,05 ( ).5( + )5 m3

C 4.10 0,5 ( ).5( + )5

m D 4.10 0,05 ( ).5( + )5 m3

Câu 170: Hàm số x

y=x e− đồng biến khoảng ?

A (−∞;0 ) B ( )0; C (2;+∞) D (−∞ +∞; ) Câu 171: Gọi x x1; 2là hai nghiệm phương trình log23x+ log23x+ − =1 Tính P=x x1 .2

A

P= B P=3 C P=9 D P=1

Câu 172: Tập nghiệm S bất phương trình 2x +2x+1<6.

A S= −∞( ;1 ) B S= −∞( ;0 ) C S= −∞( ;2 ) D S= −∞( ;3 )

Câu 173: Giải bất phương trình 1

4

1

log log log log

1

x x

x x

 

− +

 

<  

 

+ −

   

A x∈ −∞ −( ; ) B x∈ −∞ − ∪ − +∞( ; 2) ( 1; )

C x∈ −∞ −( ; ) D x∈ − −( 2; )

Câu 174: Tìm tập nghiệm S bất phương trình

2

2 1

2 32

2

x x

+

+ −   + ≤

   

A S=[ ]2; B S=[0;+∞)

C S= −∞( ;2] [∪ 4;+∞) D S= −∞( ;0 ]

Câu 175: Tìm nghiệm phương trình log25( )1

x+ =

A x=6 B x=4 C 23

2

Câu 176: Tính giá trị biểu thức log 2sin2 log cos2

12 12

L=  π +  π 

   

A L= −2 B L=2 C L= −1 D L=1

Câu 177: Đặt a=log 27.12 Hãy tính log 16 theo 6 a

A log 16 12 6 = + a B log 166 15

2

− =

−

a

a C

12

log 16

3 + =

−

a

a D

12

log 16

3 − =

+

a a

Câu 178: Đặt a=log Tính log

64 theo a A log

64= + a B

log

64= − a C

log

64= − a D ( )

1

log

64= a− Câu 179: Cho a số thực dương tùy ý khác Mệnh đề ?

A 2

2

1

log

log

a

a

= B log2a=log 2.a C log2 log 2a

a= D log2a= −log 2.a Câu 180: Tìm tập nghiệm S phương trình 3 x2+1+2 x =3 x+1

A S={ }0;10 B S={ }0;3 C S={ }0;1 D S={ }0 Câu 181: Trong hàm số dướ đây, hàm số đồng biến khoảng (0;+∞)

A 2

3

log

y= x B 3

3

log

y= x C

3

log

y= π x D 1

2

log

y= x

Câu 182: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( ) ( )

2

2

1

log log 16

2 + +x − −x ≤

A S= −( 4;16 ] B S=[0;+∞) C S= −( 4;0 ] D S= −( 4;2 )

Câu 183: Tìm nghiệm phương trình 2 x+2−2 x+1= +12 2 x−1.

A x=7 B x=1;x=9 C x=9 D x=2

Câu 184: Tìm tập xác định D hàm số log63

x y

x

+ =

− A 2;1

3

D= − 

  B

2; .

D= − +∞ 

  C

2;1

D= − 

  D D=ℝ\ { } Câu 185: Tính đạo hàm hàm số 2 sinx

y= +

2

x=π

A ln

2

y′π =

  B

2

2

y′π =

  C

2

2 ln 2

y′π =

  D y

π

 

′ =

  Câu 186: Đặt a=log 124 Biểu diễn log 16 theo 6 a

A log 166

a

=

− B

4

log 16

2a =

− C

8

log 16

1 a =

+ D ( )

1

log 16

4 2a

=

−

Câu 187: Xét hàm số =2 −2 −

x x

y Mệnh đề ?

A Hàm số đồng biến (0;+∞) B Hàm số đồng biến ℝ

C Hàm số nghịch biến ℝ D Hàm số nghịch biến (−∞;0 ) Câu 188: Tính giá trị biểu thức 2,4

0,1

3log 10

M =

A M = −72 B M =0,8 C M =7, D M = −7,

A m=81 B m= −4 C m=4 D m=44

Câu 190: Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y= x2+ −3 xlnx đoạn [ ]1;2

A M = 7;m=2 B M =2;m= ln 2.−

C M =2;m= −2 ln D M = ln 2;+ m=2

Câu 191: Tính H =43log 2log 58 + 16

A H =45 B H =16 C H =8 D H =25

Câu 192: Một người đầu tư 100 triệu đồng vào công ty theo thể thức lãi kép với lãi suất 13%/năm Hỏi sau năm rút lãi người thu tiền lãi L ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi

A L =100 0,013( + )5−100 (triệu đồng) B L=100 0,13( + )5 (triệu đồng) C L = +(1 0,13)5+100 (triệu đồng) D L =100 0,13( + )5−100 (triệu đồng) Câu 193: Tìm tập xác định D hàm số log5

2

x y

x − =

+

A D= −∞ − ∪( ; 2) 3;+∞) B D= −( 2;3 )

C D=ℝ\ { }− D D= −∞ − ∪( ; 2) (3;+∞)

Câu 194: Cho biểu thức 23

3

A= Tính log A

A log 1log

6

A= B log log

3

A= C log 1log

6

A= D log 1log

6

A=

Câu 195: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y=log(x2−2x m− +1) có tập xác định

ℝ

A m≥0 B m<0 C m≤2 D m>2

Câu 196: Tìm nghiệm phương trình ( )

2

log x+3log 2x − =1 A 1;

2

x= − x= − B x=2;x=4 C x= −2;x= −4 D 1;

2

x= x=

Câu 197: Cho biểu thức P=4 x x.3 x3, với x>0 Mệnh đề ? A

13 24.

P=x B

1 4.

P=x C

2 3.

P=x D

1 2.

P=x

Câu 198: Trong hàm số đây, hàm số nghịch biến tập xác định ?

A

3

x

y= + 

  B

1

3

x

y=  −

  C

1

x

y=  −

  D

1

3

x

y=  +

 

Câu 199: Cho ( ) ln2

f x = x Tính ( ).f e′

A f e( )

e

′ = B f e( )

e

′ = C f e( )

e

′ = D f e( )

e

′ =

Câu 200: Cho a>1 Mệnh đề sai ? A logax< 0< <x

B logax > x>1

C Đồ thị hàm số y = loga x có tiệm cận ngang trục hồnh

D Nếu x1<x2 logax1<logax2

Câu 201: Tìm tập xác định D hàm số ( ) ( )

2

1

log log 18

2

= + + − −

A D= −∞ − ∪( ; 2) [18;+∞) B D= −[ 2;18]

C D= − +∞( 2; ) D D= −( 2;18 ]

Câu 202: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 32( x− >1)

A S= −∞( ;3 ) B S=(3;+∞) C 10;

3

 

= +∞

 

S D 1;3

3

 

= 

 

S

Câu 203: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( )

2

log x <log x+6 A S= −( 2;3 \ ) { } B S= −( 2;3 )

C S= −( 3;2 \ ) { } D S= −∞ − ∪( ; 3) (2;+∞)

Câu 204: Biết log6 a =2.Tính K =log 6a

A K=4 B K =36 C K=6 D K =12

Câu 205: Tính đạo hàm hàm số 4x

x y= +

A 2( 2 1)ln x

x

y′ = − + B 2( 2 1)ln

2 x

x y′ = + +

C

1 2( 1)ln2 2x

x

y′ = − + D

1 2( 1)ln2 2x

x y′ = + +

Câu 206: Cho bất phương trình 3.4x−5.2x + <1 0. Khi đặt =2x

t , ta phương trình ?

A t2− + <t 1 0. B 5t2− + <3t 1 0. C t2− <t 0. D 3t2− + <5t 1 0.

Câu 207: Mệnh đề sai ? A Hàm số x,( 0, 1)

y=a a> a≠ có đạo hàm điểm x ( )x xln

a ′ =a a

B Đồ thị hàm số x,( 0, 1)

y=a a> a≠ qua điểm ( )0;1 ( )1; a , nằm phía trục hồnh

C Hàm số x,( 0, 1)

y=a a> a≠ đồng biến tập xác định

D Hàm số x

y=x có đạo hàm điểm x ( )ex ′ =ex

Câu 208: Xét hàm số y=e2xsin x Mệnh đề ?

A / / /−4 /+29 =0.

y y y B / /−4 /+29 =0.

y y y C / / /+4 /+29 =0.

y y y D / /+4 /+29 =0.

y y y

Câu 209: Giải phương trình log2x+log2(x− =6) log 7.2

A x= −1 B x=7 C x=1 D x= −7

Câu 210: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 1

3

3

log

2

x x+− <

A ;5

S = −∞ 

  B

1 ;

S= 

 

C ( ; 2) 5;

S = −∞ − ∪ 

  D

5

( ; 2) ;

8

S = −∞ − ∪ +∞

 

Câu 211: Tìm tập nghiệm S bất phương trình

+ + >

1 2

3 log log

2

0,3

x x

A = 

 

2 0;

3

S B = 

 

3 0;

2

S C = 

 

3 0;

2

S D S=( )2;3

Câu 212: Hỏi có giá trị m nguyên đoạn −2017;2017 để phương trình log( ) log(mx = x+1) có nghiệm ?

Câu 213: Giải phương trình log log4( 2x)+log log2( 4x)=2

A x=2 B x=8 C x=4 D x=16

Câu 214: Tìm tâp nghiệm S bất phương trình 2x+1≤4.

A S= −∞( ;1 ) B S= +∞[1; ) C S= −∞( ;1 ] D S= +∞(1; )

Câu 215: Tìm tập nghiệm S phương trình log (2 x− +1) log (2 x+ =1)

A S={ }3 B S={ }4 C S= −{ }3;3 D S= −{ 10; 10 } Câu 216: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

( )

3

1

log

y

x x m

=

− + xác định với

x

A

m> B

3

m< C

3

m≥ D 2;5

3

m∈ 

 

Câu 217: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 3(x− >2) log 23( x−1 )

A S=( )1;5 B S=(5;+∞)

C S= −∞ ∪( ;1) (5;+∞) D S=[5;+∞)

Câu 218: Cho hàm số y ln ,x x

= mệnh đề ? A 2y xy 12

x

′+ ′′= B y xy 2

x

′+ ′′= − C y xy 2

x

′+ ′′= D 2y xy 12

x

′+ ′′= −

Câu 219: Phương trình 2

2

log 4x−log 3x = có nghiệm ?

A nghiệm B vô nghiệm C nghiệm D nghiệm Câu 220: Tính đạo hàm hàm số: y= x

A .

y x

′ =

B

16 15

16

x y′ =

C 32 31

1 .

32

y

x

′ =

D 16 15 . 16

y

x

′ = Câu 221: Với a≠0,a≠ ±1 Tính

( )

3

1

2

2 2

1

a a

P

a a

a

−

− − −

 

 

= − 

− +

 

A P=2 B P=a C P=a D P=

Câu 222: Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số =2x

y đoạn [ ]−1;1

A M =1;m= −2 B M =1;m= −1 C M =2;m=1 D M =2;m= −2

Câu 223: Biết tỉ lệ lạm phát hàng năm quốc gia 10 năm qua 5% Hỏi năm 2010, giá loại hàng hóa quốc gia T (USD) sau n năm (0≤ ≤n 10) giá loại hàng hóa bao nhiêu?

A (1 0,05)n

+ (USD) B (1 0,05)n

T + (USD)

C (1 0,05)n

T + +n (USD) D 0,05.T (USD)

Câu 224: Cho ba số ln ,ln ,lna b c(a b c, , số dương khác 1) lập thành cấp số nhân Ta có: ln2b=ln ln a c log logax cx=log ,(2bx x>0)

Hãy chọn đáp án Đúng

A có B có C có D có

Câu 225: Cho biết năm 2010 Việt Nam có 89 000 000 người tỉ lệ tăng dân số 1,05% Hỏi năm 2050 Việt Nam có người, tỉ lệ tăng dân số hàng năm khơng đổi.(kết làm trịn số)

A 125454579(người) B 135454589(người) C 235454579(người) D 135454579(người) Câu 226: Bạn Bình gửi vào ngân hàng với số tiền triệu đồng khơng kì hạn với lãi suất 0,65% Tính số tiền bạn Bình nhận sau năm

A 1168236,313(đồng) B 2168236,313(đồng) C 1368236,313 (đồng) D 2268236,313 (đồng)

Câu 227: Đầu năm 2016, ông A thành lập công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm 2016 tỷ đồng Biết sau năm tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên năm tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm năm tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm lớn tỷ đồng ?

A Năm 2023 B Năm 2020 C Năm 2021 D Năm 2022 Câu 228: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 3x =m có nghiệm thực

A m≥0 B m≥1 C m≠0 D m>0

Câu 229: Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng vay ngân hàng theo phương án trả góp Nếu anh A muốn trả hết nợ vòng năm trả lãi với mức 6%/năm tháng anh phải trả tiền(làm trịn đến nghìn đồng)

A 3.935.000 đồng B 6.935.000 đồng C 5.935.000 đồng D 4.935.000 đồng Câu 230: Tìm nghiệm phương trình log2(x− +3) 2log 3.log4 3x=2

A x=2 B x=4 C x=0 D x= −1

Câu 231: Số nghiệm phương trình 22x2− +7x =1.

A B C D

Câu 232: Cho a số thực dương khác Tính log

a

I = a

A I = −2 B

I = C I=2 D I=0

Câu 233: Cho phương trình 4x +2x+1− =3 0. Khi đặt t=2x, ta phương trình ?

A t2+ − =t 3 0. B 2t2− =3 0. C t2+ − =2 0.t D 4 0.t− =

Câu 234: Tìm nghiệm phương trình log2( )x− −1 log 34( x− + =2)

A x=3 B x=2 C x=4 D x=1

Câu 235: Tính đạo hàm hàm số f x( ) ln= x2+1.

A ( ) 21

f x x

′ =

+ B ( ) 1

x f x

x

′ =

+ C ( ) 2( 1)

x f x

x

′ =

+ D ( ) 1

x f x

x

′ =

+ Câu 236: Biết p=7log 32

2

log 12

2

q

−

 

= 

  Mệnh đề ?

A p>1 q>1 B p<1và q>1 C p>1 q<1 D p<1 q<1

Câu 237: Tính đạo hàm hàm số ln( 1 2)

y= x+ +x x=0

A (0) 2.y′ = B (0) 1.y′ = C (0) 4.y′ = D (0)

2

y′ =

Câu 238: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 9x −2.3x+1+ =m 0 có hai nghiệm thực 1,

x x thỏa mãn x1+x2 =1

Câu 239: Cho logax=3,logbx=4với a b, số thực lớn Tính P=logabx A

12

P= B P=12 C 12

7

P= D

12

P=

Câu 240: Giá trị biểu thức

11 16

: ,

H = a a a a a a>

A

3 4.

H =a B

1 2.

H =a C H =a D

1 4.

H =a

Câu 241: Tìm tập nghiệm S bất phương trình

1 4

1

1

2

x−

   

<

   

   

A 5;

S = +∞

  B

5 ;

4

S= −∞ 

 

C ( ;1) 5;

S = −∞ ∪ +∞

  D

5 1;

4

S = 

 

Câu 242: Giải bất phương trình 3 1

3

log (x− −3) log (x− ≤5)

A 5< <x B 6≤ <x C 5≤ <x D 5< ≤x

Câu 243: Tìm nghiệm phương trình log4(x− =1)

A x=64 B x=65 C x=63 D x=80

Câu 244: Giá trị biểu thức log3 ( ) ( )

, 0,

a a a

a+ a> a≠

A 1

2 B a C

3 2.

a D

11 2.

a

Câu 245: Cho logab=2 logac=3 Tính P=loga( )b c2

A P=30 B P=31 C P=13 D P=108 Câu 246: Biết

3

3

a >a log log

4

b < b Mệnh đề ?

A a>1 b>1 B 0< <a 0< <b

C 0< <a b>1 D 0< <b a>1

Câu 247: Tính đạo hàm hàm số 1x cos

y=e + x

A 1x (3cos 2 2sin )

y′ =e + x+ x B 1x (3cos 2sin )

y′ =e + x− x

C 3 1x (cos 2 sin )

y′ = e + x− x D y′ =e3 1x+ (2cos 2x−3sin x)

Câu 248: Số lượng vi A phịng thí nghiệm tính theo cơng thức s t( )=S(0).2 ,t

đó S(0)là số lượng vi A lúc ban đầu, s t số lượng vi khuẩn A sau t phút Biết sau phút số ( ) lượng vi khuẩn A 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu ?

A 48 phút B 12 phút C 19 phút D phút Câu 249: Giải phương trình (2+ 3) (x+ −2 3)x =4

A x= ± B x= ±1 C x= ±2 D x= ±

Câu 250: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 3( − +) 1( + ≤)

3

2 log 4x log 2x

A = +∞

 

4; .

S B = 

 

3;3

S C = − 

 

8 3; .

S D = − 

 

8;3

S

Câu 251: Tìm tập xác định D hàm số =log( 2−3 +2 )

A D=( )1;2 B D=ℝ\ 1;2 { }

C D= −∞ ∪( ;1) (2;+∞) D D=ℝ

Câu 252: Mệnh đề sai ?

A Hàm số y=log ,ax a( >0,a≠1) nghịch biến tập xác định

B Hàm số y=log ,ax a( >0,a≠1)có đạo hàm điểm x>0 (log )

ln

ax

x a

′ = C Hàm số y=log ,ax a( >0,a≠1) có tập xác định (0;+∞)

D Đồ thị hàm số y=log ,ax a( >0,a≠1)đi qua điểm ( )1;0 ( )a;1 , nằm phía bên phải trục tung

Câu 253: Đặt a=log 5.Tính log

64 theo a A log 1

64= − a B ( )

1

log

64= a− C

1

log

64= − a D

log

64= + a Câu 254: Giải bất phương trình 1

3 27

x

  <  

 

A x>3 B x> −3 C x<3 D x< −3

Câu 255: Tìm tập nghiệm S phương trình log (23 x+ −1) log (3 x− =1)

A S= −{ }2 B S={ }3 C S={ }1 D S={ }4 Câu 256: Rút gọn biểu thức

5 3 :

Q=b b với b>0

A

5 9.

Q=b B 2.

Q=b C

4 3.

Q=b D

4 3.

Q=b−

Câu 257: Cho a số thực dương Tính

4

3 3

1

4 4

a a a P

a a a

−

−

 

+

 

 

=

 

+

 

 

A P=2 a B P=a C P=a2 D P=1

Câu 258: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log22x−2 log2x+3m− <2 có nghiệm thực

A m<1 B

m< C m<0 D m≤1

Câu 259: Gọi x x hai nghiệm phương trình 1; 2 32x−(2x+9 3) x+9.2x =0 TínhS = +x1 x2

A

S = B S=2 C S= −2 D S=3

Câu 260: Tìm nghiệm phương trình log 12( )−x =2

A x=3 B x=5 C x= −3 D x= −4 Câu 261: Tính Q=alog a4 với a>0 a≠1

A 16

Q= B

2

Q= C Q=2 D Q=16

Câu 262: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 9x− − <3x

Câu 263: Với 0< ≠a Tính

3 2

15

loga a a a

K

a

 

=  

 

 

A K=3 B K =2 C 12

5

K = D

5

K =

Câu 264: Tìm tập xác định D hàm số y= −( )x 13

A D=ℝ\ { } B D=(1;+∞) C D=ℝ D D= −∞( ;1 )

Câu 265: Tìm tập xác định D hàm số y=log3(x2−4x+3 ) A D= −(2 2;1) (∪ 3;2+ ) B D=( )1;3

C D= −∞ −( ;2 2) (∪ +2 2;+∞) D D= −∞ ∪( ;1) (3;+∞)

Câu 266: Với a b x số thực dương thỏa mãn , , log2x =5log2a+3log ,2b mệnh đề ?

A x=3a+5 b B x=a b5 C x=5a+3 b D x= +a5 b3

Câu 267: Tính đạo hàm hàm số y=x(lnx−1 )

A y′ =ln x B y′ =xln x C y′ =lnx−1 D y 1 x

′ = −

Câu 268: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y=ln(x2−2x m+ +1) có tập xác định

ℝ

A m>0 B 0< <m C m=0 D m< −1hoặc m>0

Câu 269: Với số thực dương x y tùy ý, đặt , log3x=α,log3y=β Mệnh đề ? A

3

27

log

2

x

y α β

   

= +

   

   

 

B

3

27

log

2

x

y α β

 

= +

 

 

 

C

3 27

log

2

x

y α β

 

= −

 

 

 

D

3 27

log

2

x

y α β

   

= −

   

   

 

Câu 270: Tính giá trị biểu thức 2

2 3,75 60

log 240 log 15

log log log

P= − +

A P=3 B P= −8 C P=4 D P=1

Câu 271: Tập nghiệm S bất phương trình 5 1 0.

5

x+ − >

A S= −∞( ;2 ) B S=(1;+∞) C S= − +∞( 2; ) D S= −∞ −( ; )

Câu 272: Tính ( )

2

1 1

2 3

3

0,001 64

S= − − − − −

A 95

S =

B 95

16

S =

C 16

95

S=

D 95

S=

Câu 273: Tính giá trị biểu thức P= +(7 3) (2017 7− )2016

A P= +7 B P= −7 C P=1 D P= +(7 3)2016 Câu 274: Cho a số thực dương khác

3

log

a

A P=1 B P=3 C P=9 D

P=

Câu 275: Xét số thực dương a b thỏa mãn , log21 ab 2ab a b a b

− = + + −

+ Tìm giá trị nhỏ P min

của P= +a b

A min 10

P = − B min 10

2

P = − C min 10

2

P = − D min 11

2

P = −

Câu 276: Cho a số thực dương khác Tính

2

2

log

4

a

a I =  

 

A I = −2 B

I = C

2

I= − D I=2

Câu 277: Tìm tập xác định D hàm số : ( 4 3)2.

y= x − x+ −

A D=( )1;3 B D=ℝ

C D= −∞ ∪( ;1) (3;+∞) D D=ℝ\ 1;3 { }

Câu 278: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình 6x+ −(3 m)2x − =m 0 có nghiệm thuộc khoảng ( )0;1

A m∈3;4  B m∈( )2;4 C m∈( )3;4 D m∈2;4  Câu 279: Tìm tập xác định D hàm số ( )

2

log

y= x − x−

A D= −[ 1;3 ] B D= −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞)

C D=ℝ\{ }−1;3 D D= −∞ − ∪ +∞( ; 1] [3; )

Câu 280: Rút gọn biểu thức

1 3.

P=x x với x>0

A

1 8.

P=x B P=x2 C

2 9.

P=x D P= x

Câu 281: Với số thực dương ,a b Mệnh đề ? A ln( ) lnab = a+ln b B ln( ) ln ln ab = a b C ln ln

ln

a a

b= b D ln ln ln a

b a

b= −

Câu 282: Cho log2a=3,(a>0) Tính tổng 2 2 1 2

2

log log log log

S = a+ a + a− a

A S=5 B S=2 C S=6 D S=3

Câu 283: Cho ,a b số dương thỏa mãn a≠1,a≠ b logab= Tính log b

a

b P

a

=

A P= − −5 3 B P= − −1 C P= − +1 D P= − +5 3

Câu 284: Với số thực dương a b, Mệnh đề ? A

3

2 2

2

log log log

3

a

a b

b

 

= + −

 

  B

3

2 2

2

log a 3log a log b b

 

= + −

 

 

C

3

2 2

2

log a 3log a log b b

 

= + +

 

  D

3

2 2

2

log log log

3

a

a b

b

 

= + +

 

 

Câu 285: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 1 1

2

A 1;2

S= 

  B S=(2;+∞) C S= −∞( ;2 ) D S= −( )1;2 Câu 286: Tính đạo hàm hàm số y=ln 1( + x+1 )

A

(1 )

2 1

y

x x

′ =

+ + + B

1 .

1

y

x

′ =

+ +

C

( )

1 1

y

x x

′ =

+ + + D ( )

2 .

1 1

y

x x

′ =

+ + +

Câu 287: Cho ba số thực dương a b c, , khác Đồ thị hàm số y=a yx, =b yx, =cx cho

hình vẽ bên Mệnh đề ?

A b c a< < B a b c< <

C a c b< < D c a b< <

Câu 288: Tính giá trị biểu thức M =( )0,5 log 25 log 1, 2 + 2( )

A M =2 B M =1 C M =5 D M =3

Câu 289: Xét số thực ,a b thỏa mãn a b> >1.Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức

( )

2

loga 3logb

b

a

P a

b

 

= +  

 

A Pmin =19 B Pmin =15 C Pmin =13 D Pmin=14

Câu 290: Tìm tập xác định D hàm số y= log3( x2−3x+ + −2 x)

A D=[ ]1;2 B D=ℝ\ 1;2 { }

C D=( )1;2 D D= −∞( ;1∪2;+∞)

Câu 291: Giải bất phương trình 4x−2.52x <10x

A log51

x> B log51

2

x< C 5

2

1 log

2

x< D 5

2

1 log

2

x>

Câu 292: Cho số thực dương ,a b a≠1.Mệnh đề ? A 2( )

1

log log

2 a

a ab = + b B 2( )

1

log log

2 a

a ab = b

C 2( )

1

log log

4 a

a ab = b D loga2( )ab = +2 log ab

Câu 293: Tìm nghiệm phương trình 10log 8 5.

x

= +

A

x= B

2

x= C

2

x= D

4

x=

Câu 294: Tìm tất giá trị x để log 1log log log 2

ax= a − a + a , (a>0,a≠1 )

A

x= B

5

x= C

5

Câu 295: Cho hai số thực a b,với 1< <a b Mệnh đề ?

A logab< <1 log ba B log< ab<log ba C logba< <1 log ab D logba<logab<1

Câu 296: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ơng muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hồn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau thánh kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ơng A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng khơng thay đổi thời gian ơng A hồn nợ

A ( )

( )

3

3

120 1,12 1,12

m=

− (triệu đồng) B

( )3

100 1,01

m= (triệu đồng)

C 100.1,03

m= (triệu đồng) D ( )

( )

3

3

1,01 1,01

m=

− (triệu đồng) Câu 297: Tính đạo hàm hàm số 5cosx sinx.

y= +

A y′ =(cosx−sinx)ln B 5cosx sinx(sin cos )ln

y′ = + x− x

C 5cosx sinx(cos sin )ln 5.

y′ = + x− x D y′ =5cosx+sinx(cosx+sinx)ln

Câu 298: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 32.4x−18.2x+ <1

A S=( )1;6 B S= − −( 5; ) C S= −( 4;0 ) D S= −( 4;1 )

Câu 299: Tìm giá trị của biểu thức =log5 23

3

K

A log

K = B 1log

6

K = C

6

K = D K =6

Câu 300: Cho ( ) ln( 2 3)

f x = x + x− Tìm tất giá trị xđể f′( )x =0

A x∈∅ B x= −1 C x=3 x=1 D x=1

Câu 301: Tìm tập xác định D hàm số

10

1 .

= −

x

y

e e

A D=(0;+∞) B D=ℝ\ { } C D=[ln10;+∞) D D=(10;+∞)

Câu 302: Tìm tập xác định D hàm số 4

log

27

x x

y= π  − − 

 

A D= +∞(1; ) B D=[ ]1;3

C D= −∞ ∪( ;1) (3;+∞) D D=( )1;3

Câu 303: Cho hàm số f x( ) ln= (ex+ 1+e2x) Mệnh đề ?

A ( )ln 2 5

f′ = B ( )ln

5

f′ = C ( )ln 2

5

f′ = − D ( )ln

5

f′ =

Câu 304: Tìm tập xác định D hàm số y=(x2− −x )−3

A D=(0;+∞) B D=ℝ\ 1;2 { }−

C D=ℝ D D= −∞ − ∪( ; 1) (2;+∞)

Câu 305: Giải bất phương trình 1 ( ) 1 ( )

15 15

log x− +2 log 10−x ≥ −1

Câu 306: Biết logba= 3(b>0,b≠1,a>0) Tìm giá trị

3

log a

b

a P

b

= A P= − B

2

P= − C

3

P= − D

3

P= −

Câu 307: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình 4x−m.2x+1+2m=0 có hai

nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1+ =x2

A m=4 B =

m C m=3 D

2 =

m

Câu 308: Tìm tập xác định D hàm số ( )

1

4

= −

y x

A D= −[ 2;2 ] B D=ℝ\{−2;2 } C D= −∞ − ∪( ; 2) (2;+∞) D D= −( 2;2 )

Câu 309: Tìm tập xác định D hàm số

( )

2

1 .

log

− =

+

x y

x

A ( 1;0) 0;1

 

= − ∪ 

D B 1;1

3

 

= − 

D

C ;1 \{ }1

 

= −∞  −

D D D=(0;+∞)

Câu 310: Cho hai số thực a b, với 1 a b< < Mệnh đề ?

A logba< <1 log ab B logab< <1 log ba C logba<logab<1. D log< ab<log ba

Câu 311: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( ) ( )

2

2

1log 2 log 4 18 0.

2 + +x − −x ≤

A S= −( 2;2 ] B S= −( 2;18 ] C S= −( 2;4 ) D S= −[ 2;3 ]

Câu 312: Tìm tập xác định D hàm số 4x

y=

− A ;1

2

D= −∞ 

  B

1

;

2

D= +∞

  C D=ℝ D D=(2;+∞)

Câu 313: Tính đạo hàm hàm số 4x

x y= +

A ( )

1 ln 2x

x

y′ = − + B ( )

1 ln 2x

x y′ = + +

C 2( 2 ln 2) x

x

y′ = + + D 2( 2 ln 2)

2 x

x y′ = − +

Câu 314: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

2

1 ln

1

x mx y

x x

 − + 

=  − 

− +

  xác định ℝ A 1≤ <m B 2≤ <m 10 C 0

3

m

< < D m>1

Câu 315: Tìm tập xác định D hàm số =log 2− −12.

y x x

A D=ℝ\{−3;4 } B D=ℝ\ 4;( +∞)

MỘT SỐ CÂU TRONG KÌ THI THPT

Câu 1: Tìm tập nghiệm S phương trình ( )

log x − =1

A S= −{ 3;3} B S = −{ 10; 10 } C S={ }3 D S= −{ }3

Câu 2: Hàm số nghịch biến khoảng xác định ?

A 5.

y=x B y=log 3x C

x

y= D y=log0,5x

Câu 3: Cho n>1 số nguyên

2

1 .

log ! log ! logn !

H

n n n

= + + +

A H =n!. B H =1. C H =0. D H =n.

Câu 4: Xét hàm số log

a

y= x,y= −bx,y=cx có đồ thị hình vẽ đây, a,b,c

số thực dương khác Khẳng định sau ?

A log ( ) 1 log 2.

c a b+ > + c B logabc>0

C log 0.

a

b

c >

D log 0.

b

a c <

Câu 5: Tìm m để phương trình 4x 2 2x 2 3 0

m m

− − + = có hai nghiệm phân biệt?

A 1 3.

2

m

< < B m< −3 m>1. C m>0. D m>1.

Câu 6: Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình 9x 4.3x 2 0

m

− + − = có hai nghiệm

thực phân biệt

A 0< <m 6. B 3< <m 6. C 2< <m 6. D m<6.

Câu 7: Tích tất nghiệm thực phương trình ( )

2 3

log x−log log 81x x +log x =0

A 16. B 18. C −21. D 20.

Câu 8: Cho phương trình 32x+5 =3x+2+2 Khi đặt 3x

t= + , phương trình cho trở thành phương trình

nào phương trình đây?

A 3 2 0.

t − − =t B 81t2− − =3t C 27t2+ − =3t D 27t2− − =3t

Câu 9: Tìm tất giá trị m để hàm số ( )

log

y= − +x mx+ m+ xác định với x∈( )1;2

A 3.

4

m> B

4

m≥ C

3

m≥ − D

3

m< −

Câu 10: Cho hàm số ( x 1) 3

y= e + Giải phương trình y′ =144

A x=ln 2. B x=ln 3. C x=ln 47. D x=ln(4 1).−

Câu 11: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình

1

16x 4x 45

m + m

− + − = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử ?

A 4 B 3 C 6 D 13

Câu 12: Cho phương trình 2x log2( )

m x m

+ = − với m tham số Có giá trị nguyên

( 18;18)

m∈ − để phương trình cho có nghiệm ?

A 17 B 19 C 18 D 9

Câu 13: Tìm tập nghiệm S phương trình ( )

A S={ }4 B S = −{ 15; 15 } C S= −{ 4; } D S= −{ }4

Câu 14: Cho a b số thực dương Chọn khẳng định sai

A lnab=lna+ln b B loga logb log a b

− =

C ln ln3 2 ln 1ln

3

a + b = a+ b D log 10( ab)2= +2 loga+log b

Câu 15: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 1( ) 1

2

log x− ≥3 log

A S=[ ]3; B S=(3; ] C S= −∞( ; ] D S=[7;+ ∞)

Câu 16: Cho a>0,b>0 thỏa mãn 2

4

log a+ +b (16a + + +b 1) log ab+ (4a+5b+ =1) Tính S= +a b

A S=6. B 27.

4

S = C S=9 D 20

3

S=

Câu 17: Cường độ trận động đất M (độ Richte) cho công thức M =logA−logA0, với A biên độ chấn động tối đa A biên độ chuẩn(hằng số không đổi trận động đất) Vào tháng 0

2 năm 2010, trận động đất Chile có cường độ 8,8 độ Richte Biết rằng, trận động đất năm 2004 gây sóng thần Châu Á có biên độ rung chấn tối đa mạnh gấp 3,16 lần so với biên độ rung chấn tối đa trận động đất Chile, hỏi cường độ trận động đất Châu Á bao nhiêu?(kết làm tròn số đến hàng phần chục)

A 9,1 độ Richte B 9,2 độ Richte C 9,3 độ Richte D 9,4 độ Richte

Câu 18: Tìm số nghiệm thực phương trình 2 ( )2

2

log x −log 4x − =5

A 1 B 2 C 4 D 3

Câu 19: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình

5

log x−mlog x+ + =m có hai nghiệm thực

1

x , x2 thỏa mãn x x1 2=625

A m=3. B m= −1.

C m=4. D Khơng có giá trị m.

Câu 20: Cho hàm số y= f x( ) liên tục ℝ có đồ thị hình Biết trục hoành tiệm cận ngang đồ thị Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x( )=4m+2log4 có hai

nghiệm phân biệt dương

A 0< <m 1. B m<0

C m>1. D 0< <m 2.

Câu 21: Theo thống kê tổng cục dân số Việt Nam vào đầu năm 2003 dân số nước ta 80902400 người tỉ lệ tăng dân số 1,47% Biết tỉ lệ tăng dân số khơng thay đổi Nếu tính từ năm 2003 thời điểm gần để dân số nước ta vượt 100 triệu

A năm 2018 B năm 2019 C năm 2017 D năm 2020

Câu 22: Giải phương trình 22x+1=32.

A 3.

2

x= B

2

x= C x=3 D x=2

Câu 23: Cho phương trình 22x−5.2x+ =6 0 có hai nghiệm

1;

x x Tính P=x x1 .2

Câu 24: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ?

A 10 năm B 11 năm C 12 năm D 13 năm

Câu 25: Giải phương trình 7x =5. A x=log 7.5 B

7

x= C

5

x= D x=log 5.7

Câu 26: Tìm tập nghiệm S phương trình log 23( x+ =1)

A S={ }4 B .

2

S =  

  C

5

S=  

  D S= ∅

Câu 27: Giải phương trình 52x+1=125.

A 3.

2

x= B x=3 C

2

x= D x=1

Câu 28: Cho số thực ,a b thỏa mãn log0,2a>log0,2b Mệnh đề ?

A a> >b 0. B b> >a 0. C a> >b 1. D b> >a 1.

Câu 29: Tìm tập nghiệm S phương trình log2 1009.log 2017 0.

x− x + =

A {10;102017}.

S = B S={ }10 C S={10; 201710} D S={10;20170 }

Câu 30: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình

1

4x−m.2x+ +2m − =5 0 có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử ?

A 2 B 3 C 5 D 1

Câu 31: Tính đạo hàm hàm số .2 x

y=x

A 2 (1x ).

y′ = +x B y′ = +2x x2.2 x−1 C y′ =2 (1x +xln 2) D y′ =2 ln 2.x

Câu 32: Cho số thực dương ,x y thỏa mãn

6 2

5 .

4

y x

x− y   −

 

≥

   

    Tím giá trị nhỏ m

x y

A m=2. B m=4. C m=1. D m=3.

Câu 33: Với a số thực dương tùy ý, Tính H =log 3( )a

A H = +3 log 3a B H = −1 log 3a C H =3log 3a D H = +1 log 3a

Câu 34: Cho số thực , ,a b c thỏa mãn log 2 , log 3 .

a =b a =c Tính H = +(b c) log 6a

A H =1. B H =6. C H =7. D H =5.

Câu 35: Cho a>0,b>0 thỏa mãn log3a+ +2b 1(9a2+ + +b2 1) log6ab+1(3a+2b+ =1) Tính H = +a b

A 5.

2

H = B H =9 C H =6 D

2

H =

Câu 36: Cho phương trình 3x log3( )

m x m

+ = − với tham số Có giá trị nguyên

( 15;15)

m∈ − để phương trình cho có nghiệm?

A 9 B 14 C 15 D 16

Câu 37: Cho a, b, c>0 a≠1 Khẳng định sai ?

A log log log

a a a

b

b c

c

 

= −

 

  B loga(b c+ =) logab+log ac

C log c.

ab= ⇔ =c b a D loga( )bc =logab+log ac

Câu 38: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số ln

ln

m x y

x m

− =

− − nghịch biến ( )

2;

e +∞

Câu 39: Cho a>0, b>0 thỏa mãn ( 2 ) ( )

10 10

log a+ +b 25a + + +b log ab+ 10a+3b+ =1 Tính

2

S= +a b

A 5.

2

S = B S=22 C S=6 D 11

2

S =

Câu 40: Với a số thực dương tùy ý Tính K log3 .

a

 

=  

 

A

3

1 log

K

a

= B K = +1 log 3a C K = −1 log 3a D K = −3 log 3a

Câu 41: Cho phương trình 4x .2x 2 0

m + m

− + + = , m tham số Gọi S tập hợp giá trị m

cho phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Biết S khoảng có dạng ( )a b; , tính b a−

A b a− =4. B b a− =3. C b a− =1. D b a− =2.

Câu 42: Với a số thực dương tùy ý, H ln 7= ( )a −ln ( )a

A ln 7.

ln

H = B ( )

( )

ln ln

a H

a

= C H =ln ( )a D ln

3

H =

Câu 43: Tìm giá trị tham số m để phương trình 4x−m.2x+1+2m=0 có hai nghiệm

x , x2 thoả

mãn x1+ =x2

A m=2. B m=3. C m=4. D m=1.

Câu 44: Gọi S tập hợp nghiệm nguyên bất phương trình

2 3 10

2

1 3

3

x x

x

− − −

 

>  

  Tìm số phần tử

của S

A 3 B 1 C 7 D 9

Câu 45: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình

1

25x−m.5x+ +7m − =7 0 có hai nghiệm phân biệt Hỏi

S có phần tử ?

A 7. B 3. C 2. D 1.

Câu 46: Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số

2

2

4log x−2log x+3m− <2 0có nghiệm thực?

A 1 B Vô số C 0 D 2

Câu 47: Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 16x 2.12x ( 2 9) x 0

m

− + − =

có nghiệm dương?

A 4 B 3 C 2 D 1

Câu 48: Xét a, b số thực thỏa mãn ab>0 Khẳng định sau sai?

A 3 ab = 6ab. B 5ab =( )ab 51. C 6ab= 6a.6b. D 8( )ab =ab.

Câu 49: Biết S=[ ]a b; tập nghiệm bất phương trình 3.9x−10.3x+ ≤3 0 Tìm

T= −b a

A T=2. B T=1. C 10

3

T = D

3

T =

Câu 50: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 4x .2x 2 5 0

m + m

− + − = có hai

nghiệm phân biệt ?

A 5 B 1 C 2 D 4

Câu 51: Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất 7,5%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu ( số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ?

Câu 52: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2

3

log x+ log x+ −1 2m− =1 có nghiệm đoạn 1;3 3.

 

A m∈ −∞( ;0) (∪ 2;+∞). B m∈[ ]0;

C m∈( )0;2 D m∈ −∞ ∪ +∞( ;0] [2; ).

Câu 53: Cho hàm số y=ax, log , log

b c

y= x y= x có đồ thị hình vẽ

Mệnh đề ?

A b> >c a. B b> >a c. C a> >b c. D c> >b a.

Câu 54: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y ln( 1) 1

x mx

= + − + đồng biến

trên khoảng (−∞ +∞; )

A (−∞ −; ) B (−1;1 ) C [ ]−1;1 D (−∞ −; ] Câu 55: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình

3

log x−3log x+2m− =7 có hai nghiệm thực x x thỏa mãn 1; 2 (x1+3)(x2+ =3) 72

A 9.

2

m= B 61

2

m= C

2

m= ± D m=3

Câu 56: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số ( )

2

log 4x 2x

y= − +m có tập xác định ℝ

A m>0. B 1.

4

m> C

4

m≥ D

4

m<

Câu 57: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7, 2% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người đo thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất khơng thay đổi người khơng rút tiền ra?

A 12 năm B 10 năm C 9 năm D 11 năm

Câu 58: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình ( )

3

log x− m+2 log x+3m− =1 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x x1 2=27

A m=1. B m= −1. C m= −2. D m=2.

Câu 59: Số giá trị nguyên m để phương trình 4x 2x 1

m

+

− + = có hai nghiệm phân biệt

A 17. B 16. C 14. D 15.

Câu 60: Đường cong hình sau đồ thị hàm số

A y=( )2 x B y=log 2( )x

C y=2 x D 1.

2

Câu 61: Cho phương trình 7x log (7 )

m x m

+ = − với m tham số Có giá trị nguyên ( 25; 25)

m∈ − để phương trình ch có nghiệm ?

A 9 B 24 C 26 D 25

Câu 62: Cho a, b, c dương khác Đồ thị hàm số y=logax, y=logbx, y=logcx hình

vẽ

Mệnh đề đúng?

A a> >b c. B c> >b a

C a> >c b. D b> >c a

Câu 63: Gọi x x hai nghiệm phân biệt phương trình 1, 2 4x−2x+3+15 0.= Tính

1

S = +x x

A S =log 15.2 B S =log log 2.3 + 5 C log23

5

S= D S=3

Câu 64: Với a số thực dương tùy ý Tính P=ln(5 ) ln(3 ).a − a

A P=ln(2 ).a B ln(5 ).

ln(3 )

a P

a

= C ln 5.

ln

P= D ln

3

P=

Câu 65: Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m cho phương trình

1

9x−m.3x+ +3m −75 0= có hai nghiệm phân biệt Hỏi

S có phần tử ?

A 8. B 5. C 19. D 4.

Câu 66: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 4x .2x 3 2 0

m + m

− + − ≤ có nghiệm

thực

A m≤3. B m≥1. C m≤5. D m≥2.

Câu 67: Một khu rừng ban đầu có trữ lượng gỗ 4.10 mét khối gỗ Gọi tốc độ sinh trưởng năm 5

của khu rừng a% Biết sau năm năm sản lượng gỗ xấp xỉ 4,8666.10 mét khối Giá trị a

xấp xỉ:

A 4%. B 3,5% C 4,5% D 5%.

Câu 68: Tìm giá trị tham số m để phương trình 4x−m.2x+1+2m=0 có hai nghiệm

x , x thoả mãn 2

1

x + =x

A m=4. B m=1 C m=2 D m=3

Câu 69: Cho a≥ >b 1 Tìm giá trị lớn biểu thức

2

loga logb

a b

S

b a

   

=  +  

   

A 0 B −2. C 2 D 3

Câu 70: CHo hàm số y=log 2x Mệnh đề ?

A xy′ =1. B xy′ =ln 2. C xy′ =0. D xy′ =log 2e

Câu 71: Cho hàm số ( ) e

x

f x = x − , với x≥0 Mệnh đề đúng?

A

[0; ) ( )

1

max f x

e

+∞ = B [0; ) ( )

max f x

e

+∞ = − C [0; ) ( )

max

2

f x e

+∞ = D [0; ) ( )

1

max

2

f x

e

+∞ = −

Câu 72: Cho hàm số ( ) ( )

3

2 2

2

f x = x + −x Tính f( )1

A f( )1 =39. B f( )1 =3 3. C ( )1 2.

3

f = D f( )1 =6

Câu 73: Sự tăng dân số tính theo cơng thức

n r n

tính, Pn dân số sau n năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm Biết năm 2016, dân số Việt Nam đạt

khoảng 92695100 người tỉ lệ tăng dân số 1,07% (theo tổng cục thống kê) Nếu tỉ lệ tăng dân số không thay đổi đến năm dân số nước ta đạt khoảng 103163500 người ?

A 2018. B 2024. C 2036. D 2026.

Câu 74: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log2 2019log 2018 0.

x− x+ ≤

A S =(10;102018). B S=[1; 2018 ] C S=10;102018.

  D S =10;102018) Câu 75: Cho phương trình ( ) ( )

2

log 5x−1 log 2.5x− =2 m Hỏi có giá trị nguyên

m để

phương trình có nghiệm thuộc đoạn [1;log 95 ]?

A 4 B 5 C 2 D 3

Câu 76: Cho hai số thực dương a, b a≠1 Mệnh đề đúng?

A log b b

aa =a B

logab .

a =b C loga( )ab =log ab D loga= −log 10.a

Câu 77: Hình vẽ vẽ đồ thị 3 hàm số mũ

Khẳng định ?

A a> >b c. B a> > >c 1 b. C b> > >c 1 a. D b> >a c.

Câu 78: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,5% quý (mỗi quý tháng) Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau quý số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho quý Hỏi sau q người nhận số tiền nhiều 130 triệu đồng bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi người khơng rút tiền

A 18 quý B 16 quý C 19 quý D 17 quý

Câu 79: Biết phương trình

2

log x−mlog x+2m− =6 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x x1 2=16 Mệnh

đề đúng?

A − < ≤2 m 3. B m≤ −1. C m≥4. D 0≤ <m 3.

Câu 80: Cho a, b, c số thực dương khác Hình vẽ bên đồ thị ba hàm số y=logax,

logb

y= x, y=logc x

1

y=logcx

y=logbx

y=logax

y

x O

Khẳng định sau đúng?

A b< <c a. B c< <a b. C a< <b c. D b< <a c.

Câu 81: Cho số thực dương a, b với a≠1 log 0

ab> Khẳng định sau đúng?

A , .

0

a b

a b

< <

 

< < <

 B

0 ,

1 ,

a b a b

< <

 

<

 C

0

1 ,

b a

a b

< < < 

 <

 D

0 ,

0

a b

b a

< <

 

< < < 

Câu 82: Cho a>0, b>0 thỏa mãn ( 2 ) ( )

2

log a+ +b 4a + + +b log ab+ 2a+2b+ =1 Tính S= +a b

A S=5. B 15.

4

S = C

2

Câu 83: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=ln(x2− +x 1) điểm có hồnh độ 1

x=

A y= −x 1. B y= +x 1. C y= + −x 1 ln 3. D y= − +x 1 ln 3.

Câu 84: Xét bất phương trình 52x−3.5x+2+32 0< Nếu đặt 5x

t= bất phương trình trở thành bất

phương trình sau đây?

A t2− +3t 32 0.< B t2−16t+32 0.< C t2− +6t 32 0.< D t2−75t+32 0.<

Câu 85: Cho a số thực dương bất kì, mệnh đề đúng?

A log3 1log

3

a = a B log3a= 3log a

C log3 log log 1

3

a = a D log3 log

3

a =a

Câu 86: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình( −5 9) x+(2 −2 6) x+ −(1 )4x =0

m m m có hai nghiệm phân biệt?

A 1 B 4 C 3 D 2

Câu 87: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x.log (2 x− + =1) m m.log (2 x− +1) x có hai nghiệm thực phân biệt

A m>1 m≠3. B m≤ −1. C 1< <m 3. D m>1 m≠2.

Câu 88: Cho phương trình 5x+ =m log (5 x−m) với m tham số Có giá trị nguyên

( 20; 20)

m∈ − để phương trình cho có nghiệm ?

A 21 B 9 C 19 D 20

Câu 89: Cho hai đường cong ( )C1 :y=3 3x( x− + +m 2) m2−3m ( )

2

C :y= +3x 1 Tìm giá trị tham

số m để ( )C1 ( )C2 tiếp xúc với

A 10.

3

m= − B

3

m= − C 10

3

m= + D

3

m= +

Câu 90: Tập nghiệm S bất phương trình log2(x− <1) 3

A S =(1;10 ) B S =( )1;9 C S= −∞( ;10 ) D S = −∞( ;9 )

Câu 91: Cho a số thực dương khác Tính log ( 4. )

a

S = a a

A 13.

4

S = B S=7 C S=12 D

4

S=

Câu 92: Có giá trị nguyên tham số thực m để phương trình 9x 4.3x 2 0

m

− + − = có hai

nghiệm thực phân biệt

A 4 B 5 C 2 D 3

Câu 93: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1 %/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra?

A 13 năm B 12 năm C 10 năm D 11 năm

Câu 94: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình 6x+ −(3 m)2x − =m 0 có

nghiệm thuộc khoảng ( )0;1

A m∈( )3;4 B m∈( )2;4 C m∈3;4  D m∈2;4  Câu 95: Cho

3

log a=2 log2

b= Tính 3 3 1

4

2 log log (3 ) log

I =  a + b

A 3.

2

I = B I =4 C 5.

4

Câu 96: Tập nghiệm S bất phương trình 5 1 0.

5

x+ − >

A S=(1;+∞). B S= − +∞( 2; ). C S= −∞( ;2 ) D S= −∞ −( ; )

Câu 97: Tính đạo hàm hàm số 1. 4x

x y= +

A 2( 21)ln2

2x

x

y′ = + + B

2

1 2( 1)ln x

x

y′ = + + C 2( 21)ln

2x

x

y′ = − + D

2

1 2( 1)ln x

x y′ = − +

Câu 98: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log22x−2log2x+3m− <2 có nghiệm thực

A m<1 B m≤1 C m<0 D

3

m<

Câu 99: Đầu năm 2016, ông A thành lập công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm 2016 tỷ đồng Biết sau năm tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên năm tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm năm tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm lớn tỷ đồng ?

A Năm 2022 B Năm 2020 C Năm 2023 D Năm 2021

Câu 100: Cho dãy số ( )

n

u thỏa mãn logu1+ log+ u1−2logu10 =2logu10 un+1=2un với n≥1 Tìm

giá trị nhỏ n để 5 100

n

u >

A 248. B 249. C 229. D 290.

Câu 101: Cho hàm số f x( ) = x x2 Mệnh đề sai ? A ( ) 1 ln 2 2ln 0.

f x < ⇔x +x < B f x( ) 1< ⇔ +1 xlog 0.2 <

C f x( ) 1< ⇔ +x x2log 0.2 < D f x( ) 1< ⇔xlog 27 +x2<0

Câu 102: Với số thực dương a bthỏa mãn a2+b2 =8 ,ab mệnh đề ?

A log(a b+ )= +1 loga+log b B log( ) (1 log log )

2

a b+ = + a+ b

C log( ) (1 log log )

2

a b+ = a+ b D log( ) log log

2

a b+ = + a+ b

Câu 103: Cho a số thực dương tùy ý khác Mệnh đề ?

A log2 .

log 2a

a= B log2 log 2.

a

a= C 2

2

1

log

log

a

a

= D log2 log 2.

a

a= −

Câu 104: Tìm nghiệm phương trình 2 1.

8

− =

x

A x= −1. B x= −2 C x=3 D x=4

Câu 105: Cho a số thực dương khác log3 3.

a

P= a Mệnh đề ?

A 1.

3

P= B P=3. C P=1. D P=9.

Câu 106: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( ) ( )

2

2

1

log log 18

2 + +x − −x ≤

A S= −[ 2;3 ] B S= −( 2;4 ) C S= −( 2;18 ] D S= −( 2;2 ]

Câu 107: Cho phương trình 4x +2x+1− =3 0. Khi đặt t=2x, ta phương trình ? A 4 0.t− = B t2+ − =t C 2t2− =3 D t2+ − =2 0.t

Câu 108: Cho log 3,log 4

A P=12. B 12.

7

P= C .

12

P= D 7.

12

P=

Câu 109: Xét số thực dương a b thỏa mãn ,

2

1

log ab 2ab a b

a b

− = + + −

+ Tìm giá trị nhỏ P min

của P= +a b

A

min 11 2

P = − B

min 10 5.2

P = − C

min 10 3.2

P = − D

min 10 1.2

P = −

Câu 110: Tìm nghiệm phương trình log2(x− =5) 4.

A x=3 B x=21 C x=13 D x=11

Câu 111: Đặt a=log 27.12 Hãy tính log 16 theo 6 a

A log 16 12 6 = + a B log 166 15.

2

− =

−

a a

C log 166 12 .

3 + =

−

a a

D log 166 12 .

3 − =

+

a a

Câu 112: Cho a số thực dương khác Tính log .

a

I = a

A

2

I = B I =2 C I=0 D I= −2

Câu 113: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 32.4x−18.2x+ <1

A S= − −( 5; ) B S= −( 4;1 ) C S= −( 4;0 ) D S=( )1;6

Câu 114: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 3x =m có nghiệm thực

A m≥0 B m>0 C m≥1 D m≠0

Câu 115: Tính đạo hàm hàm số y=ln 1( + x+1 )

A .

1

y

x

′ =

+ + B ( )

1 .

2 1

y

x x

′ =

+ + +

C

( )

1 1

y

x x

′ =

+ + + D ( )

1 .

1 1

y

x x

′ =

+ + +

Câu 116: Cho a số thực dương khác Tính

2

2

log

4

a

a I =  

 

A I = −2 B

2

I = − C I=2 D

2

I=

Câu 117: Tìm tập xác định D hàm số log5

x y

x

− =

+

A D=ℝ\ { }− B D= −( )2;3

C D= −∞ − ∪( ; 2) 3;+∞). D D= −∞ − ∪( ; 2) (3;+∞).

Câu 118: Rút gọn biểu thức

5 3 :

Q=b b với b>0

A

4 3.

Q=b− B Q=b2. C Q=b59. D 3.

Q=b

Câu 119: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y=log(x2−2x m− +1) có tập xác định

ℝ

A m<0. B m≥0. C m≤2. D m>2.

A S= −{ }2 B S={ }1 C S={ }3 D S={ }4

Câu 121: Tìm tập xác định D hàm số ( )

1

1

y= x−

A D=ℝ. B D=(1;+∞). C D= −∞( ;1 ) D D=ℝ\ { }

Câu 122: Xét hàm số

2

9 ( )

9

t t

f t

m

=

+ với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m cho f x( )+ f y( ) 1= với số thực x y thỏa mãn , ex y+ ≤e x( +y). Tìm số phần tử S

A Vô số B 1 C 0 D 2

Câu 123: Với số thực dương a b, Mệnh đề ?

A ln( ) lnab = a+ln b B ln( ) ln ln ab = a b C ln ln .

ln

a a

b = b D ln ln ln a

b a b = −

Câu 124: Cho ,a b số dương thỏa mãn a≠1,a≠ b log 3.

ab= Tính log b a

b P

a

=

A P= − +1 B P= − +5 3 C P= − −1 D P= − −5 3

Câu 125: Tìm tập xác định D hàm số

( )

2

1

log

− =

+

x y

x

A ( 1;0) 0;1 .

3

 

= − ∪ 

 

D B 1;1

3

 

= − 

 

D

C ;1 \{ }1

3

 

= −∞  −

 

D D D=(0;+∞)

Câu 126: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 9x −2.3x+1+ =m 0 có hai nghiệm thực 1,

x x thỏa mãn x1+x2 =1

A m=1. B m= −3. C m=6. D m=3.

Câu 127: Tìm tập xác định D hàm số y=log3(x2−4x+3 )

A D=( )1;3 B D= −∞ ∪( ;1) (3;+∞).

C D= −∞ −( ;2 2) (∪ +2 2;+∞). D D= −(2 2;1) (∪ 3;2+ 2 )

Câu 128: Cho a số thực dương khác Mệnh đề với số thực dương x y , ?

A log log log

a a a

x

x y

y= + B loga loga log a

x

x y

y = −

C log log .

loga

a

a

x x

y= y D loga log (a )

x

x y

y= −

Câu 129: Tìm tập xác định D hàm số y=ln(− +x2 5x−6 )

A D= −∞( ;2) (∪ 3;+∞) B D=( )2;3

C D= −∞( ;2] [∪ +∞3; ). D D=[ ]2;3

Câu 130: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y=ln(x2−2x m+ +1) có tập xác định

ℝ

A m< −1hoặc m>0 B 0< <m C m=0 D m>0

Câu 131: Cho log 2

ab= logac=3 Tính ( )

2

loga

P= b c

Câu 132: Tìm tập xác định D hàm số ( )

1

4

= −

y x

A D=ℝ\{−2;2 } B D= −[ 2;2 ]

C D= −( 2; ) D D= −∞ − ∪( ; 2) (2;+∞)

Câu 133: Với số thực dương x y tùy ý, đặt , log3x=α,log3y=β. Mệnh đề ?

A

3

27

log

2

x

y α β

   

= +

   

   

 

B

3

27

log

2

x

y α β

 

= +

 

 

 

C

3

27

log

2

x

y α β

 

= −

 

 

 

D

3

27

log

2

x

y α β

   

= −

   

   

 

Câu 134: Tính đọa hàm hàm số y=log x

A y

x

′ = B

ln10

y x

′ = C

10 ln

y

x

′ = D y ln10

x

′ = Câu 135: Tìm nghiệm phương trình ( )

25

1

log

2

x+ =

A x= −6 B 23

2

x= C x=6 D x=4

Câu 136: Tìm nghiệm phương trình ( )

2

log 1−x =2

A x=3 B x=5 C x= −3 D x= −4

Câu 137: Cho hàm số f x( )=xln x Đồ thị đồ thị hàm số y= f x′( ).

A B C D

Câu 138: Tìm tập nghiệm S phương trình

2

log (x− +1) log (x+ =1)

A S={ }3 B S={ }4 C S= −{ }3;3 D S= −{ 10; 10 }

Câu 139: Cho hai hàm số y=a yx, =bx với a b, là hai số thực dương khác 1, có đồ thị ( )

1

C

( )C2 hình bên Mệnh đề ?

A 0< < <a 1 b. B 0< < <b 1 a. C 0< < <a b D 0< < <b a

Câu 140: Tìm tập xác định D hàm số ( 2 )

y= x − −x −

A D=ℝ. B D= −∞ − ∪( ; 1) (2;+∞).

Câu 141: Hỏi có giá trị m nguyên đoạn −2017;2017 để phương trình log(mx) log(= x+1) có nghiệm ?

A 2018 B 2017 C 4014 D 4015

Câu 142: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình

3

log x m− log x+2m− =7 có hai nghiệm thực x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 =81

A m=4 B m=81 C m= −4 D m=44

Câu 143: Với số thực dương ,a b Mệnh đề ?

A

3

2 2

2

log a 3log a log b b

 

= + −

 

 

B

3

2 2

2

log log log

3

a

a b

b

 

= + −

 

 

C

3

2 2

2

log a 3log a log b b

 

= + +

 

 

D

3

2 2

2

log log log

3

a

a b

b

 

= + +

 

 

Câu 144: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ơng muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau thánh kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ông A hoàn nợ

A ( )

3

100 1,01

m= (triệu đồng) B ( )

( )

3

3

1,01 1,01

m=

− (triệu đồng)

C 100.1,03

3

m= (triệu đồng) D ( )

( )

3

3

120 1,12 1,12

m=

− (triệu đồng) Câu 145: Cho biểu thức P=4 x x.3 2. x3, với x>0 Mệnh đề ?

A

1 4.

P=x B

1 2.

P=x C

13 24.

P=x D

2 3.

P=x

Câu 146: Tính giá trị biểu thức P= +(7 3) (2017 4 7− )2016.

A P= +7 B P= +(7 3)2016. C P=1 D P= −7

Câu 147: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 1 1

2

log (x+ <1) log (2x−1)

A 1;2

2

S= 

 

B S=(2;+∞). C S= −∞( ;2 ) D S= −( )1;2

Câu 148: Hỏi phương trình 3 6 ln( 1) 03

x − x+ x+ + = có nghiệm phân biệt ?

A 4 B 1 C 2 D 3

Câu 149: Cho ba số thực dương , ,a b c khác Đồ thị hàm số y=a yx, =b yx, =cx cho

hình vẽ bên Mệnh đề ?

Câu 150: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log22x−5log2x+ ≥4

A S=(0;2∪16;+∞). B S= −∞ ∪ ;1) 4;+∞).

C S= −∞( ;2∪16;+∞). D S=2;16 

Câu 151: Với ,a b số thực dương tùy ý a≠1, đặt log log 2

a a

P= b + b Mệnh đề ?

A 15log a

P= b B P=27log ab C P=6 log ab D P=9 log ab

Câu 152: Tính đạo hàm hàm số ( )

2

log

y= x+

A

(2 11 ln 2)

y x

′ =

+ B y′ =2x1 +1 C ( )

2 .

2 ln

y x

′ =

+ D y′ =2x2 +1

Câu 153: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( ) ( )

2

2

1

log log 16

2 + +x − −x ≤

A S= −( 4;2 ) B S= −( 4;16 ] C S= −( 4;0 ] D S=[0;+∞).

Câu 154: Cho hai số thực a ,b với 1< <a b. Mệnh đề ?

A 1 log log

ab ba

< < B log log 1.

ba< ab< C logba< <1 log ab D logab< <1 log ba

Câu 155: Cho số thực dương a b, a≠1.Mệnh đề ?

A log 2( ) 2 log a

a ab = + b B 2( )

1

log log

2 a

a ab = + b

C log 2( ) 1log

4 a

a ab = b D 2( )

1

log log

2 a

a ab = b

Câu 156: Đặt

2

log 3, log

a= b= Hãy tính log 45 theo 6 a b

A

6

2 log 45 a ab

ab b

+ =

+ B

2

2

log 45 a ab

ab

− =

C log 456 a 2ab

ab +

= D

2

2

log 45 a ab

ab b − =

+

Câu 157: Tìm tập xác định D hàm số

10

1 =

−

x

y

e e

A D=(0;+∞). B D=ℝ\ { } C D=[ln10;+∞). D D=(10;+∞).

Câu 158: Rút gọn biểu thức

1 3.

P=x x với x>0

A P= x B P=x2 C

1 8.

P= x D

2 9.

P=x

Câu 159: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình 4x−m.2x+1+2m=0 có hai

nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x1+ =x2

A m=3. B

2 =

m C m=4 D

2 =

m

Câu 160: Tìm tập nghiệm S phương trình 1

2

2

log (x− +1) log (x+ =1)

A S= +{ }2 5 B 13

2

S= + 

 

 

C S={2− 5;2+ 5 } D S={ }3

Câu 161: Cho bất phương trình 3.4x−5.2x + <1 0. Khi đặt =2x

A 3 2− + <5 1 0.

t t B t2− + <t C 5t2− + <3 0.t D t2− <t

Câu 162: Hàm số có đạo hàm ′ =3 ln ?x +

y x

A = +3x 7.

y x B y= +3x x C y=log3x+x7 D y=3 xx 7

Câu 163: Xét số nguyên dương a b, cho aln2x b+ lnx+ =5 0có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2 phương trình 5log2x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân biệt

3,

x x thỏa mản x x1 2 >x x3 4 Tìm giá trị nhỏ Smin S=2a+3 b

A Smin =30. B Smin =17. C Smin =25. D Smin =33.

Câu 164: Xét số thực ,a b thỏa mãn a> >b 1.Tìm giá trị nhỏ

min

P biểu thức

( )

2

loga 3logb

b

a

P a

b

 

= +  

 

A

min 13

P = B Pmin =19 C Pmin =14 D Pmin=15

Câu 165: Tính đạo hàm hàm số y=log 3x

A y′ =xln 3. B .

log ′ =

y x

C y′ =1.

x

D .

ln ′ =

y x

Câu 166: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 4x −2x+1+ =m 0 có hai nghiệm thực

phân biệt

A m∈(0;1  B m∈ −∞( ;1 ) C m∈(0;+∞). D m∈( )0;1

Câu 167: Cho x y số thực lớn thỏa mãn , 9 6

x + y = xy Tính 12 12

12

1 log log .

2 log ( )

x y

M

x y

+ +

=

+

A

2

M= B M =1 C

3

M= D

4

M =

Câu 168: Bất phương trình log 2( x2−11x+15 1)≤ có nghiệm nguyên ?

A 3 B 4 C 5 D Vơ số

Câu 169: Tìm tập nghiệm S bất phương trình

2

1

3 27

−

  <    

x

A S= − +∞( 1; ) B S= −∞ −( ; ) C S=(5;+∞) D S= −∞( ;5 )

Câu 170: Cho hàm số y ln ,x

x

= mệnh đề ?

A

2

1

2y xy

x

′+ ′′= B

2

1

y xy x

′+ ′′= C

2

1

y xy x

′+ ′′= − D

2

1

2y xy

x

′+ ′′= −

Câu 171: Tìm tập nghiệm S bất phương trình 22x <2 x+6

A S =(0;6). B S =(6;+∞). C S=(0;64). D S = −∞( ; 6).

Câu 172: Với a số thực dương bất kì, mệnh đề ?

A log(3 ) 1log

a = a B log(3 ) 3log a = a C log 1log

3

a = a D loga3=3log a

Câu 173: Tìm tập xác định D hàm số y=log2(x2−2x−3 )

A D= − 1;3  B D= −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞). C D= −∞( ;1∪3;+∞) D D= −( )1;3

A S={ }0 B S={ }0;1 C S={ }0;3 D S={ }0;10

Câu 175: Tìm tập xác định D hàm số ( ) ( )

2

2

1

log log 16

2

= + + − −

y x x

A D= − +∞( 4; ). B D= −[ 4;16]

C D= −( 4;16 ] D D= −∞ − ∪( ; 4) [16;+∞).

Câu 176: Với a b x, , số thực dương thỏa mãn log2x=5log2a+3log ,2b mệnh đề ?

A x=5a+3 b B x=3a+5 b C x=a b5 D x= +a5 b3

Câu 177: Tìm tập xác định D hàm số ( ) ( )

2

2

1log 2 log 4 18 .

2

= + + − −

y x x

A D= −[ 2;18] B D= − +∞( 2; )

C D= −( 2;18 ] D D= −∞ − ∪( ; 2) [18;+∞).

Câu 178: Xét số thực dươngx y thỏa mãn , log3

xy

xy x y x y

− = + + −

+ Tìm giá trị nhỏ P min

của P= +x y

A min 11 19

9

P = − B min 18 11 29

21

P = − C min 11

3

P = − D min 11 19

9

P = +

Câu 179: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 4% / tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng, người lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu lãi) gần với số tiền đây, khoảng thời gian người không rút tiền lãi suất không thay đổi ?

A 102, 016, 000 đồng B 102, 423,000 đồng C 102, 424, 000 đồng D 102, 017, 000 đồng

Câu 180: Tìm tổng S giá trị tất nghiệm phương trình log log log3 9 27 .log81 2.

x x x x=

A 82.

9

S = B 80

9

S = C S=9 D S=0

Câu 181: Số lượng vi A phịng thí nghiệm tính theo công thức s t( )=S(0).2 ,t

đó S(0)là số lượng vi A lúc ban đầu, s t( ) số lượng vi khuẩn A sau t phút Biết sau phút số lượng vi khuẩn A 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu ?

A 19 phút B 7 phút C 48 phút D 12 phút

Câu 182: Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng, bao gồm gốc lãi ? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi người khơng rút tiền

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN CHƯƠNG II

HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LƠGARIT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LƠGARIT -0O0 -

§1 LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A

B C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 A

B C D

§2 LƠGARIT

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A

B C D

41 42 43 44 A

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

§3 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LƠGARIT

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A

B C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 A

B C D

§4 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LƠGARIT

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A

B C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A

B C D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 A

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG II

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A

B C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A

B C D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A

B C D

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A

B C D 10

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 11

0 11

1 11

2 11

3 11

4 11

5 11

6 11

7 11

8 11

9 12

0 A

B C D

12 1

12 2

12 3

12 4

12 5

12 6

12 7

12 8

12 9

13 0

13 1

13 2

13 3

13 4

13 5

13 6

13 7

13 8

13 9

14 0 A

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

28 1

28 2

28 3

28 4

28 5

28 6

28 7

28 8

28 9

29 0

29 1

29 2

29 3

29 4

29 5

29 6

29 7

29 8

29 9

30 0 A

B C D

301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 A

B C D

MỘT SỐ CÂU TRONG KÌ THI THPT

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A

B C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A

B C D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A

B C D

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 A

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

9 4

9 5

9 6

9 7

9 8

9 9

10 0

10 1

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

10 7

10 8

10 9

11 0

11 1

11 2

11 3 A

B C D

11 4

11 5

11 6

11 7

11 8

11 9

12 0

12 1

12 2

12 3

12 4

12 5

12 6

12 7

12 8

12 9

13 0

13 1

13 2

13 3 A

B C D

13 4

13 5

13 6

13 7

13 8

13 9

14 0

14 1

14 2

14 3

14 4

14 5

14 6

14 7

14 8

14 9

15 0

15 1

15 2

15 3 A

B C D

15 4

15 5

15 6

15 7

15 8

15 9

16 0

16 1

16 2

16 3

16 4

16 5

16 6

16 7

16 8

16 9

17 0

17 1

17 2

17 3 A

B C D

174 175 176 177 178 179 180 181 182 A