Các bài tập vận dụng cao bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số 12. Bất phương trình mũ cơ bản..[r]

BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Bất phương trình mũ bản

2 Cách giai bất phương trình mũ đơn giản a)Đưa số

           

1 f x g x

a f x g x

a a

a

f x g x     

    

      b)Đặt ẩn phụ

   

2

0 f x f x

a a

    Đặt f x , 0 t a t c) Phương pháp logarit hóa

   

( )

0

log

log

a

a f x

a

a

f x b

a

f x b

b

  

 

 

 

     

  ( ) ( )

1

( ) ( ) log

0

( ) ( ) log b a f x g x

b a a

f x g x

a b

a f x g x  

  

 

  

 

  

 



II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1 Bất phương pháp logarit bản

2 Cách giải số bất phương trình logarit đơn giản a)Đưa số

       

   

0

log log

1

a a

a f x a

g x

f x g x

g x f x

  

 

 

 

   

 

 

b) Phương pháp mũ hóa

1 ( ) ( )

log ( )

    

             

b

b

a f x a

a a

f x a f x b

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa số 1 Phương pháp

●Bất phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

f x g x

a

f x g x

a a a

a f x g x

éì >ïïê í êïï £ êỵ ê £ ê = ê ì

ê < <ïïê í

êïï ³ êỵ ë

(

( ) ( ) ( )

0

1

a

a f x g x

ì > ïï í é ù ï - - £ ï ë û ỵ )

●Bất phương trình af x( )<b (với

b> ) ( )

( ) log log a a a

f x b

a

f x b

éì >ïïê í êïï £ êỵ ê

ì < < êïïêí

êïïỵ ³ ë

●Bất phương trình af x( )>b

( ) ( ) ( ) 0 log log a a a b f x a b

f x b

có nghia

a b

f x b

éìï >ï êïêïí £ êïêïï êïỵê êìï > êïïêï êïêïí >

ï > êïỵê

êìï < < êïïêïí > êïêïï < êïỵë

b Bất phương trình logarit bản

●Bất phương trình ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) log log a a a

f x g x

f x g x

a

f x g x

éì >ïïê í

êï <ï £ êỵ

£  ê

ì < < êïïêí

êïïỵ ³ ë

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a f x g x

a f x g x

ì < ¹ ïï ïï > ïï íï > ïï ï é ù ï - - £ ï ë û ỵ )

●Bất phương trình ( ) ( )

( ) log b a b a

f x a

f x b

a

f x a

éì >ïïê í

êï <ï £ êỵ

£  ê ì

ê < <ïïê í

êïï ³ êỵ ë

●Bất phương trình ( ) ( )

( ) log b a b a

f x a

f x b

a

f x a

éì >ïïê í êïï > êỵ ³  êì

ê < <ïïê í

êï <ï £ êỵ

ë

2 Bài tập

Bài tập 1. Cho bất phương trình    

7

log x 2x2  1 log x 6x 5 m Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình có tập ngiệm chứa khoảng  1;3 ?

A. 35 B. 36 C. 34 D. 33

Lời giải Chọn C

   

2

2

7

6

log 2 log

x x m

bpt

x x x x m

    



        

  



2

6

6

m x x

x x m

    

  

  



   

   

1;3 1;3

max

m f x

m g x

     

 , với  

2 6 5

f x   x x ; g x 6x28x9

Xét biến thiên hai hàm số f x  g x 

 f x      2x 0, x  1;3  f x  nghịch biến khoảng  1;3

 1;3    

max f x f 12

   

 g x 12x   8 0, x  1;3 g x  đồng biến khoảng  1;3

 1;3    

ming x g 23

  

Khi 12 m23

Mà m nên m  11; 10; ;22 

Vậy có tất 34 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Bài tập Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình

   

2

log 7x 7 log mx 4x m có tập nghiệm  Tổng phần tử S

A.10 B.11 C.12 D.13

Lờigiải ChọnC

BPT có tập nghiệm  

2

4

7

mx x m

x mx x m

   

 

   

 ,  x 

  

   

2

4

7

mx x m

m x x m

   

 

    

 ,  x 

Ta có:   2

1

0

1

4

a m

m m

  

      



Ta có:  

 2

2

7

2

4

a m

m m

m

   

     



    



Do 2

5

m

m m



   

 

 , mà m nên m3; 4;5 Vậy S   3 12

Bài tập Bất phương trình

2

6

log

4

x x

x

  

 có tập nghiệm  

1

; ;

4

T  a b 

A. M 12 B. M 8 C. M 9 D. M 10

Lời giải Chọn D

Ta có log2

4

x x

x

  



2 6 8

1

4

x x

x

 

 



2 10 9

0

4

x x

x

 

 



2

2

10

4

10

4

x x

x

x x

x

   

   



     

   

1

9 x x     

 

Nên 1;1 9; 

T   

  M  a b   1 10

Bài tập Tập nghiệm bất phương trình   

1

2

log log x 1  1 là:

A. S 1; 5 B. S   ; 5   5;

C. S  5; 5 D. S  5; 1  1; 5

Lời giải Chọn B

*ĐKXĐ:      

2

2

2

log

1 ; 2;

1 x

x x

x

  

          

  



Bất phương trình   

1

2

log log x 1  1  

1

2

1

log

2

x



 

    

   

2 1 4

x

  

2 5

x

     x  ; 5   5; 

* Kết hợp điều kiện ta được: x   ; 5   5; 

Bài tập Bất phương trình ln 2 x23 ln x2ax1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi:

A. 2 2 a 2. B. 0 a 2 C. 0 a D.   2 a

Lờigiải ChọnD

   

ln 2x 3 ln x ax1 nghiệm với số thực x

2

2

1 ,

2

x ax

x

x x ax

   



  

   

 

2

1 ,

x ax

x

x ax

   



  

  

 

2

4

a a

   

 

  

2 4 0

a

      2 a

Bài tập Bất phương trình 3x1x23x40 có nghiệm ngun nhỏ hơn 6?

A. B. C. D.Vô số

Chọn C

3x1x23x40

2

2

3

3

3

3

x x x x x x                     4 x x x x x                   x x      

Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nhỏ ta thấy giá trị thỏa   3; 2; 1;2;3; 4;5

Bài tập nghiệm bất phương trình

2

2 1

2

2

x x x

x x

  

     

   

   

A 1; 2

 

 

 

  B

2 0;      

C.1;0 D 1; 0;

2                Lời giải Chọn D

Do 0

2

x   x nên

2

2

2 1

2 2 2 1 1 1 2

2 1

1

0

2

2 1

x x x

x x

x x

x x x

x

x x x

                                                          1 2 1

; ; 1

1; 2 1;0 0;

1 2

;

2

; 0;

x x x x x x x x                                                                     

 1; 0;

2

x      

   



Bài tập Số nghiệm nguyên bất phương trình

2 3 10 2

1

3

x  x x

   

   

A.1 B. C. D.11

Lời giải Chọn C

 

2 3 10 2

2

2

2

1

3 10

3

2

3 10

2

14

3 10

14

x x x

x x x

x x

x x

x x

x

x x x

x

  

        

   

   

   

     

 

    

      

 



   

Vậy tập tất nghiệm nguyên bất phương trình cho 5; 6; 7;8;9;10;11;12;13 

Bài tập Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 2 3 log 3 

m x   x m x x với m tham số

thực dương khác 1, biết x1 nghiệm bất phương trình cho

A.  2;0 1;3

S     

  B.  

1

1;0 ;3

3

S     

 

C. S  1;0  1;3 D.  1;0 1;3

3

S     

 

Lờigiải ChọnD

Do x1 nghiệm nên ta có log log 2m  m  0 m1 Bất phương trình tương đương với

2

2

2 3

3

x x x x

x x

    

 

  

2

2

3

x x

x x

   

  

  

1

1 0;

3

x

x x

   



   



1

1

3

x x

   

 

   

Vậy  1;0 1;3

3

S     

 

Bài tập 10 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình:    

5

1 log x  1 log mx 4x m thỏa mãn với x

A.   1 m B.   1 m C. 2 m D. 2 m

Lờigiải ChọnC

Ta có:

   

5

1 log x  1 log mx 4x m    

5

log 5x log mx 4x m

    

 

     

2

2 2

4

4

5 5

mx x m

mx x m

x mx x m m x x m

   

   

 

 

        

 

Để bất phương trình cho thỏa mãn với x điều kiện  1  2 thỏa mãn với x Điều kiện

 

2

0

4

4

m

m m

m

  

     



   



Bài tập 11 Bất phương trình ln 2 x23 ln x2ax1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi:

A. 2 2 a 2. B. 0 a 2 C. 0 a D.   2 a

Lờigiải ChọnD

Ta có ln 2 x23 ln x2ax1 nghiệm đúng với mọi số thực x

2

1

2

x ax

x x ax

   

  

   

  x 

2

1

x ax

x ax

   

  

  

  x 

2

4

a a

   

 

  

2 4 0

a

      2 a

Bài tập 12 Gọi S tập tất giá trị nguyên không dương m để phương trình

   

1

5

log x m log 2x 0 có nghiệm Tập S có tập con?

A.1 B. C. D.

Lờigiải ChọnD

Ta có:

   

1

5

log x m log 2x  0

   

5

2

0

log log

x x m

x x m

      

   



 2

x

x m

x x m

     

    

 2

2

x

x m

m x

      

 

  

Do phương trình có nghiệm

2 2

2

2

m m

m



 

  

  



2

m m

      

   m Mà m số nguyên không dương nên m  1;0 Suy S  1;0

Vậy số tập S 224

Chú ý:

- Các tập S là: ,  1 ,  0 , S

Bài tập 13 Tìm giá trị thực tham số m để bất phương trình log0,02log 32 x 1log0,02m có

nghiệm với x  ;0

A. m9 B. m2 C. 0m1 D. m1

Lờigiải ChọnD

 

 

0,02 0,02

log log 3x 1 log m

TXĐ: D

ĐK tham số m: m0

Ta có: log0,02log 32 1 log0,02 log 32 1

x   m x m

Xét hàm số f x log 32 x1 , ;0   x   có

33 ln 31 ln 2 0, ;0 

x x

f     x



Bảng biến thiên f x :

x 

f +

f

0

Khi với yêu cầu tốn m1

Bài tập 14 Nghiệm bất phương trình log2 3x   1 6 log 72  10x

A.1 369

49 x

  B. 369

49

x C. x1 D. 369

49 x

Lờigiải

ChọnA

Điều kiện 10 x

    *

Ta có log2 3x   1 6 log 72  10x  3x  1 14 10 x

3x 10 x

     3x 1 64 32 10  x 10 x (Do  * )

32 10 x 103 7x

    (*)1024 10 x10609 49 x21442x

2

49x 418x 369

    369

49 x

  

Bài tập 15 Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình sau nghiệm với x

thuộc :    

6

1 log x  1 log mx 2x m

A. B. C. D.

Lờigiải ChọnC

Điều kiện:

2

mx  x m 

Ta có        

6 6

1 log x  1 log mx 2x m log 6 x 1log mx 2x m

   

6 x mx 2x m m x 2x m

Điều kiện toán  

   

2

2 0,

6 0,

mx x m x

m x x m x

     

  

      







Giải  1 : Do m0 không thỏa  1 nên  1 2

1

m

m m

 

      



Giải  2 : Do m6 không thỏa  2 nên:

   2

6

6

2 5

12 35

1

7

m

m m

m m

m m

m

m

  

  

 

      

   

    

  

  

Suy 1m5

Vậy có giá trị nguyên m

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 1 Phương pháp

a Bất phương trình mũ

Tổng quát: ( ) ( )

( )

( )

0

0

0

g x

g x t a

f a a

f t

ìï = > ï

é ù = < ¹  í

ê ú

ë û ïïỵ =

Ta thường gặp dạng:

● m a. 2f x( )+n a. f x( )+ =p 0

● m a f x( )+n b f x( )+ =p 0, đó a b=1 Đặt t=af x( ), t>0, suy bf x( )

t

=

● m a 2f x( )+n a b .( )f x( )+p b 2f x( )=0

Chia hai vế cho b2f x( ) đặt

( )

0

f x a

t b

ổ ửữ

ỗ ữ = > ỗ ữ

ỗố ứ

b Bt phng logarit

Tổng quát: ( ) ( ) ( )

( )

log

log 0

0

a a

t f x

f f x a

f t

ì = ïï

é ù = < ¹  í

ë û ï =

ïỵ

2 Bài tập

Bài tập Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 4.3log 100 x29.4log 10 x 13.61 log x

A.10 B. C. D.11

Lời giải Chọn C

ĐK: x0

PT 4.32.log 10 x 9.22.log 10 x 13.6log 10 x    

2log 10 log 10

3 3

4. 13. 9 0

2 2

x x

   

       

   

Đặt

 

log 10

3

0 2

x

t   

  phương trình trở thành:

2

4 13 9 0 1

4

Do

 

 

log 10

3 9

1 1 log 10 2 1 10

2 4

x

x x

 

        

 

Số nghiệm nguyên bất phương trình

Bài tập Xét bất phương trình  

2

log 2x2 m1 log x 2 Tìm tất giá trị tham số m để

bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  2; 

A. m0; B. 3;0 m  

  C.

3 ; m  

  D. m  ;0 Lờigiải

ChọnC

Điều kiện: x0

 

2

2

log 2x2 m1 log x 2 0

 2    

2

1 log x m log x

     

Đặt tlog2x.Vì x 2nên 2

1

log log

2

x  Do 1; t 

 

 1 thành 1t22m1t 2  t2 2mt 1 0  2

Cách1: Yêu cầu toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc 1;  

 

 

Xét bất phương trình (2) có:  ' m2 1 0,  m 

  2 1 0

f t  t mt  có ac0nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1 0 t2

Khi cần

2

1

1

2  t m m     2 m Cách2: 2 1   1< m

2

t

t mt f t t

t

  

       

 

Khảo sát hàm số f t  0;  ta 3; m  

 

Bài tập Cho bất phương trình:9xm1 3 x m 1  Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất

phương trình  1 nghiệm  x

A.

2

m  B.

2

m  C. m 3 2 D. m 3 2 Lời giải

Chọn A Đặt 3x

t

Vì x  1 t Bất phương trình cho thành: t2m1 t m 0 nghiệm  t

2

1

t t

m t



  

 nghiệm  t

Xét hàm số    

 2

2

2 , 3, ' 0,

1

g t t t g t t

t t

         

  Hàm sốđồng biến

3;  3

g  Yêu cầu toán tương đương 3

2

m m

Bài tập Có giá trị nguyên tham số m0;10 để tập nghiệm bất phương trình

 

2 2

2

2

log x3log x  7 m log x 7 chứa khoảng 256; 

A. B.10 C. D.

Lời giải Chọn C

Điều kiện: 2

2

2

0

log 3log

x

x x

 

   

 22

0

log 6log

x

x x

 

    



2

0

log

log

x x x  

  

  

 



0 128

x x x

    

   

1

2 128

x x     

 

Với điều kiện bất phương trình trở thành    

2

log x6log x 7 m log x7 * Đặt tlog2x t8 x256; 

 *  t1t7m t 7 Đặt  

7 t f t

t  



Yêu cầu toán

8;   

max

m f t



 

Xét hàm số   t f t

t  

 khoảng 8; 

Ta có  

 2

4

0,

1

t

f t t

t t

 

    



  f t  nghịch biến khoảng 8;  Do

8;     

max f t f

   m3

Mà m0;10 nên m3; 4; ;10

Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán

Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 52 x 1 log 2.5 2 x 2m có nghiệm với x1

A. m6 B. m6 C. m6 D. m6

Lời giải ChọnC

Điều kiện bất phương trình: x0

Ta có log 52 x1 log 2.5 2 x2m    

2

log 5x log 5 x 1 m

       1

Đặt tlog 52 x1, với x1 ta có t2 Khi đó  1 trở thành m t 2 t  2

Xét hàm số f t  t2 t 2; ta có f t   2 0t ,  t 2;.

Do để bất phương trình cho có nghiệm với t2

min2;   

m f t



 hay m6

Bài tập Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình

2 3 3 2 2 3

9 x  x m 2.3 x    x m x 3 x có nghiệm?

1

,

7 t

m t t



   

A. B. C. D.1

Lời giải Chọn D

Điều kiện

3

x  x m  (*)

2 3 3 2 2 3

9 x  x m 2.3 x    x m x 3 x 2  2 3

3

9 27

x   x m x x   x m x

   

2 3 2

0 x   x m x 3

    x23x m x   2 x23x m  x 2

2

3

2

3 4

x x m

x

x x m x x

   

   

      

2 3 0

2

x x m

x

x m

   

  

   

4 m m

    

Do m nguyên dương nên m1 thỏa mãn (*)

Bài tập Bất phương trình

2

2

2

log log

2 1

log log

x

x

x  x  có nghiệm nguyên dương nhỏ 10

A. 7. B.8. C. 9. D. 6.

Lờigiải ChọnA

Điều kiện bất phương trình x0 Khi

2

2

2

log log

2 1

log log

x

x

x  x 

2

2

log log 1

log log

x x

x x



  



Đặt tlog2x Ta có

1

1

t t

t t

  



 

 

2

1

1

t t

t t

 

 



 

 

2

1

1

t t

t t

 

  



 

2

2

0

t t

t t

  

 



1

2

t t t

    

  

   

Trả lại ẩn ta có

2 2

log

1 log

2

log

x x x

  

 

  



 



1

1

2 x

x x       

   

Kết hợp với điều kiện x0 ta có x

  1 x x2 Khi bất phương trình có nghiệm nguyên dương nhỏ 10

Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình

 

.4x 2x

m  m    m nghiệm đúng x ?

A. m3 B. m1 C.   1 m D. m0

Bất phương trình m.4x4m1 2 x  m 0m4x4.2x  1 4.2x

1 4.2

4 4.2

x x x

m 

 

 

Đặt 2x t (Điều kiện t0) Khi 24

4 t m

t t

 

  Để bất phương trình ban đầu nghiệm x

  bất phương trình 24

4 t m

t t

 

  nghiệm  t

Đặt    

 

2

2 2

4 0, 0

4 4 1

t t t

f t f t t

t t t t

  

      

   

Hàm số nghịch biến 0; Khi 24

4 t m

t t

 

   t m f  0 1 Bài tập Tìm tất giá trị tham số m bất phương trình 4x1m2x 1 0 có nghiệm  x .

A. m  ;0 B. m0; 

C. m 0;1 D. m  ;0  1; 

Lời giải Chọn A

Ta có:  

 

1

1 4

4

2

x x

x x

x x

m m m



       

 

Đặt t2 ,x t0 Yêu cầu toán tương đương với

   

2

, 0;

4

t

m t

t

    



Đặt  

 

2

,

4

t

f t t

t

 

 ,  

 

   

2

2

2

1

4

t t t t t

f t

t t

    

   

 

 

  0

2 t f t

t      

 



Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt  vào nhé)

Dựa vào bảng biến thiên có m0

Bài tập 10 Xét bất phương trình  

2

log 2x2 m1 log x 2 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  2; 

A m0; B 3;0 m  

  C

3 ; m  

  D. m  ;0 Lời giải

Chọn C

+∞

-0 0

-1

t -∞ -2 0 +∞

0

f'(t) f(t)

Điều kiện: x0

 

2

2

log 2x2 m1 log x 2 0

 2    

2

1 log x m log x

     

Đặt tlog2x.Vì x 2nên log2 log2 2

x  Do 1; t 

 

 1 thành 1t22m1t 2 0 t2 2mt 1 0  2

Cách 1: Yêu cầu toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc 1;  

 

 

Xét bất phương trình (2) có:  ' m2 1 0,  m 

  2 1 0

f t  t mt  có ac0nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1 0 t2

Khi cần

2

1

1

2   t m m     2 m

Cách 2: 2 1   1< m

2

t

t mt f t t

t

  

       

 

Khảo sát hàm số f t  0;  ta 3; m  

 

Bài tập 11 Tìm giá trị gần tổng nghiệm bất phương trình sau:

( )

2

2

22 22

3

22 22

2log 2log 13 24 27 1997 2016

3 log log

x x x x x x x x x

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ - + - + - + ÷ - + - + + £

ỗ ữ

ỗ ữữ

ỗ ữ

ỗố ø

A.12,3 B.12 C.12,1 D.12,

Lờigiải ChọnC

Điều kiện: 0 x

Ta có 24x62x527x42x31997x22016

 3 2 2 3 2 6 4 2

1 22 26 1997 2015

x x x x x x

         , x

Do bất phương trình cho tương đương với

2

2

22 22

3

22 22

2log 2log 13

3 log log

x x

x x

 

 

      

 

 

 

Đặt log 22

x

t , ta có bất phương trình

2

2t   2t 2t   4t 13

 

2

2

1 13

1

2 2

t t

   

         

   

Đặt 3; 2

u t 

 



v 1 ;1t  Ta có 13

Dấu xảy

3

2 2 3

1

t

t t t

t



      



5

22

12,06

x  

   

 

Bài tập 12 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 4x m.2x1 3 2m0 có nghiệm

thực

A. m2 B. m3 C. m5 D. m1

Lờigiải ChọnD

Ta có 4xm.2x1 3 2m0  2x 22 2m x 3 2m0

Đặt 2x t t 0

Ta có bất phương trình tương đương với t22 m t 3 2m0

2

t

m t



 



Xét  

2 3

2

t f t

t  

 0;

 

 

2

2

2

t t

f t

t

   

 ; f t 0

1 t t

     



Bảng biến thiên

Vậy để bất phương trình có nghiệm thực m1

Bài tập 13 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 2 x2log2x m 0 nghiệm với giá trị x1; 64

A. m0 B. m0 C. m0 D. m0

Lời giải Chọn B

Ta có log 2 x2log2x m 0  2

2

log x log x m

   

Đặt log2x t , x1; 64 t 0; Khi đó, ta có t2  t m 0 m  t2 t  *

Xét hàm số f t   t2 t với t 0; 6

Bất phương trình cho với x1; 64 bất phương trình  * với t 0;  m

Bài tập 14 Có giá trị dương tham số thực m để bất phương trình

 

2 2

2

2

log xlog x  3 m log x 3 có nghiệm thuộc 32; ?

A. B.1 C. D.

Lờigiải ChọnD

Điều kiện xác định: 2

2

0

log 2log

x

x x

 

   



1

2

x x

     

  

Hàm số xác định 32; 

 

2 2

2

2

log xlog x  3 m log x 3 2 

2 2

log x 2log x m log x

    

Đặt tlog2x Khi x32, ta có miền giá trị t 5;

Bất phương trình có dạng:  

2

2 2 3 3 2

3

t t t

t t m t m m

t t

  

       

 

Xét hàm số  

3

t f t

t

 

 5;  có    2

4 f t

t   

 nên hàm số nghịch biến 5; 

Do lim  

x f t  f 5 3 nên ta có 1 f t 3

Do với t có giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm thuộc

32;  bất phương trình m2 f t  có nghiệm nhất  

5;  Khi đó: m2 3 m43 Do đó khơng có số nguyên dương m thỏa mãn

Bài tập 15 Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình

2 3 3 2 2 3

9 x  x m 2.3 x    x m x 3 x có nghiệm?

A. B. C. D.1

Lờigiải ChọnD

Điều kiện x23x m 0 (*)

2 3 3 2 2 3

9 x  x m 2.3 x    x m x 3 x 2  2 3

3

9 27

x   x m x x   x m x

   

2 3 2

0 x   x m x 3

2

2

3

2

3 4

x x m

x

x x m x x

   

   

      

2 3 0

2

x x m

x

x m

   

  

   

4 m m

    

Do m nguyên dương nên m1 thỏa mãn (*)

Bài tập 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 52 x1 log 2.5 2 x2m có nghiệm với x1

A. m6 B. m6 C. m6 D. m6

Lờigiải ChọnC

Điều kiện bất phương trình: x0

Ta có log 52 x 1 log 2.5 2 x2m    

2

log 5x log 5 x  m

       1

Đặt tlog 52 x1, với x1 ta có t2 Khi đó  1 trở thành m t 2 t  2

Xét hàm số f t  t2 t 2; ta có f t 2t 1 0,  t 2;

Do để bất phương trình cho có nghiệm với t2

min2;   

m f t



 hay m6

Bài tập 17 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình

 

.4x 2x

m  m    m nghiệm đúng x ?

A. m3 B. m1 C.   1 m D. m0

Lờigiải ChọnB

Bất phương trình m.4x4m1 2 x  m 0m4x4.2x  1 4.2x

1 4.2

4 4.2

x x x

m 

 

 

Đặt 2x t (Điều kiện t0) Khi 24

4 t m

t t

 

  Để bất phương trình ban đầu nghiệm x

  bất phương trình 24

4 t m

t t

 

  nghiệm  t

Đặt    

 

2

2 2

4 0, 0

4 4 1

t t t

f t f t t

t t t t

  

      

   

Hàm số nghịch biến 0; Khi 24

4 t m

t t

 

   t m f  0 1 Bài tập 18 Tìm tất giá trị tham số m bất phương trình 4x1m2x 1 0 có nghiệm  x 

A. m  ;0 B. m0; 

C. m 0;1 D. m  ;0  1; 

Ta có:  

 

1

1 4

4

2

x x

x x

x x

m m  m

       

 

Đặt t2 ,x t0 Yêu cầu toán tương đương với

   

2

, 0;

4

t

m t

t

    



Đặt  

 

2

,

4

t

f t t

t

 

 ,  

 

   

2

2

2

1

4

t t t t t

f t

t t

    

   

 

 

  0

2 t f t

t      

 



Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt  vào nhé)

Dựa vào bảng biến thiên có m0

Dạng 3: Phương pháp logarit hóa 1 Phương pháp

Với bất phương tình ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

.log

0

.log

a f x g x

a a

f x g x b

a b

a

f x g x b

éì >ïïê í êïï > êỵ >  ê

ì < < êïïêí

êïïỵ < ë

2 Bài tập

Bài tập Nghiệm bất phương trình 8 36.32

x

x x  

A

4

x x

   

 

 B

2

log

x x

   

   

C

1

x x

    

 

 D

3

log 18

x x

   

   

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

4

2 4

2 2

3

8 36.3 log log

x x x

x x x

x x x

 

  

       

 

3

log

log 4

2

x

x x

x x

  

       

   

3

4

4

log log 2

1 0

2

x x

x x

x

x x

  

 

    

 

   

      

   

 

+∞

-0 0

-1

t -∞ -2 0 +∞

0

f'(t) f(t)

3

3

4 4

4 4

log 18 log 18 2

0

x x

x x

x x

x



  

  



  



      

  



3

4

log 18

x

x

 

    

Bài tập Bất phương trình

2

2 10

x

x x  có tập nghiệm    ; b  a a;  Khi đó b a bằng

A log 5.2 B 5

2

log

 C 1. D 2 log 5.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

2

2 1 1

1

1 1

5

2

2 10 log log

2.5

x

x x x x x

x x x x x x

 



 

          

 

   

1

1 log log

1

x

x x

x x

  

        

   

 x log log 1  5  0.

x

x

  

 

x  log 102 -1 

VT  +  +

Từ bảng xét dấu ta có    5 

2

1

1 x log log

0

log 10

x x

x x

  

   

     

 

Do 2

2

1

log log 10

a

b a b



   

  

Bài tập Có số nguyên dương m đoạn 2018; 2018 cho bất phương trình sau với x1;100:  

11 log log

10 10

10x m x 10 x

A. 2018 B. 4026 C. 2013 D. 4036

Lời giải Chọn A

  log 11log     

10

10 log 11

10 10 log log log 10 log 11log

10 10

x x

m x

x   m  x  x x m x  x

 

 

10m logx log x 10 logx

    

Do x1;100logx0; 2 Do

  10 log log2

10 log log 10 log 10

log

x x

m x x x m

x



     



Đặt tlogx, t0; 2, xét hàm số  

2

10 t t f t

t  

 Ta có:      

2

10

0 0;

1

t t

f t t

t

 

    



Do  0    2   16

f  f t  f   f t 

Để10 10 log log2 log

x x

m

x

 

 với x1;100

16

10

3 15

m  m

Do ; 2018 15

m  

  hay có 2018 số thỏa mãn

Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu 1 Phương pháp

Nếu hàm số y= f x( ) ln đồng biến D f u( )> f v( ) >u v , "u v, ỴD Nếu hàm số y= f x( ) nghịch biến D f u( )> f v( ) <u v , "u v D, Ỵ

2 Bài tập

Bài tập 1.Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 22x215x1002x210x50x225x150 0

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Đặt a2x215x100; b x 210x50 ta có bất phương trình:

2a2b  a b  2a a 2b  b a b

(do hàm số y2xx hàm sốđồng biến )

Với a b 2x215x100x210x50 x225x150 0

10;15

x

  Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên

Bài tập 2.Tìm số nguyên m nhỏ để bất phương trình  

3

log x   x 2x 3x log x m 1 (ẩn

x) có hai nghiệm phân biệt

A. m3 B. m2 C. m1 D. m 1

Lời giải Chọn B

   

3

log x   x 2x 3x log x m 1

Điều kiện x0

 

3

1

1 log x x 2x 3x m

x    

     

 

3

3

1

log x 2x 3x m

x

 

       

 

Xét  

3

1

log

f x x x x

x

 

     

  , với x0

 

2

1

6

1

1 ln

x

f x x x

x x 

   

   

 

 

; f x   0 x Với x 0;1  f x 0; với x1;  f x 0

Vậy bất phương trình có hai nghiệm   m 0 m Vậy m2

Bài tập 3.Gọi a số thực lớn để bất phương trình x2  x 2 alnx2  x 1 0 nghiệm đúng với

mọi x Mệnh đề sau đúng?

A. a2;3 B. a8;  C. a6; 7 D. a   6; 5

Lời giải Chọn C

Đặt

2

2 1

2

t x   x x  

  suy

3 t

Bất phương trình x2  x 2 alnx2  x 1 0 t a tln  1 0a tln   t 1

Trường hợp 1: t1 lna t  t 1ln với a Trường hợp 2:

4 t

Ta có ln 1, 3;1 1, 3;1

4 ln

t

a t t t a t

t

 

   

         

Xét hàm số     2 ln

1 0, 3;1

ln ln

t

t t

f t f t t

t t

 

    

       

1, 3;1

3

ln 4ln

4

t

a t a

t

    

    

Trường hợp 3: t1

Ta có ln 1, 1;  1, 1; 

ln t

a t t t a t

t  

            

Xét hàm số     2  

1 ln

1 , 1;

ln ln

t

t t

f t f t t

t t

 

  

       

Xét hàm số g t lnt 1 g t  12

t  t t

     

Vậy g t 0 có tối đa nghiệm Vì  1 2; lim  

t

g g t



    g t 0 có nghiệm 1; 

Do f t 0 có nghiệm t0 Khi 0

0

1 lnt t

t



 suy f t 0  t0

Bảng biến thiên

Vậy 1, 1;  0

ln t

a t a t

t  

       

Vậy

7 4ln

4

t a 

  

Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu toán là: a6;7

Bài tập 4.Biết tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình 4sin2x5cos2x m.7cos2x có nghiệm

là m a; b

 

  

  với a b, số nguyên dương

a

b tối giản Tổng S a b  là:

A. S13 B. S15 C. S9 D. S11

Lờigiải ChọnA

Ta có: sin2 cos2 cos2

4 x5 x m.7 x

2

cos cos

1

4

28

x x

m

   

     

Xét  

2

cos cos

1

4

28

x x

f x      

    với x Do

2

2

cos

cos

1

28 28

5

7

x

x

       

       

nên   28

f x   hay

 

7

f x  Dấu đẳng thức xảy cos2x1 sinx0  x k

Vậy  

f x 

 Bất phương trình có nghiệm mmin f x 

6

m

  hay

6 ;

m  

 S 13

Bài tập 5.Với giá trị tham sốm bất phương trình sin2 cos2 sin2

2 x3 xm.3 x có nghiệm?

A m4 B m4 C m1 D m1

Lời giải Chọn A

Chia hai vế bất phương trình cho 3sin2x 0 , ta được

2

sin sin

2

3

3

x x

m

     

   

   

Xét hàm số

2

sin sin

2

3

3

x x

y      

    hàm số nghịch biến

Ta có: 0 sin 2x1 nên 1 y 4

Vậy bất phương trình có nghiệm m4 Chọn đáp án A

Bài tập Tìm số nguyên m nhỏ để bất phương trình  

3

log x   x 2x 3x log x m 1 (ẩn

x) có hai nghiệm phân biệt

A. m3 B. m2 C. m1 D. m 1

Lời giải Chọn B

   

3

log x   x 2x 3x log x m 1

Điều kiện x0

 

3

1

1 log x x 2x 3x m

x    

     

 

3

3

1

log x 2x 3x m

x

 

       

 

Xét  

3

1

log

f x x x x

x

 

     

  , với x0

 

2

1

6

1

1 ln

x

f x x x

x x 

   

   

 

 

Vậy bất phương trình có hai nghiệm   m 0 m Vậy m2

Bài tập Biết tập nghiệm bất phương trình    

3

log x    x log x  x 3  a b; Khi tổng a2b

A.3 B. C. D.1

Lời giải Chọn C

Xét hàm số      

3

log log

f x  x    x x  x

    

 2  2  

1

2

5 ln

2 4 ln

f x x

x x

x x x x

 

 

     

 

    

 

 

Dễđánh giá  

 2  2  

1

0 ln

2 4 ln

g x

x x

x x x x

  

 

     ,  x 

Bảng biến thiên:

Có f 0  f 1 3 dựa vào bảng biến thiên ta có f x   3 x  0;1 Vậy a0;b1; suy a2b2

Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số a a 0  thỏa mãn

2017

2017 2017

1

2

2

     

   

   

a a

a

A. 0 a B.1 a 2017 C. a2017 D. 0 a 2017

Lời giải Chọn D

Ta có

2017

2017 2017

1

2

2

     

   

   

a a

a

2017

2 2017

1

2017log log

2

a

a a

   

      

   

–

2017

2 2017

1

log log

2

2017

a a

a

     

   

   

 

Xét hàm số      

2

2

1

log log 4 1 log 4 1

2 1

x

x x

x x

y f x

x x x

  

    

 

    

Ta có

   

   

 

2

4

ln 4 ln4 4 1 ln 4 1

1 4 1

0

ln2 ln2

x

x x x x

x

x

'

.x . .x

y

x x

  

 

       

 

   

    

 

 

   

 

2

4 ln4 ln

1 0

ln2

x x x x

x

. y

x

    

  



 

 

,  x Nên y f x  hàm giảm 0;

Do f a  f2017,a0 0 a 2017

Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 2 x2log2x m 0 nghiệm với giá trị x1; 64

A. m0 B. m0 C. m0 D. m0

Lời giải Chọn B

Ta có log 2 x2log2x m 0  2

2

log x log x m

   

Đặt log2x t , x1; 64 t 0;

Khi đó, ta có t2  t m 0 m  t2 t  *

Xét hàm số f t   t2 t với t 0; 6

Ta có f t      2t 0, t  0;6 Ta có bảng biến thiên:

Bất phương trình cho với x1; 64 bất phương trình  * với t 0;  m

Bài tập 10 Giả sử S a b,  tập nghiệm bất phương trình

 

2 2

2

5x 6x x x log x x x log x 5 6 x x Khi b a

A.

2 B.

7

2 C.

5

2 D.

Chọn A

Điều kiện: 2

6

x x x  

    

0

2

x x  

   

 D0;3

 

2 2

2

5x 6x x x log x x x log x 5 6 x x

 

2

2

5x x x x log x x x log x 5 x x

         

   2 

2

1 log log

x x x x x x x

       

  2

2

5 xlog x x x x

      

   

2

2

2

2

5 log

1

5 log

1

x x

I

x x x

x x

II

x x x

  



    



   

  

     

 

Giải hệ (I)

   

2

2

5 log

1

x x

x x x

 

 

    



Giải  1 5xlog2x0

Xét hàm số f x  x log2x x

 

   

  xg x với x0;3 Ta có   52 0;3

ln

g x x

x x

      

Lập bảng biến thiên

Vậy f x  x log2x x 0;3

x

 

     

 

Xét bất phương trình (2): 6 x x2  x 1   2

6

1

x x x

x

     

   

2

2

1

x x

x

   

   

5 x x x       

    

5

x

Vậy nghiệm hệ  I 5;3

D  

  Hệ  II vô nghiệm

Vậy 5,3

S   

 

5

3

2

b a   

Bài tập 11 Có giá trị nguyên thuộc khoảng 9;9 tham số m để bất phương trình

 

 

3logx2log m x x  1 x 1x có nghiệm thực?

A. B. C.10 D.11

Lời giải Chọn B

Điều kiện

 

2

0

1

x

m x x x x

   

    

  

0

1

x

m x x

  

    

  

0

1

0 x

x m

x    

   

 

Bất phương trình cho tương đương

 

 2

3

logx log m x x  1 x 1x

 

 2

3 1 1

x m x x x x

     

 

 1 1 

x x m x x x x

     

 

2

1 1

1

x x x x x x

m

x x

x x

   

   





Áp dụng bất đẳng thức si ta có

1

1 2

1

x x

x x x x

x x



        

    

   

Vì m x 1x