Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số 12. Bất phương trình mũ cơ bản..[r]
(1)BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Bất phương trình mũ bản
2 Cách giai bất phương trình mũ đơn giản a)Đưa số
1 f x g x
a f x g x
a a
a
f x g x
b)Đặt ẩn phụ
2
0 f x f x
a a
Đặt f x , 0 t a t c) Phương pháp logarit hóa
( )
0
log
log
a
a f x
a
a
f x b
a
f x b
b
( ) ( )
1
( ) ( ) log
0
( ) ( ) log b a f x g x
b a a
f x g x
a b
a f x g x
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1 Bất phương pháp logarit bản
2 Cách giải số bất phương trình logarit đơn giản a)Đưa số
0
log log
1
a a
a f x a
g x
f x g x
g x f x
b) Phương pháp mũ hóa
1 ( ) ( )
log ( )
b
b
a f x a
a a
f x a f x b
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa số 1 Phương pháp
(2)●Bất phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
f x g x
a
f x g x
a a a
a f x g x
éì >ïïê í êïï £ êỵ ê £ ê = ê ì
ê < <ïïê í
êïï ³ êỵ ë
(
( ) ( ) ( )
0
1
a
a f x g x
ì > ïï í é ù ï - - £ ï ë û ỵ )
●Bất phương trình af x( )<b (với
b> ) ( )
( ) log log a a a
f x b
a
f x b
éì >ïïê í êïï £ êỵ ê
ì < < êïïêí
êïïỵ ³ ë
●Bất phương trình af x( )>b
( ) ( ) ( ) 0 log log a a a b f x a b
f x b
có nghia
a b
f x b
éìï >ï êïêïí £ êïêïï êïỵê êìï > êïïêï êïêïí >
ï > êïỵê
êìï < < êïïêïí > êïêïï < êïỵë
b Bất phương trình logarit bản
●Bất phương trình ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) log log a a a
f x g x
f x g x
a
f x g x
éì >ïïê í
êï <ï £ êỵ
£ ê
ì < < êïïêí
êïïỵ ³ ë
(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a f x g x
a f x g x
ì < ¹ ïï ïï > ïï íï > ïï ï é ù ï - - £ ï ë û ỵ )
●Bất phương trình ( ) ( )
( ) log b a b a
f x a
f x b
a
f x a
éì >ïïê í
êï <ï £ êỵ
£ ê ì
ê < <ïïê í
êïï ³ êỵ ë
●Bất phương trình ( ) ( )
( ) log b a b a
f x a
f x b
a
f x a
éì >ïïê í êïï > êỵ ³ êì
ê < <ïïê í
êï <ï £ êỵ
ë
(3)2 Bài tập
Bài tập 1. Cho bất phương trình
7
log x 2x2 1 log x 6x 5 m Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình có tập ngiệm chứa khoảng 1;3 ?
A. 35 B. 36 C. 34 D. 33
Lời giải Chọn C
2
2
7
6
log 2 log
x x m
bpt
x x x x m
2
6
6
m x x
x x m
1;3 1;3
max
m f x
m g x
, với
2 6 5
f x x x ; g x 6x28x9
Xét biến thiên hai hàm số f x g x
f x 2x 0, x 1;3 f x nghịch biến khoảng 1;3
1;3
max f x f 12
g x 12x 8 0, x 1;3 g x đồng biến khoảng 1;3
1;3
ming x g 23
Khi 12 m23
Mà m nên m 11; 10; ;22
Vậy có tất 34 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán
Bài tập Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình
2
log 7x 7 log mx 4x m có tập nghiệm Tổng phần tử S
A.10 B.11 C.12 D.13
Lờigiải ChọnC
BPT có tập nghiệm
2
4
7
mx x m
x mx x m
, x
2
4
7
mx x m
m x x m
, x
Ta có: 2
1
0
1
4
a m
m m
Ta có:
2
2
7
2
4
a m
m m
m
Do 2
5
m
m m
, mà m nên m3; 4;5 Vậy S 3 12
Bài tập Bất phương trình
2
6
log
4
x x
x
có tập nghiệm
1
; ;
4
T a b
(4)A. M 12 B. M 8 C. M 9 D. M 10
Lời giải Chọn D
Ta có log2
4
x x
x
2 6 8
1
4
x x
x
2 10 9
0
4
x x
x
2
2
10
4
10
4
x x
x
x x
x
1
9 x x
Nên 1;1 9;
T
M a b 1 10
Bài tập Tập nghiệm bất phương trình
1
2
log log x 1 1 là:
A. S 1; 5 B. S ; 5 5;
C. S 5; 5 D. S 5; 1 1; 5
Lời giải Chọn B
*ĐKXĐ:
2
2
2
log
1 ; 2;
1 x
x x
x
Bất phương trình
1
2
log log x 1 1
1
2
1
log
2
x
2 1 4
x
2 5
x
x ; 5 5;
* Kết hợp điều kiện ta được: x ; 5 5;
Bài tập Bất phương trình ln 2 x23 ln x2ax1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi:
A. 2 2 a 2. B. 0 a 2 C. 0 a D. 2 a
Lờigiải ChọnD
ln 2x 3 ln x ax1 nghiệm với số thực x
2
2
1 ,
2
x ax
x
x x ax
2
1 ,
x ax
x
x ax
2
4
a a
2 4 0
a
2 a
Bài tập Bất phương trình 3x1x23x40 có nghiệm ngun nhỏ hơn 6?
A. B. C. D.Vô số
(5)Chọn C
3x1x23x40
2
2
3
3
3
3
x x x x x x 4 x x x x x x x
Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nhỏ ta thấy giá trị thỏa 3; 2; 1;2;3; 4;5
Bài tập nghiệm bất phương trình
2
2 1
2
2
x x x
x x
A 1; 2
B
2 0;
C.1;0 D 1; 0;
2 Lời giải Chọn D
Do 0
2
x x nên
2
2
2 1
2 2 2 1 1 1 2
2 1
1
0
2
2 1
x x x
x x
x x
x x x
x
x x x
1 2 1
; ; 1
1; 2 1;0 0;
1 2
;
2
; 0;
x x x x x x x x
1; 0;
2
x
Bài tập Số nghiệm nguyên bất phương trình
2 3 10 2
1
3
x x x
(6)A.1 B. C. D.11
Lời giải Chọn C
2 3 10 2
2
2
2
1
3 10
3
2
3 10
2
14
3 10
14
x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x x x
x
Vậy tập tất nghiệm nguyên bất phương trình cho 5; 6; 7;8;9;10;11;12;13
Bài tập Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 2 3 log 3
m x x m x x với m tham số
thực dương khác 1, biết x1 nghiệm bất phương trình cho
A. 2;0 1;3
S
B.
1
1;0 ;3
3
S
C. S 1;0 1;3 D. 1;0 1;3
3
S
Lờigiải ChọnD
Do x1 nghiệm nên ta có log log 2m m 0 m1 Bất phương trình tương đương với
2
2
2 3
3
x x x x
x x
2
2
3
x x
x x
1
1 0;
3
x
x x
1
1
3
x x
Vậy 1;0 1;3
3
S
Bài tập 10 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình:
5
1 log x 1 log mx 4x m thỏa mãn với x
A. 1 m B. 1 m C. 2 m D. 2 m
Lờigiải ChọnC
Ta có:
5
1 log x 1 log mx 4x m
5
log 5x log mx 4x m
2
2 2
4
4
5 5
mx x m
mx x m
x mx x m m x x m
(7)Để bất phương trình cho thỏa mãn với x điều kiện 1 2 thỏa mãn với x Điều kiện
2
0
4
4
m
m m
m
Bài tập 11 Bất phương trình ln 2 x23 ln x2ax1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi:
A. 2 2 a 2. B. 0 a 2 C. 0 a D. 2 a
Lờigiải ChọnD
Ta có ln 2 x23 ln x2ax1 nghiệm đúng với mọi số thực x
2
1
2
x ax
x x ax
x
2
1
x ax
x ax
x
2
4
a a
2 4 0
a
2 a
Bài tập 12 Gọi S tập tất giá trị nguyên không dương m để phương trình
1
5
log x m log 2x 0 có nghiệm Tập S có tập con?
A.1 B. C. D.
Lờigiải ChọnD
Ta có:
1
5
log x m log 2x 0
5
2
0
log log
x x m
x x m
2
x
x m
x x m
2
2
x
x m
m x
Do phương trình có nghiệm
2 2
2
2
m m
m
2
m m
m Mà m số nguyên không dương nên m 1;0 Suy S 1;0
Vậy số tập S 224
Chú ý:
- Các tập S là: , 1 , 0 , S
(8)Bài tập 13 Tìm giá trị thực tham số m để bất phương trình log0,02log 32 x 1log0,02m có
nghiệm với x ;0
A. m9 B. m2 C. 0m1 D. m1
Lờigiải ChọnD
0,02 0,02
log log 3x 1 log m
TXĐ: D
ĐK tham số m: m0
Ta có: log0,02log 32 1 log0,02 log 32 1
x m x m
Xét hàm số f x log 32 x1 , ;0 x có
33 ln 31 ln 2 0, ;0
x x
f x
Bảng biến thiên f x :
x
f +
f
0
Khi với yêu cầu tốn m1
Bài tập 14 Nghiệm bất phương trình log2 3x 1 6 log 72 10x
A.1 369
49 x
B. 369
49
x C. x1 D. 369
49 x
Lờigiải
ChọnA
Điều kiện 10 x
*
Ta có log2 3x 1 6 log 72 10x 3x 1 14 10 x
3x 10 x
3x 1 64 32 10 x 10 x (Do * )
32 10 x 103 7x
(*)1024 10 x10609 49 x21442x
2
49x 418x 369
369
49 x
Bài tập 15 Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình sau nghiệm với x
thuộc :
6
1 log x 1 log mx 2x m
A. B. C. D.
Lờigiải ChọnC
Điều kiện:
2
mx x m
Ta có
6 6
1 log x 1 log mx 2x m log 6 x 1log mx 2x m
6 x mx 2x m m x 2x m
(9)Điều kiện toán
2
2 0,
6 0,
mx x m x
m x x m x
Giải 1 : Do m0 không thỏa 1 nên 1 2
1
m
m m
Giải 2 : Do m6 không thỏa 2 nên:
2
6
6
2 5
12 35
1
7
m
m m
m m
m m
m
m
Suy 1m5
Vậy có giá trị nguyên m
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 1 Phương pháp
a Bất phương trình mũ
Tổng quát: ( ) ( )
( )
( )
0
0
0
g x
g x t a
f a a
f t
ìï = > ï
é ù = < ¹ í
ê ú
ë û ïïỵ =
Ta thường gặp dạng:
● m a. 2f x( )+n a. f x( )+ =p 0
● m a f x( )+n b f x( )+ =p 0, đó a b=1 Đặt t=af x( ), t>0, suy bf x( )
t
=
● m a 2f x( )+n a b .( )f x( )+p b 2f x( )=0
Chia hai vế cho b2f x( ) đặt
( )
0
f x a
t b
ổ ửữ
ỗ ữ = > ỗ ữ
ỗố ứ
b Bt phng logarit
Tổng quát: ( ) ( ) ( )
( )
log
log 0
0
a a
t f x
f f x a
f t
ì = ïï
é ù = < ¹ í
ë û ï =
ïỵ
2 Bài tập
Bài tập Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 4.3log 100 x29.4log 10 x 13.61 log x
A.10 B. C. D.11
Lời giải Chọn C
ĐK: x0
PT 4.32.log 10 x 9.22.log 10 x 13.6log 10 x
2log 10 log 10
3 3
4. 13. 9 0
2 2
x x
Đặt
log 10
3
0 2
x
t
phương trình trở thành:
2
4 13 9 0 1
4
(10)Do
log 10
3 9
1 1 log 10 2 1 10
2 4
x
x x
Số nghiệm nguyên bất phương trình
Bài tập Xét bất phương trình
2
log 2x2 m1 log x 2 Tìm tất giá trị tham số m để
bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng 2;
A. m0; B. 3;0 m
C.
3 ; m
D. m ;0 Lờigiải
ChọnC
Điều kiện: x0
2
2
log 2x2 m1 log x 2 0
2
2
1 log x m log x
Đặt tlog2x.Vì x 2nên 2
1
log log
2
x Do 1; t
1 thành 1t22m1t 2 t2 2mt 1 0 2
Cách1: Yêu cầu toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc 1;
Xét bất phương trình (2) có: ' m2 1 0, m
2 1 0
f t t mt có ac0nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1 0 t2
Khi cần
2
1
1
2 t m m 2 m Cách2: 2 1 1< m
2
t
t mt f t t
t
Khảo sát hàm số f t 0; ta 3; m
Bài tập Cho bất phương trình:9xm1 3 x m 1 Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất
phương trình 1 nghiệm x
A.
2
m B.
2
m C. m 3 2 D. m 3 2 Lời giải
Chọn A Đặt 3x
t
Vì x 1 t Bất phương trình cho thành: t2m1 t m 0 nghiệm t
2
1
t t
m t
nghiệm t
Xét hàm số
2
2
2 , 3, ' 0,
1
g t t t g t t
t t
Hàm sốđồng biến
3; 3
g Yêu cầu toán tương đương 3
2
m m
(11)Bài tập Có giá trị nguyên tham số m0;10 để tập nghiệm bất phương trình
2 2
2
2
log x3log x 7 m log x 7 chứa khoảng 256;
A. B.10 C. D.
Lời giải Chọn C
Điều kiện: 2
2
2
0
log 3log
x
x x
22
0
log 6log
x
x x
2
0
log
log
x x x
0 128
x x x
1
2 128
x x
Với điều kiện bất phương trình trở thành
2
log x6log x 7 m log x7 * Đặt tlog2x t8 x256;
* t1t7m t 7 Đặt
7 t f t
t
Yêu cầu toán
8;
max
m f t
Xét hàm số t f t
t
khoảng 8;
Ta có
2
4
0,
1
t
f t t
t t
f t nghịch biến khoảng 8; Do
8;
max f t f
m3
Mà m0;10 nên m3; 4; ;10
Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán
Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 52 x 1 log 2.5 2 x 2m có nghiệm với x1
A. m6 B. m6 C. m6 D. m6
Lời giải ChọnC
Điều kiện bất phương trình: x0
Ta có log 52 x1 log 2.5 2 x2m
2
log 5x log 5 x 1 m
1
Đặt tlog 52 x1, với x1 ta có t2 Khi đó 1 trở thành m t 2 t 2
Xét hàm số f t t2 t 2; ta có f t 2 0t , t 2;.
Do để bất phương trình cho có nghiệm với t2
min2;
m f t
hay m6
Bài tập Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình
2 3 3 2 2 3
9 x x m 2.3 x x m x 3 x có nghiệm?
1
,
7 t
m t t
(12)A. B. C. D.1
Lời giải Chọn D
Điều kiện
3
x x m (*)
2 3 3 2 2 3
9 x x m 2.3 x x m x 3 x 2 2 3
3
9 27
x x m x x x m x
2 3 2
0 x x m x 3
x23x m x 2 x23x m x 2
2
3
2
3 4
x x m
x
x x m x x
2 3 0
2
x x m
x
x m
4 m m
Do m nguyên dương nên m1 thỏa mãn (*)
Bài tập Bất phương trình
2
2
2
log log
2 1
log log
x
x
x x có nghiệm nguyên dương nhỏ 10
A. 7. B.8. C. 9. D. 6.
Lờigiải ChọnA
Điều kiện bất phương trình x0 Khi
2
2
2
log log
2 1
log log
x
x
x x
2
2
log log 1
log log
x x
x x
Đặt tlog2x Ta có
1
1
t t
t t
2
1
1
t t
t t
2
1
1
t t
t t
2
2
0
t t
t t
1
2
t t t
Trả lại ẩn ta có
2 2
log
1 log
2
log
x x x
1
1
2 x
x x
Kết hợp với điều kiện x0 ta có x
1 x x2 Khi bất phương trình có nghiệm nguyên dương nhỏ 10
Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình
.4x 2x
m m m nghiệm đúng x ?
A. m3 B. m1 C. 1 m D. m0
(13)Bất phương trình m.4x4m1 2 x m 0m4x4.2x 1 4.2x
1 4.2
4 4.2
x x x
m
Đặt 2x t (Điều kiện t0) Khi 24
4 t m
t t
Để bất phương trình ban đầu nghiệm x
bất phương trình 24
4 t m
t t
nghiệm t
Đặt
2
2 2
4 0, 0
4 4 1
t t t
f t f t t
t t t t
Hàm số nghịch biến 0; Khi 24
4 t m
t t
t m f 0 1 Bài tập Tìm tất giá trị tham số m bất phương trình 4x1m2x 1 0 có nghiệm x .
A. m ;0 B. m0;
C. m 0;1 D. m ;0 1;
Lời giải Chọn A
Ta có:
1
1 4
4
2
x x
x x
x x
m m m
Đặt t2 ,x t0 Yêu cầu toán tương đương với
2
, 0;
4
t
m t
t
Đặt
2
,
4
t
f t t
t
,
2
2
2
1
4
t t t t t
f t
t t
0
2 t f t
t
Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt vào nhé)
Dựa vào bảng biến thiên có m0
Bài tập 10 Xét bất phương trình
2
log 2x2 m1 log x 2 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng 2;
A m0; B 3;0 m
C
3 ; m
D. m ;0 Lời giải
Chọn C
+∞
-0 0
-1
t -∞ -2 0 +∞
0
f'(t) f(t)
(14)Điều kiện: x0
2
2
log 2x2 m1 log x 2 0
2
2
1 log x m log x
Đặt tlog2x.Vì x 2nên log2 log2 2
x Do 1; t
1 thành 1t22m1t 2 0 t2 2mt 1 0 2
Cách 1: Yêu cầu toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc 1;
Xét bất phương trình (2) có: ' m2 1 0, m
2 1 0
f t t mt có ac0nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1 0 t2
Khi cần
2
1
1
2 t m m 2 m
Cách 2: 2 1 1< m
2
t
t mt f t t
t
Khảo sát hàm số f t 0; ta 3; m
Bài tập 11 Tìm giá trị gần tổng nghiệm bất phương trình sau:
( )
2
2
22 22
3
22 22
2log 2log 13 24 27 1997 2016
3 log log
x x x x x x x x x
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ - + - + - + ÷ - + - + + £
ỗ ữ
ỗ ữữ
ỗ ữ
ỗố ø
A.12,3 B.12 C.12,1 D.12,
Lờigiải ChọnC
Điều kiện: 0 x
Ta có 24x62x527x42x31997x22016
3 2 2 3 2 6 4 2
1 22 26 1997 2015
x x x x x x
, x
Do bất phương trình cho tương đương với
2
2
22 22
3
22 22
2log 2log 13
3 log log
x x
x x
Đặt log 22
x
t , ta có bất phương trình
2
2t 2t 2t 4t 13
2
2
1 13
1
2 2
t t
Đặt 3; 2
u t
v 1 ;1t Ta có 13
(15)Dấu xảy
3
2 2 3
1
t
t t t
t
5
22
12,06
x
Bài tập 12 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 4x m.2x1 3 2m0 có nghiệm
thực
A. m2 B. m3 C. m5 D. m1
Lờigiải ChọnD
Ta có 4xm.2x1 3 2m0 2x 22 2m x 3 2m0
Đặt 2x t t 0
Ta có bất phương trình tương đương với t22 m t 3 2m0
2
t
m t
Xét
2 3
2
t f t
t
0;
2
2
2
t t
f t
t
; f t 0
1 t t
Bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình có nghiệm thực m1
Bài tập 13 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 2 x2log2x m 0 nghiệm với giá trị x1; 64
A. m0 B. m0 C. m0 D. m0
Lời giải Chọn B
Ta có log 2 x2log2x m 0 2
2
log x log x m
Đặt log2x t , x1; 64 t 0; Khi đó, ta có t2 t m 0 m t2 t *
Xét hàm số f t t2 t với t 0; 6
(16)Bất phương trình cho với x1; 64 bất phương trình * với t 0; m
Bài tập 14 Có giá trị dương tham số thực m để bất phương trình
2 2
2
2
log xlog x 3 m log x 3 có nghiệm thuộc 32; ?
A. B.1 C. D.
Lờigiải ChọnD
Điều kiện xác định: 2
2
0
log 2log
x
x x
1
2
x x
Hàm số xác định 32;
2 2
2
2
log xlog x 3 m log x 3 2
2 2
log x 2log x m log x
Đặt tlog2x Khi x32, ta có miền giá trị t 5;
Bất phương trình có dạng:
2
2 2 3 3 2
3
t t t
t t m t m m
t t
Xét hàm số
3
t f t
t
5; có 2
4 f t
t
nên hàm số nghịch biến 5;
Do lim
x f t f 5 3 nên ta có 1 f t 3
Do với t có giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm thuộc
32; bất phương trình m2 f t có nghiệm nhất
5; Khi đó: m2 3 m43 Do đó khơng có số nguyên dương m thỏa mãn
Bài tập 15 Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình
2 3 3 2 2 3
9 x x m 2.3 x x m x 3 x có nghiệm?
A. B. C. D.1
Lờigiải ChọnD
Điều kiện x23x m 0 (*)
2 3 3 2 2 3
9 x x m 2.3 x x m x 3 x 2 2 3
3
9 27
x x m x x x m x
2 3 2
0 x x m x 3
(17)2
2
3
2
3 4
x x m
x
x x m x x
2 3 0
2
x x m
x
x m
4 m m
Do m nguyên dương nên m1 thỏa mãn (*)
Bài tập 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 52 x1 log 2.5 2 x2m có nghiệm với x1
A. m6 B. m6 C. m6 D. m6
Lờigiải ChọnC
Điều kiện bất phương trình: x0
Ta có log 52 x 1 log 2.5 2 x2m
2
log 5x log 5 x m
1
Đặt tlog 52 x1, với x1 ta có t2 Khi đó 1 trở thành m t 2 t 2
Xét hàm số f t t2 t 2; ta có f t 2t 1 0, t 2;
Do để bất phương trình cho có nghiệm với t2
min2;
m f t
hay m6
Bài tập 17 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình
.4x 2x
m m m nghiệm đúng x ?
A. m3 B. m1 C. 1 m D. m0
Lờigiải ChọnB
Bất phương trình m.4x4m1 2 x m 0m4x4.2x 1 4.2x
1 4.2
4 4.2
x x x
m
Đặt 2x t (Điều kiện t0) Khi 24
4 t m
t t
Để bất phương trình ban đầu nghiệm x
bất phương trình 24
4 t m
t t
nghiệm t
Đặt
2
2 2
4 0, 0
4 4 1
t t t
f t f t t
t t t t
Hàm số nghịch biến 0; Khi 24
4 t m
t t
t m f 0 1 Bài tập 18 Tìm tất giá trị tham số m bất phương trình 4x1m2x 1 0 có nghiệm x
A. m ;0 B. m0;
C. m 0;1 D. m ;0 1;
(18)Ta có:
1
1 4
4
2
x x
x x
x x
m m m
Đặt t2 ,x t0 Yêu cầu toán tương đương với
2
, 0;
4
t
m t
t
Đặt
2
,
4
t
f t t
t
,
2
2
2
1
4
t t t t t
f t
t t
0
2 t f t
t
Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt vào nhé)
Dựa vào bảng biến thiên có m0
Dạng 3: Phương pháp logarit hóa 1 Phương pháp
Với bất phương tình ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
.log
0
.log
a f x g x
a a
f x g x b
a b
a
f x g x b
éì >ïïê í êïï > êỵ > ê
ì < < êïïêí
êïïỵ < ë
2 Bài tập
Bài tập Nghiệm bất phương trình 8 36.32
x
x x
A
4
x x
B
2
log
x x
C
1
x x
D
3
log 18
x x
Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có
4
2 4
2 2
3
8 36.3 log log
x x x
x x x
x x x
3
log
log 4
2
x
x x
x x
3
4
4
log log 2
1 0
2
x x
x x
x
x x
+∞
-0 0
-1
t -∞ -2 0 +∞
0
f'(t) f(t)
(19)3
3
4 4
4 4
log 18 log 18 2
0
x x
x x
x x
x
3
4
log 18
x
x
Bài tập Bất phương trình
2
2 10
x
x x có tập nghiệm ; b a a; Khi đó b a bằng
A log 5.2 B 5
2
log
C 1. D 2 log 5.
Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có
2
2 1 1
1
1 1
5
2
2 10 log log
2.5
x
x x x x x
x x x x x x
1
1 log log
1
x
x x
x x
x log log 1 5 0.
x
x
(20)x log 102 -1
VT + +
Từ bảng xét dấu ta có 5
2
1
1 x log log
0
log 10
x x
x x
Do 2
2
1
log log 10
a
b a b
Bài tập Có số nguyên dương m đoạn 2018; 2018 cho bất phương trình sau với x1;100:
11 log log
10 10
10x m x 10 x
A. 2018 B. 4026 C. 2013 D. 4036
Lời giải Chọn A
log 11log
10
10 log 11
10 10 log log log 10 log 11log
10 10
x x
m x
x m x x x m x x
10m logx log x 10 logx
Do x1;100logx0; 2 Do
10 log log2
10 log log 10 log 10
log
x x
m x x x m
x
Đặt tlogx, t0; 2, xét hàm số
2
10 t t f t
t
Ta có:
2
10
0 0;
1
t t
f t t
t
Do 0 2 16
f f t f f t
Để10 10 log log2 log
x x
m
x
với x1;100
16
10
3 15
m m
Do ; 2018 15
m
hay có 2018 số thỏa mãn
Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu 1 Phương pháp
Nếu hàm số y= f x( ) ln đồng biến D f u( )> f v( ) >u v , "u v, ỴD Nếu hàm số y= f x( ) nghịch biến D f u( )> f v( ) <u v , "u v D, Ỵ
2 Bài tập
Bài tập 1.Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 22x215x1002x210x50x225x150 0
A. B. C. D.
Lời giải Chọn B
Đặt a2x215x100; b x 210x50 ta có bất phương trình:
2a2b a b 2a a 2b b a b
(21)(do hàm số y2xx hàm sốđồng biến )
Với a b 2x215x100x210x50 x225x150 0
10;15
x
Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên
Bài tập 2.Tìm số nguyên m nhỏ để bất phương trình
3
log x x 2x 3x log x m 1 (ẩn
x) có hai nghiệm phân biệt
A. m3 B. m2 C. m1 D. m 1
Lời giải Chọn B
3
log x x 2x 3x log x m 1
Điều kiện x0
3
1
1 log x x 2x 3x m
x
3
3
1
log x 2x 3x m
x
Xét
3
1
log
f x x x x
x
, với x0
2
1
6
1
1 ln
x
f x x x
x x
; f x 0 x Với x 0;1 f x 0; với x1; f x 0
Vậy bất phương trình có hai nghiệm m 0 m Vậy m2
Bài tập 3.Gọi a số thực lớn để bất phương trình x2 x 2 alnx2 x 1 0 nghiệm đúng với
mọi x Mệnh đề sau đúng?
A. a2;3 B. a8; C. a6; 7 D. a 6; 5
Lời giải Chọn C
Đặt
2
2 1
2
t x x x
suy
3 t
Bất phương trình x2 x 2 alnx2 x 1 0 t a tln 1 0a tln t 1
Trường hợp 1: t1 lna t t 1ln với a Trường hợp 2:
4 t
Ta có ln 1, 3;1 1, 3;1
4 ln
t
a t t t a t
t
(22)Xét hàm số 2 ln
1 0, 3;1
ln ln
t
t t
f t f t t
t t
1, 3;1
3
ln 4ln
4
t
a t a
t
Trường hợp 3: t1
Ta có ln 1, 1; 1, 1;
ln t
a t t t a t
t
Xét hàm số 2
1 ln
1 , 1;
ln ln
t
t t
f t f t t
t t
Xét hàm số g t lnt 1 g t 12
t t t
Vậy g t 0 có tối đa nghiệm Vì 1 2; lim
t
g g t
g t 0 có nghiệm 1;
Do f t 0 có nghiệm t0 Khi 0
0
1 lnt t
t
suy f t 0 t0
Bảng biến thiên
Vậy 1, 1; 0
ln t
a t a t
t
Vậy
7 4ln
4
t a
Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu toán là: a6;7
Bài tập 4.Biết tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình 4sin2x5cos2x m.7cos2x có nghiệm
là m a; b
với a b, số nguyên dương
a
b tối giản Tổng S a b là:
A. S13 B. S15 C. S9 D. S11
Lờigiải ChọnA
Ta có: sin2 cos2 cos2
4 x5 x m.7 x
2
cos cos
1
4
28
x x
m
(23)Xét
2
cos cos
1
4
28
x x
f x
với x Do
2
2
cos
cos
1
28 28
5
7
x
x
nên 28
f x hay
7
f x Dấu đẳng thức xảy cos2x1 sinx0 x k
Vậy
f x
Bất phương trình có nghiệm mmin f x
6
m
hay
6 ;
m
S 13
Bài tập 5.Với giá trị tham sốm bất phương trình sin2 cos2 sin2
2 x3 xm.3 x có nghiệm?
A m4 B m4 C m1 D m1
Lời giải Chọn A
Chia hai vế bất phương trình cho 3sin2x 0 , ta được
2
sin sin
2
3
3
x x
m
Xét hàm số
2
sin sin
2
3
3
x x
y
hàm số nghịch biến
Ta có: 0 sin 2x1 nên 1 y 4
Vậy bất phương trình có nghiệm m4 Chọn đáp án A
Bài tập Tìm số nguyên m nhỏ để bất phương trình
3
log x x 2x 3x log x m 1 (ẩn
x) có hai nghiệm phân biệt
A. m3 B. m2 C. m1 D. m 1
Lời giải Chọn B
3
log x x 2x 3x log x m 1
Điều kiện x0
3
1
1 log x x 2x 3x m
x
3
3
1
log x 2x 3x m
x
Xét
3
1
log
f x x x x
x
, với x0
2
1
6
1
1 ln
x
f x x x
x x
(24)Vậy bất phương trình có hai nghiệm m 0 m Vậy m2
Bài tập Biết tập nghiệm bất phương trình
3
log x x log x x 3 a b; Khi tổng a2b
A.3 B. C. D.1
Lời giải Chọn C
Xét hàm số
3
log log
f x x x x x
2 2
1
2
5 ln
2 4 ln
f x x
x x
x x x x
Dễđánh giá
2 2
1
0 ln
2 4 ln
g x
x x
x x x x
, x
Bảng biến thiên:
Có f 0 f 1 3 dựa vào bảng biến thiên ta có f x 3 x 0;1 Vậy a0;b1; suy a2b2
Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số a a 0 thỏa mãn
2017
2017 2017
1
2
2
a a
a
A. 0 a B.1 a 2017 C. a2017 D. 0 a 2017
Lời giải Chọn D
Ta có
2017
2017 2017
1
2
2
a a
a
2017
2 2017
1
2017log log
2
a
a a
–
(25)2017
2 2017
1
log log
2
2017
a a
a
Xét hàm số
2
2
1
log log 4 1 log 4 1
2 1
x
x x
x x
y f x
x x x
Ta có
2
4
ln 4 ln4 4 1 ln 4 1
1 4 1
0
ln2 ln2
x
x x x x
x
x
'
.x . .x
y
x x
2
4 ln4 ln
1 0
ln2
x x x x
x
. y
x
, x Nên y f x hàm giảm 0;
Do f a f2017,a0 0 a 2017
Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 2 x2log2x m 0 nghiệm với giá trị x1; 64
A. m0 B. m0 C. m0 D. m0
Lời giải Chọn B
Ta có log 2 x2log2x m 0 2
2
log x log x m
Đặt log2x t , x1; 64 t 0;
Khi đó, ta có t2 t m 0 m t2 t *
Xét hàm số f t t2 t với t 0; 6
Ta có f t 2t 0, t 0;6 Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình cho với x1; 64 bất phương trình * với t 0; m
Bài tập 10 Giả sử S a b, tập nghiệm bất phương trình
2 2
2
5x 6x x x log x x x log x 5 6 x x Khi b a
A.
2 B.
7
2 C.
5
2 D.
(26)Chọn A
Điều kiện: 2
6
x x x
0
2
x x
D0;3
2 2
2
5x 6x x x log x x x log x 5 6 x x
2
2
5x x x x log x x x log x 5 x x
2
2
1 log log
x x x x x x x
2
2
5 xlog x x x x
2
2
2
2
5 log
1
5 log
1
x x
I
x x x
x x
II
x x x
Giải hệ (I)
2
2
5 log
1
x x
x x x
Giải 1 5xlog2x0
Xét hàm số f x x log2x x
xg x với x0;3 Ta có 52 0;3
ln
g x x
x x
Lập bảng biến thiên
Vậy f x x log2x x 0;3
x
Xét bất phương trình (2): 6 x x2 x 1 2
6
1
x x x
x
2
2
1
x x
x
5 x x x
5
x
(27)Vậy nghiệm hệ I 5;3
D
Hệ II vô nghiệm
Vậy 5,3
S
5
3
2
b a
Bài tập 11 Có giá trị nguyên thuộc khoảng 9;9 tham số m để bất phương trình
3logx2log m x x 1 x 1x có nghiệm thực?
A. B. C.10 D.11
Lời giải Chọn B
Điều kiện
2
0
1
x
m x x x x
0
1
x
m x x
0
1
0 x
x m
x
Bất phương trình cho tương đương
2
3
logx log m x x 1 x 1x
2
3 1 1
x m x x x x
1 1
x x m x x x x
2
1 1
1
x x x x x x
m
x x
x x
Áp dụng bất đẳng thức si ta có
1
1 2
1
x x
x x x x
x x
Vì m x 1x