Cách 2: Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x... Phương pháp đánh giá: 1..[r]
(1)Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH; BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH; HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARÍT
I/ CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ:
1- Tính chất hàm số mũ: y a ; a 0x ( )
= > (a cơ số)
x
1) a >0; x∀ ∈ℝ 2) a0 = ∀ >1; a 0; a1 =a 3) a am n =am n+ m
m n x
n x
a
4) a ; a
a a
− −
= = 5) a.b( )x =a bx x
x x
x
a a
6)
b b
=
( )( )
x y
7) a >a ⇔ a x y− − >0
Hàm số y a= x đồng biến a 1> nghịch biến a 1< <
[f (x)]g(x) [f (x)]h(x) [f (x) g(x) h(x)][ ]
f (x)
− − =
= ⇔
>
[f (x)]g(x) [f (x)]h(x) [f (x) g(x) h(x)][ ]
f (x)
− − >
> ⇔
>
2- Tính chất hàm số lơgarít: y log x;= a (0 a 1< ≠ ) Tập xác định: D =(0;+∞ =) ℝ+
a a
1) log 0; log a 1= = 2) alog xa =x
a a
3) log xα log x = α
( )
a a a
4) log xy =log x log y+ a a a x
5) log log x log y y
= −
a a
1 6) log xβ = log x
β c
a
c log b 7) log b
loa a
= 8) log x log ya > a ⇔(a x y− )( − )>0
Hàm số y log x= a đồng biến a 1> nghịch biến a 1< <
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
g x g x
f x h x log f x log h x
0 g x
= >
= ⇔
< ≠
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
g x g x
g x f x h x log f x log h x
0 g x
− − >
> ⇔
< ≠
II/PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1- Phương pháp chuyển số: af x( ) ag x( )(0 a 1) f x( ) g x( )
= < ≠ ⇔ =
Các phương trình có dạng: af x( ) bg x( )
= đó: b aα
= b c ;a cα β
= = được giải cách đưa số
1 Giải PT mũ sau:
2
cos 2x sin x cos x sin x
1
a) 4.5 25
25 + =
x x x 2x
b) 25 +36.7 =7 +35.5 Giải phương trình:
2
2x 5x 1 1)
8
− −
=
2
x x
5) x 3− − = x 3−
2
10x 3x
x 2− − = x 2− Cho phương trình: 3x2−4x 5+ =9m ( )1
a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu
Ta có: ( )1 x2 4x 2m f x( ) x2 4x 2m 2( )
⇔ − + = ⇔ = − + − =
(2)Phương trình (1) có nghiệm trái dấu phương trình (2) có nghiệm trái dấu
( )
af 0 m ⇔ < ⇔ >
4 Cho phương trình: 24x3 m 1x ( )1
8
−
= , với m 1> a Giải phương trình với m =
b Chứng minh rằng: với m 1> phương trình ln có nghiệm
( )1 24x3−m 2−3x 4x3 m 3x 4x3 3x m
⇔ = ⇔ − = − ⇔ + =
Với m = 7: ta được: 4x3+3x 0− = ⇔(x 4x− )( +4x 7+ )= ⇔0 x 1=
Xét hàm số: y 4x= +3x Ta có y' 12x2 3 0; x
= + > ∀ ∈ℝ nên đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y 4x= 3+3x tại
1 điểm phân biệt phương trình 4x3+3x m= ln có nghiệm phân biệt
Cách xác định nghiệm: đặt a m m2 1; a
2 a
= + + α = −
α nghiệm phương trình 4x3 3x m
+ =
5 Cho phương trình: 8mx3−2x2+3x 2− =4mx2+ −x ( )1 a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
HD: ( )1 23 mx( 3−2x2+3x 2− ) 22 mx( 2+ −x 2) (3x mx)( 2x 1) 0
⇔ = ⇔ − − + =
• Cho phương trình ax3+bx2+cx d 0+ = với a, b, c, d số nguyên Khi phương trình có nghiệm hữu tỷ p
q p ước d q ước a Ví dụ 3: Giải phương trình:
HD: x( x) ( x)
3 pt⇔3.3 5+ −5 5+ =0⇒x log 1= −
2- Phương pháp lơgarít hố: f (x ) g(x) ( ) a
a =b ⇔f (x)= log b g(x),(a 0,a 1,b 0, b 1)> ≠ > ≠ • Có thể lấy logarit theo số vế
• Ta thường sử dụng phương pháp cho phương trình mũ vế có dạng tích
lũy thừa
• Thông thường ta cần biến đổi rút gọn phương trình trước logarit hóa
1 Giải phương trình:
x
x 3(x 2)
8 + 36.3 ;(x+ 2)
= ≠ −
( x 2) ( ) ( )
2 2
3
x x
log 36.3 2log (x 2)log x x log
x x
x x log
+
⇔ = ⇔ = + + + ⇔ + + + =
+ +
⇔ = − ∨ = − − Giải phương trình:
x x x
3 + =36,(x≠ −1)
( )
x x x 1
2 2
1
log (3 ) log 36 2log x log x x log x
+
⇔ = = + ⇔ − + = ⇔ = ∨ = − −
+
3 Giải phương trình:
2
25 5
log (5x) log 7
7 − =x ,(x 0)>
( log (5x) 1225 ) ( log 75 ) ( )
5 25 5
log − log x log (5x) log log 7.log x
⇔ = ⇔ − =
2
5 5
log x 5log x log x log x x 5− x 125
(3)4
3x x x 1 2− +
=
Điều kiện: x≠ −1
3x x x 1
2 2
3x
pt log (5 ) (x 2)log (x 2) log
x x
− +
⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + =
+ +
ĐS:
5 x 2; x= = − −1 log Giải phương trình sau:
2
x 2x a)
2
−
= b) 2x2−4 =3x 2− c) 23x =32x
( )
2 2
x 2x x 2x
2
3
a) 2 x log x log
2
− − +
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ±
( ) ( )( )
2
x x 2
2
b) − − x x log x x log
= ⇔ − = − ⇔ − + − =
x x x
3 x x
3
2 log3
c) 3 log 2 log x log log
2 log
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
6 Giải phương trình:
x x x
1) 500
−
=
3x 1
x x x
2) 16 0,25.2
+ −
− + = −
x x 17
x x
3) 32 0,25.128
+ +
− = −
( )
x x
x x x x
2
1
1) 500 x log x x log x
− −
−
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
7 Giải phương trình:
2 x x 1) −
= 2) 8x 2+ =4.34 x− 3) 7x 2− x 1− x =245 x x x x x x
4) 2 + + 3 + +
+ + = + + 5)5x 5x 1+ 5x 3+ 3x 3x 3+ 3x 1+
+ + = + − 4) 2x 12− +2x2+2 =3x2 +3x 12−
x x x 6) 5− − 12
= ( )
1
2
x
7) x + − −4 x =4 x + −4 4x 8−
3- Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Cách 1: Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với một ẩn phụ
Dạng 1: ( ) ( )
( )
2f x f x
a a 0 a
α + β + γ = < ≠
Phương pháp giải: Đặt t a= f (x) điều kiện hẹp: t 0> ⇒a2f x( ) =t2 Phương trình trở thành:
2
t t
α + β + γ = Giải phương trình:
( )
2x
x x
7
1 0,7
100 = +
2
1
x x
1
2 12
3
+
+ =
2
1 cot x sin x +2 =3
2
x x x x 4 − + 5.( 2) − + −
− = x2− +2 x−5.2x 1− + x2−2 =6 9x 12− −36.3x2−3+ =3
x x x + + + 16
+ = +
2 Cho phương trình: (m 1).4+ x +(3m 2).2− x 1+ −3m 0+ = a Giải PT m 3=
b Định m để phương trình có nghiệm trái dấu
HD: m= −1 không thoả, m 1 m
2 ≠ − ⇒− < <
3 Cho phương trình: 49x +(m 1).7− x +m 2m− =0 Định m để phương trình có
nghiệm trái dấu
(4)5. Định m để phương trình (m 3).16+ x +(2m 1).4− x +m 0.+ = có nghiệm trái dấu
6 Cho phương trình: 16x−m.8x+(2m 1).4− x =m.2x ( )1 a Giải PT m =2
b Định m để phương trình có nghiệm
HD: Đặt t 2= x phương trình trở thành: (t 1) t− 2−mt2+(2m 1)t m− + =0 Điều kiện
toán t2 mt2 (2m 1)t m 0
⇔ − + − + = có hai nghiệm dương phân biệt khác
Dạng 2: a2f x( ) ( )ab f x( ) b2f x( ) 0 (a, b 0;a 1, b 1)
α + β + γ = > ≠ ≠
Phương pháp giải: Chia vế phương trình cho b2f x( ) đặt
f (x) a t
b =
điều kiện hẹp: t 0> Phương trình trở thành: α + β + γ =t2 t
Dạng 3: af x( ) bf x( ) 0
α + β + γ = với (0 a,b 1;a.b 1< ≠ = ) hay αaf x( )+ βbf x( )+ γcf x( ) =0 với
a b a,b,c 1;
c c
< ≠ =
Phương pháp giải: Đặt t a= f x( ) hay
( ) f x a t
c =
điều kiện hẹp:
( ) f x t b
t > ⇒ = hay ( )
f x
b
c t
=
Phương trình trở thành:
t t
α + γ + β = Cho phương trình: m.16x +2.81x =5.36 x
a Giải phương trình m 2=
b Tìm m để PT có hai nghiệm dương phân biệt
2 27x 12x 2.8x
+ = HD: Chia 2vế PT cho 8xvà đặt ẩn phụ
3
1 1
x x x
6.9 −13.6 +6.4 =0 ĐS: x= ±1
4 Giải phương trình:
2
sin x cos x
1 +2 = +2 2 81sin x2 +81cos x2 =30 9sin x2 +9cos x2 =10
2
sin x cos x
4 +4.2 =6 x 31− x
− + = 2x2−x 22 x x+ −
− =
5 Giải phương trình: 2
1 cot x sin x
4 +2 − =3
HD: Đặt t 2= cot x2 ≥1, phương trình trở thành: t2 2t t t x k
2 π + − = ⇔ = ∨ = − ⇔ = + π Giải phương trình:
( ) (sin x )sin x
1 3+ + 3− =4 5( + 24) (x+ 5− 24)x =10
( ) (x )( )x ( )
3 2+ + 2+ − =4 2+ (2+ 3) (x+ 2− 3)x =14
x x
7
5
2
+ −
+ =
( ) ( )
2
(x 1) x 2x 2 3
2
− − −
+ + − =
−
( ) (x )x
7 6− 35 + 6+ 35 =12 ( ) ( )
x x
4) 3+ −3 2− + =2
(3 ) (x )x
9 3+ + 3− =6 ( ) ( )
tan x tan x
(5)( ) (x )x x
1) 3+ + 3− −7.2 =0 2) 3( + 5)x +16 3( − 5)x =2x 3+
( )x ( )x x
3) 21 21 +
− + + = 4) 22x 12+ −9.2x2+x +22x 2+ =0 cos x sin x log
2sin x 2cos x 1 2sin x 2cos x
5)
10
− −
− + − +
− + =
8 Giải phương trình: ( ) ( )
x x
7 3+ −3 2− + =2
HD: Đặt ( ) ( ) ( )
x x x
2
t 3 ; t
t
= + > ⇒ − = + =
Phương trình trở thành: t3+2t 2− = ( )⇔ = ⇔t x 0= Giải biện luận phương trình: ( ) ( )
x x x 3
3 m +
+ + − =
HD:
x x
3 5
pt m
2
+ −
⇔ + =
Đặt
x x
3 5
t
2 t
+ −
= > ⇒ =
, phương
trình trở thành: t2−8t m 0+ = ⇔(t 4− )2 =16 m− ( )2 10.Giải phương trình: 22x 12+ −9.2x2+x +22x 2+ =0 ( )1 HD: pt 22x2−2x 1− 9.2x2− −x 1 0 2.22 x( 2−x) 9.2x2−x 4 0
⇔ − + = ⇔ − + = Đặt
1
x x 4
t − 2−
= ≥ , phương
trình trở thành: 2t2 9t t t 1( ) x x
2 loại
− + = ⇔ = ∨ = ⇔ = − ∨ =
11.Giải phương trình: 23x 6.2x 3 x 1(1 ) 12x
2 −
− − + =
HD: 3x x
3x x
2
pt
2
⇔ − − − =
Đặt
3
x 3x x x x
x 3x x x x
2 2 2
t 2 3.2 t 6t
2 2 2
= − ⇒ − = − + − = +
, phương trình trở thành:
3 x
x
t 6t 6t t x
2
+ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
12.Giải phương trình: 1+ 2− 2x =(1 2+ − 2x).2x
HD: Điều kiện: 2− 2x ≥ ⇔0 22x ≤ ⇔1 x 0≤ ⇒0 2< 2x≤1 Đặt sin t 2= x với t 0;
2 π
∈
,
phương trình trở thành: 1 sin t2 sin t sin t( ) cost sin t sin 2t
2
+ − = + − ⇔ = +
t 3t 3t
2 cos sin sin t t x x
2 2
π π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∨ = ⇔ = − ∨ =
13.Giải phương trình: 4.33x −3x 1+ = 9− x (HD: 3x cos t; t 0;
2 π
= ∈
) 14.Giải phương trình:
x x 3x
1 125 50 +
+ = 22x+23 4x− =6 3x +33 2x− =6 3x x 2x 4x
4 4.2 3.2 + +
− = − +
(6)x x 2x 1 25 10 +
+ = 6.32x −13.6x+6.22x =0 4x −2.6x =3.9x x
x x 2
4 4.3 −9.2 =5.6
1 1
x x x
5 2.4 +6 =9 3.16x +2.81x =5.36x 16.Giải biện luận phương trình:
x x
a m.3 m.3−
+ = b m 2( ) x m.2−x m
− + + =
17.Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
( ) 2x ( ) x
a m m 3− m
− + − + + = b m 4( − ) x −2 m 2( − ) x +m 0− = 18.Cho phương trình: (m 16+ ) x+(2m 4− ) x+m 0+ = ( )1
a) Giải phương trình với m
4 = −
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu
HD: Đặt t 4= x >0, phương trình trở thành: (m t+ ) 2+(2m t m 2− ) + + = ( )
a Với m t t x x log 94
4
−
= − ⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = −
b Phương trình (1) có nghiệm trái dấu, tức là: x1 x2
1 2
x < <0 x ⇔4 <4 <4 ⇔t < <1 t Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 m
4 < < ⇔ − < < − 19.Cho phương trình: 4x −m.2x 1+ +2m 1= ( )
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
1
x , x thỏa x1+x2 =3 HD: Đặt t 2= x >0, phương trình trở thành: t2−2mt 2m 0+ = ( )2
a Với m 2= ⇔ =t 2⇔x 1=
b Phương trình (1) có nghiệm x x1
1 2
x , x : x x + t t
+ = ⇔ = ⇔ =
Phương trình (2) có nghiệm t t1 2 = ⇔8 m 4=
20.Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 x x 1
m 2 + m + 2m
− − + + − =
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
HD: Đặt t 2= x 12+ ≥2, phương trình trở thành: (m t− ) −2 m t 2m 2( + ) + − = ( )
a Với m t t 6( ) x
7 loại
= ⇔ = ∨ = ⇔ =
b Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t 2≥ • m = 2: ( )2 t
3 ⇔ = − <
• m : t≠ 1≤ ≤2 t2∨ ≤2 t1 ≤t2 ⇔2 m 9< ≤
21.Cho phương trình: ( ) ( ) ( )
x x
2− +m 2+ =4 a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
1
x , x thỏa x1 x2 log2 33
+
− =
HD: Đặt ( ) ( )
x x 1
t 3
t
(7)b (1) có nghiệm x , x : x1 2 1 x2 log2 33
+
− = ( )
x x
2 −
⇔ + = ⇔t1 =3t2 Phương trình (2) có nghiệm t1 =3t2 ⇔m 3=
22.Cho phương trình: 2.4x 12+ +m.6x 12+ =9x 12+ ( )1 a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm nhất
HD: ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 x x
2 x x x 3
pt 2.2 m 2.3
2
+ +
+ + +
⇔ + = ⇔ + =
Đặt
2 x
3
t
2
+
= ≥
Phương trình trở thành: f t( )=t2−mt 0− = ( )2
a Với m 1= ⇔ = ∨ = −t t 1(loại)⇔x= ± log 11,5 −
b (1) có nghiệm x t1 t2 f m
2
⇔ = ⇔ ≤ = ⇔ = ⇔ =
(vì a.c= − <2 0) 23.Cho phương trình: 22x 1+ −2x 3+ −2m 0=
a Giải phương trình với m = 32
b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
24.Giải biện luận phương trình: 4.3x − +3 m 3= 2x 25.Cho phương trình: ( ) ( )
tan x tan x
3 2+ + 2− =m a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;
2 π π
−
26.Cho phương trình: m.16x +2.81x =5.36x a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm nhất
Dạng 4: ( ) ( )
( )f x( ) ( )
f x f x
m.a +n.b +p a.b =q a, b 0;a 1, b 1> ≠ ≠ Phương pháp giải: Đưa về dạng tích
1 Giải phương trình: 8.3x +3.2x =24 6+ x
x x x x x
8(3 3) (3 3) (3 3)(8 ) x 1, x
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = =
2 Giải phương trình: 12.3x 3.15x 5x 20 x log35
3
+
+ − = ⇔ =
3 Giải phương trình: 4x2−3x 2+ +4x2+6x 5+ =42x2+3x 7+ +1
HD: 4x2−3x 2+ 4x2+6x 5+ 4x2−3x 2+ .4x2+6x 5+ 1 (4x2−3x 2+ 1 4)( x2+6x 5+ ) 0
+ = + ⇔ − − =
4 Cho phương trình: m.2x2−5x 6+ +21 x− =2.26 5x− +m a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
HD: m.2x2−5x 6+ 21 x− 27 5x− m (2x2−5x 6+ 1 2)( x− m) 0
+ = + ⇔ − − =
5 Giải phương trình:
( )2
2 x 1
x x x
a + 2− +
+ = + 12.3x 3.15x 5x 1+ 20
+ − =
x x x
8.3 +3.2 =24 6+
6 Giải biện luận phương trình:
( )2
2 x 2
x 2x m x 2n
a − + + − −
− = − ( )
2
2 x 1
x x m x 2m
b + + + − +
(8)Cách 2: Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với một ẩn phụ hệ số chứa x
1 Giải phương trình: 32x−(2x +9 3) x +9.2x =0
HD: Đặt t 3= x >0 phương trình trở thành: t2−(2x +9 t 9.2) + x = ⇔ = ∨ =0 t t 2x
2 Giải phương trình: 9x2 +(x2 −3 3) x2 −2x2 + =2
HD: Đặt t 3= x2 ≥1 phương trình trở thành: t2 +(x2−3 t 2x) − 2+ = ⇔ = ∨ = −2 t t x2
3 Giải phương trình: 42x +23x 1+ +2x 3+ −16 0=
HD: Đặt t 2= x >0 phương trình trở thành: t4+2t3+8t 16 0− = ⇔42−2t.4 t− 4−2t3 =0 Đặt u 4= ta được phương trình: u2−2t.u t− 4−2t3 = ⇔0 u t t t 1= − ( + )∨u t t t 1= + ( + )
4 Giải phương trình:
( )
2x x
1) − 3x 10 − x
+ − + − = 2) 3.4x 3− (3x 10 2) x x
+ − + − =
Đặt t 3= x 2− >0 phương trình trở thành: 3t2 +(3x 10 t x 0− ) + − =
(3x 8)2 t t x
∆ = − ⇒ = ∨ = −
5 Giải phương trình:
x x
1 3.4 +(3x 10).2− + −3 x 0= 9x +2(x 2).3− x +2x 0− =
x x
3 3.25 − (3x 10).5 − x
+ − + − = 3.4x +(3x 10)2− x + − =3 x Cho phương trình: m 22 3x −3m.22x +(m2 +2 2) x −m 0;= (m 0≠ )
a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
HD: Đặt t 2= x >0 phương trình trở thành: m t2 3−3m.t2+(m2+2 t m 0) − =
( ) ( )
2
2
1 2t
m t t 3t m 2t m m
t t
⇔ + − + + = ⇔ = ∨ =
+ Giải phương trình: 9x +2 x 3( − ) x +2x 0− =
HD: Đặt t 3= x >0 phương trình trở thành: t2+2 x t 0( − ) − = ⇔ = − ∨ = −t t 2x
8 Giải phương trình: 32x+ 3x +5 0=
HD: Đặt t 3= x >0 phương trình trở thành: t2+ t 0+ = ⇔ −5 t2 ≥ ∧ + =0 t 52−2t t2 + Đặt u 5= ta được phương trình: u2−(2t2+1 u t) + 4− =t
( ) ( )
2
2t 2t 2t 2t
u u
2
+ − + + + +
⇔ = ∨ =
9 Giải phương trình: x2 −(3 x 2− x) + ( − x)=0
HD: Giải PT bậc theo x ⇒x x 2= ∨ = − x ĐS: x 0; x 2= =
10.Cho phương trình: 33x +2m.32x+m 32 x +m 0− =
a Giải phương trình với m 1= +
b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
4- Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số: • Cách 1: Thực theo bước sau:
- Chuyển phương trình dạng: f x( )=k
(9)- Nhận xét:
+ Với x x= 0 ⇒f x( )0 =k⇒x x= 0 nghiệm
+ Với x x> 0 ⇒f x( )>f x( )0 =k phương trình vơ nghiệm
+ Với x x< 0⇒f x( )<f x( )0 =k phương trình vơ nghiệm
1 Giải phương trình
x
x
3
2 x
5
+ = ⇒ =
2 Giải phương trình ( ) ( )
x x
x x
x 3
2 3
2
+ −
+ + − = ⇔ + =
Ta thấy x 2= nghiệm, chứng minh nghiệm nhất
3 Giải phương trình:
x x x
x x x x
2 10
10 10 10
+ + = ⇔ + + =
Ta thấy pt có nghiệm x 1= Xét hàm số:
x x x x x x
2 2 3 5
f (x) f '(x) ln ln ln 0; x R
10 10 10 10 10 10 10 10 10
= + + ⇒ = + + > ∀ ∈
Suy f(x) hàm đồng biến R.Vậy pt có nghiệm nhất x 1=
4 Cho phương trình: 3x −4−x =m Chứng minh rằng: với m phương trình ln có
nghiệm
Số nghiệm phương trình số giao điểm của đồ thị hàm số y 3= x −4−x đường thẳng
y m=
Xét hàm số y 3= x −4−x xác định ℝ
Ta có: y' ln ln 0; xx −x
= + > ∀ ∈ℝ Do hàm sốđồng biến ℝ
Giới hạn:
xlim y→−∞ = −∞; lim yx→+∞ = +∞
Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
y' +
y +∞
−∞
Vậy với m phương trình ln có nghiệm
5 Giải phương trình: x 2.3+ log x2 =3
Điều kiện: x 0>
2
log x log x
x 2.3+ = ⇔3 2.3 = −3 x
• Ta có vế phải phương trình hàm số nghịch biến cịn vế trái phương trình
hàm số ln đồng biến Do đó, nếu phương trình có nghiệm nghiệm nhất
Mắt khác: với x 1= ta có: 2.3log 12 =2 1= − Vậy x 1= nghiệm nhất của phương trình Giải phương trình:
x
1) + − =x 2) 3x+4x =5x 3) 15x2+ =1 4x
( ) (x )x x
4) 3− + 3+ = ( ) ( )
x x
x 2− + 2+ =2
x x 6) 3+ =2 Giải phương trình: 8+ x2 =3x
x x
x x
2
1
3
+ = ⇔ + =
(10)Với
x
x
1 8
x
3 3
> ⇒ + < + =
phương trình vơ nghiệm Với
x
x
1 8
x
3 3
< ⇒ + > + =
phương trình vơ nghiệm Vậy x 2= nghiệm phương trình
• Cách 2: Thực theo bước sau:
- Chuyển phương trình dạng: f x( )=g x( )
- Xét hàm số y f x= ( ) y g x= ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số y f x= ( ) đồng biến hàm số y g x= ( ) nghịch biến Xác định x0 cho f x( )0 =g x( )0 - Vậy phương trình có nghiệm x x= 0
• Cách 3: Thực theo bước sau:
- Chuyển phương trình dạng: f u( )=f v( ) ( )1
- Xét hàm số y f x= ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)
- Khi đó: ( )1 ⇔u v;= ∀u, v∈Df Giải phương trình: ( )
2 3x x
3
1
log x 3x 2
5
− −
− + + + =
Điều kiện: x2−3x 0+ ≥ ⇔ x x 2≤ ∨ ≥ Đặt: u= x2−3x 0+ ≥ ⇒3x x− 2− = −1 u2
Khi phương trình có dạng: ( ) u 12 ( )
3
log u − 2
+ + =
Xét hàm số: y log x 2= 3( + )+5x 12−
Miền xác định: D =[0;+∞) Đạo hàm:
( )
2 x 1
y' 2x.5 0; x
x ln
−
= + > ∀ ∈
+
D Suy hàm sốđồng biến D
Mặt khác: f 1( )=log 23( + )+51 1− =2
Vậy: ( )2 f x( ) f 1( ) u x2 3x x
2 ±
⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =
Vậy phương trình có hai ngiệm: x
2 ± =
2 Cho phương trình: 5x2+2mx 2+ −52x2+4mx m 2+ + =x2 +mx m+ a) Giải phương trình với m
5 = − b) Giải biện luận phương trình
Đặt t x= 2+2mx 2+ phương trình trở thành: 5t + =t 52t m 2+ − +2t m 1+ − ( )
Xét hàm số: f t( )=5t+t đồng biến ℝ Vậy ( )1 ⇔f t( )=f 2t m 2( + − )⇔ =t 2t m 2+ −
2
t m x 2mx m
⇔ + − = ⇔ + + =
a m x x
5
= − ⇒ = ∨ = − b m2 m
∆ = −
(11)• m 1< < phương trình vơ nghiệm
• m m 1< ∨ > phương trình có nghiệm phân biệt
3 Cho phương trình: 3x2 2mx 4m m
x m
+ + − −
− =
+ a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−4;0]
( ) (2 )2
2 x m m 2 1
x 2mx 4m m m
3
x m x m
+ − − +
+ + − − −
− = ⇔ − =
+ +
Đặt t= x m+ >0 ta được: ( ) ( )
2
t m m
3
t
− − + −
− =
Ta có:
• ( ) ( )
2
t m f t − − +
= − hàm đồng biến với t >
• g t( ) m t −
= hàm nghịch biến với t >
Vậy (1) có nghiệm Mặt khác: f m 2( − )=g m 2( − ) Suy ra: t= m 2− ⇔ x m+ = m 2− ⇔x= − ∨2 x 2m= −
4 Giải phương trình:
( ) ( )
2 x x
1) x + −3 x 2+ − =0 2) 22x 1− +32x +52x 1+ =2x +3x 1+ +5x 2+ Giải phương trình:
( )
3 3x 2x x
1) x +2 +3x.2 + 3x 2+ + − =x 2) 2− x2−x+2x 1− =(x 1− )2
( ) ( ) (3 )
3 3x 2x x x x
1) x +2 +3x.2 + 3x 2+ + − = ⇔x 2 +x + +x =2
Xét hàm số: f t( )=t3+t đồng biến f 1( )=2⇒f 2( x +x)=f 1( )⇒2x +x 1= ⇒x 0=
Cách khác: đặt t 2= x +x ta được phương trình: t3+ − = ⇔ =t t
( )
2 2
x x x x x x
2) − − x − x − x x
− + = − ⇔ + − = + −
Xét hàm số: f t( )=2t +t đồng biến f x 1( − )=f x( 2−x)⇔x x− = 2− ⇔x x 1=
6 Giải phương trình:
2x x 1
1) e e
2x x
− −
− = −
− − ( )
2
m x 4x 3m
2) + + m x 3m
− = − + −
2x x 1 2x x 1
1) e e e e
2x x 2x x
− − − −
− = − ⇔ − = −
− − − −
Xét hàm số: f t( ) et
t
= − đồng biến f x 1( − )=f 2x 5( − )⇔ x 1− = 2x 5− ⇔x x 4= ∨ =
( )
2
m x 4x 3m m x 4x 3m
2) + + m x 3m + m x + 4x 3m
− = − + − ⇔ + + = + +
Xét hàm số: f t( )=2t +t đồng biến f m x 6( + )=f 4x 3m( + )⇔m x 4x 3m2 + = +
7. Phương pháp đánh giá: Giải phương trình:
2 x
1) =cos 2x ( ) ( )
2
x x x
2
(12)VT VT VT VP
VP VP
≥ =
⇒ = ⇔
≤ =
2 Giải phương trình: 416 x− =2x +2−x
VP VT
VT VP x
VT VP
≥ =
⇒ = ⇔ ⇔ =
≤ =
3 Giải phương trình:
x x
x x x x
2
4 +1 2+ +1 4+ +2 =
Với a ;b 4= x = x phương trình có dạng: a b
b a a b+ + + + + =
( )
a b 1 1
VT 1 a b
b a a b a b a b
= + + + + + − = + + + + −
+ + + + + +
( ) ( ) ( ) Cauchy
1 1
a b a b
2 a b a b
= + + + + + + + − ≥
+ + +
Đẳng thức xảy khi: a b a b+ = + = + ⇔ =a b 1= ⇔x 0=
4 πsin x = cos x
HD: Dùng PP đối lập ĐK 0≤ sin x ⇒1≤ πsin x; cos x 1≤
sin x sin x x k pt
cos x sin x x l
= = = π
⇒ ⇔ ⇔
= = = π
ĐS: x 0=
5
2 2x x x
x
− +
=
HD: ĐK: x 0> ( )
2
2 1 x
2x x x 1
2 2; x
x x
− −
− +
= ≤ = + ≥ ĐS: x 1=
6 Giải phương trình: 416 x2 2x 1x
2
− = +
7 Giải phương trình:
25x
3x 5
3 5.3 27
+
− + =
Đặt t 3= x >0 phương trình trở thành: 55
3
2
t 27 5.t 27 t
t 27
− + = ⇔ + =
Cauchy
2 2
3
1 1 1
VT t t t
3 3 t t 27
= + + + + ≥
Đẳng thức xảy khi:
3
1 1
t t x
3 = t ⇔ = ⇔ =
Một bất đẳng thức quan trọng thường áp dụng giải phương trình mũ phương pháp đánh giá bất đẳng thức Bernouli:
Với t 0> ta có: ( )
( ) [ ]
t t 1;
t t 1; 0;1
α α
+ − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥
+ − α ≤ ∀α ∈
Do phương trình mũ có dạng: ax x a( ) 1 a
x x >
+ − = ⇔
= ∨ =
8 Giải phương trình sau:
x
(13)a Biến đổi phương trình về dạng: ( )
Bernouli x
3 + x 1− = ⇔ x x 1= ∨ =
b Biến đổi phương trình về dạng: 22x2−x =2x2 − + ⇔x 22x2−x +(1 2x− )( 2−x)= +1
2
2x x 2x x x x x
⇔ − = ∨ − = ⇔ = ∨ = ∨ = ±
9 Giải phương trình sau:
x x
a) +2 =3x 2+ b) 9x +3x =10x 2+ a Theo bất đẳng thức Bernouli ta có:
• Với x x 0≥ ∨ ≤ : x
x x
x
3 2x
3 3x 1x
≥ +
⇒ + ≥ +
≥ +
,
đẳng thức xảy khi: x x 1= ∨ =
• Với x∈(0;1): x
x x
x
3 2x
3 3x x
< +
⇒ + < +
< +
suy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x 0; x 1= =
b Theo bất đẳng thức Bernouli ta có:
• Với x 1≥ :
x x
x x
x x
9 8x
9 10x 3 2x
= ≥ +
⇒ + ≥ +
= ≥ +
,
đẳng thức xảy khi: x 1=
• Với x 0≤ :
x x
x x
x x
9 8x 8x
9 10x 3 2x 2x
− −
= ≥ − + ≥ +
⇒ + ≥ +
= ≥ − + ≥ +
,
đẳng thức xảy ra: x 0=
• Với x∈(0;1):
x x
x x
x x
9 8x
9 10x 3 2x
= < +
⇒ + < +
= < +
suy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x 0; x 1= =
10.Giải phương trình: 2sin x2 +2cos x2 =3 Vì 0 sin x;cos x 12
≤ ≤ nên:
2
2
2
sin x
sin x cos x cos x
2 sin x
2
2 cos x
≤ +
⇒ + ≤
≤ +
Đẳng thức xảy khi:
2 2
2 2
sin x sin x sin x
x k cos x cos x sin x
= ∨ = = π
⇔ ⇔ =
= ∨ = =
11.Giải phương trình sau:
( ) x ( ) x
a) x 2x −
+ = + ( ) ( )
2
x x x
b) 2x − x −
− = − c) 21 sin x− (2 x2)1 x+
= + 12.Giải phương trình sau:
x x 2x
a) −2x − 2x 1 4x 4x.5+ = + + +5 b) 3x 12− +(x2−1 3) x 1+ =1 13.Giải phương trình sau:
x 2x 3x
2x 3x x 3x 2x x
2 2
a)
2 +2 +2 +2 +2 +2 =
x x
x 2 x x x
2
b)
4 +m +m +1 2+ +m =m +1 14.Giải phương trình sau:
x
a) =4x 1+ b) 27x2 =(6x2−4x 9+ ) x 15.Giải phương trình sau:
x x
a) +5 =6x 2+ b) 3x +2x =3x 2+ c) 7x +3x =8x 2+ BÀI TẬP
(14)1/
x x
x
2
+ =
− HD: ĐK
1 x
2
≠ Qui đồng khử mẫu đặt ẩn phụ
1/ 8 x.2x 23 x− x 0
− + − =
HD: pt (2x 1 x.2)( x) 0
⇔ + − = ĐS: x 2=
Bài 6: Giải PT sau:
2
log (sin x 5sin x cos x 2) 1 3)
9
+ +
=
2
log x 3log x 2 log x
9) x − − 10−
=
log x
log x
8) x 10
+
+
= III/ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARÍT:
Phương trình bản:
Dạng 1: ( ) ( ) b
a
log f x =b⇔f x =a
Dạng 2: log f (x) log g(x)a = a ⇔f (x) g(x) 0= >
Lưu ý: Việc chọn f x( )>0 g x( )>0 tùy thuộc vào độ phức tạp của f(x) g(x)
1 Giải phương trình sau:
( )
2
1 log x +4x 4− =2 log (x3 2−3x 5) log (7 2x)− = 3 −
( 2) ( )
1
3
3 log x +x −2+log 2x 2+ =0 4{ 2( ) } log 2log log 3log x
2
+ + =
2 Giải phương trình: log x log x log x3 + 4 = 5 Giải phương trình sau:
( )
2
1 log x 6+ =3 logcos x4.logcos x2 1=
3 2x log
x
3
−
= Giải phương trình sau:
( )2 ( )
2
1 log x 1− =2log x + +x 2 1
2 log (x −1) log (x 1)= −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 log x + +x +log x − +x =log x +x +1 +log x −x +1
( ) ( )
2 2
4 log x +3x 2+ +log x +7x 12+ = +3 log
2
5 log x log x log x log x+ + = x log 2+ ( + x)=x log5 log 6+
( ) ( x ) ( x )
5 5
7 x log log + log 11.3
− + + = − log x 14( + )2+ =2 log 2 x log x− + 8( + )3
5 Giải phương trình sau:
( ) ( ) ( )
1 log x log x 58 log x 4x
+ = + + + + 2 log x( 9 )2 =log x.log3 3( 2x 1+ − )
( )2 ( )3 ( )3
1 1
4 4
3
3 log x log x log x
2 + − = − + +
6 Cho phương trình: 4( 2) 1( 2)
2
2log 2x − +x 2m m− +log x +mx 2m− =0 a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm x , x th1 2 ỏa x12 +x22 >1
( 2) ( 2)
2
2 2
2 2
pt log 2x x 2m m log x mx 2m
x mx 2m x mx 2m
x 2m x m
2x x 2m m x mx 2m
⇔ − + − = + −
+ − > + − >
⇔ ⇔
= ∨ = −
− + − = + −
(15)b
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2m m 2m 2m 1 m 0
1 m m m 2m 2 1
m
5
2m m
+ − >
− < <
− + − − > ⇔
< <
+ − >
7 Cho phương trình: logmx2−(6m x 9m− ) + 2−3m 2+ =logm(x m− ) ( )1 a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
( ) ( ) ( )
2 2
0 m m
pt x 6m x 9m 3m x m f x x 6mx 9m 2m 2
x m x m
< ≠ < ≠
⇔ − − + − + = − ⇔ = − + − + =
− > >
a m 2= ⇒x 6= ±
b (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm lớn m
( )
' 2m
af m 4m 2m m
S 3m 0
∆ = + >
⇔ = − + > ⇔ >
= >
8 Cho phương trình: ( ) ( )
m m
2log x log mx
+ − = + +
a Giải phương trình với m =
b Giải biện luận phương trình theo m
Điều kiện:
2 x mx
>
+ >
( )2 ( )
pt⇔ x 1− =mx + ⇔1 m x− = −2 a Phương trình vơ nghiệm
b m 1< phương trình có nghiệm nhất; m 1≥ phương trình vơ nghiệm
9 Cho phương trình: ( )
( ) ( )
log mx
2
log x 1+ = a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình nghiệm nhất
( ) ( ) ( )
1 x pt
f x x m x
− < ≠
⇔
= − − + =
a m 4= ⇒x 1=
b (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm thỏa: x 0− < ≠
( ) ( )
2
m m 0
af b m 2
m
2a
∆ = − − =
<
⇔ − < ∨ − ⇔
>
− = > −
10.Giải biện luận phương trình:
( )
2
2 3
log + x −3x log+ + − x log− = − m x 2+ với m 0> 11.Cho phương trình: log2 m− (x2+mx)=log2 m− (x m 1+ − )
a Giải phương trình với m =
(16)12.Cho phương trình: logmx2−(6m x 9m− ) + 2−2m 1− =logm(x 3− ) a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt
13.Cho phương trình: log x3( 2+4mx)−log 2x 2m 13( − − )=0 a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt
14.Cho phương trình: log 93( x +9m3)=3 a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm nhất
15.Cho phương trình: logm(x2+mx 3− )=log xm a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm
16.Cho phương trình:
( )
5 log mx
2 log x 1+ = a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm nhất
17.Cho phương trình: ( )
2
x m
x m m
log 2m x log x log log log
−
−
+ =
a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm
18.Cho phương trình: 2log 8x4( −2x 2m 4m+ − 2)−log 4x2( 2+2mx 2m− 2)=0 a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm
1
x , x thỏa x( 12+x22)>1 19.Giải phương trình: logx 3(3 x2 2x 1) (1)
2
+ − − + =
Điều kiện: − <3 x≠ −2
x
1
(1) log (3 x 1) x x (2)
2
+
⇔ − − = ⇔ − − = +
2 x
3 x 5
(2) x x x x ( )
x x 3x 2
+ ≥
− < <
− + − −
⇒ ⇔ + = + ⇔ ⇔ = ∨ =
≠ − + + =
loại
2
4 x 9 29 9 29
x (2) x x x x ( )
2
x 9x 13 − ≥
− +
≥ ⇒ ⇔ − = + ⇔ ⇔ = ∨ =
− + =
loại
Phương pháp đặt ẩn số phụ: Dạng 1:
a a
log f (x) log f (x) (a 0;a 1)
α + β + γ = > ≠
Điều kiện: f (x) 0> Đặt
a
t log f (x)= Phương trình trở thành: α + β + γ =t2 t Dạng 2: αlog f (x)a + βlogf (x)a+ γ =0
Điều kiện: f (x) 1< ≠ Đặt t log f (x)= a Phương trình trở thành: α + γ + β =t2 t
1 Giải phương trình:
( 2)
2 x
1 log 2x log 1= log5x 5.log x 125
x = 2
x
(17)( ) ( )
9
1 log 3x −4x 2+ + =1 log 3x −4x 2+ 3log x2 +xlog 32 =6
3 Giải phương trình: log x4( − x2−1 log x) 5( + x2 −1)=log25(x− x2−1) ( )1
Điều kiện: x 1> Ta có (x− x2−1 x)( + x2−1)=1
Do ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
4 25
1 ⇔log x− x −1 log x− x −1 − =log x− x −1
Đặt t=(x− x2−1)>0 Phương trình trở thành:
2 25
4 25 25 5
4
log t 1
log t.log t log t log t log log log t
log t 2
− = ⇔ = = − = − = ⇒ =
Với t x x2 1 x
2
= ⇔ − − = ⇔ =
4 Giải phương trình:
( x ) ( x )
2
1 log −1 log 2.3 −2 =2 log 52( x −1 log 2.5) 2( x −2)=2 Giải phương trình: log 55( x −1 log) 25(5x 1+ −5)=1
Đk: x 0> ( x ) ( x ) ( x ) ( x )
5 5
1
pt log log 5 1 log lo g
2
⇔ − − = ⇔ − + − =
6 Giải phương trình: log 22 ( x +4)=log 22 x( x +12)
( x ) x( x ) 2x x x x
8 2 12 4.2 12 6(l) 2 x
⇔ + = + ⇔ + − = ⇒ = − ∨ = ⇔ =
7 Cho phương trình: log 52( x −1 log 2.5) 4( x −2)=m ( )1 a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm x 1≥
( x ) ( x )
2
pt⇔log −1 log 5 + −1 =2m
Điều kiện: 5x − > ⇔1 x 0> Đặt ( x )
2
t log 5= −1 Phương trình trở thành:
( ) ( )
f t =t + −t 2m 0=
a Với m 1= ⇒t t= ∨ = −2⇒x log x log 4= 5 ∨ = − 5 b Phương trình (1) có nghiệm x 1≥ ⇔( )2 có nghiệm t 2≥
1
2 t t
⇔ ≤ ≤ (loại t1+t2 = − <1 0) ⇔t1 ≤ ≤2 t2 ⇔m 3≥ Cho phương trình: ( ) ( ) x ( ) ( )
x
2 3 3
m log 3 m log 2 m 1
+
+ + − + − =
a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm dương phân biệt
Đặt t log 3= 2( x +3) phương trình trở thành: f t( )=mt2+2 m t m 0( − ) + − =
( )
x x x
2
x 0> ⇒3 >1⇒3 + >3 4⇒log +3 >2⇒t 2> Giải phương trình: a( ) x( ) a2
1 log ax log ax log
a
=
với a 1< ≠
Điều kiện: x 1< ≠
( a ) a a
a
1 1
pt log x log x log x
log x 2
⇔ + + = − ⇔ = − ∨ = −
(18)10.Cho phương trình: (x 2− )log x 22 ( − ) =2 x 2α( − )3 a Giải phương trình với α =2
b Xác định α để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 5;4
2
( )log x 12( ) ( ) ( )
2
pt x − − 2α log x log x
⇔ − = ⇔ − − − = α
Đặt ( )
2
t log x 2= − Phương trình trở thành: f t( )=t2− − α =t
( )
2
5
x x 2 log x 1 t
2 ≤ ≤ ⇔ 2≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
( ) ( )
1
af
1
0
af 4
S
1
2 ∆ = + α >
− = − α ≥
⇔ = −α ≥ ⇔ − < α <
− < = <
Ví dụ 1: Giải phương trình log(3x 7)+ (4x2 +12x 9) log+ + (2x 3)+ (6x2+23x 21) 4+ = ( )1
Điều kiện: x
2 > −
( )
(3x 7) (2x 3)
1 ⇔log + (2x 3)+ +log + (3x 7)(2x 3) 4+ + =
(3x 7) (2x 3)
2log + (2x 3) log + (3x 7)(2x 3)
⇔ + + + + =
Đặt
(3x 7) (2x 3)
1 t log (2x 3) log (3x 7)
t
+ +
= + ⇒ + = Phương trình trở thành:
2
1
2t 2t 3t t t
t
+ − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =
Với t 1= ⇒x= −4(l)
Với t x 2(l) x
2
−
= ⇒ = − ∨ =
Ví dụ 2: Giải phương trình: x log (9 ) 1+ 2 − x = ( )
Điều kiện: x log 9< 2
( ) x x x
x
1 2
2
−
⇔ − = ⇔ − = Đặt: t 2= x ĐS: x 0; x 3= =
Ví dụ 5: log x2x 2−14log16xx3+40log4x x =0 (1)
Đk: x x
2 > ∧ ≠
x x x x x x
2 42 20 42 20
(1) 0
log (2x) log (16x) log (4x) log 4log 2log
⇔ − + = ⇔ − + =
+ + +
Đặt t log 2= x Phương trình trở thành:
2
1 21 10
0 6t 7t 19 t t
t 4t 2t
−
− + = ⇔ − − = ⇔ = ∨ =
+ + +
Với x 2
5
5 5
t log log x x
6 log x 64
− − − −
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
(19)Bài tập
Bài 1: Giải PT lơgarít sau
1/
2
log x (x 1)log x 2x+ − = − ĐS: x ; x 2= −2 =
2/3log x23 −9 2.x− log x3 =0 3/ 3log x2 +xlog 32 =6
HD: Ta có xlog 32 =3log x2 ĐS: x 2=
4/ log x 2log x log x.log x2 + 7 = + 2 7
HD: ĐK x 0> ( )( )
7
pt ⇔ log x log x 2− − =0 ĐS: x 7; x 4= =
5/ log (log x) log (log x) 24 2 + 2 4 =
HD: Biến đổi log về cơ số ĐS: x 16=
6/
4
log (x 1)+ + =2 log x log (4 x)− + +
HD: ĐK − <1 x 4< pt⇔log x log (16 x )2 + = 2 − ĐS: x 2; x 2= = − 24
7/ 4log 2x2 −xlog 62 =2.3log 4x2 HD: Dùng: xlog 62 =6log x2
ĐK x 0> pt ⇔4.4log x2 −6log x2 =18.9log x2 ĐS: x 2= −2 8/ 3
2
4 log x log x
3
+ =
HD: ĐK x 0> Đặt
t= log x ĐS: x 2=
Bài 2: Giải phương trình lơgarít sau
1/ 1log x log x 02 2
2 − − − = ĐS: x 0; x 3= =
2/ log (x 2) logx2 + + x 2+ x 2=
HD: ĐK: x 1< ≠ Đặt
x
t log (x 2)= + ⇒t −4t 0+ = ĐS: x 2=
3/ log 2.log logx 2x = 16x2 HD: ĐK: x 1; ;1
2 16
< ≠
ĐS: x 4=
4/ log7 x=log3( x+2)
HD: ĐK x< Đặt t log x= 7
Thay vào
t t
7
2 t
3
⇒ + = ⇒ =
ĐS: x 49=
5/ ( )
3
x log (x 1) 4(x 1)log (x 1) 16 0+ + + + + − = HD: ĐK x> −1 Đặt ( )
3
4 t log x t t
x
= + ⇒ = − ∨ =
+ ĐS:
80
x ; x
81 −
= =
Bài 3: Giải PT lơgarít sau (Chú ý: log x log x= 10 )
1) log(x −2x 4) log(2 x)− = − 2) log(1 ) x x log log 6+ x + = +
( x ) ( x )
2 2
3) log + log log +
− = + − 4) log 4.32( x −6)=log 92( x −6)+1
2
3
5) log x+ log x 0+ − = (A 2002)− 6) logx 5x = −log 5x
3
7) log(x 8) log(x 4x 4) log(58 x)
(20)Dạng 2: Đặt ẩn phụ phương trình cịn chứa x
1 Giải phương trình: log x log x.log 4x2 − 2( )+2log x 02 =
Đặt t log x= Phương trình trở thành: ( )
2
t − log x t 2log x 0+ + =
(2 log x2 )2 t t log x2
∆ = − ⇒ = ∨ =
2 Cho phương trình:
( ) ( ) ( )
4 2
log x+ 2m log x m m log x− + − − m −m log x m 0+ − + =
a Giải phương trình với m= −1
b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt
Đặt t log x= Phương trình trở thành:
( ) ( ) ( )
( )
4 2
3
t t 2m t m m t m m t m
t 2mt m t m =
+ − + − − − + − + = ⇔
+ + + − =
Ta xem phương trình (2) với ẩn m cịn t tham số ta được:
2 t t m t m
t + +
= − ∨ = − Do phương trình (2) viết lại thành:
(t m t)( (m t 1) ) 0
+ − + + + =
3 Giải phương trình: (x 2)log (x 1) 4(x 1)log (x 1) 16 0+ 32 + + + 3 + − = ( )1
Điều kiện: x> −1 Đặt
3
t log (x 1)= +
Phương trình trở thành: (x 2)t2 4(x 1)t 16 t t
x
+ + + − = ⇒ = − ∨ =
+ Với t x 80
81 − = − ⇒ =
Với t log (x 1)3
x x
= ⇒ + =
+ +
Với f (x) log (x 1),3 x f '(x) 0; x f (x)
(x 1)ln
>−
= + → = > ∀ > − ⇒
+
đồng biến
Với g(x) g '(x) 2 0, x g(x)
x (x 2)
−
= ⇒ = < ∀ > − ⇒
+ + nghịch biến
x
⇒ = nhgiem65
4 Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 log x +1 + x −5 log x +1 −5x =0 log x 123( + ) (+ x log x 1− ) 3( + )−2x 0+ =
( ) 2( ) ( ) ( )
3
3 x log x 2+ + +4 x log x 2+ + =16 (x log x 1+ ) 23( + )+4 x log x 1( + ) 3( + )=16
( )
2
2
5 log x+ x log x x 0− − + =
Dạng 3: Đặt ẩn phụ biến đổi phương trình dạng tích
1 Giải phương trình: log x x 12 ( − )2+log x.log x2 2( 2−x)− =2 ( )1
Điều kiện: x 1>
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
x x
1 log log x.log x x
x
2log x x log x log x.log x x −
⇔ + − − =
⇔ − − + − − =
Đặt ( )
2
(21)Phương trình trở thành: 2u v uv 0− + − = ⇔(u v− )( − )=0 Cho phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2
2
x 2x 9x m log x log x 2x 9x m log x 2log
x
− − + +
+ − − − + + + =
+ a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Đặt u log x= ( 3−2x2−9x m ; v log x+ + ) = ( 2+1)≥0 Phương trình trở thành:
( )( )
2
v −uv 2u 2v 0− + = ⇔ u v v 2− + = ⇔0 u v=
3 Giải phương trình: log x log x log x log x.log x 022 − 2 + 3 − 2 3 = Giải phương trình: ( ) ( )
log x log x
2 2+ +x 2− = +1 x
Đặt u=(2+ 2)log x2 >0; v=(2− 2)log x2 >0⇒u.v x=
Phương trình trở thành: u uv.v 1+ = +( )uv ⇔(u 1 uv− )( − 2)= ⇔0 u x.v 1= ∨ = Cho phương trình: log x.log x2 2( −2x 3+ )−m log x 2log x2 − 2( 2−2x 3+ )+2m 0=
a Giải phương trình với m =
b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt
Dạng 4: Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình thành hệ
1 Giải phương trình: log x2( − x2−1)+3log x2( + x2−1)=2
Điều kiện: x 1≥
Đặt ( ) ( )
2
u log x= − x −1 ;v log x= + x −1 ⇒u v 0+ = Khi ta được hệ phương trình: u u u x
u 3v v
+ = = −
⇔ ⇔ =
+ = =
2 Với giá trị m phương trình: 3
2
1 log x− + log x+ =m có nghiệm
Điều kiện: x 0>
Đặt 3 3
2
u= log x; v− = log x+ ⇒u +v =2
3 Giải phương trình: log x+ 2( 2−4x 5+ )+2 log x− 2( −4x 5+ ) =6
Điều kiện: 2− 29 x 2≤ ≤ + 29
Đặt ( ) ( ) 2
2
u= log x+ −4x 5+ ≥0;v= log x− −4x 5+ ≥0⇒u +v =8 Giải biện luận phương trình:
3
1 log x+ log x− =m log x+ log x− =m Dạng 5: Sử dụng tính chất liên tục hàm số:
1 Chứng minh phương trình log 2x 12( + )=2x 1− có nghiệm
Điều kiện: x
2 > −
( ) x ( ) x
2
log 2x − log 2x −
+ = ⇔ + − = Xét f x( ) log 2x 12( ) 2x 1−
= + −
Ta có: f f 1( ) ( )<0 nên phương trình có nghiệm
2 Tìm m 1> để phương trình: 2 ( )
x
mx log mx
+
(22)Điều kiện: x
m > −
( ) ( ) ( )
2
x x
mx log= + mx 2+ ⇔f x =mx log− + mx 2+ =0
( ) ( ) ( )
f f m = −1 m −1 <0; m 1∀ >
3 Chứng minh phương trình 2log x 6log x 032 − 2 + = có nghiệm thuộc 1;4
4
4 Chứng minh phương trình log 2x 13( + )=31 2x− có nghiệm
Dạng 6: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số:
1 Giải phương trình: log x2( 2−4)+x log x 2= 2 ( + )
Điều kiện: x 2>
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
log x −4 +x log x 2= + ⇔log x −4 −log x 2+ = −3 x⇔log x 2− = −3 x x 3= nghiệm phương trình
2 Giải phương trình: 2log x 13( +) =x
Điều kiện: x 0>
Đặt ( ) ( )
y y
3 y y
3 y
y log x 2 1
y log x y x
3
x
= +
= + ⇒ ⇒ + = ⇔ + = ⇒ = ⇒ =
=
3 Giải phương trình: ( log x6 )
2
log x 3+ =log x
Điều kiện: x 0>
Đặt ( )
t
t t t t
6
3
t log x x log t t x
2
= ⇒ = ⇒ + = ⇔ + = ⇒ = − ⇒ =
4 Giải phương trình: ( ) ( )
2
2
log x −2x 3− =2log x −2x 4−
Điều kiện: x 1< − x 1∨ > +
Đặt ( )
4
t x= −2x 3− ⇒pt⇔log t 1+ =log t
Đặt
y y
y y y
4
4
y log t t 4 y t x x
5
= ⇒ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∨ = −
5 Giải phương trình: x2 +3log x2 =xlog 52
Đặt ( )t t ( )t log 52 t t t
x
t log x= ⇒ +3 = ⇔4 +3 =5 ⇔ =t 2⇔x 1=
6 Giải phương trình: ( )
2 3x x
3
1
log x 3x 2
5
− −
− + + + =
Điều kiện: x x 2≤ ∨ ≥
Đặt ( )
2 u
3
1
u x 3x log u 2
5
−
= − + ≥ ⇒ + + =
Xét hàm số ( )
( )
2
x x
3
1 2x
y log x y' 0; x
5 x ln
= + + ⇒ = + > ∀ ≥
+ Vậy hàm số đồng biến D =[0;+∞) Mặt khác f 1( ) f u( ) f 1( ) u x
2 ±
= ⇒ = ⇔ = ⇔ =
(23)( )
( ) ( ) ( )
f y x
y f y x f x y f x
=
⇒ + = +
=
Xét hàm số: A t( )=f t( )+t hàm đồng biến ta có: A x( )=A y( )⇔x y= ⇒f x( )=x Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm của phương trình
7 Giải phương trình: log 3log 3x 12 2( − )− =x
Điều kiện:
3 2 1 x
3 + >
Đặt ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
y log 3x
y log 3x y log 3y x log 3x
log 3y x
= −
= − ⇒ ⇒ + − = + −
− =
Xét hàm số: f t( )=log 3t 12( − )+t đồng biến
3 2 1 x
3 +
> Do đó: f x( )=f y( )⇔x y=
Suy ra: ( ) ( ) x
2
log 3x 1− =x⇔g x =2 −3x 0+ =
Ta có: g" x( )>0; x∀ ∈D ⇒g ' x( ) đồng biến D Theo định lý Rơn phương trình
( )
g x =0 có khơng q nghiệm trn6 D Mặt khác g 1( )=g 3( )=0
1 Giải phương trình:
x
1 log x+ +2 2= x
2
2
2 + log x+ = Giải phương trình:
( )
2
2
1 log x+ x log x 2x 0− − + = log x( 2− −x 6)+x log x 2= ( + )+4 Giải phương trình:
( )
3
1 log x log= x 1+ log3( x 2+ )=log2( x 1+ ) log x log7 = 3( x 2+ )
( )
2
4 log 1+ x =log x 10 log x 1x( ) log3
+ = 9 2log x 35( + ) =x
( )
3
6)3log 1+ x + x =2 log x 2log6(4x+8x)=log4 x
( ) ( )
3
8 2log cot x =log cos x ( ) 2 3( )
2
3 log x 2x log + x 2x
+ − − = − −
4 Xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:
( ) ( )
x m x 2x
1
2
4− − log x 2x 2− + log x m
− + + − + =
IV/ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT 1- Phương pháp chuyển số:
Nếu: a 1: a< < f (x) >bg(x) ⇔f (x) g(x)< Nếu: a 1: a> f (x) >bg(x) ⇔f (x) g(x)>
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ( ) ( )
x x
x
5
− −
+
+ ≥ −
HD: ĐK x≠ −1 BPT x x (x x 2)( )
x x
− +
−
− ≥ − ⇔ ≥
+ + ĐS: [− − ∪2; 1) [1;+∞) Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4x2+x.2x 12+ +3.2x2 >x 22 x2 +8x 12+
HD: BPT (x2 2x 3)(4 ) 0x2
⇔ − − − > trường hợp ĐS: − x< < −1; x 3< <
(24)HD: ĐK x
2
− < < BPT ⇔log 2x5( − )<log x 15 ( + )2 ĐS: x
5
− < < Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log (5xx −8x 3) 2+ > ĐS: x x
2 < < 5∨ > Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 6log x62 +xlog x6 ≤12
HD: ĐK x 0> Ta có: 6log x26 =(6log x6 )log x6 =xlog x6 Lấy log
6ở vế ĐS: x
6≤ ≤ 2- Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
x x
x x
2.3
+
− ≤
−
HD: Chia hai vế PT cho x Đặt
x
t
2 = >
ĐS: x log 3< ≤ 32 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 32x−8.3x+ x 4+ −9.9 x 4+ >0
HD: Chia hai vế cho x 4+ Sau đặt t 3= x− x 4+ >0 ĐS: x 5>
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: log (3x9 2+4x 2) log (3x+ + > 3 +4x 2)+ HD: ĐK 3x2+4x 1+ ≥ Đặt
9
t= log (3x +4x 2) 0+ ≥ ĐS: x x
3
− ≤ < ∨ − < ≤ − 3- Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
x
x 2
2 <3 +1 HD: Chia vế cho x Đặt ( )
x x
3
f x
2
= +
hàm số giảm
Có f 2( )=1⇒f x( )>f 2( ) ĐS: x 2<
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 21 1
2
(x 1)log x (2x 5)log x 0+ + + + ≥ HD: ĐK x 0> BPT ( ) ( )
2
log x x log x
⇔ − + − ≥
Xét trường hợp:
+ Nếu x 4< < ⇒log x log 42 < 2 ⇒log x 02 − <
BPT x x
x
2
( x 1)log log
⇔ + − ≤ ⇔ ≤
+ y=log2x HS tăng; y
x =
+ HS giảm
3 x
x
2
log =
+ có nghiệm x 2= ⇒0 x 2< ≤ thoả mãn cịn x 4< < khơng thoả mãn BPT
+ Nếu x 4≥ thoả mãn BPT ĐS: x x 4< ≤ ∨ ≥
BÀI TẬP
Bài 1: Giải BPT mũ lơgarít sau:
1/
2 log x 12
2 x
log log
1
1
−
+ +
≥
HD:ĐK: x 0> BPT 2
log x 1
3 x
0 log
2
−
⇔ < + + ≤
ĐS: 73 x 217
2
− + − +
≤ <
2/ 6.x2 3 x 3x 1+ x 2.3 xx 3x 9
+ + < + +
(25)Chia hai trường hợp với điều kiện S [ )0;1 3;
2
= ∪ +∞
3/ ( ) x
log x −x ≤2
HD: ĐK x 1> BPT ⇔x2 − ≤x x2 ĐS: x 1>
4/ 2log x 13( − )>log x3( − )+1 .ĐS: x 57
2 − + < <
5/ x x
2
log (2 +1) log (4+ +2) 2≤
HD: Đặt ( ) x x ( )
2
f x =log (2 +1) log (4+ +2)⇒f =2 ĐS: x 0≤
6/
1 x −5x (x 2)log x+ < −
HD: ĐK x 0> Làm giống VD của phần tính đơn điệu ĐS: PTVN
Bài 2: Giải BPT mũ lơgarít sau:
1/
1 x x x
2
0
−
− + ≤ −
HD: Đặt t 2= x >0 BPT ⇔ < < ∨ ≥ ⇔0 t t ⇔S (= −∞;0) [1;∪ +∞)
2/ 2
8
log x
log 2x
+ ≤ ĐS:
3 13 13
2
1
0 x x
2
− +
< < ∨ ≤ ≤ Bài 2: Giải BPT mũ lơgarít sau:
2 2
2x x 2x x 2x x 1) 25 − + − + 34.25 −
+ ≥ 2) log3x x− 2(3 x) 1− > x
x x 1
3) ( 2) ( 2)
−
− +
+ ≥ − 1
2 5) x −5x (x 2)log x+ < −
2
x 3x x 3x 6) − + − +
− < 7) 6x −2.3x −3.2x + ≥6 x x x x
8) + − − 15.2 + −
+ < 9) xlog x2 +x5log log xx − −18 0<
2
x
2
4) (2 x 7x 12)( 1) ( 2x 14x 24 2)log
x x
+ − + − ≤ − + − +
2
3
x 10) log x.log x log x log
4 < +
V/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT 1- Phương pháp biến đổi tương đương:
- Dùng tính chất HS mũ Lơgarít biến đổi về HPT đại số quen thuộc
- Dùng phương pháp thế, mũ hoá Lơgarít hố hai vế PT hay BPT hệ
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( )
x 2y x y
2
1
3
log (x y) log (x y)
− −
=
+ + − =
ĐK x y
x y + >
− >
HPT 2
3
y x
5 x y 16
= ⇔
− =
ĐS: (x; y) (= 5;3)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
3
log y log x
3
x 2.y 27
log y log x
+ =
− =
(26)HPT log y x y 3x = ⇔ =
Lấy log3 hai vế thay y 3x=
ĐS: (x; y) (3;9 ,) 1;
9
=
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
x x
x
(x 1)log log(2 1) log(7.2 12) log (x 2)
+
− + + < +
+ >
ĐK x> −2, Hệ BPT
2x x
2 2.2 13.2 24 (x 1)(x x )
− − <
⇔
− + − >
ĐS: S=(1;2)
2- Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
x x y
x x y 2.3 56
3.2 87
+ + + + = + =
HD: Đặt u ; v 3= x = y ĐS: (x; y) (= 1;2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2(log x log y) 5y x
xy + = =
ĐS: (x; y) (= 2;4 , 4;2) ( )
BÀI TẬP
Giải hệ phương trình hệ bất phương trình mũ lơgarít sau:
1/
x y
2
x y
+ =
+ =
ĐS: (x; y) (= 0;1 , 1;0) ( )
2/ log x log y 4log y x 1000 + = =
ĐS: (x; y) (= 10;1000 , 1000;10) ( )
3/ x y
log (6x 4y) log (6y 4x)
+ =
+ =
ĐS: (x; y) (= 10;10)
4/ 8
log y log x
4
x y
log y log x
+ =
− =
ĐS: (x; y) (8;2 ,) 1;
2
=
5/ ( )
( )
2
y
4
log x log y 1 log x log y
− =
− =
ĐS: (x; y) (8;2 , 2;)
2
=
6/ y y
2
6
5 log x log x
2 log (x y ) + = + =
ĐS: (x; y)=(2; ,) ( 2;2)
7/
2
3 x y
3 x y
2log (6 3y xy 2x) log (x 6x 9) log (5 y) log (x 2)
− − − − − + − + − + = − − + =
HD:ĐK.HPT x y
3 x y
3 x y
log (2 y) log (3 x) 2 y x
log (5 y) log (x 2) log (5 y) log (x 2)
− − − − − − − + − = − = − ⇔ ⇔ − − + = − − + = Thay y x− = − vào PT ĐS: (x; y) (= 0; 1− )
8/
2 y
y cot x cos x
=
=
HD: HPT
y y y
4 12 y
⇒ + = ⇒ = − nhất ĐS: (x; y) ;
3 π
= −
Giải hệ phương trình hệ bất phương trình mũ lơgarít sau:
2
3
2
2 x 2x 5
log (x 1) log (x 1) log 1)
log (x 2x 5) 4.log − + + − − >
− + + =
3
x y
2) (B 2005)
3log (9x ) log y
(27)x y x y
3
3)
3
+
+ +
− = −
− = −
2
3
3 2
1
log x log y
4)
x y 2y
− =
+ − =
2
1 x y
1 x y
log (1 2y y ) log (1 2x x ) 5)
log (1 2x) log (1 2x)
+ −
+ −
− + + + + =
+ + + =
2x 2y
x y
3 17
6)
2.3 3.2
+ +
+
+ =
+ =
2
2
2
log x log y 7)
log x log y
− = −
− ≤
2x y
2x 2y
2 2
8)
log (2 )
− = −
− ≤
2
2
2(x 1) x y 2y 2y x y
4 4.4 2
9)
2 3.4
− −
−
− + =
− =