bai tap PT Mu va Logarit hay day

Cách 2: Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x... Phương pháp đánh giá: 1..[r]

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH; BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH; HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARÍT

I/ CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ:

1- Tính chất hàm số mũ: y a ; a 0x ( )

= > (a cơ số)

x

1) a >0; x∀ ∈ℝ 2) a0 = ∀ >1; a 0; a1 =a 3) a am n =am n+ m

m n x

n x

a

4) a ; a

a a

− −

= = 5) a.b( )x =a bx x

x x

x

a a

6)

b b

  =    

( )( )

x y

7) a >a ⇔ a x y− − >0

Hàm số y a= x đồng biến a 1> nghịch biến a 1< <

[f (x)]g(x) [f (x)]h(x) [f (x) g(x) h(x)][ ]

f (x)

 − − =



= ⇔

> 

[f (x)]g(x) [f (x)]h(x) [f (x) g(x) h(x)][ ]

f (x)

 − − >



> ⇔

> 

2- Tính chất hàm số lơgarít: y log x;= a (0 a 1< ≠ ) Tập xác định: D =(0;+∞ =) ℝ+

a a

1) log 0; log a 1= = 2) alog xa =x

a a

3) log xα log x = α

( )

a a a

4) log xy =log x log y+ a a a x

5) log log x log y y

 

= −

 

  a a

1 6) log xβ = log x

β c

a

c log b 7) log b

loa a

= 8) log x log ya > a ⇔(a x y− )( − )>0

Hàm số y log x= a đồng biến a 1> nghịch biến a 1< <

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

g x g x

f x h x log f x log h x

0 g x

 = >



= ⇔

< ≠ 

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

g x g x

g x f x h x log f x log h x

0 g x

 −   − >

   

> ⇔

< ≠ 

II/PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1- Phương pháp chuyển số: af x( ) ag x( )(0 a 1) f x( ) g x( )

= < ≠ ⇔ =

Các phương trình có dạng: af x( ) bg x( )

= đó: b aα

= b c ;a cα β

= = được giải cách đưa số

1 Giải PT mũ sau:

2

cos 2x sin x cos x sin x

1

a) 4.5 25

25 + =

x x x 2x

b) 25 +36.7 =7 +35.5 Giải phương trình:

2

2x 5x 1 1)

8

− −

=

2

x x

5) x 3− − = x 3−

2

10x 3x

x 2− − = x 2− Cho phương trình: 3x2−4x 5+ =9m ( )1

a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu

Ta có: ( )1 x2 4x 2m f x( ) x2 4x 2m 2( )

⇔ − + = ⇔ = − + − =

Phương trình (1) có nghiệm trái dấu phương trình (2) có nghiệm trái dấu

( )

af 0 m ⇔ < ⇔ >

4 Cho phương trình: 24x3 m 1x ( )1

8

−

= , với m 1> a Giải phương trình với m =

b Chứng minh rằng: với m 1> phương trình ln có nghiệm

( )1 24x3−m 2−3x 4x3 m 3x 4x3 3x m

⇔ = ⇔ − = − ⇔ + =

Với m = 7: ta được: 4x3+3x 0− = ⇔(x 4x− )( +4x 7+ )= ⇔0 x 1=

Xét hàm số: y 4x= +3x Ta có y' 12x2 3 0; x

= + > ∀ ∈ℝ nên đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y 4x= 3+3x tại

1 điểm phân biệt phương trình 4x3+3x m= ln có nghiệm phân biệt

Cách xác định nghiệm: đặt a m m2 1; a

2 a

 

= + + α =  − 

  α nghiệm phương trình 4x3 3x m

+ =

5 Cho phương trình: 8mx3−2x2+3x 2− =4mx2+ −x ( )1 a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

HD: ( )1 23 mx( 3−2x2+3x 2− ) 22 mx( 2+ −x 2) (3x mx)( 2x 1) 0

⇔ = ⇔ − − + =

• Cho phương trình ax3+bx2+cx d 0+ = với a, b, c, d số nguyên Khi phương trình có nghiệm hữu tỷ p

q p ước d q ước a Ví dụ 3: Giải phương trình:

HD: x( x) ( x)

3 pt⇔3.3 5+ −5 5+ =0⇒x log 1= −

2- Phương pháp lơgarít hố: f (x ) g(x) ( ) a

a =b ⇔f (x)= log b g(x),(a 0,a 1,b 0, b 1)> ≠ > ≠ • Có thể lấy logarit theo số vế

• Ta thường sử dụng phương pháp cho phương trình mũ vế có dạng tích

lũy thừa

• Thông thường ta cần biến đổi rút gọn phương trình trước logarit hóa

1 Giải phương trình:

x

x 3(x 2)

8 + 36.3 ;(x+ 2)

= ≠ −

( x 2) ( ) ( )

2 2

3

x x

log 36.3 2log (x 2)log x x log

x x

x x log

+

⇔ = ⇔ = + + + ⇔ +  + + =

+ +

⇔ = − ∨ = − − Giải phương trình:

x x x

3 + =36,(x≠ −1)

( )

x x x 1

2 2

1

log (3 ) log 36 2log x log x x log x

+  

⇔ = = + ⇔ −  + = ⇔ = ∨ = − −

+

 

3 Giải phương trình:

2

25 5

log (5x) log 7

7 − =x ,(x 0)>

( log (5x) 1225 ) ( log 75 ) ( )

5 25 5

log − log x log (5x) log log 7.log x

⇔ = ⇔ − =

2

5 5

log x 5log x log x log x x 5− x 125

4

3x x x 1 2− +

=

Điều kiện: x≠ −1

3x x x 1

2 2

3x

pt log (5 ) (x 2)log (x 2) log

x x

− +  

⇔ = ⇔ − + = ⇔ −  + =

+  + 

ĐS:

5 x 2; x= = − −1 log Giải phương trình sau:

2

x 2x a)

2

−

= b) 2x2−4 =3x 2− c) 23x =32x

( )

2 2

x 2x x 2x

2

3

a) 2 x log x log

2

− − +

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ±

( ) ( )( )

2

x x 2

2

b) − − x x log x x log

= ⇔ − = − ⇔ − + − =

x x x

3 x x

3

2 log3

c) 3 log 2 log x log log

2 log  

= ⇔ = ⇔  = ⇔ =

 

6 Giải phương trình:

x x x

1) 500

−

=

3x 1

x x x

2) 16 0,25.2

+ −

− + = −

x x 17

x x

3) 32 0,25.128

+ +

− = −

( )

x x

x x x x

2

1

1) 500 x log x x log x

− −

−  

= ⇔ = ⇔ −  + = ⇔ = ∨ = −

 

7 Giải phương trình:

2 x x 1) −

= 2) 8x 2+ =4.34 x− 3) 7x 2− x 1− x =245 x x x x x x

4) 2 + + 3 + +

+ + = + + 5)5x 5x 1+ 5x 3+ 3x 3x 3+ 3x 1+

+ + = + − 4) 2x 12− +2x2+2 =3x2 +3x 12−

x x x 6) 5− − 12

= ( )

1

2

x

7) x + − −4 x =4 x + −4 4x 8−

3- Phương pháp đặt ẩn số phụ:

Cách 1: Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với một ẩn phụ

Dạng 1: ( ) ( )

( )

2f x f x

a a 0 a

α + β + γ = < ≠

Phương pháp giải: Đặt t a= f (x) điều kiện hẹp: t 0> ⇒a2f x( ) =t2 Phương trình trở thành:

2

t t

α + β + γ = Giải phương trình:

( )

2x

x x

7

1 0,7

100 = +

2

1

x x

1

2 12

3

+

   

+ =

   

   

2

1 cot x sin x +2 =3

2

x x x x 4 − + 5.( 2) − + −

− = x2− +2 x−5.2x 1− + x2−2 =6 9x 12− −36.3x2−3+ =3

x x x + + + 16

+ = +

2 Cho phương trình: (m 1).4+ x +(3m 2).2− x 1+ −3m 0+ = a Giải PT m 3=

b Định m để phương trình có nghiệm trái dấu

HD: m= −1 không thoả, m 1 m

2 ≠ − ⇒− < <

3 Cho phương trình: 49x +(m 1).7− x +m 2m− =0 Định m để phương trình có

nghiệm trái dấu

5. Định m để phương trình (m 3).16+ x +(2m 1).4− x +m 0.+ = có nghiệm trái dấu

6 Cho phương trình: 16x−m.8x+(2m 1).4− x =m.2x ( )1 a Giải PT m =2

b Định m để phương trình có nghiệm

HD: Đặt t 2= x phương trình trở thành: (t 1) t−  2−mt2+(2m 1)t m− + =0 Điều kiện

toán t2 mt2 (2m 1)t m 0

⇔ − + − + = có hai nghiệm dương phân biệt khác

Dạng 2: a2f x( ) ( )ab f x( ) b2f x( ) 0 (a, b 0;a 1, b 1)

α + β + γ = > ≠ ≠

Phương pháp giải: Chia vế phương trình cho b2f x( ) đặt

f (x) a t

b   = 

  điều kiện hẹp: t 0> Phương trình trở thành: α + β + γ =t2 t

Dạng 3: af x( ) bf x( ) 0

α + β + γ = với (0 a,b 1;a.b 1< ≠ = ) hay αaf x( )+ βbf x( )+ γcf x( ) =0 với

a b a,b,c 1;

c c

 

< ≠ =

 

 

Phương pháp giải: Đặt t a= f x( ) hay

( ) f x a t

c   = 

  điều kiện hẹp:

( ) f x t b

t > ⇒ = hay ( )

f x

b

c t

  =  

  Phương trình trở thành:

t t

α + γ + β = Cho phương trình: m.16x +2.81x =5.36 x

a Giải phương trình m 2=

b Tìm m để PT có hai nghiệm dương phân biệt

2 27x 12x 2.8x

+ = HD: Chia 2vế PT cho 8xvà đặt ẩn phụ

3

1 1

x x x

6.9 −13.6 +6.4 =0 ĐS: x= ±1

4 Giải phương trình:

2

sin x cos x

1 +2 = +2 2 81sin x2 +81cos x2 =30 9sin x2 +9cos x2 =10

2

sin x cos x

4 +4.2 =6 x 31− x

− + = 2x2−x 22 x x+ −

− =

5 Giải phương trình: 2

1 cot x sin x

4 +2 − =3

HD: Đặt t 2= cot x2 ≥1, phương trình trở thành: t2 2t t t x k

2 π + − = ⇔ = ∨ = − ⇔ = + π Giải phương trình:

( ) (sin x )sin x

1 3+ + 3− =4 5( + 24) (x+ 5− 24)x =10

( ) (x )( )x ( )

3 2+ + 2+ − =4 2+ (2+ 3) (x+ 2− 3)x =14

x x

7

5

2

 +   − 

+ =

   

   

    ( ) ( )

2

(x 1) x 2x 2 3

2

− − −

+ + − =

−

( ) (x )x

7 6− 35 + 6+ 35 =12 ( ) ( )

x x

4) 3+ −3 2− + =2

(3 ) (x )x

9 3+ + 3− =6 ( ) ( )

tan x tan x

( ) (x )x x

1) 3+ + 3− −7.2 =0 2) 3( + 5)x +16 3( − 5)x =2x 3+

( )x ( )x x

3) 21 21 +

− + + = 4) 22x 12+ −9.2x2+x +22x 2+ =0 cos x sin x log

2sin x 2cos x 1 2sin x 2cos x

5)

10

− −

− +   − +

−  + =

 

8 Giải phương trình: ( ) ( )

x x

7 3+ −3 2− + =2

HD: Đặt ( ) ( ) ( )

x x x

2

t 3 ; t

t

= + > ⇒ − = + =

Phương trình trở thành: t3+2t 2− = ( )⇔ = ⇔t x 0= Giải biện luận phương trình: ( ) ( )

x x x 3

3 m +

+ + − =

HD:

x x

3 5

pt m

2

 +   − 

⇔  +   =

   

Đặt

x x

3 5

t

2 t

 +   − 

=  > ⇒  =

    , phương

trình trở thành: t2−8t m 0+ = ⇔(t 4− )2 =16 m− ( )2 10.Giải phương trình: 22x 12+ −9.2x2+x +22x 2+ =0 ( )1 HD: pt 22x2−2x 1− 9.2x2− −x 1 0 2.22 x( 2−x) 9.2x2−x 4 0

⇔ − + = ⇔ − + = Đặt

1

x x 4

t − 2−

= ≥ , phương

trình trở thành: 2t2 9t t t 1( ) x x

2 loại

− + = ⇔ = ∨ = ⇔ = − ∨ =

11.Giải phương trình: 23x 6.2x 3 x 1(1 ) 12x

2 −

− − + =

HD: 3x x

3x x

2

pt

2

   

⇔ − −  − =

 

 

Đặt

3

x 3x x x x

x 3x x x x

2 2 2

t 2 3.2 t 6t

2 2 2

   

= − ⇒ − = −  +  − = +

    , phương trình trở thành:

3 x

x

t 6t 6t t x

2

+ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

12.Giải phương trình: 1+ 2− 2x =(1 2+ − 2x).2x

HD: Điều kiện: 2− 2x ≥ ⇔0 22x ≤ ⇔1 x 0≤ ⇒0 2< 2x≤1 Đặt sin t 2= x với t 0;

2 π

 

∈ 

 ,

phương trình trở thành: 1 sin t2 sin t sin t( ) cost sin t sin 2t

2

+ − = + − ⇔ = +

t 3t 3t

2 cos sin sin t t x x

2 2

π π

 

⇔  − = ⇔ = ⇔ = ∨ = ⇔ = − ∨ =

 

13.Giải phương trình: 4.33x −3x 1+ = 9− x (HD: 3x cos t; t 0;

2 π

 

= ∈ 

) 14.Giải phương trình:

x x 3x

1 125 50 +

+ = 22x+23 4x− =6 3x +33 2x− =6 3x x 2x 4x

4 4.2 3.2 + +

− = − +

x x 2x 1 25 10 +

+ = 6.32x −13.6x+6.22x =0 4x −2.6x =3.9x x

x x 2

4 4.3 −9.2 =5.6

1 1

x x x

5 2.4 +6 =9 3.16x +2.81x =5.36x 16.Giải biện luận phương trình:

x x

a m.3 m.3−

+ = b m 2( ) x m.2−x m

− + + =

17.Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

( ) 2x ( ) x

a m m 3− m

− + − + + = b m 4( − ) x −2 m 2( − ) x +m 0− = 18.Cho phương trình: (m 16+ ) x+(2m 4− ) x+m 0+ = ( )1

a) Giải phương trình với m

4 = −

b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu

HD: Đặt t 4= x >0, phương trình trở thành: (m t+ ) 2+(2m t m 2− ) + + = ( )

a Với m t t x x log 94

4

−

= − ⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = −

b Phương trình (1) có nghiệm trái dấu, tức là: x1 x2

1 2

x < <0 x ⇔4 <4 <4 ⇔t < <1 t Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 m

4 < < ⇔ − < < − 19.Cho phương trình: 4x −m.2x 1+ +2m 1= ( )

a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

1

x , x thỏa x1+x2 =3 HD: Đặt t 2= x >0, phương trình trở thành: t2−2mt 2m 0+ = ( )2

a Với m 2= ⇔ =t 2⇔x 1=

b Phương trình (1) có nghiệm x x1

1 2

x , x : x x + t t

+ = ⇔ = ⇔ =

Phương trình (2) có nghiệm t t1 2 = ⇔8 m 4=

20.Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 x x 1

m 2 + m + 2m

− − + + − =

a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

HD: Đặt t 2= x 12+ ≥2, phương trình trở thành: (m t− ) −2 m t 2m 2( + ) + − = ( )

a Với m t t 6( ) x

7 loại

= ⇔ = ∨ = ⇔ =

b Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t 2≥ • m = 2: ( )2 t

3 ⇔ = − <

• m : t≠ 1≤ ≤2 t2∨ ≤2 t1 ≤t2 ⇔2 m 9< ≤

21.Cho phương trình: ( ) ( ) ( )

x x

2− +m 2+ =4 a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

1

x , x thỏa x1 x2 log2 33

+

− =

HD: Đặt ( ) ( )

x x 1

t 3

t

b (1) có nghiệm x , x : x1 2 1 x2 log2 33

+

− = ( )

x x

2 −

⇔ + = ⇔t1 =3t2 Phương trình (2) có nghiệm t1 =3t2 ⇔m 3=

22.Cho phương trình: 2.4x 12+ +m.6x 12+ =9x 12+ ( )1 a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm nhất

HD: ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 x x

2 x x x 3

pt 2.2 m 2.3

2

+ +

+ + +    

⇔ + = ⇔ +  = 

    Đặt

2 x

3

t

2

+

  =  ≥

 

Phương trình trở thành: f t( )=t2−mt 0− = ( )2

a Với m 1= ⇔ = ∨ = −t t 1(loại)⇔x= ± log 11,5 −

b (1) có nghiệm x t1 t2 f m

2

 

⇔ = ⇔ ≤ = ⇔  = ⇔ =

  (vì a.c= − <2 0) 23.Cho phương trình: 22x 1+ −2x 3+ −2m 0=

a Giải phương trình với m = 32

b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

24.Giải biện luận phương trình: 4.3x − +3 m 3= 2x 25.Cho phương trình: ( ) ( )

tan x tan x

3 2+ + 2− =m a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;

2 π π

 

−

 

 

26.Cho phương trình: m.16x +2.81x =5.36x a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm nhất

Dạng 4: ( ) ( )

( )f x( ) ( )

f x f x

m.a +n.b +p a.b =q a, b 0;a 1, b 1> ≠ ≠ Phương pháp giải: Đưa về dạng tích

1 Giải phương trình: 8.3x +3.2x =24 6+ x

x x x x x

8(3 3) (3 3) (3 3)(8 ) x 1, x

⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = =

2 Giải phương trình: 12.3x 3.15x 5x 20 x log35

3

+

+ − = ⇔ =

3 Giải phương trình: 4x2−3x 2+ +4x2+6x 5+ =42x2+3x 7+ +1

HD: 4x2−3x 2+ 4x2+6x 5+ 4x2−3x 2+ .4x2+6x 5+ 1 (4x2−3x 2+ 1 4)( x2+6x 5+ ) 0

+ = + ⇔ − − =

4 Cho phương trình: m.2x2−5x 6+ +21 x− =2.26 5x− +m a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

HD: m.2x2−5x 6+ 21 x− 27 5x− m (2x2−5x 6+ 1 2)( x− m) 0

+ = + ⇔ − − =

5 Giải phương trình:

( )2

2 x 1

x x x

a + 2− +

+ = + 12.3x 3.15x 5x 1+ 20

+ − =

x x x

8.3 +3.2 =24 6+

6 Giải biện luận phương trình:

( )2

2 x 2

x 2x m x 2n

a − + + − −

− = − ( )

2

2 x 1

x x m x 2m

b + + + − +

Cách 2: Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với một ẩn phụ hệ số chứa x

1 Giải phương trình: 32x−(2x +9 3) x +9.2x =0

HD: Đặt t 3= x >0 phương trình trở thành: t2−(2x +9 t 9.2) + x = ⇔ = ∨ =0 t t 2x

2 Giải phương trình: 9x2 +(x2 −3 3) x2 −2x2 + =2

HD: Đặt t 3= x2 ≥1 phương trình trở thành: t2 +(x2−3 t 2x) − 2+ = ⇔ = ∨ = −2 t t x2

3 Giải phương trình: 42x +23x 1+ +2x 3+ −16 0=

HD: Đặt t 2= x >0 phương trình trở thành: t4+2t3+8t 16 0− = ⇔42−2t.4 t− 4−2t3 =0 Đặt u 4= ta được phương trình: u2−2t.u t− 4−2t3 = ⇔0 u t t t 1= − ( + )∨u t t t 1= + ( + )

4 Giải phương trình:

( )

2x x

1) − 3x 10 − x

+ − + − = 2) 3.4x 3− (3x 10 2) x x

+ − + − =

Đặt t 3= x 2− >0 phương trình trở thành: 3t2 +(3x 10 t x 0− ) + − =

(3x 8)2 t t x

∆ = − ⇒ = ∨ = −

5 Giải phương trình:

x x

1 3.4 +(3x 10).2− + −3 x 0= 9x +2(x 2).3− x +2x 0− =

x x

3 3.25 − (3x 10).5 − x

+ − + − = 3.4x +(3x 10)2− x + − =3 x Cho phương trình: m 22 3x −3m.22x +(m2 +2 2) x −m 0;= (m 0≠ )

a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

HD: Đặt t 2= x >0 phương trình trở thành: m t2 3−3m.t2+(m2+2 t m 0) − =

( ) ( )

2

2

1 2t

m t t 3t m 2t m m

t t

⇔ + − + + = ⇔ = ∨ =

+ Giải phương trình: 9x +2 x 3( − ) x +2x 0− =

HD: Đặt t 3= x >0 phương trình trở thành: t2+2 x t 0( − ) − = ⇔ = − ∨ = −t t 2x

8 Giải phương trình: 32x+ 3x +5 0=

HD: Đặt t 3= x >0 phương trình trở thành: t2+ t 0+ = ⇔ −5 t2 ≥ ∧ + =0 t 52−2t t2 + Đặt u 5= ta được phương trình: u2−(2t2+1 u t) + 4− =t

( ) ( )

2

2t 2t 2t 2t

u u

2

+ − + + + +

⇔ = ∨ =

9 Giải phương trình: x2 −(3 x 2− x) + ( − x)=0

HD: Giải PT bậc theo x ⇒x x 2= ∨ = − x ĐS: x 0; x 2= =

10.Cho phương trình: 33x +2m.32x+m 32 x +m 0− =

a Giải phương trình với m 1= +

b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

4- Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số: • Cách 1: Thực theo bước sau:

- Chuyển phương trình dạng: f x( )=k

- Nhận xét:

+ Với x x= 0 ⇒f x( )0 =k⇒x x= 0 nghiệm

+ Với x x> 0 ⇒f x( )>f x( )0 =k phương trình vơ nghiệm

+ Với x x< 0⇒f x( )<f x( )0 =k phương trình vơ nghiệm

1 Giải phương trình

x

x

3

2 x

5

 

+ = ⇒ =

 

 

2 Giải phương trình ( ) ( )

x x

x x

x 3

2 3

2

   

+ −

   

+ + − = ⇔ + =

   

   

Ta thấy x 2= nghiệm, chứng minh nghiệm nhất

3 Giải phương trình:

x x x

x x x x

2 10

10 10 10

     

+ + = ⇔  +  +  =

     

Ta thấy pt có nghiệm x 1= Xét hàm số:

x x x x x x

2 2 3 5

f (x) f '(x) ln ln ln 0; x R

10 10 10 10 10 10 10 10 10

           

=  +  +  ⇒ =  +  +  > ∀ ∈

           

Suy f(x) hàm đồng biến R.Vậy pt có nghiệm nhất x 1=

4 Cho phương trình: 3x −4−x =m Chứng minh rằng: với m phương trình ln có

nghiệm

Số nghiệm phương trình số giao điểm của đồ thị hàm số y 3= x −4−x đường thẳng

y m=

Xét hàm số y 3= x −4−x xác định ℝ

Ta có: y' ln ln 0; xx −x

= + > ∀ ∈ℝ Do hàm sốđồng biến ℝ

Giới hạn:

xlim y→−∞ = −∞; lim yx→+∞ = +∞

Bảng biến thiên:

x −∞ +∞

y' +

y +∞

−∞

Vậy với m phương trình ln có nghiệm

5 Giải phương trình: x 2.3+ log x2 =3

Điều kiện: x 0>

2

log x log x

x 2.3+ = ⇔3 2.3 = −3 x

• Ta có vế phải phương trình hàm số nghịch biến cịn vế trái phương trình

hàm số ln đồng biến Do đó, nếu phương trình có nghiệm nghiệm nhất

Mắt khác: với x 1= ta có: 2.3log 12 =2 1= − Vậy x 1= nghiệm nhất của phương trình Giải phương trình:

x

1) + − =x 2) 3x+4x =5x 3) 15x2+ =1 4x

( ) (x )x x

4) 3− + 3+ = ( ) ( )

x x

x 2− + 2+ =2

x x 6) 3+ =2 Giải phương trình: 8+ x2 =3x

x x

x x

2

1

3

 

 

+ = ⇔  +  =

Với

x

x

1 8

x

3 3

   

   

> ⇒  +  <  +  =

        phương trình vơ nghiệm Với

x

x

1 8

x

3 3

   

   

< ⇒  +  >  +  =

        phương trình vơ nghiệm Vậy x 2= nghiệm phương trình

• Cách 2: Thực theo bước sau:

- Chuyển phương trình dạng: f x( )=g x( )

- Xét hàm số y f x= ( ) y g x= ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số y f x= ( ) đồng biến hàm số y g x= ( ) nghịch biến Xác định x0 cho f x( )0 =g x( )0 - Vậy phương trình có nghiệm x x= 0

• Cách 3: Thực theo bước sau:

- Chuyển phương trình dạng: f u( )=f v( ) ( )1

- Xét hàm số y f x= ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)

- Khi đó: ( )1 ⇔u v;= ∀u, v∈Df Giải phương trình: ( )

2 3x x

3

1

log x 3x 2

5

− −

 

− + + +  =

 

Điều kiện: x2−3x 0+ ≥ ⇔ x x 2≤ ∨ ≥ Đặt: u= x2−3x 0+ ≥ ⇒3x x− 2− = −1 u2

Khi phương trình có dạng: ( ) u 12 ( )

3

log u − 2

+ + =

Xét hàm số: y log x 2= 3( + )+5x 12−

Miền xác định: D =[0;+∞) Đạo hàm:

( )

2 x 1

y' 2x.5 0; x

x ln

−

= + > ∀ ∈

+

D Suy hàm sốđồng biến D

Mặt khác: f 1( )=log 23( + )+51 1− =2

Vậy: ( )2 f x( ) f 1( ) u x2 3x x

2 ±

⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =

Vậy phương trình có hai ngiệm: x

2 ± =

2 Cho phương trình: 5x2+2mx 2+ −52x2+4mx m 2+ + =x2 +mx m+ a) Giải phương trình với m

5 = − b) Giải biện luận phương trình

Đặt t x= 2+2mx 2+ phương trình trở thành: 5t + =t 52t m 2+ − +2t m 1+ − ( )

Xét hàm số: f t( )=5t+t đồng biến ℝ Vậy ( )1 ⇔f t( )=f 2t m 2( + − )⇔ =t 2t m 2+ −

2

t m x 2mx m

⇔ + − = ⇔ + + =

a m x x

5

= − ⇒ = ∨ = − b m2 m

∆ = −

• m 1< < phương trình vơ nghiệm

• m m 1< ∨ > phương trình có nghiệm phân biệt

3 Cho phương trình: 3x2 2mx 4m m

x m

+ + − −

− =

+ a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−4;0]

( ) (2 )2

2 x m m 2 1

x 2mx 4m m m

3

x m x m

+ − − +

+ + − − −

− = ⇔ − =

+ +

Đặt t= x m+ >0 ta được: ( ) ( )

2

t m m

3

t

− − + −

− =

Ta có:

• ( ) ( )

2

t m f t − − +

= − hàm đồng biến với t >

• g t( ) m t −

= hàm nghịch biến với t >

Vậy (1) có nghiệm Mặt khác: f m 2( − )=g m 2( − ) Suy ra: t= m 2− ⇔ x m+ = m 2− ⇔x= − ∨2 x 2m= −

4 Giải phương trình:

( ) ( )

2 x x

1) x + −3 x 2+ − =0 2) 22x 1− +32x +52x 1+ =2x +3x 1+ +5x 2+ Giải phương trình:

( )

3 3x 2x x

1) x +2 +3x.2 + 3x 2+ + − =x 2) 2− x2−x+2x 1− =(x 1− )2

( ) ( ) (3 )

3 3x 2x x x x

1) x +2 +3x.2 + 3x 2+ + − = ⇔x 2 +x + +x =2

Xét hàm số: f t( )=t3+t đồng biến f 1( )=2⇒f 2( x +x)=f 1( )⇒2x +x 1= ⇒x 0=

Cách khác: đặt t 2= x +x ta được phương trình: t3+ − = ⇔ =t t

( )

2 2

x x x x x x

2) − − x − x − x x

− + = − ⇔ + − = + −

Xét hàm số: f t( )=2t +t đồng biến f x 1( − )=f x( 2−x)⇔x x− = 2− ⇔x x 1=

6 Giải phương trình:

2x x 1

1) e e

2x x

− −

− = −

− − ( )

2

m x 4x 3m

2) + + m x 3m

− = − + −

2x x 1 2x x 1

1) e e e e

2x x 2x x

− − − −

− = − ⇔ − = −

− − − −

Xét hàm số: f t( ) et

t

= − đồng biến f x 1( − )=f 2x 5( − )⇔ x 1− = 2x 5− ⇔x x 4= ∨ =

( )

2

m x 4x 3m m x 4x 3m

2) + + m x 3m + m x + 4x 3m

− = − + − ⇔ + + = + +

Xét hàm số: f t( )=2t +t đồng biến f m x 6( + )=f 4x 3m( + )⇔m x 4x 3m2 + = +

7. Phương pháp đánh giá: Giải phương trình:

2 x

1) =cos 2x ( ) ( )

2

x x x

2

VT VT VT VP

VP VP

≥ =

 

⇒ = ⇔

 

≤ =

 

2 Giải phương trình: 416 x− =2x +2−x

VP VT

VT VP x

VT VP

≥ =

 

⇒ = ⇔ ⇔ =

 

≤ =

 

3 Giải phương trình:

x x

x x x x

2

4 +1 2+ +1 4+ +2 =

Với a ;b 4= x = x phương trình có dạng: a b

b a a b+ + + + + =

( )

a b 1 1

VT 1 a b

b a a b a b a b

       

= +  + +  + + − = + +  + + −

+ + + + + +

       

( ) ( ) ( ) Cauchy

1 1

a b a b

2 a b a b

 

=  + + + + +  + + − ≥

+ + +

 

Đẳng thức xảy khi: a b a b+ = + = + ⇔ =a b 1= ⇔x 0=

4 πsin x = cos x

HD: Dùng PP đối lập ĐK 0≤ sin x ⇒1≤ πsin x; cos x 1≤

sin x sin x x k pt

cos x sin x x l

 =  =  = π

  

⇒ ⇔ ⇔

=  =  = π

  



ĐS: x 0=

5

2 2x x x

x

− +

=

HD: ĐK: x 0> ( )

2

2 1 x

2x x x 1

2 2; x

x x

− −

− +

= ≤ = + ≥ ĐS: x 1=

6 Giải phương trình: 416 x2 2x 1x

2

− = +

7 Giải phương trình:

25x

3x 5

3 5.3 27

+

− + =

Đặt t 3= x >0 phương trình trở thành: 55

3

2

t 27 5.t 27 t

t 27

− + = ⇔ + =

Cauchy

2 2

3

1 1 1

VT t t t

3 3 t t 27

= + + + + ≥

Đẳng thức xảy khi:

3

1 1

t t x

3 = t ⇔ = ⇔ =

Một bất đẳng thức quan trọng thường áp dụng giải phương trình mũ phương pháp đánh giá bất đẳng thức Bernouli:

Với t 0> ta có: ( )

( ) [ ]

t t 1;

t t 1; 0;1

α α

 + − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥ 



+ − α ≤ ∀α ∈



Do phương trình mũ có dạng: ax x a( ) 1 a

x x >



+ − = ⇔ 

= ∨ =



8 Giải phương trình sau:

x

a Biến đổi phương trình về dạng: ( )

Bernouli x

3 + x 1− = ⇔ x x 1= ∨ =

b Biến đổi phương trình về dạng: 22x2−x =2x2 − + ⇔x 22x2−x +(1 2x− )( 2−x)= +1

2

2x x 2x x x x x

⇔ − = ∨ − = ⇔ = ∨ = ∨ = ±

9 Giải phương trình sau:

x x

a) +2 =3x 2+ b) 9x +3x =10x 2+ a Theo bất đẳng thức Bernouli ta có:

• Với x x 0≥ ∨ ≤ : x

x x

x

3 2x

3 3x 1x

 ≥ +



⇒ + ≥ +



≥ +

 ,

đẳng thức xảy khi: x x 1= ∨ =

• Với x∈(0;1): x

x x

x

3 2x

3 3x x

 < +



⇒ + < +



< +

 suy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x 0; x 1= =

b Theo bất đẳng thức Bernouli ta có:

• Với x 1≥ :

x x

x x

x x

9 8x

9 10x 3 2x

 = ≥ +



⇒ + ≥ +



= ≥ +

 ,

đẳng thức xảy khi: x 1=

• Với x 0≤ :

x x

x x

x x

9 8x 8x

9 10x 3 2x 2x

− −

 = ≥ − + ≥ +



⇒ + ≥ +



= ≥ − + ≥ +

 ,

đẳng thức xảy ra: x 0=

• Với x∈(0;1):

x x

x x

x x

9 8x

9 10x 3 2x

 = < +



⇒ + < +



= < +

 suy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x 0; x 1= =

10.Giải phương trình: 2sin x2 +2cos x2 =3 Vì 0 sin x;cos x 12

≤ ≤ nên:

2

2

2

sin x

sin x cos x cos x

2 sin x

2

2 cos x

 ≤ +



⇒ + ≤



≤ +



Đẳng thức xảy khi:

2 2

2 2

sin x sin x sin x

x k cos x cos x sin x

 = ∨ =  = π



⇔ ⇔ =

 

= ∨ = =

 

11.Giải phương trình sau:

( ) x ( ) x

a) x 2x −

+ = + ( ) ( )

2

x x x

b) 2x − x −

− = − c) 21 sin x− (2 x2)1 x+

= + 12.Giải phương trình sau:

x x 2x

a) −2x − 2x 1 4x 4x.5+ = + + +5 b) 3x 12− +(x2−1 3) x 1+ =1 13.Giải phương trình sau:

x 2x 3x

2x 3x x 3x 2x x

2 2

a)

2 +2 +2 +2 +2 +2 =

x x

x 2 x x x

2

b)

4 +m +m +1 2+ +m =m +1 14.Giải phương trình sau:

x

a) =4x 1+ b) 27x2 =(6x2−4x 9+ ) x 15.Giải phương trình sau:

x x

a) +5 =6x 2+ b) 3x +2x =3x 2+ c) 7x +3x =8x 2+ BÀI TẬP

1/

x x

x

2

+ =

− HD: ĐK

1 x

2

≠ Qui đồng khử mẫu đặt ẩn phụ

1/ 8 x.2x 23 x− x 0

− + − =

HD: pt (2x 1 x.2)( x) 0

⇔ + − = ĐS: x 2=

Bài 6: Giải PT sau:

2

log (sin x 5sin x cos x 2) 1 3)

9

+ +

=

2

log x 3log x 2 log x

9) x − − 10−

=

log x

log x

8) x 10

+

+

= III/ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARÍT:

Phương trình bản:

Dạng 1: ( ) ( ) b

a

log f x =b⇔f x =a

Dạng 2: log f (x) log g(x)a = a ⇔f (x) g(x) 0= >

Lưu ý: Việc chọn f x( )>0 g x( )>0 tùy thuộc vào độ phức tạp của f(x) g(x)

1 Giải phương trình sau:

( )

2

1 log x +4x 4− =2 log (x3 2−3x 5) log (7 2x)− = 3 −

( 2) ( )

1

3

3 log  x +x −2+log 2x 2+ =0 4{ 2( ) } log 2log log 3log x

2

 + +  =

 

2 Giải phương trình: log x log x log x3 + 4 = 5 Giải phương trình sau:

( )

2

1 log x 6+ =3 logcos x4.logcos x2 1=

3 2x log

x

3

−

 

 

 

= Giải phương trình sau:

( )2 ( )

2

1 log x 1− =2log x + +x 2 1

2 log (x −1) log (x 1)= −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 log x + +x +log x − +x =log x +x +1 +log x −x +1

( ) ( )

2 2

4 log x +3x 2+ +log x +7x 12+ = +3 log

2

5 log x log x log x log x+ + = x log 2+ ( + x)=x log5 log 6+

( ) ( x ) ( x )

5 5

7 x log log + log 11.3

− + + = − log x 14( + )2+ =2 log 2 x log x− + 8( + )3

5 Giải phương trình sau:

( ) ( ) ( )

1 log x log x 58 log x 4x

+ = + + + + 2 log x( 9 )2 =log x.log3 3( 2x 1+ − )

( )2 ( )3 ( )3

1 1

4 4

3

3 log x log x log x

2 + − = − + +

6 Cho phương trình: 4( 2) 1( 2)

2

2log 2x − +x 2m m− +log x +mx 2m− =0 a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm x , x th1 2 ỏa x12 +x22 >1

( 2) ( 2)

2

2 2

2 2

pt log 2x x 2m m log x mx 2m

x mx 2m x mx 2m

x 2m x m

2x x 2m m x mx 2m

⇔ − + − = + −

 + − >  + − >



⇔ ⇔

= ∨ = −

− + − = + −

 



b

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2

2m m 2m 2m 1 m 0

1 m m m 2m 2 1

m

5

2m m

 + − >

− < < 



 

− + − − > ⇔

 

< <

 

+ − > 

7 Cho phương trình: logmx2−(6m x 9m− ) + 2−3m 2+ =logm(x m− ) ( )1 a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

( ) ( ) ( )

2 2

0 m m

pt x 6m x 9m 3m x m f x x 6mx 9m 2m 2

x m x m

< ≠ < ≠

 

 

⇔ − − + − + = − ⇔ = − + − + =

 

− > >

 

a m 2= ⇒x 6= ±

b (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm lớn m

( )

' 2m

af m 4m 2m m

S 3m 0



∆ = + > 

⇔ = − + > ⇔ > 

= > 

8 Cho phương trình: ( ) ( )

m m

2log x log mx

+ − = + +

a Giải phương trình với m =

b Giải biện luận phương trình theo m

Điều kiện:

2 x mx

>  

+ > 

( )2 ( )

pt⇔ x 1− =mx + ⇔1 m x− = −2 a Phương trình vơ nghiệm

b m 1< phương trình có nghiệm nhất; m 1≥ phương trình vơ nghiệm

9 Cho phương trình: ( )

( ) ( )

log mx

2

log x 1+ = a Giải phương trình với m =

b Tìm m để phương trình nghiệm nhất

( ) ( ) ( )

1 x pt

f x x m x

− < ≠ 

⇔

= − − + =



a m 4= ⇒x 1=

b (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm thỏa: x 0− < ≠

( ) ( )

2

m m 0

af b m 2

m

2a

∆ = − − =

<  

⇔ − < ∨ − ⇔

>

− = > − 

 

10.Giải biện luận phương trình:

( )

2

2 3

log + x −3x log+ + − x log− = − m x 2+  với m 0> 11.Cho phương trình: log2 m− (x2+mx)=log2 m− (x m 1+ − )

a Giải phương trình với m =

12.Cho phương trình: logmx2−(6m x 9m− ) + 2−2m 1− =logm(x 3− ) a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt

13.Cho phương trình: log x3( 2+4mx)−log 2x 2m 13( − − )=0 a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt

14.Cho phương trình: log 93( x +9m3)=3 a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm nhất

15.Cho phương trình: logm(x2+mx 3− )=log xm a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm

16.Cho phương trình:

( )

5 log mx

2 log x 1+ = a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm nhất

17.Cho phương trình: ( )

2

x m

x m m

log 2m x log x log log log

−

−

+ =

a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm

18.Cho phương trình: 2log 8x4( −2x 2m 4m+ − 2)−log 4x2( 2+2mx 2m− 2)=0 a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm

1

x , x thỏa x( 12+x22)>1 19.Giải phương trình: logx 3(3 x2 2x 1) (1)

2

+ − − + =

Điều kiện: − <3 x≠ −2

x

1

(1) log (3 x 1) x x (2)

2

+

⇔ − − = ⇔ − − = +

2 x

3 x 5

(2) x x x x ( )

x x 3x 2

+ ≥

− < < 

 − + − −

⇒ ⇔ + = + ⇔ ⇔ = ∨ =

 

≠ − + + =

  loại

2

4 x 9 29 9 29

x (2) x x x x ( )

2

x 9x 13 − ≥

 − +

≥ ⇒ ⇔ − = + ⇔ ⇔ = ∨ =

− + =

 loại

Phương pháp đặt ẩn số phụ: Dạng 1:

a a

log f (x) log f (x) (a 0;a 1)

α + β + γ = > ≠

Điều kiện: f (x) 0> Đặt

a

t log f (x)= Phương trình trở thành: α + β + γ =t2 t Dạng 2: αlog f (x)a + βlogf (x)a+ γ =0

Điều kiện: f (x) 1< ≠ Đặt t log f (x)= a Phương trình trở thành: α + γ + β =t2 t

1 Giải phương trình:

( 2)

2 x

1 log 2x log 1= log5x 5.log x 125

x = 2

x

( ) ( )

9

1 log 3x −4x 2+ + =1 log 3x −4x 2+ 3log x2 +xlog 32 =6

3 Giải phương trình: log x4( − x2−1 log x) 5( + x2 −1)=log25(x− x2−1) ( )1

Điều kiện: x 1> Ta có (x− x2−1 x)( + x2−1)=1

Do ( ) ( ) ( ) ( )

1

2 2

4 25

1 ⇔log x− x −1 log x− x −1 − =log x− x −1

Đặt t=(x− x2−1)>0 Phương trình trở thành:

2 25

4 25 25 5

4

log t 1

log t.log t log t log t log log log t

log t 2

− = ⇔ = = − = − = ⇒ =

Với t x x2 1 x

2

= ⇔ − − = ⇔ =

4 Giải phương trình:

( x ) ( x )

2

1 log −1 log 2.3 −2 =2 log 52( x −1 log 2.5) 2( x −2)=2 Giải phương trình: log 55( x −1 log) 25(5x 1+ −5)=1

Đk: x 0> ( x ) ( x ) ( x ) ( x )

5 5

1

pt log log 5 1 log lo g

2  

⇔ − − = ⇔ −  + − =

6 Giải phương trình: log 22 ( x +4)=log 22 x( x +12)

( x ) x( x ) 2x x x x

8 2 12 4.2 12 6(l) 2 x

⇔ + = + ⇔ + − = ⇒ = − ∨ = ⇔ =

7 Cho phương trình: log 52( x −1 log 2.5) 4( x −2)=m ( )1 a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm x 1≥

( x ) ( x )

2

pt⇔log −1 log 5 + −1 =2m

Điều kiện: 5x − > ⇔1 x 0> Đặt ( x )

2

t log 5= −1 Phương trình trở thành:

( ) ( )

f t =t + −t 2m 0=

a Với m 1= ⇒t t= ∨ = −2⇒x log x log 4= 5 ∨ = − 5 b Phương trình (1) có nghiệm x 1≥ ⇔( )2 có nghiệm t 2≥

1

2 t t

⇔ ≤ ≤ (loại t1+t2 = − <1 0) ⇔t1 ≤ ≤2 t2 ⇔m 3≥ Cho phương trình: ( ) ( ) x ( ) ( )

x

2 3 3

m log 3 m log 2 m 1

+

+ + − + − =

a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm dương phân biệt

Đặt t log 3= 2( x +3) phương trình trở thành: f t( )=mt2+2 m t m 0( − ) + − =

( )

x x x

2

x 0> ⇒3 >1⇒3 + >3 4⇒log +3 >2⇒t 2> Giải phương trình: a( ) x( ) a2

1 log ax log ax log

a  

=  

  với a 1< ≠

Điều kiện: x 1< ≠

( a ) a a

a

1 1

pt log x log x log x

log x 2

 

⇔ +  + = − ⇔ = − ∨ = −

10.Cho phương trình: (x 2− )log x 22 ( − ) =2 x 2α( − )3 a Giải phương trình với α =2

b Xác định α để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 5;4

2

 

 

 

( )log x 12( ) ( ) ( )

2

pt x − − 2α log x log x

⇔ − = ⇔ − −  − = α

Đặt ( )

2

t log x 2= − Phương trình trở thành: f t( )=t2− − α =t

( )

2

5

x x 2 log x 1 t

2 ≤ ≤ ⇔ 2≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤

( ) ( )

1

af

1

0

af 4

S

1

2 ∆ = + α > 



− = − α ≥ 

⇔ = −α ≥ ⇔ − < α < 



− < = < 

Ví dụ 1: Giải phương trình log(3x 7)+ (4x2 +12x 9) log+ + (2x 3)+ (6x2+23x 21) 4+ = ( )1

Điều kiện: x

2 > −

( )

(3x 7) (2x 3)

1 ⇔log + (2x 3)+ +log + (3x 7)(2x 3) 4+ + =

(3x 7) (2x 3)

2log + (2x 3) log + (3x 7)(2x 3)

⇔ + + + + =

Đặt

(3x 7) (2x 3)

1 t log (2x 3) log (3x 7)

t

+ +

= + ⇒ + = Phương trình trở thành:

2

1

2t 2t 3t t t

t

+ − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =

Với t 1= ⇒x= −4(l)

Với t x 2(l) x

2

−

= ⇒ = − ∨ =

Ví dụ 2: Giải phương trình: x log (9 ) 1+ 2 − x = ( )

Điều kiện: x log 9< 2

( ) x x x

x

1 2

2

−

⇔ − = ⇔ − = Đặt: t 2= x ĐS: x 0; x 3= =

Ví dụ 5: log x2x 2−14log16xx3+40log4x x =0 (1)

Đk: x x

2 > ∧ ≠

x x x x x x

2 42 20 42 20

(1) 0

log (2x) log (16x) log (4x) log 4log 2log

⇔ − + = ⇔ − + =

+ + +

Đặt t log 2= x Phương trình trở thành:

2

1 21 10

0 6t 7t 19 t t

t 4t 2t

−

− + = ⇔ − − = ⇔ = ∨ =

+ + +

Với x 2

5

5 5

t log log x x

6 log x 64

− − − −

= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Bài tập

Bài 1: Giải PT lơgarít sau

1/

2

log x (x 1)log x 2x+ − = − ĐS: x ; x 2= −2 =

2/3log x23 −9 2.x− log x3 =0 3/ 3log x2 +xlog 32 =6

HD: Ta có xlog 32 =3log x2 ĐS: x 2=

4/ log x 2log x log x.log x2 + 7 = + 2 7

HD: ĐK x 0> ( )( )

7

pt ⇔ log x log x 2− − =0 ĐS: x 7; x 4= =

5/ log (log x) log (log x) 24 2 + 2 4 =

HD: Biến đổi log về cơ số ĐS: x 16=

6/

4

log (x 1)+ + =2 log x log (4 x)− + +

HD: ĐK − <1 x 4< pt⇔log x log (16 x )2 + = 2 − ĐS: x 2; x 2= = − 24

7/ 4log 2x2 −xlog 62 =2.3log 4x2 HD: Dùng: xlog 62 =6log x2

ĐK x 0> pt ⇔4.4log x2 −6log x2 =18.9log x2 ĐS: x 2= −2 8/ 3

2

4 log x log x

3

+ =

HD: ĐK x 0> Đặt

t= log x ĐS: x 2=

Bài 2: Giải phương trình lơgarít sau

1/ 1log x log x 02 2

2 − − − = ĐS: x 0; x 3= =

2/ log (x 2) logx2 + + x 2+ x 2=

HD: ĐK: x 1< ≠ Đặt

x

t log (x 2)= + ⇒t −4t 0+ = ĐS: x 2=

3/ log 2.log logx 2x = 16x2 HD: ĐK: x 1; ;1

2 16

 

< ≠ 

  ĐS: x 4=

4/ log7 x=log3( x+2)

HD: ĐK x< Đặt t log x= 7

Thay vào

t t

7

2 t

3

   

⇒  +   = ⇒ =

 

 

ĐS: x 49=

5/ ( )

3

x log (x 1) 4(x 1)log (x 1) 16 0+ + + + + − = HD: ĐK x> −1 Đặt ( )

3

4 t log x t t

x

= + ⇒ = − ∨ =

+ ĐS:

80

x ; x

81 −

= =

Bài 3: Giải PT lơgarít sau (Chú ý: log x log x= 10 )

1) log(x −2x 4) log(2 x)− = − 2) log(1 ) x x log log 6+ x + = +

( x ) ( x )

2 2

3) log + log log +

− = + − 4) log 4.32( x −6)=log 92( x −6)+1

2

3

5) log x+ log x 0+ − = (A 2002)− 6) logx 5x = −log 5x

3

7) log(x 8) log(x 4x 4) log(58 x)

Dạng 2: Đặt ẩn phụ phương trình cịn chứa x

1 Giải phương trình: log x log x.log 4x2 − 2( )+2log x 02 =

Đặt t log x= Phương trình trở thành: ( )

2

t − log x t 2log x 0+ + =

(2 log x2 )2 t t log x2

∆ = − ⇒ = ∨ =

2 Cho phương trình:

( ) ( ) ( )

4 2

log x+ 2m log x m m log x− + − − m −m log x m 0+ − + =

a Giải phương trình với m= −1

b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt

Đặt t log x= Phương trình trở thành:

( ) ( ) ( )

( )

4 2

3

t t 2m t m m t m m t m

t 2mt m t m =



+ − + − − − + − + = ⇔

+ + + − =



Ta xem phương trình (2) với ẩn m cịn t tham số ta được:

2 t t m t m

t + +

= − ∨ = − Do phương trình (2) viết lại thành:

(t m t)( (m t 1) ) 0

+ − + + + =

3 Giải phương trình: (x 2)log (x 1) 4(x 1)log (x 1) 16 0+ 32 + + + 3 + − = ( )1

Điều kiện: x> −1 Đặt

3

t log (x 1)= +

Phương trình trở thành: (x 2)t2 4(x 1)t 16 t t

x

+ + + − = ⇒ = − ∨ =

+ Với t x 80

81 − = − ⇒ =

Với t log (x 1)3

x x

= ⇒ + =

+ +

Với f (x) log (x 1),3 x f '(x) 0; x f (x)

(x 1)ln

>−

= + → = > ∀ > − ⇒

+

đồng biến

Với g(x) g '(x) 2 0, x g(x)

x (x 2)

−

= ⇒ = < ∀ > − ⇒

+ + nghịch biến

x

⇒ = nhgiem65

4 Giải phương trình:

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 log x +1 + x −5 log x +1 −5x =0 log x 123( + ) (+ x log x 1− ) 3( + )−2x 0+ =

( ) 2( ) ( ) ( )

3

3 x log x 2+ + +4 x log x 2+ + =16 (x log x 1+ ) 23( + )+4 x log x 1( + ) 3( + )=16

( )

2

2

5 log x+ x log x x 0− − + =

Dạng 3: Đặt ẩn phụ biến đổi phương trình dạng tích

1 Giải phương trình: log x x 12 ( − )2+log x.log x2 2( 2−x)− =2 ( )1

Điều kiện: x 1>

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 2

2

2 2

x x

1 log log x.log x x

x

2log x x log x log x.log x x −

⇔ + − − =

⇔ − − + − − =

Đặt ( )

2

Phương trình trở thành: 2u v uv 0− + − = ⇔(u v− )( − )=0 Cho phương trình:

( ) ( ) ( )

2 2

2

x 2x 9x m log x log x 2x 9x m log x 2log

x

− − + +

+ − − − + + + =

+ a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Đặt u log x= ( 3−2x2−9x m ; v log x+ + ) = ( 2+1)≥0 Phương trình trở thành:

( )( )

2

v −uv 2u 2v 0− + = ⇔ u v v 2− + = ⇔0 u v=

3 Giải phương trình: log x log x log x log x.log x 022 − 2 + 3 − 2 3 = Giải phương trình: ( ) ( )

log x log x

2 2+ +x 2− = +1 x

Đặt u=(2+ 2)log x2 >0; v=(2− 2)log x2 >0⇒u.v x=

Phương trình trở thành: u uv.v 1+ = +( )uv ⇔(u 1 uv− )( − 2)= ⇔0 u x.v 1= ∨ = Cho phương trình: log x.log x2 2( −2x 3+ )−m log x 2log x2 − 2( 2−2x 3+ )+2m 0=

a Giải phương trình với m =

b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt

Dạng 4: Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình thành hệ

1 Giải phương trình: log x2( − x2−1)+3log x2( + x2−1)=2

Điều kiện: x 1≥

Đặt ( ) ( )

2

u log x= − x −1 ;v log x= + x −1 ⇒u v 0+ = Khi ta được hệ phương trình: u u u x

u 3v v

+ = = −

 

⇔ ⇔ =

 

+ = =

 

2 Với giá trị m phương trình: 3

2

1 log x− + log x+ =m có nghiệm

Điều kiện: x 0>

Đặt 3 3

2

u= log x; v− = log x+ ⇒u +v =2

3 Giải phương trình: log x+ 2( 2−4x 5+ )+2 log x− 2( −4x 5+ ) =6

Điều kiện: 2− 29 x 2≤ ≤ + 29

Đặt ( ) ( ) 2

2

u= log x+ −4x 5+ ≥0;v= log x− −4x 5+ ≥0⇒u +v =8 Giải biện luận phương trình:

3

1 log x+ log x− =m log x+ log x− =m Dạng 5: Sử dụng tính chất liên tục hàm số:

1 Chứng minh phương trình log 2x 12( + )=2x 1− có nghiệm

Điều kiện: x

2 > −

( ) x ( ) x

2

log 2x − log 2x −

+ = ⇔ + − = Xét f x( ) log 2x 12( ) 2x 1−

= + −

Ta có: f f 1( ) ( )<0 nên phương trình có nghiệm

2 Tìm m 1> để phương trình: 2 ( )

x

mx log mx

+

Điều kiện: x

m > −

( ) ( ) ( )

2

x x

mx log= + mx 2+ ⇔f x =mx log− + mx 2+ =0

( ) ( ) ( )

f f m = −1 m −1 <0; m 1∀ >

3 Chứng minh phương trình 2log x 6log x 032 − 2 + = có nghiệm thuộc 1;4

4

 

 

 

4 Chứng minh phương trình log 2x 13( + )=31 2x− có nghiệm

Dạng 6: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số:

1 Giải phương trình: log x2( 2−4)+x log x 2= 2 ( + )

Điều kiện: x 2>

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

log x −4 +x log x 2=  + ⇔log x −4 −log x 2+ = −3 x⇔log x 2− = −3 x x 3= nghiệm phương trình

2 Giải phương trình: 2log x 13( +) =x

Điều kiện: x 0>

Đặt ( ) ( )

y y

3 y y

3 y

y log x 2 1

y log x y x

3

x

 = +

    

= + ⇒ ⇒ + = ⇔  +  = ⇒ = ⇒ =

   

= 

3 Giải phương trình: ( log x6 )

2

log x 3+ =log x

Điều kiện: x 0>

Đặt ( )

t

t t t t

6

3

t log x x log t t x

2

 

= ⇒ = ⇒ + = ⇔ +  = ⇒ = − ⇒ =

 

4 Giải phương trình: ( ) ( )

2

2

log x −2x 3− =2log x −2x 4−

Điều kiện: x 1< − x 1∨ > +

Đặt ( )

4

t x= −2x 3− ⇒pt⇔log t 1+ =log t

Đặt

y y

y y y

4

4

y log t t 4 y t x x

5

   

= ⇒ = ⇒ + = ⇒  +  = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∨ = −

   

5 Giải phương trình: x2 +3log x2 =xlog 52

Đặt ( )t t ( )t log 52 t t t

x

t log x= ⇒ +3 = ⇔4 +3 =5 ⇔ =t 2⇔x 1=

6 Giải phương trình: ( )

2 3x x

3

1

log x 3x 2

5

− −

 

− + + +  =

 

Điều kiện: x x 2≤ ∨ ≥

Đặt ( )

2 u

3

1

u x 3x log u 2

5

−

 

= − + ≥ ⇒ + +  =

  Xét hàm số ( )

( )

2

x x

3

1 2x

y log x y' 0; x

5 x ln

= + + ⇒ = + > ∀ ≥

+ Vậy hàm số đồng biến D =[0;+∞) Mặt khác f 1( ) f u( ) f 1( ) u x

2 ±

= ⇒ = ⇔ = ⇔ =

( )

( ) ( ) ( )

f y x

y f y x f x y f x

 =



⇒ + = +

 =

 Xét hàm số: A t( )=f t( )+t hàm đồng biến ta có: A x( )=A y( )⇔x y= ⇒f x( )=x Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm của phương trình

7 Giải phương trình: log 3log 3x 12 2( − )− =x

Điều kiện:

3 2 1 x

3 + >

Đặt ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

2

y log 3x

y log 3x y log 3y x log 3x

log 3y x

 = −



= − ⇒ ⇒ + − = + −

− = 

Xét hàm số: f t( )=log 3t 12( − )+t đồng biến

3 2 1 x

3 +

> Do đó: f x( )=f y( )⇔x y=

Suy ra: ( ) ( ) x

2

log 3x 1− =x⇔g x =2 −3x 0+ =

Ta có: g" x( )>0; x∀ ∈D ⇒g ' x( ) đồng biến D Theo định lý Rơn phương trình

( )

g x =0 có khơng q nghiệm trn6 D Mặt khác g 1( )=g 3( )=0

1 Giải phương trình:

x

1 log x+ +2 2= x

2

2

2 + log x+ = Giải phương trình:

( )

2

2

1 log x+ x log x 2x 0− − + = log x( 2− −x 6)+x log x 2= ( + )+4 Giải phương trình:

( )

3

1 log x log= x 1+ log3( x 2+ )=log2( x 1+ ) log x log7 = 3( x 2+ )

( )

2

4 log 1+ x =log x 10 log x 1x( ) log3

+ = 9 2log x 35( + ) =x

( )

3

6)3log 1+ x + x =2 log x 2log6(4x+8x)=log4 x

( ) ( )

3

8 2log cot x =log cos x ( ) 2 3( )

2

3 log x 2x log + x 2x

+ − − = − −

4 Xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

( ) ( )

x m x 2x

1

2

4− − log x 2x 2− + log x m

− + + − + =

IV/ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT 1- Phương pháp chuyển số:

Nếu: a 1: a< < f (x) >bg(x) ⇔f (x) g(x)< Nếu: a 1: a> f (x) >bg(x) ⇔f (x) g(x)>

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ( ) ( )

x x

x

5

− −

+

+ ≥ −

HD: ĐK x≠ −1 BPT x x (x x 2)( )

x x

− +

−

− ≥ − ⇔ ≥

+ + ĐS: [− − ∪2; 1) [1;+∞) Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4x2+x.2x 12+ +3.2x2 >x 22 x2 +8x 12+

HD: BPT (x2 2x 3)(4 ) 0x2

⇔ − − − > trường hợp ĐS: − x< < −1; x 3< <

HD: ĐK x

2

− < < BPT ⇔log 2x5( − )<log x 15 ( + )2 ĐS: x

5

− < < Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log (5xx −8x 3) 2+ > ĐS: x x

2 < < 5∨ > Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 6log x62 +xlog x6 ≤12

HD: ĐK x 0> Ta có: 6log x26 =(6log x6 )log x6 =xlog x6 Lấy log

6ở vế ĐS: x

6≤ ≤ 2- Phương pháp đặt ẩn số phụ:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

x x

x x

2.3

+

− ≤

−

HD: Chia hai vế PT cho x Đặt

x

t

2   =  >

  ĐS: x log 3< ≤ 32 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 32x−8.3x+ x 4+ −9.9 x 4+ >0

HD: Chia hai vế cho x 4+ Sau đặt t 3= x− x 4+ >0 ĐS: x 5>

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: log (3x9 2+4x 2) log (3x+ + > 3 +4x 2)+ HD: ĐK 3x2+4x 1+ ≥ Đặt

9

t= log (3x +4x 2) 0+ ≥ ĐS: x x

3

− ≤ < ∨ − < ≤ − 3- Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

x

x 2

2 <3 +1 HD: Chia vế cho x Đặt ( )

x x

3

f x

2

   

=  +   

  hàm số giảm

Có f 2( )=1⇒f x( )>f 2( ) ĐS: x 2<

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 21 1

2

(x 1)log x (2x 5)log x 0+ + + + ≥ HD: ĐK x 0> BPT ( ) ( )

2

log x x log x

⇔ −  + − ≥

Xét trường hợp:

+ Nếu x 4< < ⇒log x log 42 < 2 ⇒log x 02 − <

BPT x x

x

2

( x 1)log log

⇔ + − ≤ ⇔ ≤

+ y=log2x HS tăng; y

x =

+ HS giảm

3 x

x

2

log =

+ có nghiệm x 2= ⇒0 x 2< ≤ thoả mãn cịn x 4< < khơng thoả mãn BPT

+ Nếu x 4≥ thoả mãn BPT ĐS: x x 4< ≤ ∨ ≥

BÀI TẬP

Bài 1: Giải BPT mũ lơgarít sau:

1/

2 log x 12

2 x

log log

1

1

−

   

  + + 

   

 

 

≥  

 

HD:ĐK: x 0> BPT 2

log x 1

3 x

0 log

2

−

 

⇔ <  + + ≤

 

ĐS: 73 x 217

2

− + − +

≤ <

2/ 6.x2 3 x 3x 1+ x 2.3 xx 3x 9

+ + < + +

Chia hai trường hợp với điều kiện S [ )0;1 3;

2

 

= ∪ +∞

 

3/ ( ) x

log x −x ≤2

HD: ĐK x 1> BPT ⇔x2 − ≤x x2 ĐS: x 1>

4/ 2log x 13( − )>log x3( − )+1 .ĐS: x 57

2 − + < <

5/ x x

2

log (2 +1) log (4+ +2) 2≤

HD: Đặt ( ) x x ( )

2

f x =log (2 +1) log (4+ +2)⇒f =2 ĐS: x 0≤

6/

1 x −5x (x 2)log x+ < −

HD: ĐK x 0> Làm giống VD của phần tính đơn điệu ĐS: PTVN

Bài 2: Giải BPT mũ lơgarít sau:

1/

1 x x x

2

0

−

− + ≤ −

HD: Đặt t 2= x >0 BPT ⇔ < < ∨ ≥ ⇔0 t t ⇔S (= −∞;0) [1;∪ +∞)

2/ 2

8

log x

log 2x

+ ≤ ĐS:

3 13 13

2

1

0 x x

2

− +

< < ∨ ≤ ≤ Bài 2: Giải BPT mũ lơgarít sau:

2 2

2x x 2x x 2x x 1) 25 − + − + 34.25 −

+ ≥ 2) log3x x− 2(3 x) 1− > x

x x 1

3) ( 2) ( 2)

−

− +

+ ≥ − 1

2 5) x −5x (x 2)log x+ < −

2

x 3x x 3x 6) − + − +

− < 7) 6x −2.3x −3.2x + ≥6 x x x x

8) + − − 15.2 + −

+ < 9) xlog x2 +x5log log xx − −18 0<

2

x

2

4) (2 x 7x 12)( 1) ( 2x 14x 24 2)log

x x

+ − + − ≤ − + − +

2

3

x 10) log x.log x log x log

4 < +

V/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT 1- Phương pháp biến đổi tương đương:

- Dùng tính chất HS mũ Lơgarít biến đổi về HPT đại số quen thuộc

- Dùng phương pháp thế, mũ hoá Lơgarít hố hai vế PT hay BPT hệ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( )

x 2y x y

2

1

3

log (x y) log (x y)

− −

  

=

  

  



+ + − =



ĐK x y

x y + > 



− >

 HPT 2

3

y x

5 x y 16 

=  ⇔

 − =



ĐS: (x; y) (= 5;3)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

3

log y log x

3

x 2.y 27

log y log x

 + =



− =



HPT log y x y 3x  = ⇔ =

 Lấy log3 hai vế thay y 3x=

ĐS: (x; y) (3;9 ,) 1;

9

 

=  

 

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

x x

x

(x 1)log log(2 1) log(7.2 12) log (x 2)

+

 − + + < +



+ > 

ĐK x> −2, Hệ BPT

2x x

2 2.2 13.2 24 (x 1)(x x )

 − − <

 ⇔

− + − > 

ĐS: S=(1;2)

2- Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

x x y

x x y 2.3 56

3.2 87

+ + +  + =   + = 

HD: Đặt u ; v 3= x = y ĐS: (x; y) (= 1;2)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2(log x log y) 5y x

xy + =   = 

ĐS: (x; y) (= 2;4 , 4;2) ( )

BÀI TẬP

Giải hệ phương trình hệ bất phương trình mũ lơgarít sau:

1/

x y

2

x y

 + =



+ = 

ĐS: (x; y) (= 0;1 , 1;0) ( )

2/ log x log y 4log y x 1000 + =   = 

ĐS: (x; y) (= 10;1000 , 1000;10) ( )

3/ x y

log (6x 4y) log (6y 4x)

+ =

 

+ =



ĐS: (x; y) (= 10;10)

4/ 8

log y log x

4

x y

log y log x

 + =



− =



ĐS: (x; y) (8;2 ,) 1;

2

 

=  

 

5/ ( )

( )

2

y

4

log x log y 1 log x log y

 − =

 

− =



ĐS: (x; y) (8;2 , 2;)

2

 

=  

 

6/ y y

2

6

5 log x log x

2 log (x y )  + =    + = 

ĐS: (x; y)=(2; ,) ( 2;2)

7/

2

3 x y

3 x y

2log (6 3y xy 2x) log (x 6x 9) log (5 y) log (x 2)

− − − −  − + − + − + =   − − + = 

HD:ĐK.HPT x y

3 x y

3 x y

log (2 y) log (3 x) 2 y x

log (5 y) log (x 2) log (5 y) log (x 2)

− − − − − − − + − =   − = −  ⇔ ⇔ − − + = − − + =    Thay y x− = − vào PT ĐS: (x; y) (= 0; 1− )

8/

2 y

y cot x cos x

 =

 

=

 HD: HPT

y y y

4 12 y

⇒ + = ⇒ = − nhất ĐS: (x; y) ;

3 π

 

= − 

 

Giải hệ phương trình hệ bất phương trình mũ lơgarít sau:

2

3

2

2 x 2x 5

log (x 1) log (x 1) log 1)

log (x 2x 5) 4.log − + + − − >

 

− + + =

 3

x y

2) (B 2005)

3log (9x ) log y

x y x y

3

3)

3

+

+ +

 − = −

 

− = − 

2

3

3 2

1

log x log y

4)

x y 2y 

− =

 

 + − =



2

1 x y

1 x y

log (1 2y y ) log (1 2x x ) 5)

log (1 2x) log (1 2x)

+ −

+ −

 − + + + + =

 

+ + + =



2x 2y

x y

3 17

6)

2.3 3.2

+ +

+

 + =

 

+ =



2

2

2

log x log y 7)

log x log y

 − = −

 

− ≤



2x y

2x 2y

2 2

8)

log (2 )

 − = −

 

− ≤



2

2

2(x 1) x y 2y 2y x y

4 4.4 2

9)

2 3.4

− −

−

 − + =

 

− =