Tài liệu bao gồm một số bài tập về phương trình logarit có đáp án và lời giải chi tiết.
Trang 1BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
30 32x 8 3x x4 9 9 x4 0 ĐS: x>5
31 9 x22xx7.3 x22xx12
4
32
x x
2
1 2
1
3 6
ĐS: x 1 0 x 1 x 1
8
1 4
ĐS:
3
4
x
34 log5(12x)1log 5(x1) ĐS:
2
1 5
35 2log2x log2x ĐS: 2
4
1 x
36 log log9(3x9)1
37
) 1 3 ( log
1 )
3 ( log
1
2 2
3
2
x
1
) 3 ( log ) 3 (
3 1 2
2
1
x
x x
ĐS: -2 < x <-1
1 2
x
0
x 2 x
Khi đó:
2
2
2
x
x
x
x 0
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
2 0,7 6
x 4
Trang 2Điều kiện:
6
x 2
Khi đó:
2
x 8
x 4
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
41. 3 1
3
2 log 4x 3 log 2x 3 2
Điều kiện:
3 x
x
x 2 Khi đó:
2
2
2
2
3
8
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 3 x 3
42.
2
3
Ta có:
2
3 Đặt t 3 x 2x 2 (t 0), bpt trở thành: t 2 2t 3 0 1 t 3
Do t 0 nên ta chỉ nhận 0 t 3
Với 0 t 3 : 03x 2x 2 3 x2 2x 1 x22x 1 0 1 2 x 1 2
Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S 1 2;1 2
43. x x 2
log 4 144 4 log 2 1 log 2 1
Ta có:
x
1 log 4 144 log 16 log 5 2 1
log 4 144 log 80 2 1
4 20.2 64 0
Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S 2;4
Trang 346 22x-1 + 22x-3 - 22x-5 >27-x + 25-x - 23-x ĐS : x > 8/3
47 3 3 84
1 3 1
x
x ĐS: 0 < x < 1
1 1
) 2 5 ( ) 2 5
x x
ĐS: x 1
55.log(x + 4) + log(3x + 46) > 3 ĐS : x 6
63 log4x-3x2>1 ĐS : x 3;
64 logx(x3-x2-2x)<3 ĐS : x2;
65 log 4 6 0
5
x
x
ĐS : x
2
3
;
66 lg2x-lgx3+20 ĐS : x0;10 100;
67 1+log2(x-1)logx-14 ĐS : x 5/4;2 3;
1 ) 4 ( log
5 2
x
x
ĐS : x=5 và x4 2 ;
5 4
) 3 ( log
2
2
x x
x
ĐS : x=4 và x5;
70
4 1 log log29 x 32 x ĐS : x=2 và x0;4/5
7
1 log log7 x x ĐS : x1;
72.
5
1 log 2 log
2 5 x x ĐS : x1;
73 logx2.log2x2.log24x>1 ĐS :x 2 2
2
; 1 5 , 0
;
14
2 24 log
2
16
25x2 xx ĐS : x3;1 3;4
3
1 2 log
2
x
x
x ĐS : x 4;
76
64
1 log 12
1 2 ) 6 ( log 2
1
2 2
2 3
2
3
; 2
6
77
x x
x x
x
x 7 12 )(2 1 ) ( 14 2 24 2 ) logx 2 2
78 log log2log 19 0
2
Trang 479
2
1 2
2 4
x
x
2
1
80 log log 5 log ( 3)
2
1
3 1 3
81 logx(4+2x)<1 ĐS: x2;1 1;0 0;1 2;
82
4
3 16
1 3 log ) 1 3 ( log
4 1
3
10
; 3 3
1
;
0
83 log12x4x284x5 0 ĐS: x
2
3
; 4
5 4
5
; 1
4 3
) 1 ( log ) 1 ( log
2
3 3
2
x x
x x
ĐS: x1;0 4;
85. logx 3(5x2 18x16)2 ĐS: x
3
1
2 lg lg
) 2 3 lg( 2
x
x x
ĐS: x
87 log 2x64 logx2 16 3 ĐS: x ;2 1;4
2
1 31
88. ( 1)log (2 5)log 6 0
2 1 2
2
x ĐS: x0;2 4;
3
1
(
] 3 ) 2 2 ( [log log 2 lo g 2 1 3
1 2 3
x
x
2
217 1
; 2
73 1
2
2 3
x
x
x ĐS: x 1;2
91 logxlog9(3x-9)1 ĐS: x >log1310
3 ) 3 9 ( log
1
3
x
x
ĐS: x2log310;2
93. log9(3x2 4x2)1log3(3x2 4x2) ĐS: x
3
1 1
; 3
7
5 log ) 1 3 4
x
x x
x ĐS: x =1
95 log2(2x+1)+log3(4x+2)2 ĐS: x;0
96 log2x+log2x84 ĐS: x
2 13 3 2 13 3 2
; 2 2
1
;
0
Trang 597. 1logx2000 2 ĐS: x
2000
1
; 0
3
98 log (2 1)log (2 1 2) 2
2 1
ĐS: x2log25;log23
99 log log 2 3 5(log4 2 3)
2 1 2
2 x x x ĐS: x 8 ; 16
2
1
;
0
2 log 2
logx x x x ĐS: x
2
1
; 0 3
) 5 ( log
) 35 (
x
x a
a víi: 0<a 1 ĐS: x 2;3
102. log log ( 1 ) log log ( 2 1 )
5 1 3 2
5 2
1 x x x x ĐS: x
5
12
;
103 log2xlog32x + log3xlog23x o ĐS: x
6
6
; 0
104
x
x x
x
3
3 5
5
log
) log 2 ( log 3 log
ĐS: x 1 ; 3
5
5
;
2 2
2 4 3 2
6 5 5 log ) (
log 6
5x x x x x x x x xx ĐS: x
; 3 2 5
3 5 2
) 11 4 ( log ) 11 4 ( log
2
3 2
11 2
2
x x
x x x
x
ĐS: x 2 ; 2 15
107. 2log29 xlog3 xlog3( 2x11) ĐS: x 1;4
1 3 2 5
5 lg
x x x
x ĐS: x5;0 1;3
109.Cho 0 < a < b <1 CM BĐT: 2 2
a b b a a b
Đưa BĐT về dạng tương đương 2 2
(1 a ) lnb ln (1a b ) ln 2 ln 2
Xét hàm số ( ) ln 2
1
x
f x
x
với 0<x<1
2
2 2
1 (1 2 ln )
1
f x
vì lnx<0 và 0<x<1
Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1) Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b) Bài toán được chứng minh
110
2 0,7 6
4
x
Trang 66
4
4
4
x
2 2
0 4
4
6 4
x
2
6 4
x
111
2 1 2
0
x
log
2
1
2
0
x
log
2
2
0
1
x
x
2
0
x
2
0
x
112
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2
BPT tương đương
2
3 4 log (4 3) log (2 3) 2
x
2 3
3
4
(4 3)
x
x
x
2
3 4 (4 3)
9
x x x
2
3 4
x
3 4 3
3 8
x x
3
3
4 x
log 8 logx x log 2x 0
ĐK: x>0, x≠1
Đưa về 3log 2 log2 1 1log2
t
2
t t
t 3 t 2 8 1
4
2
1 1 log 2
1 1 3 2
2
2
x x
log ( 1)(2 1) log 1
2
1
( 1)(2 1)
x
1
2
x
2
0
( 1)( 3 1)
0 ( 1)(2 1)
0
x x
Kết hợp ĐK:
1
1 2
x
Trang 7115. 3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
2t 7t 7t 2 0 (t 2 ,x t 0)
2
2
log 4 144 4log 2 1 log 2 1 Biến đổi BPT
x
x 2
4 144
16
x
x 2
4 144
5.2 5 16
2
(t 4)(t 16) 0 4 t 16 2 x 4
x
x
x
Suy ra 12 15 20 3 4 5
118
x x
x x
2 2
2
2 1
3 Đặt 2 2
3x x, 0
t t ta có t22t3≤0 1≤t≤3
BPT thành 2 2 2
3x x 3 x 2x 0 0 x 2
.
Môt bài toán hay Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy ra Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4x=1
3
2 4 x 1 1 4x 3 4x 2 4 32 3
x x
Tương tự với y,z ta có:
x y z
3 3 23 3 3 3 (vì x+y+z=0)
120. log log2x x2 x
4
Trang 8
log log2 x x2 x
4
2 2
2 2
2 1 log x x2x
2
2
x x
2 2
x x
2 2
log log
2.x x2 x
log log
2
11 6
x x x
HD:
1
0 2
x
x x
x<1 thì
1
2 0
x x x
suy ra x<1 thỏa BPT
x=1 không thỏa BPT
1<x<2 thì
1
2 0
x x x
suy ra 1<x<2 không thỏa BPT
x>2 thì
1
2 0
x x x
suy ra x>2 thỏa BPT
Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
123 log x 3 log 3x
3
0, 1
log
1
t
t
3 2
0, 1 log 1 0
t t
3
0, 1 log
0, 1
1
15.2x 1 2x 1 2x
Đặt t=2x ta được 30t 1 t 1 2t
t=1 thỏa BPT
t>1 ta được 30t 1 3t 1
2
1
t
1
t
Trang 9 t<1 ta được
30t 1 t 1
2
1
1
30
t
t
1
1
t t
1
1
30
t t
t
1
Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta có 0 t 4 0 2x 4 x 2
125 logxlog 93 x72 1
logx log 9x72 1
3
1
9 72 1 log 9 72
9 72 3
x x
x x
x
1
x
x x
1
x
126 log log 2 1 2.
2 1 2
1 4 x 4 2 x 3 2
log
2
1 2
1 4x 4 2 x 32 2 1 2
x
x
x 2
372 1 2 2 1 16
373
1 2
2
16
x
2x 2x 2x 3x 3x 3x ĐS : x 2
375. 2 3 2 2 3 3 2 3 4
2x x .3x x .5x x 12 ĐS : x 1 x 4
376.
( 10 3) ( 10 3)
377. 1 3 x2x 9 ĐS : 1;2 \ 0;1
5 6
3
3 x x x
379 2 2 7
2 x x 1
2
2x 2x 3x 3x ĐS : x 2
Trang 10381 1 1
( 2 1) ( 2 1)
x
382 2
1
3
3
x x
383. 2
1 x 1
384 9x 2.3x 3 0 ĐS : x 1
385. 2 6 7
2 x 2x 170 ĐS : x 3
387 2.49x 7.4x 9.14x ĐS : 0 x 1
388. 5.2x7 10x 2.5x ĐS : 0 x 2
4x 3.2x x 4 x ĐS : 0 x 4
6.9 xx 13.6 xx 6.4 xx 0 ĐS : 1 1
4x x.3 x 3 x 2 3x x 2x 6 ĐS : 2
3
3
2
392
2
1
x x
3
1
3
x
393
2 2
2
3
x x
394.
1
395 1 2 1 2
x
396
2 2.3 2
1
3 2
2
0 x log 3
2 1
x x
398 log2 log (20,5 31) 2
16
x
2
x
x x
3 2log (4 3 ) log (2 x x 3) 2 ĐS : 3 3
4 x
Trang 112 0,7 6
4
x
ĐS : 4 x 3 x 8
x x
1
1
2 x
1
2
404 logxlog (93 x 72) 1 ĐS : log 739 x 2
2 x 5 x 2
406. log 64 log 162x x2 3 ĐS: 1 31 1 4
407.
2 lg( 3 2)
2
lg lg 2
x
4x x.2x 3.2x x .2x 8x 12 ĐS : 2 x 1 2 x 3
3
2 log (4x 3) log 2x 3 2 ĐS : 3/4 x 3
448. log0,7 log6 2 0
4
x
ĐS : 4 < x < 3, x > 8
log 4x 144 4 log 2 1 log 2x 1 ĐS : 2 < x < 4
450. 1 2
2
x
451 log0,55x10log0,5x2 6x8
8 6 10
5
0 8 6
2 2
x x x
x x
0 2
0 8 6
2 2
x x
x x
1 2
2 4
x
x
x
–2 < x < 1 ĐS : –2 < x < 1
452. log2x3log2x21
0 4 5
0 6 5
2 2
x x
x x
4 1
3 2
x
x x
ĐS : 3 < x 4
453 log2x3x21 ĐS : 1 x < 2 3 < x 4
1
1 3
x
x
1 1 3 1
1 1
1 3
1 3
1
2
x x x x x
0 2 3 1
0 2 3
1 3
1
2 2
x x x
x x
x
2 1
1
2 1
1 3
1
x x
x x
x
2 1
1 3
1
x x
Trang 12 x (
3
1 ; 2) \ 1 ĐS : x (
3
1
; 2) \ 1
4
2x x 2 2 1
2
2x x x2 2x1 3x2 +12x < 0 4 x 0
ĐS : 4 x 0
4
1
x
0 1 2 1 4
1 4
1 4
1
2 2
x x
x x
x
4
1
4
1
x
457. log 1 log log9 1
9 1
2 log 2 1
0 log 2 1
9
9
x
x
2
1 log
2
1 log
9
9
x
x
3
1
x
3
1 x
458 log 1 2
3
9 1
0 1
x
x
10
1
x
x
Vậy: x1;10 ĐS :
1;10
459 log4 x3 1
1 3 log
1 3 log 4
4
x
x
1 3 log
1 3 log 4
4
x
x
4 log
2 log 4
4
x x
256
16
x
x
16 < x < 256 ĐS : 16 < x < 256
460.152x + 3 > 53x + 1.3x + 5 2 3 2 3 3 1 5
3 5 3
.
5 x x x x 5 x2 3x2 1 1
3
52
x < 2
ĐS : x < 2
461 6log x xlog6x 12
2
6log6xlog6x xlog6x 12 x log6x xlog6x 12
xlog6x 6 log6x2 1 1 log6x 1 x 6
6
1
6
1
462. 2x 3x1 5x2 12 ĐS: x 2
463 3x 3 x2 8 0 8 0
3
9
3x x 32x 8 3x 9 0
1 3
3 3
x
x
x > 0
ĐS : x > 0
464 log22 x log24x 4 0 log22 x log2 x 2 0
1 log
2 log
2
2
x
x
2 4
1 0
x
Trang 13ĐS : 2
4
1
1 1
1
9 4 6 5 4
1 1
4
9 4 2
3 5 9
2
3 5 2
3 4
1 1
2
4
9 2
3
1 2
3
1
1
x
x
1 2
x
2
1
2
1
466 4 x25x 2 x25x2 4
4 2
4
2 5
2
x x
2 x25x 2 0 2 x25x 2 x2 5x1 x2 5 x1
1 2 5
0
1
2 2
x x x
x
1 2 5
1 2 2
x x x
x
x
x
2 4
1
x = 2 ĐS : x = 2
2 3 2
log 4 4
2 1 2
2 3 2 2 4
22 2 22x 3.2x40
4
2
1
2
x
x
x ≥ 2 ĐS : x ≥ 2
1 1
2 2 3 2
2
x x
1 1
2 2 3 2
2
x x
1
1 1
x
x x
1
x
x
1
1
x
x
1
2 2
x
x
x Vậy: x2;11;
ĐS : 2;11;
469. 1 lg lg 2 lg 2
3 2 6
9 18 6
4
x
lg
4
9 18 2
3
2
3 2
3
18
lg lg
2
9
4 2
3 2
x
lgx < –2 Vậy:
100
1
; 0
100
1
; 0
470 log4 2 3log4 1
x
471 logx125x log225x 1 Điều kiện : 0 < x ≠ 1
125 log 1
logx x 225x log25x logx125x log25x 1 log25125x log25x 1
log25125 log25x log25x 1 3 log5 x log5 x 4
log25 x 3 log5 x 4 0 4 log5 x 1 Vậy:
; 5 625
1
625
1
473 x2 logx27 log9 xx 4 Điều kiện : 0 < x ≠ 1
4 log
.
27
log
.
x x2log x log 27 x 4 3x2 x 4 0 ĐS : x > 2
Trang 14474
1 3
1 5
3
1
1
x
1 3 3
1 5 3
1
1 3 3 5 3
6 3
x x
x
1 3x 3
ĐS : 1;1
2 log
2 log log2
a x
x x
a
a a
0
2
log
4
log2
x
x
a
a loga x 2 0 loga x 2 ĐS : a > 1 x > a2 ; 0 < a < 1 0 < x < a2
476. 4 log 3x 243
x Điều kiện: x > 0
243
3
log
4 x
x log3 4log3x log3243
x 4 log3 xlog3x 5
log23 x 4 log3 x 5 0 5 log3x 1 Vậy:
243
1
3
; 243 1
477 32lgx 3lgx25 2
2 3
32lgx lgx25 9 3lgx 243 9lgx 2
0 2 3
.
9
3
.
243 2lgx lgx
9
1
3
27
2 3
lg
lg
x
x
100
1 2
100
1
x
478 6 9 x2x 13 6 x2x 6 4 x2x 0 6 0
2
3 13 4
9 6
x x x
2
3 2
3
3
2
–1 2x2 – x 1
0 1 x x
0 1 x x
2
2
2
2
3
2 1
10 1
10 log3x log3x Nhận xét: 10 1 10 1 9
Điều kiện: x > 0
Đặt: t log3x x = 3t
Bất phương trình trở thành: t t 3 t
3
2 1 10 1
3
2 3
1 10 3
1
Lại đặt :
t
3
1 10
, ta được:
3
2 u
1
u 3u2 – 2u – 3 0
vn 3
10 1 u 3
10 1 u
Khi đĩ:
3
1 10 3
1
t 1 hay: log3x 1 x 3
ĐS: x 3
x 1
1 x
2
Điều kiện:
0 x
0 x 1
1 x
0 < x < 1
Trang 15x log x
1
1
x
2
x 1
1 x
x 1
1 x
x 1
1 x
x
1
1
x 1
x x 1
1 – x > 0 x < 1 ĐS: 0 < x < 1
551. 1 2
2
x
ĐS: 2 2;1 2; 2 2
555 log 4 6 0
5
x
x
ĐS: x
2
3
;
556 1+log2(x-1)logx-14 ĐS: x 5/4;2 3;
1 ) 4 ( log
5 2
x
x
ĐS: x=5 và x4 2 ;
5 4
) 3 ( log 2
2
x x
x
ĐS: x=4 và x5;
559
4 1 log log29 x 23 x ĐS: x=2 và x0;4/5
7
1 log log7 x x ĐS: x1;
561
5
1 log 2 log
2 5 x x ĐS: x1;
562 logx2.log2x2.log24x>1 ĐS: x 2 2
2
; 1 5 , 0
;
14
2 24 log
2
16
25x2 xx ĐS: x3;1 3;4
3
1 2 log
2
x
x
x ĐS: x 4;
565
64
1 log 12
1 2 ) 6 ( log 2
1
2 2
2 3
2
3
; 2
6
567.
x x
x x
x
x 7 12 )(2 1 ) ( 14 2 24 2 ) logx 2 2
568. log log2log 19 0
2
569.
2
1 2
2 4
x
x
2
1
570 log log 5 log ( 3)
2
1
3 1 3