6) TÝnh chÊt chia hÕt.. 3) Dïng sè trung gian.[r]
(1)Một số dạng toán luỹ thừa
chơng trình toán 6
-I- lý thuyÕt:
Dùa vµo mét sè kiÕn thức sau: 1) Định nghĩa luỹ thừa
2) Các phÐp tÝnh vÒ luü thõa
3) Chữ số tận luỹ thừa 4) Khi hai luỹ thừa ? 5) Tính chất đẳng thức, bất đẳng thức 6) Tính chất chia hết
7) Tính chất dÃy toán có quy luật 8) HƯ thèng ghi sè
II- Bµi tËp:
1 ViÕt biĨu thøc díi d¹ng mét l thõa:
a) Phân tích số thừa số nguyên tố.
Bài 1: Viết biểu thức sau dới dạng luỹ thừa ( nhiều cách có) a) 410 815 b) 82 253
Bài giải: a) 410 815 = (22)10 (23)15 = 220 245 = 265
Ta thÊy 265 = (25)13 = 3213
265 = (213)5 = 81925
VËy ta cã c¸ch viÕt lµ: 410 815 = 265
410 815 = 3213
410 815 = 81925
b) 82 253 = (23)2 (52)3 = 26 56 = 106
Ta thÊy 106 = (102)3 = 1003
106 = (103)2 = 10002
Vậy ta có cách viết là: 82 253 = 106
82 253 = 1003
82 253 = 10002
b) Nhãm c¸c thừa số cách thích hợp.
Bài ViÕt biĨu thøc sau díi d¹ng mét l thõa ( 2a3x2y) ( 8a2x3y4) ( 16a3x3y3)
Bài giải: ( 2a3.x3y ) (8a2x3y4) ( 16a3x3y3)
= (2.8.16) (a3 a2 a3) ( x2x3 x3) (y.y4.y3)
= 28 a8 x8 y8 = (2axy)8
Bài 3: Chứng tỏ tổng ( hiệu) sau số phơng a) 32 + 42
b) 132 -52
c) 13 + 23 + 33 + 43
Bài giải: a) 32 + 42 = + 16 = 25 = 52
b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122
c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + + + 4)2 = 102
2- Tìm chữ số tËn cïng cña mét luü thõa
* Luỹ thừa có số tận đặc biệt ( x, y, N)
XOn = YO (n N *) X1n = Y1
X5n = Y5 (n N *) X6=Y6 (n N *)
(2)a) 42k ; 42k + 1.
b) 92k ; 92k + 1 ( k N)
Bài giải: a) Ta có: 42k = (42)k =
( 6)k= .6
42k + 1 = (42)k = 4= 4
b) T¬ng tù ta cã: 92k = 1
92k + 1 = 9
Bài 2: Tìm chữ sè tËn cïng cđa c¸c l thõa sau. a) 22005; 32006
b) 72007 ; 82007
Bài giải: a) Ta cã: 22005 = (24)501 = 6501 2
=
32006 = (34)501 32 = 1¿501 9=
¿
b) Ta cã: 72007 = (74)501 73 = ( 1 )501.3 = 3
82007 = (84)501 83 = (
¿ ¿
501 = 2
3 Tính giá trị biĨu thøc:
a) TÝnh theo quy t¾c thùc phép tính:
Bài 1: Tính giá trị biÓu thøc sau 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252
Bµi gi¶i: 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252
= 35 - 35 + 58- 58 =
b) Sư dơng tính chất phép tính.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lý nhất. A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
B = ! - ! - ! 82
Bài giải: A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
= ( 25: )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 6
= 56 + 36 - 26
= 15625 + 729 - 64 = 16290 B = ! -8 ! - 7! 82
= ! ( 9-1) - ! = ! - 8! =
c) BiĨu thøc cã tÝnh quy lt.
Bµi 1: TÝnh tæng A = + + 22+ + 2100
B = - 32 + 33 - - 3100
Bài giải: A = + + 22 + + 100
=> 2A = + 22 + 23 + + 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100)
VËy A = 2101 -
B = - 32 - 33 - - 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101)
4B = - 3101
VËy B = ( 3- 3101) : 4
Bµi 2: TÝnh tỉng
a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200
b) B = - 74 + 74 - + 7301
(3)25 A = 52 + 54+ + 5202
25 A - A = 5202 -
VËy A = ( 5202 -1) : 24
b) T¬ng tù B =
304+1 73+1
Bµi 3: TÝnh A =
7 + 72 +
1
73 + + 7100
B = −4 +
4 52 -
4
53 + + 5200
Bài giải: A =
7 + 72 +
1
73 + + 7100
7A = +
7 +
72 + + 799
=> 7A - A = -
7100
A = (1−
7100) :
B = −4 +
4 52 -
4
53 + + 5200
5B = -4 +
5 +
53 + + 5201
B+5B = -4 +
5200
B = (−4+
5200) :
Bµi 3: TÝnh A = 25
28
+2524+2520+ +254+1 2530+2528+2526+ +252+1
Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có:
2530 + 2528 + 2526 + +252 +
= (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252)
= (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252)
VËy A =
1+252 = 626
d) Sư dơng hƯ thèng ghi sỉ - c¬ sè g
Bµi 1: TÝnh
A = 107 + 5.105+ 4.103+2.10
B = 12 108 + 17.107 + 5.104 +
Bài giải: A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10
= 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100
= 60504020
B = 12.108 + 17 107 + 5.104 +
= (10+2) 108+ ( 10 +7).107+5.104 +
= 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 +
(4)= 1370050003 4 Tìm x
a) Đa số ( số mũ)
Bài1: Tìm x N biết
a) 4x = 2x+1
b) 16 = (x -1)4
Bài giải: a) 4x = 2x +
(22)x = x +
22x = 2x+
2x = x +1 2x- x =
x = b) 16 = ( x -1)4
24 = (x -1)4
2= x - x = 2+1 x =
Bài 2: Tìm x N biÕt a) x10 = 1x
b) x10 = x
c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
d) x2<5
Bµi gi¶i: a) x10 = 1x
x10 = 110
x = b) x10 = x
x10 - x =
x.( x9 - 1) =
Ta cã: x = hc x9 -1 =0
Mµ x9 -1 =
x9 = 19
x =
VËy x = hc x =1 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
V× hai luü thõa b»ng nhau, có số nhau, số mũ khác ( 0) Suy 2x - 15 = hc 2x - 15 =
+ NÕu 2x - 15 =
x = 15 : N ( lo¹i) + NÕu 2x - 15 =
2x = 15 + x =
d) Ta cã x2 <
vµ x2 => x2 { 0; ; ; ; }
Mặt khác x2 số phơng nên
x2 { ; 1; } hay x2 { 02 ; 12 ; 22 }
x { 0; ; }
Dùa vµo bµi tập SGK lớp Bài 4: Tìm x N biÕt
a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2
b) + + + + 99 = (x -2)2
(5)( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1 x = 55- x = 54
b) + + + + 99 = ( x -2)2 (992−1+1)
2
= ( x - 2)2
502 = ( x -2 )2
50 = x -2 x = 50 + x = 52
( Ta cã: + + 5+ + ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm cặp x ; y N tho¶ m·n 73 = x2 - y2
Ta thÊy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2
(1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
VËy cặp x; y thoả mÃn là: x = 28; y = 21
b) Sư dơng ch÷ sè tËn luỹ thừa.
Bài 1: Tìm x ; y N* biÕt
x2 = ! + ! + ! + + y!
Bài giải: Ta thấy x2 số phơng
Có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Mµ:
+ NÕu y =
Ta cã x = ! = 12 ( TM)
+ NÕu y =
Ta cã: x2 = ! + 2! = ( Lo¹i)
+ NÕu y =
Ta cã: x2 = ! + ! + ! = = 32 ( TM)
x = + NÕu y =
Ta cã: x2 = ! + ! + ! + ! = 33 ( lo¹i )
+ NÕu y Ta cã:
x2 = ( ! + ! + ! + ! ) + ( 5! + 6! + y! )
= + = .3 ( loại) Vậy x = y =
x = vµ y = Bài 2: Tìm x N* biết
A = 111 - 777 số phơng x chữ số x chữ số
Bài giải: + Nếu x =
Ta cã: A = 11 - = = 22 (TM)
+ NÕu x >
Ta cã A = 111 - 777 = 34 2x chữ số x chữ số mà 34 Suy A số phơng ( loại) Vậy x =
(6)Bài 1: Tìm x; y N biết: 35x + = 5y
*)NÕu x = ta cã: 350 + = 2.5y
10 = 2.5y
5y =
y =1 *) NÕu x >0
+ NÕu y = ta cã: 35x + = 2.50
35x + = ( v« lý)
+ NÕu y > ta thÊy:
35x + v× ( 35x ; )
Mµ 5y ( vô lý 35x + = 2.5y)
VËy x = vµ y =
Bài 2: Tìm a; b Z biết
( 2a + 5b + ) (2a + a2 + a + b ) = 105
Bài giải: *) Nếu a = ta có:
( 2.0 + 5b + 1) (2101 + 02 + + b) = 105
(5b + 1) ( b + 1) = 105
Suy 5b + ; b + Ư (105) mà ( 5b + 1) d Ta đợc 5b + = 21
b = ( TM) * NÕu a
Ta thÊy ( 2a + 5b + 1) ( 2a + a2 + a + b) = 105
Là lẻ
Suy 2a + 5b + 2a + a2 + a + b lẽ (*)
+ NÕu a ch½n ( a 0 ) 2a + a2 +a + b lẻ
Suy b lỴ.Ta cã: 2a + 5b + chẵn ( vô lý) + Nếu a lẻ
Tơng tự ta thấy vô lý Vậy a = b = 5 So sánh số. 1) Tính:
Bài 1: So sánh luỹ thừa sau: 27 72
Bài giải: Ta có: 27 = 128
72 = 49
V× 128 > 49 nªn 27 > 72
2) Đa số ( số mũ) Bài 1: So s¸nh c¸c luü thõa sau a) 95 vµ 273
b) 3200 vµ 2300
Bµi gi¶i: a) Ta cã: 95 = (32)5 = 310
273 = (33 )3 = 39
V× 310 > 39
nªn 95 > 273
b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23) 100 = 8100
V× 9100 > 8100
(7)3) Dïng sè trung gian
Bµi 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714
Bài giải:
Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nên 3111 < 1714
Bài 2: Tìm xem 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh
2100 với 1030 1031
* So sánh 2100 víi 1030
Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
V× 102410 > 100010
nªn 2100 > 1030 (*)
* So s¸nh 2100 víi 1031
Ta cã: 2100 = 231 269 = 231 263 26
= 231 (29)7 (22)3 = 231 .5127 43 (1)
1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53
= 231 6257 53 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
231 5127 43 < 231 5127 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Tõ (*),( **) ta cã:
1031 < 2100 < 1031
Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt Số có 32 chữ số nhỏ
Nên 2100 có 31 chữ số cách viết hệ thập phân
Bài 3: So sánh A B biÕt a) A = 19
30 +5
1931+5 ; B = 1931
+5 1932+5
b)
18 −3
220−3 ; B =
220−3 222−3
c) A = 1+5+5
2
+ .+59 1+5+52
+ .+58 ; B =
1+3+32+ +39 1+3+32+ +38
Bài giải: A = 19
30 +5 1931+5
Nªn 19A = 19 (19
30 +5) 1931+5 =
1931+95 1931
+5 = + 90 1931
+5
B = 19
31 +5 1932+5
nªn 19B = 19 (19
31
+5)
1932
+5 =
1932+95
1932+5 = + 90 1932+5
V× 90
1931
+5 > 90 1932
+5
Suy + 90
1931+5 > + 90 1932+5
(8)b) A =
18 −3 220−3
nªn 22 A = 2
.(218−3) 222−3 =
220−12
220−3 = - 220−3
B =
20 −3 222−3
nªn 22.B = 2.
(220−3)
222−3 =
222−12
222−3 = 1- 222−3
V×
220−3 > 222−3
Suy -
220−3 < 1- 222−3
Hay 22 A < 22 B
Nªn A < B c) Ta cã: A = 1+5+5
2
+ .+59 1+5+52+ .+58 = 1+(5+52+ +59)
1+5+52+ +58 =
1+5(1+5+52+ +58) 1+5+52
+ +58 =
1
1+5+52+ .+58+5>5(1)
T¬ng tù B =
1+3+32+ +38+3<4(2)
Tõ (1) vµ (2) Ta cã
A =
1+5+52+ .+58 + > > >
1
1+3+32+ +38 + =B
nªn A > B
6 Chøng minh:
1) Nhãm c¸c sè mét c¸ch thÝch hợp Bài 1: Cho A = + +32 + +311
Chøng minh: a) A ∶ 13 b) A 40
Bài giải: a) A = + + 32 + 33 + + 311
= 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + + (39+ 310+ 311)
= ( 1+ +32) + 33 (1 +3 + 32) + +39 (1 + + 32)
= 13 + 33 13 + + 39 13
= 13 ( 1+ 33 + + 39 ) ∶ 13
Hay A ∶ 13
b) A = + + 32 + 33 + + 311
= ( + + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311)
= ( + + 32+ 33) + 34 (1 + + 32+ 33) + 38(1 + + 32+ 33)
= 40 + 34 40 + 38 40
= 40 ( + 34 + 38) ∶ 40
Hay A ∶ 40
2) Thêm bớt lợng thích hợp Bài 1: Cho 10k - ∶ 19 ( k N)
(9)b) 103k - 19
Bài giải: a) Ta có:
102k - = ( 102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k ( 10k - 1) + ( 10k - 1)
= (10k - 1) ( 10k + 1) ∶ 19 v× 10k -1 ∶ 19
b) 103k - = (103k - 102k ) + (102k - 1)
V× 10k - ∶ 19
102k - ∶ 19 ( theo c©u a )
3) Dùng chữ số tận luỹ thừa đặc biệt: Bài 1: Cho n N ; n >
Chøng minh: 22n
+ cã tËn cïng Bài giải: Vì n > nên 2n ∶
Suy 2n = 4k ( k N *)
Ta cã: 22n
+ = 24k + = (24)k +
= 16 k + = 6 + = 7