CHUYÊN đề lũy THỪA tỷ lệ THỨC dãy tỷ số BẰNG NHAU TOÁN 7 cực HAY HOÀNG THÁI VIỆT

CHUN ĐỀ TỐN (01695316875) HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA CƠ SỞ LÝ THUYẾT a Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên * an = a1.4 a 24 3a (n ∈ N ) n thừa số b Một số tính chất : Với a, b, m, n ∈ N am an = am+n, am an ap = am+n+p (p ∈ N) am : an = am-n m m (a.b) = a b (a ≠ 0, m > n) m (am)n = am.n (m ≠ 0) (m,n ≠ 0) Quy ước: a1 = a a0 = (a ≠ 0) Với : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z xn = x.4 x 24 3x (x ∈ N*) n thừa số n an a   = n b b (b ≠ 0, n ≠ 0) xo = xm xn = xm+n xm = x m−n xn x-n = xn (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym (x ≠ 0) (x ≠ 0) CHUYÊN ĐỀ TỐN (01695316875) HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI n x xn   = n y  y c (y ≠ 0) Kiến thức bổ sung * Với x, y, z ∈ Q: x < y x + z < y + z Với z > thì: z < thì: x < y x z < y z x < y x z > y z * Với x ∈ Q, n ∈ N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Với a, b ∈ Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am > an CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm số chưa biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phương pháp: Đưa hai luỹ thừa số mũ Bài 1: Tìm x biết rằng: a, x3 = -27 b, (2x - 1)3 = c, (x + 2)2 = 16 d, (2x - 3)2 = Bài Tìm số hữu tỉ x biết : Bài Tìm số hữu tỉ y biết : Bài : Tìm x biết : x2 = x5 (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) (x - 5)2 = (1 - 3x)2 Bài : Tìm x y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 ≤ (*) Bài :Tìm số nguyên x y cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < BT tương tự (BTTT): Tìm x biết : a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 Tìm y biết : a, y200 = y b, y2008 = y2010 CHUN ĐỀ TỐN (01695316875) HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI y c, (2y - 1)50 = 2y – y d, ( -5 )2000 = ( -5 )2008 Tìm a , b ,c biết : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 ≤ b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ≤ c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 ≤ d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 ≤ 3.1.2 Tìm số mũ , thành phần số mũ lũy thừa Phương pháp : Đưa hai lũy thừa có số Bài : Tìm n ∈ N biết : a, 2008n = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Bài : Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 2m + 2n = 2m+n Bài : Tìm số tự nhiên n cho : a, < 3n ≤ 234 b, 8.16 ≥ 2n ≥ Bài : Tìm số tự nhiên n biết : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 BTTT: Tìm số nguyên n cho a 27n = 35 b c 3-2 34 3n = 37 d (23 : 4) 2n = 2-1 2n + 2n = 25 Tìm tất số tự nhiên n cho : a 125.5 ≥ 5n ≥ 5.25 b (n54)2 = n c 243 ≥ 3n ≥ 9.27 d 2n+3 2n =144 Tìm số tự nhiên x, y biết a 2x+1 3y = 12x b 10x : 5y = 20y Tìm số tự nhiên n biết a 411 2511 ≤ 2n 5n ≤ 2012.512 b 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2n 35 + 35 + 35 25 + 25 3.1.3 Một số trường hợp khác CHUYÊN ĐỀ TOÁN (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI Bài 1: Tìm x biết: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1) Bài : Tìm x biết : x(6-x)2003 = (6-x)2003 Bài : Tìm số tự nhiên a, b biết : a 2a + 124 = 5b b 10a + 168 = b2 a) 2a + 124 = 5b (1) 3.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận * Phương pháp : cần nắm số nhận xét sau : +) Tất số có chữ số tận : ; ; ; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số +) Để tìm chữ số tận số ta thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số +) Lưu ý : số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận Những số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài : Tìm chữ số tận số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đáp án : 20002008 có chữ số tận chữ số 11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số Bài : Tìm chữ số tận số sau : 67 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 , ,996, 81975 , 20072007 , CHUYÊN ĐỀ TỐN (01695316875) 1023 HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 1024 Bài : Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Đây dạng tốn tìm chữ số tận tổng , ta phảI tìm chữ số tận tong số hạng , cộng chữ số tận lại Bài : Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chứng tỏ : M M 10 Ta thấy số chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M M 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận Bài 5: Tìm chữ số tận số có dạng: a A = 24n – b B = (n ∈ N, n ≥ 1) 4n + +1 (n ∈ N) c C = 74n – (n ∈ N) Bài : Chứng tỏ rằng, số có dạng: n A = 22 −1 a, n b, B = 24 + c, H = 92 + n chia hết cho (n ∈ N, n ≥ 2) chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 1) chia hết cho (n ∈ N, n ≥ 1) Bài tập luyện tập : 1, Tìm chữ số tận số sau: 22222003; 20082004; 20052005; 20042004; 77772005; 1112006; 20062006 20002000; 2, Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n : a, 34n + + chia hết cho b, 24n + + chia hết cho c, 92n + + chia hết cho 10 3, Chứng tỏ số có dạng: n a, 2 +1 n b, 24 +1 n c, +4 n d, - có chữ số tận (n ∈ N, n ≥ 2) có chữ số tận (n ∈ N, n ≥ 1) chia hết cho chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 2) (n ∈ N, n ≥ 1) 4, Tìm chữ số hàng đơn vị : a, A = 66661111 + 11111111 - 665555 b, B = 10n + 555n + 666n c, H = 99992n +9992n+1 +10n ( n ∈ N*) 9992003; 20032005 CHUYÊN ĐỀ TỐN (01695316875) 4n HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 4n d, E = 2008 + 2009 + 20074n ( n ∈ N*) Trong số sau số chia hết cho , cho , cho 10 ? a, 34n+1 + (n ∈ N b, 24n+1 -2 (n ∈ N) n (n ∈ N, n ≥ 2) n (n ∈ N, n ≥ 1) c, 2 +4 d, - 6 Tìm chữ số tận số tự nhiên a để Tìm số tự nhiên n để a2 + M n10 + M 10 Chứng tỏ , bới số tự nhiên n : a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n M 10 (n > 1) b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 M 3.2.2 Tìm hai chữ số tận lũy thừa * Phương pháp : Để tìm hai chữ số tận lũy thừa , ta cần ý số đặc biệt sau : +) Các số có tận 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận +) Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận : 01 ; 25 76 +) số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận 76 +) số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận 01 +) Số 26n (n ∈ N, n >1) Bài : Tìm hai chữ số tận : Bài 2: 2100 ; 3100 Tìm hai chữ số tận : a, 5151 b, 9999 c, 6666 16101 Bài 3: Tìm hai chữ số tận của: a, 512k; b, 992n; 512k+1 992n+1; c, 65n; (k ∈ N*) (n ∈ N*) 99 99 99 ; 65n+1; 66 66 ; Bài tập luyện tập: Tìm hai chữ số tận : (n ∈ N*) d, 14101 CHUN ĐỀ TỐN (01695316875) HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI a, 72003 b, 9 c, 742003 d, 182004 e, 682005 f, 742004 Tìm hai chữ số tận : a, 492n ; 492n+1 (n ∈ N) b, 24n 38n (n ∈ N) c, 23n 3n ; 23n+3 3n+1 (n ∈ N) d, 742n ; 742n+1 (n ∈ N) Chứng tỏ : a, A = 262n - 26 M M 10 ( n ∈ N, n > 1) b, B = 242n+1 + 76 M 100 c, M = 51 2000 74 2000 (Với n ∈ N) 2000 99 có chữ số tận 76 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên *Phương pháp : Chú ý số điểm sau +) Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận số +) Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận 0625 Bài Tìm chữ số tận cùng, chữ số tận 52000 Bài : Tìm ba chữ số tận của: a, 23n 47n (n ∈ N*) b, 23n+3 47n+2 (n ∈ N) Bài 3: Chứng tỏ rằng: n ( n ∈ N, n ≥ 1) a + 375 M 1000 n ( n ∈ N, n ≥ 2) b - 25 M 100 c 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002 3.3 Dạng : So sánh hai lũy thừa * Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi hai lũy thừa có số có số mũ (có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lưu ý số tính chất sau : Với a , b , m , n ∈ N , ta có : a>b an > bn ∀ n∈ N am > an m>n (a > 1) m n a = a = a = a ( m.n ≠ 0) * CHUYÊN ĐỀ TOÁN (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI Với A , B biểu thức ta có : An > Bn m A>B>0 n A > A => m > n A > m < n < A < Bài : So sánh : a, 33317 33323 b, 200710 200810 c, (2008-2007)2009 (1998 - 1997)1999 Bài : So sánh a, 2300 3200 e, 9920 999910 b, 3500 7300 f, 111979 371320 c, 85 3.47 g, 1010 48.505 d, 202303 303202 Bài Chứng tỏ : h, 199010 + 1990 199110 527 < 263 < 528 Bài So sánh : a, 10750 7375 b, 291 535 Bài So sánh : a, (-32)9 (-16)13 b, (-5)30 (-3)50 c, (-32)9 (-18)13 d, ( Bài So sánh A B biết : Bài So sánh M N biết: A= M= 20082008 + 20082009 + 100100 + 100 99 + ; ; N= − 100 −1 ) ( )500 16 B= 20082007 + 20082008 + 100101 + 100100 + BTTT: b, 521 12410 c, 3111 1714 d, 421 647 e, 291 535 h, 230 + 330 + 430 2410 So sánh : g, 544 2112 CHUYÊN ĐỀ TOÁN (01695316875) a, 300 HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI b, 200  1 1 c,  −     4 8 199 1 d,    10  15 300  3    10  20 So sánh : a, A = 1315 + 1316 + B = 1316 + 1317 + b, A = 19991999 + 19991998 + B = 1999 2000 + 19991999 + c, A = 100100 + 100 99 + B = 100 69 + 100 68 + 3.4 Dạng 4: Tính tốn lũy thừa *Phương pháp: Vận dụng linh hoạt cơng thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hịa số phương pháp tính tốn biến đổi Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: a, b, A= 30.5 + 213.5 27 27.5 + 210.5 27 M = ( x − )( x −5) ( x −6 )( x + ) ( x +5 ) với x = Bài 2: Chứng tỏ rằng: a, A = 102008 + 125 M 45 B = 52008 + 52007 + 52006 M 31 b, c, M = 88 + 220 M 17 H = 3135 299 – 3136 36 M d, Bài Cho A = 2+ 22 + 23 +……+ 260 Chứng tỏ : AM , AM , AM Bài 4: Chứng tỏ : a, D = + 32 + 33 + 34 +…… + 32007 M 13 b, E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n M 400 Bài : a, Tính tổng : Sn = + a + a2 + + an CHUYÊN ĐỀ TOÁN (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI b, áp dụng tính tổng sau: A = + + 32+ … + 32008 B = + + 22 + 23 + ……+ 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 7n-1 + 7n Bài : Thu gọn tổng sau : M = - + 22- 23 + … + 22008 Mặc dù có cơng thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật tính tổng M học sinh không tránh khỏi lúng túng với dấu ‘+’ , ‘-‘ xen kẽ Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M khơng thu gọn tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu : câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống ; hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét hiệu chúng : M = - + 22- 23 + … + 22008 2M= - 22 + 23 – 24 + … + 22009 => 2M + M = 22009 + => M = 2009 + Bài Tính : a, A = 1 1 + + + + 100 2 2 b, B = 1+ Bài Tính : 1 1 + + + + 500 5 5 B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 - Bài 8: Chứng tỏ a, H = b, K = Bài 1 1 + + + + + B với: + + + + A= + + + + 58 + + + + 39 B= + + + + 38 CHUYÊN ĐỀ : TỶ LỆ THỨC – DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU NỘI DUNG Lý thuyết Tỷ lệ thức đẳng thức hai tỷ số * Tính chất tỷ lệ thức: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c = b d a c = suy a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ cho ta tỷ lệ thức: a c a b d c d b = , = , = , = b d c d b a c a Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a c a b d c d b = suy tỷ lệ thức: = , = , = b d c d b a c a * Tính chất dãy tỷ lệ thức nhau: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c a a+c a−c = suy tỷ lệ thức sau: = = , (b ≠ ± d) b d b b+d b−d 12 CHUYÊN ĐỀ TOÁN (01695316875) Tính chất 2: HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI a c i = = suy tỷ lệ thức sau: b d j a c+c+i a−c+i = = , (b, d, j ≠ 0) b b+d + j b−d + j Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, tức ta có: a b c = = III./ CÁC DẠNG BÀI TẬP Tôi xin chia dạng cụ thể sau: Toán chứng minh đẳng thức Tốn tìm x, y, z, Tốn đố Toán lập tỷ lệ thức Áp dụng chứng minh bất đẳng thức A Loại toán chứng minh đẳng thức Bài Chứng minh : Nếu Bài 2: Nếu a c = thì: b d a, 5a + 3b 5c + 3d = 5a − 3b 5c − 3d b, a + 3ab 7c + 3cd = 11a − 8b 11c − 8d Bài 4: Cho a c a+b c+d = ≠ = với a, b, c, d ≠ b d a −b c −d a c ac a + c = CMR = b d bd b + d Bài 5: CMR: Nếu a c a4 + b4  a −b  =  =  4 b d c−d  c +d Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 a c = b d Bài 7: Cho a, b, c, d số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b = ac; c = bd b3 + c + d ≠ 13 CHUYÊN ĐỀ TOÁN (01695316875) CM: HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI a +b +c a = 3 b +c +d d 3 Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong a ; b ; c số khác khác thì: y−z z−x x− y = = ( ∗) a (b − c) b (c − a ) c ( a − b ) Bài 9: Cho bz-cy cx-az ay-bx = = (1) a b c CMR: Bài 10 Biết x y z = = a b c a b' b c' + = + =1 a' b b' c CMR: abc + a’b’c’ = B Tốn tìm x, y, z Bài 11 Tìm x, y, z biết: x y z = = x + y − = 186 15 20 28 Bài 12 Tìm x, y, z cho: x y y z = = x + y − z = 372 Bài 13 Tìm x, y, z biết x y y z = = x + y + z = 98 Bài 14 Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) x + y –z = 95 (*) Bài 15 Tìm x, y, z biết: Bài 16 Tìm x, y, z biết: a x −1 y − z − = = (1) 2x + 3y –z = 50 b 2x y 4z = = ( ) x + y +z = 49 Bài 17 Tìm x; y; z biết rằng: a x y = xy = 54 (2) 14 CHUYÊN ĐỀ TỐN (01695316875) b HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI x y = x + y = (x, y > 0) Bài 18 Tìm số a1, a2, …a9 biết: a −9 a1 − a − = = = a1 + a + + a = 90 Bài 19 Tìm x; y; z biết: a y + z +1 x + z + x + y − = = = (1) x y z x+ y+z Bài 20 Tìm x biết rằng: 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x Bài 21 Tìm x, y,z biết rằng: x y z = = xyz = 810 Bài 22 Tìm số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng: x x x1 x2 = = ⋅⋅⋅ = n −1 = n x1 + x2 + ⋅⋅⋅ + xn = c a1 a2 an −1 an ( a1 ≠ 0, , an ≠ 0; a1 + a2 + + an ≠ ) Bài 23 Tìm số x; y; z ЄQ biết rằng: ( x + y ) : ( − z ) : ( y + z ) : ( + y ) = 3:1: : Bài 24 Tổng luỹ thừa bậc ba số -1009 Biết tỷ số số thứ số thứ ; số thứ số thứ Tìm số đó? Bài 25 Tìm x, y biết : 2x + y − 2x + y −1 = = 6x C./ LẬP TỈ LỆ THỨC Bài 26 Cho a+5 b+6 a = (a ≠ 5, b ≠ 6) tìm ? a −5 b−6 b Bài 27 Cho a a b c = = = e - 3d + 2f ≠ a e d f 15 CHUN ĐỀ TỐN (01695316875) HỒNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI −a + 3b − 2c d − 3e + f Tìm D./ TỐN ĐỐ Bài 28 Có đội A; B; C có tất 130 người trồng Biết số người đội A; B; C trồng theo thứ tự 2; 3; Biết số đội trồng Hỏi đội có người trồng cây? Bài 29 Trường có lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B 4 số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh tổng số học sinh lớp 57 bạn Tính số học sinh lớp? Bài 30 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ với số thứ 10 , số thứ với số thứ ba E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho số hữu tỷ CM: a c với b> 0; d >0 b d a c < ⇔ ad < bc b d Tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+d d Tính chất 3: a; b; c số dương nên a, Nếu a a a+c < < b b b+c b, Nếu a a a+c > > b b b+c Bài 31 Cho a; b; c; d > CMR: < Bài 32 Cho a b c d + + + CMR: < < b d b b + d2 d 16 ... : TỶ LỆ THỨC – DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU NỘI DUNG Lý thuyết Tỷ lệ thức đẳng thức hai tỷ số * Tính chất tỷ lệ thức: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c = b d a c = suy a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức. .. : a, 87 – 218 M 14 h, 122n+1 + 11n+2 M 133 c, 8 17 – 279 - 913 M 405 i, 70 +71 +72 +73 +… +71 01 M b, 106 – 57 M 59 k, 4+ 42 + 43 +44 +……+ 416 M 11 CHUYÊN ĐỀ TOÁN (01695316 875 ) 99 HOÀNG THÁI VIỆT ĐH... thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số +) Lưu ý : số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận Những số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn