Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau cho học sinh lớp 7 THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG GIẢI TOÁN TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAUCHO HỌC SINH LỚP THCS Người thực hiện: Trịnh Mai Xuân Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Văn Trỗi SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2020 Mục lục: Trang 1.M đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị - Kết luận - Kiến nghị 1 2 2 17 18 19 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Mơn Tốn mơn học khó đối tượng học sinh bậc Trung học sở, mà sống đại bùng nổ người cần phải động mặt Chính việc địi hỏi chất lượng ngày cao tất môn học cần thiết, đặc biệt mơn Tốn Được phân cơng giảng dạy mơn Tốn lớp 7, thân tơi suy nghĩ, trăn trở để nâng cao chất lượng học sinh phát huy tính chủ động sáng tạo em học Toán Vì thế, tơi nhận thấy phải giúp em phát huy tính tích cực tính sáng tạo học Tốn, thơng qua em say mê u thích mơn Tốn từ em động q trình học tập mơn học khác Trong q trình nghiên cứu, thân tơi thấy toán tỉ lệ thức dãy tỉ số chương trình Đại số lớp Từ tỉ lệ thức, ta chuyển thành đẳng thức hai tích ngược lại, tỉ lệ thức biết ba số hạng ta tính số hang thứ tư, tìm số hạng chưa biết dãy tỉ số nhau, chứng minh đẳng thức, toán liên quan đến thực tế sống Trong chương II Đại số 7, học đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, ta thấy tỉ lệ thức dãy tỉ số phương tiện quan trọng giúp ta giải tốn Trong hình học, tính tỉ số đoạn thẳng, định lí Talet, tính chất đường phân giác tam giác, tam giác đồng dạng (lớp8) khơng thể thiếu kiến thức tỉ lệ thức Ngoài ra, cịn nhiều tốn ta giải cần phải sử dụng đến kiến thức tỉ lệ thức dãy tỉ số Khi học tỉ lệ thức dãy tỉ số rèn luyện tư sáng tạo cho em, em từ tốn ban đầu khai thác nhiều cách giải suy nhiều toán Với lí trên, tơi chọn đề tài “Rèn luyện lực tư sáng tạo giải toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số cho học sinh lớp THCS” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi nghiên cứu sáng kiến nhằm ba mục đích chính: - Phân dạng tập tỉ lệ thức xếp tập từ dễ đến khó để GV dễ dạy, HS học dễ hiểu - Hướng dẫn HS suy nghĩ, phân tích để tìm định hướng, quy luật làm sở cho việc chọn lời giải - Chỉ số sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến tỷ số Khi học sinh giải toán tỉ lệ thức đòi hỏi em thường xuyên sử dụng nhiều kiến thức liên quan vận dụng linh hoạt kiến thức Đồng thời cần có kỹ việc sử dụng linh hoạt phương pháp để giải, đặc biệt lực tư sáng tạo, phương pháp suy nghĩ tìm lời giải Mỗi tốn tỉ lệ thức có nhiều đường tìm lời giải có cách ngắn gọn hợp lý, đơi có phương án sáng tạo, độc đáo Đó hội để học sinh so sánh, lựa chọn phương pháp phù hợp tốt trường hợp có thể, giúp học sinh rèn luyện thao tác tư phân tích, tổng hợp khả khái quát hóa, đặc biệt hóa tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số biện pháp giúp học sinh rèn luyện lực tư sáng tạo giải toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số Học sinh lớp THCS trường THCS Nguyễn Văn Trỗi – TP Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu từ tài liệu sách tham khảo có liên quan - Thông qua tiết dạy trực tiếp lớp - Thông qua dự rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp - Hệ thống lý thuyết tiết dạy, chủ đề tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số , chốt lại vấn đề cần lưu ý, đưa ví dụ chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp - Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra đối chiếu kết học tập học sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I để đánh giá bước tiến học sinh 1.5 Những điểm SKKN Đề tài đề xuất biện pháp cụ thể mang tính lạ để rèn luyện phát triển tư sáng tạo cho học sinh, điểm quan trọng đề tài Trong biện pháp phân thành loại tập theo dạng toán khác nhau, tập minh họa có lời giải rõ ràng dễ hiểu Đồng thời tổ chức thực nghiệm sư phạm để xác định tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tri thức khoa học nhân loại ngày địi hỏi cao Chính việc giảng dạy nhà trường đòi hỏi ngày nâng cao chất lượng toàn diện, đào tạo hệ trẻ cho đất nước có tri thức bản, phẩm chất nhân cách, có khả tư duy, sáng tạo, tư độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học Mơn tốn mơn khoa học góp phần lớn tạo u cầu Việc hình thành lực giải toán cho học sinh việc làm thiếu người thầy, rèn cho em khả tư sáng tạo, nắm kiến thức bản, gây hứng thú cho em u thích mơn tốn Mơn tốn có tính chất trừu tượng, tính xác, tư suy luận logic Tốn học coi mơn thể thao trí tuệ, rèn cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo Trong mơn học tốn học xem mơn học bản, tảng để em phát huy lực cho thân Vậy dạy để em nắm kiến thức cách có hệ thống mà cịn nâng cao kiến thức để em có hứng thú say mê môn học mà thầy cô đặt cho người giáo viên phải biết chọn lọc phân tích, nhìn nhận, đánh giá chỉnh sửa sai lầm thường xuyên mắc phải cho học sinh 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình tốn THCS tỉ lệ thức mảng kiến thức quan trọng Đây mảng kiến thức phong phú khó, địi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có kết hợp nhuần nhuyễn nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện Khi học sinh giải tốn tỉ lệ thức địi hỏi em thường xuyên sử dụng nhiều kiến thức liên quan vận dụng linh hoạt kiến thức Đồng thời cần có kỹ việc sử dụng linh hoạt phương pháp để giải, đặc biệt lực tư sáng tạo, phương pháp suy nghĩ tìm lời giải Mỗi tốn tỉ lệ thức có nhiều đường tìm lời giải có cách ngắn gọn hợp lý, đơi có phương án sáng tạo, độc đáo Đó hội để học sinh so sánh, lựa chọn phương pháp phù hợp tốt trường hợp có thể, giúp học sinh rèn luyện thao tác tư phân tích, tổng hợp khả khái qt hóa, đặc biệt hóa tốn Nội dung vấn đề tỉ lệ thức phong phú Tuy nhiên khn khổ chương trình sách giáo khoa nội dung tỉ lệ thức đưa vào chương I gồm hai (§) dự kiến thực tiết tiết tự chọn dạy buổi chiều Qua thời gian dạy thử nghiệm trường trung học sở với việc trao đổi với giáo viên dạy Tốn em học sinh tơi nhận thấy : Do thời gian tiết học lớp cịn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải lịch theo phân phối chương trình nên việc mở rộng, khai thác ứng dụng sáng tạo kiến thức học chưa triệt để sâu sắc Trong chương trình sách giáo khoa, số lượng dạng tốn tỉ lệ thức khơng mẫu mực cịn hạn chế Hệ thống tập tỉ lệ thức sách tham khảo đa dạng phong phú rời rạc thiếu liên kết Đây nội dung khó địi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức muốn học tốt học sinh phải bỏ nhiều thời gian công sức Khi làm tập nhiều học sinh thường bị động, áp dụng phương pháp giải cách máy móc nên gặp dạng tốn khơng phải dạng tập gặp học sinh khơng giải Từ kinh nghiệm đóng góp ý kiến nhiều giáo viên học sinh cho thấy: Dạy học sinh giải tỉ lệ thức không đơn giúp học sinh có lời giải tốn đó, mà cần giúp học sinh cách tìm lời giải tốn thơng qua dạy tri thức, truyền thụ tri thức Với cách làm học sinh tự đúc kết phương pháp giải toán tiến tới có phương pháp học tập mơn Giáo viên không nên đưa nhiều tập tiết dạy, cần dự kiến phân phối thời gian hợp lý, dạy có trọng tâm ý tập trọng tâm (bài tập có điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ ) lựa chọn thêm cho học sinh tập có cách giải tương tự để học sinh tự luyện tập Làm tập cách củng cố, khắc sâu hệ thống kiến thức Để hướng dẫn học sinh tìm lời giải tốn giáo viên phải đóng vai trị người học, tự tìm chương trình giải dạng tốn Trên sở giáo viên phân bậc hoạt động phù hợp với đối tượng học sinh, dự kiến câu hỏi dẫn dắt, gợi mở cho thông qua hoạt động học sinh khơng tìm lời giải tốn mà nắm tri thức phương pháp giải toán Các tập phần đa dạng phong phú nên giáo viên phải kỳ công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống phù hợp với đối tượng học sinh Đồng thời giáo viên yêu cầu hướng dẫn học sinh tự học, tự tìm hiểu thêm nhà Bên cạnh giáo viên phải dự kiến số sai lầm khó khăn học sinh gặp phải giải tốn tỉ lệ thức để chỉnh sửa giúp đỡ kịp thời Ngồi dạy giải tốn tỉ lệ thức giáo viên nên liên hệ với nội dung kiến thức khác 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề A Hệ thống kiến thức lí thuyết: ( Để làm tập GV cần truyền đạt cho HS hệ thống kiến thức lí thuyết đầy đủ, dễ hiểu, dễ nhớ ) a c = a Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b d Ta viết: a : b = c : d Trong đó: a d ngoại tỉ (số hạng ngoài) b c trung tỉ (số hạng trong) b Tính chất tỉ lệ thức: a c = a.d = b.c Tính chất 1: Nếu b d ( Từ tính chất ⇒ a = b.c a.d a.d ;b = ;c = ) d c b Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức: a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a a c Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức = suy tỉ lệ thức: b d a b = (Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ trung tỉ) + c d d c = (Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ ngoại tỉ) + b a d b = ( Đổi chỗ ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau) + c a c Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a c a+c a−c = = = Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức = suy , (b ≠ ± d) b d b d b+d b−d a c e Tính chất 2: Từ dãy tỉ số = = ta suy ra: b d f a c e a+c+e a−c+e = = = = , (giả thiết tỉ số có nghĩa) b d f b+d + f b−d + f Tính chất 3: Nếu có n tỉ số (n ≥ 2): a1 a2 a3 a = = = = n thì: b1 b2 b3 bn a1 a2 a3 a a + a + a3 + + an a1 − a2 + a3 + − an = = = = n = = b1 b2 b3 bn b1 + b2 + b3 + + bn b1 − b2 + b3 + − bn (giả thiết tỉ số có nghĩa) x y z Chú ý: Khi nói số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức ta có: = = Ta a b c viết: x : y : z = a : b : c B Các biện pháp dạng tốn tương ứng: Sau học xong lí thuyết cho học sinh củng cố để nắm vững hiểu thật sâu tính chất bản, tính chất mở rộng tỉ lệ thức, dãy tỉ số Sau đó, cho học sinh làm loạt tốn loại để tìm định hướng, quy luật để làm sở cho việc chọn lời giải, minh hoạ điều dạng tốn, toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây: Dạng : Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ tỉ lệ thức cho trước: Phương pháp: + Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, ta dựa vào tính chất 2: Tính chất 1: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức: a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a + Lập tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta dựa vào tính chất 3: a c Tính chất 2: Từ tỉ lệ thức = suy tỉ lệ thức: b d a b = (Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ trung tỉ) + c d d c = (Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ ngoại tỉ) + b a d b = ( Đổi chỗ ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau) + c a Bài toán 1: Lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: a) 15 = b) AB = CD Giải a) Từ 15 = ta lập tỉ lệ thức: = 15 ; = 15 ; 15 15 = = ; b) Từ: AB = CD ta lập tỉ lệ thức: AB = CD ; AB CD = ; = ; CD AB CD = AB Bài toán 2: Lập tất tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức sau: a) = 21 b) a+b a−b = Giải 6 = ta lập tỉ lệ thức: = 21 a +b a−b = b) Từ ta lập tỉ lệ thức: a) Từ 21 7 21 = ; ; = 21 6 a+b a −b = ; = ; a −b a+b = a −b a +b Dạng Chứng minh tỷ lệ thức Từ dạng em nắm vững kiến thức sở việc chứng minh tỷ lệ thức với hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, đến kiến thức trừu tượng, mở rộng cho em nhiều hướng để đến tới hiệu yêu cầu toán a b Bài toán 1: ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác từ tỷ lệ thức: = tỷ lệ thức: a −b c −d = a c Giải Cách 1: Xét tích: (a - b)c = ac – bc Từ (1) ; a(c – d) = ac – ad a c = ⇒ ad = bc(3) b d Từ (1), (2), (3) suy (a - b)c = a(c - d) suy a −b c −d = a c a c = =k ⇒ a = bk ; c = dk b d a − b bk − b k − = = Ta có: (1) ( b ≠ 0) a bk k c − d dk − d k − = = (2) ( d ≠ 0) c dk k a −b c −d = Từ (1) (2) suy ra: ( Đpcm) a c a c b d = ⇒ = Cách 3: Từ b d a c a −b a b b d c−d a−b c−d = Ta có: a = a − a = − a = − c = c Do đó: a c c suy d (2) ( Đpcm) Cách 2: Đặt ( Đpcm) a c a b ⇒ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: = b d c d a b a −b a a −b a −b c −d ⇒ ⇒ = = = = ( Đpcm) c d c−d c c−d a c a c b d b d ⇒ 1− = 1− = ⇒ = Cách 5: Từ b d a c a c Cách 4: Từ ⇒ a−b c−d = a c Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức sau: ( Đpcm) a c = ta suy tỉ lệ thức b d a±b c±d a+b c+d = ; = b d a c (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) a c = b d 5a + 2b 5c + 2d = 5a − 2b 5c − 2d Bài toán Cho tỷ lệ thức Hãy chứng minh: 5 ( c ≠ ± d, a ≠ ± b) Giải Để giải tốn khơng khó, song u cầu học sinh phải hệ thống hoá kiến thức thật tốt chọn lọc kiến thức để vận dụng vào dạng toán để tìm hướng giải cụ thể Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt giá trị dãy tỷ số k để chứng minh a c = = k ⇒ a = bk ; c = dk b d 5a + 2b 5bk + 2b b(5k + 2) 5k + Ta có: 5a − 2b = 5bk − 2b = b(5k − 2) = 5k − 5c + 2d 5dk + 2d d (5k + 2) 5k + = = = 5c − 2d 5dk − 2d d (5k − 2) 5k − 5a + 2b 5c + 2d ⇒ = (Đpcm) 5a − 2b 5c − 2d Đặt Cách 2: Sử dụng phương pháp hoán vị số hạng tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số ta có lời giải sau: a c = b d a b = (hoán vị trung tỷ) c d a b 5a 2b = Theo đề bài: = ⇒ Áp dụng tính chất dãy tỷ số c d 5c 2d 5a 2b 5a + 2b 5a − 2b 5a + 2b 5c + 2d ⇒ = = = = (Đpcm) 5c 2d 5c + 2d 5c − 2d 5a − 2b 5c − 2d Từ ⇒ Cách 3: Các em học sinh khá, giỏi tìm hướng giải khác nhờ vào tính chất tỷ lệ thức: Từ a c ⇒ ad = bc ⇒ ad – bc = = b d Xét tích: (5a+2b)(5c-2d) = 5a(5c-2d) + 2b(5c -2d) = 25ac -10ad +10bc -4bd = 25ac – 10(ad- bc) – 4bd = 25ac – 4db (5a- 2b)(5c + 2d) = 5a(5c+2d) - 2b(5c +2d) = 25ac +10ad -10bc -4bd = 25ac + 10( ad – bc) – 4bd = 25ac – 4db ⇒ (5a+2b)(5c-2d) = (5a - 2b)(5c + 2d) 5a + 2b 5c + 2d ⇒ = (Đpcm) 5a − 2b 5c − 2d Với việc hệ thống hoá kiến thức tỷ lệ thức đưa số hướng giải Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, để trình bày lời giải cho bài, qua để học sinh tự giải tập tương tự 3: Bài toán a c = Hãy chứng minh: b d 2a + 3b 2c + 3d 3 = ( c ≠ ± d, a ≠ ± b) 2 2a − 3b 2c − 3d a) Cho tỷ lệ thức b) Chứng minh : Nếu a c a+b c+d = ≠ = với a, b, c, d ≠ b d a−b c−d a c Bài toán 4: Cho = Hãy chứng minh: b d ( a− b) ( c − d) = ab cd Giải Từ a c a b ⇒ = = (hoán vị trung tỷ) c d b d a b a b 2ab ⇒ = = = = c d c d 2cd Áp dụng tính chất dãy tỷ số ( a− b) = ab ab ( a − b ) = Hay : (Đpcm) cd ( c − d ) ( c − d) cd a b 2ab a − 2ab + b ⇒ = = = c d 2cd c − 2cd + d Học sinh tự giải tập tương tự 5: a c = Hãy chứng minh: b d a2 + b2 ab a2 + b2 a = ; b) 2 = c c2 + d2 cd b +c ( a+ b) = ab a 2019 − b 2019 c 2019 − d 2019 = d) e) a 2019 + b 2019 c 2019 + d 2019 ( c + d) cd Bài toán5: Cho a) c) (20a 2020 − 11c 2020 ) 2019 ( 20a 2019 + 11c 2019 ) 2020 ( 20b = ( 20b 2020 2019 − 11d 2020 ) + 11d 2019 ) 2019 2020 Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết: Phương pháp: + Muốn tìm số hạng chưa biết, từ tính chất tỉ lệ thức: a c b.c a.d a.d = ⇒ a.d = b.c ⇒ a = ;b = ;c = b d d c b a c a+c a−c = = = = + Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: b d b+d b−d Nếu + Vận dụng tính chất phân số: a c am ck a : n = = = = b d bm dk b : n + Đặt tỷ lệ thức cho k tìm mối quan hệ ẩn số qua k Bài tốn 1: Tìm x, y biết: x y = x+ y = 20 x y = xy = 900 a) c) b) 5x = 11y vµ x - y = 18 d) x y = y2 –x2 = 36 10 Giải a) Từ : ⇒ x y = , áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y x + y 20 = = = =2 + 10 x = 3.2 = ; y = = 14 Vậy x = ; y = 14 x y = , áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : 11 x y x − y 18 = = = =3 11 11 − b) Từ 5x = 11y ⇒ ⇒ x = 11 = 33 ; y = = 15 Vậy x = 33 ; y = 15 c) Khơng thể áp dụng tính chất dãy tỉ số hai câu khơng có công thức: a c a.c = = GV hướng dẫn HS giải theo cách sau: b d b.d Cách 1: (Đặt tỷ lệ thức cho k, tìm mối quan hệ ẩn số qua k) Đặt x y = = k ⇒ x = 4k ; y = 9k ⇒ x y = 4k 9k = 36 k2 Mà x.y = 900 2 Suy : 36 k = 900 ⇒ k = 25 ⇒ k = ± Với k = x = 4.5 = 20 ; y = 9.5 = 45 Với k = - x = (-5)= -20 ; y = 9.(- 5) = -45 Vậy (x;y) = (20; 45); (-20; -45) Cách 2: Khái qt hố tồn tính chất tỷ lệ thức, có tính chất liên quan đến tích tử số với x y = nên x , y dấu 2 x y x  y xy = ⇒ = Ta có:  ÷  ÷ = 4.9 4  9 Vì Nên : Mà xy = 900 xy 900  x  y = = 25  ÷ = ÷ = 4.9 36 4  9 x x ⇒  ÷ = 25 ⇒ = ±5 ⇒ x = ±20 4 y  y  ÷ = 25 ⇒ = ±5 ⇒ y = ±45 9 Do x, y dấu nên x = 20 ; y = 45 x = -20; y = - 45 Vậy (x;y) = (20; 45); (-20; -45) d) (Vì xuất x2 y2 nên ta phải đến dấu x , y) x y = nên x , y dấu, bình phương hai vế ta có : 10 2 y2  x  y  ⇒ x = = áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có :  ÷  ÷ 64 100    10  Cách Từ x2 y2 y − x 36 = = = =1 64 100 100 − 64 36 ⇒ x2 x = ⇒ = ±1 ⇒ x = ±8 64 y2 y = ⇒ = ±1 ⇒ y = ±10 100 10 Do x, y dấu nên x = ; y = 10 x = - 8; y = - 10 Vậy (x;y) = (8; 10); (-8; - 10) Cách 2: (Đặt tỷ lệ thức cho k, tìm mối quan hệ ẩn số qua k) Đặt: x y = = k ⇒ x = 8k ; y = 10k 10 Từ: y2 –x2 = 36 , ta có : (10k)2 – (8k)2 = 36 ⇒ k2 = ⇒ k = ± Với k = x = 8.1 = ; y = 10.1 = 10 Với k = - x = 8.(- 1) = - ; y = 10.(- 1) = - 10 Vậy (x;y) = (8; 10); (-8; - 10) Với phương pháp cụ thể em vận dụng để tự giải toán tương tự Bài toán Tìm x, y, z biết: a) x y = 2x + 4y = 68 −3 −7 b) x y = 3x2 – 5y2 = - 20 c) x y z = = xyz = - 30 d) x y z = = x2 – y2 – z2 = 12 −2 Bài tốn Tìm x, y, z biết: a) x y y z = ; = 2x + 3y - z = 248 b) 3x = - 4y = 2z x - 2y + 3z = 56 10 c) x +1 y + z + = = x + y + z =18 d) y+ z+1 x+ z+ x+ y− = = = x y z x+ y+ z Giải a) GV : Hướng dẫn cách giải toán chưa cho ta dãy tỉ số Vậy để xuất dãy tỉ số ta làm thề nào? Ta thấy tỉ số y y có hai số hạng giống nhau, làm để hai tỉ số có số hạng (ta tìm tỉ số trung gian để xuất dãy tỉ số nhau), ta quy đồng hai tỉ số mẫu chung, muốn ta tìm BCNN(4;5) = 20 từ mẫu chung 20 + Tìm tỷ số trung gian để xuất dãy tỷ số + Từ 2x + 3y – z = 248 , dựa vào tính chất phân số để biến đổi tử dãy tỉ số 2x, 3y, z Ta có: x y x y x y = ⇒ = hay = 5 15 20 y z y z y z = ⇒ = hay = 7 20 28 x y z 2x 3y z ⇒ ⇒ = = = = 15 20 28 30 60 28 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : 2x 3y z x + y − z 248 = = = = =4 30 60 28 30 + 60 − 28 62 ⇒ 2x = 30.4 ⇒ x = 60 3y = 60.4 ⇒ y = 80 z = 28.4= 112 Vậy x = 60; y = 80; z = 112 b) Đối với tốn khác lạ so với tốn Song tơi nhắc em lưu ý đến thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức hai tích đến tính chất đơn điệu đẳng thức Từ em có hướng giải chọn lời giải cho phù hợp Cách1: Dựa vào thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức hai tích ta có lời giải sau: Ta có: b) 3x = - 4y = 2z x - y + 3z = 56 x y x y x y = ⇒ = hay = −4 −4 −8 y z y z y z - 4y = 2z ⇒ = ⇒ = hay = −4 −4 −12 x y z x −2 y z ⇒ ⇒ = = = = −8 −12 −8 12 −36 3x = - 4y ⇒ Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x y 3z x − y + 3z 56 = = = = = −1 −8 12 −36 −8 − 12 − 36 −56 ⇒ x = -8.(-1) = 11 2y = 12 (-1) ⇒ y = -6 3z = -36.(-1) ⇒ z = 12 Vậy x = 8; y = -6; z = 12 Cách 2: Dựa vào tính chất đơn điệu phép nhân đẳng thức Các em biết tìm bội số chung nhỏ 3; 4; Từ em có lời giải tốn sau: Ta có BCNN(3; 4; 2) = 12 Từ 3x = - 4y = 2z ⇒ ⇒ 1 = −4 y = z 12 12 12 x −y z x −2 y z = = = Hay : = 6 18 x (Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có giải tương tự x = 8; y = - 6; z = 12) Cách 3: Tôi đặt vấn đề viết tích hai số thành thương Điều hướng cho em tìm cách giải sau: x y z = = Từ : 3x = - 4y = 2z ⇒ 1 −4 x −2 y z = = ⇒ 1 3 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x −2 y z = = = 1 3 2 ⇒ x = 24 =8 ; x − y + 3z 56 = = 24 1 + + 2 -2y = 24 ⇒ y= - ; 3z = 24 ⇒ z = 12 Vậy x = 8; y = - 6; z = 12 c) Cách : ( Quan sát đề ta áp dụng tính chất dãy tỉ số xuất tổng x+y+z tử) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x + y + z + x + + y + + z + x + y + z + 18 + = = = = = =2 3+ 4+5 12 12 ⇒ x + = 3.2 ⇒ x =5 y + = 4.2 ⇒ y = z+3=5.2 ⇒ z=7 Vậy: x = ; y = ; z = Cách 2:(Ta đặt tỷ lệ thức cho k, tìm mối quan hệ ẩn số qua k) x +1 y + z + = = =k ⇒ x = 3k – ; y = 4k – ; z = 5k – 3 Từ : x + y + z =18 ⇒ 3k – + 4k - + 5k – = 18 ⇒ 12 k = 24 ⇒ k = x = 3.2 – = ; y = 4.2 -2 = ; z = 5.2 – = Vậy: x = ; y = ; z = d) ( Đối với toán ta thấy khác dạng so với trước Vậy ta phải khởi đầu từ đâu, từ kiến thức nào? Điều yêu cầu em phải tư 12 có chọn lọc để xuất x + y + z Tôi gợi ý cho em từ ba tỷ số đầu để xuất dãy tỷ số ) Ta có: Điều kiện x, y, z ≠ Mà: y + z + x + z + x + y − y + z + 1+ x + z + + x + y − 2(x + y + z) = = = = =2 x y z x+ y+ z x+ y+ z y+ z+1 x+ z+ x+ y− = = = x y z x+ y+ z ⇒ 1 = ⇒ x + y + z = = 0,5 x+ y+ z ⇒ x + y = 0,5 – z ; y + z = 0,5 – x ; x + z = 0,5 - y Thay giá trị vừa tìm x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có: y + z +1 0,5 − x + =2⇒ = ⇔ 0,5 - x + = 2x ⇔ x = 0,5 x x x + z + 0,5− y + = =2 ⇔ 2,5 - y = 2y ⇔ y = y y x + y − 0,5− z − ⇔ -2,5 - z = 2z ⇔ z = − = =2 z z 5 Vậy (x; y; z) = (0,5; ; - ) 6 Từ cách giải trên, giúp em có cơng cụ để giải tốn từ em lựa chọn lời giải phù hợp, dễ hiểu, logic Cũng từ giúp em phát huy thêm hướng giải khác vận dụng để giải tập tương tự Bài toán 4: Tìm x, y, z biết : a) x y y z = ; = 2x + 4y - 2z = - b) c) 3x = 4y ; 2y = 5z 2x +5y - 5z = 55 2x = 3y = -2z 2x - 3y - 4z = 48 d) e) x−1 y+ z+ = = vµ2x + 3y − 5z = 10 2 y x z = = = x+ y+ z y+ z+1 x+ z+1 x+ y− Bài tốn : a) Tìm x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 , biết : x1 − x2 − x3 − x4 − x5 − = = = = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 30 b) Tìm x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ,x8 ,x9 , biết : x + x9 + x1 + x2 + x3 − = = = = = x1 + x2 + x3 + + x8 + x9 = 90 Dạng Các tốn liên quan đến thực tế hình học Các tốn liên quan đến thực tế hình học rèn luyện khả tìm liên tưởng kết hợp mới, khả tìm mối liên hệ đối tượng với để từ áp dụng tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số để giải Thơng qua học sinh rèn luyện kỹ phát vấn đề 13 giải vấn đề thực tiễn từ phát triển lực tư cho học sinh * Toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch Bài tốn Một lớp có 35 học sinh Sau khảo sát chất lượng xếp thành ba loại : giỏi, khá, trung bình Số học sinh giỏi tỉ lệ với 3, số học sinh trung bình tỉ lệ với Tính số học sinh loại ? Giải: Gọi số học sinh loại theo thứ tự x, y, z theo đề ta có: x y x + y + z = 35, = , = y z x x y x y Từ = ⇔ = ⇔ = (1) y 3 12 y y z y z Từ = ⇔ = ⇔ = (2) z 5 12 15 x y z Từ (1) (2) ta có = = 12 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x y z x+y+z 35 = = = = =1 12 15 + 12 + 15 35 Từ tìm x = 8; y = 12; z = 15 Vậy số học sinh giỏi em, số học sinh 12 em, số học sinh trung bình 15 em Ngồi việc hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải khác cho tốn, tơi cịn hướng dẫn học sinh cách khai thác toán cách thay đổi số liệu, kiện để có tốn với phương pháp giải tương tự * Dạng chuyển động Bài toán 3: Hai máy bay bay từ thành phố A đến thành phố B Một máy bay bay hết 30 phút, máy bay bay hết 20 phút Tính vận tốc trung bình máy bay, biết phút máy bay bay nhanh máy bay kí 10 km Trước giải tốn tơi cho học sinh đọc đề để hiểu kỹ đề Tìm hiểu mối quan hệ vận tốc thời gian chuyển động đoạn đường Chú ý rằng: Trên quãng đường vận tốc thời gian hai v1 t2 đại lượng tỷ lệ nghịch Từ thiết lập tỷ lệ thức: v = t em có hướng tìm t1, t2 Giải: Gọi v1, t1 vận tốc, thời gian máy bay thứ Gọi v 2, t2 vận tốc, thời gian máy bay thứ hai v1; v2 đơn vị; t1; t2 đơn vị (v1> 0; v2> 0; t1> 0; t2> 0) 14 Cùng quãng đường vận tốc thời gian hai đại lượng tỷ lệ nghịch Giả sử v1 > v2 t1 < t2 , : t2 = 30 phút = 150 phút, t1 = 20 phút = 140 phút v1 150 v1 t2 v v ⇔ = Do đó: v = t ⇔ = v2 140 150 140 Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có : v1 v v +v 10 = = = =1 150 140 150 − 140 10 ⇒ v1= 150 , v2 = 140 Vậy v1= 150 (km/phút ) , v2 = 140 (km/phút) Khai thác lời giải tốn học sinh dễ dàng giải tốn sau: Bài tốn 4: Một tô phải từ A đến B thời gian dự định Nếu xe chạy với vận tốc 54 km/h đến sớm Nếu xe chạy với vận tốc 63 km/h đến sớm giờ.Tính quãng đường AB thời gian dự định * Dạng hình học Bài tốn 5: Tam giác ABC có số đo góc A, B, C tỉ lệ với ; ; Tính số đo góc tam giác ABC Đối với toán để tới vận dụng kiến thức tỷ lệ thức Tơi đưa em tìm mối quan hệ góc tổng số đo góc tam giác Bằng kiến thức hình học em có hướng lời giải tốn Giải: Gọi số đo góc tam giác ABC x, y, z x y z Số đo góc A, B, C tỉ lệ với ; ; 7, nên ta có : = = Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có : x y z x + y + z 180 = = = = = 12 + + 15 ⇒ x = 36 , y = 60, z = 84 Vậy số đo góc tam giác ABC 360 , 600 , 840 Bài toán 6: Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Hỏi chiều cao tương ứng tam giác tỉ lệ với theo tỉ số nào? Với phương pháp hệ thống hoá kiến thức, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu mối quan hệ chặt chẽ kiến thức với Từ em vận dụng tốt, để thao tác tư tốt giải toán đạt hiệu cao 15 Dạng 5: Một số sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến tỉ số a c a+c a−c = * Sai lầm áp dụng tương tự công thức = = b d b+d b−d Học sinh áp dụng công thức sai: x y x y x y z x y.z = = hay = = = a b a.b a b c a.b.c 2 x y x  y xy Chỉ áp dụng công thức: = ⇒  ÷ =  ÷ = a b ab a b Bài tập 1: (Bài 62 – SGK-T31)Tìm số x,y biết H/s sai lầm sau : x y = x.y =10 x y x y 10 = = = = suy x = 2,y = 5 2.5 10 Bài làm sau: Cách 1: Từ x y x.x x y x 10 = ⇒ = ⇒ = ⇒ x = ⇒ x = ±2 từ suy y = ±5 5 Vậy x = 2, y = x = - 2, y = -5 Cách 2: Đặt x y = = k = > x = 2k ; y = 5k xy = 10 nên 2k 5k = 10 => k = => k = 1; k = -1 x = 2, y = x =-2, y = -5 x y z = = x.y.z = 648 x y z x y.z 648 = = = = = 27 Suy a = 54, b = 81, c = 108 2.3.4 24 Bài tập 2: Tìm số x,y,z biết : H/s sai lầm sau: * Sai lầm bỏ qua điều kiện khác Khi rút gọn học sinh thường bỏ qua điều kiện số chia khác dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Bài tập 3: Cho tỉ số Tìm giá trị tỉ số đó? Giải: a b c = = b+c c+a a +b a b c = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: b+c c+a a +b a b c a +b+c a+b+c = = = = b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c) (Học sinh thường bỏ quên đk a + b + c = mà rút gọn làm thiếu) Ta có + Nếu a + b + c = b + c = - a; c + a = - b; a + b = - c a b c ; ; -1 b+c c+a a+b a b c a +b+c + Nếu a + b + c ≠ b + c = c + a = a + b = ( a + b + c ) = nên tỉ số 16 Bài tập tương tự mà học sinh cần phải xét thêm điều kiện 0: Bài tập 4: Cho a,b,c ba số khác thoả mãn điều kiện: Vậy giá trị tỉ số – a +b −c b+c − a c + a −b = = c a b  b  a  c  Hãy tính giá trị biểu thức B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷  a  c  b  * Sai lầm xét luỹ thừa bậc chẵn Học sinh thường sai lầm A2 = B2 suy A = B, mà làm phải A = ± B Bài tập 5: Tìm x biết: Giải: Từ : x+2 = x+2 x+2 ⇒ (x+2)2 = 36 ⇒ x+2 = ± ⇒ x = x = - = x+2 Vậy: x = x = - (Học sinh thường sai lầm (x+2)2 = 36 suy x + = suy x = 4) x Bài tập 6: Tìm số x,y,z biết rằng: = y z = biết rằng: 2x2 + 3y2 – 5z2 = - 180 Giải: x y z = = =k suy x = 2k, y = 3k, z = 4k Từ : 2x2 + 3y2 – 5z2 = - 180 ⇒ 2(2k)2 + 3(3k)2 – 5(4k)2 = - 180 Đặt 8k2 + 27k2 – 80k2 = -180 ⇒ k2 = Học sinh thường mắc sai lầm suy k = 2, mà phải suy k = ± + k = ⇒ x = 4, y = 6, z = + k = -2 ⇒ x = - 4, y = - 6, z = - Vậy x = 4, y = 6, z = x = - 4, y = - 6, z = - 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Tiến hành so sánh kết học tập lớp không thử nghiệm lớp thử nghiệm, thu kết sau: Lớp không áp dụng sáng kiến kết thu thấp nhiều Cụ thể lớp 7A3 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi năm học 2018-2019 Tổng số học sinh 43 Giỏi Số lượng % 5% Khá Số lượng % 14% Trung bình Số lượng % 31 72% Yếu Số lượng % 9% Lớp áp dụng sáng kiến kết thu cao nhiều Cụ thể lớp 7A5 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi năm học 2019-2020 17 Tổng số học sinh 49 Giỏi Số lượng % 15 30% Khá Số lượng % 20 42% Trung bình Số lượng % 14 28% Yếu Số lượng % 0% Căn kết trên, ta thấy chưa thực chuyên đề học sinh thường lúng túng giải tập tỉ lệ thức ngại làm tập tỉ lệ thức, dãy tỉ số có ác cảm với tốn tỉ lệ thức Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy học số em hiểu cách giải toán tỉ lệ thức tăng lên rõ rệt Các em thấy toán tỉ lệ thức thật dễ, thật thích có hứng thú say mê học Điều chứng tỏ việc phân dạng xếp tập, hướng dẫn giải tập tỷ lệ thức thiếu môi trường toán THCS Theo kết kiểm tra trước sau thực nghiệm lớp 7, tơi có nhận xét sau: - Về học sinh tham gia thực nghiệm: + Trong dạy thực nghiệm, em tích cực tham gia xây dựng thông qua việc thực hoạt động thành phần phù hợp + Trong học, vai trò HS đề cao; ý kiến em trở thành thành phần nhỏ nội dung học nên em thấy tự tin, hào hứng, mạnh dạn đưa ý kiến đóng góp xây dựng + Sau kiểm tra xuất tranh luận sơi kết phương pháp giải tốn + Các em HS lớp sau tiến hành dạy thực nghiệm hăng hái, tích cực phát biểu ý kiến xây dựng đưa nhận xét xác so với trước bắt đầu thực nghiệm - Các giáo viên tham gia thực nghiệm khẳng định dạy học theo phương pháp có tác dụng giúp học sinh phát triển tư duy, rèn luyện cho học sinh tính tích cực chủ động học tập Đặc biệt góp phần phát triển khả sáng tạo cho học sinh Kết luận, kiến nghị - Kết luận Với kinh nghiệm đưa ra, sau hai năm giảng dạy thân tơi thấy trình độ học sinh nâng lên rõ rệt Hầu hết học sinh làm thành thạo toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số Các em sáng tạo trình giải tập tập em giải theo nhiều cách khác nhau, từ tạo niềm say mê hứng thú học tốn Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, hy vọng em tự tin làm tập tỉ lệ thức, dãy tỉ số nhau, từ cảm thấy tự tin u thích học mơn tốn Tuy nhiên, trình nghiên cứu đề tài mình, không tránh khỏi khiếm khuyết, mong thầy bạn đồng nghiệp góp chân thành để sáng kiến lần sau ngày tốt 18 - Kiến nghị Phòng giáo dục thường xuyên mở lớp bồi dưỡng nâng cao nghiệp vụ sư phạm, tổ chức hội thảo theo chuyên đề để giáo viên có điều kiện học hỏi kinh nghiệm lẫn Nhà trường tạo điều kiện tài liệu tham khảo giáo viên học sinh có điều kiện bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA TRƯỞNG ĐƠN VỊ THỦ Thanh Hóa, ngày 14 tháng năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Kí ghi rõ họ tên) Trịnh Mai Xuân 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán - tập Sách giáo viên toán - tập Sách tập toán - tập Bồi dưỡng lực tự học tốn 7- Nhóm tác giả Thăng Long Nâng cao phát triển toán 7- tập 1- VŨ HỮU BÌNH Bài tập nâng cao số chuyên đề - Bùi Văn Tuyên 20 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Mai Xuân Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Nguyễn Văn Trỗi TT Tên đề tài SKKN Rèn luyện kĩ nghiệm cho học sinh Chương I: Quang học Rèn luyện kĩ nghiệm cho học sinh Chương I: Quang học Kết Cấp đánh đánh giá Năm học giá xếp loại xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) làm thí lớp – Cấp phịng A 2015-2016 làm thí lớp – Cấp Sở C 2015-2016 21 ... thiếu kiến thức tỉ lệ thức Ngồi ra, cịn nhiều toán ta giải cần phải sử dụng đến kiến thức tỉ lệ thức dãy tỉ số Khi học tỉ lệ thức dãy tỉ số rèn luyện tư sáng tạo cho em, em từ toán ban đầu khai... thác nhiều cách giải suy nhiều tốn Với lí trên, chọn đề tài ? ?Rèn luyện lực tư sáng tạo giải toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số cho học sinh lớp THCS? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi nghiên cứu sáng kiến nhằm... học sinh rèn luyện thao tác tư phân tích, tổng hợp khả khái qt hóa, đặc biệt hóa tốn 1.3 Đối tư? ??ng nghiên cứu Một số biện pháp giúp học sinh rèn luyện lực tư sáng tạo giải toán tỉ lệ thức, dãy