THAM KHẢO LOGIC TOÁN cho sinh viên ngành sư phạm toán

Logic toán (sách tham khảo) 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT O O Ọ T N N SÁCH THAM KHẢO LOGIC TOÁN Tài liệu dành cho sinh viên ngành sư phạm toán Biên soạn ThS Nguyễn Thành Long (chủ biên) ThS Lê Thành Đạ.

Logic toán (sách tham khảo) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT O O Ọ T N N SÁCH THAM KHẢO LOGIC TOÁN Tài liệu dành cho sinh viên ngành sư phạm toán Biên soạn : ThS Nguyễn Thành Long (chủ biên) ThS Lê Thành Đạt Bình Dƣơng, Tháng 06 – Năm 2016 -1- Logic toán (sách tham khảo) -2- Logic toán (sách tham khảo) MỤC LỤC MỞ ĐẦU - CHƯƠNG ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ - 1.1 Mệnh đề - 1.1.1 Định nghĩa - 1.1.2 Phân loại mệnh đề - 10 1.2 Các phép toán mệnh đề - 10 1.2.1 Phép phủ định - 10 1.2.2 Phép hội - 11 1.2.3 Phép tuyển - 12 1.2.4 Phép tuyển chọn - 13 1.2.5 Phép kéo theo - 13 1.2.6 Phép tƣơng đƣơng (phép kéo theo hai chiều) - 14 1.3 Biểu thức mệnh đề .- 15 1.3.1 Định nghĩa - 15 1.3.2 Hằng - Hằng sai - 16 1.3.3 Mệnh đề hệ - 18 1.3.4 Tƣơng đƣơng Logic - 19 1.3.5 Các công thức tƣơng đƣơng logic - 20 1.3.6 Một số quy tắc thay - 21 1.4 Mệnh đề liên hợp - 22 1.4.1 Các mệnh đề liên hợp - 22 1.4.2 Qui tắc phản đảo - 22 1.5 Luật logic - 23 1.6 Mệnh đề & lý thuyết tập hợp - 24 1.6.1 Mệnh đề & tập hợp - 24 1.6.2 Phép toán mệnh đề & ánh xạ - 25 1.7 Biểu thức logic mạch điện - 27 1.8 Phƣơng trình logic - 28 - BÀI TẬP CHƯƠNG - 32 PHẦN ĐỌC THÊM - 37 CHƯƠNG ĐẠI SỐ VỊ TỪ - 39 2.1 Vị từ (Hàm mệnh đề) - 39 2.2 Các phép toán logic vị từ (hàm mệnh đề) - 42 2.2.1 Phủ định vị từ - 42 2.2.2 Phép hội hai vị từ - 42 - -3- Logic toán (sách tham khảo) 2.2.3 Phép tuyển hai vị từ - 43 2.2.4 Phép kéo theo hai vị từ - 43 2.2.5 Phép tƣơng đƣơng - 43 2.3 Mệnh đề có lƣợng từ (có chứa ký lƣợng) - 44 2.3.1 Mệnh đề có chứa lƣợng từ tồn (  ) - 45 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 Mệnh đề có chứa lƣợng từ với (  ) - 45 Chân trị mệnh đề tồn , mệnh đề tổng quát - 45 Các phép tốn mệnh đề có lƣợng từ - 48 Phủ định mệnh đề có lƣợng từ - 49 - BÀI TẬP CHƯƠNG - 51 PHẦN ĐỌC THÊM - 58 LOGIC BA TRỊ - 58 LOGIC MỜ .- 61 - CHƯƠNG SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH - 65 3.1 Suy luận - 65 3.1.1 Suy luận - Suy luận hợp logic - 65 3.1.2 Phân loại suy luận - 66 3.2 Suy luận diễn dịch .- 66 3.2.1 Khái niệm suy luận diễn dịch chứng minh - 66 3.2.2 Một số qui tắc suy diễn thƣờng dùng (từ tiền đề) - 66 3.2.3 Một số qui tắc suy diễn thƣờng dùng (từ tiền đề) - 67 3.2.4 Ngụy biện - 70 3.3 Suy luận quy nạp (hay suy luận có lý) - 71 3.3.1 Quy nạp hoàn toàn - 71 3.3.2 Quy nạp khơng hồn tồn - 72 3.4 Chứng minh - 73 3.4.1 Thế chứng minh - 73 3.4.2 Mô tả chứng minh - 73 3.4.3 Bác bỏ - 75 3.4.4 Các phƣơng pháp chứng minh - 75 3.4.4.1 Chứng minh trực tiếp (dẫn chứng, tổng hợp) - 75 3.4.4.2 Chứng minh gián tiếp (phản đảo) - 76 3.4.4.3 Chứng minh trƣờng hợp (qui nạp hoàn toàn) - 77 3.4.4.4 Chứng minh phản chứng - 79 3.4.4.5 Chứng minh quy nạp toán học (truy chứng) - 81 - BÀI TẬP CHƯƠNG - 84 CHƯƠNG VẬN DỤNG LOGIC TỐN VÀO DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG - 87 4.1 Sử dụng ngơn ngữ , mệnh đề ký hiệu tốn học .- 87 4.1.1 Từ ngữ tiếng Việt ngữ nghĩa toán học - 88 - -4- Logic toán (sách tham khảo) 4.1.2 4.1.3 Sử dụng đồng thời ngôn ngữ thông thƣờng ngơn ngữ tốn học - 91 Các phép toán mệnh đề ký hiệu toán học - 91 - 4.2 Suy luận chứng minh dạy học toán .- 100 4.2.1 Khai thác hợp lý qui nạp suy diễn - 101 4.2.2 Tìm cách chứng minh mệnh đề p  q - 103 - 4.3 Trong tình điển hình dạy học mơn tốn .- 109 4.3.1 Dạy học định nghĩa khái niệm - 109 4.3.1.1 Cấu trúc logic định nghĩa - 110 4.3.1.2 Về khái niệm khác đƣợc định nghĩa THCS đồng thời THPT - 114 4.3.2 Dạy học định lý (tiếp cận trình bày chứng minh định lý) - 117 4.3.2.1 “Định lý” chƣơng trình tốn phổ thông - 117 4.3.2.2 Cấu trúc logic định lý (tính chất, hệ quả) - 117 4.3.2.3 Dạy học tiếp cận trình bày chứng minh định lý - 122 4.3.3 Dạy học giải toán (Phát sửa chữa sai lầm giải toán) - 125 - BÀI TẬP CHƯƠNG - 139 GỢI Ý VÀ HƯỚNG DẪN PHẦN BÀI TẬP - 144 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 149 - -5- Logic toán (sách tham khảo) -6- Logic toán (sách tham khảo) MỞ ĐẦU Quyển sách tham khảo “Logic toán” nhằm mục đích : - Trình bày kiến thức Logic toán - Vận dụng Logic toán vào dạy học tốn trƣờng phổ thơng Với vai trị sách tham khảo (chƣa phải giáo trình), nội dung sách không sâu rộng vào vấn đề lý thuyết mà cố gắng nêu lên nhiều ví dụ thật cụ thể chƣơng trình tốn phổ thông để ngƣời đọc, sinh viên ngành sƣ phạm toán, cảm thấy gần gũi, dễ dàng tiếp thu học học phần Logic toán Cuối chƣơng có tập tiêu biểu để ngƣời đọc luyện tập, có hƣớng dẫn Riêng phần đọc thêm giới thiệu Logic phi cổ điển (Logic ba trị, Logic mờ, …) để ngƣời đọc có nhìn bao quát Logic học thờ1 Sách gồm có chƣơng : Chƣơng I : Đại số mệnh đề Chƣơng II : Đại số vị từ Chƣơng III : Suy luận chứng minh Chƣơng IV : Vận dụng logic tốn vào dạy học tốn trƣờng phổ thơng Các chƣơng I,II,III gồm nội dung Logic tốn Đặc biệt chƣơng IV, chúng tơi cố gắng trình bày thật chi tiết liên hệ chặt chẽ Logic tốn với Lý luận dạy học mơn tốn thơng qua chƣơng trình, sách giáo khoa tốn trung học sở trung học phổ thông hành Trong chờ đợi có giáo trình Logic tốn hồn chỉnh đƣợc biên soạn, chúng tơi hi vọng sách tham khảo Logic tốn có ích cho sinh viên ngành toán bạn đồng nghiệp trƣờng Đại học Thủ Dầu Một Chúng tơi mong nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp để chúng tơi hiệu đính sách hồn thiện NHĨM TÁC GIẢ -7- Logic tốn (sách tham khảo) -8- Logic toán (sách tham khảo) ƢƠNG ĐẠ SỐ MỆN ĐỀ  Nội dung trọng tâm:  Thế mệnh đề, chân trị mệnh đề, phép toán mệnh đề  Thực đƣợc phép toán mệnh đề  Hiểu đƣợc ứng dụng phép toán logic suy luận hàng ngày chứng minh toán học 1.1 Mệnh đề 1.1.1 Định nghĩa Mệnh đề câu vật, việc có tính hay sai Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai, vừa không vừa không sai Giá trị đúng, sai mệnh đề đƣợc gọi chân trị mệnh đề Chân trị mệnh đề ký hiệu 1, chân trị mệnh đề sai ký hiệu Ví dụ 1: Các câu xác định dƣới mệnh đề : “ Hà Nội thủ đô Việt Nam ” “ Paris thủ đô Anh ” “ + = 12 ” “ Tam giác có hai cạnh tam giác ” Câu xác định : "Hà Nội thủ đô Việt Nam" ; "7 + = 12" mệnh đề Còn câu xác định: " Paris thủ đô Anh" " Tam giác có hai cạnh tam giác đều" mệnh đề sai Ví dụ 2: Xét câu phát biểu sau : “ Hôm thứ ? ” “x+1=2” “ x + 2y – = z ” Câu " Hôm thứ ? " khơng mệnh đề câu hỏi khơng có giá trị đúng, sai Câu "x + = 2" câu "x + 2y – = z" mệnh đề chúng -9- Logic tốn (sách tham khảo) chẳng chẳng sai, biến câu chƣa đƣợc gán cho giá trị cụ thể 1.1.2 Phân loại mệnh đề - Mệnh đề đơn (sơ cấp) : Là mệnh đề có câu, có giá trị ln sai - Mệnh đề phức hợp : Là mệnh đề đƣợc kết hợp từ nhiều mệnh đề liên từ : « Nếu » ; « » ; « nhƣng » ; « » ; trạng từ « khơng » Ví dụ : Nếu trời đẹp dạo Hà Nội thủ Việt Nam 1.2 Các phép tốn mệnh đề Trong phép tốn mệnh đề, ngƣời ta khơng quan tâm đến ý nghĩa câu phát biểu mà ý đến chân trị mệnh đề Do đó, thực phép tốn mệnh đề thơng thƣờng ngƣời ta không ghi rõ câu phát biểu mà ghi ký hiệu Các chữ (viết thƣờng) đƣợc dùng để ký hiệu mệnh đề Những chữ thƣờng dùng p, q, r, … Các phép tốn mệnh đề đƣợc sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Các phép tốn mệnh đề đƣợc trình bày chƣơng bao gồm: phép phủ định (không), phép hội (và), phép tuyển (hoặc là), phép tuyển chọn (phép cộng logic), phép kéo theo (nếu thì), phép kéo theo hai chiều (phép tƣơng đƣơng) 1.2.1 Phép phủ định Cho p mệnh đề, câu "không phải p" mệnh đề khác gọi phủ định mệnh đề p, mang giá trị p sai, mang giá trị sai p đúng, kí hiệu : p (hay ¬ p ) Bảng chân trị : - 10 - Logic toán (sách tham khảo) Mệnh đề đƣợc viết : >0 , >0 : (x ,  x-a <    f(x) - f(a) < ) Phủ định mệnh đề : >0 , >0 : (x , x - a <   f(x) - f(a) <  ) >0 , >0 : (x , x - a <   f(x) - f(a)   ) Nhƣ ta phát biểu mệnh đề phủ định nhƣ sau : “Tồn số dương  cho ứng với số dương  tùy ý ta có số thực x thỏa điều kiện x-a <   f(x) - f(a)  ” Ví dụ 20 : Phủ định “ x  R, y  R, cho x  y  ” “ x  R, y  R , cho x  y  ” Ví dụ 21 : Phủ định “ x  Z , y  Z , x  y  ” “ x  Z , y  Z , x  y  ” Ví dụ 22 : Cho định nghĩa: “Dãy số (xn) gọi bị chặn tồn số dƣơng m cho n, xn m ” Hãy phát biểu định nghĩa dãy số không bị chặn (đọc giả tự giải) - 50 - Logic toán (sách tham khảo) BÀ TẬP ƢƠNG 1/ Cho vị từ P(x) xác định nhƣ sau: P(x) = “x ≤ 3”, Q(x) = “x+ số lẻ” Nếu không gian tập số nguyên, xác định chân trị mệnh đề sau: a) P(1) b) Q(1) c) Q(6) d) P(4) e) P(7)∧Q(7) f) P(3)∧Q(4) 2/ Cho vị từ Z : m(x) : “ x > 2” ; n(x) : “x – lẻ” ; p(x) : “x < 0” Tìm chân trị mệnh đề sau : a) m(2) b) n(210) c) m(-1)  n(3) d) m(0)  n(4) e) [m(7)  n(1)]  p(1) f) [m(1)  n(1)]  p(1) g) [m(3)  n(3)]  p(3) h) m(1)  [n(1)  p(1)] 3/ Các vị từ P(x), Q(x) đƣợc cho nhƣ tập R(x) = “x > 0” Nếu không gian tập số nguyên a) Xác định chân trị mệnh đề sau: P(3) ∨ [Q(3)∨ R(3) ] P(3) ∧ [Q(3) ∨ [Q(3) ∨ R(3)] P(2) → [Q(2) → R(2)] [P(2)  Q(2)] → R(2) - 51 - Logic toán (sách tham khảo) P(0) → [ Q(1)  R(1) b) Xác định tất giá trị x cho [P(x) ∧ Q(x)] ∧ R(x) mệnh đề c) Tìm giá trị nguyên dƣơng nhỏ x cho vị từ: P(x) → [ Q( x) ∧ R(x)] mệnh đề 4/ Cho vị từ P(x) đƣợc xác định nhƣ sau: P(x) = “x = 2x” không gian tập hợp số nguyên Xác định giá trị đúng, sai mệnh đề: a) P(0) b) P(1) c) x  Z , P( x) d) x  Z , P( x) 5/ Cho vị từ biến P(x, y) Q(x, y) đƣợc xác định nhƣ sau: P(x, y) = “x ≥ y” Q(x, y) = “x+2 < y” Nếu không gian tập số thực, xác định chân trị mệnh đề: a) P(2,4) b) Q(1,π) c) P(-3,8)∧Q(1,3) d) P(2,2)→Q(1,1) e) P(1,2)  Q(1; 2) 6/ Cho vị từ R : p(x,y) : “ 2x > y – 1” ; q(x,y) : “ y < x2 + ” Tìm chân trị mệnh đề sau : a) p(1,3) b) q(-1,2) c) p(2,3)  q(-2,5) d) p(3, 2)  q(-1,1) e) p(3,3)  q(3,1) 7/ Trên không gian tập số nguyên, cho vị từ sau: P(x) = “x > 0” Q(x) = “x số chẵn” - 52 - Logic toán (sách tham khảo) R(x) = “x số phƣơng” S(x) = “x chia hết cho 4” T(x) = “x chia hết cho 5” a) Viết dạng ký hiệu mệnh đề sau:  Có số ngun chẵn  Tồn số nguyên dƣơng số chẵn  Nếu x chẵn, x khơng chia hết cho  Khơng có số ngun chẵn chia hết cho  Tồn số nguyên chẵn chia hết cho  Nếu x chẵn x số phƣơng, x chia hết cho b) Xác định chân trị mệnh đề 8/ Cho vị từ không gian tập số thực nhƣ sau: P(x) = “x ≥ 0” Q(x) = “x ≥ 0” R(x) = “x - 3x - = 0” S(x) = “x - > 0” Viết thành lời dạng ký hiệu sau: x  R, [R(x) → P(x)] x  R, [S(x) → Q(x)] x  R, [S(x) → T  x  ] x  R, [S(x) ∧ R  x  ] x  R, [( R  x  ∨ Q  x  ) ∨ S(x)] 9/ Cho vị từ P(x), Q(x), R(x) đƣợc xác định nhƣ sau: P(x) = “x - 8x + 15 = 0” Q(x) = “x số lẻ” R(x) = “x > 0” Trên tập không gian tất số nguyên, xác định giá trị đúng, sai mệnh đề sau Cho dẫn chứng giải thích cụ thể: - 53 - Logic toán (sách tham khảo) a) x  Z , [P(x) → Q(x)] b) x  Z , [Q(x) → P(x)] c) x  Z , [P(x) → Q(x)] d) x  Z , [Q(x) → P(x)] e) x  Z , [R(x) ∧ P(x)] f) x  Z , [P(x) → R(x)] g) x  Z , [R(x) → P(x)] h) x  Z , [P(x) → (Q(x) ∧ R(x))] i) x  Z , [((P(x) ∨ Q(x)) → R(x)] 10/ Cho vị từ P(x), Q(x), R(x) nhƣ sau: P(x) = “x - 7x + 10 = 0” Q(x) = “x - 2x -3 = 0” R(x) = “x < 0” a) Xác định giá trị đúng, sai mệnh đề sau, cho dẫn chứng giải thích cụ thể, khơng gian tập số nguyên x  Z , [P(x) → R  x  ] x  Z , [Q(x) → R(x)] x  Z , [Q(x) → R(x)] x  Z , [P(x) → R(x)] b) Câu hỏi nhƣ nhƣng không gian gồm số nguyên 11/ Cho vị từ P(x; y) = “x học môn y” với không gian x tập hợp tất sinh viên lớp bạn không gian y tập hợp tất môn tin học học kỳ mà bạn học Hãy diễn đạt lƣợng từ sau thành câu thông thƣờng: a) ∃x, ∃y, P(x; y) b) ∃x, ∀y, P(x; y) c) ∀x, ∃y, P(x; y) - 54 - Logic toán (sách tham khảo) d) ∃y, ∀x, P(x; y) e) ∀y, ∃x, P(x; y) f) ∀x, ∀y, P(x; y) 12/ Cho vị từ N : p(x,y) : “x ƣớc y” Tìm chân trị mệnh đề sau : a) p(1,5) b) p(3,4) c) x , p(x,x) d) y , p(y,y) e) x , y : p(x,y) f) y , x : p(x,y) g) x , y , (p(x,y)  p(y,x))  (x = y) ++ 13/ Cho vị từ: P(x) = “x nói đƣợc tiếng anh”; Q(x) = “x biết ngôn ngữ C ” Cho không gian tập hợp sinh viên lớp bạn Hãy diễn đạt câu sau cách dùng P(x), Q(x), lƣợng từ phép toán logic a) Có sinh viên lớp bạn nói đƣợc tiếng Anh biết C ++ b) Có sinh viên lớp bạn nói đƣợc tiếng Anh nhƣng khơng biết C ++ ++ c) Mọi sinh viên lớp bạn nói đƣợc tiếng Anh biết C ++ d) Khơng có sinh viên lớp bạn nói đƣợc tiếng Anh biết C 14/ Xác định chân trị mệnh đề sau : a) x R : [(x2 – 6x + = 0)  (x – = 0)] b) x R , y R : (x – y = 2)  (x + y = -3) c) x R : y R : z R , (x2 = y2 – z2)  (x  z) d) x R : y R : z R , (2x2 = 2y2 – z2)  (x < z) e) x R : y R : z R , (x – 2y  z)  (2x + y + z2  0) f) x R : y R : z R , (x2 = y2 + z2)  (x > z) g) x R : y R : z R , (x – 2y = z)  (2x + y + z = 0) - 55 - Logic toán (sách tham khảo) h) x R : y R : z R , (x2 = y2 – z2)  (x  z) 15/ Hãy phủ định (rồi sau rút gọn) mệnh đề lƣợng từ hóa sau : a){(x); [p(x) q(x)]  (x); [ r (x)  s(x)]  (x); [p(x) r(x)]} [ q(x) s(x)] b){(x);[ q(x) p(x)](x);[ q(x) r(x)](x);[ s(x)  r (x) ]}(x);[ q(x) s(x)] c){(x);[ q(x)  p(x)](x);[ q(x)  r(x)](x);[ s(x)  r (x) ]}(x);[ q(x)  s(x)] 16/ Cho vị từ: P(x) = “x sinh viên” Q(x) = “x kẻ ngu dốt” R(x) = “x kẻ vơ tích sự” Bằng cách dùng lƣợng từ, phép toán logic với vị từ P(x), Q(x), R(x) Hãy diễn đạt câu sau với khơng gian tồn thể sinh viên: a) Khơng có sinh viên kẻ ngu dốt b) Mọi kẻ ngu dốt vơ tích c) Khơng có sinh viên vơ tích 17/ Tìm số A có hai chữ số, cho bốn mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng, hai mệnh đề sai E = “A chia hết cho 5” F = “A chia hết cho 23” G = “A+7 số phƣơng” H = “A – 10 số phƣơng” 18/ Cho hai số nguyên dƣơng a b Biết bốn mệnh đề A, B, C, D dƣới có mệnh đề sai A = “a = 2b + 5” B = “a + chia hết cho b” C = “a + b chia hết cho 3” D = “a + 7b số nguyên tố” Hãy mệnh đề sai tìm tất cặp số nguyên (a, b) thoả mãn ba mệnh đề lại 19/ Cho hệ phƣơng trình ax y x2 4y b Xác định a để hệ ln có nghiệm với giá trị b - 56 - Logic tốn (sách tham khảo) 20/ Tìm tất cặp số (a, b) cho ba mệnh đề sau đúng: P " 2x xy Q " 2x y2 81" R " x số nguyên " 0" 21/ Tìm tất cặp số (a, b) cho ba mệnh đề sau đúng: P "x2 2xy 12 Q "x2 4y 60 " R " x số nguyên " 0" - 57 - Logic toán (sách tham khảo) P ẦN ĐỌ T M  LOGIC TỐN PHI CỔ Đ ỂN Logic tốn cổ điển, nhƣ Logic cổ điển, thừa nhận luật triệt tam nguyên tắc chân trị Từ khoảng năm 1930 xuất “Logic toán phi cổ điển” : không thừa nhận luật triệt tam không thừa nhận nguyên tắc chân trị Loại logic tốn cho mệnh đề (phán đốn) có 3,4,5, … , n chân trị Nghĩa khơng phải triệt tam (khơng có chân trị thứ 3) mà triệt đến chân trị thứ n + Logic tốn phi cổ điển có nhiều ngành, chẳng hạn nhƣ : - Logic ba trị Lukasiewic (Ba Lan) - Logic ba trị xác suất Reichenbach - Logic bốn trị N Belnap (Mỹ) - Logic trực giác Brower Heyting - Logic kiến thiết Glivenco Đặc biệt, từ năm 1964 xuất Mỹ Logic mờ (Fuzzy Logic) đại Zadeh Trong phạm vi sách tham khảo này, xin giới thiệu sơ lƣợc Logic ba trị Logic mờ LOG B TRỊ (GIỚI THIỆU LOGIC BA TRỊ Lukasiewicz) Chân trị mệnh đề Một mệnh đề có chân trị : đúng, sai, phần (ký hiệu lần lƣợt 1, 0, ½ Nhƣ (đúng) (sai) có giá trị trung gian ½ Phép phủ định mệnh đề - 58 - Logic toán (sách tham khảo) Ta có bảng chân trị : p p ½ ½ Bảng chân trị hai chiều (bảng ma trận chân trị, kích thƣớc 3x3) Khi định nghĩa phép toán liên quan đến mệnh đề : - Tiêu đề dịng : chân trị có mệnh đề đứng trƣớc - Tiêu đề cột : chân trị có mệnh đề đứng sau a) Phép hội mệnh đề pq ½ 1 ½ ½ ½ ½ 0 0 b) Phép tuyển mệnh đề pq ½ 1 1 ½ ½ ½ ½ c) Phép kéo theo mệnh đề pq ½ 1 ½ ½ 1 ½ 1 Nhằm dễ ghi nhớ ta “số hóa” chân trị phép toán : Ký hiệu :  p : chân trị mệnh đề p - 59 - Logic toán (sách tham khảo) Vậy  p  {1, ½ , 0} Ta xem chân trị 1, ½ , tƣơng ứng nhƣ số 1, ½ , Từ đó, ta định nghĩa :  pq = min( p , q )  pq = max( p , q )  pq = min(1 , 1– p + q ) Đối chiếu logic hai trị (logic toán) logic ba trị a) Có biểu thức logic (luật) logic hai trị (luật) logic ba trị Chẳng hạn nhƣ : pp p  (q  p) (p  q)  (q  p) Các luật De Morgan (phủ định mệnh đề hội, tuyển) b) Có biểu thức logic (luật) logic hai trị nhƣng khơng cịn (luật) logic ba trị Chẳng hạn nhƣ : luật trung, luật phi mâu thuẫn, luật kéo theo, luật phản đảo, … Ví dụ : Chứng minh logic ba trị khơng có luật trung p p = p p p p 1 ½ ½ ½ 1 Khi p = ½ p p = ½ Vậy p p khơng phải Ví dụ : Chứng minh logic ba trị khơng có luật kéo theo pq = pq p q ½ 1 ½ ½ 1 ½ 1 - 60 - Logic toán (sách tham khảo) p q ½ 0 ½ ½ ½ ½ 1 1 Khi p = ½ , q = ½ p  q = nhƣng p q = ½ Vậy khơng có pq = p q LOG MỜ Giới thiệu Ngày nay, xã hội phát triển nhu cầu ngƣời ngày cao Do đó, tiến khoa học cao Suy luận logic mệnh đề giới thiệu chƣơng (tạm gọi logic nguyên thủy hay logic rõ) với hai giá trị đúng, sai (hay 1, 0) không giải đƣợc hết toán phức tạp nảy sinh thực tế Ví dụ: quần áo nhƣ đƣợc gọi dầy, mỏng để máy giặt biết đƣợc mà có chế độ tự động sấy khô cho hợp lý ? Khái niệm tập mờ (fuzzy set) Nhƣ biết, tập hợp thƣờng kết hợp số phần tử có số tính chất chung Ví dụ 1: Tập sinh viên Ta có : T = { t / t sinh viên } Vậy, ngƣời sinh viên thuộc tập T, ngƣợc lại khơng thuộc tập T Tuy nhiên, thực tế sống nhƣ khoa học kỹ thuật có nhiều khái niệm khơng đƣợc định nghĩa cách rõ ràng Ví dụ 2: Khi nói "nhóm sinh viên khá", ? Khái niệm không rõ ràng sinh viên có điểm thi trung bình 8.4 khá, điểm thi trung bình 6.6 (dãy điểm từ 6.5 đến 7.9), Nói cách khác, "nhóm sinh viên khá" khơng đƣợc định nghĩa cách tách bạch rõ - 61 - Logic toán (sách tham khảo) ràng nhƣ khái niệm thông thƣờng tập hợp Tập mờ A không gian Ω đƣợc đặc trƣng hàm thuộc tính tính chất chủ yếu a hàm thuộc tính đƣợc ký hiệu  A (a), với  A ánh xạ từ Ω đến đoạn [0, 1]  A : Ω→ [0,1] a  A (a) Trong đó,  A (a) ∈ [0, 1] mức độ thuộc (membership degree) phần tử a vào tập mờ A Khoảng xác định hàm  A (a) đoạn [0, 1], giá trị mức độ khơng thuộc về, cịn giá trị mức độ thuộc hoàn toàn Định nghĩa : Tổng quát tập mờ A tập hợp tất cặp thứ tự : A = {(a,  A (a)) | a∈Ω} Ví dụ 3: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, tập mờ A Ω tƣơng ứng với ánh xạ  A nhƣ sau  A : → 0; → 1; → 0.5; → 0.3; → 0.2 Ta có tập mờ A = {(1, 0), (2, 1), (3, 0.5), (4, 0.3), (5, 0.2)} Cách viết liệt kê phần tử khác với mức độ thuộc tập hợp A Từ định nghĩa suy ra: - Tập mờ A toàn phần  A (a) = ,∀a∈Ω - Hai tập mờ A B  A (x) =  B (x) với x Ω Các phép toán tập mờ a) Phép bù Định nghĩa: Cho tập mờ A không gian Ω với hàm thuộc  A (a) Tập bù tập mờ A tập mờ Ω với hàm thuộc cho :  A (a) = -  A (a) Ví dụ 4: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A tập mờ Ω nhƣ sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Ta có tập bù A, kí hiệu A C : A C = {(1,1), (2,0), (3,0.5), (4,0.7), (5,0.8)} b) Phép giao Định nghĩa: Cho hai tập mờ A, B không gian Ω với hàm thuộc  A (a), - 62 - Logic toán (sách tham khảo)  B (a) Tập giao hai tập mờ A, B tập mờ Ω với hàm thuộc cho :  A B (a) = min(  A (a),  B (a)), ∀a∈Ω Ví dụ 5: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A, B tập mờ Ω nhƣ sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Ta có : A∩B = {(1, 0), (2, 0.5), (3, 0.5), (4, 0.2), (5, 0.2)} c A∩A = {(1, 0), (2, 0.1), (3, 0.5), (4, 0.3), (5, 0.2)} c) Phép hợp Định nghĩa : Cho hai tập mờ A, B không gian Ω với hàm thuộc  A (a),  B (a) Phép hợp hai tập mờ A, B tập mờ Ω với hàm thuộc cho :  A B (a) = max(  A (a),  B (a)) , ∀a∈Ω Ví dụ 6: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A, B tập mờ Ω nhƣ sau: A = {(1, 0), (2, 1), (3, 0.5), (4, 0.3), (5, 0.2)} B = {(1, 0), (2, 0.5), (3, 0.7), (4, 0.2), (5, 0.4)} Ta có: A∪B = {(1, 0), (2, 1), (3, 0.7), (4, 0.3), (5, 0.4)} c A∪A = {(1, 1), (2, 1), (3, 0.5), (4, 0.7), (5, 0.8)} Logic mờ a) Định nghĩa mệnh đề mờ Trong logic rõ mệnh đề câu phát biểu có giá trị sai Trong logic mờ mệnh đề mờ câu phát biểu không thiết sai Mệnh đề mờ đƣợc gán cho giá trị khoảng từ đến để mức độ (độ thuộc về) Ví dụ 7: " Nam trơng đẹp trai" "Chiếc xe chạy đƣợc đấy" " Cô sống tạm gọi hạnh phúc" - 63 - Logic toán (sách tham khảo) Các phép toán mệnh đề mờ phép toán logic mờ dựa tập mờ Ký hiệu mức độ (chân trị) mệnh đề mờ p v(p) Ta có : ≤ v(p) ≤ b) Các phép toán logic mờ Các phép toán mệnh đề logic mờ đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Phép phủ định : v  p  = - v(p) Phép tuyển : v(p1∨ p2) = max(v(p1), v(p2)) Phép hội : v(p1∧ p2) = min(v(p1), v(p2)) Phép kéo theo: v  p1  p2   v  p1  p2   max  v( p1 ); v( p2 )  Ví dụ 8: Cho p, q, r mệnh đề mờ với : v(p) = 0.1, v(q)= 0.9, v(r) = 0.8 Mệnh đề M = (p∧q)∨r có chân trị (độ thuộc về) : 0.8 Phép kéo theo: v(p→q) = v( p ∨q) = max(v( p ), v(q)) = 0.9 Ví dụ 9: Cho p, q mệnh đề mờ với : v(p) = 0.1, v(q)= 0.6 Mệnh đề v(p→q) = v( P ∨Q) = max(v( p ), v(q)) = max(1- 0.1, 0.6) = 0.9 Ghi : Quý đọc giả có quan tâm đến phần logic đa trị, logic mờ tham khảo nguồn tài liệu Nguyễn Đức Đồng – Nguyễn văn Vĩnh, Logic tốn, Nxb Thanh Hóa, 2001 Nguyễn Anh Tuấn, Gíao trình lơgic tốn lịch sử tốn học, Nxb ĐHSP, 2012 - 64 -