Phƣơng trình logic 28

Phƣơng trình logic là một hằng đúng (hằng sai) mà trong đó có các biến mệnh đề trong biểu thức logic.

Giải phƣơng trình logic để tìm chân trị của các biến mệnh đề đó.

Ví dụ 31 : “Ai là kẻ có tội ?”

Biết rằng đã xảy ra ba điều sau đây :

1) Nếu A vơ tội thì B và C đều có tội.

2) Trong hai ngƣời B và C, nhất định có ngƣời vô tội. 3) A vơ tội hoặc B có tội.

Hãy tìm xem ai là kẻ có tội ?

Giải : (Giải phƣơng trình logic)

Gọi p là mệnh đề “A có tội” Gọi q là mệnh đề “B có tội” Gọi r là mệnh đề “C có tội”

Ta có :  (qr) = 1 nghĩa là p  (qr) = 1

- 29 -  q= 1 Vậy [p  (qr)]  [  ]  [  q] = 1  [(p )  (p )  [(qr) ]  [(qr) ]]  [  q] = 1  [(p )  (p )]  [  q] = 1  [(p ) ]  [(p )q]  [(p ) ]  [(p )q] = 1  (p )q = 1

Vậy : p=1 , q=1 , r=0 ; nghĩa là : A và B có tội cịn C vơ tội

Các cách giải khác :

Cách 1 : Lập luận trực tiếp từ 1) (mệnh đề kéo theo) - Nếu A vô tội :

Do 1) nên B, C đều có tội : mâu thuẫn với 2) Vậy A có tội.

Do 3) nên B có tội. Do 2) nên C vô tội.

Cách 2 : Lập luận trực tiếp từ 2) (mệnh đề hội) Do 2) nên B và C khơng thể đều có tội.

Do 1) nên A không thể vơ tội, nghĩa là A có tội. Do 3) nên B có tội. Vậy C vơ tội.

Cách 3 : Lập luận trực tiếp từ 3) (phân chia trƣờng hợp từ mệnh đề tuyển) - Nếu A vơ tội và B có tội :

Do 1) nên C cũng có tội : mâu thuẫn với 2) - Nếu A vô tội và B vô tội :

Do 1) nên C không thể vô tội : mâu thuẫn. - Nếu A có tội và B có tội :

1) đƣợc thỏa.

Do 2) nên C vơ tội.

Ví dụ 32 : “Ai là tổ trƣởng”

Một tổ gồm 3 ngƣời A,B,C trong đó có 1 tổ trƣởng, 1 tổ phó và 1 tổ viên. Biết rằng trong đó tổ trƣởng là ngƣời hay nói đùa (khơng nói thật), tổ viên thì nói thật cịn tổ phó khi thì nói đùa khi thì nói thật. Từ các câu nói của mỗi ngƣời :

- 30 - A nói : “B là tổ viên”

B nói : “Tơi là tổ phó” C nói : “B là tổ trƣởng”

hãy cho biết ai là tổ trƣởng ? tổ phó ? tổ viên ?

Giải :

Cách 1 : Do câu nói của A  A khơng là tổ viên.

Do câu nói của B  B không là tổ viên.

Nhƣng tổ phải có 1 tổ viên, vậy C là tổ viên  C nói thật, vậy B là tổ trƣởng.

Vậy A là tổ phó.

Cách 2 : Do câu nói của A  A không là tổ viên.

Do câu nói của B  B không là tổ viên.

Đặt p : “A là tổ viên” (p = 0) q : “B là tổ viên” (q = 0) r : “C là tổ viên”

Ta có : pqr = 1

Mà pqr  (pq)r  0r  r Vậy r = 1 , nghĩa là “C là tổ viên” Vậy B là tổ trƣởng, A là tổ phó.

Cách 3 : Do câu nói của A  A khơng là tổ viên.

Do câu nói của B  B không là tổ viên.

Đặt At : “A là tổ trƣởng” ; Ap : “A là tổ phó” Đặt Bt : “B là tổ trƣởng” ; Bp : “B là tổ phó” Đặt Cv : “C là tổ viên”

Ta có : At  Ap = 1

Bt  Bp = 1

Suy ra [At  Ap]  [Bt  Bp] = 1

tức là (AtBt)  (AtBp)  (ApBt) (ApBp) = 1 Mà (AtBt) = 0 , (ApBp) = 0

- 31 - mà (At  Bp)  (At  Bp)  Cv

(Ap  Bt)  (Ap  Bt)  Cv

Cho nên (At  Bp)  Cv]  [(Ap  Bt)  Cv] = 1 tức là [(At  Bp)  (Ap  Bt)]  Cv = 1

tức là Cv = 1 , nghĩa là “C là tổ viên” Vậy B là tổ trƣởng, A là tổ phó.

- 32 -

BÀ TẬP ƢƠNG 1

1/ Trong các khẳng định sau, cho biết khẳng định nào là một mệnh đề và xét tính chân trị của mệnh đề đó:

a) 9 là một số chẵn

b) Hơm nay trời đẹp làm sao!

c) Tp.HCM là thành phố đông dân nhất của Việt Nam d) Hãy học mơn tốn logic đi

e) x + 1 chia hết cho 5 2/ Gọi P và Q là các mệnh đề :

P: “Nam giỏi Toán” Q: “Nam giỏi Anh văn”

Hãy viết lại các mệnh đề sau dƣới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép tốn: a) Nam giỏi Toán nhƣng yếu Anh văn

b) Nam yếu cả Toán lẫn Anh văn

c) Nam giỏi Toán hay Nam vừa yếu Anh văn vừa yếu Toán

d) Nam giỏi Toán và Anh văn hay Nam yếu Toán nhƣng giỏi Anh văn e) Nếu Nam giỏi Tốn thì Nam giỏi Anh văn

3/ Gọi P, Q, R là các mệnh đề: P: “Hà đang học Toán” Q: “Hà đang học tin học” R: “Hà đang học Anh văn”

Hãy viết lại các mệnh đề sau dƣới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép tốn: a) Hà đang học Toán và Anh văn nhƣng khơng học tin học

b) Hà đang học tốn và tin học nhƣng không học cùng một lúc tin học và Anh văn c) Không đúng là Hà đang học anh văn mà khơng học tốn

d) Không đúng là Hà đang học tốn hay tin học mà khơng học Anh văn e) Hà không học Tin học lẫn Anh văn nhƣng đang học Toán

4/ Nếu biết mệnh đề P→Q là sai, hãy cho biết chân trị của các mệnh đề sau:

     

; ; ;

- 33 - 5/ Cho biết chân trị của các mệnh đề sau:

a) Nếu 2 > 3 thì nƣớc sơi ở 0 100 C

b) Nếu 4 < 3 thì 3 < 4

c)  3 kéo theo tổng các góc trong một tam giác bằng 0 170 d) Nếu 1 + 1 = 2 thì 1 + 2 = 4

6/ Gọi P, Q, R là các mệnh đề:

P: “ABC là một tam giác cân” Q: “ABC là một tam giác đều”

R: “tam giác ABC có 3 góc bằng nhau”

Hãy viết lại các mệnh đề sau bằng ngôn ngữ thông thƣờng:

; P ; P ;

QP Q Q RP

7/ Lập bảng chân trị cho các biểu thức mệnh đề sau :

      ) b) c) a p p q p q r p q q                       ) e) f ) ) ) d p r r p p q q p p q g p q p r h p q r            

8/ Trong các khẳng định sau, hãy chỉ ra các khẳng định đúng:

                    ) b) ) d) a p q q r p r p q p q p c p q q r p q r p r q r p q r                     

9/ Trong một phiên tịa xử án 3 bị can có liên quan đến vấn đề tài chánh, trƣớc tòa cả 3 bị cáo đều tuyên thệ khai đúng sự thật và lời khai nhƣ sau:

Anh A: Chị B có tội và anh C vơ tội

Chị B: Nếu anh A có tội thì anh C cũng có tội

- 34 - Hãy xét xem ai là ngƣời có tội ?

11/ Khơng lập bảng chân trị, sử dụng các công thức tƣơng đƣơng logic và một số luật logic, chứng minh rằng các biểu thức mệnh đề sau là hằng đúng

a/ (p∧q)→ p b/ ppp c/ p→((q→ (p∧q)) d/ pq p

e/ ((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r)

12/ Chứng minh rằng các biểu thức mệnh đề sau là hằng đúng :

        ) a  r s  r  s t u  t u         ) b pq   r p qr

13/ Không lập bảng chân trị, sử dụng các công thức tƣơng đƣơng logic, xét xem biểu thức mệnh đề G có là hệ quả của F khơng ?

a/ F = p∧(q∨r); G = (p∧q)∨r b/ F = (p→q)∧(q→r); G = p→ (q →r) c/ F = p∧q; G= pq  pq 14/ Cho Apqr     B p r qr

Kiểm tra A và B có tƣơng đƣơng logic ?

15/ Chứng minh các đẳng thức sau theo 2 phƣơng pháp lập bảng chân trị và biến đổi tƣơng đƣơng:                   ) ) ) ) 0 a p q r q p r b p q r p q r c p q p r p q r d p q p q p                        

- 35 - e) q p  pqq

16/ Chứng minh các công thức sau đây là hằng đúng:

      ) ) a p p q q b p q p q q       

17/ Kiểm tra 3 lô hàng. Ký hiệu pi là mệnh đề lô hàng i đạt yêu cầu (i = 1, 2, 3). Hãy biểu diễn các mệnh đề:

a) Lô hàng 1 và lô hàng 2 đạt yêu cầu b) Không lô hàng nào đạt yêu cầu c) Có ít nhất một lơ hàng đạt u cầu d) Có khơng q hai lơ hàng đạt yêu cầu

18/ Ba tên Đào, Mận, Bƣởi bị tố cáo là đã tham gia vào một vụ cƣớp, và tẩu thoát bằng xe riêng. Trong một cuộc điều tra, các tên lần lƣợt khai nhƣ sau:

Đào: Bọn chúng đi trên xe Toyota màu xanh Mận: Đó là chiếc Mercesdes màu đen

Bƣởi: Chúng bỏ chạy trên chiếc xe Ford không phải màu xanh

Giả sử rằng trong các lời khai trên của mỗi tên chỉ đúng: hoặc là màu xe, hoặc là nhãn hiệu xe. Hỏi chúng đi xe gì và mang màu nào?

19/ Sau khi làm bài kiểm tra, trên đƣờng về nhà, các bạn Mai, Cúc, Lan nói chuyện với nhau.

Mai nói: mình đƣợc 10 điểm Cúc nói: Mình đƣợc 7 điểm

Lan khơng tự tin nói: Mình khơng đƣợc điểm 10

Sau khi thầy giáo trả bài, một trong ba bạn đƣợc điểm 7, một bạn đƣợc 10 điểm. So với dự đốn lúc đầu thì có hai ngƣời đúng và một ngƣời sai. Hỏi điểm bài kiểm tra của mỗi bạn?

20/ Năm ngƣời A, B, C, D, E hoặc là nhà báo, hoặc là kẻ bn. Bao giờ cũng nói dối nhƣ nhau.

D nói E là nhà báo B nói A là nhà bn

- 36 - E nói B khơng phải nhà báo

A nói C và D có nghề nghiệp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu nhà báo, bao nhiêu nhà bn?

21/ Có 12 vận động viên thi đấu quần vợt, thi đấu theo hình thức vịng trịn. Kết quả của trận đấu chỉ có thắng hoặc thua, khơng có hồ. Biết rằng khơng có VĐV nào thắng tất cả các trận. Chứng minh rằng: phải có 3 cây vợt A, B, C mà A thắng B, B thắng C, C thắng A.

22/ Trong một phịng họp có 100 ngƣời quen với ít nhất 67 ngƣời khác. Chứng minh rằng trong phịng phải có 4 ngƣời từng đơi một quen nhau.

- 37 -

P ẦN ĐỌ T M

Logic toán của Boole

George Boole (1815 – 1864) là giáo sƣ ở Queen’s College ở Cork (Ireland) từ năm 1849 cho đến cuối đời. Ông cùng với giáo sƣ De Morgan (1806 – 1871) đã sáng lập ra ngành Logic toán và làm sáng tỏ hơn nhiều điều trong Logic học (cổ điển) của Aristote . Đời sau gọi Đại số do ông đề xƣớng là Đại số Boole, ngày nay có rất nhiều ứng dụng trong máy tính.

Có mệnh đề vừa khơng đúng vừa không sai ?!

Hãy xem câu chuyện sau :

“ Ngày xƣa ở nƣớc nọ bị sự cai trị hà khắc của tên bạo chúa đến nỗi nhiều ngƣời dân phải bỏ nƣớc ra đi. Để ngăn chặn tình trạng này, tên bạo chúa đặt ra qui định : “Ai muốn qua biên giới phải nói với trạm gác một câu. Nếu câu đó sai thì ngƣời ấy sẽ bị treo cổ ; nếu câu đó đúng thì ngƣời ấy sẽ bị chặt đầu. Nếu nói câu gì để khơng bị treo cổ hoặc chặt đầu thì đƣợc qua biên giới”. Thế mà vẫn có ngƣời đến nói một câu và qua đƣợc biên giới. Câu đó là câu gì ?”

Câu nói của ngƣời ấy là : “Tơi sẽ bị treo cổ”.

- Nếu đem ngƣời ấy ra treo cổ tức là ngƣời ấy nói đúng. Nhƣng theo qui định nếu nói đúng thì phải bị chặt đầu.

- Nếu đem ngƣời ấy ra chặt đầu tức là ngƣời ấy nói sai. Nhƣng theo qui định nếu nói sai thì phải bị treo cổ.

Cho nên treo cổ hay chặt đầu ngƣời ấy đều khơng đƣợc, vì thế phải cho ngƣời ấy qua biên giới.

- 39 -

ƢƠNG 2

ĐẠ SỐ VỊ TỪ



Nội dung trọng tâm:

 Thế nào là vị từ (hay hàm mệnh đề).

 Thế nào là lƣợng từ, lƣợng từ tồn tại, lƣợng từ với mọi.

 Các phép toán logic vị từ.

 Biết thêm về tập hợp mờ, logic mờ và các phép toán.

 Biết thêm về logic đa trị (cụ thể là logic hai trị).

2.1 Vị từ ( àm mệnh đề)

Trong toán học hay trong chƣơng trình của máy tính, chúng ta thƣờng gặp những câu có chứa các biến nhƣ sau : "x > 3", "x = y + 3", "x + y = z"...

Các câu này khơng đúng cũng khơng sai vì các biến chƣa đƣợc gán cho những giá trị xác định. Trong chƣơng này, chúng ta sẽ xem xét cách tạo ra những mệnh đề từ những câu nhƣ vậy. 2.1.1 Vị từ một biến Cho tập hợp A khác rỗng Ánh xạ:   : 0;1 ( ) F A x F x 

là một vị từ (hàm mệnh đề) một biến xác định trên tập hợp A, ký hiệu: F x( )

 Nếu F a( ) 1 thì phần tử aA thỏa mãn hàm mệnh đề F x( ).

 Nếu F a( )0 thì phần tử aA khơng thỏa mãn hàm mệnh đề F x( ).

Ký hiệu tập hợp: F aA F a: ( ) 1  đƣợc gọi là tập đúng của hàm mệnh đề F x( ).

Hằng mệnh đề (một biến) là một hàm mệnh đề luôn đúng hoặc luôn sai với mọi giá trị của biến.

- 40 - Ký hiệu: P(n) = “n là số chẵn”

Tổng quát, ngƣời ta nói P(n) là giá trị của hàm mệnh đề P tại n. Một khi biến n đƣợc gán giá trị cụ thể a thì ta có P(a) là một mệnh đề.

Nhƣng khi cho n là một số cụ thể (là chẳn hay là lẻ) ta đƣợc một mệnh đề: Với n = 2 : ta có P(2) : “2 là số chẵn” là mệnh đề đúng.

Với n = 5 : ta có P(5) : “5 là số chẵn”: là mệnh đề sai.

Vị từ “n là số chẵn” có 2 phần : Phần thứ nhất là biến n làm chủ ngữ của câu, phần thứ hai "là số chẵn" đƣợc gọi là vị ngữ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có thể có.

Ví dụ 2: Cho vị từ P(x) = “x > 3” với x R. Xác định chân trị của P(4) và P(2). Giải: P(4) = “4>3” : mệnh đề đúng.

P(2) = “2>3” : mệnh đề sai.

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên a biết rằng trong 3 mệnh đề dƣới đây, có 2 mệnh đề là đúng

và 1 mệnh đề là sai. 1/ a + 51 là số chính phƣơng 2/ Chữ số tận cùng của a là 1 3/ a - 38 là số chính phƣơng Cách giải quyết : Ta có 3 vị từ (với a N) :

P(a) : “a + 51 là số chính phƣơng” Q(a) : “a có chữ số tận cùng là 1”

R(a) : “a - 38 là số chính phƣơng”

Trƣớc hết, chúng ta sẽ phải xác định xem 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai là mệnh đề nào? Sau đó từ 2 mệnh đề đúng để tìm ra số tự nhiên a. Số chính phƣơng có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9.

- Nhận thấy giữa mệnh đề 1 và 2 có mâu thuẩn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì a + 51 có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phƣơng. Vậy trong 2 mệnh đề này phải có 1 mệnh đề là đúng và 1 là sai.

- Tƣơng tự, nhận thấy giữa mệnh đề 2 và 3 cũng có mâu thuẩn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là đúng thì a - 38 có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chính phƣơng. Vậy mệnh đề 1 và 3 là đúng, còn mệnh đề 2 là sai.

- 41 - 2.1.2 Vị từ hai biến Cho hai tập hợp khác rỗng A và B. Ánh xạ:     : 0;1 ; ( ; ) F A B x y F x y  

là một vị từ (hàm mệnh đề) hai biến xác định trên các tập hợp A và B, ký hiệu: F x y( ; )

 NếuF a b( ; ) 1 thì phần tử ( ; )a b  A B thỏa mãn hàm mệnh đề F x y( ; ).

 NếuF a b( ; )0 thì phần tử ( ; )a b  A B không thỏa mãn hàm mệnh đề F x y( ; ). Ký hiệu tập hợp: F ( ; )a b  A B F a b: ( ; )1 đƣợc gọi là tập đúng của hàm mệnh đề

( ; ) F x y . Ví dụ 4 : F x y( ; )x y; M x:  y với M 2;3; 4