Mệnh đề có lƣợng từ (có chứa ký lƣợng) 44

- 45 -

đƣợc mệnh đề. Tuy nhiên, cịn có một cách khác để biến các hàm mệnh đề thành mệnh đề mà ngƣời ta gọi là sự lƣợng hóa (hay mệnh đề có lƣợng từ).

2.3.1 Mệnh đề có chứa lƣợng từ tồn tại ()

Câu xác định "Tồn tại ít nhất một phần tử xM sao cho P(x) là đúng" hay “tồn tại

xM thỏa mãn tính chất P” là một mệnh đề, đƣợc gọi là lƣợng từ tồn tại của P(x), nó có giá trị đúng nếu có ít nhất một giá trị xM sao cho P(x) đúng.

Ký hiệu:  x M P x, ( ) .

2.3.2 Mệnh đề có chứa lƣợng từ với mọi ()

Câu xác định "Với mọi xM làm cho P(x) đúng" hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian M" cũng là một mệnh đề, đƣợc gọi là lƣợng từ với mọi của P(x), nó có giá trị sai khi có ít nhất một giá trị xM sao cho P(x) sai.

Ký hiệu:  x M P x, ( )

2.3.3 hân trị của mệnh đề tồn tại , mệnh đề tổng quát

a) Đối với vị từ 1 biến

Hàm mệnh đề P(x) Mệnh đề tồn tại x : P(x) Mệnh đề tổng quát x ; P(x)

Có P(a) đúng ĐÚNG Chƣa biết chân trị

Có P(a) sai Chƣa biết chân trị SAI

Khơng có P(a) nào đúng

SAI SAI

Khơng có P(a) nào sai ĐÚNG ĐÚNG

Có P(a) đúng và có P(b) sai

ĐÚNG SAI

Nhận xét : Nếu mệnh đề x ; P(x) đúng  mệnh đề x : P(x) đúng Tức là Nếu mệnh đề x : P(x) sai  mệnh đề x ; P(x) sai

Ví dụ 10 : Cho vị từ P(x) = “số tự nhiên x là số chẵn”. Xét giá trị của hai mệnh đề  x N P x, ( ), x N P x, ( ).

- 46 - Giải:

, ( )

x N P x

  = “tất cả số tự nhiên x là số chẵn” là mệnh đề sai do P(5) sai”. , ( )

x N P x

  = “tồn tại một số tự nhiên x là số chẵn” là mệnh đề đúng do P(10) đúng.

Chú ý: Cho P là một vị từ có khơng gian M. Nếu M m m m1; 2; 3;...;mn , mệnh đề , ( )

x M P x

  là đúng khi tất cả các mệnh đề P m     1 ; P m2 ; P m3 ;...; P m n là đúng. Nghĩa là  x M P x, ( ) là đúng ⇔P m 1 P m 2 P m 3  ... P m n là đúng.

Tƣơng tự  x M P x, ( ) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề      1 ; 2 ; 3 ;...;  n

P m P m P m P m là đúng. Nghĩa là :

 x M P x, ( ) là đúng ⇔P m 1 P m 2 P m 3  ... P m n là đúng.

b) Đối với vị từ 2 biến

Cho vị từ p(x, y) theo hai biến x, y.

Có 2 cách để lƣợng từ hóa cả hai biến x, y : - Lƣợng từ hóa biến y trƣớc và lƣợng từ hóa biến x sau Ta đƣợc 4 mệnh đề :

x , [y , p(x,y)] viết tắt là x , y , p(x,y) x : [y , p(x,y)] viết tắt là x : y , p(x,y) x , [y : p(x,y)] viết tắt là x , y : p(x,y) x : [y : p(x,y)] viết tắt là x : y : p(x,y)

- Lƣợng từ hóa biến x trƣớc và lƣợng từ hóa biến y sau Ta cũng đƣợc 4 mệnh đề :

y , [x , p(x,y)] viết tắt là y , x , p(x,y) y : [x , p(x,y)] viết tắt là y : x , p(x,y) y , [x : p(x,y)] viết tắt là y , x : p(x,y) y : [x : p(x,y)] viết tắt là y : x : p(x,y)

Định lý 1: Cho vị từ hai biến P(a, b) xác định trên MM. Khi đó:

a)  a M, b M P a b,  ; và  b M, a M P a b,  ; là có cùng chân trị. Nghĩa là :  a M, b M P a b,  ;  b M, a M P a b,  ;

- 47 -

Ký hiệu:  a b; MM P a b,  ; hay a,b M ; P(a,b)

b)  a M, b M P a b,  ; và  b M, a M P a b,  ; là có cùng chân trị. Nghĩa là:  

, , ;

a M b M P a b

     b M, a M P a b,  ; .

Ký hiệu:  a b; MM P a b,  ; hay a,b M ; P(a,b)

c) Nếu  a M, b M P a b,  ; là đúng thì  b M, a M P a b,  ; cũng đúng. d) Nếu  b M, a M P a b,  ; là đúng thì  a M, b M P a b,  ; cũng đúng.

Ví dụ 11 : Cho P a b ; = “cặp số nguyên tƣơng ứng thỏa a + b = 5”. Hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau

 a b; Z Z P a b,  ;

  

Tất cả cặp số nguyên tƣợng ứng (a,b) sao cho a + b = 5

0

 a b; Z Z P a b,  ;

   Tồn tại một cặp số nguyên tƣơng ứng (a,b) sao cho a + b = 5

1

, , ( ; )

b Z a Z P a b

    Tồn tại một số nguyên tƣơng ứng b, sao cho với mọi số

nguyên tƣơng ứng a ta có a + b = 5

0

, , ( ; )

a Z b Z P a b

    Mọi số nguyên tƣơng ứng a, tồn tại một số nguyên

tƣơng ứng b sao cho a + b = 5

1

, , ( ; )

a Z b Z P a b

    Tồn tại một số nguyên tƣơng ứng a sao cho với mọi số nguyên tƣơng ứng b ta có a + b = 5

0

, , ( ; )

b Z a Z P a b

    Mọi số nguyên tƣơng ứng b, tồn tại một số nguyên

tƣơng ứng a sao cho a + b = 5

1

Giải thích (minh họa)

a,b Z ; a + b = 5 (sai) Do có P(5,1) sai a,b Z ; a + b = 5 (đúng) Do có P(5,0) đúng

b Z ; a Z : a + b = 5 (sai) Do có a = -b để P(-b,b) sai a Z ; b Z : a + b = 5 (đúng) Do có a Z ; P(a,5-a) đúng a Z : b Z ; a + b = 5 (sai) Do có b = -a để P(a,-a) sai b Z ; a Z : a + b = 5 (đúng) Do có b Z ; P(5-b,b) đúng

- 48 -

Ví dụ 12 : Xét f(x, y) : “ x2 + y  0” với x, y R

 x,y R ; x2 + y  0 (sai) Do có f(0,-1) sai

 x,y R ; x2 + y  0 (đúng) Do có f(0,0) đúng

x R ; y R : x2 + y  0 (đúng) Do có x R ; f(x, 0) đúng

x R : y R ; x2 + y  0 (sai) Do có f(x,-x2-1) sai ; x R

y R ; x R : x2 + y  0 (đúng) Do bất pt x2  -y ln có nghiệm x ứng với bất kỳ y R y R ; x R : x2 + y  0 (đúng) Do có f(x,0) đúng ; x R 2.3.4 ác phép toán về mệnh đề có lƣợng từ Định lý 2: , ( ), ,P( ) x M P x x M x     là có cùng chân trị.  x M P x, ( ),  x M,P( )x là có cùng chân trị.

Nói cách khác, dựa vào cách xác định chân trị của các mệnh đề tổng quát, mệnh đề tồn tại (trùng khớp với ngữ nghĩa tự nhiên của các phát biểu đó), ta có các qui tắc phủ định mệnh đề có lƣợng từ nhƣ sau : , P(x) x , P(x) x    , P(x) x , P(x) x    * Qui tắc phủ định mệnh đề có lượng từ :

- Thay thế lƣợng từ  bởi lƣợng từ  ; lƣợng từ  bởi lƣợng từ . - Thay thế vị từ bởi phủ định của vị từ đó.

Qui tắc này cũng áp dụng cho các mệnh đề có nhiều lƣợng từ.

Ví dụ 13 : Phủ định của "Mọi số nguyên n đều chia hết cho 3" là "Tồn tại ít nhất một

số nguyên n không chia hết cho 3"

Ví dụ 14: Phủ định của “Tồn tại số tự nhiên n là nghiệm của phƣơng trình: 2n + 3 = 0”

là “Với mọi số tự nhiên n đều khơng là nghiệm của phƣơng trình 2n + 3 = 0”.

Ví dụ 15 : Phủ định của mệnh đề “n N ; n là bội của 5” là mệnh đề “n N : n

- 49 - Ví dụ 16 : Phủ định của mệnh đề “n N ; k  N : n = 5k” là mệnh đề “n N : k  N ; n  5k” Định lý 3:         , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) x F x G x x F x x G x x F x G x x F x x G x             Ví dụ 17 :  2   2   2   2  " x R: x   1 1 x   x 3 0 " "  x R: x  1 1 " "  x R: x   x 3 0 "

Định lý 4: Nếu G là một vị từ không chứa x, hoặc là một mệnh đề thì:

        , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) x M F x G x M F x G x M F x G x M F x G               2.3.5 Phủ định mệnh đề có lƣợng từ Định lý 5: , , ( ; ) , , ( ; ) , , ( ; ) , , ( ; ) , , ( ; ) , , ( ; ) x A y B F x y x A y B F x y x A y B F x y x A y B F x y x A y B F x y x A y B F x y                            , , ( ; ) , , ( ; ) x A y B F x y x A y B F x y          Ví dụ 18 : Phủ định của mệnh đề: “x R : y  R , z R , x + y2 + z2 > 1” là mệnh đề “x R : y  R , z R , x + y2 + z2  1” Ta có thể thực hiện phủ định từng bƣớc nhƣ sau : 2 2 2 2 : , , x y z 1 : , , x y z 1 x R y R z R x R y R z R                    2 2 2 2 : , , x y z 1 : , , x y z 1 x R y R z R x R y R z R                     =x R: y  R, z R, x + y2 + z2  1

Ví dụ 19 : Với hàm số f xác định trong một lân cận của điểm a R, ta có định nghĩa hàm số f liên tục tại a đƣợc phát biểu nhƣ sau :

f liên tục tại a nếu và chỉ nếu “cho một số dương  tùy ý, ta có một số dương  sao cho nếu x-a <  thì  f(x) - f(a) < ”.

- 50 - Mệnh đề trên đƣợc viết là : >0 , >0 : (x ,  x-a <    f(x) - f(a) < ) Phủ định của mệnh đề này là : >0 , >0 : (x , x-a < f(x)-f(a)<) >0 , >0 : (x , x-a < f(x)-f(a) ) Nhƣ vậy ta có thể phát biểu mệnh đề phủ định nhƣ sau :

“Tồn tại một số dương  sao cho ứng với mỗi số dương  tùy ý ta có một số

thực x thỏa điều kiện x-a <  và  f(x) - f(a)  ”

Ví dụ 20 : Phủ định của “   x R y, R, sao cho x3y0” là “   x R, y R, sao cho x3y0”.

Ví dụ 21 : Phủ định của “   x Z, y Z, 4x y 0” là “   x Z, y Z, 4x y 0”.

Ví dụ 22 : Cho định nghĩa: “Dãy số (xn) gọi là bị chặn nếu tồn tại số dƣơng m sao cho n x, n m”. Hãy phát biểu định nghĩa dãy số không bị chặn. (đọc giả tự giải)

- 51 -

BÀ TẬP ƢƠNG 2

1/ Cho 2 vị từ P(x) xác định nhƣ sau: P(x) = “x ≤ 3”, Q(x) = “x+ 1 là số lẻ” Nếu không gian là tập số nguyên, hãy xác định chân trị của những mệnh đề sau:

a) P(1) b) Q(1) c) Q(6) d) P(4) e) P(7)∧Q(7) f) P(3)∧Q(4) 2/ Cho các vị từ trên Z : m(x) : “ x > 2” ; n(x) : “x – 1 lẻ” ; p(x) : “x < 0”. Tìm chân trị của các mệnh đề sau :

a) m(2) b) n(210) c) m(-1)  n(3) d) m(0)n(4) e) [m(7)  n(1)]  p(1) f) [m(1)n(1)]p(1) g) [m(3)  n(3)]  p(3) h) m(1)  [n(1)  p(1)]

3/ Các vị từ P(x), Q(x) đƣợc cho nhƣ bài tập 1. R(x) = “x > 0”. Nếu không gian vẫn là tập số nguyên.

a) Xác định chân trị của những mệnh đề sau: 1. P(3) ∨ [Q(3)∨R(3)]

2. P(3) ∧ [Q(3) ∨ [Q(3) ∨ R(3)] 3. P(2) → [Q(2) → R(2)] 4. [P(2)  Q(2)] → R(2)

- 52 - 5. P(0) → [Q(1) R(1)

b) Xác định tất cả các giá trị x sao cho [P(x) ∧ Q(x)] ∧ R(x) là một mệnh đề đúng.

c) Tìm 5 giá trị nguyên dƣơng nhỏ nhất của x sao cho vị từ: P(x) → [Q x( ) ∧ R(x)] là mệnh đề đúng.

4/ Cho vị từ P(x) đƣợc xác định nhƣ sau: P(x) = “x 2

= 2x” trên không gian là tập hợp số nguyên. Xác định giá trị đúng, sai của những mệnh đề:

a) P(0) b) P(1)

c)  x Z P x, ( ) d)  x Z P x, ( )

5/ Cho 2 vị từ 2 biến P(x, y) và Q(x, y) đƣợc xác định nhƣ sau: P(x, y) = “x 2

≥ y” Q(x, y) = “x+2 < y”. Nếu không gian là tập số thực, xác định chân trị của các mệnh đề:

a) P(2,4) b) Q(1,π)

c) P(-3,8)∧Q(1,3) d) P(2,2)→Q(1,1) e) P(1,2) Q(1; 2)

6/ Cho các vị từ trên R : p(x,y) : “ 2x > y – 1” ; q(x,y) : “ y < x2 + 1 ” Tìm chân trị của các mệnh đề sau :

a) p(1,3) b) q(-1,2)

c) p(2,3)  q(-2,5)

d) p(3, 2)  q(-1,1)

e) p(3,3)q(3,1)

7/ Trên không gian là tập số nguyên, cho các vị từ sau: P(x) = “x > 0”

- 53 - R(x) = “x là số chính phƣơng”

S(x) = “x chia hết cho 4” T(x) = “x chia hết cho 5”

a) Viết dạng ký hiệu của những mệnh đề sau:

 Có ít nhất 1 số ngun chẵn.

 Tồn tại 1 số nguyên dƣơng là số chẵn.

 Nếu x chẵn, thì x khơng chia hết cho 5.

 Khơng có số ngun chẵn nào là chia hết cho 5.

 Tồn tại 1 số nguyên chẵn chia hết cho 4.

 Nếu x chẵn và x là số chính phƣơng, thì x chia hết cho 4. b) Xác định chân trị của mỗi mệnh đề

8/ Cho các vị từ trên không gian là tập số thực nhƣ sau: P(x) = “x ≥ 0” Q(x) = “x2 ≥ 0” R(x) = “x2 - 3x - 4 = 0” S(x) = “x 2 - 3 > 0”

Viết thành lời các dạng ký hiệu sau: 1.  x R, [R(x) → P(x)] 2.  x R, [S(x) → Q(x)] 3.  x R, [S(x) → T x ] 4.  x R, [S(x) ∧R x ] 5.  x R, [(R x ∨Q x ) ∨ S(x)] 9/ Cho 3 vị từ P(x), Q(x), R(x) đƣợc xác định nhƣ sau: P(x) = “x 2 - 8x + 15 = 0” Q(x) = “x là số lẻ” R(x) = “x > 0”

Trên tập không gian là tất cả các số nguyên, hãy xác định giá trị đúng, sai của những mệnh đề sau. Cho dẫn chứng hoặc giải thích cụ thể:

- 54 - a)  x Z, [P(x) → Q(x)] b)  x Z, [Q(x) → P(x)] c)  x Z, [P(x) → Q(x)] d)  x Z, [Q(x) → P(x)] e)  x Z, [R(x) ∧ P(x)] f)  x Z, [P(x) → R(x)] g)  x Z, [R(x) → P(x)] h)  x Z, [P(x) → (Q(x) ∧ R(x))] i)  x Z, [((P(x) ∨ Q(x)) → R(x)] 10/ Cho 3 vị từ P(x), Q(x), R(x) nhƣ sau: P(x) = “x2 - 7x + 10 = 0” Q(x) = “x2 - 2x -3 = 0” R(x) = “x < 0”

a) Xác định giá trị đúng, sai của những mệnh đề sau, cho dẫn chứng hoặc giải thích cụ thể, nếu không gian là tập số nguyên.

1.  x Z, [P(x) →R x ] 2.  x Z, [Q(x) → R(x)] 3.  x Z, [Q(x) → R(x)] 4.  x Z, [P(x) → R(x)]

b) Câu hỏi nhƣ trên nhƣng không gian chỉ gồm số nguyên là 5.

11/ Cho vị từ P(x; y) = “x đã học môn y” với không gian của x là tập hợp tất cả các sinh viên lớp bạn và không gian của y là tập hợp tất cả các môn tin học của học kỳ mà bạn đang học. Hãy diễn đạt các lƣợng từ sau thành các câu thông thƣờng:

a) ∃x, ∃y, P(x; y) b) ∃x, ∀y, P(x; y) c) ∀x, ∃y, P(x; y)

- 55 - d) ∃y, ∀x, P(x; y)

e) ∀y, ∃x, P(x; y) f) ∀x, ∀y, P(x; y)

12/ Cho vị từ trên N : p(x,y) : “x là ƣớc của y”. Tìm chân trị của các mệnh đề sau :

a) p(1,5) b) p(3,4) c) x , p(x,x) d) y , p(y,y) e) x , y : p(x,y) f) y , x : p(x,y)

g) x , y , (p(x,y)  p(y,x))  (x = y)

13/ Cho vị từ: P(x) = “x nói đƣợc tiếng anh”; Q(x) = “x biết ngôn ngữ C ++

”

Cho không gian là tập hợp các sinh viên lớp bạn. Hãy diễn đạt các câu sau bằng cách dùng P(x), Q(x), các lƣợng từ và các phép tốn logic.

a) Có một sinh viên ở lớp bạn nói đƣợc tiếng Anh và biết C ++

b) Có một sinh viên ở lớp bạn nói đƣợc tiếng Anh nhƣng khơng biết C ++

c) Mọi sinh viên ở lớp bạn đều nói đƣợc tiếng Anh hoặc biết C ++

d) Khơng có một sinh viên nào ở lớp bạn nói đƣợc tiếng Anh hoặc biết C ++

14/ Xác định chân trị của các mệnh đề sau :

a) x R : [(x2 – 6x + 5 = 0)  (x – 3 = 0)] b) x R , y R : (x – y = 2)  (x + y = -3) c) x R : y R : z R , (x2 = y2 – z2)  (x  z) d) x R : y R : z R , (2x2 = 2y2 – z2)  (x < z) e) x R : y R : z R , (x – 2y  z)  (2x + y + z2  0) f) x R : y R : z R , (x2 = y2 + z2)  (x > z) g) x R : y R : z R , (x – 2y = z)  (2x + y + z = 0)

- 56 - h) x R : y R : z R , (x2

= y2 – z2)  (x  z)

15/ Hãy phủ định (rồi sau đó rút gọn) các mệnh đề lƣợng từ hóa sau :

a){(x); [p(x) q(x)]  (x); [r(x) s(x)]  (x); [p(x) r(x)]} [q(x)s(x)]

b){(x);[q(x)p(x)](x);[q(x)r(x)](x);[s(x)r(x)]}(x);[q(x)s(x)]

c){(x);[q(x) p(x)](x);[q(x) r(x)](x);[s(x)r(x)]}(x);[q(x) s(x)]

16/ Cho vị từ: P(x) = “x là sinh viên” Q(x) = “x là kẻ ngu dốt” R(x) = “x là kẻ vơ tích sự”

Bằng cách dùng các lƣợng từ, các phép toán logic và với các vị từ P(x), Q(x), R(x). Hãy diễn đạt các câu sau với khơng gian là tồn thể sinh viên:

a) Khơng có sinh viên nào là kẻ ngu dốt. b) Mọi kẻ ngu dốt đều là vơ tích sự. c) Khơng có sinh viên nào là vơ tích sự.

17/ Tìm số A có hai chữ số, sao cho trong bốn mệnh đề sau đây có hai mệnh đề đúng, hai mệnh đề sai.

E = “A chia hết cho 5” F = “A chia hết cho 23”

G = “A+7 là số chính phƣơng” H = “A – 10 là số chính phƣơng”

18/ Cho hai số nguyên dƣơng a và b. Biết rằng trong bốn mệnh đề A, B, C, D dƣới đây chỉ có một mệnh đề sai.

A = “a = 2b + 5”

B = “a + 1 chia hết cho b” C = “a + b chia hết cho 3” D = “a + 7b là số nguyên tố”

Hãy chỉ ra mệnh đề sai và tìm tất cả các cặp số nguyên (a, b) thoả mãn ba mệnh đề đúng cịn lại.

19/ Cho hệ phƣơng trình 2 2

4 1

ax y b

x y . Xác định a để hệ ln có nghiệm với mọi giá trị của b.

- 57 -

20/ Tìm tất cả các cặp số (a, b) sao cho ba mệnh đề sau đều đúng: 2 2 2 " 2 9 0 " " 2 81" P x xy Q x y " R xlà số nguyên"

21/ Tìm tất cả các cặp số (a, b) sao cho ba mệnh đề sau đều đúng: 2 2 2 " 2 12 0 "