Sách tham khảo logic Toán

Logic toán (sách tham khảo) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT O O Ọ T N N SÁCH THAM KHẢO LOGIC TOÁN Tài liệu dành cho sinh viên ngành sư phạm toán Biên soạn : ThS Nguyễn Thành Long (chủ biên) ThS Lê Thành Đạt Bình Dƣơng, Tháng 06 – Năm 2016 -1- Logic toán (sách tham khảo) -2- Logic toán (sách tham khảo) MỤC LỤC MỞ ĐẦU - CHƯƠNG ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ - 1.1 Mệnh đề - 1.1.1 Định nghĩa - 1.1.2 Phân loại mệnh đề - 10 1.2 Các phép toán mệnh đề - 10 1.2.1 Phép phủ định - 10 1.2.2 Phép hội - 11 1.2.3 Phép tuyển - 12 1.2.4 Phép tuyển chọn - 13 1.2.5 Phép kéo theo - 13 1.2.6 Phép tƣơng đƣơng (phép kéo theo hai chiều) - 14 1.3 Biểu thức mệnh đề .- 15 1.3.1 Định nghĩa - 15 1.3.2 Hằng - Hằng sai - 16 1.3.3 Mệnh đề hệ - 18 1.3.4 Tƣơng đƣơng Logic - 19 1.3.5 Các công thức tƣơng đƣơng logic - 20 1.3.6 Một số quy tắc thay - 21 1.4 Mệnh đề liên hợp - 22 1.4.1 Các mệnh đề liên hợp - 22 1.4.2 Qui tắc phản đảo - 22 1.5 Luật logic - 23 1.6 Mệnh đề & lý thuyết tập hợp - 24 1.6.1 Mệnh đề & tập hợp - 24 1.6.2 Phép toán mệnh đề & ánh xạ - 25 1.7 Biểu thức logic mạch điện - 27 1.8 Phƣơng trình logic - 28 - BÀI TẬP CHƯƠNG - 32 PHẦN ĐỌC THÊM - 37 CHƯƠNG ĐẠI SỐ VỊ TỪ - 39 2.1 Vị từ (Hàm mệnh đề) - 39 2.2 Các phép toán logic vị từ (hàm mệnh đề) - 42 2.2.1 Phủ định vị từ - 42 2.2.2 Phép hội hai vị từ - 42 - -3- Logic toán (sách tham khảo) 2.2.3 Phép tuyển hai vị từ - 43 2.2.4 Phép kéo theo hai vị từ - 43 2.2.5 Phép tƣơng đƣơng - 43 2.3 Mệnh đề có lƣợng từ (có chứa ký lƣợng) - 44 2.3.1 Mệnh đề có chứa lƣợng từ tồn (  ) - 45 - 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 Mệnh đề có chứa lƣợng từ với (  ) - 45 Chân trị mệnh đề tồn , mệnh đề tổng quát - 45 Các phép tốn mệnh đề có lƣợng từ - 48 Phủ định mệnh đề có lƣợng từ - 49 - BÀI TẬP CHƯƠNG - 51 PHẦN ĐỌC THÊM - 58 LOGIC BA TRỊ - 58 LOGIC MỜ .- 61 - CHƯƠNG SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH - 65 3.1 Suy luận - 65 3.1.1 Suy luận - Suy luận hợp logic - 65 3.1.2 Phân loại suy luận - 66 3.2 Suy luận diễn dịch .- 66 3.2.1 Khái niệm suy luận diễn dịch chứng minh - 66 3.2.2 Một số qui tắc suy diễn thƣờng dùng (từ tiền đề) - 66 3.2.3 Một số qui tắc suy diễn thƣờng dùng (từ tiền đề) - 67 3.2.4 Ngụy biện - 70 3.3 Suy luận quy nạp (hay suy luận có lý) - 71 3.3.1 Quy nạp hoàn toàn - 71 3.3.2 Quy nạp khơng hồn toàn - 72 3.4 Chứng minh - 73 3.4.1 Thế chứng minh - 73 3.4.2 Mô tả chứng minh - 73 3.4.3 Bác bỏ - 75 3.4.4 Các phƣơng pháp chứng minh - 75 3.4.4.1 Chứng minh trực tiếp (dẫn chứng, tổng hợp) - 75 3.4.4.2 Chứng minh gián tiếp (phản đảo) - 76 3.4.4.3 Chứng minh trƣờng hợp (qui nạp hoàn toàn) - 77 3.4.4.4 Chứng minh phản chứng - 79 3.4.4.5 Chứng minh quy nạp toán học (truy chứng) - 81 - BÀI TẬP CHƯƠNG - 84 CHƯƠNG VẬN DỤNG LOGIC TỐN VÀO DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG - 87 4.1 Sử dụng ngơn ngữ , mệnh đề ký hiệu tốn học .- 87 4.1.1 Từ ngữ tiếng Việt ngữ nghĩa toán học - 88 - -4- Logic toán (sách tham khảo) 4.1.2 4.1.3 Sử dụng đồng thời ngôn ngữ thông thƣờng ngơn ngữ tốn học - 91 Các phép toán mệnh đề ký hiệu toán học - 91 - 4.2 Suy luận chứng minh dạy học toán .- 100 4.2.1 Khai thác hợp lý qui nạp suy diễn - 101 4.2.2 Tìm cách chứng minh mệnh đề p  q - 103 - 4.3 Trong tình điển hình dạy học mơn tốn .- 109 4.3.1 Dạy học định nghĩa khái niệm - 109 4.3.1.1 Cấu trúc logic định nghĩa - 110 4.3.1.2 Về khái niệm khác đƣợc định nghĩa THCS đồng thời THPT - 114 4.3.2 Dạy học định lý (tiếp cận trình bày chứng minh định lý) - 117 4.3.2.1 “Định lý” chƣơng trình tốn phổ thơng - 117 4.3.2.2 Cấu trúc logic định lý (tính chất, hệ quả) - 117 4.3.2.3 Dạy học tiếp cận trình bày chứng minh định lý - 122 4.3.3 Dạy học giải toán (Phát sửa chữa sai lầm giải toán) - 125 - BÀI TẬP CHƯƠNG - 139 GỢI Ý VÀ HƯỚNG DẪN PHẦN BÀI TẬP - 144 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 149 - -5- Logic toán (sách tham khảo) -6- Logic toán (sách tham khảo) MỞ ĐẦU Quyển sách tham khảo “Logic toán” nhằm mục đích : - Trình bày kiến thức Logic toán - Vận dụng Logic toán vào dạy học tốn trƣờng phổ thơng Với vai trị sách tham khảo (chƣa phải giáo trình), nội dung sách không sâu rộng vào vấn đề lý thuyết mà cố gắng nêu lên nhiều ví dụ thật cụ thể chƣơng trình tốn phổ thông để ngƣời đọc, sinh viên ngành sƣ phạm toán, cảm thấy gần gũi, dễ dàng tiếp thu học học phần Logic toán Cuối chƣơng có tập tiêu biểu để ngƣời đọc luyện tập, có hƣớng dẫn Riêng phần đọc thêm giới thiệu Logic phi cổ điển (Logic ba trị, Logic mờ, …) để ngƣời đọc có nhìn bao quát Logic học thờ1 Sách gồm có chƣơng : Chƣơng I : Đại số mệnh đề Chƣơng II : Đại số vị từ Chƣơng III : Suy luận chứng minh Chƣơng IV : Vận dụng logic toán vào dạy học toán trƣờng phổ thông Các chƣơng I,II,III gồm nội dung Logic tốn Đặc biệt chƣơng IV, chúng tơi cố gắng trình bày thật chi tiết liên hệ chặt chẽ Logic toán với Lý luận dạy học mơn tốn thơng qua chƣơng trình, sách giáo khoa tốn trung học sở trung học phổ thông hành Trong chờ đợi có giáo trình Logic tốn hồn chỉnh đƣợc biên soạn, chúng tơi hi vọng sách tham khảo Logic toán có ích cho sinh viên ngành tốn bạn đồng nghiệp trƣờng Đại học Thủ Dầu Một Chúng tơi mong nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp để chúng tơi hiệu đính sách hồn thiện NHĨM TÁC GIẢ -7- Logic tốn (sách tham khảo) -8- Logic toán (sách tham khảo) ƢƠNG ĐẠ SỐ MỆN ĐỀ  Nội dung trọng tâm:  Thế mệnh đề, chân trị mệnh đề, phép toán mệnh đề  Thực đƣợc phép toán mệnh đề  Hiểu đƣợc ứng dụng phép toán logic suy luận hàng ngày chứng minh toán học 1.1 Mệnh đề 1.1.1 Định nghĩa Mệnh đề câu vật, việc có tính hay sai Một mệnh đề vừa vừa sai, vừa không vừa không sai Giá trị đúng, sai mệnh đề đƣợc gọi chân trị mệnh đề Chân trị mệnh đề ký hiệu 1, chân trị mệnh đề sai ký hiệu Ví dụ 1: Các câu xác định dƣới mệnh đề : “ Hà Nội thủ đô Việt Nam ” “ Paris thủ đô Anh ” “ + = 12 ” “ Tam giác có hai cạnh tam giác ” Câu xác định : "Hà Nội thủ đô Việt Nam" ; "7 + = 12" mệnh đề Còn câu xác định: " Paris thủ đô Anh" " Tam giác có hai cạnh tam giác đều" mệnh đề sai Ví dụ 2: Xét câu phát biểu sau : “ Hôm thứ ? ” “x+1=2” “ x + 2y – = z ” Câu " Hôm thứ ? " khơng mệnh đề câu hỏi khơng có giá trị đúng, sai Câu "x + = 2" câu "x + 2y – = z" mệnh đề chúng -9- Logic tốn (sách tham khảo) chẳng chẳng sai, biến câu chƣa đƣợc gán cho giá trị cụ thể 1.1.2 Phân loại mệnh đề - Mệnh đề đơn (sơ cấp) : Là mệnh đề có câu, có giá trị ln sai - Mệnh đề phức hợp : Là mệnh đề đƣợc kết hợp từ nhiều mệnh đề liên từ : « Nếu » ; « » ; « nhƣng » ; « » ; trạng từ « khơng » Ví dụ : Nếu trời đẹp tơi dạo Hà Nội khơng phải thủ Việt Nam 1.2 Các phép tốn mệnh đề Trong phép tốn mệnh đề, ngƣời ta khơng quan tâm đến ý nghĩa câu phát biểu mà ý đến chân trị mệnh đề Do đó, thực phép tốn mệnh đề thơng thƣờng ngƣời ta không ghi rõ câu phát biểu mà ghi ký hiệu Các chữ (viết thƣờng) đƣợc dùng để ký hiệu mệnh đề Những chữ thƣờng dùng p, q, r, … Các phép tốn mệnh đề đƣợc sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Các phép toán mệnh đề đƣợc trình bày chƣơng bao gồm: phép phủ định (không), phép hội (và), phép tuyển (hoặc là), phép tuyển chọn (phép cộng logic), phép kéo theo (nếu thì), phép kéo theo hai chiều (phép tƣơng đƣơng) 1.2.1 Phép phủ định Cho p mệnh đề, câu "không phải p" mệnh đề khác gọi phủ định mệnh đề p, mang giá trị p sai, mang giá trị sai p đúng, kí hiệu : p (hay ¬ p ) Bảng chân trị : - 10 - Logic toán (sách tham khảo) Vậy tập xác định [0,3 ] Khắc phục sai lầm : Tập xác định tập giá trị hàm số : với -2  x  t= Do t   t2 = + mà  t2  18 (đẳng thức xảy x = )  (7–x)+(2+x) = (bđt Cơsi) 0 ngồi (đẳng thức xảy x = -2 , x = 7) Vậy  t2  18 3t3 hàm số liên tục [-2 ; 7] nên hàm số có Do t = tập giá trị [3 ;  ] Lời giải : pt trở thành = m (1) pt cho có nghiệm  pt (1) có nghiệm t thỏa  t  Đặt y = với t [3,3 ] Lập bảng biến thiên để tìm tập giá trị, ta đƣợc y  Vậy (1) có nghiệm m  Do pt cho có nghiệm Ví dụ 90 Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm x2 + (x + 1)2 = Xét hai lời giải sau : - Lời giải : pt  [2(x2 + x + 1) – 1] (x2 + x + 1) = m Đặt t = x2 + x + = - 135 - Logic toán (sách tham khảo) pt trở thành 2t2 – t = m (1) pt cho có nghiệm  pt (1) có nghiệm với t  Đặt y = 2t2 – t Do y’ = 4t – > , t   hàm số y = 2t2 – t  y  y( ) = Vậy pt (1) có nghiệm với t  đồng biến [ , +) m  Do pt cho có nghiệm m  - Lời giải : pt  [2(x2 + x + 1) – 1] (x2 + x + 1) = m ] – 1][  [2[ Nếu pt có nghiệm x = xo ]=m  pt có nghiệm x = -1 - xo Vậy pt có nghiệm  xo = -1 - xo  xo = Khi m= Nhận xét sai lầm lời giải khắc phục : Lời giải “đánh tráo khái niệm phƣơng trình có nghiệm nhất” phƣơng trình cho sang phƣơng trình (1) Vậy kết m  điều kiện cần để phƣơng trình cho có nghiệm Ta cần bổ sung điều kiện đủ : (1)  x2 + x + (1 – t) = pt (ẩn x) có nghiệm   =  4t – = t= Khi x= , - 136 - m= Logic toán (sách tham khảo) Vậy m = giá trị cần tìm Nhận xét sai lầm lời giải khắc phục : Kết m = điều kiện cần , cần phải thử lại (để có điều kiện đủ) Thử lại Với m = pt Vậy Ví dụ 91: m =   x= (duy nhất) pt có nghiệm Cho hình bình hành ABCD Trên đƣờng chéo BD ta lấy hai điểm E,F khác O (với O giao điểm hai đƣờng chéo) cho BE = DF Chứng minh AF//CE Xét lời giải : Ta có OB = OD theo giả thiết BE = DF nên OF = OD – DF = OB – BE = OE Vậy tứ giác AECF có hai đƣờng chéo AC,EF cắt trung điểm đƣờng nên hình bình hành  AF//CE Nhận xét lời giải (phát sai lầm): Lời giải chƣa hồn chỉnh, chƣa xét đủ vị trí tƣơng đối hai điểm E, F nên thiếu trƣờng hợp Cụ thể : - 137 - Logic toán (sách tham khảo) - Lời giải trƣờng hợp điểm E nằm B O , điểm F nằm D O - Còn thiếu trƣờng hợp điểm F nằm B O , điểm E nằm D O Lời giải hoàn chỉnh (đã khắc phục sai lầm): - Trƣờng hợp : điểm E nằm B O , điểm F nằm D O (đã chứng minh) - Trƣờng hợp : điểm F nằm B O , điểm E nằm D O Theo giả thiết BE = DF  BF + FE = DE + EF  BF = DE mà OB = OD  OF = OB – BF = OD – DE = OE Vậy tứ giác AECF có hai đƣờng chéo AC, EF cắt trung điểm đƣờng nên hình bình hành Kết luận :  AF//CE - 138 - AF//CE Logic toán (sách tham khảo) ƢƠNG BÀI TẬP 1/ Trƣớc vị từ sau đây, đặt (hay hai) lƣợng từ để có mệnh đề (x, y, a, b Z) a) x+5>7; b) a2 > a c) x  ; d) 15 bội x e) (a - b)2 = a2 - b2 ; f) (x – 1)(x + 1) = x2 – 2/ Các cặp vị từ sau có phải phủ định khơng ? Nếu khơng chỉnh sửa để chúng phủ định a) a số chẵn ; a số lẻ b) x số âm ; x số dƣơng c) a số nguyên tố ; a hợp số d) Có số ƣớc 15 ; e) Mọi hình thang nội tiếp đƣợc đƣờng trịn ; Có số khơng ƣớc 15 Mọi hình thang khơng nội tiếp đƣợc đƣờng trịn f) Phƣơng trình 10x + 2015 = có nghiệm ; Phƣơng trình 10x + 2015 = vơ nghiệm g) Phƣơng trình (x + 10)(x + 2015) = có nghiệm ; Phƣơng trình (x + 10)(x + 2015) = vô nghiệm 3/ Viết hàm mệnh đề (vị từ) sau dƣới dạng ký hiệu (phép toán logic) a) Tứ giác ABCD hình bình hành nội tiếp đƣợc đƣờng trịn b) Tứ giác ABCD hình bình hành nhƣng khơng nội tiếp đƣợc đƣờng trịn c) Không phải AD vừa phân giác vừa đƣờng cao tam giác ABC d) AD phân giác mà đƣờng cao tam giác ABC e) phƣơng trình x + = có nghiệm cịn phƣơng trình x + = x + vô nghiệm f) x lớn nhƣng không lớn g) 2x = = x2 4/ Viết hàm mệnh đề (vị từ) sau dƣới dạng ký hiệu (phép toán logic) ; ý phân biệt từ “và” phép hội, không - 139 - Logic toán (sách tham khảo) a) a b hai số nguyên tố b) a b hai số nguyên tố c) a b hai số lẻ nguyên tố d) hai đoạn thẳng AB CD song song e) ABC DEF hai tam giác vuông đồng dạng với 5/ Phân biệt ý nghĩa từ “hoặc” (“hay”) phép tuyển  hay phép tuyển chọn  vị từ sau a) Số x chia hết cho cho b) Hai góc có cạnh tƣơng ứng song song bù c) a số dƣơng số âm d) x  Viết dƣới dạng ký hiệu (phép toán logic) xác định chân trị chúng 6/ Cho tam giác ABC với đƣờng cao AH Chứng minh BC.sinB.sinC = AH.sin(B+C) Hãy tìm chỗ sai lời giải sau giải lại cho Lời giải Ta có BC = BH+HC = AH(cotB+cotC) =  BC.sinB.sinC = AH.sin(B+C) 7/ Tìm m để đồ thị hàm số y = Lời giải Ta có y’ = Đồ thị hàm số y =   + mx + cắt trục hoành điểm + m , x  R + mx + cắt trục hoành điểm pt y’ = có nghiệm kép vơ nghiệm 0  m0 Hãy nhận xét lời giải ? 8/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a , SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M điểm chuyển động đoạn thẳng SC Xác định vị trí M để diện tích tam giác MBD nhỏ Lời giải : - 140 - Logic toán (sách tham khảo) Gọi O = ACBD Ta có  BD  (SAC) mà MO  (SAC)  BD  MO O  MO đƣờng cao tam giác MBD nên Do nhỏ  MO nhỏ  MO  (ABCD)  MO//SA mà O trung điểm AC  M trung điểm SC Vậy diện tích tam giác MBD nhỏ M trung điểm SC Hãy xét xem lời giải xác chƣa ? 9/ Giải phƣơng trình Lời giải 5.2x – = Điều kiện x  Xét hai hàm số tập D = R\{ } f(x) = 5.2x – - 141 - Logic tốn (sách tham khảo) g(x) = Ta có f’(x) = 5.2x.ln2 > , x  D g’(x) = < , x  D  Trên D f(x) đồng biến, g(x) nghịch biến  pt f(x) = g(x) có nhiều nghiệm mà x = nghiệm pt  pt cho có nghiệm x = Ý kiến bạn lời giải ? 10/ Giải phƣơng trình Lời giải –2 = 9x – Điều kiện 0 Đặt u = ,v= (u  , v  0) Ta có u2 – v2 = 9x – (1) Pt trở thành u – v = 9x – (2) Từ (1) (2) ta có u2 – v2 = u – v  (u – v)(u + v – 1) =  Trƣờng hợp Nếu u = v   Trƣờng hợp  = x= (nhận) Nếu v = – u 2u = 9x –   (nhận)  - 142 - Logic tốn (sách tham khảo) Vậy pt có hai nghiệm Tuy nhiên thử lại x= , khơng thỏa phƣơng trình Vậy nghiệm ngoại lai xuất đâu ? - 143 - Logic toán (sách tham khảo) Gợi ý hướng dẫn phần tập ƢƠNG 18/ HD Gọi màu xe, loại xe mệnh đề Biểu diễn mệnh đề thông qua lời khai ngƣời Lấy hội lời khai, kết cần điều kiện gì? 19/ HD Lập bảng mơ tả trƣờng hợp, chọn trƣờng hợp thỏa mãn với yêu cầu 20/ HD Giả sử D nhà báo, dùng bƣớc giả thiết để kết luận tính hợp lý Tƣơng tự cho việc giả sử D nhà buôn 21/ HD Giả sử ba ngƣời vợt có nhiều trận thắng nhất, dùng giả thiết đề cho, chứng tỏ điều phải chứng minh 22/ HD Gọi A ngƣời quen với 67 ngƣời khác, mời đƣợc ngồi nhiều 32 ngƣời Lập luận tƣơng tự, toán đƣợc chứng minh ƢƠNG 1/ a) Đ; b) S; c) Đ; d) S; e) S; f) Đ 2/ a) S; b) Đ; c) Đ; d) Đ; e) S; f) S; g) S; h) Đ 3/ b) x = 5/ a) Đ; b) Đ; c) S; d) S; e) S 6/ c) S; d) Đ; e) S 10/ a) Đúng Vì giá trị x thỏa P(x) Hai số lẻ, thỏa Q(x) b) Sai Vì x = thỏa Q(x), nhƣng khơng nghiệm phƣơng trình x2  8x  15  , nên P(x) sai c) Đúng d) Đúng Vì có x = thỏa Q(x) nghiệm phƣơng trình x2  8x  15  , nên P(x) e) Đúng Vì có x = thỏa R(x) nghiệm phƣơng trình x2  8x  15  , nên P(x) f) Đúng Vì giá trị x thỏa P(x) Hai số lớn 0, thỏa R(x) g) Đúng Vì có x = thỏa R(x) nghiệm phƣơng trình x2  8x  15  , nên P(x) - 144 - Logic tốn (sách tham khảo) h) Đúng Vì có x = số lẻ thỏa Q(x), lớn thỏa R(x), nghiệm phƣơng trình x2  8x  15  , nên P(x) i) Sai Vì có x = - số lẻ thỏa Q(x), khơng nghiệm phƣơng trình x2  8x  15  , không lớn (R(x) sai) 11/ b) Đ Vì P(5) đúng, R(5) sai Đ Vì Q(5) sai Đ Sai Vì P(5) đúng, R(5) sai 12/a) Có sinh viên lớp học mơn tin học b) Có sinh viên lớp học tất môn tin học c) Tất sinh viên lớp học mơn tin học d) Có mơn tin học mà tất sinh viên lớp học e) Tất mơn tin học có sinh viên lớp học f) Mọi sinh viên lớp học tất mơn tin học 15/ a) Đúng Vì có x = 18/Ta có Hai mệnh đề E H A = 10 A = 35 Hai mệnh đề F H A = 46 Hai mệnh đề G H A = 74 Nhƣ có bốn số thỏa yêu cầu toán 10, 35, 46, 74 19/ Ta có a + b = 3b + a + 7b = 9b + Nên mệnh đề C A D sai (vơ lý) Vậy C phải sai, ba mệnh đề A, B, D Mà B đúng, nên a + = k.b, với k  Z  Suy b(k – 2) = Vậy b gồm 1, 2, 3, Thay vào ta có Với b = a = (loại D sai) Với b = a = (nhận) Với b = a = 11 (loại D sai) Với b = a = 17 (nhận) Vậy có cặp số cần tìm (9; 2), (17; 6) 20/ Ta có y  b  ax Thay vào phƣơng trình, ta đƣợc - 145 - Logic tốn (sách tham khảo) x  4(b  ax)2   1  4a  x  8abx  4b   + TH1  4a  , hệ vô nghiệm b = + TH2  4a  , để hệ có nghiệm b = a  Vậy hệ có nghiệm với giá trị tham số b a  21/ Vì P nên x   y  2x  45 , thay vào Q ta có x  x Vì x  Z  x  1; x  2  17   17  Để P, Q, R có cặp số thỏa  2;  ,  2;   2  2  7  7  22/ Có cặp số thỏa mãn  3;  ,  3;   2  2  ƢƠNG 3/ a (Chứng minh trực tiếp) Giả sử n số chẵn, suy n  2k , k  Z Ta có n2   2k   4k 2 Vậy n số chẵn (đpcm) c (Chứng minh phản chứng) Giả sử n số chẵn nhƣng n khơng số chẵn Vì n số lẻ nên ta có n2   2k  1  n  2k  không chia hết cho 2, n số lẻ (mâu thuẫn với giả thiết n số chẵn) Vậy bình phƣơng số chẵn số chẵn 5/ Gọi p mệnh đề "n không chia hết cho 5" q mệnh đề "n chia cho dƣ 4" Khi đó, p tƣơng đƣơng với p1 ∨ p2 ∨p3 ∨ p4 Trong p1 = " n mod =1"; p2 = " n mod =2" ; p3 = " n mod =3" p4 = " n mod =4" Vậy, để chứng minh p  q đúng, chứng minh (p1 ∨ p2 ∨p3 ∨ p4) → q (p1 → q) ∧ ( p2→ q) ∧ (p3 → q) ∧ ( p4→ q) Giả sử p1 Ta có, n mod = Đặt n = 5k + ( k số nguyên đó) Suy - 146 - Logic tốn (sách tham khảo) 2 2 n = ( 5k+1) = 25k + 10k + = 5(5k + 2k) + chia cho dƣ Do đó, p1 → q Tƣơng tự, giả sử p2 Ta có, n mod = Đặt n = 5k + ( k số nguyên 2 2 đó) Suy n = ( 5k+2) = 25k +20k + = 5(5k + 4k ) + chia cho dƣ Do đó, p2 → q Tƣơng tự cho p3 → q, p4 → q Vậy (p1 ∨ p2 ∨p3 ∨ p4) → q (đpcm) 8/ a Với n = -2, ta có A 60 32 11 11 (đẳng thức đúng) 30 Giả sử đẳng thức với n  k  2 , ta chứng minh với n  k  Ta có A 62(k 1) 62k 3(k 3k 1) 4 3(k 1) 2 3k (62k 4.62 33.62k 3k 4.3 3k 2.3) 33 Vậy đpcm b Với n = 0, ta có B 112 133 133 (đẳng thức đúng) 121 Giả sử đẳng thức với n  k  , ta chứng minh với n  k  Ta có B 11(k 1) 122(k 11 11k 1) 122k 11k 2.11 133.122k 122k 1.122 133 Vậy đpcm 11/ Ta có a  b  c  ab  bc  ca  2(a  b  c )  2(ab  bc  ca )   a  b  b  c    c  a   Vậy a 2 b2 c2 ab a.b.c bc 13/ Ta có ab bc ab bc ca ; a ,b ,c R (đpcm) (1) ca ac (2) (3) Từ (1) suy ba số a, b, c phải số âm Giả sử a   b.c   b, c phải dấu - 147 - Logic toán (sách tham khảo) Nếu b, c dƣơng từ (3) ta có a  b  c   a    b  c   ab  bc  ca    b  c   (mâu thuẫn với (2)) Vậy a, b, c âm (đpcm) 18/ a Ta có 2a b2 c2 2a(b Vậy 2a b2 c2 c) a b 2a(b c ); a,b,c cb ac a c (đúng) R b Ta có a b c a ab b Vậy a b c b ab c 2(a c c) b a ac ; a ,b ,c cb 2( ab cb ac ) 0; ƢƠNG V 1) 2) e) a b (a – b)2 = a2 – b2 Hay b a (a – b)2 = a2 – b2 phải a,f g) Cách sửa Cách sửa 3) 4) bỏ “2” mệnh đề đầu sửa mệnh đề sau thành “… khơng có nghiệm” a) “ABCD hình bình hành”  “A,B,C,D  đƣờng trịn” c) “AD khơng phân giác”  “AD không đƣờng cao” f) (x > 4)  ((x < 5)  (x = 5)) không b e) “ABC tam giác vuông”  “DEF tam giác vuông”  “hai tam giác ABC DEF đồng dạng” 5) phép tuyển  a 6) Có đƣợc BC = BH + HC H  cạnh BC 7) điều kiện đủ 8) dẫn đến MO  (ABCD) sai 9) sai luận f(x) đồng biến , g(x) nghịch biến D 10) điều kiện cần (do (2) đẳng thức) ; phép tuyển chọn  b,c,d - 148 - Logic toán (sách tham khảo) TÀ L ỆU T M ẢO Hoàng Chúng, Những vấn đề logic mơn tốn trường phổ thơng trung học sở, Nxb Giáo dục, 1997 Trần Diên Hiển (chủ biên), Cơ sở lý thuyết tập hợp logic toán, Dự án phát triển giáo viên tiểu học Bộ Giáo dục đào tạo, 2007 Nguyễn Đức Đồng – Nguyễn văn Vĩnh, Logic tốn, Nxb Thanh Hóa, 2001 Nguyễn Anh Tuấn, Gíao trình lơgic tốn lịch sử toán học, Nxb ĐHSP, 2012 Nguyễn Bá Kim (cb), Phương pháp dạy học đại cương mơn Tốn, Dự án đào tạo giáo viên THCS Bộ Giáo dục đào tạo, Nxb ĐHSP, 2005 Phạm Gia Đức (cb), Gíao trình phương pháp dạy học nội dung mơn Toán, Dự án đào tạo giáo viên THCS Bộ Giáo dục đào tạo, Nxb ĐHSP, 2007 Lê Văn Tiến, Phương pháp dạy học mơn tốn trường phổ thông, Nxb ĐHSP tpHCM, 2005 Nguyễn Đức Dân, Logic tiếng Việt, Nxb Giáo dục, 1996 Nguyễn Bá Đơ … , Các câu chuyện tốn học, tập ba (khẳng định phủ định), Nxb Giáo dục, 2001 10 Sách giáo khoa Toán THCS (lớp 6,7,8,9) THPT (lớp 10,11,12 nâng cao), Nxb Giáo dục, 2009 11 Tạp chí Giáo dục 12 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - 149 - ... LIỆU THAM KHẢO - 149 - -5- Logic toán (sách tham khảo) -6- Logic toán (sách tham khảo) MỞ ĐẦU Quyển sách tham khảo ? ?Logic toán? ?? nhằm mục đích : - Trình bày kiến thức Logic toán -... hiệu đính sách hồn thiện NHĨM TÁC GIẢ -7- Logic toán (sách tham khảo) -8- Logic toán (sách tham khảo) ƢƠNG ĐẠ SỐ MỆN ĐỀ  Nội dung trọng tâm:  Thế mệnh đề, chân trị mệnh đề, phép toán mệnh.. .Logic toán (sách tham khảo) -2- Logic toán (sách tham khảo) MỤC LỤC MỞ ĐẦU - CHƯƠNG ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ