Lời giải navier phân tích ổn định và dao động riêng tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng bão hòa chất lỏng đặt trên nền đàn hồi pasternak

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, ĐHXDHN, 2021, 15 (5V): 1–14 LỜI GIẢI NAVIER PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG TẤM CHỮ NHẬT BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG BÃO HÒA CHẤT LỎNG ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI PASTERNAK Nguyễn Văn Longa,∗, Trần Minh Túa , Vũ Thị Thu Trangb a Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam b Khoa Cơ khí, Đại học Hàng hải Việt Nam, 484 đường Lạch Tray, quận Lê Chân, TP Hải Phòng, Việt Nam Nhận ngày 04/08/2021, Sửa xong 23/08/2021, Chấp nhận đăng 30/08/2021 Tóm tắt Bài báo phân tích ứng xử ổn định dao động riêng chữ nhật vật liệu rỗng - FGP (functionally graded porous material) chứa đầy chất lỏng đặt đàn hồi Pasternak Các tính chất học vật liệu rỗng biến đổi trơn theo chiều dày với ba dạng phân bố lỗ rỗng: đều, không đối xứng không bất đối xứng Quan hệ ứng suất - biến dạng xác định theo lý thuyết đàn hồi cho vật liệu rỗng Biot Các phương trình quan hệ nghiệm giải tích sử dụng lời giải Navier thiết lập sở lý thuyết biến dạng cắt bậc Ảnh hưởng quy luật phân bố lỗ rỗng, hệ số rỗng tham số hình học, đàn hồi, hệ số Skempton đến tải trọng tới hạn tần số dao động riêng chữ nhật FGM rỗng đánh giá cụ thể Kết cho thấy khác biệt ứng xử FGP lỗ rỗng chứa đầy chất lỏng so với không chứa chất lỏng Từ khố: phân tích ổn định; phân tích dao động riêng; FGP; vật liệu rỗng; bão hòa chất lỏng; lời giải Navier BUCKLING AND FREE VIBRATION ANALYSIS OF SATURATED FUNCTIONALLY GRADED POROUS PLATE RESTED ON PASTERNAK ELASTIC FOUNDATION BY USING NAVIER’S SOLUTION Abstract This paper analyses buckling and free vibration response of saturated functionally graded porous (FGP) plate resting on Pasternak’s elastic foundation The materials properties are assumed to vary smoothly along the thickness direction according to three porosity distribution patterns: uniform, non-uniform (symmetric and asymmetric) The stress-strain relations are performed by using Biot’s poroelasticity theory Based on firstorder shear deformation theory, constitutive equations and Navier’s solution are obtained The effects of porosity distribution patterns, porosity coefficient, geometrical parameters, elastic foundation as well as Skempton coefficient on critical loads and natural frequencies are evaluated in detail The results show a difference in the mechanical behavior of FGP plates when the pores are filled with saturated fluid in comparison with when the pores are not filled with fluid Keywords: buckling analysis; free vibration analysis; functionally graded porous plate; saturated fluid; Navier’s solution https://doi.org/10.31814/stce.huce(nuce)2021-15(5V)-01 © 2021 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội (ĐHXDHN) ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: longnv@nuce.edu.vn (Long, N V.) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Mở đầu Vật liệu rỗng (porous materials) nhận ý giới chun mơn tồn cầu loại vật liệu tiên tiến sử dụng nhiều kỹ thuật hàng không, công nghiệp ô tô xây dựng dựng dân dụng sở hữu nhiều đặc tính trội như: trọng lượng nhẹ, khả tiêu tán lượng tốt, hệ số dẫn nhiệt dẫn điện thấp, dễ gia công tái chế Loại vật liệu gồm hai pha: pha rắn pha lỏng khí, thường tồn tự nhiên gỗ, đá, lớp cát, [1] Trong cấu trúc vật liệu, lỗ rỗng phân bố liên tục khơng gian, làm cho tính vật liệu thay đổi trơn liên tục theo phương định, vật liệu xếp vào loại vật liệu có tính biến thiên (functionally graded porous material – FGP) Biot [2] coi người tiên phong đề xuất lý thuyết đàn hồi cho vật liệu rỗng (poroelasticity) Lý thuyết đưa hai luận điểm chính: a) ứng suất lỗ rỗng tăng làm giãn nở lỗ rỗng; b) nén lỗ rỗng làm tăng áp suất Cấu trúc rỗng vật liệu có mặt chất lỏng hay khí lỗ rỗng làm thay đổi đặc trưng vật liệu rỗng so với vật liệu truyền thống Chính vậy, việc nghiên cứu ứng xử học kết cấu vật liệu rỗng đề tài thu hút quan tâm nhà khoa học khắp giới Một số nghiên cứu lựa chọn bỏ qua ảnh hưởng pha lỏng mà phân tích ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng hệ số rỗng đến ứng xử tĩnh động kết cấu dầm FGP Magnucki Stasiewicz [3] nghiên cứu ổn định đàn hồi dầm FGP theo mô hình dầm Euler-Bernoulli phương pháp giải tích Long Hường [4] xây dựng nghiệm giải tích hiển phân tích ổn định cho dầm FGP với dạng điều kiện biên khác Chen cs [5] phân tích ổn định đàn hồi ứng xử uốn dầm FGP theo mơ hình dầm Timoshenko Sử dụng lý thuyết dầm bậc nhất, Kitipornchai cs [6] khảo sát ứng xử ổn định đặc trưng dao động dầm FGP gia cường GPL (graphene nanoplatelet) phương pháp Ritz Magnucki cs [7] khảo sát ứng xử uốn ổn định chữ nhật FGP sử dụng hàm chuyển vị phi tuyến có kể đến ảnh hưởng biến dạng cắt, lực nén mặt trung bình theo hai phương xem xét với toán ổn định Thang cs [8] phân tích ổn định đàn hồi dao động riêng chữ nhật FGP theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, sử dụng dạng nghiệm Navier Cong cs [9] phân tích phi tuyến ổn định nhiệt sau ổn định FGM có vi bọt rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Reddy Các nghiên cứu ảnh hưởng áp suất chất lỏng lỗ rỗng đến ứng xử uốn, dao động ổn định kết cấu sử dụng vật liệu FGP bão hòa chất lỏng thực năm gần Leclaire cs [10] nghiên cứu dao động uốn mỏng FGP bão hòa chất lỏng Mojahedin cs [1, 11] khảo sát ứng xử ổn định học ổn định nhiệt tròn FGP bão hòa chất lỏng sở lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Xiang cs [12] sử dụng lý thuyết đàn hồi Biot nghiên cứu đặc trưng động lực học mỏng chữ nhật FGP bão hòa chất lỏng với điều kiện biên khác Sử dụng dạng nghiệm Levy, Rezaei Saidi [13] phân tích dao động tự dày FGP bão hòa chất lỏng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Trên sở lý thuyết biến dạng cắt bậc cao lý thuyết đàn hồi Biot, Arani cs [14] tính tốn tần số dao động riêng chữ nhật FGP đặt đàn hồi Pasternak Bằng phương pháp vi phân cầu phương tổng quát (generalized differential quadrature method), Khouzestani Khorshidvand [15] phân tích ứng suất dao động riêng FGP hình vành khun bão hịa chất lỏng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc Lixian [16] khảo sát đặc trưng động lực học chữ nhật FGP bão hòa chất lỏng, tựa khớp chu vi Từ phân tích tổng quan nêu trên, thấy nghiên cứu ảnh hưởng áp suất chất lỏng đến ứng xử uốn, dao động ổn định kết cấu FGP bão hịa chất lỏng cịn có nhiều vấn đề đào sâu, làm phong phú thêm Với góc nhìn này, báo xây dựng nghiệm giải tích tính toán tải trọng tới hạn tần số dao động riêng chữ nhật FGP bão hòa chất lỏng tựa Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng khớp chu vi Lý thuyết biến dạng cắt bậc lý thuyết đàn hồi Biot sử dụng để thiết lập hệ phương trình chuyển động sở nguyên lý Hamilton Sau kiểm chứng nghiệm Navier thiết lập chương trình tính Matlab tự viết, ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số nên đàn hồi hệ số Skempton đến tải trọng tới hạn tần số dao động khảo sát Mơ hình vật liệu rỗng Xét chữ nhật vật liệu rỗng có chiều dày h, kích thước theo phương trục x, y a (chiều dài), b (chiều rộng) Tấm đặt đàn hồi Pasternak (Hình 1) với hệ số nền: Kw hệ số độ cứng uốn (Winkler stiffness), K si (i = x, y) hệ số độ cứng cắt (shear stiffness) Hình Mơ hình chữ nhật vật liệu rỗng đàn hồi Các số vật liệu biến thiên liên tục theo chiều dày tấm, phụ thuộc vào mật độ phân bố lỗ rỗng, giả thiết tuân theo quy luật sau [17, 18]: - Phân bố đều: {E, G} = {E1 , G1 } (1 − e0 χ) ; ρ = ρ1 − e0 λ; χ= 1 − e e0 π − e0 − +1 π (1) - Phân bố không đối xứng: πz ; h ρ(z) = ρ1 − em cos πz h (2) πz π {E(z), G(z)} =, {E, 1r, G1 } 1, −,er0 cos + ; 2h ρ(z) = ρ1 − em cos πz π + 2h (3) {E(z), G(z)} = {E1 , G1 } − e0 cos - Phân bố khơng bất đối xứng: đó: E1 , G1 , ρ1 E2 , G2 , ρ2 giá trị lớn nhỏ mô đun đàn hồi kéo conts nén, mô đun đàn hồi trượt (Gi = Ei / [2 (1 + ν)] ; i = 1; 2) khối lượng riêng Hệ số Poisson coi e không thay đổi theo tọa độ chiều dày: ν = conts Hệ số mật độ lỗ rỗng e0 xác định bởi: e0 = − E2 /E1 = − G2 /G1 ; em = − ρ2 =1− ρ1 − e0 (0 < e0 , em < 1) (4) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Trường chuyển vị biến dạng Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc - FSDT (First-order Shear Deformation Theory), thành phần chuyển vị u, v, w điểm có tọa độ (x, y, z) không gian biểu diễn dạng [19]: u (x, y, z, t) = u0 (x, y, t) + zθ x (x, y, t) v (x, y, z, t) = v0 (x, y, t) + zθy (x, y, t) (5) w (x, y, z, t) = w0 (x, y, t) t biến thời gian; u0 , v0 , w0 thành phần chuyển vị điểm mặt trung bình theo phương x, y, z; θ x , θy góc xoay pháp tuyến mặt trung bình quanh hai trục y, x Các thành phần biến dạng tuyến tính nhận từ quan hệ biến dạng chuyển vị:   εx    εy     γ xy     u0,x       v0,y =         u +v 0,y 0,x     θ x,x       θy,y + z         θ +θ x,y y,x      ;     γ xz γyz = w0,x + θ x w0,y + θy (6) Dấu (,) kèm thành phần chuyển vị đạo hàm riêng theo biến tương ứng Các hệ thức quan hệ - hệ phương trình chủ đạo Đối với vật liệu FGP lỗ rỗng chứa chất lỏng, quan hệ ứng suất-biến dạng tuân theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính cho vật liệu rỗng Biot [20]: σi j = 2Gεi j + λu θδi j − pαδi j ; (7) i, j = 1, 2, đó: σi j εi j tương ứng thành phần ứng suất biến dạng; δi j số Kronecker; θ = ε x + εy + εz biến dạng thể tích tỷ đối; α hệ số Biot ứng suất hiệu dụng; p áp suất chất lỏng lỗ rỗng; λu số Lame Các hệ số xác định bởi: p = M (ξ − αθ) ; α=1− 2νu G; λu = − 2νu 2G (νu − ν) − 2νu ) (1 − 2ν) ν + αB (1 − 2ν) /3 νu = − αB (1 − 2ν) /3 G ; G1 M= α2 (1 (8) đó: ξ biến thiên thể tích chất lỏng, M mô đun Biot, νu hệ số Poisson bão hòa nước, < B < hệ số Skempton phản ánh khả nén chất lỏng Với bão hòa nước (ξ = 0), bỏ qua ứng suất pháp theo phương chiều dày (σz = 0), quan hệ ứng suất – biến dạng (7) viết lại dạng ma trận:   σx    σy     σ xy     Q11 Q12      Q21 Q22 =      0 Q66  εx       εy      γ xy      ;     σ xz σyz = Q55 0 Q44 γ xz γyz đó: Q11 = Q22 = k1G(z); Q12 = Q21 = k2G(z); Q44 = Q55 = Q66 = G(z); k1 = k2 = −ν + 2νu (1 − ν) − 3νu + 2νu ν (9) − 4ν + 2νu ; − 3νu + 2νu ν Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tích phân thành phần ứng suất theo chiều dày ta nhận thành phần nội lực:   Nx    Ny     N xy      =     h/2   −h/2 σx    σy     σ xy      dz;       Mx    My     M xy      =     h/2   −h/2 σx    σy     σ xy      zdz;     h/2 Q xz Qyz σ xz σyz = kc dz (10) −h/2 với kc hệ số hiệu chỉnh cắt (trong phân tích lấy kc = 5/6) Hệ phương trình cân động theo lý thuyết biến dạng cắt bậc có dạng [21]: N x,x + N xy,y = I0 uă + I0 ă x ; N xy,x + Ny,y = I0 vă + I0 ăy (11) Q xz,x + Qyz,y + N x0 w0,xx + 2N xy w0,xy + Ny0 w0,yy + q + fe = I0 wă M x,x + M xy,y Q xz = I1 uă + I2 ă x ; M xy,x + My,y Qyz = I1 vă + I2 ăy h/2 ú: N x0 , Ny0 , N xy thành phần lực dọc màng; mơ men qn tính: Ii = ρ(z)zi dz; (i = 0, −h/2 1, 2); fe phản lực nền, xác định [22, 23]: fe = −Kw w0 + K sx w0,xx + K sy w0,yy Thay liên hệ thành phần nội lực chuyển vị vào (11), ta hệ phương trình cân theo chuyển vị: A11 u0,xx + A66 u0,yy + (A12 + A66 ) v0,xy +B11 θ x,xx + B66 θ x,yy + (B12 + B66 ) y,xy = I0 uă + I0 ă x (A12 + A66 ) u0,xy + A11 v0,yy + A66 v0,xx + (B12 + B66 ) θ x,xy + B11 θy,yy + B66 θy,xx = I0 vă + I0 ăy s s s s A44 w0,yy + A44 w0,xx + A44 θ x,x + A44 θy,y +N x0 w0,xx + 2N xy w0,xy + Ny0 w0,yy − Kw w0 + K sx w0,xx + K sy w0,yy + q = I0 wă (12) B11 u0,xx + B66 u0,yy + (B12 + B66 ) v0,xy s x + w0,x = I1 uă + I2 ă x +D11 x,xx + D66 x,yy + (D12 + D66 ) θy,xy − A44 (B66 + B12 ) u0,xy + B66 v0,xx + B11 v0,yy s y + w0,y = I1 vă + I2 ăy + (D66 + D12 ) x,xy + D66 θy,xx + D11 θy,yy − A44 h/2 h/2 đó: Ai j , Bi j , Di j = Qi j 1, z, z dz; i j = s 11, 12, 66; A44 = kc Q44 dz −h/2 −h/2 Lời giải Navier Xét chữ nhật vật liệu rỗng có chiều dài a chiều rộng b liên kết khớp cạnh, chịu tác = Trong phân tích ổn dụng tải trọng nén theo hai phương: N x0 = γ1 N0 , Ny0 = γ2 N0 , N xy định dao động riêng đây, tải trọng uốn bỏ qua (q = 0) Các biểu thức điều kiện biên theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, bao gồm: Tại x = 0, a : v0 = 0, w0 = 0, θy = 0, N x = 0, M x = Tại y = 0, b : u0 = 0, w0 = 0, θ x = 0, Ny = 0, My = (13) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn điều kiện biên (13): ∞ ∞ u0 = ∞ u0mn e iωt ∞ v0mn eiωt sin αx cos βy cos αx sin βy; v0 = m=1 n=1 m=1 n=1 ∞ ∞ (14) w0mn eiωt sin αx sin βy w0 = m=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ θ xmn eiωt cos αx sin βy; θy = θx = m=1 n=1 θymn eiωt sin αx cos βy m=1 n=1 đó: u0mn , v0mn , w0mn , θ xmn , θymn hệ số cần tìm; α = nπ mπ ,β = ; m, n số nửa bước sóng a b hình sin theo phương x, y phản ánh dạng vồng Thay (14) vào hệ phương trình cân theo chuyển vị (12), nhóm hệ số để hệ phương trình đại số tuyến tính, ∀m, n:          m14   u0mn   s14 s15   m11  s11 s12                             m 0 m v s s s s   21 22 22 25  0mn 24 25                            0 m 0 w 0 s + k N s s = − ω         33 0mn 33 33 34 35                      s41 s42         m 0 m θ s s s     xmn 41 44 43 44 45                           m52 0 m55 θymn  s51 s52 s53 s54 s55 (15) đó: s11 = A11 α2 + A66 β2 ; s12 = s21 = (A12 + A66 ) αβ; s14 = s41 = B11 α2 + B66 β2 ; s15 = s51 = (B12 + B66 ) αβ; s22 = A66 α2 + A11 β2 ; s24 = s42 = (B12 + B66 ) αβ; s25 = B66 α2 + B11 β2 ; s s s s33 = A44 α + A66 β2 + Kw + K sx α2 + K sy β2 ; s34 = A44 α; s35 = A66 β; s44 = D11 α2 + D66 β2 + A44 ; 2 s45 = s54 = (D12 + D66 ) αβ; s55 = D66 α + D11 β + A66 ; m11 = m22 = m33 = I0 ; m14 = m41 = m25 = m52 = I1 ; m44 = m55 = I2 ; k33 = γ1 α2 + γ2 β2 Trong phân tích ổn định, cho ω = ta xác định tải trọng ổn định từ điều kiện: s11 s21 det s41 s51 s12 s22 s42 s52 0 s33 + k33 N0 s43 s53 s14 s24 s34 s44 s54 s15 s25 s35 s45 s55 =0 (16) Nghiệm phương trình Nmn : tải trọng ổn định ứng với dạng ổn định (m, n); tải trọng tới hạn giá trị nhỏ tải trọng ổn định: Nth = {Nmn } Trong phân tích dao động riêng, cho N0 = ta xác định tần số dao động riêng từ điều kiện:     m14   s11 s12 s14 s15   m11     m25   s21 s22 s24 s25   m22  s33 s34 s35  − ω2  0 m33 0  = det  (17)     m44   s41 s42 s43 s44 s45   m41  s51 s52 s53 s54 s55 m52 0 m55 Nghiệm phương trình ω2mn , từ suy ωmn : tần số góc dao động riêng ứng với dạng dao động (m, n); tần số góc dao động riêng xác định bởi: ωcb = {ωmn } Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Kết số thảo luận Với nghiệm giải tích thiết lập phần trên, chương trình tính Matlab viết để thực ví dụ số Tấm chữ nhật vật liệu rỗng, đặt đàn hồi Pasternak, liên kết khớp cạnh Vật liệu rỗng bọt nhôm với đặc trưng học bao gồm: ν = 0,3; ρ1 = 2707 kg/m3 ; G1 = 26,293 GPa; E1 = 2G1 (1 + ν) [24] Các công thức không thứ nguyên sử dụng: a2 N¯ = Nth ; E1 h3 ω ¯ = ωh ρ1 ; E1 K0 = Kw a4 ; E0 h3 J0 = K sx a2 b2 = K sy E0 h3 ν E0 h3 ν (18) 6.1 Ví dụ kiểm chứng a Kiểm chứng tải trọng tới hạn rỗng trạng thái khô Xét vuông vật liệu rỗng, trạng thái khô (b/a = 1, a/h = 10, B = 0) với hệ số rỗng e0 khác Bảng bao gồm tải trọng tới hạn không thứ nguyên N¯ tác dụng tải trọng nén theo phương x (γ1 = 1, γ2 = 0) Hai quy luật phân bố lỗ rỗng xem xét bao gồm: phân bố phân bố không đều-đối xứng Các kết báo so sánh với kết Thang cs [8] sử dụng lời giải Navier lý thuyết biến dạng cắt bậc FSDT Bảng Tải trọng tới hạn không thứ nguyên N¯ vuông vật liệu rỗng tác dụng tải nén theo phương x Phân bố lỗ rỗng Nguồn Đều Không đều-Đối xứng e0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Thang cs [8] Bài báo Sai số (%) 3,2109 3,2023 0,268 2,9856 2,9777 0,265 2,7549 2,7475 0,269 2,5173 2,5105 0,270 2,2710 2,2650 0,264 2,0135 2,0081 0,268 Thang cs [8] Bài báo Sai số (%) 3,3023 3,2933 0,273 3,1729 3,1640 0,281 3,0432 3,0343 0,292 2,9130 2,9041 0,306 2,7822 2,7733 0,320 2,6506 2,6417 0,336 Có thể thấy rằng, kết tính tốn tải trọng tới hạn báo có tương đồng với tác giả Thang cs [8] (sai số lớn e0 = 0,6 trường hợp phân bố không đều-đối xứng 0,336%) Các sai lệch nghiên cứu Thang cs [8], họ giả thiết loại bỏ thành phần chuyển vị màng u0mn , v0mn trình xác định tải trọng giới hạn b Kiểm chứng tải trọng tới hạn rỗng trạng thái bão hòa nước Các kết tính tốn tải trọng tới hạn cho vuông (a = b = m) vật liệu rỗng phân bố bất đối xứng, trạng thái bão hòa chất lỏng: G1 = 24 GPa; v = 0,25; B = 0,51 [25] trình bày Bảng Tấm chịu tác dụng tải trọng nén cạnh hai trường hợp: nén theo phương x (γ1 = 1, γ2 = 0) nén theo hai phương x, y (γ1 = γ2 = 1) Từ số liệu bảng tính, thấy với hệ số lỗ rỗng e0 khác hai trường hợp tỷ số kích thước h/a, kết báo tiệm cận với kết nghiệm giải tích Rad cs [26] sử dụng lý thuyết FSDT nhiên theo tiếp cận Levy Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng Tải trọng tới hạn Nth (MN/m) vuông vật liệu rỗng phân bố bất đối xứng, bão hòa chất lỏng (γ1 , γ2 ) h/a Nguồn 0,1 e0 0,3 0,5 0,7 Rad cs [26] Bài báo Sai số (%) 200,023 200,023 0,000 167,163 167,390 0,136 141,292 141,600 0,218 109,823 110,122 0,272 0,2 Rad cs [26] Bài báo Sai số (%) 1391,442 1391,442 0,000 1157,871 1163,338 0,472 978,262 985,700 0,760 764,934 772,221 0,953 0,1 Rad cs [26] Bài báo Sai số (%) 100,011 100,011 0,000 83,582 83,695 0,135 70,646 70,800 0,218 54,912 55,061 0,271 0,2 Rad cs [26] Bài báo Sai số (%) 695,721 695,721 0,000 578,936 581,669 0,472 489,131 492,850 0,760 382,467 386,110 0,953 γ1 = 1, γ2 = γ1 = γ2 = c Kiểm chứng tần số dao động rỗng trạng thái khô Bảng bao gồm tần số dao động không thứ nguyên ω ¯ vuông vật liệu rỗng phân bố bất đối xứng, với hai trường hợp tỷ số kích thước tấm: a/h = a/h = 10 Các kết tính tốn báo kiểm chứng với nghiên cứu Rezaei Saidi [24] sử dụng phương pháp không gian trạng thái, nghiên cứu Thang cs [8] sử dụng phương pháp giải tích với dạng nghiệm Navier Bảng Tần số không thứ nguyên ω ¯ vuông vật liệu rỗng phân bố bất đối xứng Nguồn e0 = 0,1 e0 = 0,3 e0 = 0,5 e0 = 0,7 Rezaei Saidi [24] Thang cs [8] Bài báo Sai số (%) a/h = 0,2091 0,2138 0,2082 0,427 0,2020 0,2067 0,2013 0,335 0,1931 0,1978 0,1926 0,259 0,1804 0,1853 0,1803 0,069 Rezaei Saidi [24] Thang cs [8] Bài báo Sai số (%) a/h = 10 0,0570 0,0574 0,0569 0,189 0,0551 0,0555 0,0550 0,131 0,0526 0,0531 0,0526 0,004 0,0491 0,0495 0,0491 0,092 *Sai số so với kết Rezaei Saidi [24] Các kết tính tốn tần số dao động báo cho thấy tương đồng với công bố Rezaei Saidi, Thang cs (sai số lớn so với Rezaei Saidi e0 = 0,1 a/h = 0,427%) Các kết Thang cs lớn chút so với kết báo Rezaei Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Saidi, lý nghiên cứu tác giả bỏ qua thành phần chuyển vị màng góc xoay việc xác định tần số dao động riêng d Kiểm chứng tần số dao động rỗng trạng thái bão hòa nước Với chữ nhật vật liệu rỗng phân bố bất đối xứng, trạng thái bão hòa chất lỏng, kết kiểm chứng tần số dao động không thứ nguyên ω ¯ trình bày Bảng Tấm vuông vật liệu rỗng, phân bố không đều-bất đối xứng: E1 = 69 GPa; ρ1 = 2260 kg/m3 ; v = 0,25 [10]; e0 = 0; K0 = J0 = 0) liên kết khớp cạnh, với tỷ số kích thước a/h = 5; 10; 20 Bảng Tần số không thứ nguyên ω ¯ vuông vật liệu rỗng phân bố bất đối xứng, bão hòa chất lỏng B Nguồn a/h = a/h = 10 a/h = 20 0,1 Ebrahim Habibi [27] Bài báo Sai số (%) 0,21275 0,21276 0,005 0,05783 0,05812 0,501 0,01473 0,01491 1,222 0,3 Ebrahim Habibi [27] Bài báo Sai số (%) 0,21563 0,21577 0,065 0,05876 0,05894 0,306 0,01495 0,01512 1,137 0,5 Ebrahim Habibi [27] Bài báo Sai số (%) 0,21857 0,21865 0,037 0,05954 0,05973 0,319 0,01526 0,01532 0,393 0,7 Ebrahim Habibi [27] Bài báo Sai số (%) 0,22162 0,22142 0,090 0,06055 0,06048 0,116 0,01549 0,01552 0,194 Các kết báo so sánh với tác giả Ebrahimi Habibi [27] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba-TSDT gồm ẩn số chuyển vị Reddy [28] Rõ ràng là, với trường hợp tỷ số kích thước a/h hệ số Skempton khác nhau; kết báo phù hợp với kết Ebrahim Habibi (sai số lớn hai phương pháp 1,222%) Qua kết kiểm chứng cho hai tốn phân tích tải trọng tới hạn tần số dao động trên, thấy rằng, nghiệm giải tích xây dựng báo code chương trình máy tính thiết lập ngơn ngữ Matlab có độ tin cậy 6.2 Khảo sát ổn định Xét chữ nhật vật liệu rỗng (bọt nhơm), bão hịa nước, đặt đàn hồi, tác dụng tải trọng nén theo hai phương: N x0 = γ1 N0 , Ny0 = γ2 N0 Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N¯ chữ nhật vật liệu rỗng (a/h = 10; b/a = 1,5; K0 = J0 = 0; B = 0,5) theo hệ số rỗng e0 với ba quy luật phân bố lỗ rỗng thể đồ thị Hình Ba quy luật phân bố lỗ rỗng: phân bố đều, phân bố đối xứng phân bố bất đối xứng; hai trường hợp tải trọng nén xem xét bao gồm: tải nén theo phương (phương x: γ1 = 1, γ2 = 0) tải nén theo phương x, y (γ1 = γ2 = 1) Các kết cho thấy, tăng hệ số rỗng e0 , với hai trường hợp tải trọng nén, tải trọng tới hạn không thứ nguyên N¯ giảm: giảm theo quy luật gần tuyến tính phân Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng bố đối xứng; giảm nhanh hơn, phi tuyến đối hai quy luật phân bố bất đối xứng (hai quy luật cho kết tải trọng tới hạn gần với hệ số rỗng e0 ) (a) (a) γ1 = 1, γ2 = (b) γ1 = γ2 = Hình Ảnh hưởng N củaNquy luật phân bố hệ số lỗ rỗng lên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N¯ rỗng N Hình thể ảnh hưởng hệ số Skempton, B hệ số rỗng e0 lên tải trọng tới hạn thứ nguyên N¯ chữ nhật vật liệu rỗng, phân bố bất đối xứng (a/h = 10; b/a = 1,5; K0 = J0 = 0; γ1 = 1, γ2 = 0) Có thể thấy rằng, B tăng, với hệ số rỗng e0 , tải trọng tới hạn N¯ vật liệu rỗng tăng nhẹ với quy luật gần tuyến tính; ảnh hưởng hệ số Skempton, B đáng kể e0 lớn Ví dụ, với e0 = 0,95, B = 0: N¯ = 0,443; B = 1: N¯ = 0,543 (tăng 22,567%) N NN NN NN HìnhN3.NBiến thiên tải trọng tới hạn khơng thứ nguyên ¯ N rỗng phân bố bất đối xứng theo B e0 Hình Ảnh hưởng kích thước hình học lên tải trọng tới hạn khơng thứ nguyên N¯ rỗng phân bố bất đối xứng NN N Hình thể ảnh hưởng kích thước hình học (tỷ số kích thước a/h tỷ số kích thước cạnh b/a) lên tải trọng tới hạn không thứ nguyên vật liệu rỗng, phân bố bất đối xứng (K0 = J0 = 0; B = 0,5; e0 = 0,5; γ1 = 1, γ2 = 0) Rõ ràng là, tải trọng tới hạn không thứ nguyên N¯ 10 N N Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng vật liệu rỗng giảm tăng tỷ số kích thước cạnh b/a, lực tới hạn giảm nhanh b/a ≤ 2, sau giảm chậm dần Tỷ số kích thước a/h có ảnh hưởng đáng kể lên lực tới hạn không thứ nguyên ¯ N¯ b/a nhỏ (tỷ số a/h tăng làm tăng N) Ví dụ: với b/a = 0,3, tăng tỷ số kích thước từ a/h = 10 đến a/h = 50, lực tới hạn không thứ nguyên tăng từ N¯ = 16,942 lên N¯ = 28,723 (tăng 69,533%); đó, kết tương ứng với trường hợp b/a = 4, lực tới hạn N¯ tăng 2,855% Đồ thị so sánh ảnh hưởng tham số Hình Ảnh hưởng hệ số đàn hồi lên đàn hồi lên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N¯ ¯ tải trọng tới hạn không N thứ nguyên N rỗng vật liệu rỗng, phân bố bất đối xứng (a/h = 10; b/a = 1,5; B = 0,5; e0 = 0, 5; γ1 = 1, γ2 = 0) thể Hình Qua ta thấy,Nkhi tăng hệ số đàn hồi (tăng K0 , J0 ) làm cho tải trọng tới hạn không thứ nguyên N¯ tăng; hệ số Pasternak, J0 tăng, làm cho tải trọng tới hạn N¯ tăng gần tuyến tuyến tính, nhanh so với hệ số Winker, K0 6.3 Khảo sát dao động riêng Xét chữ nhật vật liệu rỗng (bọt nhơm), bão hịa nước, đặt đàn hồi, dao động tự môi trường không cản Các đồ thị Hình 6–9 tương ứng thể ảnh hưởng quy luật phân bố lỗ rỗng, hệ số lỗ rỗng e0 ; hệ số Skempton, B; kích thước hình học hệ số đàn hồi lên tần số dao động không thứ nguyên ω ¯ rỗng Các kết cho thấy: - Về ảnh hưởng phân bố lỗ rỗng hệ số lỗ rỗng (xem Hình 6): tăng hệ số rỗng e0 , phân bố lỗ rỗng bất đối xứng có tần số khơng thứ nguyên ω ¯ giảm với quy luật trị số gần sau, đó, phân bố đối xứng lại cho kết tần số không thứ nguyên ω ¯ tăng Điều lý giải mối tương quan hiệu ứng khối lượng hiệu ứng độ cứng uốn Hình Biến thiên tần số không thứ nguyên ω ¯ rỗng phân bố bất đối xứng theo B e0 Hình Ảnh hưởng quy luật phân bố hệ số lỗ rỗng lên tần số không thứ nguyên ω ¯ rỗng w 11 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng hệ số rỗng tăng dạng phân bố lỗ rỗng riêng biệt Trong toán cụ thể tương quan phụ thuộc vào hình dạng, kích thước tấm, điều kiện biên vật liệu, điều định tần số dao động riêng tăng hay giảm hệ số lỗ rỗng tăng - Về ảnh hưởng hệ số Skempton (xem Hình 7, a/h = 10; b/a = 1,5; K0 = J0 = 0): B tăng, với hệ số rỗng e0 , tần số không thứ nguyên ω ¯ vật liệu rỗng tăng nhẹ với quy luật gần tuyến tính; ảnh hưởng hệ số Skempton, B đáng kể e0 lớn Ví dụ, với e0 = 0,95, B = 0: ω ¯ = 0,0292; B = 1: ω ¯ = 0,324 (tăng 10,731%) Hình Ảnh hưởng kích thước hình học lên tần số khơng thứ ngun ω ¯ rỗng Hình Ảnh hưởng hệ số đàn hồi lên tần số không thứ nguyên ω ¯ rỗng w w - Về ảnh hưởng w kích thước hình học (xem Hình 8, K0 = J0 = 0; B = 0,5; e0 = 0,5): Có thể thấy rằng, tăng tỷ số kích thước cạnh b/a tỷ số kích thước a/h, tần số không thứ nguyên ω ¯ vật liệu rỗng giảm, tần số không thứ nguyên ω ¯ giảm nhanh khoảng b/a a/h cịn nhỏ, sau giảm chậm dần -Về ảnh hưởng đàn hồi (xem Hình 9, a/h = 10; b/a = 1,5; B = 0,5; e0 = 0,5): tăng hệ số đàn hồi (tăng K0 , J0 ) làm tăng giá trị tần số không thứ nguyên ω ¯ tăng; hệ số Pasternak, J0 tăng, làm cho tải trọng tới hạn N¯ tăng nhanh so với hệ số Winker, K0 Kết luận Bài báo xây dựng mơ hình tính tốn tải trọng ổn định tần số dao động riêng rỗng bão hịa nước đặt đàn hồi Nghiệm giải tích thu từ lời giải Navier áp dụng cho chữ nhật, liên kết khớp cạnh, với chương trình tính tự viết Matlab kiểm chứng cho trường hợp riêng rỗng không chứa chất lỏng cho thấy đủ tin cậy Các khảo sát số thực cho phép đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số đàn hồi hệ số Skempton đến tải trọng tới hạn tần số dao động Các kết nhận cho thấy lựa chọn dạng phân bố lỗ rỗng, điều chỉnh mật độ phân bố lỗ rỗng; tham số hình học, đàn hồi độ ẩm tấm, để nhận kết mong muốn cơng tác tính tốn, thiết kế kết cấu làm sử dụng vật liệu rỗng Một điều lý thú rỗng, lỗ rỗng bão hòa nước góp phần tăng độ cứng tổng thể kết cấu dẫn đến tăng khả ổn định tần số dao động 12 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tài liệu tham khảo [1] Mojahedin, A., Jabbari, M., Khorshidvand, A R., Eslami, M R (2016) Buckling analysis of functionally graded circular plates made of saturated porous materials based on higher order shear deformation theory Thin-Walled Structures, 99:83–90 [2] Biot, M A (1955) Theory of Elasticity and Consolidation for a Porous Anisotropic Solid Journal of Applied Physics, 26(2):182–185 [3] Magnucki, K., Szyc, W., Stasiewicz, P (2004) Stress state and elastic buckling of a thin-walled beam with monosymmetrical open cross-section Thin-Walled Structures, 42(1):25–38 [4] Long, N V., Hường, N T (2020) Phân tích ổn định kết cấu dầm vật liệu xốp chịu nén dọc trục với điều kiện biên khác Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD) - ĐHXDHN, 14(2V): 97–106 [5] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2015) Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam Composite Structures, 133:54–61 [6] Kitipornchai, S., Chen, D., Yang, J (2017) Free vibration and elastic buckling of functionally graded porous beams reinforced by graphene platelets Materials & Design, 116:656–665 [7] Magnucki, K., Malinowski, M., Kasprzak, J (2006) Bending and buckling of a rectangular porous plate Steel and Composite Structures, 6(4):319–333 [8] Thang, P T., Nguyen-Thoi, T., Lee, D., Kang, J., Lee, J (2018) Elastic buckling and free vibration analyses of porous-cellular plates with uniform and non-uniform porosity distributions Aerospace Science and Technology, 79:278–287 [9] Cong, P H., Chien, T M., Khoa, N D., Duc, N D (2018) Nonlinear thermomechanical buckling and post-buckling response of porous FGM plates using Reddy's HSDT Aerospace Science and Technology, 77:419–428 [10] Leclaire, P., Horoshenkov, K., Cummings, A (2001) Transverse vibrations of a thin rectangular porous plate saturated by a fluid Journal of Sound and Vibration, 247(1):1–18 [11] Jabbari, M., Hashemitaheri, M., Mojahedin, A., Eslami, M R (2013) Thermal Buckling Analysis of Functionally Graded Thin Circular Plate Made of Saturated Porous Materials Journal of Thermal Stresses, 37(2):202–220 [12] Xiang, Y., Jiang, H., Lu, J (2017) Analyses of dynamic characteristics of a fluid-filled thin rectangular porous plate with various boundary conditions Acta Mechanica Solida Sinica, 30(1):87–97 [13] Rezaei, A., Saidi, A (2015) Exact solution for free vibration of thick rectangular plates made of porous materials Composite Structures, 134:1051–1060 [14] Arani, A G., Maraghi, Z K., Khani, M., Alinaghian, I (2017) Free Vibration of Embedded Porous Plate Using Third-Order Shear Deformation and Poroelasticity Theories Journal of Engineering, 2017:1–13 [15] Khouzestani, L B., Khorshidvand, A R (2019) Axisymmetric free vibration and stress analyses of saturated porous annular plates using generalized differential quadrature method Journal of Vibration and Control, 25(21-22):2799–2818 [16] Lixian, W (2020) Dynamic response analysis of fluid-saturated porous rectangular plates Zeitschrift făur Naturforschung A, 75(12):1009–1023 [17] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2016) Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International Journal of Mechanical Sciences, 108-109:14–22 [18] Barati, M R., Zenkour, A M (2017) Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions Composite Structures, 182:91–98 [19] Reddy, J N (2006) Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells CRC Press [20] Detournay, E., Cheng, A H D (1993) Fundamentals of Poroelasticity Analysis and Design Methods, Elsevier, 113–171 [21] Reddy, J N (2017) Energy principles and variational methods in applied mechanics John Wiley & Sons [22] Zenkour, A M (2009) The refined sinusoidal theory for FGM plates on elastic foundations International Journal of Mechanical Sciences, 51(11-12):869–880 13 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [23] Huang, Z Y., Lău, C F., Chen, W Q (2008) Benchmark solutions for functionally graded thick plates resting on Winkler–Pasternak elastic foundations Composite Structures, 85(2):95–104 [24] Rezaei, A., Saidi, A (2016) Application of Carrera Unified Formulation to study the effect of porosity on natural frequencies of thick porous–cellular plates Composites Part B: Engineering, 91:361–370 [25] Detournay, E., Cheng, A H D (1993) Fundamentals of Poroelasticity Analysis and Design Methods, Elsevier, 113–171 [26] Rad, E S., Saidi, A R., Rezaei, A S., Askari, M (2020) Shear deformation theories for elastic buckling of fluid-infiltrated porous plates: An analytical approach Composite Structures, 254:112829 [27] Ebrahimi, F., Habibi, S (2016) Deflection and vibration analysis of higher-order shear deformable compositionally graded porous plate Steel and Composite Structures, 20(1):205–225 [28] Reddy, J N (2003) Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells CRC Press 14 ... định tần số dao động riêng d Kiểm chứng tần số dao động rỗng trạng thái bão hòa nước Với chữ nhật vật liệu rỗng phân bố bất đối xứng, trạng thái bão hòa chất lỏng, kết kiểm chứng tần số dao động. .. áp suất chất lỏng lỗ rỗng đến ứng xử uốn, dao động ổn định kết cấu sử dụng vật liệu FGP bão hòa chất lỏng thực năm gần Leclaire cs [10] nghiên cứu dao động uốn mỏng FGP bão hòa chất lỏng Mojahedin... báo xây dựng mơ hình tính tốn tải trọng ổn định tần số dao động riêng rỗng bão hòa nước đặt đàn hồi Nghiệm giải tích thu từ lời giải Navier áp dụng cho chữ nhật, liên kết khớp cạnh, với chương trình