Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 14 (4V): 1–15 PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ UỐN CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM XỐP ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI PASTERNAK VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU CĨ XÉT ĐẾN VỊ TRÍ THỰC CỦA MẶT TRUNG HỊA Nguyễn Văn Longa,∗, Trần Minh Túa , Lê Thanh Hảib , Vũ Thị Thu Trangc a Khoa Xây dựng dân dụng công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, số 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam b Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh, số 182 đường Lê Duẩn, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An, Việt Nam c Viện Cơ khí, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam, số 484 đường Lạch Tray, quận Lê Chân, Hải Phòng, Việt Nam Nhận ngày 21/06/2020, Sửa xong 22/07/2020, Chấp nhận đăng 31/08/2020 Tóm tắt Bài báo phân tích phi tuyến tĩnh vật liệu FGM xốp đặt đàn hồi Pasternak, chịu uốn tác dụng tải trọng phân bố vng góc với bề mặt Vật liệu FGM xốp với ba dạng phân bố lỗ rỗng khác nhau: đều, đối xứng, bất đối xứng khảo sát Các phương trình chủ đạo xây dựng sở lý thuyết Mindlin có kể đến yếu tố phi tuyến hình học von Kárman vị trí mặt trung hịa Bằng việc sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin, lời giải giải tích theo phương pháp ứng suất sử dụng hàm Airy thiết lập với điều kiện biên khác Ví dụ kiểm chứng thực qua so sánh với công bố tác giả khác trường hợp vật liệu đẳng hướng Ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học, tham số đàn hồi điều kiện biên đến độ võng thành phần nội lực khảo sát cụ thể qua ví dụ số Từ khố: phân tích uốn phi tuyến; vật liệu FGM xốp; mặt trung hòa; lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất; điều kiện biên khác NONLINEAR BENDING ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED POROUS PLATES RESTING ON PASTERNAK ELASTIC FOUNDATION UNDER VARIOUS BOUNDARY CONDITIONS BASED ON NEUTRAL SURFACE POSITION Abstract In this paper, the static nonlinear bending analysis of functionally graded porous plates resting on Pasternak elastic foundation is presented Porous materials with three different types of porosity distribution: uniform, non-uniform symmetric and non-uniform non-symmetric are considered The governing equations are derived based on Mindlin plate theory and neutral surface position, taking to account von Kárman nonlinearity The Airy’s stress function and Bubnov-Galerkin method are employed to obtained the analytical solution with different boundary conditions The verifications are conducted by comparing with the results published in the available literature for the isotropic plates The effect of material, geometric, elastic foundation parameters, and boundary conditions on deflection, internal force resultants is investigated in detail Keywords: nonlinear bending analysis; functionally graded porous plate; neutral surface position; first-order shear deformation theory; various boundary conditions https://doi.org/10.31814/stce.nuce2020-14(4V)-01 © 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: longnv@nuce.edu.vn (Long, N V.) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Giới thiệu Việc tìm kiếm, nghiên cứu ứng dụng loại vật liệu có tính chất khác biệt dần thay loại vật liệu truyền thống xu thời đại ngày Vật liệu FGM xốp (porous material) biết đến loại vật liệu nhẹ, có khả hấp thụ lượng tốt, thường sử dụng để chế tạo kết cấu sandwich, tường, sàn cách âm, cách nhiệt Ở vật liệu FGM xốp, lỗ rỗng (pore) phân bố theo phương định kết cấu tạo nên thay đổi trơn liên tục đặc trưng học vật liệu Kết cấu sử dụng vật liệu FGM xốp sử dụng rộng rãi nhiều ngành công nghiệp như: hàng khơng, tơ, đóng tàu, xây dựng dân dụng, Vì việc tìm hiểu ứng xử học kết cấu loại vật liệu đề tài hấp dẫn, thu hút quan tâm giới khoa học nước Phuong cs [1] xây dựng nghiệm giải tích phân tích uốn dầm vật liệu có tính biến thiên (FGM) có lỗ rỗng vi mơ Long Huong [2] phân tích ổn định dầm FGM có lỗ rỗng vi mô chịu điều kiện biên khác Thang cs [3] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nghiên cứu ổn định đàn hồi dao động riêng vật liệu FGM xốp với phân bố lỗ rỗng không Lời giải xác cho tần số dao động riêng dày làm vật liệu FGM xốp Rezae Saidi trình bày [4] Arani cs [5] nghiên cứu dao động tự chữ nhật làm vật liệu rỗng Winkler theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba Reddy, tần số dao động xác định phương pháp DQM (differential quadrature method) Rezaei cs [6] phân tích dao động tự FGM có bọt rỗng phân bố không sở lý thuyết với bốn ẩn số chuyển vị Ảnh hưởng vi bọt rỗng đến ứng xử uốn dao động riêng FGM Akbas khảo sát [7] Tu cs [8] phân tích ổn định sau ổn định rỗng khơng hồn hảo dựa lý thuyết cổ điển Các nghiên cứu hầu hết đối tượng chữ nhật vật liệu FGM xốp liên kết khớp chu vi Tấm vật liệu FGM xốp chịu điều kiện biên số tác giả nghiên cứu, chẳng hạn Yang cs [9] phân tích ổn định dao động riêng vật liệu FGM xốp phương pháp Ritz Zhao cs [10] xây dựng lời giải ba chiều xác cho dày FGM có vi bọt rỗng với điều kiện biên đàn hồi Zhao cs [11] sau sử dụng phương pháp chuỗi Fourier cải tiến để phân tich dao động riêng vật liệu FGM xốp có liên kết đàn hồi cạnh Pradhan Chakraverty [12] dùng phương pháp Rayleigh–Ritz lý thuyết mỏng phân tích tĩnh FGM với điều kiện biên khác Demirhan Taskin [13] phân tích uốn dao động riêng FGM có vi bọt rỗng với điều kiện biên Levy Hiện tại, theo hiểu biết tác giả, nghiên cứu phân tích phi tuyến kết cấu vật liệu FGM xốp không nhiều, phân tích phi tuyến chủ yếu áp dụng cho vật liệu đẳng hướng [14–16], vật liệu composite [17, 18] vật liệu FGM [19] Thêm vào đó, nghiên cứu vật liệu FGM xốp với điều kiện biên khác dừng lại tốn phân tích dao động ổn định, chủ yếu phân tích tuyến tính Do vậy, mục đích báo phân tích phi tuyến ứng xử uốn vật liệu FGM xốp đặt đàn hồi Pasternak với điều kiện biên khác Hệ phương trình phi tuyến khảo sát đường cong tải - độ võng thiết lập với tiếp cận theo ứng suất kết hợp phương pháp Bubnov- Galerkin Ảnh hưởng ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, đối xứng bất đối xứng hệ số mật độ lỗ rỗng, điều kiện biên, tham số kích thước tấm, đàn hồi đến độ võng thành phần nội lực khảo sát Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Mơ hình vật liệu FGM xốp Xét chữ nhật vật liệu FGM xốp có chiều dày h, kích thước theo phương trục x, y a (chiều dài), b (chiều rộng) Tấm đặt đàn hồi Pasternak (Hình 1) với hệ số nền: Kw hệ số độ cứng uốn (Winkler stiffness), K si (i = x, y) - hệ số độ cứng cắt (shear stiffness) Hình Mơ hình chữ nhật xốp đàn hồi Các số vật liệu FGM xốp biến thiên liên tục theo chiều dày tấm, phụ thuộc vào mật độ phân bố lỗ rỗng [20, 21]: - Phân bố đều: {E, G} = {E1 , G1 } (1 − e0 χ) ; ) χ= 1 − e0 e0 π - Phân bố đối xứng: − e0 − +1 π (1) πz h (2) πz π + 2h (3) {E(z), G(z)} = {E1 , G1 } − e0 cos - Phân bố bất đối xứng: {E(z), G(z)} = {E1 , G1 } − e0 cos E1 , G1 giá trị lớn mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt; E2 , G2 giá trị nhỏ tương ứng (xem Hình 2) Hệ số Poisson coi khơng thay đổi theo tọa độ chiều dày Hệ số mật độ lỗ rỗng e0 tính theo: e0 = − G2 E2 =1− E1 G1 (4) (0 < e0 < 1) Vị trí mặt trung hịa FGM xốp trường hợp phân bố bất đối xứng không trùng mặt trung bình, xác định từ điều kiện [22]: h/2 h/2 h/2 (z − C) E(z)dz = ⇒ C = zE(z)dz / E(z)dz (5) −h/2 −h/2 −h/2 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (a) Phân bố (b) Phân bố đối xứng (c) Phân bố bất đối xứng Hình Tấm vật liệu rỗng với hàm mật độ phân bố lỗ rỗng khác e ee Lý thuyết biến dạng cắt bậc Sử dụng khái niệm mặt trung hòa, thành phần chuyển vị u, v, w điểm có tọa độ (x, y, zns ) không gian biểu diễn dạng [23]: u(x, y, zns ) = u0 (x, y) + zns θ x (x, y); v(x, y, zns ) = v0 (x, y) + zns θy (x, y); w(x, y, zns ) = w0 (x, y) (6) u0 , v0 , w0 thành phần chuyển vị điểm mặt trung bình theo phương x, y, zns ; θ x , θy góc xoay pháp tuyến mặt trung hòa quanh hai trục y, x Các thành phần biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học von Kármán thể [23]: ε κx ε x x γ0xz γ xz ε κ ε = ; (7) + z = y y ns y γyz γyz γ κ , , w γ xy xy xy , ,w ) ,20,x) ) ε0x w20,y ε0y = u0,x + ; = v0,y + ; γ0xy = u0,y + v0,x + w0,x w0,y ; κ x = θ x,x ; κy = θy,y ; 2 ( , y ); = kèm ( x, thành q qphần 0q q κ xy = θ x,y + θy,x ; γ0xz== w(0,x, y+) θ+xz; γyz = w0,y + θy Dấu (, ) chuyển vị đạo hàm riêng theo biến tương ứng Vật liệu FGM xốp coi đàn hồi tuyến tính, thành phần ứng suất xác định từ định , , w, , w, w luật Hooke: y, x q; ,;q q,Q,11q Q12 , ,,σ,x, ; , εx γ Q σ xz 55 xz σy = Q21 Q22 εy (8) = ; γyz Q44 σyz σ Q γ xy 66 xy νE(zns ) E(zns ) E(zns ) Tích phân ; Q12 = Q21 = ; Q44 = Q55 = Q66 = 2 (1 + v) 1−ν 1−ν thành phần ứng suất theo chiều dày ta nhận thành phần nội lực: εx Nx κx Mx A11 A12 C11 C12 εy Ny κy My = A12 A11 ; ; = C12 C11 N 0 A66 0 C66 κ xy M xy γ xy xy (9) s γ xz Q xz A44 = s 0 A44 Qyz γyz Q11 = Q22 = Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng h/2−C h/2−C Ai j , Ci j = s = ks Qi j 1, z2ns dzns ; i j = 11, 12, 66; A44 Q44 dzns Hệ số hiệu chỉnh −h/2−C −h/2−C cắt k s = 5/6 sử dụng nghiên cứu Từ (9) thấy rằng, việc sử dụng mặt trung hịa giúp loại bỏ tương tác màng-uốn Nguyên lý cực tiểu sử dụng để thiết lập phương trình cân [24], với dạng toán học sau: = δU P + δU F + δV (10) δU P , δU F , δV biến phân biến dạng đàn hồi tấm, biến dạng tải trọng Hệ phương trình cân thu có dạng [24]: N x,x + N xy,y = 0; N xy,x + Ny,y = 0; Q xz,x + Qyz,y + N x w0,xx + 2N xy w0,xy + Ny w0,yy − Kw w0 + K sx w0,xx + K sy w0,yy + q = 0; M x,x + M xy,y − Q xz = 0; (11) M xy,x + My,y − Qyz = Các tham số điều kiện biên bao gồm: (un , Nn ) , (u s , Nns ) , (w0 , Qn ) , (θn , Mn ) , (θ s , Mns ) Các số n, s thể phương pháp tuyến tiếp tuyến biên Sử dụng hàm ứng suất Airy ϕ(x, y) định nghĩa: N x = ϕ,yy ; Ny = ϕ,xx ; N xy = −ϕ,xy (12) Khi đó, hai phương trình đầu (11) tự thỏa mãn Sử dụng quan hệ (9), (7) (12), ba phương trình cịn lại (11) viết lại theo chuyển vị hàm ứng suất: s s s s A44 w0,yy + A44 w0,xx + A44 θ x,x + A44 θy,y + ϕ,yy w0,xx − 2ϕ,xy w0,xy + ϕ,xx w0,yy −Kw w0 + K sx w0,xx + K sy w0,yy + q = 0; s s C11 θ x,xx + C66 θ x,yy + (C12 + C66 ) θy,xy − A44 θ x − A55 w0,x = 0; (13) s s (C12 + C66 ) θ x,xy + C66 θy,xx + C11 θy,yy − A44 θy − A44 w0,y = Mặt khác, phương trình tương thích biến dạng chữ nhật nhận [25]: ε0x,yy + ε0y,xx − γ0xy,xy = w20,xy − w0,xx w0,yy (14) Dựa quan hệ (9) (12), thành phần biến dạng màng xác định thơng qua thành phần lực dọc hàm ứng suất: A11 A12 A11 A12 Nx − Ny = ϕ,yy − ϕ,xx ; 2 − A12 A11 − A12 A11 − A12 A11 − A212 A12 A11 A12 A11 Ny − Nx = ϕ,xx − ϕ,yy ; ε0y = 2 2 A11 − A12 A11 − A12 A11 − A12 A11 − A212 1 γ0xy = N xy = − ϕ,xy A66 A66 ε0x = A211 Thay (15) vào phương trình tương thích (14), ta được: ∂2 w0 ∂2 w0 ∂2 w0 − ∇ ϕ = D ∂x∂y ∂x2 ∂y2 (15) (16) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng ∂4 ∂4 ∂4 + + ; D = A11 − ν2 ∂x4 ∂y4 ∂x2 ∂y2 Hệ gồm ba phương trình (13) phương trình (16) hệ phương trình chủ đạo để giải toán uốn theo phương pháp ứng suất Đây hệ phương trình phi tuyến với ẩn số độc lập: w0 , θ x , θy , ϕ ∇4 = Lời giải giải tích Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, lời giải giải tích thiết lập việc sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin cho chữ nhật vật liệu rỗng với điều kiện biên Trong báo này, điều kiện biên xem xét bao gồm: - Liên kết khớp cạnh (SSSS): + Trường hợp (SSSS-1): Tất bốn cạnh tựa lề tự dịch chuyển (freely movable) mặt phẳng Các điều kiện biên tương ứng là: w0 = θ s = 0, Nns = 0, Mn = 0, Nn = Nn0 = (17) + Trường hợp (SSSS-2): Tất bốn cạnh tựa lề tự dịch chuyển (immovable) mặt phẳng tấm: un = w0 = θ s = 0, Nns = 0, Mn = (18) - Liên kết ngàm cạnh (CCCC): + Trường hợp (CCCC-1): Tất bốn cạnh liên kết ngàm tự dịch chuyển mặt phẳng tấm: w0 = θn = θ s = 0, Nns = 0, Nn = Nn0 = (19) + Trường hợp (CCCC-2): Tất bốn cạnh liên kết ngàm tự dịch chuyển mặt phẳng tấm: un = w0 = θn = θ s = 0, Nns = (20) - Liên kết đối xứng ngàm cạnh, khớp cạnh (SCSC): + Trường hợp (SCSC-1): Hai cạnh đối diện tựa lề, hai cạnh lại liên kết ngàm tự dịch chuyển mặt phẳng tấm: Tại x = 0, a : w0 = θy = 0, N xy = 0, M x = 0, N x = N x0 = Tại y = 0, b : w0 = θ x = θy = 0, N xy = 0, Ny = Ny0 = (21) + Trường hợp (SCSC-2): Hai cạnh đối diện tựa lề, hai cạnh lại liên kết ngàm tự dịch chuyển mặt phẳng tấm: Tại x = 0, a : u0 = w0 = θy = 0, N xy = 0, M x = Tại y = 0, b : v0 = w0 = θ x = θy = 0, N xy = (22) N x0 , Ny0 lực dọc màng tác dụng lên cạnh chữ nhật theo phương x, y tương ứng trường hợp cạnh tự dịch chuyển; phản lực cạnh trường hợp cạnh dịch chuyển mặt phẳng Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Các điều kiện u0 = (tại x = 0, a) v0 = (tại y = 0, b) thỏa mãn theo nghĩa trung bình [26, 27]: b a b a u0,x dxdy = 0; (23) v0,y dxdy = 0 0 Trong trường hợp tổng quát, với ba điều kiện biên xem xét, hàm ứng suất chọn dạng: x2 y2 ϕ = ϕ(x, ¯ y) + N x0 + Ny0 (24) 2 Khi điều kiện biên tự dịch chuyển mặt phẳng: b N x0 = b a Nˆ x dy = 0; Ny0 = a (25) Nˆ y dx = 0 Khi điều kiện biên dịch chuyển mặt phẳng, từ (23) ta xác định thành phần phản lực: b N x0 a = ab 0 b Ny0 = A12 A11 w0,x + w dxdy; 2 0,y −ϕ¯ ,yy + (26) a ab −ϕ¯ ,xx + A11 A12 w0,x + w dxdy 2 0,y Với điều kiện biên SSSS, ta chọn nghiệm chuyển vị dạng khai triển: w0mn sin αm x sin βn y; w0 = m αm = n θx = θ xmn cos αm x sin βn y; m mπ nπ , βn = ; a b θy = n m, n = 1, 3, 5, ; m n w0mn , θ xmn , θymn hệ số cần xác định Thay (27) vào (16), ta được: K1 cos α p − αr x cos βq − β s y +K2 cos α p + αr x cos βq + β s y ϕ¯ = w0pq w0rs +K3 cos α p − αr x cos βq + β s y p q r s +K4 cos α p + αr x cos βq − β s y hệ số K1 , K2 K3 , K4 trình bày Phụ lục A Với điều kiện biên CCCC nêu ta chọn nghiệm chuyển vị dạng: w0mn sin2 αm xsin2 βn y; w0 = m m θymn sin2 αm x sin 2βn y θy = n m (28) m, n = 1, 2, · · · n θ xmn sin 2αm xsin2 βn y; θx = (27) θymn sin αm x cos βn y n (29) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Thay (29) vào (16), ta được: K1 cos α p − αr x cos βq − β s y +K2 cos α p + αr x cos βq + β s y +K3 cos α p − αr x cos βq + β s y ϕ¯ = w0pq w0rs +K4 cos α p + αr x cos βq − β s y + K5 cos 2α p x cos 2β s y p q r s +K6 cos 2α p x cos βq − β s y + K7 cos 2α p x cos βq + β s y +K8 cos α p − αr x cos 2β s y + K9 cos α p + αr x cos 2β s y hệ số K1 ÷ K8 trình bày Phụ lục B Với điều kiện biên SCSC nêu ta chọn nghiệm chuyển vị dạng: w0mn sin αm xsin2 βn y; m = 1, 3, · · · ; w0 = m n = 1, 2, · · · n (31) θ xmn cos αm xsin2 βn y; θx = m θy = n θymn sin αm x sin 2βn y m Thay (31) vào (16), ta được: ϕ¯ = w0pq w0rs p q r s n K1 cos α p − αr x cos βq − β s y +K2 cos α p + αr x cos βq + β s y +K3 cos α p − αr x cos βq + β s y +K4 cos α p + αr x cos βq − β s y +K5 cos α p − αr x cos 2β s y + K6 cos α p + αr x cos 2β s y đó: hệ số K1 ÷ K6 trình bày Phụ lục C Thay biểu thức xác định ϕ¯ (28), (30) (32) vào (26), ta được: (1) w0pq w0rs K pqrs ; N x0 = p q (30) r (2) w0pq w0rs K pqrs Ny0 = s p q r (32) (33) s Thay ϕ¯ N x0 , Ny0 vào (24) ta xác định hàm ứng suất ϕ(x, y); sau thay vào (13); theo ta hệ phương trình cân theo w0 , θ x , θy : w0mn w0pq w0rs g(33) mnpqrs + q = 0; (33) (34) (35) + w0mn lmn + θ xmn lmn + θymn lmn m m n n p q (43) (44) (45) w0mn lmn + θ xmn lmn + θymn lmn = 0; m r s (53) (54) (55) w0mn lmn + θ xmn lmn + θymn lmn =0 n m n (34) Nhân biểu thức phương trình (34) với hàm riêng tương ứng thực tích phân tồn miền A tấm, ta được: (33) (34) (35) w0mn Lmni j + θ xmn Lmni j + θymn Lmni j + m n m (43) w0mn Lmni j m w0mn w0pq w0rsG(33) mnpqrsi j + F i j = 0; + (44) θ xmn Lmni j + (45) θymn Lmni j n p q s (53) (54) (55) w0mn Lmni j + θ xmn Lmni j + θymn Lmni j = = 0; m n r n (35) Nghiệm hệ phương trình đại số phi tuyến (35) véc tơ chuyển vị w0mn ; θ xmn ; θymn từ xác định phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất, nội lực tốn phân tích phi tuyến tĩnh Trong phân tích tuyến tính, bỏ qua thành phần biến dạng phi tuyến công thức (7) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Kết số thảo luận Với nghiệm giải tích thiết lập phần trên, chương trình tính Matlab viết để thực ví dụ số Các kết phân tích phi tuyến trừ trường hợp nói trước Các cơng thức khơng thứ ngun sử dụng [28, 29]: K sy b2 K sx a2 a b Kw a4 q0 a4 ; J = = ; E = 1.0 GPa; P = w¯ = w0 , ; K0 = 0 h 2 E0 h3 E0 h3 ν E0 h3 ν E h4 (36) 5.1 Ví dụ kiểm chứng Trong phần này, tác giả tiến hành kiểm chứng độ tin cậy chương trình máy tính lời giải giải tích theo phương pháp ứng suất Qua nghiên cứu tổng quan, chưa có cơng trình khoa học phân tích uốn phi tuyến chữ nhật vật liệu FGM xốp Do đó, tác giả tiến hành kiểm chứng cho trường hợp đặc biệt vật liệu FGM xốp: vật liệu đẳng hướng a Ví dụ 1: Kiểm chứng độ võng đẳng hướng điều kiện biên khớp cạnh Tấm vuông dày đẳng hướng (E = 7,8.106 psi, ν = 0,3) điều kiện biên khớp bốn cạnh (SSSS-1, SSSS-2) với h = inch, a = b = 10h, tác dụng tải trọng phân bố Độ võng không thứ nguyên tâm w¯ tính tốn Bảng 1, so sánh với nhóm tác giả: Putcha Reddy [17] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ẩn chuyển vị, Kapoor Kapania [18] sử dụng phương pháp phần tử đẳng hình học dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, Yu cs [19] sử dụng phương pháp đẳng hình học dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc đơn giản với ẩn số chuyển vị Bảng Độ võng không thứ nguyên w¯ vuông đẳng hướng điều kiện SSSS-1, SSSS-2 tác dụng tải trọng phân bố P Yu cs [19] Putcha Reddy [17] Kapoor Kapania [18] Bài báo Sai số δ (%)* 0,2812 0,5185 0,8672 1,3147 1,8679 0,2840 0,5244 0,8790 1,3341 1,8918 0,2829 0,5257 0,8848 1,3319 1,8450 0,40 0,24 0,66 0,16 2,48 0,2790 0,4630 0,6911 0,9575 1,2688 0,2784 0,4626 0,6910 0,9579 1,2696 0,2637 0,4455 0,6727 0,9315 1,2166 5,27 3,69 2,65 2,76 4,17 SSSS-1 6,25 12,5 25 50 100 0,2813 0,5186 0,8674 1,3150 1,8688 SSSS-2 6,25 12,5 25 50 100 - *Sai số so với kết Kapoor Kapania [18] Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng b Ví dụ 2: Kiểm chứng độ võng đẳng hướng điều kiện biên SCSC-2 Bảng thể kết độ võng không thứ nguyên w¯ tâm vuông đẳng hướng điều kiện biên hai cạnh đối diện tựa khớp, hai cạnh lại liên kết ngàm (SCSC-2) tác dụng tải trọng phân bố với h/a = 0,05, ν = 0,3, E = 0,3.107 psi Các kết tính tốn báo so sánh với Lei [15] sử dụng phương pháp phần tử biên (the boundary element method) dựa lý thuyết bậc nhất, Azizian Dawe [16] sử dụng phương pháp dải hữu hạn (the finite strip method) sử dụng lý thuyết Mindlin phương pháp Rayleigh-Ritz theo lý thuyết cổ điển Bảng Độ võng không thứ nguyên w¯ vuông đẳng hướng điều kiện biên SCSC-2 tác dụng tải trọng phân bố P Azizian Dawe [16] (Lý thuyết cổ điển) Azizian Dawe [16] (Lý thuyết Mindlin) Lei [15] Bài báo Sai số δ (%) 0,9158 4,5788 6,8681 9,1575 0,0191 0,0951 0,1416 0,1867 0,0199 0,0988 0,1469 0,1936 0,0199 0,0984 0,1455 0,1904 0,0198 0,0982 0,1461 0,1929 3,66 3,26 3,18 3,32 *Sai số so với kết Azizian Dawe [16] (Lý thuyết cổ điển) Từ kết kiểm chứng ví dụ ví dụ 2, thấy lời giải giải tích nhận phương pháp ứng suất chương trình tính Matlab tự viết có độ tin cậy 5.2 Khảo sát ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học, đàn hồi điều kiện biên Xét chữ nhật bọt kim loại - metal foam (h = 0, m, E1 = 200 GPa, ν = 1/3) đặt đàn hồi, tác dụng tải trọng phân bố P Bảng Độ võng không thứ nguyên w¯ vuông FGM xốp với số số hạng khác khai triển chuỗi lượng giác kép Điều kiện biên m, n = m, n = m, n = m, n = SSSS-1 SCSC-1 CCCC-1 0,5977 0,3319 0,2282 0,5758 0,3208 0,2150 0,5782 0,3313 0,2275 0,5776 0,3310 0,2260 SSSS-2 SCSC-2 CCCC-2 0,4996 0,3165 0,2264 0,4774 0,3040 0,2129 0,4799 0,3139 0,2254 0,4793 0,3134 0,2238 Bảng trình bày kết phân tích phi tuyến độ võng khơng thứ nguyên w¯ vuông vật liệu FGM xốp (a/h = 10, e0 = 0,5, K0 = 100, J0 = 10) với loại điều kiện biên khác Số số hạng khai triển chuỗi lượng giác kép tăng từ m, n = đến m, n = Có thể thấy nghiệm giải tích có hội tụ rõ ràng tăng m, n; với chương trình tính Matlab thực máy tính cá nhân kết xem hội tụ lấy m, n = (sai số lớn độ võng không thứ nguyên w¯ lấy m, n = so với lấy m, n = 0,69% trường hợp biên CCCC-2) Hình Hình khảo sát quy luật biến thiên độ võng lớn không thứ nguyên w¯ theo hệ số lỗ rỗng e0 (P = 10) đường cong tải-độ võng (e0 = 0,5) chữ nhật vật liệu FGM xốp liên 10 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng kết khớp cạnh SSSS-1 Các phân tích tuyến tính (LL) phi tuyến (NL) cho ba quy luật phân bố lỗ rỗng: đều, không đối xứng không bất đối xứng thực Các kết cho thấy: - Khi hệ số mật độ lỗ rỗng tăng, độ võng tăng; hệ số lỗ rỗng e0 tăng khác biệt độ võng tính tốn tuyến tính phi tuyến, dạng phân bố lỗ rỗng lớn Độ võng tính tốn theo phi tuyến ln thấp tính tốn theo tuyến tính Độ võng với dạng phân bố lỗ rỗng không đối xứng thấp nhất, độ võng hai dạng phân bố lại (đều không bất đối xứng) không khác biệt lớn hai phương pháp phân tích tuyến tính phi tuyến Như có dạng phân bố lỗ rỗng khơng đối xứng có độ cứng lớn - Khi phân tích tuyến tính: dạng phân bố lỗ rỗng khơng đối xứng có độ võng tăng gần tuyến tính e0 tăng Hai dạng phân bố lỗ rỗng lại (đều đối xứng) tăng phi tuyến e0 tăng, tăng nhanh e0 lớn ww w e0 e wtheo hệ số Hình Biến thiên độ võng w¯ w xốp rỗng e0 với quy luật phân bố lỗ rỗng khác Hình Biến thiên độ võng w¯ tấmwtheo tải trọng phân bố P với quy luật phân bố lỗ rỗng khác Hình Hình khảo sát quy luật biến thiên độ võng lớn không thứ nguyên w¯ theo tỷ số kích thước a/h (b/a = 1) theo tỷ số kích thước cạnh b/a (a/h = 10) xốp với điều kiện biên khác Các kết cho thấy: - Về ảnh hưởng điều kiện biên: rõ ràng biên SSSS có độ võng lớn nhất, sau đến biên SCSC, biên CCCC có độ võng nhỏ nhất; biên hạn chế chuyển vị mặt phẳng có độ võng bé so với biên không hạn chế chuyển vị mặt phẳng tương ứng; ảnh hưởng việc hạn chế chuyển vị mặt phẳng lên độ võng lớn biên SSSS, sau biên SCSC, đến biên CCCC - Về ảnh hưởng tỷ số a/h : tăng tỷ số a/h, độ võng không thứ nguyên w¯ giảm nhanh a/h nhỏ (tấm dày, a/h ≤ 10); sau độ võng giảm chậm lại gần không đổi a/h đủ lớn (a/h ≥ 30) - Về ảnh hưởng tỷ số b/a : tỷ số b/a tăng, độ võng lớn không thứ nguyên w¯ tăng, b/a đủ lớn (b/a ≥ 2) độ võng khơng thay đổi Hình thể đường cong tải-độ võng vật liệu FGM xốp, điều kiện biên SSSS-1 với trường hợp hệ số khác Các kết cho thấy: tăng hệ số K0 , J0 , độ võng giảm đáng kể; ảnh hưởng hệ số J0 lớn so với hệ số K0 Hình khảo sát quy luật biến thiên thành phần mô men uốn M x , My tâm theo tải 11 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng trọng phân bố Pcủa xốp chữ nhật (b/a = 2) với điều kiện biên khác Các kết cho thấy: với mức tải P, mô men M x lớn nhiều so với mô men uốn My Một điều thú vị với biên SCSC, tăng tải P, mô men uốn M x tăng mô men My tăng P cịn nhỏ (P ≤ 12), sau lại giảm w w w Hình Biến thiên độ võng w¯ tấmw theo w tỷ số kích thước a/h với điều kiện biênakhác /h Hình Biến thiên độ võng w¯ w theo tỷ số kích thước cạnh b/a với điều kiện biên b /akhác a /h w w Mn Hình Biến thiên độ võng w¯ tấmwtheowtải trọng phân bố P với hệ số khác P , Hình Biến thiên mơ men uốn M x , My (Nm/m) theo tải trọng phân bố P với điều kiện biên khác P P Kết luận K , Jmơ, hình tính tốn phi tuyến độ võng thành phần nội lực J chữ Bài báo xây dựng , JFGM , xốp đặt đàn hồi chịu uốn với số điều kiện biên khác Với nhật vậtKliệu hệ quy chiếu mặt trung hòa, tương tác màng uốn loại bỏ Nghiệm giải tích thu phương pháp Bubnov-Galerkin, chương trình tính tự viết Matlab kiểm chứng, với đẳng hướng cho thấy đủ tin cậy Các khảo sát số thực cho phép đánh giá ảnh hưởng P P / 12 P P, P 12 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng tham số hình học, vật liệu, đàn hồi điều kiện biên đến độ võng nội lực Các kết nhận cho thấy phân tích uốn phi tuyến cho độ an tồn cao phân tích tuyến tính Có thể lựa chọn dạng phân bố lỗ rỗng điều chỉnh mật độ phân bố lỗ rỗng để nhận kết mong muốn công tác tính tốn, thiết kế kết cấu sử dụng vật liệu FGM xốp Lời cảm ơn Tác giả chân thành cảm ơn hỗ trợ tài Quỹ phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED), mã số 107.02-2018.322 Tài liệu tham khảo [1] Phuong, N T B., Tu, T M., Phuong, H T., Long, N V (2019) Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-NUCE, 13(1):33–45 [2] Long, N V., Hường, N T (2020) Phân tích ổn định kết cấu dầm vật liệu xốp chịu nén dọc trục với điều kiện biên khác Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 14(2V):97–106 [3] Thang, P T., Nguyen-Thoi, T., Lee, D., Kang, J., Lee, J (2018) Elastic buckling and free vibration analyses of porous-cellular plates with uniform and non-uniform porosity distributions Aerospace Science and Technology, 79:278–287 [4] Rezaei, A S., Saidi, A R (2015) Exact solution for free vibration of thick rectangular plates made of porous materials Composite Structures, 134:1051–1060 [5] Arani, A G., Khoddami Maraghi, Z., Khani, M., Alinaghian, I (2017) Free vibration of embedded porous plate using third-order shear deformation and poroelasticity theories Journal of Engineering, 2017 [6] Rezaei, A S., Saidi, A R., Abrishamdari, M., Mohammadi, M P (2017) Natural frequencies of functionally graded plates with porosities via a simple four variable plate theory: an analytical approach Thin-Walled Structures, 120:366–377 [7] Akbas¸, S¸ D (2017) Vibration and static analysis of functionally graded porous plates Journal of Applied and Computational Mechanics, 3(3):199–207 [8] Tu, T M., Hoa, L K., Hung, D X., Hai, L T (2020) Nonlinear buckling and post-buckling analysis of imperfect porous plates under mechanical loads Journal of Sandwich Structures & Materials, 22(6): 1910–1930 [9] Yang, J., Chen, D., Kitipornchai, S (2018) Buckling and free vibration analyses of functionally graded graphene reinforced porous nanocomposite plates based on Chebyshev-Ritz method Composite Structures, 193:281–294 [10] Zhao, J., Choe, K., Xie, F., Wang, A., Shuai, C., Wang, Q (2018) Three-dimensional exact solution for vibration analysis of thick functionally graded porous (FGP) rectangular plates with arbitrary boundary conditions Composites Part B: Engineering, 155:369–381 [11] Zhao, J., Wang, Q., Deng, X., Choe, K., Zhong, R., Shuai, C (2019) Free vibrations of functionally graded porous rectangular plate with uniform elastic boundary conditions Composites Part B: Engineering, 168:106–120 [12] Pradhan, K K., Chakraverty, S (2015) Static analysis of functionally graded thin rectangular plates with various boundary supports Archives of Civil and Mechanical Engineering, 15(3):721–734 [13] Demirhan, P A., Taskin, V (2019) Bending and free vibration analysis of Levy-type porous functionally graded plate using state space approach Composites Part B: Engineering, 160:661–676 [14] Levy, S (1942) Square plate with clamped edges under normal pressure producing large deflections Technical report, National Advisory Committee for Aeronautics [15] Lei, X.-y., Huang, M.-K., Wang, X (1990) Geometrically nonlinear analysis of a Reissner type plate by the boundary element method Computers & Structures, 37(6):911–916 13 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng [16] Azizian, Z G., Dawe, D J (1985) Geometrically nonlinear analysis of rectangular mindlin plates using the finite strip method Computers & Structures, 21(3):423–436 [17] Putcha, N S., Reddy, J N (1986) A refined mixed shear flexible finite element for the nonlinear analysis of laminated plates Computers & Structures, 22(4):529–538 [18] Kapoor, H., Kapania, R K (2012) Geometrically nonlinear NURBS isogeometric finite element analysis of laminated composite plates Composite Structures, 94(12):3434–3447 [19] Yu, T T., Yin, S., Bui, T Q., Hirose, S (2015) A simple FSDT-based isogeometric analysis for geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates Finite Elements in Analysis and Design, 96: 1–10 [20] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2016) Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International Journal of Mechanical Sciences, 108:14–22 [21] Barati, M R., Zenkour, A M (2017) Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions Composite Structures, 182:91–98 [22] Larbi, L O., Kaci, A., Houari, M S A., Tounsi, A (2013) An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and free vibration of functionally graded beams# Mechanics Based Design of Structures and Machines, 41(4):421–433 [23] Reddy, J N (2006) Theory and analysis of elastic plates and shells CRC Press [24] Reddy, J N (2017) Energy principles and variational methods in applied mechanics John Wiley & Sons [25] Brush, D O., Almroth, B O., Hutchinson, J W (1975) Buckling of bars, plates, and shells McGrawHill, New York [26] Librescu, L., Stein, M (1991) A geometrically nonlinear theory of transversely isotropic laminated composite plates and its use in the post-buckling analysis Thin-Walled Structures, 11(1-2):177–201 [27] Shen, H.-S (2007) Thermal postbuckling behavior of shear deformable FGM plates with temperaturedependent properties International Journal of Mechanical Sciences, 49(4):466–478 [28] Thai, H.-T., Choi, D.-H (2011) A refined plate theory for functionally graded plates resting on elastic foundation Composites Science and Technology, 71(16):1850–1858 [29] Zenkour, A M (2009) The refined sinusoidal theory for FGM plates on elastic foundations International Journal of Mechanical Sciences, 51(11-12):869–880 Phụ lục A Các hệ số công thức (28) điều kiện biên SSSS K1 = D α p αr βq β s − α2p β2s α p − αr + βq − β s K2 = D 2 K3 = D + βq + β s 2 α p αr βq β s + α2p β2s α p − αr K4 = (Khi p = r q = s : K1 = 0); α p αr βq β s − α2p β2s α p + αr D ; + βq + β s 2 α p αr βq β s + α2p β2s α p + αr 14 + βq − β s 2 ; ; ; Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Phụ lục B Các hệ số công thức (30) điều kiện biên CCCC D 16 K1 = α p αr βq β s − α2p β2s α p − αr D 16 K2 = + βq + β s D − 16 α p αr βq β s + α2p β2s α p + αr + βq − β s D 2 α pβs K7 = α2p 2 α p αr βq β s − α2p β2s α p + αr K4 = + βq − β s + βq + β s 2 ; ; 2 (Khi p = r q = s : K1 = 0) ; ; D α p αr βq β s + α2p β2s − 16 K3 = α p − αr K5 = − D4 α2p β2s α2p + β2s ; D 2 α pβs K8 = α p − αr + β2s ; + βq + β s 2 ; D 2 α pβs K6 = α2p + βq − β s 2 D 2 α pβs K9 = α p + αr + β2s ; ; Phụ lục C Các hệ số công thức (32) điều kiện biên SCSC D K1 = α p αr βq β s − α2p β2s α p − αr D K2 = α p αr βq β s + α2p β2s α p + αr K4 = + βq − β s + βq + β s − D4 α p αr βq β s − α2p β2s α p + αr 2 + βq − β s 2 ; 2 ; ; (Khi p = r q = s : K1 = 0) − D4 α p αr βq β s + α2p β2s K3 = α p − αr D 2 α pβs K5 = α p − αr 15 + 4β2s ; + βq + β s K6 = 2 ; − D2 α2p β2s α p + αr + 4β2s ; ... ổn định, chủ yếu phân tích tuyến tính Do vậy, mục đích báo phân tích phi tuyến ứng xử uốn vật liệu FGM xốp đặt đàn hồi Pasternak với điều kiện biên khác Hệ phương trình phi tuyến khảo sát đường... [13] phân tích uốn dao động riêng FGM có vi bọt rỗng với điều kiện biên Levy Hiện tại, theo hiểu biết tác giả, nghiên cứu phân tích phi tuyến kết cấu vật liệu FGM xốp không nhiều, phân tích phi tuyến. .. cho vật liệu đẳng hướng [14–16], vật liệu composite [17, 18] vật liệu FGM [19] Thêm vào đó, nghiên cứu vật liệu FGM xốp với điều kiện biên khác dừng lại tốn phân tích dao động ổn định, chủ yếu phân