Phân tích dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler bằng phương pháp giải tích

Bài viết trình bày phương pháp sử dụng lý thuyết tấm cổ điển để tính toán tần số dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM xốp, liên kết khớp các cạnh đặt trên nền đàn hồi Winkler. Ba dạng phân bố lỗ rỗng khác nhau: Phân bố đều, phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng sẽ được khảo sát.

P X Thục, N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM… PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT BẰNG VẬT LIỆU FGM XỐP ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI WINKLER BẰNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH Phan Xuân Thục, Nguyễn Thị Quỳnh Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh Ngày nhận 16/6/2021, ngày nhận đăng 8/9/2021 Tóm tắt: Bài báo trình bày phương pháp sử dụng lý thuyết cổ điển để tính tốn tần số dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM xốp, liên kết khớp cạnh đặt đàn hồi Winkler Ba dạng phân bố lỗ rỗng khác nhau: phân bố đều, phân bố không đối xứng phân bố không bất đối xứng khảo sát Độ tin cậy lời giải giải tích chương trình tính viết Matlab kiểm chứng với số kết công bố với kết tính phần mềm tính tốn kết cấu SAP2000 Ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học tấm, hệ số đến tần số dao động riêng đánh giá Từ khóa: Phân tích dao động riêng; vật liệu FGM rỗng; đàn hồi Winkler; lý thuyết cổ điển Mở đầu Vật liệu FGM (Functionally Graded Material) biết đến loại vật liệu composite hệ có tính chất học biến đổi trơn liên tục theo phương kết cấu Chính sử dụng kết cấu vật liệu FGM tránh bong tách, tập trung ứng suất bề mặt tiếp xúc pha vật liệu, điều thường xảy vật liệu composite truyền thống Một phát triển gần loại vật liệu vật liệu FGM xốp (functionally graded porous material - FGPM) có lỗ rỗng phân bố theo quy luật định cấu trúc vật liệu Được xếp vào loại vật liệu nhẹ với khả hấp thụ lượng tốt, vật liệu FGPM sử dụng để chế tạo cấu kiện cách âm, cách nhiệt, chịu tải trọng va chạm kết cấu cơng trình sàn, tường, mái… Với nhiều ứng dụng quan trọng góp phần phát triển lĩnh vực khoa học vật liệu lĩnh vực kỹ thuật, cần có hiểu biết đầy đủ ứng xử học vật liệu kết cấu FGPM Với kết cấu dầm sử dụng vật liệu FGPM, loạt công bố lĩnh vực cho thấy quan tâm đáng kể nhà khoa học nước Magnucki cộng [1] phân tích ứng xử uốn ổn định FGPM Chen cộng [2] sử dụng phương pháp Ritz để nghiên cứu ứng xử uốn ổn định đàn hồi dầm Timoshenko vật liệu FGPM Nghiên cứu tác giả dao động riêng dao động cưỡng dầm FGPM công bố [3] Wu cộng [4] khảo sát ứng xử động lực học dầm FGPM phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba, Wattanasakulpong cộng [5] phân tích dao động riêng dầm PFGM theo tiếp cận Chebyshev Jabbari cộng [6] khảo sát ổn định FGPM trịn bão hịa nước mơi trường nhiệt sử dụng lý thuyết mỏng Trên sở lý thuyết biến dạng cắt bậc ba, Ebrahimi Sajjad [7] phân tích tĩnh dao động riêng FGPM bão hòa nước phương pháp PTHH Email: xuanthucdhv@gmail.com (P X Thục) 66 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 66-76 Chen cộng [8] phân tích ứng xử uốn ổn định FGPM sử dụng phương pháp Chebyshev-Ritz lý thuyết bậc Bằng phương pháp chuỗi Fourier cải tiến (improved Fourier series method), Zhao cộng [9] nghiên cứu dao động riêng FGPM với điều kiện biên khác sở lý thuyết bậc Gao cộng [10] phân tích ổn định động phi tuyến dầm PFGM với điều kiện biên khác sử dụng phương pháp Galerkin Ruge-Kuta bậc bốn Arefi Meskini [11] phân tích dao động riêng sandwich với lớp lõi vật liệu FGPM lớp bề mặt vật liệu áp điện theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Trong thực tế kỹ thuật, kết cấu dầm làm việc đàn hồi phổ biến loại móng, sàn tầng hầm Vì phân tích ảnh hưởng đến ứng xử kết cấu đóng vai trị quan trọng Mehmet Waleed [12] phân tích dao động riêng dầm FGM đặt đàn hồi Winkler-Pasternak Hassen cộng [13] khảo sát ảnh hưởng biến dạng uốn biến dạng cắt ngang đến ứng xử học dầm đặt đàn hồi hai hệ số Fahsi cộng [14] đánh giá ảnh hưởng lỗ rỗng đến ứng xử uốn, dao động ổn định dầm FGPM đặt đàn hồi theo lý thuyết tựa 3D Tran cộng [15] sử dụng phương pháp PTHH trơn (edge-based smoothed finite element method) phân tích dao động riêng FGPM đặt đàn hồi Pasternak Zenkour Radwan [16] phân tích ứng xử uốn FGM có vi bọt rỗng mơi trường nhiệt, đặt đàn hồi Kaddari cộng [17] nghiên cứu ứng xử uốn dao động riêng FGPM đặt đàn hồi theo lý thuyết tựa đàn hồi 3D Từ phân tích tổng quan nghiên cứu ứng xử học kết cấu sử dụng vật liệu FGM xốp, thấy vấn đề bỏ ngỏ Mục tiêu báo thiết lập lời giải giải tích tính tốn tần số dao động riêng chữ nhật FGPM bốn biên tựa khớp đặt đàn hồi Winkler Trên sở chương trình tính viết Matlab, ảnh hưởng tham số vật liệu (dạng phân bố hệ số lỗ rỗng), tham số kích thước đến tần số dao động riêng khảo sát Mơ hình vật liệu FGM xốp Xét vật liệu FGM rỗng có chiều dài a, chiều rộng b chiều dày h Vật liệu rỗng đặc trưng quy luật phân bố lỗ rỗng không gian vật liệu, hàm tọa độ chiều dày kết cấu thường mô tả theo ba dạng: phân bố (dạng 1), phân bố không đối xứng (dạng 2) phân bố không bất đối xứng (dạng 3) Các đặc trưng học vật liệu mô đun đàn hồi E G, hệ số Poisson, khối lượng riêng hàm tọa độ chiều dày kết cấu mô tả theo công thức (1), (2), (3) [3] Hình 1: Minh hoạ FGM xốp đặt đàn hồi Winkler 67 P X Thục, N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM… (a) Phân bố (b) Phân bố đối xứng (c) Phân bố bất đối xứng Hình 2: Minh hoạ phân bố vật liệu rỗng với dạng phân bố lỗ rỗng khác Dạng 1: Phân bố  12    e0   1 ; E, G  E1 , G1 1  eo   ;  ( z )  1  eo  ;     e0 e0       Dạng 2: Phân bố không đối xứng     z   z   E ( z ), G ( z )  E1 , G1 1  eo cos     ;  ( z )  1 1  em cos      ;  h   h      Dạng 3: Phân bố không bất đối xứng      z     z       ;  ( z )  1 1  em cos    ; E ( z ), G( z )  E1, G1 1  eo cos   h   h      (1) (2) (3) E1, G1, 1 giá trị lớn mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt khối lượng riêng; E2 , G2 , 2 giá trị nhỏ tương ứng Các hệ số rỗng e0 cho mô đun đàn hồi hệ số rỗng em cho khối lượng riêng tính theo công thức  E G eo     em      eo (4) 1 E1 G1 ; Cơ sở lý thuyết 3.1 Lý thuyết cổ điển Trường chuyển vị theo thuyết cổ điển giả thiết dạng [18] wo w ; u ( x, y, z , t )  u0 ( x, y, t )  z o ; v( x, y, z, t )  v0 ( x, y, t )  z y (5) x w( x, y, z, t )  w0 ( x, y, t ) đó: uo ( x, y, z, t ) ; vo ( x, y, z, t ) ; wo ( x, y, z, t ) thành phần chuyển vị điểm mặt trung bình Các thành phần biến dạng suy từ quan hệ chuyển vị - biến dạng 68 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 66-76  x ;  y ;  xy    xo ;  yo ;  xy   z kx ; k y ; kxy  (6) o  wo  wo  wo uo   vo   uo  vo k  k  k   xo  y xy yo xyo xy y ; y ; y x ; x x ; x ; Các thành phần ứng suất xác định theo định luật Hooke   x   Q11 Q12  x          y  (7)   x   Q12 Q22      Q66   xy  xy     Q11  Q22  E(z)  2 Q12  E(z).  2 Q66  E(z) 2(1  ) đó: ; ; Các thành phần nội lực xác định từ biểu thức định nghĩa sau:  N x   A11 A12    x0   B11 B12   k x             N y    A12 A11    y0    B12 B11   k y     0 A66   xy   0 B66  k xy   0   N xy       M x    B11     M y     B12     M xy    B12 B11 0     x0   D11        y0    D12 B66    xy     D12 D11 0   kx      k y  D66  k xy    (8) h /2 h /2 h /2 Aij   Qijdz Bij   Qij zdz Dij   Qij z dz  h /2  h /2  h /2 ; ; (9) 3.2 Hệ phương trình chuyển động theo thành phần chuyển vị Áp dụng nguyên lý Hamilton, hệ phương trình cho tốn dao động đàn hồi Winkler biểu diễn dạng [18] N xy N yy N xx N xy  2u  2v   I o 2o ;   I o 2o x y x y t t ( 2 2 2 (10)  M xy  M yy  M xx  wo    wo  wo     kw  I  I    o o xy x y t t  x y  Với K hệ số đàn hồi Winkler, mô men quán tính h /2   I , I1, I    1, z, z  ( z)dz  h /2 Thay (6) vào (8) sau thay vào (10) ta nhận hệ phương trình chuyển động theo thành phần chuyển vị 69 P X Thục, N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM…   2u0  2v0   2u0  2v0  w0  w0 A11  A12  A66     B11  B12 xy x x xy  xy y   w0  2u0  w0 2 B66  I0  I0 x xy t A11   2u0  2v0   2v0  2u0  w0  w0  w0  A  A   B  B  B   12 66 11 12 66 xy xy  y y x 2y x 2y  x  2v0  w0  I y t   3u  3v    3u  3v0    3u0  3v0  B11  30  30   B12    B     66 y  x 2y xy   x  x y xy    I0 ( (11)   w  w0    w0  w0   w0  D11  40   D   D   12  66 2 y  x 2y  x 2y  x  x y kw0  I  w0    w0  w0    u0 v0   I   I    2  t t  x y  t  x y  3.3 Lời giải Navier Xét chữ nhật với chiều dài a, chiều rộng b chiều dày h, tựa khớp theo chu vi hình Điều kiện biên thể dạng Hình 3: Minh hoạ chữ nhật liên kết khớp chu vi w0 (0, y)  ; w0 (a, y)  ; w0 ( x,0)  ; w0 ( x, b)  M xx (0, y)  ; M xx (a, y)  , M yy  x,   ; M yy  x, b   Theo Navier, nghiệm chuyển vị phương trình (11) giả thiết dạng chuỗi lượng giác kép sau: u0 ( x, y, t )  umn eit cos  x.sin  y v0 ( x, y, t )  vmn eit sin  x.cos  y ( ; it (12) w0 ( x, y, t )  wmn e sin  x.sin  y 70 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 66-76  n m  b ; m, n số nửa bước hình sin theo phương x, y; a ; mn Trong : tần số dao động riêng tương ứng với dạng dao động (m, n) Thay thành phần chuyển vị (12), vào hệ phương trình cân động (11) ta nhận hệ phương trình   S11 S12 S13   m11 m12 m13    umn  0        2   S 21 S 22 S 23     m21 m22 m23    vmn   0   S  m31 m32 m33   Wmn  0    31 S32 S33  S11  A11  A66  ; S12  ( A12  A66 ) ; S13   B11  B12  2B66 ; S22  A66  A11 ; S23  B22   B12   2B66  ; S33  k  D11  D12   2D12   4D66  m11  m22  I ; m12  m21  0; m13   I1; m23    I1; m33  I  I (   ) S  2 M   Giải tốn tìm trị riêng phương trình   ta nhận tần số dao động riêng vật liệu xốp đặt đàn hồi Kiểm chứng khảo sát số 4.1 Ví dụ kiểm chứng Để kiểm chứng mơ hình lý thuyết chương trình tính tự viết Matlab, tần số dao động riêng cho chữ nhật đẳng hướng khơng có đàn hồi tính tốn với thơng số đầu vào vật liệu kích thước cho bảng Bảng trình bày kết tính tốn tần số dao động riêng không thứ nguyên với tỉ số kích thước b/a khác Kết theo nghiệm Navier báo so sánh với kết Reddy [18] phần mềm tính toán kết cấu SAP2000, sử dụng phần tử THINPLATE với lưới chia 100×100 Bảng 1: Các tham số vật liệu kích thước chữ nhật đẳng hướng h(m) a/h b/a E1 ( N / m )  e0 100 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 0.33 2.1  1011 Tần số dao động riêng, hệ số không thứ nguyên xác định theo công a2   h D    K w  K 41 D22  a thức [7]: ; 0.1 Kết Bảng cho thấy sai lệch kết nhận theo nghiệm giải tích báo so với kết Reddy tính SAP 2000 (sai khác lớn so với Reddy 0.0862%, so với SAP 2000 0.0693%) Như nghiệm giải tích mà báo thiết lập chương trình tính tự viết Matlab tin cậy 71 P X Thục, N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM… Bảng 2: Tần số dao động tiêng không thứ nguyên chữ nhật vật liệu đẳng hướng  f (HZ) Nguồn SAP   2 f (rad) 4.999 2.000 1.444 1.250 1.160 1.111 38.286 15.312 11.060 9.571 8.881 8.510 240.558 96.208 69.492 60.136 55.800 53.469 Reddy [7] b/a 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Bài báo   4.998 1.999 1.443 1.249 1.159 1.111 4.999 1.999 1.444 1.249 1.159 1.111 4.2 Các khảo sát số Trong phần này, ảnh hưởng tham số vật liệu (dạng phân bố lỗ rỗng, hệ số rỗng), tham số kích thước (tỉ số b/a) tham số đến tần số dao động riêng vật liệu FGM xốp đàn hồi Winkler khảo sát cụ thể 4.2.1 Ảnh hưởng dạng phân bố lỗ rỗng hệ số mật độ lỗ rỗng Tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật (b/a = 2; a/h = 20; K0 = 10) vật liệu FGM xốp với dạng phân bố lỗ rỗng hệ số mật độ lỗ rỗng thay đổi trình bày Bảng Đồ thị biểu diễn biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên theo hệ số mật độ lỗ rỗng với ba dạng phân bố lỗ rỗng khác (phân bố - dạng 1; phân bố không đối xứng - dạng 2; phân bố không bất đối xứng - dạng 3) biểu diễn Hình Bảng 3: Tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật vật liệu xốp với hệ số mật độ lỗ rỗng e0 thay đổi e0 Dạng Dạng Dạng 0.1 12.54 12.71 12.57 0.2 12.35 12.71 12.40 0.3 12.15 12.73 12.22 0.4 11.95 12.78 12.01 0.5 11.74 12.85 11.77 0.6 11.52 12.97 11.47 0.7 11.30 13.16 11.11 0.8 11.09 13.48 10.63 Hình 4: Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật vật liệu xốp theo hệ số mật độ lỗ rỗng 72 0.9 11.00 14.10 9.98 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 66-76 Kết Bảng đồ thị Hình cho thấy mật độ phân bố lỗ rỗng làm thay đổi tần số dao động riêng Trong tần số dao động riêng tăng hệ số rỗng tăng phân bố không đối xứng (dạng 2) phân bố (dạng 1) không bất đối xứng (dạng 3) tần số dao động riêng lại giảm Dạng phân bố lỗ rỗng ảnh hưởng đáng kể đến giá trị tần số dao động riêng, hệ số mật độ lỗ rỗng lớn ảnh hưởng dạng phân bố lỗ rỗng lên tần số dao động riêng FGM xốp rõ rệt Khi hệ số mật độ phân bố lỗ rỗng bé tần số dao động riêng hai dạng xấp xỉ 4.2.2 Ảnh hưởng tỷ số kích thước cạnh b/a Tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật ( e0  0,5 ; a/h = 20; K0= 10) vật liệu FGM xốp với tỷ lệ kích thước b/a thay đổi thể Bảng Hình đồ thị biểu diễn biến thiên tần số dao động riêng khơng thứ ngun theo tỷ số kích thước cạnh b/a Bảng 4: Tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật vật liệu rỗng với tỷ số kích thước cạnh b/a khác b/a Dạng Dạng Dạng 0.5 44.74 49.36 44.89 1.0 18.24 20.07 18.30 1.5 13.40 14.70 13.44 2.0 11.74 12.85 11.77 2.5 10.97 12.00 11.00 3.0 10.56 11.53 10.58 Hình 5: Biểu đồ biểu diễn tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật vật liệu rỗng theo tỉ số kích thước b/a Quan sát kết Bảng đồ thị Hình ta thấy tỉ số kích thước b/a tăng tần số dao động riêng không thứ nguyên FGM xốp giảm Sự thay đổi tần số xu với ba dạng phân bố lỗ rỗng Tần số dao động riêng hai dạng phân bố lỗ rỗng: phân bố phân bố không bất đối xứng có sai lệch khơng đáng kể 4.2.3 Ảnh hưởng hệ số Tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật (b/a = 2; a/h = 20; e0 = 0.5) với dạng phân bố lỗ rỗng hệ số không thứ nguyên thay đổi trình bày Bảng Tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật biến thiên theo hệ số không thứ nguyên biểu diễn đồ thị Hình Như thực tế kỹ thuật, kết nhận cho thấy độ cứng 73 P X Thục, N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM… cao (hệ số khơng thứ ngun tăng) tần số dao động riêng FGM xốp tăng Bảng 5: Tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật (b/a = 2; a/h = 20; e0 = 0,5) với hệ số không thứ nguyên khác K0 Dạng Dạng Dạng 11.19 12.36 11.23 10 11.73 12.84 11.76 20 12.25 13.31 12.27 30 12.75 13.76 12.76 50 13.23 14.20 13.23 60 13.69 14.63 13.69 80 14.13 15.04 14.13 100 14.57 15.44 14.56 Hình 6: Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật vật liệu rỗng theo hệ số không thứ nguyên Kết luận Trên sở lý thuyết cổ điển, báo sử dụng dạng nghiệm Navier để tính toán tần số dao động riêng mỏng vật liệu FGM xốp đặt đàn hồi Winkler Kết cho thấy ảnh hưởng rõ rệt ba dạng phân bố lỗ rỗng: đều, không đối xứng không bất đối xứng hệ số mật độ lỗ rỗng đến tần số dao động riêng khơng thứ ngun làm rõ qua ví dụ số Bên cạnh đó, ảnh hưởng hệ số tham số kích thước phân tích chi tiết Các nhận xét khía cạnh kỹ thuật thu nguồn tham khảo hữu ích cho cơng tác thiết kế, thi cơng bảo trì kết cấu sử dụng vật liệu FGM xốp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Magnucki, M Malinowski, and J Kasprzak, “Bending and buckling of a rectangular porous plate,” Steel and Composite Structures, Vol 6, No 4, pp 319-333, 2006 [2] D Chen, J Yang, and S Kitipornchai, “Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam,” Composite Structures, Vol 133, pp 54-61, 2015 74 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 66-76 [3] D Chen, J Yang, and S Kitipornchai, “Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams,” International journal of mechanical sciences, Vol 108, pp 14-22, 2016 [4] D Wu, A Liu, Y Huang, Y Huang, Y Pi, and W Gao, “Dynamic analysis of functionally graded porous structures through finite element analysis,” Engineering Structures, Vol 165, pp 287-301, 2018 [5] N Wattanasakulpong, A Chaikittiratana, and S Pornpeerakeat, “Chebyshev collocation approach for vibration analysis of functionally graded porous beams based on third-order shear deformation theory,” Acta Mechanica Sinica, Vol 34, No 6, pp 1124-1135, 2018 [6] M Jabbari, M Hashemitaheri, A Mojahedin, and M Eslami, “Thermal buckling analysis of functionally graded thin circular plate made of saturated porous materials,” Journal of thermal stresses, Vol 37, No 2, pp 202-220, 2014 [7] F Ebrahimi and S Habibi, “Deflection and vibration analysis of higher-order shear deformable compositionally graded porous plate,” Steel Compos Struct, Vol 20, No 1, pp 205-225, 2016 [8] D Chen, J Yang, and S Kitipornchai, “Buckling and bending analyses of a novel functionally graded porous plate using Chebyshev-Ritz method,” Archives of Civil and Mechanical Engineering, Vol 19, No 1, pp 157-170, 2019 [9] J Zhao, Q Wang, X Deng, K Choe, R Zhong, and C Shuai, “Free vibrations of functionally graded porous rectangular plate with uniform elastic boundary conditions,” Composites Part B: Engineering, Vol 168, pp 106-120, 2019 [10] K Gao, Q Huang, S Kitipornchai, and J Yang, “Nonlinear dynamic buckling of functionally graded porous beams,” Mechanics of Advanced Materials and Structures, pp 1-12, 2019 [11] M Arefi and M Meskini, “Application of hyperbolic shear deformation theory to free vibration analysis of functionally graded porous plate with piezoelectric face-sheets,” Structural Engineering and Mechanics, Vol 71, No 5, pp 459-467, 2019 [12] M Avcar and W K M Mohammed, “Free vibration of functionally graded beams resting on Winkler-Pasternak foundation,” Arabian Journal of Geosciences, Vol 11, No 10, p 232, 2018 [13] H A Atmane, A Tounsi, and F Bernard, “Effect of thickness stretching and porosity on mechanical response of a functionally graded beams resting on elastic foundations,” International Journal of Mechanics and Materials in Design, Vol 13, No 1, pp 71-84, 2017 [14] B Fahsi, R B Bouiadjra, A Mahmoudi, S Benyoucef, and A Tounsi, “Assessing the Effects of Porosity on the Bending, Buckling, and Vibrations of Functionally Graded Beams Resting on an Elastic Foundation by Using a New Refined Quasi-3D Theory,” Mechanics of Composite Materials, Vol 55, No 2, pp 219-230, 2019 [15] T T Tran, Q.-H Pham, and T Nguyen-Thoi, “An Edge-Based Smoothed Finite Element for Free Vibration Analysis of Functionally Graded Porous (FGP) Plates on Elastic Foundation Taking into Mass (EFTIM),” Mathematical Problems in Engineering, Vol 2020, 2020 [16] A Zenkour and A Radwan, “Bending response of FG plates resting on elastic foundations in hygrothermal environment with porosities,” Composite Structures, Vol 213, pp 133-143, 2019 75 P X Thục, N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM… [17] M Kaddari et al., “A study on the structural behaviour of functionally graded porous plates on elastic foundation using a new quasi-3D model: Bending and free vibration analysis,” Computers and Concrete, Vol 25, No 1, pp 37-57, 2020 [18] J N Reddy, Theory and analysis of elastic plates and shells CRC press, 2006 SUMMARY FREE OSCILLATION ANALYSIS OF RECTANGULAR PLATE OF POROUS FGM MATERIAL PLACED ON A WINKLER ELASTIC BASE BY ANALYTICAL METHOD Phan Xuan Thuc, Nguyen Thi Quynh Department of Construction, Vinh University Received on 16/6/2021, accepted for publication on 8/9/2021 In this paper, classical plate theory is used to analyse free oscillation of rectangular plates made of porous FGM material, edge joints on Winkler elastic base Three different types of pore distribution: uniform distribution, symmetric irregular distribution and asymmetrical irregular distribution are investigated The reliability of the analytical solution as well as the calculation program written on Matlab are verified with some published results and with the results calculated by the SAP2000 structural calculation software The influence of the material parameters, the geometrical dimensions of the plate, as well as the background coefficient on the free oscillation frequency of the plate are evaluated Keyword: Free oscillation analysis; porous FGM material; Winkler elastic base; classical plate theory 76 ... hoạ FGM xốp đặt đàn hồi Winkler 67 P X Thục, N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM? ?? (a) Phân bố (b) Phân bố đối xứng (c) Phân bố bất đối xứng Hình 2: Minh hoạ phân bố vật liệu. .. N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM? ?? cao (hệ số không thứ nguyên tăng) tần số dao động riêng FGM xốp tăng Bảng 5: Tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật (b/a =... viết Matlab tin cậy 71 P X Thục, N T Quỳnh / Phân tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM? ?? Bảng 2: Tần số dao động tiêng không thứ nguyên chữ nhật vật liệu đẳng hướng  f (HZ) Nguồn SAP   2