Phân tích tĩnh tấm bằng vật liệu FGM xốp trên nền đàn hồi pasternak theo phương pháp chuyển vị có kể đến tính phi tuyến hình học và vị trí mặt trung hòa

Bài báo xây dựng nghiệm giải tích dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Pasternak. Vị trí mặt trung hòa cùng ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, đối xứng, bất đối xứng được xét đến. Bằng việc sử dụng phương pháp Galerkin, lời giải giải tích theo phương pháp chuyển vị đã được thiết lập với các điều kiện biên khác nhau. Mời các bạn tham khảo!

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 14 (5V): 166–179 PHÂN TÍCH TĨNH TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM XỐP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI PASTERNAK THEO PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ CĨ KỂ ĐẾN TÍNH PHI TUYẾN HÌNH HỌC VÀ VỊ TRÍ MẶT TRUNG HỊA Lê Thanh Hảia , Nguyễn Văn Longb,∗, Trần Minh Túb , Chu Thanh Bìnhb a Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh, số 182 đường Lê Duẩn, thành phố Vinh, Nghệ An, Việt Nam b Khoa Xây dựng dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, số 55 đường Giải phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 01/09/2020, Sửa xong 21/10/2020, Chấp nhận đăng 22/10/2020 Tóm tắt Bài báo xây dựng nghiệm giải tích dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc để phân tích phi tuyến ứng xử uốn FGM xốp đặt đàn hồi Pasternak Vị trí mặt trung hịa ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, đối xứng, bất đối xứng xét đến Bằng việc sử dụng phương pháp Galerkin, lời giải giải tích theo phương pháp chuyển vị thiết lập với điều kiện biên khác Độ tin cậy mơ hình lý thuyết chương trình tính viết Matlab kiểm chứng với kết số tác giả khác cơng bố Các ví dụ số thực nhằm đánh giá ảnh hưởng dạng phân bố hệ số lỗ rỗng, tỉ số kích thước cạnh, hệ số đàn hồi Pasternak điều kiện biên đến độ võng, thành phần mô men uốn nội lực FGM xốp Từ khoá: phân tích uốn phi tuyến; vật liệu FGM xốp; lời giải giải tích; lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất; tiếp cận chuyển vị GEOMETRICALLY NONLINEAR STATIC ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED POROUS PLATES RESTING ON PASTERNAK ELASTIC FOUNDATION BY USING DISPLACEMENT APPROACH AND NEUTRAL SURFACE POSITION Abstract In this paper, the analytical solution is presented for nonlinear bending response of functionally graded porous (FGP) plates based on first-order shear deformation theory The neutral surface position and three patterns of porosity distributions namely uniform, non-uniform symmetric and non-uniform non-symmetric are considered Using displacement approach in conjunction with Galerkin method, the analytical solution is obtained for various boundary conditions The numerical examples are performed and compared with those available in the literature to show the accuracy of the present results The effects of porosity distribution patterns and porosity coefficient, an aspect ratio of plates, Pasternak elastic foundation parameters, and boundary conditions on deflection, stress resultants of FGP plate are investigated Keywords: nonlinear bending analysis; functionally graded porous plate; analytical solution; first-order shear deformation theory; displacement approach https://doi.org/10.31814/stce.nuce2020-14(5V)-14 © 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) Giới thiệu Một phát kiến quan trọng vật liệu tiên tiến năm 80 kỷ 19 đời vật liệu có tính biến thiên (Functionally graded material - FGM) nhà khoa ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: longnv@nuce.edu.vn (Long, N V.) 166 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng học Nhật FGM loại vật liệu composite có cấu trúc vi mơ khơng đồng nhất, thường tạo thành từ hai vật liệu thành phần kim loại gốm, tính chất học vật liệu biến đổi trơn liên tục hai bề mặt Gần đây, loại vật liệu FGM hệ gọi vật liệu FGM xốp (functionally graded porous materials) có lỗ rỗng cấu trúc vi mô, biết đến loại vật liệu nhẹ, hệ số rỗng biến thiết kế, điều chỉnh để đạt tính chất học mong muốn Các kết cấu nhẹ sử dụng vật liệu FGM xốp bọt kim loại (metal foam) chẳng hạn có tiềm ứng dụng nhiều lĩnh vực hàng không, giao thông vận tải, xây dựng dân dụng [1–3] Với khả hấp thụ lượng tốt, bọt kim loại với loại vật liệu xốp khác bông, gạch, bê tông, nhựa alphat, nhựa PU cấu trúc có lỗ rỗng lựa chọn thích hợp để chế tạo cách âm, cách nhiệt, cấu kiện chịu tải trọng động hay tải trọng va chạm Cùng với gia tăng ứng dụng, nghiên cứu ứng xử học kết cấu vật liệu FGM xốp ngày thu hút quan tâm đông đảo nhà khoa học nước Đa số nghiên cứu tập trung phân tích tuyến tính ứng xử uốn, dao động ổn định kết cấu dầm, vỏ [4–10] Để mô tả gần làm việc kết cấu thực tế, phân tích phi tuyến thường sử dụng Praveen Reddy [11] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc (First-Order Shear Deformation Plate Theory - FSDT) có kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von-Kárman phân tích tĩnh động P-FGM có kể đến ảnh hưởng nhiệt phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) Zhao Liew [12] phân tích phi tuyến FGM chịu tác dụng đồng thời tải trọng cơ-nhiệt phương pháp kp-Ritz không lưới (mesh-free kp-Ritz method) Yin cs [13] khảo sát ứng xử phi tuyến FGM phương pháp đẳng hình học Na Kim [14] khảo sát ứng xử uốn phi tuyến FGM chịu tác dụng tải trọng cơ-nhiệt phương pháp PTHH-3D Ngoài phương pháp số sử dụng phân tích kể trên, phương pháp giải tích cơng cụ hữu hiệu thường nhiều tác giả lựa chọn Theo tiếp cận ứng suất, Tung Duc [15] phân tích ổn định phi tuyến FGM phương pháp giải tích Lý thuyết cổ điển (Classical Plate Theory - CLPT) phương pháp Galerkin tác giả sử dụng để nhận phương trình ổn định phi tuyến Cũng sử dụng lý thuyết CLPT, hàm ứng suất Airy phương pháp Galerkin, Thang cs [16] thiết lập lời giải hiển cho phân tích phi tuyến S-FGM Duc cs [17] phân tích ứng xử ổn định phi tuyến nhiệt FGM đàn hồi sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba (Third-Order Shear Deformation Plate Theory - TSDT) hàm ứng suất Woo cs [18] phân tích dao động riêng phi tuyến mỏng FGM Theo tiếp cận chuyển vị, Shen [19], Yang Shen [20] phân tích ứng xử uốn phi tuyến FGM chịu tác dụng tải trọng cơ-nhiệt sử dụng kỹ thuật hàm phạt (pertubation technique) sở lý thuyết TSDT Wu cs [21] phân tích sau ổn định FGM với điều kiện biên khác phương pháp giải tích sử dụng chuỗi đa thức hữu hạn Chebyshev lý thuyết FSDT Alinia Ghannadpour [22] sử dụng nghiệm chuyển vị dạng hàm điều hịa để phân tích phi tuyến mỏng FGM chịu uốn Các phân tích cho thấy, nghiên cứu ứng xử phi tuyến FGM thực không nhiều, kết cấu vật liệu FGM xốp nghiên cứu chủ đề lại hạn chế Sử dụng lý thuyết FSDT, Duc cs [23] khảo sát ứng xử động lực học phi tuyến FGM có vi bọt rỗng Tu cs [24] nghiên cứu ổn định sau ổn định FG xốp khơng hồn hảo tác dụng tải trọng học Cong cs [25] nghiên cứu ổn định cơ-nhiệt phi tuyến sau ổn định FGM có vi bọt rỗng đàn hồi sử dụng lý thuyết TSDT Phung-Van cs [26] kết hợp lý thuyết TSDT phương pháp đẳng hình học phân tích ứng xử uốn phi tuyến FGM có vi bọt rỗng Khi nghiên cứu về vật liệu FGM với cấu trúc vật liệu khơng đối xứng, mặt trung bình hình học 167 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng mặt trung hịa thường khơng trùng Để loại bỏ tương tác màng - uốn, nhiều tác giả thường tính tốn với hệ tọa độ quy chiếu đặt mặt trung hịa thay tính tốn mặt trung bình vật liệu đẳng hướng [27–30] Với việc chuyển hệ tọa độ quy chiếu mặt trung hòa, hệ thức khơng có tương tác màng - uốn, thời gian tính tốn rút ngắn, với toán phi tuyến Tấm đàn hồi mơ hình học mô làm việc thực tế mặt đường bê tông xi măng, mặt đường nhựa, đường băng sân bay hay đáy bể chứa đặt đất cơng trình Các tường lị phản ứng hạt nhân, hầm chứa, bể chứa hóa chất nhiều cấu kiện cơng trình khác mơ hình hóa kết cấu đặt nền, hay bao quanh đàn hồi Các nghiên cứu đàn hồi toán quan trọng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [31–34] Trong bài báo này, phương pháp chuyển vị sử dụng để phân tích ứng xử Trong này,của phương phápnhật chuyển sử dụngđàn để hồi phân phi tuyến uốn phibáo tuyến chữ FGMvịxốp đặt vớitích mộtứng số xử điềuuốn kiện tấmbiên chữ khác nhật FGM xốp đặt đàn hồi với số điều kiện biên khác có xét đến vị có xét đến vị trí mặt trung hịa Hàm xấp xỉ chuyển vị giả thiết trí mặt trung hịa Hàm xấp xỉ chuyển vị giả thiết dạng hàm điều hòa kép, hệ phương trình dạng hàm điều hịa kép, hệ phương trình phi tuyến để giải nhận cách phi tuyến để giải nhận cách sử dụng phương pháp Galerkin sở lý thuyết biến dạng sử dụng phương pháp Galerkin sở lý thuyết biến dạng cắt bậc Ảnh hưởng cắt bậc Ảnh hưởng ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, không đối xứng không bất đối củanhư ba loại phân đối xứngtham không bất đối xứng hệ số mậtbốđộlỗlỗrỗng: rỗng,đều, điềukhông kiện biên số kích thước tấm,xứng thamcũng số đến hệ số mậtphần độ lỗnội rỗng, kiệnkhảo biên sát tham số kích thước tấm, tham số độ võngnhư thành lực điều đến độ võng thành phần nội lực khảo sát Mơ hình liệuvật FGM xốp xốp Mơtấm hình tấmvật liệu FGM Xét Xét chữtấm nhậtchữ vậtbằng liệu vật FGM có chiều a, chiều chiều h nhật liệuxốp FGM xốp códài chiều dài a,rộng chiềub rộng b vàdày chiều dày Hình Tấm đặt đàn hồi Pasternak với hệ số nền: K hệ số độ cứng uốn (Winkler w hệ số nền: Kw - hệ số h Hình Tấm đặt đàn hồi Pasternak với stiffness), = x, (Winkler y) hệ sốstiffness), độ cứng K cắt (shear stiffness) si (i uốn độ Kcứng si (i = x, y) - hệ số độ cứng cắt (shear stiffness) Hình FGM xốp xốptrên trênnền nềnđàn đànhồi hồi Hình1.1.Mơ Mơhình hìnhtấm tấmchữ chữ nhật nhật FGM Mô đun đàn hồi kéo-nén và mô đun đàn hồi trượt vật liệu FGM xốp phụ thuộc Mô đun đàn hồi kéo-nén mô đun đàn hồi trượt vật liệu FGM xốp phụ thuộc vào mật độ vào mật độ phân bố lỗ rỗng, biến thiên liên tục theo chiều dày theo quy luật phân bố lỗ rỗng, biến thiên liên tục theo chiều dày theo quy luật sau [35, 36]: sau [35, 36]: - Phân bố đều: Phân bố đều: 2 − (1) E = Emax (1 − e0 λ) ; G = Gmax (1 − e0 λ) ; λ = − e0 − + π 1 e02 e0 π E E e0 ; G Gmax e0 ; e0 (1) - Phân bố không max - đối xứng: e0 e0 πz πz E(z) = − e0- cos (2) Phân bốEkhông đối xứng:; G(z) = Gmax − e0 cos max h h z - Phân bố không Eđều - bất đối xứng: z ; G( z ) G ( z ) Emax e0 cos ; (2) max e0 cos h h πz π πz π E(z) = Emax − e0 cos + ; G(z) = Gmax − e0 cos + (3) 2h 2h Phân bố không - bất đối xứng: E( z) Emax e0 cos z 2h 168 ; G ( z ) Gmax e0 cos z 2h ; (3) Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng là cáccác giágiá trị trị lớnlớn mơmơđun Emax , G , Gmax lượt đunđàn đànhồi hồikéo kéo- nén, - nén, Eđó maxmax E , Glần max giá trị lớn mô đun đàn hồi kéo - nén, Emax , Gmax max giá trị lớn mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi mômô đunđun đànđun hồihồi trượt vàtrượt khối riêng; cáccác trịgiá nhỏ tương ứng Emin , GE,min trượt riêng; giá trị nhỏ tương ứngứng Emin hồi vàlượng lượng riêng; làgiá trịHình nhỏ ,là Glà trượtmơ đàn khối đàn lượng riêng; Ekhối , khối Glượng giá trị nhỏG tương ứng (xem 2) Hệ tương số Poisson min min coi2) làHình khơng đổi chiều dày (xem Hình HệHệ số Poisson coi làtấm không thay đổi theo chiều dày (xem Hình 2) số coi là thay đổi theo chiều dày tấm.tấm (xem 2).thay HệPoisson số theo Poisson coikhông là không thay đổi theo chiều dày (a) Phân bố Phân bố (a) (a) Phân đềuđều (a)bốPhân bố (b) Phân bố đối xứng (c) Phân bố bất đối xứng Phân bố xứng Phân đốixứng xứng (b)(b) Phân đốiđối xứng Phân bốbốbấtbất (b)bố Phân bố đối xứng (c)(c) (c) Phân bốđối bất đối xứng Hình 2.vật Tấm vật liệuxốp FGM xốp với cáccác hàm mậtđộ độ phân lỗ khác Hình Tấm vật liệu FGM xốp với hàm mật độ phân bố lỗ rỗng khác Tấm vật liệu FGM xốp với hàm mật độ bố phân bố lỗ rỗng khác Hình 2.Hình Tấm liệu FGM với hàm mật phân bố lỗrỗng rỗng khác số mật độ lỗrỗng eđược tính theo:theo: Hệmật số mật độrỗng lỗee00rỗng etính tính Hệ số theo: 0tính Hệ Hệ số mật độđộ lỗlỗrỗng theo: Gmin Gmin E Emin EEmin G =G1min 1− 0 e0 (0 e1< e01< 1) e0 e01 e1e00 =min11 − 1E Gmaxe0 max EmaxEmax GmaxGmax Emax Gmax (4) (4)(4)(4) Vị trí mặt trung hịa FGM xốp trường hợp phân bố bất đối xứng không trùng mặt Vịmặt trí mặt trung hịa FGM xốp trường hợp phân bố bất đối xứng trung hòa FGM xốp trường hợpphân phân bấtđối đốixứng xứng Vị Vị trí trí mặt trung hịa FGM xốp trường hợp bốbốbất trung bình, xác định từ điều kiện [37]: khơng trùng mặt trung bình, xác từkiện điều kiện [37]: khơng trùng mặt trung bình, xác định từ điều kiện [37]: không trùng mặt trung bình, xác định từđịnh điều [37]:      h/2  h/2 h/2  h /2   h /2   (z −( zC) ⇒ C = ( zzE zE(z)dz (E(z)dz z )dz  dz(E(z)dz = / /E (/Ez)(dz zE )dz z zC C Ez( zE)C dz)E 0z )dz C0 C C zEzE ( z)dz)dz(/z )dz  h /2 h /2 h /2 h /2 h /2 h /2 h /2 h/2 h /2 h /2 h /2  h /2 h /2 h /2 −h/2 −h/2 h /2h /2 (5) (5)(5) (5) −h/2 3.thuyết Lý thuyết biến dạng cắt bậc Lý biến dạng cắt nhấtnhất Lý thuyết biến dạng cắt bậcbậc Lý thuyết biến dạng cắt bậc Sử dụng hệ độ tọa quy độ quy chiếu qua mặt trung hòa, thành phần chuyển vị dụng tọa chiếu mặt trung hòa,các cácthành thành phần chuyển Sử Sử dụng hệhệhệ tọa độquy quychiếu chiếu mặt quaqua mặt trung hòa, phần chuyển vịvịbất Sử dụng tọa độ qua trung hòa, thành phần chuyển vị u, v, w điểm u, vcủa , w điểm điểm kỳ bất kỳtọa có tọa(x, độ (x, y,) ztrong không gian [38]: ns) w không gian [38]: u, vu, ,wv,của điểm bấtbất kỳ có có tọa độ độ (x, y, zy,nsz) nstrong không gian [38]: kỳ có tọa độ (x, y, zns ) khơng gian [38]: ) z(nsx, xy();x, yv);( x, vy(,xz, y,) znsv) ( xv,0y()x, yz) zns( x,yy(); x, y); u, (yx,, zuy(, x)z,nsy)u, z(nsux)0, (yx)u, y0 ()zx, yzns u ( xy, ( xx, yv(x, ); y,v(zxns, )y=, zvns0 (x, )ns y)v0+( x0z,nsyθ)y (x,zns xy , y);y, zns ) = w0 (x, y) (6) u(x, zns )ns= u0 (x, y);nsy (w(x, (6) y) + zns θ xns(x,xy); wy(,xz, y), znsw) ( xw, 0y()x, y) (6)(6) w ( x , w( x, y, zns )ns w0 ( x0, y) đó: u0 , v0 , w0 thành phần chuyển vị điểm mặt trung hòa theo phương x, y, zns ; đó: thành phần chuyển vịhaicủa điểm mặt trung hòa theo u , v , w 0 θ x , θtrong góc xoay pháp tuyến mặt trung hịa quanh trục y, x đó: thành phần chuyển điểm mặt trung hòatheo theocác cáccác u , v , w trongy đó: u0 , v00 , w00 là0 thành phần chuyển vị vị củacủa điểm mặt trung hịa Các thànhx,phần biến ,dạnglàcó đếnxoay thành phi tuyến hình họchịa theo nghĩa Kármán [38] phương cáckểxoay góc củaphần pháp tuyến mặt trung quanh haivon trục y phương znsy, ; zxns,; y xlà góc pháp tuyến mặt trung hòa quanh hai trục y, x.y, x phương x, y,x, zy, pháp tuyến mặt trung hòa quanh hai trục y, x có dạng sau: ns; x , y góc xoay         ε      κx  ε x Các thành phần biến dạng có kể đến thành tuyến học nghĩa       x      γhình Các thành phần biến dạng đến thành phần phiγphi tuyến hình theotheo nghĩa vonvon    phần    có kể xz xzhọc CácKármán thành phần biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học theo nghĩa von ε ε κ + z ; = (7) =       y y ns y       có dạng sau:    γyz γyz   κ   sau:     Kármán [38] [38] có dạng   γ γ xy xy Kármán [38] có dạng sau: xy κ xy = riêng 0 w20,y x x0 x x đó: = u0,x +x x ; εy x = v0,y0 + x x; γ0xy = xzu0,yxz+0 vxz 0,x 2zns ; y xz ; y yz xz 0 0y y ns y yz θ x,y + θy,x ; γ xz = wy 0,x + θ x ;yγyz =zw 0,y +yθy ;Dấu (,)yzđi kèm ns yz xyyz xy theo biến tương ứng.xy xy0 xy yz xy xy xy xy ε0x w20,x 169 xz w0,x w0,y ; κ x = θ x,x ; κy = θy,y ; + (7) (7) thành phần chuyển vị đạo yz (7) hàm Hải, L T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Vật liệu FGM xốp coi đàn hồi tuyến tính, thành phần ứng suất xác định từ định luật Hooke:             σx  εx  Mx  κx   Q11 Q12    C11 C12                             σy  εy  My  κy  =  Q21 Q22   ;  =  C12 C11   (8)                       σ        0 Q γ M 0 C κ 66 xy xy 66 xy xy νE(zns ) E(zns ) E(zns ) , Q12 = Q21 = , Q44 = Q55 = Q66 = 2 (1 + v) 1−ν 1−ν Các thành phần nội lực suy từ biểu thức định nghĩa:          εx      Nx  Mx  κx  A11 A12    C11 C12                              ε N A A M C C κy ;  =  12  y  =  12 11 y  11     y                 N           A66 M xy 0 C66 κ xy γ xy xy đó: Q11 = Q22 = Q xz Qyz = s A44 0 s A44 (9) γ0xz γyz h/2−C đó: Ai j , Ci j =      ;     h/2−C Qi j 1, z2ns dzns ; i j = s 11, 12, 66; A44 = ks −h/2−C Q44 dzns ; k s hệ số hiệu −h/2−C chỉnh cắt, với chữ nhật vật liệu FGM xốp: k s = 5/6 Biểu thức (9) cho thấy việc sử dụng mặt trung hòa giúp loại bỏ tương tác màng-uốn Nguyên lý toàn phần cực tiểu sử dụng để thiết lập phương trình cân [39], với dạng toán học sau: = δU P + δU F + δV (10) δU P , δU F , δV biến phân biến dạng đàn hồi tấm, biến dạng tải trọng Hệ phương trình cân thu có dạng [39]: N x,x + N xy,y = 0; N xy,x + Ny,y = 0; Q xz,x + Qyz,y + N x w0,xx + 2N xy w0,xy + Ny w0,yy − Kw w0 + K sx w0,xx + K sy w0,yy + q = 0; M x,x + M xy,y − Q xz = 0; (11) M xy,x + My,y − Qyz = Các tham số điều kiện biên bao gồm: (un , Nn ) , (u s , Nns ) , (w0 , Qn ) , (θn , Mn ) , (θ s , Mns ) Các số n, s thể phương pháp tuyến tiếp tuyến biên Thay liên hệ thành phần nội lực qua biến dạng, biến dạng qua chuyển vị từ quan hệ (7)–(9) vào (11), ta hệ phương trình cân theo chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất: A11 u0,xx + w0,x w0,xx + A12 v0,xy + w0,y w0,xy + A66 u0,yy + v0,xy + w0,x w0,yy + w0,y w0,xy = 0; A12 u0,xy + w0,x w0,xy + A11 v0,yy + w0,y w0,yy + A66 u0,xy + v0,xx + w0,xx w0,y + w0,x w0,xy = 0; s s s s A44 w0,yy + A44 w0,xx − Kw w0 + K sx w0,xx + K sy w0,yy + A44 θ x,x + A44 θy,y + A11 u0,x w0,xx +A12 u0,x w0,yy + 2A66 u0,y w0,xy + A12 v0,y w0,xx + A11 v0,y w0,yy + 2A66 v0,x w0,xy + A11 w20,x w0,xx 1 + A12 w20,y w0,xx + A12 w20,x w0,yy + A11 w20,y w0,yy + 2A66 w0,x w0,y w0,xy + q = 0; 2 170 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng s s C11 θ x,xx + C66 θ x,yy + (C12 + C66 ) θy,xy − A44 θ x − A55 w0,x = 0; s s (C12 + C66 ) θ x,xy + C66 θy,xx + C11 θy,yy − A44 θy − A44 w0,y = (12) Lời giải giải tích Với chữ nhật, nghiệm chuyển vị thỏa mãn điều kiện biên theo lý thuyết biến dạng cắt bậc sau thiết lập: - Liên kết khớp cạnh (SSSS): Tất bốn cạnh tựa lề, với ràng buộc tương ứng là: un = u s = w0 = θ s = 0, Mn = (13) - Liên kết ngàm cạnh (CCCC): Tất bốn cạnh liên kết ngàm, ràng buộc tương ứng là: un = v s = w0 = θn = θ s = (14) - Liên kết đối xứng ngàm cạnh, khớp cạnh (SCSC): Hai cạnh đối diện tựa lề, hai cạnh lại liên kết ngàm, ràng buộc tương ứng là: Tại x = 0, a: u0 = v0 = w0 = θy = 0, M x = Tại y = 0, b: u0 = v0 = w0 = θ x = θy = (15) Lưu ý rằng, điều kiện biên xem xét có chung đặc điểm khơng thể tự dịch chuyển mặt phẳng (immovable) Với điều kiện biên nêu ta chọn nghiệm chuyển vị dạng khai triển sau [22, 40]: M u0 = N M m=1 n=1 M N θx = N v0 = u0mn U1m (x)U2n (y); v0mn V1m (x)V2n (y); m=1 n=1 M N θ xmn Xm (x)Yn (y); θy = m=1 n=1 θymn Xm (x)Yn (y); (16) m=1 n=1 M N w0 = w0mn Xm (x)Yn (y) m=1 n=1 2mπx đó: u0mn , v0mn , w0mn , θ xmn , θymn hệ số cần xác định; U1m (x) = sin ; U2n (y) = a (2n − 1) πy (2m − 1) πx 2nπy sin ; V1m (x) = sin ; V2n (y) = sin , với m, n = 1, 2, b a b Các hàm Xm (x), Yn (y) phải đảm bảo liên tục, thỏa mãn điều kiện biên độc lập tuyến tính Bảng hàm dạng Xm (x) Yn (y) áp dụng cho điều kiện biên SSSS, SCSC CCCC 171 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng Các hàm dạng Xm (x) Yn (y) sử dụng khai triển (16) [41, 42] Điều kiện biên Tại x = 0, a Tại y = 0, b SSSS Xm = Xm = Ym = Ym = SCSC Xm = Xm = Ym = Ym = CCCC Xm = Xm = Ym = Ym = Xm (x) mπx sin a mπx sin a mπx sin a Yn (y) nπy sin b nπy sin b nπy sin b (m, n) m, n = 1, 3, m = 1, 3, n = 1, 2, m, n = 1, 2, Thay (16) vào (12), ta được: M M N N M N w0mn w0pq h(13) mnpq = 0; (12) (11) + v0mn lmn + u0mn lmn m=1 n=1 p=1 q=1 m=1 n=1 M N M N M N (22) (21) + v0mn lmn u0mn lmn + m=1 n=1 M w0mn w0pq h(23) mnpq = 0; m=1 n=1 p=1 q=1 N M N M N (34) (35) (33) + θ xmn lmn + θymn lmn w0mn lmn + m=1 n=1 (32) u0mn w0pq h(31) mnpq + v0mn w0pq hmnpq (17) m=1 n=1 p=1 q=1 M N M N M N w0mn w0pq w0rs p(33) mnpqrs + q = 0; + m=1 n=1 p=1 q=1 r=1 s=1 M N M (43) w0mn lmn + (44) θ xmn lmn + (45) θymn lmn N (53) (54) (55) w0mn lmn + θ xmn lmn + θymn lmn =0 = 0; m=1 n=1 m=1 n=1 () ) ) đó: hàm số lmn (x, y), h(mnpq (x, y), p(mnpqrx (x, y) trình bày Phụ lục A Áp dụng phương pháp Galerkin, nhân biểu thức phương trình (17) với hàm riêng tương ứng thực tích phân tồn miền A tấm, ta được: M N M N M N (11) (12) u0mn Lmni j + v0mn Lmni j + m=1 n=1 M m=1 n=1 p=1 q=1 N M (21) u0mn Lmni j + (22) v0mn Lmni j N M N (23) w0mn w0pq Hmnpqi j = 0; + m=1 n=1 M (13) w0mn w0pq Hmnpqi j = 0; m=1 n=1 p=1 q=1 N M N M N (33) (34) (35) w0mn Lmni j + θ xmn Lmni j + θymn Lmni j + m=1 n=1 (31) (32) u0mn w0pq Hmnpqi j + v0mn w0pq Hmnpqi j m=1 n=1 p=1 q=1 M N M N M N w0mn w0pq w0rs P(33) mnpqrsi j + F i j = 0; + m=1 n=1 p=1 q=1 r=1 s=1 M N M N (43) (44) (45) w0mn Lmni j + θ xmn Lmni j + θymn Lmni j = 0; m=1 n=1 (53) (54) (55) w0mn Lmni j + θ xmn Lmni j + θymn Lmni j = m=1 n=1 (18) 172 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng () () () hệ số Lmni j , Hmnpqi j , Pmnpqrsi j , F i j trình bày Phụ lục B Nghiệm hệ phương trình đại số phi tuyến (18) véc tơ chuyển vị u0mn ; v0mn ; w0mn ; θ xmn ; θymn ; từ xác định phần chuyển vị, biến dạng, nội lực toán phân tích phi tuyến tính tĩnh Trong phân tích tuyến tính, bỏ qua thành phần biến dạng phi tuyến cơng thức (7); hệ phương trình đại số tuyến tính thu từ (18) sau bỏ qua thành phần phi tuyến () () Hmnpqi j , Pmnpqrsi j Kết số thảo luận Với nghiệm giải tích thiết lập phần trên, chương trình tính Matlab viết để thực ví dụ số Các kết phân tích phi tuyến trừ trường hợp riêng nói trước Các cơng thức khơng thứ ngun sử dụng [43, 44]: K sy b2 K sx a2 q0 a4 Kw a4 a b w¯ = w0 , ; K0 = ; J = = ; E = 1,0 GPa; P = 0 h 2 E0 h3 E0 h3 ν E0 h3 ν E h4 (19) 5.1 Ví dụ kiểm chứng a Ví dụ kiểm chứng Tấm vuông đẳng hướng điều kiện biên hai cạnh đối diện tựa khớp, hai cạnh lại liên kết ngàm (SCSC) tác dụng tải trọng phân bố q0 với h/a = 0,05, ν = 0,3, E = 0,3 × 107 psi Bảng thể kết độ võng không thứ nguyên w¯ tâm với tham số tải trọng uốn P khác Các kết tính tốn báo so sánh với Lei [45] sử dụng phương pháp phần tử biên (the boundary element method) dựa lý thuyết bậc nhất, Azizian Dawe [46] sử dụng phương pháp dải hữu hạn (the finite strip method) sử dụng lý thuyết Mindlin, Long cs [47] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc theo tiếp cận ứng suất Bảng Độ võng không thứ nguyên w¯ vuông đẳng hướng điều kiện biên SCSC tác dụng tải trọng phân bố q0 = PE1 h4 /a4 P Azizian Dawe [46] (Lý thuyết Mindlin) Lei [45] Long cs [47] (Tiếp cận theo ứng suất) Bài báo Sai số δ (%) 0,9158 4,5788 6,8681 9,1575 0,0199 0,0988 0,1469 0,1936 0,0199 0,0984 0,1455 0,1904 0,0198 0,0982 0,1461 0,1929 0,0198 0,0981 0,1459 0,1922 0,23 0,11 0,17 0,35 *Sai số so với kết Long cs [47] b Ví dụ kiểm chứng Xét vuông đẳng hướng: a/h = 10, E = Ec = 322,27 GPa (Si3 N4 ), ν = 0,28, chịu tác dụng Em h4 tải trọng phân bố q0 = P , Em = 207,78 GPa (SUS304) Độ võng không thứ nguyên tâm a w¯ tính tốn so sánh với Talha Singh [48] sử dụng phương pháp PTHH (phần tử C , 13 bậc tự nút) dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với ẩn số chuyển vị độc lập Các kết kiểm chứng thể Bảng áp dụng với dạng điều kiện biên SSSS, SCSC 173 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng Độ võng không thứ nguyên không thứ nguyên w¯ vuông đẳng hướng tác dụng tải trọng phân bố Phương pháp P=4 P=8 P = 12 P = 16 P = 20 P = 40 0,3911 0,3927 0,40 0,4597 0,4583 0,30 0,6984 0,6908 1,09 0,2306 0,2286 0,85 0,2811 0,2800 0,38 0,4942 0,4953 0,21 0,1598 0,1560 2,37 0,1981 0,1936 2,25 0,3698 0,3681 0,47 SSSS Talha Singh [48] Bài báo Sai số δ (%) 0,1200 0,1189 0,96 0,2251 0,2254 0,14 0,3185 0,3160 0,77 SCSC Talha Singh [48] Bài báo Sai số δ (%) 0,0602 0,0594 1,26 0,1193 0,1179 1,19 0,1764 0,1745 1,09 CCCC Talha Singh [48] Bài báo Sai số δ (%) 0,0405 0,0395 2,51 0,0808 0,0788 2,52 0,1207 0,1177 2,51 giảm, với dẫncác tớitrịđộ độ võng không thứnhau nguyên giảm theo với vớilệch tấtgiữa cáckết dạng phânbố bốbáo giảm, dẫn tới võng không thứ nguyên giảm tất dạng lỗlỗ CCCC số tải trọng uốn khác Có thể thấy theo rằng, sai quảphân kết Talha Singh tính [48] làcũng bé (dưới rỗng, khicủa phân tíchvàtuyến tuyến tính phi2,6%) tuyến.Hệ Hệsố sốrỗng rỗngcàng cànglớn lớnthì thìảnh ảnhhưởng hưởng rỗng, phân tích phi tuyến cácphân ví dụ kiểm 2,rõcórệt thể thấy theo có tiếpđộ cậnvõng phương chuyển củaQua dạng bố lỗ lỗchứng rỗng1các Phânrằng bốlời đốigiải xứng bénhất nhấtpháp dạng phân bố rỗng rõ rệt Phân bố đối xứng có độ võng bé vị chương trình máy tính mà báo xây dựng có độ tin cậy hai dạng dạng phân phân bố bố lỗ lỗ rỗng rỗng còn lại lại cho cho kết kết quả độ độvõng võngkhông khơngmấy mấykhác khácbiệt biệt.Như Nhưchờ chờ hai đợi, Các tínhvítheo theo phisát tuyến luôn cho cho kết kết quả của độ độ võng võng bé bé hơntính tínhtheo theotuyến tuyếntính, tính, 5.2 dụ khảo đợi, tính phi tuyến ngồi cịn nhận thấy, hệ1số số rỗng tăng lên sự khác biệthồi, vềđộ độvõng võng hai ngồi cịn thấy, rỗng tăng sự khác hai Xétra chữnhận nhật vật liệukhi xốp hệ (E = 200 GPa, ν =lên 1/3) đặt nềnbiệt đàn tác dụng tải trọng phân bố q0càng càng Dướilớn đây, ảnh hưởng dạng phân bố lỗ rỗng, hệ số rỗng, tham số tỷ phương pháp tính lớn phương pháp tính Hình Biến thiên độ võngđộ w¯ tấmww xốpcủa theotấm hệ số Hình Biến Biến thiên độ võng Hình thiên võng rỗng e0 với quy luật phân bố lỗ rỗng khác xốp xốp theo theo hệ hệ số số rỗng rỗng ee00 với với cácquy quyluật luật phân phân bố bố lỗ lỗ rỗng rỗng khác khác nhau Hình 4 Biến thiênthiên độ võng ¯ võng theo trọng ww Hình 4.Biến Biến thiên độwvõng củatải Hình độ phân bố P với quy luật phân bố lỗ rỗng khác theo theotải tảitrọng trọngphân phânbố bốđều đềuPPvới vớicác cácquy quy luật luậtphân phânbố bốlỗlỗrỗng rỗngkhác khácnhau 174 Quy Quy luật luật biến biến thiên thiên của độ độ võng võng không không thứ thứ nguyên nguyên ww theo theotỷtỷsố sốkích kíchthước thướctấm a/h a/h (b/a (b/a == 1) 1) và b/a b/a (a/h (a/h == 10) 10) của tấm FGM FGM xốp xốp với vớicác cácđiều điềukiện kiệnbiên biênkhác khácnhau được biểu biểu diễn diễn lần lượt trên Hình Hình 55và vàHình Hình6.6.Các Cáckết kếtquả quảphân phântích tíchphi phituyến tuyếncủa củabài Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng số kích thước khảo sát Chú ý phân tích phi tuyến ký hiệu PT, phân tích tuyến tính ký hiệu TT Hình thể biến thiên độ võng lớn không thứ nguyên theo hệ số rỗng với ba dạng phân bố lỗ rỗng khác nhau: đều, đối xứng bất đối xứng Hình biểu diễn đường cong tải - độ võng với ba dạng phân bố lỗ rỗng khác (e0 = 0,5) Các đường thẳng thể phân tích tuyến tính, đường cong phân tích phi tuyến Từ đồ thị nhận ta nhận thấy, hệ số rỗng tăng làm cho độ cứng giảm, dẫn tới độ võng không thứ nguyên tăng theo với tất dạng phân bố lỗ rỗng, phân tích tuyến tính phi tuyến Hệ số rỗng lớn ảnh hưởng dạng phân bố lỗ rỗng rõ rệt Phân bố đối xứng có độ võng bé hai dạng phân bố lỗ rỗng lại cho kết độ võng khơng khác biệt phân tích tuyến tính Như chờ đợi, tính theo phi tuyến ln cho kết độ võng bé tính theo tuyến tính, ngồi nhận thấy, hệ số lỗ rỗng tăng lên có khác biệt đáng kể độ võng phân tích theo tuyến tính phi tuyến w theo ww¯ 5.thiên Biến thiên độ HìnhHình Biến thiên độđộ võng w kích w theo Hình 5.võng Biến thiên độ võng Hình 6.thiên Biến thiên võng tỷ Hình Hình Biến độ w¯ võng tỷ số Biến võngđộ tấm số kích thước a/h với điều kiện biên khác thước cạnh b/a với điều kiện biên khác theo tỷ sốtheo kíchtỷthước tấmthước a/h với theo tỷ sốtheo kíchtỷthước cạnh b/a cạnh với số kích tấmcác a/hđiều với điều số kích thước b/a với kiện biênkiện khácbiên nhaukhác điều kiệnđiều biênkiện khácbiên khác Quy luật biến thiên độ võng không thứ nguyên w¯ theo tỷ số kích thước a/h (với b/a = 1) làHình - độ xốp võng FGM xốp với bốn cặp thamcặp số làcong đường cong tải với - độ võng FGM xốp với bốn tham b/a Hình (với a/h =đường 10)7 tấmtảiFGM điều kiện biên khác biểu diễn số lầnnền lượt hình có thể ta quan sát thấy rằng, tăng tham số , Jnền Từ ta hình vẽ, quan sát thấy khitheo tăngtiếp thamK , J , độ 0số 0, độ trênkhác Hình khác vàTừ Hình vẽ, Các kết phân tích phi tuyến củarằng, báo cận chuyển vịKđược 0 tính tốn so tiếp cậnđáng ứng báo Đồ thị hình thấy võng củasánh tấmvới giảm đáng kể; vàtheo ảnh hưởng hệbài sốcủa nềnhệ[47] J0sốlớn với hệso sốvới võng củacách giảm kể; vàsuất ảnhcủa hưởng J0 so lớn hệ cho số K tương đồng hai cách tiếp cận, cụ thể là: K0 - Về ảnh hưởng điều kiện biên: rõ ràng biên SSSS có độ võng lớn nhất, sau đến biên SCSC, biên CCCC có độ võng nhỏ nhất; biên hạn chế chuyển vị mặt phẳng có độ võng bé so với biên không hạn chế chuyển vị mặt phẳng tương ứng - Về ảnh hưởng tỷ số a/h: tăng tỷ số a/h, độ võng khơng thứ ngun w¯ giảm nhanh a/h cịn nhỏ (tấm dày, a/h ≤ 10); sau độ võng giảm chậm lại gần không đổi a/h lớn (a/h ≥ 30) - Về ảnh hưởng tỷ số b/a: tăng tỷ số b/a, độ võng không thứ nguyên w¯ tăng b/a nhỏ (0,5 ≤ b/a ≤ 2); sau thay đổi Hình đường cong tải - độ võng FGM xốp với bốn cặp tham số khác Từ hình vẽ, ta quan sát thấy rằng, tăng tham số K0 , J0 , độ võng giảm đáng kể; ảnh hưởng hệ số J0 lớn so với hệ số K0 Biến thiên thành phần mô men uốn M x , My tâm theo tải trọng phân bố P chữ nhật (b/a = 2) FGM xốp với điều kiện biên khác thể Hình Các đồ thị w Mx,M Hìnhvới Biến thiên độP, võng Hình Biến mơ thiên men uốn w Hìnhmức Biến thiên võng Hìnhthiên Biến mơ men uốn y Mx,M y cho thấy, tải mô độ men Mtấm x lớn nhiều so với mô men uốn My Một điều thú vị theo tải trọng phân bố vớiđều cácPhệ sốcác hệ theo tải trọng phânPbố với số (Nm/m) theo tải trọng phân bố phân bố (Nm/m) theo tải trọng 175 khácnền nhaukhác P vớiđều cácPđiều biênkiện khácbiên với kiện điều khác Biến thiên củathiên thành phần mô phần men uốn M x, M tải trọng phân Biến thành mô men uốn Mtâm theo tâm theo tải trọng phân y x, Mytấm bố P củabố chữ nhật (b/a = 2) FGM xốp với điều kiện biên khác thể P chữ nhật (b/a = 2) FGM xốp với điều kiện biên khác thể w w Biếnđộthiên Biếnđộthiên Hình 5.Hình Biến5.thiên võngđộwvõng Hình 6.Hình Biến6 thiên võngđộwvõng tỷ số kíchtấm thước tỷ số kíchcạnh thước theo tỷ theo số kích thước a/htấm với a/h cácvới điềucác điều theo tỷ theo số kích thước b/acạnh với b/a với kiện biênnhau khác điều kiện biên khác kiện biên khác điều kiện biên khác đường - độcủa võng tấmxốp FGM cặpsốtham Hình 7Hình đường cong tảicong - độtải võng tấmcủa FGM vớixốp bốnvới cặpbốn tham số Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng khác Từ hình vẽ, ta quan sát thấy rằng, tăng tham số K0, J0, độ khác Từ hình vẽ, ta quan sát thấy rằng, tăng tham số K0, J0, độ võng giảm đáng kể; ảnhMhưởng hệkhi số nềnmen J0 lớn so vớikhi hệPsố với biên SCSC, tăng tảikể; P,và môảnh men uốn mơ Myhơn hệ tăng cịn nhỏ võng tấmcủa giảm đáng hưởng hệ số J0 lớn so với số x tăng (P K ≤0.12), K sau lại giảm w M x , M y wvõng Biến M Myy (Nm/m) Biến thiên mơ men 7.Hình Biến7 thiên độthiên Hình 8.Hình Biến thiên men uốn Hình Hình Biến thiên độ võng w¯ võng củađộ theo tải trọngtấm Hình Biến thiênmơ mơ men uốn M xuốn ,, M phân bố P với hệ số khác theo tải trọng phân bố P với điều kiện tảiphân trọngbốphân đềucác P với hệ(Nm/m) số theo tảitheo trọng bố P với hệ số (Nm/m) trọngbốphân bố tấmcủa theo tảitheo trọngtảiphân biên khác nềnnhau khác khác P với điềucác kiện biên khác đềucác P với điều kiện biên khác Biến thiên cáccủa thành menmô uốn Mxuốn , My M tạix, tâm tấmtâm theo tảitheo trọngtảiphân Biếncủa thiên cácphần thànhmô phần men My trọng phân bố KếtPluận chữtấm nhật (b/a = 2) FGM vớixốp cácvới điềucác kiện biên khác bố P chữ nhật (b/a = 2)xốp FGM điều kiện biênnhau khácđược nhauthể thể hiện Hình 8.Hình Các đồlýCác thị cho thấy, mọiphân mức tảimức P, mô hiện đồ thị chovới thấy, với tải men P,ứng môMxử men x lớn M x lớn Bài báo xây dựng sở thuyết thuật toán tích phi tuyến uốnhơn chữkhá nhật nhiều mơ men M Một vị biên tăngkhi tảităng P,chuyển mô nhiều so với môuốn men Msốyđiều điều Mộtthú điều thúvới vị biên vớiSCSC, biên tải P,vịmô FGM xốpso đặtvới đàn hồi vớiyuốn kiện khác theo SCSC, phương pháp lý menbiến uốn Mxuốn tăng mơ menmơ M tăng Pđược cịn (Pphương ≤ 12), đóBubnov-Galerkin lại men Mkhi tăng khinhỏ P cịn nhỏ (Psau ≤ 12), saugiảm lại giảm ymen x tăng ythu thuyết dạng cắtMtrong bậc Nghiệm giải tích pháp với chương trình tính tự viết Matlab kiểm chứng với kết công bố cho thấy đủ tin cậy Ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số đàn hồi, tải trọng uốn điều kiện biên đến độ võng, đường cong tải - độ võng mô men uốn nội lực chi tiết qua ví dụ số Các nhận xét rút nguồn tham khảo hữu ích cho cơng tác tính tốn, thiết kế bảo trì cấu kiện cơng trình sử dụng vật liệu FGM xốp Lời cảm ơn Tác giả chân thành cảm ơn hỗ trợ tài đề tài khoa học công nghệ cấp Bộ “Nghiên cứu giải pháp ứng dụng vật liệu thông minh, thân thiện môi trường kết cấu cơng trình thích ứng bối cảnh cách mạng công nghiệp 4.0”, mã số CT.2019.03.04 Tài liệu tham khảo [1] Smith, B H., Szyniszewski, S., Hajjar, J F., Schafer, B W., Arwade, S R (2012) Steel foam for structures: A review of applications, manufacturing and material properties Journal of Constructional Steel Research, 71:1–10 [2] Ashby, M F., Evans, T., Fleck, N A., Hutchinson, J W., Wadley, H N G., Gibson, L J (2000) Metal foams: a design guide Elsevier [3] Banhart, J (2001) Manufacture, characterisation and application of cellular metals and metal foams Progress in Materials Science, 46(6):559–632 [4] Magnucki, K., Malinowski, M., Kasprzak, J (2006) Bending and buckling of a rectangular porous plate Steel and Composite Structures, 6(4):319–333 176 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng [5] Jabbari, M., Mojahedin, A., Khorshidvand, A R., Eslami, M R (2014) Buckling analysis of a functionally graded thin circular plate made of saturated porous materials Journal of Engineering Mechanics, 140(2):287–295 [6] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2015) Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam Composite Structures, 133:54–61 [7] Wang, Y., Wu, D (2017) Free vibration of functionally graded porous cylindrical shell using a sinusoidal shear deformation theory Aerospace Science and Technology, 66:83–91 [8] Hải, L V., Tú, T M., Huỳnh, L X (2018) Phân tích dao động riêng vật liệu rỗng theo lỳ thuyết biến dạng cắt bậc Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 12(7):9–19 [9] Long, N V., Hường, N T (2020) Phân tích ổn định kết cấu dầm vật liệu xốp chịu nén dọc trục với điều kiện biên khác Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 14(2V):97–106 [10] Ebrahimi, F., Dabbagh, A., Rastgoo, A (2019) Vibration analysis of porous metal foam shells rested on an elastic substrate The Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 54(3):199–208 [11] Praveen, G N., Reddy, J N (1998) Nonlinear transient thermoelastic analysis of functionally graded ceramic-metal plates International Journal of Solids and Structures, 35(33):4457–4476 [12] Zhao, X., Liew, K M (2009) Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198(33-36): 2796–2811 [13] Yin, S., Yu, T., Bui, T Q., Nguyen, M N (2015) Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using isogeometric analysis Engineering Computations [14] Na, K.-S., Kim, J.-H (2006) Nonlinear bending response of functionally graded plates under thermal loads Journal of Thermal Stresses, 29(3):245–261 [15] Tung, H V., Duc, N D (2010) Nonlinear analysis of stability for functionally graded plates under mechanical and thermal loads Composite Structures, 92(5):1184–1191 [16] Thang, P.-T., Nguyen-Thoi, T., Lee, J (2016) Closed-form expression for nonlinear analysis of imperfect sigmoid-FGM plates with variable thickness resting on elastic medium Composite Structures, 143:143– 150 [17] Duc, N D., Bich, D H., Cong, P H (2016) Nonlinear thermal dynamic response of shear deformable FGM plates on elastic foundations Journal of Thermal Stresses, 39(3):278–297 [18] Woo, J., Meguid, S A., Ong, L S (2006) Nonlinear free vibration behavior of functionally graded plates Journal of Sound and Vibration, 289(3):595–611 [19] Shen, H.-S (2002) Nonlinear bending response of functionally graded plates subjected to transverse loads and in thermal environments International Journal of Mechanical Sciences, 44(3):561–584 [20] Yang, J., Shen, H.-S (2003) Nonlinear bending analysis of shear deformable functionally graded plates subjected to thermo-mechanical loads under various boundary conditions Composites Part B: Engineering, 34(2):103–115 [21] Wu, T.-L., Shukla, K K., Huang, J H (2007) Post-buckling analysis of functionally graded rectangular plates Composite Structures, 81(1):1–10 [22] Alinia, M M., Ghannadpour, S A M (2009) Nonlinear analysis of pressure loaded FGM plates Composite Structures, 88(3):354–359 [23] Duc, N D., Quang, V D., Nguyen, P D., Chien, T M (2018) Nonlinear dynamic response of functionally graded porous plates on elastic foundation subjected to thermal and mechanical loads Journal of Applied and Computational Mechanics, 4(4):245–259 [24] Tu, T M., Hoa, L K., Hung, D X., Hai, L T (2020) Nonlinear buckling and post-buckling analysis of imperfect porous plates under mechanical loads Journal of Sandwich Structures & Materials, 22(6): 1910–1930 [25] Cong, P H., Chien, T M., Khoa, N D., Duc, N D (2018) Nonlinear thermomechanical buckling and post-buckling response of porous FGM plates using Reddy’s HSDT Aerospace Science and Technology, 77:419–428 [26] Phung-Van, P., Thai, C H., Ferreira, A J M., Rabczuk, T (2020) Isogeometric nonlinear transient analysis of porous FGM plates subjected to hygro-thermo-mechanical loads Thin-Walled Structures, 177 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 148:106497 [27] Zhang, D.-G., Zhou, Y.-H (2008) A theoretical analysis of FGM thin plates based on physical neutral surface Computational Materials Science, 44(2):716–720 [28] Bellifa, H., Benrahou, K H., Hadji, L., Houari, M S A., Tounsi, A (2016) Bending and free vibration analysis of functionally graded plates using a simple shear deformation theory and the concept the neutral surface position Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 38(1):265– 275 [29] Liu, Y., Su, S., Huang, H., Liang, Y (2019) Thermal-mechanical coupling buckling analysis of porous functionally graded sandwich beams based on physical neutral plane Composites Part B: Engineering, 168:236–242 [30] Phuong, N T B., Tu, T M., Phuong, H T., Van Long, N (2019) Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-NUCE, 13(1):33–45 [31] Xu, T F., Xing, Y F (2016) Closed-form solutions for free vibration of rectangular FGM thin plates resting on elastic foundation Acta Mechanica Sinica, 32(6):1088–1103 [32] Zenkour, A M., Radwan, A F (2019) Bending response of FG plates resting on elastic foundations in hygrothermal environment with porosities Composite Structures, 213:133–143 [33] Zaoui, F Z., Ouinas, D., Tounsi, A (2019) New 2D and quasi-3D shear deformation theories for free vibration of functionally graded plates on elastic foundations Composites Part B: Engineering, 159: 231–247 [34] Benferhat, R., Daouadji, T H., Mansour, M S., Hadji, L (2016) Effect of porosity on the bending and free vibration response of functionally graded plates resting on Winkler-Pasternak foundations Earthquakes and Structures, 10(6):1429–1449 [35] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2016) Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International Journal of Mechanical Sciences, 108:14–22 [36] Barati, M R., Zenkour, A M (2017) Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions Composite Structures, 182:91–98 [37] Larbi, L O., Kaci, A., Houari, M S A., Tounsi, A (2013) An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and free vibration of functionally graded beams# Mechanics Based Design of Structures and Machines, 41(4):421–433 [38] Reddy, J N (2006) Theory and analysis of elastic plates and shells CRC Press [39] Reddy, J N (2017) Energy principles and variational methods in applied mechanics John Wiley & Sons [40] Benatta, M A., Kaci, A., Tounsi, A., Houari, M S A., Bakhti, K., Bedia, E A A (2014) Nonlinear bending analysis of functionally graded plates under pressure loads using a four variable refined plate theory International Journal of Computational Methods, 11(04):1350062 [41] Sobhy, M (2013) Buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates resting on elastic foundations under various boundary conditions Composite Structures, 99:76–87 [42] Meziane, M A A., Abdelaziz, H H., Tounsi, A (2014) An efficient and simple refined theory for buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates under various boundary conditions Journal of Sandwich Structures & Materials, 16(3):293–318 [43] Thai, H.-T., Choi, D.-H (2011) A refined plate theory for functionally graded plates resting on elastic foundation Composites Science and Technology, 71(16):1850–1858 [44] Zenkour, A M (2009) The refined sinusoidal theory for FGM plates on elastic foundations International Journal of Mechanical Sciences, 51(11-12):869–880 [45] Lei, X.-y., Huang, M.-K., Wang, X (1990) Geometrically nonlinear analysis of a Reissner type plate by the boundary element method Computers & Structures, 37(6):911–916 [46] Azizian, Z G., Dawe, D J (1985) Geometrically nonlinear analysis of rectangular mindlin plates using the finite strip method Computers & Structures, 21(3):423–436 [47] Long, N V., Tú, T M., Trang, V T T (2020) Phân tích phi tuyến ứng xử uốn vật liệu FGM xốp đặt đàn hồi Pasternak với điều kiện biên khác có xét đến vị trí thực mặt trung 178 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng hịa Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 14(4V):1–15 [48] Talha, M., Singh, B N (2011) Nonlinear mechanical bending of functionally graded material plates under transverse loads with various boundary conditions International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing, 2(02):237–258 Phụ lục A Các hàm số hệ phương trình (17) (11) (12) lmn (x, y) = A11 U1m U2n + A66 U1m U2n ; lmn (x, y) = (A12 + A66 ) V1m V2n h(13) mnpq (x, y) = A11 Xm Yn X p Yq + A12 Xm Yn X p Yq + A66 Xm Yn X p Yq + Xm Y p X p Yq (21) (22) lmin (x, y) = (A12 + A66 ) U1m U2n ; lmn (x, y) = A11 V1m V2n + A66 V1m V2n h(23) mnpq (x, y) = A22 Xm Yn X p Yq + A12 Xm Yn X p Yq + A66 Xm Yn X p Yq + Xm Yn X p Yq s (33) s Xm Yn + A55 Xm Yn − Kw Xm Yn + K sx Xm Yn + K sy Xm Yn lmn (x, y) = A44 (34) s (35) s lmn (x, y) = A55 Xm Yn ; lmn (x, y) = A44 Xm Yn h(31) mnpq (x, y) = A11 U 1m U 2n X p Yq + A12 U 1m U 2n X p Yq + 2A66 U 1m U 2n X p Yq h(32) mnpq (x, y) = A12 V1m V2n X p Yq + A11 V1m V2n X p Yq + 2A66 V1m V2n X p Yq 1 p(33) mnpqrs (x, y) = A11 Xm Yn X p Yq Xr Y s + A12 Xm Yn X p Yq Xr Y s + A12 Xm Yn X p Yq Xr Y s 2 + A11 Xm Yn X p Yq Xr Y s + 2A66 Xm Yn X p Yq Xr Y s (43) s (44) lmn (x, y) = −A55 Xm Yn ; lmn (x, y) = C11 Xm Yn − A55 Xm Yn + C66 Xm Yn (45) (53) s (54) lmn (x, y) = (C12 + C66 ) Xm Yn ; lmn (x, y) = −A44 Xm Yn ; lmn (x, y) = (C12 + C66 ) Xm Yn (55) s lmn (x, y) = C66 Xm Yn + C22 Xm Yn − A44 Xm Yn Phụ lục B Các hệ số công thức (18) a (11) (12) (13) Lmni j , Lmni j , Hmnpqi j b = (11) (12) (13) lmn , lmn , hmnpq U1i U2 j dxdy 0 a (21) (22) (23) Lmni j , Lmni j , Hmnpqi j b = (21) (22) (23) lmn , lmn , hmnpq V1i V2 j dxdy 0 a (33) (34) (35) (31) (32) (33) Lmni j , Lmni j , Lmni j , Hmnpqi j , Hmnpqi j , Pmnpqrsi j (33) (33) (34) (35) (31) lmn , lmn , lmn , hmnpq , h(32) mnpq , pmnpqrs Xi Y j dxdy = a b b Fi j = qXi Y j dxdy 0 a (43) (44) (45) Lmni j , Lmni j , Lmni j b (43) (44) (45) (11) (12) (13) , lmn , lmn Xi Y j dxdy , lmn , hmnpq , lmn lmn = 0 a b (53) (54) (55) Lmni j , Lmni j , Lmni j = (11) (12) (13) (53) (54) (55) lmn , lmn , hmnpq , lmn , lmn , lmn Xi Y j dxdy 0 179 ... stiffness) Hình FGM xốp xốptrên trênnền nền? ?àn đànhồi hồi Hình1 .1.Mơ M? ?hình hìnhtấm tấmchữ chữ nhật nhật FGM Mô đun đàn hồi kéo-nén và mô đun đàn hồi trượt vật liệu FGM xốp phụ thuộc Mô đun đàn hồi. .. (4)(4)(4) Vị trí mặt trung hòa FGM xốp trường hợp phân bố bất đối xứng khơng trùng mặt V? ?mặt trí mặt trung hòa FGM xốp trường hợp phân bố bất đối xứng trung hòa FGM xốp trường hợpphân phân bấtđối... hình tấmvật liệu FGM Xét Xét ch? ?tấm nhậtchữ vậtbằng liệu vật FGM có chiều a, chiều chiều h nhật liệuxốp FGM xốp códài chiều dài a,rộng chiềub rộng b vàdày chiều dày Hình Tấm đặt đàn hồi Pasternak