Bài viết Phân tích dao động riêng của dầm nano cong FG nằm trên nền đàn hồi sử dụng phương pháp Rayleigh-Ritztrình bày các nội dung chính sau: Dầm nano cong làm bằng vật liệu FGP Lý thuyết biến dạng cắt Quasi 3D; Lý thuyết phi địa phương.
BÀI BÁO KHOA HỌC PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA DẦM NANO CONG FG NẰM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP RAYLEIGH-RITZ Trần Văn Kế1, Nguyễn Thị Hồng2 Tóm tắt: Trong báo này, phương pháp giải tích sử dụng đa thức Chebyshev sở phương pháp Rayleigh-Ritz để phân tích dao động riêng dầm nano cong tính biến thiên có lỗ rỗng đặt đàn hồi Các phương trình động học tổng quát dầm suy từ nguyên lý Hamilton’s lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Quasi 3D Cơ tính vật liệu dầm thay đổi biến thiên theo chiều dày theo quy luật phân bố hàm số mũ lỗ rỗng mô tả theo hai quy luật đồng không đồng Môi trường nhiệt độ độ ẩm tác động lên kết cấu giả định gây tải trọng tác dụng theo phương ngang mà khơng tác động đến tính vật liệu Tính xác phương pháp báo đề xuất xác minh cách so sánh kết số thu với kết cơng trình xuất tài liệu Ngồi ra, ảnh hưởng độ cong, hệ số phi địa phương, hệ số lỗ rỗng, hệ số độ cứng đàn hồi đến đáp ứng dao động riêng dầm đánh giá chi tiết Từ khóa: Đàn hồi phi địa phương, phương pháp Rayleigh-Ritz, dầm cong nano FG, dao động riêng TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU * Trong ngành công nghiệp đương đại điện tử, y học, dược phẩm, quang học, v.v., vật liệu cấu trúc vi mơ kích thước nano trở nên phổ biến (V.Y Prinz ctv, 2001; M Brzezinski ctv, 2015) Kết là, nghiên cứu hành vi học cấu trúc vi mô nano công bố đạt nhiều thành công (V.K Tran ctv, 2020; N Triantafyllidis ctv, 1986) Ngoài ra, việc nghiên cứu ứng xử học cấu trúc vật liệu có kích thước micro nano yêu cầu quan trọng cấp thiết Cùng với xu hướng đó, hàng loạt lý thuyết tính tốn đề xuất phát minh (J.N Reddy ctv, 2015; A Eringen ctv, 2003) Bài báo nhằm mục đích thực phân tích dao động cơ-nhiệt-ẩm dầm nano cong xốp có tính biến thiên theo quy luật phân bố hàm số mũ nằm đàn hồi Có thể tóm tắt số cơng trình tiêu biểu Bộ môn Cơ học vật rắn - Khoa Cơ khí, Học viện KTQS Bộ mơn Đồ họa kỹ thuật - Khoa Cơ khí, Trường Đại học Thủy lợi 96 lý thuyết phi địa phương Eringen sau Jena cộng (S.K Jena ctv, 2019) nghiên cứu ổn định dầm nano EulerBernoulli đặt trường điện từ để xem hoạt động Li đồng nghiệp (Y.S Li ctv, 2016) sử dụng lý thuyết phi địa phương lý thuyết dầm Timoshenko để nghiên cứu uốn tĩnh, ổn định dao động riêng dầm nano từ tính đàn hồi Sự thay đổi điện điện từ dọc theo hướng độ dày dầm nano tính tốn cách sử dụng phương trình Maxwell điều kiện biên từ trường Nguyên lý Hamilton sử dụng để phát triển phương trình chi phối dầm nano từ đàn hồi Alzahrani cộng E.O Alzahrani ctv, 2013 nghiên cứu tác động tải trọng quy mô nhỏ uốn tĩnh nano, chẳng hạn graphene, tựa đàn hồi hai tham số chịu ứng suất cơ-nhiệt-hygro Azimi ctv, 2016 trình bày nghiên cứu dao động riêng dầm nano có tính biến thiên theo quy luật phân bố hàm số mũ quay theo trục chịu tải nhiệt phi tuyến mặt phẳng Dựa lý KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) thuyết dầm Timoshenko, áp dụng nguyên lý Hamilton S Dastjerdi ctv, 2020 phát triển lý thuyết nửa ba chiều hiệu để nghiên cứu phân tích uốn nhiệt- ẩm phi tuyến tính đĩa quay có tính biến thiên (FGM) dày mơi trường nhiệt-ẩm, có tính đến độ xốp khiếm khuyết cấu trúc S Ebrahimi ctv, 2019 sử dụng lý thuyết dầm EulerBernoulli để khảo sát hành vi dao động nhóm nano xốp có tính biến thiên (2DFG) theo hai hướng tải học ẩm-nhiệt Các đặc tính dầm nano 2D-FG coi dạng lý thuyết luật lũy thừa Theo hiểu biết tác giả, chưa có nghiên cứu đề xuất nghiên cứu dao động cơnhiệt ẩm dầm nano cong xốp có tính biến thiên nằm đàn hồi Do đó, mục đích viết đưa mơ hình tốn cho chủ đề Trong đó, phương pháp phân tích dao động cơ-nhiệt ẩm dầm nano cong xốp có tính biến thiên (FGP) tựa đàn hồi sử dụng đa thức Chebyshev dựa phương pháp Rayleigh-Ritz trình bày Nguyên lý Hamilton sử dụng để suy phương trình chi phối dầm nano, phương trình dựa lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao gần 3D kết hợp với lý thuyết phi địa phương Đây đóng góp giúp hiểu hành vi học cấu trúc nano Ngoài ra, lý thuyết phương pháp nghiên cứu cung cấp khía cạnh hấp dẫn cho lĩnh vực học tính tốn CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Dầm nano cong làm vật liệu FGP Xét dầm hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng b chiều dày Hình Tính chất vật liệu giả thiết thay đổi liên tục từ mặt ( ) đến mặt ( ) theo phân bố luật lũy thừa Bề mặt dầm nano hoàn toàn gốm bề mặt kim loại hoàn toàn Nền đàn hồi WinklerPasternak, gồm hai thông số hệ số cứng hệ số cứng trượt b h kw x b h ks Z Hình Mơ hình dầm nano cong làm vật liệu FGP nằm đàn hồi Do trình chế tạo dầm FG xuất lỗ rỗng tế vi nên quy luật tính dầm FG có lỗ rỗng mơ tả cơng thức sau: (1) đây: S ký hiệu chung cho tính vật liệu bao gồm mơ đun đàn hồi E, khối lượng riêng hệ số Poát xông m ký hiệu thành phần kim loại, c thành phần gốm, hệ số mũ thể tích vật liệu hệ số điều khiển lỗ rỗng vật liệu, thể tích lỗ rỗng, mối quan hệ theo quy luật phân bố lỗ rỗng xác định D Shahsavari ctv, 2018: Quy luật phân bố lỗ rỗng đồng (Type 1): (2) Quy luật phân bố lỗ rỗng không đồng (Type 2): (3) 2.2 Lý thuyết biến dạng cắt Quasi 3D Trong nghiên cứu này, trường chuyển vị điểm dầm FGP cong mặt phẳng trung bình xác định theo lý thuyết biến dạng cắt tựa Quasi 3D xác định sau: (4) KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) 97 Trong đó: dịch chuyển theo phương x y; , , and biến số bán kính cong dầm: góc mở dầm Trường biến dạng tuyến tính dầm cong suy từ trường chuyển vị (4) sau: (5) (6) (7) cho công thức sau: (8) Công thức viết gọn lại sau (9) đây: (10) 2.3 Lý thuyết phi địa phương Trong lý thuyết dầm cục (lý thuyết dầm cổ điển), tensor ứng suất điểm phụ thuộc vào tensor biến dạng điểm Tuy nhiên, lý thuyết phi địa phương giả định véc tơ ứng suất điểm phụ thuộc vào tensor biến dạng tất điểm Mối quan hệ ứng suất-biến dạng viết dạng A Eringen ctv, 2003: (11) tensor ứng suất phi địa phương, hệ số số đàn hồi, véc tơ biến dạng cục bộ, đại diện cho hiệu ứng quy mô nhỏ cấu trúc nano gọi hệ số phi địa phương Theo lý thuyết phi địa phương, mơ hình cơng thức (11) tia nano đàn hồi biểu thị sau: (12) 2.4 Phương pháp Rayleigh-Ritz Năng lượng biến dạng U dầm nano cong tính (13) Trong thành phần nội lực Năng lượng công ngoại lực K tính sau (14) 98 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) Trong đó: ; (15) ; Ở đây: lực nhiệt ẩm tác dụng theo phương nằm ngang dầm môi trường nhiệt độ độ ẩm gây với quy luật phân bố đồng theo chiều dày S.Ebrahimi ctv, 2016: Động V hệ xác định bởi: (16) Tổng lượng dầm nano cong tính sau (17) Trong nghiên cứu này, đa thức Chebyshev dịch chuyển loại thứ coi hàm hình dạng so với đa thức đại số thực tế đa thức Chebyshev đa thức trực giao, điều làm giảm chi phí tính tốn Một vài số hạng đa thức Chebyshev dịch loại thứ biểu thị S.K Jena ctv, 2019: , , Các chuyển vị để thỏa mãn điều kiện biên chung dầm nano cong đưa , , , , hệ số, đa thức Chebyshev bậc m điều kiện biên thể Bảng (18) (19) (20) (21) hàm điều khiển Bảng Hàm điều khiển điều kiện biên dầm Điều kiện biên Điều kiện biên SS CS CC CF Thay công thức (19) - (20) vào công thức (17) sử dụng phương trình Lagrange, ta có: (22) hành vi uốn tĩnh, dao động riêng dầm nano cong FG thu cách giải phương trình sau KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) 99 (23) KẾT QUẢ SỐ Trong mục này, cách sử dụng phương pháp Rayleigh – Ritz, số ví dụ trình bày để xác nhận ảnh hưởng hệ số phi địa phương, hệ số xốp, độ chênh lệch nhiệt độ, đường cong xuyên tâm, độ cứng đáp ứng dao động tự nhóm nano cong xốp FG Tính chất vật liệu dầm nano lấy theo vật liệu Các thơng số hình học số liệu đầu vào khảo sát: a = 10nm, b = 1nm; ; a/h = 10, 1 = 1, pz = 2, = 0.2, Kw = 50, Ks = 5, T = 100K, C = 1% Các công thức không thức nguyên cho đây: tần số thứ mth , , , , 3.1 Xác minh độ xác phương pháp Độ hội tụ độ xác cơng thức tính theo lời giải Navier’s Chebyshev polynomials‑based Rayleigh–Ritz mà báo thiết lập cho vấn đề dao động riêng dầm cong báo nghiên cứu cụ thể Đầu tiên, Bảng biểu thị kết tần số theo tỷ lệ hệ số phi địa phương sử dụng hai lời giải cho dầm nano thẳng có liên kết tựa đơn Kết kiểm chứng với kết cơng trình M Ganapathi ctv, 2017, ta thấy rằng, điều kiện biên SS, sử dụng lời giải Rayleigh–Ritz dựa đa thức Chebyshev cần n=1 tương đương với đa thức Chebyshev có hai số hạng kết hội tụ đạt độ xác sử dụng lời giải xác Navier’s Bảng So sánh tần số dao động riêng không thứ nguyên dầm nano cong Phương pháp n Bài báo 10 9.2909 9.2909 9.2909 9.2909 9.2909 9.2909 8.8637 8.8637 8.8637 8.8637 8.8637 8.8637 8.4906 8.4906 8.4906 8.4906 8.4906 8.4906 7.8669 7.8669 7.8669 7.8669 7.8669 7.8669 9.8294 9.8294 9.8294 9.8294 9.8294 9.8294 9.3775 9.3775 9.3775 9.3775 9.3775 9.3775 8.9828 8.9827 8.9828 8.9828 8.9828 8.9828 8.3229 8.3229 8.3229 8.3229 8.3229 8.3229 Navier 9.2909 9.2745 9.2745 8.8637 8.8482 8.8482 8.4906 8.4757 8.4757 7.8669 7.8530 7.8530 9.8294 9.8281 9.8281 9.3775 9.3763 9.3763 8.9827 8.9816 8.9816 8.3229 8.3218 8.3218 9.2947 8.8674 8.4941 7.8701 9.8296 9.3777 8.9830 8.3231 Present Navier Navier -sinz2 M Ganapathi 3.2 Kết Tại tiểu mục này, ảnh hưởng độ cong, hệ số phi địa phương , hệ số điều khiển lỗ rỗng , hệ số độ cứng đàn hồi , đến đặc tính 100 dao động riêng dầm nano cong phát hiện, độ cong dầm nghiên cứu góc hệ số phi địa phương thay đổi từ nm; hệ số điều KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) khiển lỗ rỗng cho số độ cứng đàn hồi Pasternak’s cho trường hợp khác ; hệ Khi áp đặt điều kiện biên SS lên kết cấu ta thu kết tần số bảng 3, từ bảng kết này, có số nhận xét sau: dầm nano cong có quy luật lỗ rỗng phân bố khơng đồng (Type 2) hệ số điều khiển lỗ rỗng tăng tần số tăng lên Tuy nhiên vật liệu có lỗ rỗng theo quy luật phân bố đồng kết biến đổi phức tạp theo thông số khác kết cấu, ví dụ Bảng Tần số khơng thứ nguyên 0,0 0.1 0.2 0.4 100,0 0.1 0.2 0.4 100,10 0.1 0.2 0.4 Lỗ rỗng Perfect Type Type Type Type Type Type Perfect Type Type Type Type Type Type Perfect Type Type Type Type Type Type 6.3779 6.2962 6.5119 6.1490 6.6576 5.4085 6.9914 12.641 13.099 12.929 13.626 13.235 14.967 13.905 16.632 17.345 17.014 18.174 17.418 20.339 18.295 kết cấu dầm cong khơng có đàn hồi tăng lên giảm đi, cịn tăng lên lại tăng lên Còn kết cấu tựa lên đàn hồi tăng lên tăng lên Trong trường hợp tăng quy luật phân bố đồng cho tần số cao quy luật phân bố không đồng Đối với tăng lên hệ số phi địa phương làm cho tần số giảm Ngược với tăng lên , tăng lên độ cứng đàn hồi làm kết cấu dầm trở lên cứng vững dẫn đến tần số tăng theo Dầm cong có cho tần số lớn dầm cong có SS 6.0421 5.9701 6.1737 5.8357 6.3161 5.1423 6.6406 12.474 12.944 12.761 13.485 13.065 14.869 13.730 16.502 17.224 16.882 18.063 17.284 20.249 18.157 dầm nano cong đặt đàn hồi 5.7467 5.6835 5.8763 5.5605 6.0161 4.9088 6.3328 12.332 12.813 12.618 13.366 12.921 14.785 13.582 16.391 17.121 16.771 17.968 17.171 20.175 18.039 KẾT LUẬN Sử dụng phương pháp giải tích dựa phương pháp Rayleigh-Ritz đa thức Chebyshev, báo phân tích hành vi dao động cơ-nhiệt hygro dầm nano FGP cong nằm 5.2475 5.1999 5.3745 5.0970 5.5103 4.5167 5.8148 12.105 12.602 12.390 13.176 12.690 14.651 13.344 16.213 16.954 16.591 17.813 16.987 20.050 17.848 2.5934 2.6288 2.7140 2.6320 2.8380 2.4296 3.1010 9.6169 10.089 9.8586 10.637 10.112 12.064 10.662 13.227 13.585 13.545 14.650 13.879 16.658 14.601 2.3971 2.4436 2.5207 2.4586 2.6465 2.2892 2.9100 9.5608 10.037 9.8016 10.588 10.054 12.024 10.601 13.174 13.832 13.491 14.978 13.823 16.607 14.540 2.2199 2.2773 2.3471 2.3039 2.4753 2.1651 2.7402 9.5128 9.9918 9.7529 10.545 10.005 11.990 10.548 13.127 13.785 13.442 14.549 13.773 16.551 14.486 1.9076 1.9874 2.0439 2.0363 2.1785 1.9535 2.4489 9.4344 9.9173 9.6732 10.475 9.9238 11.929 10.462 13.046 13.702 13.358 14.463 13.685 16.426 14.389 đàn hồi Các phương trình chi phối dầm nano cong suy dựa nguyên lý Hamilton Ảnh hưởng thông số khác nhau, chẳng hạn độ cong, hệ số phi địa phương, hệ số xốp, hệ số độ cứng đàn hồi đàn hồi đối KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) 101 với dao động tự dầm nano cong Các kết mà báo thu sau: - Sự tăng lên hệ số phi địa phương dẫn đến giảm tần số dao động riêng dầm nano FGP cong - Đối với phân bố không đều, tăng hệ số độ xốp làm tăng tần số dao động riêng, nhiên phân bố đều, hệ số xốp tăng tần số dao động riêng tăng giảm phải xét trường hợp kết cấu cụ thể - Độ cứng đàn hồi góp phần làm tăng tần số dao động riêng kết cấu, độ cứng tăng lên làm tăng độ cứng tổng thể kết cấu TÀI LIỆU THAM KHẢO E O Alzahrani, A M Zenkour, and M Sobhy, “Small scale effect on hygro-thermo-mechanical bending of nanoplates embedded in an elastic medium,” Compos Struct., vol 105, pp 163–172, 2013 M Azimi, S S Mirjavadi, N Shafiei, and A M S Hamouda, “Thermo-mechanical vibration of rotating axially functionally graded nonlocal Timoshenko beam,” Appl Phys A, vol 123, no 1, p 104, 2016 M Brzeziński and T Biela, “Micro- and nanostructures of polylactide stereocomplexes and their biomedical applications,” Polym Int., vol 64, no 12, pp 1667–1675, Dec 2015 S Dastjerdi, Y Tadi Beni, and M Malikan, “A comprehensive study on nonlinear hygro-thermomechanical analysis of thick functionally graded porous rotating disk based on two quasi-threedimensional theories,” Mech Based Des Struct Mach., 2020 S Ebrahimi-Nejad, G R Shaghaghi, F Miraskari, and M Kheybari, “Size-dependent vibration in twodirectional functionally graded porous nanobeams under hygro-thermo-mechanical loading,” Eur Phys J Plus, vol 134, no 9, 2019 S Ebrahimi and M R Barati, “Wave propagation analysis of quasi-3D FG nanobeams in thermal environment based on nonlocal strain gradient theory,” Appl Phys A Mater Sci Process., vol 122, no 9, 2016 A Eringen, and J Wegner, Nonlocal Continuum Field Theories, vol 56, no 2003 M Ganapathi and O Polit, “Dynamic characteristics of curved nanobeams using nonlocal higher-order curved beam theory,” Phys E Low-Dimensional Syst Nanostructures, vol 91, pp 190–202, 2017 S K Jena, S Chakraverty, and F Tornabene, “Buckling Behavior of Nanobeams Placed in Electromagnetic Field Using Shifted Chebyshev Polynomials-Based Rayleigh-Ritz Method,” Nanomaterials , vol 9, no 2019 Y S Li, P Ma, and W Wang, “Bending, buckling, and free vibration of magnetoelectroelastic nanobeam based on nonlocal theory,” J Intell Mater Syst Struct., vol 27, no 9, pp 1139– 1149, 2016 N D Nguyen, T K Nguyen, H T Thai, and T P Vo, “A Ritz type solution with exponential trial functions for laminated composite beams based on the modified couple stress theory,” Compos Struct., vol 191, pp 154–167, 2018 V Y Prinz, D Grützmacher, A Beyer, C David, B Ketterer, and E Deckardt, “A new technique for fabricating three-dimensional micro- and nanostructures of various shapes,” Nanotechnology, vol 12, no 4, pp 399–402, 2001 J N Reddy, C W Lim, and G Zhang, “A higher-order nonlocal elasticity and strain gradient theory and its applications in wave propagation,” J Mech Phys Solids, vol 78, pp 298–313, 2015 102 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) D Shahsavari, B Karami, H R Fahham, and L Li, “On the shear buckling of porous nanoplates using a new size-dependent quasi-3D shear deformation theory,” Acta Mech., vol 229, no 11, pp 4549– 4573, 2018 V K Tran, T T Tran, M Van Phung, Q H Pham, and T Nguyen-Thoi, “A Finite Element Formulation and Nonlocal Theory for the Static and Free Vibration Analysis of the Sandwich Functionally Graded Nanoplates Resting on Elastic Foundation,” J Nanomater., vol 2020, 2020 N Triantafyllidis and E C Aifantis, “A gradient approach to localization of deformation I Hyperelastic materials,” J Elast., vol 16, no 3, pp 225–237, 1986 Abstract: FREE VIBRATION ANALYSIS OF FG CURVED NANOBEAM RESTING ON ELASTIC FOUNDATION USING RAYLEIGH-RITZ METHOD In this paper, an analytical solution using Chebyshev polynomials based on the Rayleigh-Ritz method to analyze the free vibration analysis of functionally graded porous (FGP) curved nanobeams embedded in an elastic medium Hamilton’s principle is based on the Quasi 3D higher-order shear deformation beam theory, in conjunction with nonlocal elasticity theory, the governing equation of nanobeam is derived Material properties of beam continuously change through the thickness via a power-law distribution and porosity distributions are described by two laws including even porosity distribution and uneven porosity distribution, respectively Thermal and moisture subject on structures is assumed to cause tension load in the plane and not change the material’s mechanical properties The accuracy of the proposed method is verified by comparing the obtained numerical results with those of the published works in the literature In addition, the influence of the curve of the beam, nonlocal coefficient, porosity coefficient, stiffness foundation of the beam on the vibration response of the nanobeam is examined in detail Keywords: Nonlocal elasticity, Rayleigh-Ritz method, FG curved nanobeam, free vibration Ngày nhận bài: 26/4/2022 Ngày chấp nhận đăng: 29/6/2022 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) 103 ... nghiên cứu dao động cơnhiệt ẩm dầm nano cong xốp có tính biến thiên nằm đàn hồi Do đó, mục đích viết đưa mơ hình tốn cho chủ đề Trong đó, phương pháp phân tích dao động cơ-nhiệt ẩm dầm nano cong xốp... thiên (FGP) tựa đàn hồi sử dụng đa thức Chebyshev dựa phương pháp Rayleigh-Ritz trình bày Nguyên lý Hamilton sử dụng để suy phương trình chi phối dầm nano, phương trình dựa lý thuyết dầm biến... 18.039 KẾT LUẬN Sử dụng phương pháp giải tích dựa phương pháp Rayleigh-Ritz đa thức Chebyshev, báo phân tích hành vi dao động cơ-nhiệt hygro dầm nano FGP cong nằm 5.2475 5.1999 5.3745 5.0970