Phân tích dao động riêng kết cấu tấm composite lớp gia cường ống nano cacbon có gắn lớp vật liệu áp điện

Bài viết sử dụng lý thuyết bậc cao bốn ẩn chuyển vị cải tiến (HSDT-4) và dạng nghiệm Navier (chuỗi Fourie kép) để phân tích dao động riêng của tấm composite lớp gia cường bằng ống nano carbon đơn vách (singlewalled carbon nanotube - SWNT), tích hợp lớp vật liệu áp điện. Các phương trình cân bằng động cho tấm chữ nhật bốn biên tựa khớp được thiết lập từ nguyên lý Hamilton và phương trình Maxwell.

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2019 13 (3V): 42–54 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG KẾT CẤU TẤM COMPOSITE LỚP GIA CƯỜNG ỐNG NANO CACBON CÓ GẮN LỚP VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN Vũ Văn Thẩma,∗, Trần Hữu Quốca , Trần Minh Túa a Khoa Xây dựng dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 24/06/2019, Sửa xong 23/07/2019, Chấp nhận đăng 29/07/2019 Tóm tắt Bài báo sử dụng lý thuyết bậc cao bốn ẩn chuyển vị cải tiến (HSDT-4) dạng nghiệm Navier (chuỗi Fourie kép) để phân tích dao động riêng composite lớp gia cường ống nano carbon đơn vách (singlewalled carbon nanotube - SWNT), tích hợp lớp vật liệu áp điện Các phương trình cân động cho chữ nhật bốn biên tựa khớp thiết lập từ nguyên lý Hamilton phương trình Maxwell Độ tin cậy thuật tốn chương trình tính kiểm chứng qua so sánh với kết cơng bố Các khảo sát số trình bày để đánh giá ảnh hưởng đặc trưng vật liệu, kích thước độ dày lớp áp điện đến tần số dao động riêng kết cấu tổng thể xét cho trường hợp mở mạch ngắt mạch Từ khoá: lý thuyết bốn ẩn chuyển vị; phân tích dao động riêng; vật liệu áp điện; ống nano carbon; composite lớp FREE VIBRATION ANALYSIS OF SMART LAMINATED FUNCTIONALLY GRADED CARBON NANOTUBE REINFORCED COMPOSITE PLATES USING FOUR-VARIABLE REFINED PLATE THEORY Abstract In this paper, a four-variable refined plate theory (HSDT4) and Navier solution are used to analyze the free vibration characteristics of functionally graded carbon nanotube reinforced laminated composite plates integrated with piezoelectric Equations of motion are derived by using both the Maxwell’s equation and Hamilton’s principle Comparison studies have been carried out to verify accuracy of present model New parametric studies regarding the influence of volume fraction of CNTs, distribution type of CNTs, number of layers, CNT fiber orientation and piezoelectric layer’s thickness on the natural frequency are performed in detail with two types of electrical boundary conditions, namely, closed circuit and opened circuit Keywords: four-variable refined plate theory; free vibration; piezoelectric material; carbon nanotube; composite https://doi.org/10.31814/stce.nuce2019-13(3V)-05 c 2019 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) Giới thiệu Ống nano carbon (Carbon NanoTube - CNT) phát vào năm 1991 Iijima [1] Với cấu trúc tinh thể đặc biệt tính chất học trội có độ bền, độ cứng riêng cao (cứng kim cương gấp khoảng 200 lần thép) khối lượng riêng nhỏ, tính dẫn điện, dẫn nhiệt tốt, ống nano carbon ngày quan tâm nghiên cứu ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ ∗ Tác giả Địa e-mail: vuthamxd@gmail.com (Thẩm, V V.) 42 Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Vật liệu có tính biến thiên gia cường ống nano (functionally graded carbon nanotube reinforced composites carbon FG-CNTRC) loại composite hệ lần đề xuất Shen [1] Loại vật liệu composite có ống nano carbon phân bố vật liệu đẳng hướng theo quy luật định dọc theo hướng định nhằm cải thiện tính chất học mong muốn Sau nghiên cứu này, hàng loạt khảo sát dầm, vỏ gia cường CNT nghiên cứu Zhu [2] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc để phân tích tĩnh dao động riêng composite đơn lớp gia cường CNT phương pháp phần tử hữu hạn Lei cs [3] nghiên cứu toán ổn định composite gia cường CNT chịu tải trọng học khác phương pháp kp-Ritz Theo hướng tiếp cận giải tích, Huang cs [4] tiến hành phân tích tĩnh dao động riêng kết cấu composite nhiều lớp gia cường CNT theo lý thuyết biến dạng cắt bậc đơn giản Vật liệu áp điện loại vật liệu có khả tự thay đổi hình dạng, kích thước đặt chúng tác động điện trường (trạng thái kích thích - actuator) tự sinh điện trường chúng bị biến dạng (trạng thái cảm biến - sensor) [5] Kết cấu composite có gắn lớp áp điện dạng kết cấu "thông minh"được sử dụng rộng rãi công nghiệp hàng không, giao thông vận tải nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác Các công bố phân tích dao động riêng kết cấu composite áp điện gia cường ống nano carbon số tác giả công bố thời gian gần Kiani [6] sử dụng phương pháp Ritz với hàm dạng đa thức Chebyshev để phân tích dao động tự FG-CNTRC có gắn lớp áp điện Selim [7] cộng nghiên cứu kiểm soát dao động kết cấu composite áp điện gia cường CNT sử dụng phương pháp phần tử tự IMLS-Ritz dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc ba Reddy Trong nghiên cứu Nguyen cs [8] sử dụng phương pháp đẳng hình học, lý thuyết biến dạng cắt bậc ba để nghiên cứu đáp ứng động FG-CNTRC nhiều lớp có gắn lớp áp điện Việc phát triển hồn thiện mơ hình ln mục tiêu nhà nghiên cứu Lý thuyết cổ điển chấp nhận giả thiết Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngang, phù hợp với mỏng Lý thuyết biến dạng cắt bậc có kể đến biến dạng cắt ngang, phù hợp với có chiều dày trung bình phải sử dụng đến hệ số hiệu chỉnh cắt Để sát quy luật phân bố ứng suất cắt ngang dọc theo chiều dày tấm, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đề xuất, nhiên việc sử dụng lý thuyết dẫn đến lời giải cồng kềnh, phức tạp số ẩn chuyển vị lớn Nghiên cứu để xây dựng mơ hình tính tốn xác hiệu cho kết cấu nói chung kết cấu vỏ composite nói riêng ln thu hút quan tâm nhà khoa học Lý thuyết với bốn ẩn số chuyển vị (HSDT-4) phát triển sở phân tích độ võng làm hai thành phần: thành phần độ võng mô men uốn thành phần độ võng lực cắt gây nên Lý thuyết có ưu điểm ẩn số, khơng cần sử dụng đến hệ số hiệu chỉnh cắt thỏa mãn điều kiện triệt tiêu ứng suất cắt ngang mặt Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả sử dụng lý thuyết bốn ẩn cải tiến Shimpi Patel [9] với nghiệm giải tích dạng chuỗi Fourie kép để phân tích dao động tự composite nhiều lớp gia cường ống CNT có gắn lớp áp điện mặt Các công thức lý thuyết 2.1 Tấm composite lớp áp điện gia cường ống nano carbon Xét composite lớp có chiều dài a, chiều rộng b, độ dày h (Hình 1) Các lớp áp điện gắn mặt tấm, chiều dày lớp áp điện hp Mỗi lớp vật liệu FG-CNTR với bốn kiểu phân bố CNT theo phương chiều dày lớp composite (UD, FG-X, FG-V, FG-O) Tỷ 43 Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng phần thể tích xác định theo [2]: 2z ∗ |z| ∗ V ; VCNT ; FG − X : VCNT (z) = h h CNT wCNT = CNT wCNT + ρ /ρm − ρCNT /ρm wCNT ∗ UD : VCNT = VCNT ; FG − V : VCNT (z) = + FG − O : VCNT (z) = − |z| ∗ ∗ VCNT ; VCNT h (1) Hình gia cường cườngống ốngnano nanocarbon carbon Hình1.1.Tấm Tấmcomposite composite lớp lớp áp áp điện điện gia Các tính chất hiệu dụng vật liệu composite gia cường ống nano carbon đơn vách (SWCNT) lớp tính sau [2]: CNT E11 = η1 VCNT E11 + Vm E m ; v12 = ∗ VCNT vCNT 12 + Vm v m η2 Vm η3 Vm VCNT VCNT + m; = CNT + m ; = E22 E22 E G12 GCNT G 12 ; ρ = VCNT ρ CNT + Vm ρ (2) m CNT CNT E11 , E22 GCNT mơ đun đàn hồi Young mô đun đàn hồi trượt CNT; Em 12 Gm mô đun đàn hồi Young mô đun đàn hồi trượt vật liệu đẳng hướng; η1 , η2 η3 tham số hiệu chỉnh CNT; VCNT Vm tỷ phần thể tích CNT vật liệu CNT (VCNT + Vm = 1); vCNT vm , ρm hệ số Poisson khối lượng riêng CNT 12 , ρ vật liệu 2.2 Lý thuyết bốn ẩn chuyển vị Theo Shimpi Patel [9], trường chuyển vị biểu diễn dạng: ∂wb (x, y, t) ∂w s (x, y, t) − f (z) ; ∂x ∂x ∂wb (x, y, t) ∂w s (x, y, t) v (x, y, x, t) = v0 (x, y, t) − z − f (z) ; ∂y ∂y w (x, y, x, t) = wb (x, y, t) + w s (x, y, t) u (x, y, x, t) = u0 (x, y, t) − z (3) u0 , v0 thành phần chuyển vị màng điểm mặt trung bình theo phương x, y; wb w s thành phần độ võng mômen uốn lực cắt gây ra; f (z) hàm 44 Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng đặc  trưng cho quy  luật biến thiên ứng suất cắt ngang theo chiều dày Theo [9] hàm: f (z) =  z   thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang mặt không z − + ht  Trường biến dạng:      b        f (z)κ xs  εx  κx  εx                                          s b         f (z)κ ε        εy  κy  y  y                            b   s  f (z)κ γ = + z + (4)        xy  γ κ xy         xy xy                         s             γyz  g(z)γyz                               γ            g(z)γ s   xz xz ∂u0 ∂v0 b ∂2 wb ∂2 wb ∂u0 ∂v0 ; εy = ; γ xy = + ; κ x = − ; κyb = − ; g(z) = − f (z) ; ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y 2 2 ∂ ws ∂ wb s ∂ ws s ∂w s s ∂w s ∂ ws ; κ xy = −2 ; γ xz = ; γyz = κ xs = − ; κys = − ; κbxy = −2 ∂x∂y ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ε0x = Quan hệ ứng suất - biến dạng lớp vật liệu composite thứ k [8]:  (k)  (k)   0   σx   Q¯ 11 Q¯ 12            ¯       ¯ 22    Q Q 0 σ   12 y                ¯   τ 0 Q 0 =    66 xy                  ¯ 44    0 Q τ    yz              τ xz   ¯ 0 0 Q55 εx εy γ xy γyz γ xz                      (5) (6) số vật liệu hệ tọa độ Q¯ ij xác định theo [10] Với lớp áp điện thứ k, quan hệ ứng suất - biến dạng hệ trục tọa độ (x, y, z) biểu diễn [11]:                      σx σy τ xy τyz τ xz (k)  C¯   11 C¯ 12     C¯ 12 C¯ 11         =               0 0 0 ¯ C11 − C¯ 12 0 C¯ 55 (k)                              ¯ C55 0 εx εy γ xy γyz γ xz    e¯ 31         e¯ 31      0 −          0   −e15      −e15 (k)  (k)   Ex          E   y          E z  (7) quan hệ điện tích xuất với biến dạng điện trường áp đặt [11]:    ε xx                      Ex    ε 0 e D  p11   yy 15 x                          Ey     p γ 0 0 e D + =      xy 15 y 11                        D   e¯     E 0 p ¯ γ e ¯ 0   z 33 xz 31 31 z        γyz  (8) C¯ i j ma trận số đàn hồi lớp áp điện, ei j ma trận hệ số ứng suất áp điện, pi j ma trận hệ số điện môi, {E} véc tơ cường độ điện trường, {D} véc tơ chuyển dịch điện tích lớp áp điện 45 Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Các số đàn hồi cho lớp áp điện xác định theo: e233 (C13 )2 ¯ (C13 )2 ¯ C13 ¯ ; C12 = C12 − ; C55 = C55 ; e¯ 31 = e31 − e33 ; p¯ 33 = p33 + C11 = C11 − C33 C33 C33 C33 (9) Để thỏa mãn phương trình Maxwell (8) điều kiện biên điện bề mặt, biến đổi điện theo hướng chiều dày lớp áp điện giả thiết kết hợp hàm bậc hai hàm tuyến tính Giả thiết đề xuất lần Wu [12] có dạng:      z − h/2 − h p /2     + A(x, y, t)z + B(x, y, t)   h/2 ≤ z ≤ h/2 + h p φ(x, y, t) 1 −    h p /2    Φ(x, y, z, t) =     −z − h/2 − h p /2     + A (x, y, t)z + B (x, y, t) −h/2 − h p ≤ z ≤ −h/2     φ(x, y, t) 1 − h p /2 (10) ẩn số A, A , B B xác định để đáp ứng điều kiện biên điện bề mặt Trường hợp ngắt mạch (Close – circuit), điện bề mặt khơng, đó: Φ(z = ±h/2) = 0; Φ(z = ±(h/2 + h p )) = (11) Trường hợp mở mạch (Open – circuit), điện bề mặt tiếp xúc với kết cấu lớp áp điện không, bề mặt tiếp xúc với mơi trường có độ thấm thấp chân khơng khơng khí, khơng có dịch chuyển điện tích lên bề mặt Do đó, điều kiện mở mạch, viết: Φ(z = ±h/2) = 0; Dz (z = ±(h/2 + h p )) = (12) Dz dịch chuyển điện tương ứng dọc theo hướng z Hơn nữa, quan hệ điện trường điện sau: E = −∇Φ hay Ex = − ∂Φ ∂Φ ∂Φ ; Ey = − ; Ey = − ∂x ∂y ∂z (13) Thay mối quan hệ (8) (10) vào điều kiện biên điện (11), (12) mang lại biến đổi điện theo hướng chiều dày biểu diễn theo:       z − h/2 − h /2  (z − h/2) e¯ 31 p    φ(x, y, t) 1 − + u0 ,x + v0 ,y  + C    h p /2 hp p¯ 33       h/2 ≤ z ≤ h/2 + h p  −(h/2 + h p ) wb,xx + wb,yy + f (z) w s ,xx + w s ,yy  (z − h/2) Φ(x, y, z, t) =      −z − h/2 − h p /2 −4 (z + h/2)  e¯ 31     φ(x, y, t) 1 − + u0 ,x + v0 ,y  + C    h p /2 hp p¯ 33       +(h/2 + h p ) wb,xx + wb,yy + f (z) w s ,xx + w s ,yy (z + h/2) − h/2 − h p ≤ z ≤ −h/2 (14) hệ số C = với trường hợp ngắt mạch C = trường hợp mở mạch 46 Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 2.3 Phương trình chuyển động Hệ phương trình chuyển động thiết lập nhờ nguyên lý Hamilton có dạng sau [13]: ∂N x N xy wă b wă s + = I0 uă I1 J1 ; x y x x Ny N xy wă b wă s v0 : + = I0 vă I1 J1 ; y x ∂y ∂y b b ∂ M xy ∂ My M xb ău ăv wb : + + q = I0 (wă b + wă s ) + I1 ( + ) I2 wă b J2 wă s ; + 2 xy ∂x ∂y ∂x ∂y s s ∂2 M xy ∂2 Mys Q sxz Qyz M xs ău ăv +2 + + + +q = I0 (wă b + wă s )+ J1 ( + ) J2 wă b K2 wă s w s : 2 xy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y (15) b s N x , Ny , N xy M xb , Myb , M xy , M xs , Mys , M xy thành phần lực màng mô men uốn, xoắn kết cấu tổng thể Các giá trị nội lực tính theo:       p       s    s s            A11 A12 A16   B11 B12 B16   B11 Nx  Nx  εx  B12 B16                                        s   p                s s                     N   ε B B B A A A B B B N             12 22 26 12 22 26 y y         y  12 22   26                                                 p        s s s                 N γ B B B A A A B B B N         16 26 66 16 26 66 xy xy xy 16 26 66                                   pb  b  b  s s s                       M κ B B B D D D D D D M               11 12 16 11 12 16 x       x x   11 12       16                           b      b   pb        s s s              B B B D D D D D D M κ M = −                  12 22 26 12 22 26    y  y  y  22 26           12                              pb   b s s s b  M   M   κ      B16 B26 B66 D16 D26 D66 D16 D26 D66         xy xy xy                                   ps s s s s s s s s s s s                             M κ H H H D D D B B B M                   x   x x 11 12 11 12 11 12     16  16  16                                               ps       s s s s s s s s s s s                       κ H H H D D D B B B M M                     y y y 12 22 12 22 12 22 26 26 26                                                           ps s s s s s s s s s s  s      M xy   κ xy H16 H26 H66 D16 D26 D66 B16 B26 B66 M xy  (16) p s s s s γyz Qyz Qyz A44 A45 − (17) = p s s s Q xz A45 A55 γ xz Q sxz δu0 : với số hạng ma trận nội lực sinh hiệu ứng áp điện tính theo (18) (19): N (Ai j , Bi j , Di j , Bisj , Disj , Hisj ) hk+1 = k=1 N Aisj hk+1 = k=1  p    N     xp  Ny       Np   xy p Qyz p Q xz hk (18) − f (z) (Q¯ i j )k dz; i, j = 4,   pb  Mx         pb ,  My         M pb xy n hk (1, z, z2 , f (z), z f (z), f (z))(Q¯ i j )k dz; i, j = 1, 2,   ps    M     xps   My ,       M ps    xy zk+1 = k=1 z k (k)    0 e¯ 31    Ex  0 e¯ 31   Ey       k=1 z Ez 0 k (k)   Ex        E − f (z) dz;   y      E           =         −e15 0 −e15 n zk+1 (k)     (1, z, f (z)) dz     (19) z mô men quán tính (I0 ; I1 ; J1 ; I2 ; J2 ; K2 ) lớp vật liệu thứ k: n zk+1 (I0 , I1 , J1 , I2 , J2 , K2 ) = 1, z, f, z2 , z f, f ρ(k) dz k=1 z k 47 (20) Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng ρ(k) khối lượng riêng lớp vật liệu thứ k Điện lớp áp điện thỏa mãn phương trình Maxwell dạng tích phân sau [11]: h+h p h −h ∇.Ddz + h+h p ∇.Ddz = −h−h p −h D x,x + Dy,y + Dz,z dz + D x,x + Dy,y + Dz,z dz = −h−h p h (21) điện tích cảm ứng D xác định theo (8) 2.4 Lời giải giải tích – nghiệm Navier a Tấm composite FG-CNTR cấu hình phản xứng vng góc Điều kiện biên khớp thứ (SS-1) [10] composite có góc phương ống CNT đặt phản xứng vng góc với có dạng: - Tại x = x = a: v0 = wb = w s = N x = M xb = M xs = (22a) - Tại y = y = b: u0 = wb = w s = Ny = Myb = Mys = (22b) Các nghiệm chuyển vị mặt trung bình (u0 , v0 , w s , wb ) nghiệm điện φ giả thiết dạng chuỗi lượng giác kép thỏa mãn điều kiện biên SS-1: ∞ ∞ u0 (x, y) = ∞ umn e iωt cos αx sin βy; v0 (x, y) = m=1 n=1 ∞ ∞ wb (x, y) = ∞ vmn eiωt sin αx cos βy; m=1 n=1 ∞ ∞ wbmn eiωt sin αx sin βy; w s (x, y) = m=1 n=1 ∞ s iωt wmn e sin αx sin βy; (23) m=1 n=1 ∞ φ(x, y, t) = φmn eiωt sin αx sin βy n=1,3,5 m=1,3,5 α = mπ/a, β = nπ/b umn , vmn , wbmn , w smn , φmn hệ số cần xác định Thay (23) vào hệ phương trình cân động (15) (21), ta thu phương trình để giải, biểu diễn dạng ma trận sau: T s [S ]5×5 − ω2 [M]5×5 umn , vmn , wbmn , wmn , φmn = {0} (24) b Tấm composite nhiều lớp CNT cấu hình phản xứng xiên góc Điều kiện biên khớp thứ hai (SS-2) [10] cho composite có góc phương ống CNT đặt phản xứng xiên góc với có dạng: - Tại x = x = a: u0 = wb = w s = N x = M xb = M xs = (25a) - Tại y = y = b: v0 = wb = w s = Ny = (25b) Myb = Mys =0 Các nghiệm chuyển vị mặt trung bình (u0 , v0 , w s , wb ) nghiệm điện φ giả thiết dạng chuỗi lượng giác kép thỏa mãn điều kiện biên SS-2: ∞ ∞ u0 (x, y) = ∞ ∞ umn sin αx cos βy; v0 (x, y) = m=1 n=1 ∞ ∞ wb (x, y) = vmn cos αx sin βy; m=1 n=1 ∞ ∞ wbmn sin αx sin βy; w s (x, y) = m=1 n=1 ∞ m=1 n=1 ∞ φ(x, y, t) = s wmn sin αx sin βy; φmn eiωt sin αx sin βy n=1,3,5 m=1,3,5 48 (26) Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng α = mπ/a, β = nπ/b umn , vmn , wbmn , w smn , φmn hệ số cần xác định Thay (26) vào hệ phương trình cân động (15) (21), ta phương trình để giải, biểu diễn dạng ma trận tương tự (24) Trong hệ số ma trận si j mi j tương ứng với hai loại điều kiện biên khớp SS-1 SS-2 biểu diễn phụ lục Kết số thảo luận 3.1 Kết kiểm chứng Xét composite lớp FG-CNTR có gắn lớp áp điện mặt mặt (Hình 1) Kích thước a × b × h = 0,4 × 0,4 × 0,1 (m), thuộc tính vật liệu tham khảo theo nghiên cứu [8] Vật liệu có: E m = (3,52 − 0,0034T ) GPa, νm = 0,34 ρm = 1,15 g/cm3 nhiệt độ phòng CNT CNT CNT 300◦ K Vật liệu gia cường CNT có: E11 = 5,64 TPa, E22 = 7,0800 TPa, GCNT 12 = 1,9455 TPa, ν112 Bảng Tần số dao động riêng ω (Hz) vuông composite áp điện gia cường ống nano carbon với b/h = 20 ∗ VCNT Trạng thái mạch Bài báo [8] Bài báo [8] Bài báo [8] UD Ngắt Mở Ngắt Mở Ngắt Mở Ngắt Mở 585,662 620,147 624,801 656,740 562,387 598,644 542,966 580,569 583,199 627,416 622,009 662,982 560,042 606,518 540,558 588,764 585,662 626,752 590,429 624,611 583,894 618,597 580,992 615,783 583,510 627,716 588,372 632,184 581,714 626,205 578,737 623,343 660,393 690,219 662,498 692,219 640,732 701,425 658,425 688,357 656,538 695,085 658,696 697,103 655,606 694,272 654,510 693,196 Ngắt Mở Ngắt Mở Ngắt Mở Ngắt Mở 626,947 658,970 679,709 708,739 593,790 628,068 568,082 603,987 623,946 665,032 675,814 713,079 591,216 635,182 565,533 611,599 626,947 658,970 633,580 665,242 624,368 656,674 620,691 653,084 624,543 665,615 631,317 671,913 621,914 663,359 618,126 659,687 725,136 751,892 728,051 754,695 720,494 745,022 722,688 749,563 720,800 755,388 723,781 758,217 719,594 754,324 718,247 752,995 Ngắt Mở Ngắt Mở Ngắt Mở Ngắt Mở 690,027 718,318 764,565 789,346 640,523 671,734 604,001 637,275 685,587 721,919 757,950 789,814 637,353 677,399 601,032 643,745 690,027 718,318 700,165 728,032 686,268 714,944 681,486 710,238 686,852 723,150 697,260 732,991 682,974 719,788 677,986 714,904 825,372 847,721 830,078 852,331 822,548 844,538 822,723 845,224 821,713 850,524 826,415 855,093 820,463 849,465 818,750 847,767 FG-X 0,12 FG-V FG-O UD FG-X 0,17 FG-V FG-O UD FG-X 0,28 Cấu hình composite Kiểu phân bố CNT FG-V FG-O Đơn lớp ([p/0◦ /p]) 49 [p/0◦ /90◦ /0◦ /p] [p/[−45◦ /45◦ ]3 /p] Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng = 0,175 ρCNT = 1,4 g/cm3 Với ba tỷ phần thể tích CNT, tham số: η1 = 0,137, η2 = 1,022 η3 ∗ ∗ = 0,7η2 cho trường hợp VCNT = 12%; η1 = 0,142, η2 = 1,626 η3 = 0,7η2 VCNT = 17%; η1 = ∗ 0,141, η2 = 1,585, η3 = 0,7η cho trường hợp V = 28% Mô đun cắt: G = G ; G chí Khoa học Cơng 13 12 23 =1,2G 12 Các Tạp nghệ Xây dựng NUCE 2019 Tạp chí Khoa học Cơng CNT nghệ Xây dựng NUCE 2019 lớp áp điện làm từ PZT-5A với đặc tính vật liệu [6]: E = 63 GPa, G = 23,3 GPa, ν = 0,35, ρ = 7750 kg/m3 , e31 = e32 = −7,209 C/m2 , e33 = 15,12 C/m2 , e15 = e24 = 12,322 C/m2 , p11 = p22 −8 = 1,53×10−8FG-O F/m p33 = 1,5×10 F/m 601,032 Kết tính tốn trình677,986 bày trong822,723 Bảng so sánh FG-O Ngắt 604,001 601,032 681,486 677,986 822,723 818,750 Ngắt 604,001 681,486 818,750 với kết Nguyen Mở vàMở cs [8]637,275 sử dụng phương pháp đẳng hình714,904 học, lý thuyết bậc cao ẩn 637,275 643,745 710,238 714,904 845,224 847,767 643,745 710,238 845,224 847,767 chuyển vị Kếtquả tínhtốn tốn trongbảng bảng cho thấy sai khác với nghiên cứu [8] Kết cho sựsự sai khác soso với cứu Kết tínhtính tốn trongtrong Bảng cho 1thấy sựthấy sai khác so với nghiên cứunghiên [8] nhỏ (sai[8] khác lànhỏ nhỏ(sai (saikhác kháclớp lớpnhất nhấtd d= =(w(bài wbài - [7] w[7] w[7]= =2,269% 2,269%cho chotrường trường◦ hợp cấu -w )/ )/ w[7] ◦ báobáo lớphình nhất[p/-45 δ = o(ω cho trường hợp cấu hình [p/−45◦ /45hợp /−45tấm ]as ,cấu FG-V, obàiobáo o −oωo[7] )/ω[7] = 2,269% *V*CNT = 0.12, trạng thái mạch ngắt), điều khẳng /45 /-45 ] , FG-V, định as hình [p/-45 /45 /-45 ]mạch as, FG-V, V CNT = 0.12, trạng thái mạch ngắt), điều khẳng định V ∗độ tin = 0,12, trạng tháithuyết ngắt), điều nàychương khẳng định độ tính tin cậy củanhóm lý thuyết HSDT-4thiết chương cậycủa củalýlý HSDT-4 trình lập độCNT tin cậy thuyết HSDT-4 chương trình tính màmànhóm táctácgiảgiảđãđãthiết lập trình tính mà nhóm tác giả thiết lập Với thơng số vật liệu mục 3.1, khảo sát số Vớicác cácthông thôngsốsốvật vậtliệu liệunhư nhưtrong trongmục mục3.1, 3.1,các cáckhảo khảosátsátsốsốsẽsẽđược đượcthực thựchiện hiệnđểđể Với sẽđánh giá thựcsự để đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, tham số kích thước độ ảnh hưởng tham vật liệu, tham kích thước dày lớp đánh giá ảnh hưởng tham sốsố vật liệu, tham sốsố kích thước vàvà độđộ dày lớp dày lớp áp điện đến tần số dao động riêng kết cấu tổng thể xét cho trường hợp điều kiện áp điện đến tần số dao động riêng kết cấu tổng thể xét cho trường hợp điều kiện áp điện đến tần số dao động riêng kết cấu tổng thể xét cho trường hợp điều kiệnbiên điện thế mởthế mạch vàmạch ngắt mạch biên điện mở mạch ngắt mạch biên điện làlà mở vàvà ngắt mạch 3.2 Khảo ảnh hưởng phân CNT 3.2 Khảo sátsát ảnh hưởng sựsự phân bốbố CNT 3.2 Khảo sát ảnh hưởng củacủa phân bố CNT Tần số w (Hz) Tần số w (Hz) Tần số w (Hz) Tần số w (Hz) Kết quảquả khảo sát ảnh hưởng sựcủa phân CNT đến tần sốđến dao động riêng vuông FGKết quảkhảo khảo ảnh hưởng phân bố CNT đến tần dao động riêng Kết sátsát ảnh hưởng sựbố phân bố CNT tần sốsố dao động riêng ◦ ◦ ∗ vng FG-CNTR nhiều lớp có gắn lớp composite áp điện [p/θ°/−θ°/p], tỷ số /−θ /p], tỷ số a/h = 20, V CNTR nhiều lớp có gắn lớp composite áp điện [p/θ = 17% với vuông FG-CNTR nhiều lớp có gắn lớp composite áp điện [p/θ°/−θ°/p], tỷ sốgóc CNT * ◦ ◦ ◦ ◦ * a/h=20, với góc phương ống (θ 5°, 10°, 15°, …, 90°) thể phương ống (θCNT == 5= ,17% 10 với , 15 , góc , 90 ) thểống 2.15°, Xét bốn kiểu phân bố CNT theo a/h=20, V VCNT 17% phương (θtrong == 5°,Hình 10°, …, 90°) thể hình 2.Xét Xétbốn bốn kiểu phân CNT theo chiều dày lớp composite (UD, FG-X, chiều dày lớp2.composite (UD, FG-X, FG-V, FG-O), cóchiều thể thấy FG-X(UD, có giáFG-X, trị tần số hình kiểu phân bốbốCNT theo dày lớp composite FG-V, FG-O), thểthấy rằngcác cáctấm FG-X giátrịtrị caonhất nhất(tấm (tấm cứng FG-V, cócó thể FG-X cócó tầntần sốsốcao cứng cao nhấtFG-O), (tấm cứng nhất) vàthấy cácrằng FG-O có giá trị tần sốgiá thấp (tấm mềm nhất) Điều có nhất) FG-O có giá trị tần số thấp (tấm mềm nhất) Điều rút nhất) cácluận tấmkhi FG-O có giá trị tần số gia thấp nhấtvới (tấm nhất) cóvàthể thể rútvà kết ống nano carbon cường mậtmềm độ nhiều hơnĐiều mặt mặtrút rakết kếtluận luận ống nano carbon gia với mật nhiều mặt ống carbon cường với mật độđộ nhiều mặt vàvàở lớp làm chonano có độ cứng lớn gia socường với ống nano carbon gia cường nhiều mặt lớp sẽlàm làmcho cho độ cứng lớn ống nano mặt lớp cócó độ cứng lớn soso với nano mặt lớp Trên đồsẽthị Hình cho thấy thay đổi cácvới giá trịống góc θ carbon thìcarbon θ = gia cường nhiều mặt lớp Trên đồ thị hình cho thấy ◦ gia cường nhiều mặt lớp Trên đồ thị hình cho thấy 45 tần số dao động riêng lớn o o tần số dao động riêng lớn thay đổi giá trị góc θ θ = 45 thay đổi giá trị góc θ θ = 45 tần số dao động riêng lớn Góc phương ống CNT Góc phương ống CNT (q)(q) Hình Tần theo góc phương ống Hình 2.2 Tần sốsố ww theo góc phương ống Hình Tần số ω theo góc phương ống CNT (θ) CNT ) kiểu phân bố CNT thay đổi CNT (q()qkhi kiểu phân CNT đổi kiểu phân bố CNTbốthay đổi thay Góc phương ống CNT Góc phương ống CNT (q)(q) Hình Tần theo góc phương ống Hình 3.3 Tần sốsố ww theo góc phương ống Hình Tần số ω theo góc phương ống CNT (θ) * * ) CNT thay đổi (q()qCNT thay đổi ∗ VV CNT CNT Vkhi thay đổi CNT (Font chữ hình Times New Roman, viết dấu, thay (Font chữ hình Times New Roman, viết cócó dấu, thay ‘.’‘.’ =>=> ‘, ‘, ‘) ‘) 3.3 Khảo sátsát ảnh hưởng sựsự phân bốbố CNT 3.3 Khảo ảnh hưởng phân CNT 3.3 Khảo sát ảnh hưởng củacủa phân bố CNT ∗ * tần * số dao động riêng Hình biểu diễn ảnh hưởng tỷcủa phần tíchthể (Vthể ) đến Hình 3biểu sựsự ảnh hưởng tỷthể phần tích (V(V ) đến tầntần sốsố dao động Hình biểudiễn diễn ảnh hưởng tỷ phần tích ) đến dao động CNT CNT CNT ◦ ◦ ∗ composite áp điện gia cường CNT cấu hình [p/θ /−θ /p], tỷ số a/h = 20 Với batỷ giá VCNT , riêng gia cường CNT cấu hình [p/θ°/−θ°/p], sốtrị a/h=20 riêngcủa củatấm tấmcomposite compositếpápđiện điện gia cường CNT cấu hình [p/θ°/−θ°/p], tỷ số a/h=20 ∗ * * * * đường thị thể V tăng đồ lênđồ thìthị tần sốhiện dao động tăng (tấm cứng hơn) Với ,CNT đường thị thể Vcủa tăng lêntheo thìthì tầntần sốsố dao động Vớibađồ bagiá giátrị trịcủa củaVkhi VCNT , đường thể VCNT tăng lên dao động CNT CNT tăng theo (tấm cứng hơn) tăng theo (tấm cứng hơn) 50 3.4 sátsát ảnh hưởng trạng thái mạch 3.4.Khảo Khảo ảnh hưởng trạng thái mạch Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 3.4 Khảo sát ảnh hưởng trạng thái mạch Góc phương ốngống CNT (q)(q) Góc phương CNT Tần số w (Hz)Tần số w (Hz) Tần số w (Hz)Tần số w (Hz) Tần số w (Hz)Tần số w (Hz) Tần số w (Hz)Tần số w (Hz) Đồ thị Hình Hình biểu diễn tần số dao động riêng composite áp điện gia cường Tạp chí Khoa học Cơng Xây dựng NUCE Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2019 hai trường hợp mở mạch CNT kiểu phân bố FG-X (tấm cứng nhất) vànghệ FG-O (tấm mềm nhất)2019 ∗ ngắt mạch (VCNT = 17%) Kết cho thấy mở mạch (Open – circuit) tần số dao động riêng lớn ngắt mạch (Close – circuit) Về ý nghĩa vật lý, có hiệu ứng áp điện nên mở mạch, lượng điện chuyển hóa thành lượng học nên có độ cứng lớn (tần số Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 2019 Tạp chí Khoa Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2019 lớn hơn), với mạch ngắt học điện bị trung hòa NUCE nối đất nên khơng xảy tượng chuyển hóa điện thành Góc phương ốngống CNT (q)(q) Góc phương CNT Hình 4.4 Tần sốsố ww theo q cấu hình 5 Tần sốsố ww theo q cấu hình Hình Tần theo q cấu hình Hình Hình Tần theo q cấu hình FG-X trạng thái mạch thay đổiđổi FG-O khikhi trạng thái mạch thay đổiđổi FG-X trạng thái mạch thay FG-O trạng thái mạch thay (Font chữ hình Times Roman, viết cócó dấu, ‘.’‘.’ =>=> ‘, ‘, ‘) (Font chữ hình Times Roman, viết dấu, thay Góc phương ống CNT (q)(New Gócthay phương ống CNT (‘) q) (q) Góc phương ống CNT q) New Góc phương ống CNT Hình Tần số w theo q cấu hình Hình Tần số w theo q cấu hình Hình 4.các Tần số 4wθ4và theo q cấu hình Hình Tần số w theo qtấm cấu hình ĐồĐồ thị 5biểu diễn tầntầnsốHình động composite ápáp vàHình Hình biểu diễn sốdao dao động composite Hình 4.thị Tần sốHình ωHình theo cấu hình FG-X 5.5 Tần sốriêng ωriêng theo θ củatấm cấu hình FG-O FG-X trạng thái mạch thay đổi FG-O trạng thái mạch thay đổi FG-X trạng thái mạch đổi FG-O trạng thái mạch thay đổi điện CNT kiểu phân bốbốFG-X nhất) (tấm mềm trạng thái mạch thay đổi trạng thái mạch thay đổi điệngia giacường cường CNT kiểuthay phân FG-X(tấm (tấmcứng cứng nhất) vàFG-O FG-O (tấm mềm hp/h TỷTỷ số số hp/h Hình Tần số w [p/45°/-45°/p] ◦ [p/45°/-45°/p] ◦ Hình Tần w tấm Hình 6 Tần số ωsốcủa [p/45 /−45 /p] theo tỷ số * * ∗ theo số h /h V theo tỷtỷ số h /h V thay đổiđổi p CNT p CNT h p /h VCNT thay đổi thay Tần số w (Hz) Tần số w (Hz) Tần số w (Hz)Tần số w (Hz) Tần số w (Hz) Tần số w (Hz) Tần số w (Hz)Tần số w (Hz) * * nhất) hai trường hợp mở ngắt =thay Kết cho thấy nhất) hai trường hợp mởmạch mạch ngắtmạch mạch (V =17%) 17%) cho thấy CNT CNT (Font chữ hình Times New Roman, viết có(V dấu, thay ‘.’ =>=> ‘,Kết ‘)‘,quả (Font chữ hình Times New Roman, viết có dấu, ‘.’ ‘)quả khikhi ngắt mạch khimở mởmạch mạch(Open (Open– –circuit) circuit)tầntầnsốsốdao daođộng độngriêng riêngcủa củatấm tấmlớn lớnhơn ngắt mạch Đồ thị Hình 4Về 5biểu diễn tần sốhiệu dao động riêng composite áp 3.5 Khảo sátcircuit) ảnh hưởng chiều dày lớp điện Đồ thịcác Hình 4và Hình biểu diễn tần số dao động riêng composite áp (Close – ýHình vật lý, dốp có ứng áp nên mở mạch, (Close –circuit) Về ýnghĩa nghĩa vật lý, cóhiệu ứng ápđiện điện nên mở mạch, điện gia cường CNT kiểu phân bố FG-X (tấm cứng nhất) FG-O (tấm mềm điện gia cường CNT kiểu phân bố FG-X (tấm cứng nhất) FG-O (tấm mềm lượng điện hóa thành lượng cơcơ học cócóđộ lượng điện đượcchuyển chuyển hóa thànhnăng lượng họcnên nên độcứng cứng lớn Đồ thị cácđược Hình biểu diễn ảnh hưởng tỷ số h p /h đến số dao động riêng lớn (FG-X) *tần * = 17%) Kết cho thấy nhất) hai trường hợp mở mạch ngắt mạch (V CNT nhất) hai trường hợp mở mạch ngắt mạch (V = 17%) Kết cho thấy ∗ CNT (tần hơn), với trung hòa dođồ nối đất nên (tần sốlớn lớn hơn), vớimạch mạch ngắtthìthái thìđiện điệnthế thếđãđã bị trung hòa nối đất nên với basốgiá trị khác củakhi Vkhi mạch ởngắt trạng mở (Open –bị circuit) Đường thị cho thấy có CNT mở mạch (Open – –circuit) tần sốsố dao động riêng lớnlớn khikhi ngắt mạch mở mạch (Open circuit) tần dao động riêng ngắt mạch không xảy tượng chuyển hóa điện thành khơng xảy tượng chuyển hóa điện thành thể tìm điểm cực tiểu tần số h p /h thay đổi sau giá trị cực tiểu tăng tỷ số h p /h (Close dodo cócó hiệu ứng ápáp điện nênnên khikhi mởmở mạch, (Close– –circuit) circuit).VềVềý ýnghĩa nghĩavậtvậtlý,lý, hiệu ứng điện mạch, 3.5 Khảo sát ảnh hưởng chiều dày lớp áp điện 3.5 Khảo sát ảnh hưởng chiều dày lớp áp điện lượng lượng cơcơ học nên có có độđộ cứng lớnlớn hơnhơn lượngđiện điệnđược đượcchuyển chuyểnhóa hóathành thànhnăng lượng học nên cứng (tần ngắt thìthì điện thếthế đãđã bị bị trung hòahòa do nốinối đấtđất nênnên (tầnsốsốlớn lớnhơn), hơn),trong trongkhi khivới vớimạch mạch ngắt điện trung khơng xảy tượng chuyển hóa điện thành không xảy tượng chuyển hóa điện thành 3.5 chiều dày lớplớp ápáp điện 3.5.Khảo Khảosátsátảnh ảnhhưởng hưởng chiều dày điện hp/h TỷTỷ số số hp/h Hình Tần w ◦ [p/45°/-45°/p] Hình Tần wcủa [p/45°/-45°/p] Hình 7 Tần sốsốωsố [p/45 /−45◦ /p] theo tỷ số theo h /h b/h thay theo tỷ tỷ sốhsố h /h b/h thay đổiđổi p p p /h b/h thay đổi Tỷ số hp/h hình Tỷ thay số hp/h‘.’‘.’ (Font chữ Times New Roman, viết dấu, (Font chữ Times New Roman, viết cócó dấu, ‘, ‘, ‘) ‘) Tỷ số hp/h hình Tỷthay số hp/h=>=> Hình Tần số w [p/45°/-45°/p] 51Hình Tần số w [p/45°/-45°/p] Hình 6.các Tần số6w6biểu [p/45°/-45°/p] Tần số wsố [p/45°/-45°/p] thịcác biểu ảnhhưởng hưởngcủa củatỷHình tỷsốtheo sốhp7 h/hptỷ /h đến tần số dao động riêng * diễn ĐồĐồ thị ảnh đến dao động riêng theo tỷHình sốHình hp/h Vdiễn số htần CNT p/h b/h thay đổi * thay đổi * * theo tỷ số h /h V thay đổi theo tỷ số h /h b/h thay đổi p CNT p tấm(FG-X) (FG-X)với vớibabagiágiátrịtrịkhác khácnhau nhaucủa củaV V mạchở ởtrạng trạngthái tháimởmở(Open (Open– – vàvàmạch CNT CNT (Fontđồ chữ hình Times New Roman, viết cótiểu dấu, thay ‘.’số=> ‘, h‘)ph circuit) Đường đồ thị cho thấy tìm điểm cực tiểu tần số thay circuit) Đường thị cho thấy tìm điểm cực tần /h thay p/h (Font chữ hình Times New Roman, viết có dấu, thay ‘.’ => ‘, ‘) đổi sau cực tiểu tăng dao động tăng dần đổi vàvà sau giágiá trịtrị cực tiểu đóđó tăng tỷtỷ sốsố h h/hp/h thìthì tầntần sốsố dao động tăng dần Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng tần số dao động tăng dần Trong trường hợp mở mạch, với dày b/h = 10 (Hình 7) tăng chiều dày lớp áp điện (tăng tỷ số h p /h) làm tần số dao động riêng kết cấu tổng thể tăng lên, ngược lại với mỏng, khối lượng riêng vật liệu áp điện lớn nên việc gắn thêm lớp vật liệu làm giảm tần số dao động Kết luận Bài báo xây dựng lời giải giải tích theo lý thuyết bốn ẩn chuyển vị tính tốn tần số dao động riêng kết cấu composite lớp gia cường ống nano carbon có gắn lớp áp điện mặt mặt Nghiên cứu so sánh cho thấy lý thuyết bốn ẩn chuyển vị đơn giản hiệu phân tích dao động kết cấu Kết số ảnh hưởng tỷ phần thể tích, kiểu phân bố ống nano carbon, góc đặt ống nano carbon, chiều dày lớp áp điện điều kiện biên điện tích ảnh hưởng đáng kể đến tần số hay độ cứng composite lớp gia cường ống nano carbon có gắn lớp áp điện Cụ thể, FG-X CNTRC có tần số dao động lớn FG-O CNTRC có tần số dao động nhỏ Khi góc đặt ống nano carbon 45◦ cho kết tần số dao động lớn Do có chuyển hóa từ lượng điện sang lượng học nên trường hợp mạch mở cho tần số lớn trường hợp mạch ngắt Lời cảm ơn Tác giả chân thành cảm ơn hỗ trợ tài Đề tài thuộc chương trình khoa học công nghệ cấp Bộ Giáo dục đào tạo “Nghiên cứu giải pháp ứng dụng vật liệu thông minh, thân thiện mơi trường kết cấu cơng trình thích ứng bối cảnh cách mạng công nghiệp 4.0”, mã số: CT.2019.03.04 Tài liệu tham khảo [1] Shen, H.-S (2009) Nonlinear bending of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite plates in thermal environments Composite Structures, 91(1):9–19 [2] Zhu, P., Lei, Z X., Liew, K M (2012) Static and free vibration analyses of carbon nanotube-reinforced composite plates using finite element method with first order shear deformation plate theory Composite Structures, 94(4):1450–1460 [3] Lei, Z X., Liew, K M., Yu, J L (2013) Buckling analysis of functionally graded carbon nanotubereinforced composite plates using the element-free kp-Ritz method Composite Structures, 98:160–168 [4] Huang, B., Guo, Y., Wang, J., Du, J., Qian, Z., Ma, T., Yi, L (2017) Bending and free vibration analyses of antisymmetrically laminated carbon nanotube-reinforced functionally graded plates Journal of Composite Materials, 51(22):3111–3125 [5] Tú, T M., Quốc, T H., Thẩm, V V (2018) Phân tích tĩnh composite có lớp áp điện theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Reddy phương pháp giải tích Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 12(4):40–50 [6] Kiani, Y (2016) Free vibration of functionally graded carbon nanotube reinforced composite plates integrated with piezoelectric layers Computers & Mathematics with Applications, 72(9):2433–2449 [7] Selim, B A., Zhang, L W., Liew, K M (2017) Active vibration control of CNT-reinforced composite plates with piezoelectric layers based on Reddy’s higher-order shear deformation theory Composite Structures, 163:350–364 [8] Nguyen-Quang, K., Vo-Duy, T., Dang-Trung, H., Nguyen-Thoi, T (2018) An isogeometric approach for dynamic response of laminated FG-CNT reinforced composite plates integrated with piezoelectric layers Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 332:25–46 52 Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [9] Shimpi, R P., Patel, H G (2006) Free vibrations of plate using two variable refined plate theory Journal of Sound and Vibration, 296(4-5):979–999 [10] Reddy, J N (2004) Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis CRC Press [11] Farsangi, M A A., Saidi, A R (2012) Levy type solution for free vibration analysis of functionally graded rectangular plates with piezoelectric layers Smart Materials and Structures, 21(9):094017 [12] Wu, N., Wang, Q., Quek, S T (2010) Free vibration analysis of piezoelectric coupled circular plate with open circuit Journal of Sound and Vibration, 329(8):1126–1136 [13] Thai, H.-T., Vo, T P (2013) A new sinusoidal shear deformation theory for bending, buckling, and vibration of functionally graded plates Applied mathematical modelling, 37(5):3269–3281 Phụ lục Các hệ số si j mi j : + TH1: SS-1; ngắt mạch (closed circuit): s11 s13 s15 s24 s33 = −2 C¯ 11 h p α2 − (C¯ 11 − C¯ 12 )h p β2 − A11 α2 − A66 β2 ; s12 = −(C¯ 11 + C¯ 12 )αβh p − (A12 + A66 )αβ; s s s )αβ2 ; = B11 α3 + (B12 + 2B66 )αβ2 ; s14 = C¯ 11 α3 f (z)h p + C¯ 11 αβ2 f (z)h p + B11 α3 + (B12 + 2B66 2 2 = 0; s22 = −(C¯ 11 − C¯ 12 )α h p − C¯ 11 β h p − A66 α − A22 β ; s23 = B22 β + (B12 + 2B66 )α β; s s s = C¯ 11 α2 β f (z)h p + C¯ 11 β3 f (z)h p + B22 β + (B12 + 2B66 )α2 β; s25 = 0; = −D11 α4 − D22 β4 − (2D12 + 4D66 )α2 β2 − 2/3 h p + hc h p + 1/2(hc )2 h p C¯ 11 α4 − 2/3 h p − 1/2 (hc )2 h p − hc h p C¯ 11 β4 − (4/3 h p + 2hc h p + (hc )2 h p )C¯ 11 α2 β2 ; s s s s s34 = −D11 α4 − (2D12 + 4D66 )α2 β2 − D22 β ; s35 = 4/3 e¯ 31 h p α2 + 4/3 e¯ 31 h p β2 ; 2 2 s44 = −2 C¯ 11 α ( f (z)) h p − C¯ 11 α β ( f (z)) h p − C¯ 11 β4 ( f (z))2 h p − 2C55 α2 g(z)h p − 2C55 β2 g(z)h p s s 2 s s 2 s s −H11 α − 2H12 α β − H22 β − 4H66 α β − A44 β − A55 α2 ; s45 = 0; s21 = s12 ; s31 = s13 ; s32 = s23 ; s41 = s14 ; s42 = s24 ; s43 = s34 ; s51 = s15 ; p¯ 33 ; s52 = s25 ; s53 = s35 ; s54 = s45 ; s55 = 4/3h p p11 α2 + 4/3h p p22 β2 + 16 hp m11 = m22 = I1 ; m13 = −I2 α; m14 = −I4 α; m23 = −I2 β; m24 = −I4 β; m31 = m13 ; m32 = m23 ; m33 = I1 + I3 (α2 + β2 ); m34 = I1 + I5 (α2 + β2 ); m41 = m14 ; m42 = m24 ; m43 = m34 ; m44 = I1 + I6 (α2 + β2 ); m12 = m21 = m15 = m51 = 0; m25 = m52 = m35 = m53 = m45 = m54 = + TH2: SS-2; ngắt mạch: (chỉ đưa giá trị si j mi j thay đổi so với TH1: SS-1, ngắt mạch) s s s s13 = 3B16 α β + B26 β3 ; s14 = 3B16 α2 β + B26 β ; s s s23 = B16 α3 + 3B26 αβ2 ; s24 = B16 α + 3B26 αβ2 s25 = 0; m13 = m14 = m23 = m24 = 0; + TH3: SS-1; mở mạch (opened circuit): (chỉ đưa giá trị si j mi j thay đổi so với TH1: SS-1, ngắt mạch) (¯e31 )2 s11 = h p (C¯ 12 − C11 )β2 − 2h p (C11 + )α − A66 β2 − A11 α2 ; p33 (¯e31 )2 s12 = −(A12 + A66 )αβ − C¯ 11 + C¯ 12 − αβh p ; p¯ 33 53 Thẩm, V V cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng s s s s14 = B11 α + B12 αβ2 + 2B66 αβ2 + C¯ 11 α3 f (z)h p α3 (¯e31 )2 f (z)h p αβ2 (¯e31 )2 f (z)h p +2 + C¯ 11 αβ2 f (z)h p + ; p¯ 33 p¯ 33 β2 (¯e31 ) s s s s22 = (C¯ 12 − C¯ 11 )α2 h p − C¯ 11 + β + (B12 + 2B66 )α2 β 2h p β2 − A6 α2 − A22 β2 ; s24 = B22 p¯ 33 (¯e31 )2 (¯e31 )2 +2 C¯ 11 + β f (z)h p + C¯ 11 + α β f (z)h p ; p¯ 33 p¯ 33   (¯e31 )2 h p  2 + C¯ 11 hc h p s33 = −D11 α − 2(D12 + 2D66 )α β − D22 β − 2/3 C¯ 11 h p +  p¯ 33   2 (¯e31 )2 hc h p ) ) (h (¯ h e c p 31  α4 + 1/2 +1/2 C¯ 11 (hc )2 h p +3/2  p¯ 33 p¯ 33   2   2 (¯ ) (¯ ) e h h e h 31 c p 31 p (¯ ) (h ) e h 31 c p   α2 β2 + C¯ 11 hc h p +C¯ 11 (hc )2 h p + + − 4/3 C¯ 11 h p +   p¯ 33 p¯ 33 p¯ 33     2 (¯e31 )2 h p (¯e31 )2 hc h p (¯ ) (h ) e h 31 c p   − 2/3 C¯ 11 h p + + C¯ 11 hc h p + 1/2 C¯ 11 (hc )2 h p +3/2 + 1/2  β ;  p¯ 33 p¯ 33 p¯ 33 s35 = −(¯e31 hc + 4/3 e¯ 31 h p )4α2 − (¯e31 hc + 4/3 e¯ 31 h p )4β2 ; s s s s s s s44 = −H11 α − H22 β − (H12 + 2H66 )2α2 β2 − A55 α + A44 β 2 (¯ ) (¯ ) e e 31 31 − C¯ 11 + 2( f (z))2 h p α4 − C¯ 11 + 2( f (z))2 h p β4 p¯ 33 p¯ 33 (¯e31 )2 − C¯ 11 + 4h p ( f (z))2 α2 β2 − 2C55 g(z)h p α2 − 2C55 g(z)h p β2 ; p¯ 33 p¯ 33 s55 = 16/3h p p11 α2 + 16/3h p p22 β2 + 16 hp + TH4: SS-2; mở mạch: (chỉ đưa giá trị si j mi j thay đổi so với TH3: SS-1, mở mạch) s s s s13 = 3B16 α β + B26 β3 ; s14 = 3B16 α2 β + B26 β ; s s s23 = B16 α + 3B26 αβ ; s24 = B16 α + 3B26 αβ2 ; s25 = 0; m13 = m14 = m23 = m24 = 0; 54 ... VCNT h (1) Hình gia cường cườngống ốngnano nanocarbon carbon Hình1.1 .Tấm Tấmcomposite composite lớp lớp áp áp điện điện gia Các tính chất hiệu dụng vật liệu composite gia cường ống nano carbon đơn... giải tích dạng chuỗi Fourie kép để phân tích dao động tự composite nhiều lớp gia cường ống CNT có gắn lớp áp điện mặt Các công thức lý thuyết 2.1 Tấm composite lớp áp điện gia cường ống nano. .. động riêng kết cấu composite lớp gia cường ống nano carbon có gắn lớp áp điện mặt mặt Nghiên cứu so sánh cho thấy lý thuyết bốn ẩn chuyển vị đơn giản hiệu phân tích dao động kết cấu Kết số ảnh