Nghiên cứu này tập trung xác định các tần số dao dộng riêng và dạng dao động riêng của dầm bê tông ứng suất trước với các điều kiện biên khác nhau. Nghiên cứu đã thiết lập được các phương trình đặc trưng cho phép xác định tần số dao động riêng và các hàm dạng riêng của dao động. Trên cơ sở đó sử dụng phương pháp số Newton – Raphson trên nền phần mềm Matlab để phân tích số các bài toán đó. Mời các bạn tham khảo!
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 14 (5V): 197–210 PHÂN TÍCH TẦN SỐ RIÊNG VÀ DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA DẦM BÊ TÔNG ỨNG SUẤT TRƯỚC VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU Nguyễn Sỹ Nama,∗, Lê Ngọc Chấna , Phạm Hồng Anha a Khoa Xây dựng dân dụng công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, số 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 01/09/2020, Sửa xong 25/09/2020, Chấp nhận đăng 28/09/2020 Tóm tắt Ngày ngành giao thông vận tải, xây dựng việc sử dụng loại dầm sàn bê tông cốt thép (BTCT) dự ứng lực (ứng suất trước - ƯST) phổ biến Việc nghiên cứu loại dầm thường tập trung vào toán tĩnh Các đặc trưng riêng kết cấu tần số dao động riêng, dạng dao động riêng tỷ số cản tham số có ảnh hưởng lớn tới phản ứng động lực học cơng trình Chúng sử dụng phân tích, thiết kế lẫn kiểm định cơng trình Hơn nữa, nghiên cứu điều khiển giảm dao động cho cơng trình chịu tải trọng động, tần số riêng dạng dao động riêng hai thông số quan trọng cần xác định Do đó, nghiên cứu tập trung xác định tần số dao dộng riêng dạng dao động riêng dầm bê tông ứng suất trước với điều kiện biên khác Nghiên cứu thiết lập phương trình đặc trưng cho phép xác định tần số dao động riêng hàm dạng riêng dao động Trên sở sử dụng phương pháp số Newton – Raphson phần mềm Matlab để phân tích số tốn Từ khố: dầm; bê tông ứng lực trước; tần số riêng; dạng dao động riêng; phương pháp Newton – Raphson; dầm Euler – Bernoulli ANALYSIS OF NATURAL FREQUENCY AND VIBRATION MODAL FUNCTION OF PRE-STRESSED CONCRETE BEAM WITH DIFFERENT BOUNDARY CONDITIONS Abstract Today, the transportation and construction industry commonly use beams and prestressed concrete floors The research of prestressed concrete beams and slabs often focuses on the static problem Specific characteristics of the structure, such as natural frequencies, vibration modal functions and drag coefficients are parameters that have great influence on the responses of structural dynamics They are used in the analysis, design and building inspection Moreover, the research of vibration control for buildings under dynamic loads, which natural frequencies and vibration modal functions are two of the very significant parameters that need to be determined Therefore, this research focuses on identifying natural frequencies and vibration modal functions of prestressed concrete beam with different boundary conditions The research has established characteristic equations to determine natural vibration frequencies and modal functions Based on that, using the NewtonRaphson numerical method by Matlab software to analyze the problems Keywords: beam; prestressed concrete; natural frequency; vibration modal function; Newton-Raphson method; Euler – Bernoulli beam https://doi.org/10.31814/stce.nuce2020-14(5V)-16 © 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: namns@nuce.edu.vn (Nam, N S.) 197 Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Giới thiệu Kết cấu bê tông cốt thép ứng suất trước sử dụng lâu giới Ở nước phát triển, sử dụng phổ biến cấu kiện dầm, cầu bê tông từ thập niên 70 kỷ trước Ở Việt Nam, cấu kiện ứng suất trước đưa vào sử dụng giao thông, xây dựng khoảng hai thập kỉ qua Nguyên lý bê tông ứng suất trước tạo ứng lực nén trước bê tông để triệt tiêu ứng suất kéo xuất giai đoạn sử dụng cấu kiện bê tông cốt thép Để có ứng lực nén trước bê tơng ta phải tạo ứng lực kéo cốt thép cường độ cao sau lợi dụng tính dính bám cốt thép với bê tơng dùng mấu neo để truyền ứng lực kéo cốt thép vào bê tông, tạo thành ứng lực nén trước cho bê tơng Các phương pháp tính tốn thiết kế kết cấu BTCT ƯST tác dụng tải trọng tĩnh đưa vào tiêu chuẩn áp dụng phổ biến giới Việt Nam [1–5] Các vấn đề vật liệu dự ứng lực, phương pháp tạo ứng suất trước, tìm nội lực dầm ứng suất trước siêu tĩnh, vấn đề dão, hồi phục vật liệu, trình bày tài liệu nêu Các nghiên cứu loại cấu kiện ƯST có nhiều ưu điểm bật như: sử dụng bê tơng cường độ cao cốt thép cường độ cao, tính chất không hợp lý không dùng cho kết cấu BTCT thường bê tơng cường độ cao khơng có ý nghĩa nhiều vùng chịu kéo dầm BTCT thường, cịn cốt thép có cường độ cao khơng sử dụng hết khả dùng cho BTCT thường; BTCT ƯST hạn chế loại bỏ hoàn toàn khe nứt bên bê tông, đồng thời khả chịu nén bê tơng cường độ cao sử dụng hết toàn tiết diện dầm, tức dầm BTCT ƯST, bê tông cường độ cao sử dụng hiệu nhiều so với dầm BTCT thường; ngồi ra, dầm BTCT ƯST có độ võng nhỏ ln có độ vồng lực nén cốt thép lên bê tơng gây ra, cho phép vượt nhịp lớn so với BTCT thường So với tính tốn thiết kế kết cấu BTCT ƯST tác dụng tải trọng tĩnh, vấn đề lý thuyết động lực học dao động dầm ứng suất trước giới Việt Nam chưa nghiên cứu phổ biến Trong nghiên cứu động lực học thơng số tần số riêng, dạng dao động riêng hệ số cản thông số cần phải xác định trước Hơn nữa, nghiên cứu điều khiển giảm dao động cho công trình chịu tải trọng động [6], tần số riêng dạng dao động riêng hai thông số quan trọng cần xác định Trong [7] khảo sát ảnh hưởng lực dọc đến tần số riêng dao động tự dầm mảnh có ứng suất trước theo mơ hình dầm giản đơn hai gối tựa Hiệu ứng “mềm hóa dầm nén trước” biểu thị suy giảm tần số riêng uốn dầm nén trước đề cập [8] Nghiên cứu [9] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với thực nghiệm để đánh giá ảnh hưởng ứng suất trước đến tần số riêng dầm có biên tự Theo tài liệu [10] tác giả khảo sát đáp ứng động lực học cầu dư ứng lực Việt Nam tác dụng hoạt tải khai thác Bên cạnh đó, nghiên cứu tần số riêng dạng dao động riêng loại dầm với vật liệu lý thuyết dầm khác nghiên cứu tài liệu [11–15] Trong báo này, tác giả sử dụng nguyên lý d’Alembert để thiết lập phương trình dao động dầm ứng suất trước xác định dạng dao động tổng quát cho dầm Từ dạng dao động tổng quát thiết lập phương trình đặc trưng dạng dao động riêng cho dầm với điều kiện biên khác Các phương trình đặc trưng thường phương trình đại số phi tuyến phức tạp, bào báo sử dụng phương pháp Newton-Raphson phần mềm Matlab để giải phương trình 198 Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Phương trình dao động, phương trình đặc trưng dạng dao động riêng dầm ứng suất trước 2.1 Phương trình dao động dầm ứng suất trước Trong phần này, để lập phương trình dao động dầm ứng suất trước ta sử dụng lý thuyết dầm Euler - Bernoulli sau: Xét mơ hình dầm Hình Trục hình học dầm thẳng chưa biến dạng Chọn trục tọa độ x trùng với trục hình học chưa biến dạng, trục z vng góc với trục dầm Bỏ qua dao động xoắn dao động dọc trục Dầm thực dao động uốn theo phương đứng z chịu tải trọng phân bố q (x, t) theo phương đứng Do đó, độ võng w, góc xoay mặt cắt ngang ϕ, mômen uốn M lực cắt Q hàm tọa độ x thời gian t: w (x, t) , ϕ (x, t) , M (x, t) , Q (x, t) (1) Để thiết lập phương trình vi phân dao động dầm,p-ISSN ta tách2615-9058; phân e-ISSN tố có chiều dài dx chíhọc Khoa họcnghệ Cơng nghệ XâyNUCE dựng, NUCEuốn 2020 Tạp chíTạp Khoa Cơng Xây dựng, 2020 p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-94892734-9489 dầm Các thành phần lực tác dụng lên phân tố Hình q(x,t) q(x,t) 106 106 107 107 A A 108 108 x 109 109 110 110 111 111 112 112 z q(x,t) Q(x,t) Q(x,t) x x B M(x,t) M(x,t) B w x w q(x,t) φ φ j C l l x x dx z z Hình Hình Dầm trọng chịu Dầmtải chịu tải trọng x x C dx z Hình Phần tử mặt cắt dầm Hình2.2.Phần Phần tử tử mặt Hình mặtcắt cắtdầm dầm 113 113 Áp dụng nguyên lý d’Alembert cho phân dầm tố ta dầm thu trình: trình: Áp dụng nguyên lý d’Alembert chotốphân ta thuphương phương Hình Dầm chịu tải trọng q (x, t) Áp dụng nguyên lý d’Alembert cho dầm ta thu phương trình: ¶ wphân ¶Q2tố w Q (2) r A( x) A2 ( = x) 2+ =q( x, t )+ q( x, t ) (2) ¶t ¶∂xt w ∂Q x ρA(x) = + q(x, t) (2) ∂x lượng đơn vị dài dầm, ∂t , với khối dm = µ x dx = r A x dx µ x ( ) ( ) ( ) 115 dm = ( x ) dx = A ( x ) dx , với ( x ) khối lượng đơn vị dài dầm, (x) đơn (x)xlà lượng dm = µtrên dx =vịρA dx,dầm, với µ A lượng đơn vị dài của dầm dầm, ρ khối lượng thể(x)tích diện tích mặttích cắt mặt ngang r ( ) khối 116trênkhối khối lượng đơn vị thể tích dầm, diện cắt ngang dầm đơnlàvị A x ( ) thể tích dầm, A (x) diện tích mặt cắt ngang dầm Ta dạng dầm [16]: Ta có có mối mốiquan quanhệ hệgiữa giữacác cácyếu yếutốtốlực lựcvàvàbiến biến dạng dầm [16]: 117 Ta có mối quan hệ yếu tố lực biến dạng dầm [16]: ¶M ; M ; s = Exx (3) zs; xx dA M= ∂M e Q ( x, t ) = Q (x, M = Mz=xxxxdAzσ 118 ; xxxxdA; (3) (3) = Eσxxxx = Eε xx Q ( x¶, tx) = t) = ;ị∂x A x A A đó, e xx ( x, z, t ) biến dạng dài tỉ đối theo phương x Trong trường hợp dầm chịu xx (t)x,làz,biến t ) làdạng 119trong biếndài dạng dàitheo tỉ đối theo phương Tronghợp trường hợp ứng dầmlực chịu đó, εđó, tỉ đối phương x Trongx.trường dầm chịu trước, xx (x, z, ứng lực trước, ứng lực trước gây biến dạng ban đầu Xét vị trí mặt cắt ngang ứng lực trước gây biến dạng ban đầu Xét vị trí mặt cắt ngang có tọa độ x, biến dạng 120 ứng lực trước, ứng lực trước gây biến dạng ban đầu Xét vị trí mặt cắt ngangdài tỉ cóđối tọađóđộlà:x, biến dạng dài tỉ đối là: 121 có tọa độ x, biến dạng dài tỉ đối là: (4) e ( x, z,0) = ez,0 (0) x) = ε (x) ε (x, (4) 0( x, z,0) = 00( x) 122 (4) ∗ * z, t) Trong giới hạn tuyến tính, Sau Sau khi biến biến dạng dạng uốn, uốn,gọi gọibiến biếndạng dạngdài dàitỉtỉđối đốisinh sinhraralàlàε xxe (x, xx ( x, z, t )* Trong giới dài tổngbiến thể dài ban đầudài dotỉứng trước dầm ( x,dạng z, t ) dài 123biến dạngSau dạngbiến uốn,dạng gọi biến dạng đốilực sinh làvà biến Trong giớichịu hạn tuyến tính, biến dạng dài tổng thể biến dạng dài ban đầu ứngxxlực trước uốn: 124 hạn tuyến thể biến dạng dài ban đầu ứng lực trước ∗ biến dạng dài dotính, dầm biến chịu dạng uốn: dàiεtổng (5) xx (x, z, t) = ε0 (x) + ε xx (x, z, t) 125 biến dạng dài dầm chịu uốn: (5) e xx ( x, z, t ) = e ( x) + e xx* ( x199 , z, t ) xx ( x, z, t ) = ( x) + xx* ( x, z, t ) 126 (5) 114 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 123 * ( x, z, t ) Trong giới Sau biến dạng uốn, gọi biến dạng dài tỉ đối sinh xx 124 125 hạn tuyến tính, biến dạng dài tổng thể biến dạng dài ban đầu ứng lực trước biến dạng dài dầm chịu uốn: 126 Nam,N S., x,và z, cs t ) =/ Tạp (chí x) +Khoa xx (học x, zCơng , t ) nghệ Xây dựng xx ( * (5) Trục dầm Đường trung hịa Hình Biến dài của3,một đoạn dầmdài tỷ đối lớp z Xét phân tố dầm chịu uốn dạng Hình biến dạng 128 dầm phụ thuộc vào tọa độ z , Khi z = z0 ( z0 ) = Đối với dầm đồng tố dầmdễchịu uốn Hình 3, biến dạng dài tỷ đối z nàođối với dầm 129 Xét chất đốiphân xứng dàng xácnhư định vị trí đường trung hòacủaz0một Tuylớpnhiên phụ thuộc vào tọa độ z, z = z0 ε(z0 ) = Đối với dầm đồng chất đối xứng dễ dàng xác định vị trí đường trung hịa z0 Tuy nhiên dầm lớp trung hịa nói chung khơng trùng với đường trung hịa (trục dầm) Do đường trục đối xứng dầm Ký hiệu κ bán kính cong trung hịa khơng biến dạng dài nên khoảng cách ban đầu hai mặt cắt ngang tính theo đường trung hịa là: L0 = κdϕ (6) 127 Khoảng cách điểm mặt cắt điểm mặt cắt lớp vật liệu có tọa độ z sau biến dạng là: L = (κ + z − z0 )dϕ (7) Từ công thức (6) (7) chọn z0 = ta suy biến dạng tỷ đối lớp vật liệu có tọa độ z là: L − L0 z = L0 κ ε∗xx (z) = (8) độ cong dầm xác định theo cơng thức tốn: ∂2 w ∂x2 = − 3 κ 2 ∂w 1 + ∂x (9) Thay biểu thức (9) vào biểu thức (8), bỏ qua vô bé bậc cao ta được: ε xx (x, z, t) ≈ ε0 (x) − ∂2 w z ∂x2 (10) Thế biểu thức (10) thay vào (3) ta được: M = ε0 (x) E zdA − E ∂2 w ∂x2 A z2 dA (11) A Ta có cơng thức xác định trọng tâm mơmen qn tính mặt cắt ngang: AzC = zdA; I (x) = A z2 dA A 200 (12) Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng zC tọa độ trọng tâm theo phương trục z, dầm biến dạng zC = w Thay biểu thức (12) vào (11), thay biểu thức (11) vào (3) ta M (x, t) = Eε0 (x) A (x) w − EI (x) Q (x, t) = ∂2 w ∂x2 ∂M ∂ ∂ ∂2 w [Eε0 (x) A (x) w] − = EI (x) ∂x ∂x ∂x ∂x (13) (14) Thay cơng thức (14) vào phương trình (2) thu phương trình đạo hàm riêng mơ tả dao động uốn dầm có ứng suất trước: ∂2 ∂2 w ∂2 w ∂2 (x) (x) (x) (x) [ε EA w] + ρA = q (x, t) EI − ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂t2 (15) Trong trường hợp dầm có mặt cắt ngang khơng đổi, phương trình (15) có dạng: EI ∂4 w ∂2 w ∂2 w − ε EA + ρA = q (x, t) ∂x4 ∂x2 ∂t2 (16) Từ (16) ta suy phương trình dao động tự dầm có ứng suất trước: EI ∂4 w ∂2 w ∂2 w − ε EA + ρA =0 ∂x4 ∂x2 ∂t2 (17) Khi ε0 = (dầm khơng có ứng suất trước), từ phương trình (16) phương trình dao động uốn dầm Euler – Bernoulli thường: ∂4 w ∂2 w EI + ρA = q (x, t) (18) ∂x ∂t 2.2 Phương trình đặc trưng dạng dao động riêng Áp dụng phương pháp Bernouli, ta tìm nghiệm phương trình (17) dạng: w(x, t) = X(x)T (t) (19) X (x) hàm dạng thỏa mãn điều kiện biên, hàm biên độ dao động uốn vị trí x; T (x) hàm dao động phụ thuộc vào điều kiện đầu dao động Thế biểu thức (19) vào phương trình (17), biến đổi ta thu được: EI X (IV) (x) X (x) Tă (t) EA = −ρA X(x) X(x) T (t) (20) Do vế phải phương trình (20) phụ thuộc vào t, cịn vế trái phụ thuộc vào x, nên hai vế phải số Ta ký hiệu số ω2 Từ (20) ta có: EI X (IV) (x) EAX (x) Tă (t) = = A X(x) ρAX(x) T (t) (21) Từ (21) ta suy hai phng trỡnh: Tă (t) + T (t) = 201 (22) ng a = w 2µ 2b = e o , EI A I (25) Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Nghiệm phương trình đặc trưng tốnAhọc (24): ω2 µ X (IV) (x) − ε0 X (x) − X(x) = s1 = ig , s2 = -ig , s3 I= d , s4 =EI-d ng đó: (23) (26) Sự khác dầm có ứng suất trước dầm khơng có ứng suất trước số hạng phương trình (23) Phương trình đặc trưng tốn học phương trình vi phân (23) có dạng: g= s4 − 2βs2 − α2 = (24) b +a - b 2 (27) ω2 µ A 22 = α d = b + a + bEI ; 2β = ε0 I Nghiệm phương trình đặc trưng tốn học (24): (28)(25) X ( x) = B1ed x + B2e-d x + B3γe=ig x + Bβ42e+-igαx2 − β (29)(27) Theo lí thuyết phương trình visphân tuyến tính, nghiệm qt phương trình s2 = −iγ; s3 = δ; stổng (26) = iγ; = −δ hân tuyếntrong tính đó:thuần cấp bốn (23) có dạng: δ = giác β2 + α2 + β (28) Biến đổi phương trình (29) dạng lượng thu hàm dạng riêng tổng quát: Theo lí thuyết phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm tổng qt phương trình vi phân tuyến (30) X ( xnhất )=C x +cóCdạng: cos sin g x + C3 cosh d x + C4 sinh d x tính cấp bống(23) δx X(x) = B1 e + B2 e + B3 e + B4 e ng C1 , C2 , C3 , C4 số, xác định từ điều kiện biên −δx iγx −iγx (29) Biến đổi phương trình (29) dạng lượng giác thu hàm dạng riêng tổng quát: Từ hàm dạng tổng quát (30), với loại dầm có δx điều biên khác (30) ta X(x) =ứng C1 cos γx + C2 sin γx + C3 cosh + C4kiện sinh δx hu biểu biểu thức xácđiều định số riêng khác nhau: thức C1 ,hàm C2 , C3dạng , C4 khác số, xác định từ kiệntần biên Từ hàm dạng tổng quát (30), ứng với loại dầm có điều kiện biên khác ta thu Phương biểu trình dạngvàdao động dầmkhác hainhau: đầu ngàm: thứcđặc hàmtrưng dạng khác biểu thức xácriêng định tần số riêng 2.3 đặc Phương trình đặc trưng dạng dao động riêng dầm hai đầu ngàm hương trình trưng a Phương trình đặc trưng Các điều kiện biên haihaiđầu Các điều kiệncủa biêndầm dầm đầu ngàm ngàm độ võng w(x, góc xoay w¢(x, t) tạitại h độHình võng xoay w ( x, t ) t)góc w ( x, t ) rA, EI x hai biên (x = x = l) 0: biên ( x = x =w(0, l ) t)đều = ⇒ X(0)0:= l z w(0, t ) = Þ Xw(l, (0)t)==00 ⇒ X(l) = w (0, t) = ⇒ X (0) = HìnhHình Dầm đầu ngàm Dầmhai hai đầu ngàm w(l , t ) = Þ X w(l(l, ) =t) 0= ⇒ X (l) = Â(0) wÂ(0, t ) =Vi 0ị = biên từ biểu thức (30) đạo hàm suy bốn phương trình xác X iu kin wÂ(l , t )nh = 0cỏc ịhng X ¢(sốl )C=1 , 0C2 , C3 , C4 : X(0) = : C1 + C3 = (31) X (0) = : C2 γ + C4 δ = (33) X (l) = : −C1 γ sin γl + C2 γ cos γl + C3 δ sinh δl + C4 δ cosh δl = (34) Với điều kiện biên và+ đạo hàm suy bốn X(l) =trên : Ctừ γl +biểu C2 sinthức γl + C(30) C4 sinh δl = (32) cos cosh δl 202 Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Từ phương trình (31) (33) suy ra: C1 = −C3 ; γ C4 = − C2 δ (35) Thế biểu thức (35) vào phương trình (32) (34) ta được: C1 (cos γl − cosh δl) + C2 (sin γl − γ sinh δl) = δ − C1 (γ sin γl + δ sinh δl) + C2 (γ cos sγl − γ cosh δl) = (36) (37) Điều kiện cần C1 , C2 không đồng thời là: γ sinh δl =0 δ −γ sin γl − δ sinh δl γ cos γl − γ cosh δl cos γl − cosh δl sin γl − (38) Khai triển định thức với ý sin2 x + cos2 x = 1; cosh2 x − sinh2 x = 1, ta rút phương trình đặc trưng dao động uốn dầm ứng suất trước với biên hai đầu ngàm: 2γδ − 2γδ cos γl cosh δl + δ2 sin γl sinh δl − γ2 sin γl sinh δl = δ2 − γ2 sin γl sinh δl + 2γδ (1 − cos γl cosh δl) = (39) γ, δ hàm α, xác định biểu thức (27), (28) Rút gọn ta thu phương trình đặc trưng: f (α) = 2β sin γl sinh δl + 2α (1 − cos γl cosh δl) = (40) Phương trình (40) phương trình đại số phi tuyến, có vơ số nghiệm số, giải phương trình ta xác định nghiệm αk (k = 1, 2, ) Từ ta tính tần số riêng dầm đầu ngàm chịu ứng suất trước theo biểu thức (25): EI ωk = αk (41) µ A Khi biết β γ 2I δ hàm biến α Giải phương trình (40) phương pháp số ta αk Sau theo (41) ta ωk Trong thực tế, cho biết ε0 tham số dầm ta tính β = ε0 b Dạng dao động riêng Từ phương trình (37) ta có: C1 = γ cos(γl) − γ cosh(δl) C2 = h(γ, δ)C2 γ sin(γl) + δ sinh(δl) (42) Theo (35) ta có: γ C4 = − C2 (43) δ Thay biểu thức (43) vào phương trình hàm dạng tổng quát (30) ta thu dạng dao động riêng dầm ứng suất trước với biên hai đầu ngàm: C3 = −C1 = −h(γ, δ)C2 ; X(x) = h(γ, δ)(cos γx − cosh δx) + sin γx − 203 γ sinh δx C2 δ (44) êë d úû 234 235 Giải phương trình đặc trưng ta xác định nghiệm αk, thay vào công thức (27), (28) ta xác định giá trị g k , d k , thay giá trị vào (44) ta có biểu thức 236 hàm dạng daoNam, độngN.riêng: S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Giải phương trìnhé gđặc trưng ta xác định nghiệm αk , thay vào công ù (28) ta g k thức (27), k cos(g k l ) - g k cosh(d k l ) 237 (45) X ( x ) = cos( g x ) cosh( d x ) + sin( g x ) sinh( d x ) ( ) ú C2riêng: k (44) ta cók biểu thức khàm dạng daok động xác định kcác giáê trị γk , δk , thay giá trị vào ë g k sin(g k l ) - d k sinh(d k l ) dk û γk cos(γk l) − γk cosh(δk l) γk (cos(γk x) − cosh(δk x)) + sin(γk x) − Xk (x) = sinh(δk x) C2 (45) k k k dạng dao động 238 = 1, 2, 3, … Với ta có tần số dao động riêng γk sin(γk l) − δk sinh(δk l) δbậc k k ta có tần số dao động riêng bậc k dạng dao động riêng thứ k trong239 k =riêng 1, 2, thứ 3, k Với Phương trìnhvàđặc trưng dạng daocủa động ngàm dầm ngàm 2.4 240 Phương2.4 trình đặc trưng dạng dao động riêng dầmriêng đầu đầu đầu tự đầu 241 tự do: Điều kiện biên dầm đầu ngàm, đầu tự EI, ρA B x A Hình 5: 242 Điều kiện biên dầm đầu Tại ngàm: x1 = 0, tự độ võng 0, góc 243đầu ngàm, đầu Hình 5: xoay l 0: z 244 Tạp độ võng x0 =Xây , dựng, w(0, t)Khoa = đầu học ⇒ ngàm: X(0) chíTại Cơng = nghệ NUCE 2020 p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 (46) Hình Dầm đầu ngàm đầu tự 245 0, góc xoay 0: Hình Dầm đầu ngàm đầu tự w (0, t) = ⇒ X (0) = w(0, t ) = Þ X (0) = Tại đầu tự do: = l, điều mômen lực tương cắt 0: trường hợp trên, từ biểu thức (30) 249 Vớix kiệnbằng biên0,này, t nh 246 (46) Â(l) (0, ịXXphng (0)==0;0 trỡnh t)t )== ⇒ w đặc (l, t)trưng: = ⇒ X (l) = (47) 250 đạo hàm củaww nó¢(l, suy ra00được ( ) ( ) Với biên4tựnày, tươngltự hợp trên,2cắt từ biểu thức (30) đạo hàm 3như trường 247các điều kiện Tại gđầu 251 (48) g +do: d x+ = 2d 2,gmômen cos g l cosh d0, l +lực dg g 2bằng - d 0:sin g l sinh d l = suy phương trình đặc trưng: w¢¢(4l , t ) = 02ị3 X ÂÂ(l ) = 2 (47) Taγcũng dạng riêng γ4 +thu δ + 2δ hàm γ cos γl cosh δl + δγdao γđộng: − δ2 sin γl sinh δl = (48) w¢¢¢(l , t ) = ị X ÂÂÂ(l ) = dạng riêng 3của dao động: Ta thu æ g dhàm gk k cosh d k l + g k cos g k l x ư÷ C (49) 253 X ( x) = ỗ k2 cosh cos g x cosh d x + sin g x sinh d ( ) k k k k 3 +dγk cos γk l γ k k g sin gδkkll k sinh d k l(cos γ x − cosh δ x) + sin γ x − kd sinh Cø2 X(x) = è 3kk δ x (49) k k k k δk γk sin γk l − δ3k sinh δk l 254 với k = 1, 2, 3, … với k = 1, 2, 3, 255 2.5 Phương trình đặc trưng dạng dao động riêng dầm đầu ngàm đầu 2.5 Phương trình đặc trưng dạng dao động riêng dầm đầu ngàm đầu gối tựa 256 gối tựa: Điều kiện biên dầm đầu ngàm, đầu gối B x A như257 Hình 6: Điều kiện biên dầm đầu ngàm, 258 đầu gốix 6: 0, góc xoay Tại đầu1 ngàm: = 0, Hình độ võng l z 2590: Tại đầu ngàm: x = , độ võng Hình Dầm đầu ngàm đầu gối w(0, t) = ⇒ X(0) = 0; Hình Dầm đầu ngàm đầu gối 260 0, góc xoay 0: (50) w (0, t) = ⇒ X (0) = 261 (50) w(0, t ) = Þ X (0) = 0; wÂ(0, t ) = ị X ¢(0) = Tại đầu gối tựa: x = l, độ võng 0, mômen 0: 248 252 262 Tại đầu gối l, độ 0: = w(l,tựa: t) =x 0=⇒ X(l)võng = 0;bằng w 0,(l,mômen t) = ⇒ X (l) (51) Với điều kiệnwbiên từ Xcác thức ¢¢(l , t(30) 263 (l , t ) này, =0Þ (l ) biểu = 0; w ) = 0v ịo X ÂÂ(hm l ) = 0ca nú, biến đổi ta suy ra(51) phương trưng: 264 trình đặc Với điều kiện biên này, từ biểu thức (30) đạo hàm nó, biến đổi ta γ2 suy ra(γđược trình đặc trưng: − δ2phương ) cos γl sin γl − γδ(1 + ) cos γl sinh δl + 2δ2 cosh δl sin γl = (52) δ Ta thu hàm dạng riêng dao gđộng: 2 266 (52) (g - d )cos g l sin g l - gd (1 + )cos g l sinh d l + 2d cosh d l sin g l = d δk sin(γk l) − γk δk sinh(δk l) γk (− cos(γ x) + cosh(δk x)) + sin(γk x) − X (x) = sinh(δk x) (53) 267 k thu hàm dạng riêngk dao động: δk γTa k cos(γk l) − δk cosh(δk l) 265 với k = 1, 2, 3, d sin(g k l ) - g kd k sinh(d k l ) g 268 X k ( x) = k g k x) + cosh(d k x) ) + sin(g k x) - k sinh(d k x) (53) ( - cos( 204 g k cos(g k l ) - d k cosh(d k l ) dk 269 với k = 1,2,3,… 270 2.6 Phương trình đặc trưng dạng dao động riêng dầm hai đầu gối tựa: Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây NUCE 2020học Cơng p-ISSN 2615-9058; Nam, N S., dựng, cs / Tạp chí Khoa nghệ Xây dựng e-ISSN 2734-9489 2.6 Phương trình đặc trưng dạng dao động riêng dầm hai đầu gối tựa w(l , t ) = Þ X (l ) = B x A 276 Điều kiện biên dầm hai đầu gối tựa ¢¢ ¢¢ w ( l , t ) = Þ X ( l ) = Hình l x = biên 0, độnày, võngtừbằng 0, z 277 Tại đầu gối Vớithứ cácnhất: điều kiện biểu mômenthức bằng(30) 0: đạo hàm nó, biến đổi ta suy Hình Dầm đầu ngàm hai đầu gối tựa 278 279 280 Hình Dầm đầu ngàm hai đầu gối tựa trình đặc=trưng: w(0,phương t) = ⇒ X(0) (54) w (0, t) = ⇒ X (0) = sin g l = (55) 281 Tại đầu gối Giảithứ phương ta võng được:bằng 0, mômen 0: hai: x trình = l, độ kp (56) pÞ g k == 0; ,(wk =(l,1,t)2, ) w(l, gt)k l==0k⇒ X(l) = ⇒ X (l) = l 283 Với Theo cơngbiên thứcnày, (27),từbiến có: (30) đạo hàm nó, biến đổi ta suy điều kiện đổi biểuta thức 4 phương trình đặc trưng: kp p2 284 (57) (55) a k2 = + 2bsin k γl2 =,(k0 = 1, 2, ) l l 282 285 công thức (25) ta suy ra: Giải phươngTừ trình ta được: kπ p E= 1, 2, ) γ γ = 2l = kπ p⇒EI k k 286 ( k = 1,2, ) wk = k + k 2l ,2 e (k , l µ l r Theo cơng thức (27), biến đổi ta có: 287 Ta thu hàm dạng riêng dao động: k4 π4 2π , g x(k = 1, 2, ) α2k = 4X (+x)2βk 288 = C2l2sin l (58) (56) (59) (57) 289 cáctaphương Từ cơng thứcTừ (25) suy ra: trình đặc trưng viết cho dầm ứng suất trước với điều kiện biên 290 khác ta thấy phương trình 2đại số phi tuyến Chỉ có dầm với điều kiện π E π EI k trình ωkta=phương + k2đặc εtrưng , là(khàm = 1,lượng 2, ) giác đơn giản (58) 291 biên hai đầu gối tựa cho ρ l µ l Phân tích số tần số riêng dạng dao động riêng Ta thu hàm dạng riêng dao động: 293 Để phân tích số ta tiến hành giải phương trình đặc trưng tìm tần số riêng X(x)được = C2vào sin phương γx 294 trình hàm dạng ta xác định (59) wk ( k = 1,2,…) , thay tần số riêng tìm 292 phương trình trưng viếttương cho dầm 295 Từ dạng daođặc động riêng ứng ứng suất trước với điều kiện biên khác ta thấy phương trình đại số phi tuyến Chỉ có dầm với điều kiện biên hai đầu gối tựa cho ta 296 Các phương trình đặc trưng hầu hết phương trình đại số phi tuyến, lời giải giải phương trình đặc trưng hàm lượng giác đơn giản 297 tích khó thực Trong nghiên cứu này, phương trình giải phương 298 pháp số Newton – Raphson Đây phương pháp sử dụng phổ biến, hội tụ Phân tích số tần số riêng dạng dao động riêng 299 nhanh viết thành hàm phần mềm Matlab Tuy nhiên, có nhược điểm phân ta tiến hành giải phương trìnhvào đặcvà trưng riêng ωk (k = 1, 2, ), 300 Đểlà phảitích xácsốđịnh nghiệm gần đầu kết tìm tần chosốmột nghiệm thay tần số riêng tìm vào phương trình hàm dạng ta xác định dạng dao động 301 xác Do dó, để xác định nghiệm gần ban đầu ta dùng phương pháp số riêng tương ứng Các phương trình đặc trưng hầu hết phương trình đại số phi tuyến, lời giải giải tích 302 khác phương pháp dây cung Với cách ta xác định tùy ý số tần số riêng khó thực Trong nghiên cứu này, phương trình giải phương pháp số Newton – 303 Đốilàvới loại đơn tạibiến, Việt hội Nam dạng đầu củathành cốt hàm Raphson Đây phương phápdầm sửthông dụng dụng phổ tụ [1,2], nhanhbiến viết phần mềm Matlab Tuy nhiên, có nhược điểm phải xác định nghiệm gần 304 thép kéo, thường khoảng 0,7%, biến dạng dài tỷ đối ban đầu bê tông nén, đầu vào thường kết cho một0,1% nghiệmDo Do dó, để xác gần đầu 305 khoảng đóxác biến dạng dài định tỉ nghiệm đối chọn ban phạm vi ta dùng phương pháp số khác phương pháp dây cung Với cách ta xác định tùy ý số tần số riêng 11 205 Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Đối với loại dầm đơn thông dụng Việt Nam [1, 2], biến dạng đầu cốt thép kéo, thường khoảng 0,7%, biến dạng dài tỷ đối ban đầu bê tông nén, thường khoảng 0,1% Do biến dạng dài tỉ đối chọn phạm vi −0,001 ≤ ε0 ≤ −0,0001 Trường hợp dầm ε0 > không thực tế cho trường hợp dầm bê tông ứng suất trước báo thực tính tốn cho trường hợp ε0 = 0,001 để có nhìn tổng qt dầm ứng suất trước nói chung Bên cạnh đó, kết tính tốn báo so sánh với kết tính tốn cho dầm Euler – Bernoulli thường tài liệu [17] Dưới bảng tham số cầu Bùng Bảng 1, loại cầu bê tông cốt thép dự ứng lực xây dựng tỉnh Nghệ An [10], sử dụng để tính tốn Bảng Thơng số dầm bê tơng cốt thép ứng lực trước TT Kí hiệu Giá trị Diễn giải l ρ µ = ρA E EI 20,4 m 2500 kg/m3 2277 kg/m 0,315 × 1011 N/m2 4157000800 Nm2 Chiều dài dầm Khối lượng riêng Khối lượng đơn vị chiều dài Môđun đàn hồi Độ cứng chống uốn Dưới kết tính tốn tần số riêng dạng dao động riêng cho dầm ứng suất trước với số biên khác nhau: 3.1 Dầm hai đầu ngàm Trong Bảng tần số riêng dầm hai đầu ngàm ƯST với giá trị biến dạng tỉ đối ban đầu khác Bảng Tần số riêng dầm hai đầu ngàm ứng suất trước Dầm ứng suất trước (rad/s) Bậc dao động ε0 = −0,0001 ε0 = −0,0005 ε0 = −0,001 (a) ε0 = 10 15 20 72,383 199,887 392,161 648,492 968,921 1353,442 1802,053 2314,754 2891,544 3532,423 7698,146 13466,077 71,346 198,487 390,631 646,888 967,270 1351,758 1800,345 2313,028 2889,803 3530,670 7696,357 13464,270 70,025 196,721 388,709 644,877 965,202 1349,650 1798,208 2310,868 2887,626 3528,478 7694,120 13462,010 72,640 200,236 392,543 648,893 969,334 1353,863 1802,480 2315,186 2891,979 3532,861 7698,593 13466,529 ε0 = 0,001 Dầm thường [17] (b) Sai lệch % (a) so với (b) 75,156 203,686 396,338 652,883 973,448 1358,062 1806,742 2319,495 2896,326 3537,238 8728,485 13471,046 72,640 200,236 392,543 648,893 969,334 1353,863 1802,480 2315,186 2891,979 3532,861 7698,593 13466,529 3,60 1,76 0,98 0,62 0,43 0,31 0,24 0,19 0,15 0,12 0,06 0,03 Từ Bảng cho thấy: Khi dầm chịu nén trước (ε0 < 0) tần số riêng dầm ƯST giảm so với dầm thường, nén nhiều tần số riêng giảm nhiều Đây gọi tượng “mềm hóa” dầm ứng suất trước Còn dầm chịu kéo trước (ε0 > 0) tần số riêng tăng lên so với dầm thường 206 321 Khi dầm chịu nén trước ( e < ) tần số riêng dầm ƯST giảm so với dầm 322 323 thường, nén nhiều tần số riêng giảm nhiều Đây gọi tượng “mềm hóa” dầm ứng suất trước Còn dầm chịu kéo trước ( e > ) tần số riêng 324 tăng lên so với dầm thường Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 325 Khi dầm chịu nén trước (hoặc kéo trước) lớn tần số riêng giảm (hoặc Khi dầm chịu nén trước (hoặc kéo trước) lớn tần số riêng giảm (hoặc tăng) so với 326 tăng) so với dầm thường Tần số riêng bậc lệch so với tần số riêng dầm thường dầm thường Tần số riêng bậc lệch so với tần số riêng dầm thường nhiều (3,6%) sai lệch 327 nhiều (3,6%) sai lệch giảm nhanh với tần số bậc cao giảm nhanh với tần số bậc cao 328 Hình 8Trên Hìnhdạng dao độngứng riêngvới ứngtần vớisốtầnbậc số bậc trongtrường trường hợp biến dạng Trên daodạng động riêng 1, 21,và2 329 hợp biến dạng tỉ đối ban đầu Dạng dao động riêng phù hợp = - 0,001 tỉ đối ban đầu ε0 = −0,001 Dạng daoe 0động riêng phù hợp với điều kiện biênvới đầu ngàm dầm 330 ƯST điều kiện biên đầu ngàm dầm ƯST X (x) Dạng Dạng Dạng x [m] dạng Các dạng riêng ngàm, -0,001 HìnhHình Các dao dao độngđộng riêng củacủa dầmdầm haihai đầuđầu ngàm, ε0 ε=0=−0,001 331 3.2 Dầm đầu ngàm đầu tự do: Trong Bảngmột làđầu tần số 3.2 332 Dầm đầu ngàm tựriêng dầm đầu ngàm đầu tự ƯST với 333 giá trị biến dạng tỉ đối ban đầu khác Kết cho thấy quy luật thay đổi tần số Trong Bảngtương tần số riêng củanhiên dầmvới mộtdầm đầumột ngàm dotựƯST vớisốcác giá trị biến dạng 334 riêng tự trên, đầu ngàmđầu mộttựđầu tần riêng tỉ đối335 ban đầu khác Kết cho thấy quy luật thay đổi tần số riêng tương tự nhỏ nhiều dầm hai đầu ngàm, “giảm bậc” so với dầm hai đầu ngàm Saitrên, nhiên với dầm mộtdầm đầuthường tự docũng tần số riêng hơnnhất nhiều dầm hainhât đầu13,75%) ngàm, “giảm 336 lệchđầu tần ngàm số so với tăng đángnhỏ kể (lớn tần số thứ bậc” so với dầm hai đầu ngàm Sai lệch tần số so với dầm thường tăng đáng kể (lớn tần 337 số thứ nhât 13,75%) Bảng Tần số riêng dầm 13 đầu ngàm đầu tự Dầm ứng suất trước (rad/s) Bậc dao động ε0 = −0,0001 ε0 = −0,0005 ε0 = −0,001 (a) ε0 = 10 11,284 71,258 199,968 392,156 648,493 968,921 1353,442 1802,053 2314,754 2891,544 10,690 69,527 197,871 389,858 646,085 966,443 1350,915 1799,491 2312,164 2888,932 9,846 68,636 196,814 388,704 644,877 965,202 1349,650 1798,208 2310,868 2887,626 11,416 71,540 200,315 392,538 648,893 969,334 1353,863 1802,480 2315,186 2891,979 ε0 = 0,001 Dầm thường [17] (b) Sai lệch % (a) so với (b) 12,713 75,587 205,450 398,218 654,870 975,498 1360,157 1808,869 2321,647 2898,497 11,416 71,540 200,315 392,538 648,893 969,334 1353,863 1802,480 2315,186 2891,979 13,75 4,06 1,75 0,98 0,62 0,43 0,31 0,24 0,19 0,15 Trên Hình dạng dao động riêng ứng với tần số bậc 1, 2, trường hợp biến dạng tỉ đối ban đầu ε0 = −0,001 Dạng dao động riêng phù hợp với điều kiện biên dầm 207 2314,754 2312,164 2310,868 2315,186 2321,647 2315,186 0,19 10 2891,544 2888,932 2887,626 2891,979 2898,497 2891,979 0,15 339 340 Trên Hình dạng dao động riêng ứng với tần số bậc 1, 2, trường hợp biến dạng tỉ đối ban đầu e = - 0,001 Dạng dao động riêng phù hợp với điều 341 Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng kiện biên dầm X (x) Dạng Dạng Dạng Dạng x [m] Hình Các dạng dao động riêng dầm đầu ngàm đầu tự do, ε0=-0,001 Hình Các dạng dao động riêng dầm đầu ngàm đầu tự do, ε0 = −0,001 342 3.3 Dầm đầu ngàm đầu gối tựa: 343 đầu Trong Bảng tầngối số tựa riêng dầm đầu ngàm đầu gối tựa với giá 3.3 Dầm ngàm một4đầu 344 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 trị biến dạng tỉ đối ban đầu khác Với dầm đầu ngàm đầu gối tựa tần số Trong Bảng tần số riêng dầm đầu ngàm đầu gối tựa với giá trị biến dạng tỉ 345 riêng nhỏ dầm hai đầu ngàm lớn dầm đầu ngàm đầu tự đối ban đầu346khác dầm đầudầm ngàm mộtngàm đầumột gốiđầu tựagốitần BảngVới Tần số riêng đầu tựa số riêng nhỏ dầm hai đầu ngàm lớn Bậc dầm đầu ngàm Dầm ứngđầu suất tự trước Dầm Sai dao động Bảnge 04.= Tần -0,0001 Bậc dao động 10 (rad/s) 14 thường - 0,0005 so với Dầm(b) thường - 0,001 Dầm ứng suất trước (a) (rad/s) ε0 = −0,0001 49,833 ε0 = −0,0005 −0,001 (a)50,059 ε0 = 52,312 ε0 = 0,001 48,923ε0 = 47,768 50,059 49,833 161,888 48,923160,544 158,850 47,768 160,544 158,850 338,091 160,544 158,850 160,544 158,850 578,400 576,811 574,820 576,811 574,820 574,820 882,805 576,811576,811 574,820 879,109 1251,303 881,164881,164 879,109 1682,190 1680,059 1683,892 1682,190 1680,059 2178,848 2176,694 2180,571 2178,848 2176,694 2739,601 2737,427 2737,427 2741,338 3364,4452739,601 3362,256 161,888 338,091 578,400 882,805 1251,303 1683,892 2180,571 2741,338 3366,195 10 lệch % sốe 0riêng củae 0dầm một đầu [17]gối (b)tựa (a) e đầu e = 0,001 = = = ngàm [17] (b) 4,577 Sai lệch % (a) so với (b) 162,223 165,540 52,312 162,223 50,059 2,079 50,059 162,223 165,540 162,223 162,223 165,540 162,223 2,079 162,223 165,540 578,796 582,748 578,796 162,223 0,687 578,796 582,748 578,796 578,796 582,748 578,796 578,796 0,687 578,796 582,748 883,215 887,304 883,215 883,215 883,215 887,304 0,465 1684,318 1688,566 1684,318 1684,318 1688,566 1684,318 0,253 2181,001 2185,300 2181,001 2181,001 2185,300 2181,001 0,197 2741,772 2746,111 2741,772 2741,772 2746,111 2741,7723366,632 0,158 3366,632 3371,003 3366,195 3364,445 3362,256 3366,632 3371,003 3366,632 4,577 2,079 2,079 0,687 0,687 0,465 0,253 0,197 0,158 0,130 0,130 347 10 3Trên Hình 10 động dạng dao đầu, động riêng đầu, dạng dao động nàyphù phù hợpvới vớiđiều kiện biên Trên Hình dạng dao riêng dạng dao động hợp 348 điều kiện biên X (x) Dạng Dạng Dạng x [m] Hình 10 Các dạng dao động riêng dầm đầu ngàm đầu gối tựa, ε0 = -0,001 Hình 10 Các dạng dao động riêng dầm đầu ngàm đầu gối tựa, ε0 = −0,001 349 3.4 Dầm hai đầu gối tựa: 350 351 352 353 354 2082 đầu gối tựa, sai lệch tần số dầm ƯST Trong Bảng tần số riêng dầm loại so với dầm thường loại lớn tần số đầu (lớn 15,8% tần số bậc 1) Trường hợp điều kiện biên thực tế dầm cầu Bùng Với kích kích thước dầm, tần số riêng phụ thuộc vào điều kiện biên, tần số riêng thể tỉ lệ thuận với độ cứng loại dầm Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 3.4 Dầm hai đầu gối tựa Trong BảngTạp tần số riêng dầm đầu gối tựa, sai lệch tần số dầm ƯST loại so với chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2020 p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 dầm thường loại lớn tần số đầu (lớn 15,8% tần số bậc 1) Trường hợp điều kiện biên thực tế dầm cầu Bùng Với kích kích thước dầm, tần số riêng phụ 355 Bảng Tần số riêng dầm hai đầu gối tựa thuộc vào điều kiện biên, tần số riêng thể tỉ lệ thuận với độ cứng loại dầm Bậc dao động Bậc dao động 10 e0 = -0,0001 Dầm ứng suất trước Bảng Tần (rad/s) số riêng dầm e0 = e0 = e0 = Dầm hai đầu gốithường tựa [2] (b) e0 = - 0,0005 - 0,001 Dầm ứng suất trước (rad/s) 0,001 (a) Sai lệch % (a) so với Dầm (b) thường ε0 = −0,0001 ε0 = −0,0005 ε = −0,001 (a) 32,044 ε0 = 36,409 ε0 = 0,001 31,574 28,595 26,982 32,044 31,574 28,595 26,982 32,044 36,409 127,709 124,870 123,426 128,176 132,757 128,176 127,709 124,870 123,426 128,176 132,757 287,930 285,114 283,696 288,397 293,022 288,397 287,930 285,114 283,696 288,397 293,022 512,239 509,431 508,021 512,705 517,347 512,705 512,239 509,431 508,021 512,705 517,347 797,832 796,426 805,751805,751 801,102 800,636 800,636 797,832 796,426 801,102 801,102 1153,121 1150,319 1148,915 1153,587 1153,587 1158,241 1153,121 1150,319 1148,915 1158,241 1153,587 1569,694 1566,893 1565,491 1570,160 1574,816 1569,694 1566,893 1565,491 1570,160 1574,816 1570,160 2050,355 2047,555 2046,154 2050,822 2055,479 2047,555 2046,154 2055,479 2050,822 2595,105 2050,355 2592,305 2590,904 2050,822 2595,571 2600,230 3203,943 2595,105 3201,144 3199,743 2595,571 3204,409 3209,068 2592,305 2590,904 2600,230 2595,571 10 3203,943 3201,144 3199,743 3204,409 3209,068 [2] (b) Sai lệch % (a) so với (b) 32,044 3,71 128,176 1,63 288,397 0,91 512,705 0,58 801,102 1153,587 0,41 1570,160 0,30 2050,822 0,23 2595,571 3204,409 0,18 15,80 3,71 1,63 0,91 0,58 0,41 0,30 0,23 0,18 0,15 15,80 3204,409 0,15 Trên Hình Hình dạng11dao động banriêng đầu ban tương số số riêng 356 11 Trên dạngriêng dao động đầu ứng tươngvới ứngcác với tần tần riêngban đầu dầm hai đầu gối 357tựa.ban đầu dầm hai đầu gối tựa X (x) Dạng Dạng Dạng x [m] Hình 11 Các dạng dao động riêng dầm hai đầu gối tựa, ε0=-0,001 358 Kết 359 360 luận 361 Hình 11 Các dạng dao động riêng dầm hai đầu gối tựa, ε0 = −0,001 Kết luận Bài báo tập trung vào nghiên cứu xác định tần số riêng dạng dao động riêng số loại dầm có điều kiện biên khác nhau, từ kết nghiên cứu rút kết luận sau: Bài báo tập trung vào nghiên cứu xác định tần số riêng dạng dao động riêng số loại dầm có điều kiện biên khác nhau, từ kết nghiên cứu rút kết luận sau: Phương trình đặc trưng xác định tần số riêng dầm ƯST phương trình đại số phi tuyến (trừ trường hợp dầm hai đầu gối tựa phương trình lượng giác), phương trình có vơ số nghiệm 16 số tần số riêng Khi dầm chịu nén trước (ε0 < 0) tần số riêng dầm ƯST giảm so với dầm thường, nén nhiều tần số riêng giảm nhiều Đây gọi tượng “mềm hóa” dầm ứng suất trước Còn dầm chịu kéo trước (ε0 > 0) tần số riêng tăng lên so với dầm thường Khi dầm chịu nén trước (hoặc kéo trước) lớn tần số riêng giảm (hoặc tăng) so với dầm thường Tần số riêng bậc lệch so với tần số riêng dầm thường nhiều sai lệch giảm nhanh với tần số bậc cao 209 Nam, N S., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Chỉ số tần số riêng đầu (bậc 1, 2, 3) cho sai lệch tần số riêng đáng kể so với dầm khơng có ứng suất trước, tần số bậc cao gần không đáng kể Trong thực tế ta thấy tần số riêng bậc thấp có khả bị cộng hưởng tải trọng cưỡng gây ra, tần số riêng bậc cao lớn khơng có loại tải có tần số cao Hơn nữa, nghiên cứu toán ứng suất, biến dạng kết cấu, chủ yếu thành phần tập trung tần số bậc 1, giảm nhanh tần số có bậc cao lên (thường nghiên cứu sử dụng vài tần số đầu) Nghiên cứu dừng lại dầm ƯST đàn hồi tuyến tính có ε0 = const, phát triển theo nhiều hướng khác cho toán sàn ƯST, tốn dầm có ƯST có ε0 (x) hàm theo vị trí x (các hàm phụ thuộc vào cách bố trí cốt thép dự ứng lực) Ngồi tần số riêng chịu ảnh hưởng ứng ứng suất dư dầm, việc suy giảm ứng suất dư trình khai thác ảnh hưởng lớn đến tần số riêng Đặc biệt, dầm bê tơng có vết nứt ứng suất dư có thay đổi khác thường, tần số riêng thay đổi lớn, thay đổi phụ thuộc vào vị trí, số lượng, kích thước phát triển vết nứt Trong tài liệu [8], thực nghiệm tác giả dầm có vết nứt, quy luật khơng cịn giống nghiên cứu lý thuyết Vấn đề mở hướng nghiên cứu lý thuyết nhằm lý giải tượng thực tiễn Tài liệu tham khảo [1] Trung, N V., Hà, H (1996) Cầu bê tông cốt thép Tập 1,2, Trường Đại học Giao thông vận tải, Hà Nội [2] Minh, P Q., Phong, N T., Cống, N Đ (2011) Kết cấu bê tông cốt thép Nhà xuất khoa học kĩ thuật, Hà Nội [3] Abeles, P W., Bardhan-Roy B., K (1981) Prestressed Concrete Designer’s Handbook edition, CRC Press, New York [4] Japan Prestressed Concrete Engineering Association (1998) Prestressed Concrete in Japan [5] Lin T., Y., Burns N., H (1981) Design of prestressed concrete structures Wiley, New York [6] Phúc, V Đ (2019) Điều khiển tối ưu dao động kết hợp nhiều giảm chấn động lực Luận án Tiến sĩ, Đại học Bách khoa Hà Nội [7] Kerr, A D (1976) On the dynamic response of a prestressed beam Journal of Sound and Vibration, 49 (4):569–573 [8] Saiidi, M., Douglas, B., Feng, S (1994) Prestress force effect on vibration frequency of concrete bridges Journal of Structural Engineering, 120(7):2233–2241 [9] Li, F G., Zhao, Y (2013) Finite element analysis of natural vibration frequency for unbounded prestressed concrete beams Applied Mechanics and Materials, Trans Tech Publ, 351:1034–1037 [10] Hương, N T V Dao động uốn dầm có ứng suất trước tác dụng vật thể di động Luận văn Thạc sỹ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [11] Majkut, L (2009) Free and forced vibrations of Timoshenko beams described by single difference equation Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 47(1):193–210 [12] Huan, D T., Quoc, T H., Tu, T M (2018) Free vibration analysis of functionally graded shell panels with various geometric shapes in thermal environment Vietnam Journal of Mechanics, 40(3):199–215 [13] Thẩm, V V., Tú, T M (2016) Phân tích tĩnh dao động riêng dầm làm vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt khác Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 10(2):15–22 [14] Giải toán trị riêng dầm phương pháp biến đổi vi phân Luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học bách khoa Hà Nội [15] Kim, T., Park, I., Lee, U (2017) Forced vibration of a Timoshenko beam subjected to stationary and moving loads using the modal analysis method Shock and Vibration, 2017:3924921 [16] Hùng, T T (2017) Sức bền vật liệu Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [17] Khang, N V (2012) Cơ học kĩ thuật Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam 210 ... 10 động dạng dao đầu, động riêng đầu, dạng dao động nàyphù phù hợpvới với? ?iều kiện biên Trên Hình dạng dao riêng dạng dao động hợp 348 điều kiện biên X (x) Dạng Dạng Dạng x [m] Hình 10 Các dạng. .. nén trước (hoặc kéo trước) lớn tần số riêng giảm (hoặc tăng) so với 326 tăng) so với dầm thường Tần số riêng bậc lệch so với tần số riêng dầm thường dầm thường Tần số riêng bậc lệch so với tần số. .. dầm cầu Bùng Với kích kích thước dầm, tần số riêng phụ 355 Bảng Tần số riêng dầm hai đầu gối tựa thuộc vào điều kiện biên, tần số riêng thể tỉ lệ thuận với độ cứng loại dầm Bậc dao động Bậc dao