Phân tích ổn định kết cấu dầm vật liệu xốp chịu nén dọc trục với các điều kiện biên khác nhau

Trong bài báo này, mô hình dầm Timoshenko bằng vật liệu xốp với hệ trục tọa độ đặt trên mặt trung hòa được sử dụng trong phân tích ổn định. Mô hình vật liệu xốp với ba quy luật phân bố lỗ rỗng theo chiều cao tiết diện: đều, đối xứng và bất đối xứng được xem xét. Hệ phương trình cân bằng và điều kiện biên cho dầm được thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng cực tiểu. Lời giải giải tích dựa trên phương pháp giải nghiệm trực tiếp được xây dựng cho các dạng điều kiện biên khác nhau của dầm. Các kết quả tính toán được kiểm chứng và so sánh với kết quả của các tác giả khác khi sử dụng hệ tọa độ quy chiếu qua mặt trung bình. Ảnh hưởng của tham số vật liệu, hình học và điều kiện biên đến tải trọng tới hạn của dầm được phân tích thông qua các ví dụ số.

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 14 (2V): 97–106 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH KẾT CẤU DẦM VẬT LIỆU XỐP CHỊU NÉN DỌC TRỤC VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU Nguyễn Văn Longa,∗, Nguyễn Thị Hườnga a Khoa Xây dựng dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, số 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 18/02/2020, Sửa xong 14/04/2020, Chấp nhận đăng 15/04/2020 Tóm tắt Trong báo này, mơ hình dầm Timoshenko vật liệu xốp với hệ trục tọa độ đặt mặt trung hịa sử dụng phân tích ổn định Mơ hình vật liệu xốp với ba quy luật phân bố lỗ rỗng theo chiều cao tiết diện: đều, đối xứng bất đối xứng xem xét Hệ phương trình cân điều kiện biên cho dầm thiết lập sở nguyên lý cực tiểu Lời giải giải tích dựa phương pháp giải nghiệm trực tiếp xây dựng cho dạng điều kiện biên khác dầm Các kết tính tốn kiểm chứng so sánh với kết tác giả khác sử dụng hệ tọa độ quy chiếu qua mặt trung bình Ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học điều kiện biên đến tải trọng tới hạn dầm phân tích thơng qua ví dụ số Từ khố: dầm xốp; phân tích ổn định; dầm Timoshenko; mặt trung hịa; điều kiện biên BUCKLING ANALYSIS OF POROUS BEAMS UNDER AXIAL COMPRESSION WITH DIFFERENT BOUNDARY CONDITIONS Abstract In this paper, the Timoshenko porous beam model with a coordinate system placed on a neutral plane is used in the buckling analysis Three types of porosity distributions, namely uniform, symmetric, and asymmetric through the height directions are considered Equation system of equilibrium and boundary conditions for beams are set based on the principle of minimum potential Analytical solution based on direct solution method was established for different types of boundary conditions of beams The accuracy of the present solutions is verified by comparing the obtained results with those of existing literature, in which the reference coordinate axes are located on mid-surface The influence of material parameters, geometry and boundary conditions on the critical load of a beam were analyzed through numerical examples Keywords: porous beams; buckling analysis; Timoshenko beam theory; neutral surface; boundary conditions https://doi.org/10.31814/stce.nuce2020-14(2V)-09 c 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) Mở đầu Vật liệu có tính biến thiên (FGM) loại vật liệu composite tiên tiến, thường tạo thành từ hỗn hợp thành phần gốm kim loại [1], tỷ phần vật liệu thành phần thay đổi trơn theo phương chiều dày Vì thế, tính vật liệu biến đổi trơn liên tục từ mặt xuống mặt cấu kiện Điều góp phần tránh tập trung ứng suất gây gián đoạn pha vật liệu vật liệu composte lớp composte cốt sợi Do tận dụng đặc tính kháng nhiệt kháng ăn mòn gốm, kết hợp với độ bền dẻo kim loại, vật liệu FGM sử dụng rộng rãi nhiều ứng dụng kỹ thuật, đặc biệt cho kết cấu làm việc ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: longnv@nuce.edu.vn (Long, N V.) 97 Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng mơi trường nhiệt độ cao ngành hàng không vũ trụ, lị phản ứng nhiệt hạch cơng nghiệp hạt nhân Một phát triển gần vật liệu FGM vật liệu xốp (porous material) bọt kim loại (metal foam) sử dụng rộng rãi nhiều ngành công nghiệp như: hàng không, ô tơ, đóng tàu, xây dựng dân dụng, [2, 3] Ở vật liệu xốp, lỗ rỗng phân bố theo phương định kết cấu tạo nên thay đổi trơn liên tục đặc trưng học vật liệu Loại vật liệu có trọng lượng nhẹ, có khả hấp thụ lượng tốt, thường sử dụng để chế tạo kết cấu sandwich, tường, sàn cách âm, cách nhiệt (tấm sandwich dày 16 mm với lớp bề mặt dày mm, lõi bọt thép dày 14 mm có độ cứng chống uốn thép dày 10mm, giảm 35% khối lượng) Sản xuất cần trục nâng xe cẩu, chi tiết tên lửa, phận giảm chấn xe đua, thiết bị làm lạnh công nghiệp, vật liệu cách nhiệt, cách âm, ống xả, [2] Do sở hữu nhiều đặc tính trội nên kết cấu sử dụng vật liệu xốp nói chung dầm vật liệu xốp nói riêng ngày thu hút quan tâm nghiên cứu nhà khoa học nước Ứng xử tĩnh động kết cấu dầm sử dụng vật liệu xốp khảo sát nhiều tác giả Phuong cs [4] xây dựng nghiệm giải tích phân tích uốn dầm FGM có lỗ rỗng vi mô đặt đàn hồi sử dụng mơ hình dầm Timoshenko có xét đến mặt trung hòa Tang cs [5] nghiên cứu ổn định dầm Euler–Bernoulli với mơ hình rỗng hai chiều Anirudh cs [6] xây dựng mơ hình phần tử hữu hạn dựa lý thuyết dầm bậc cao phần tử liên tục C ba nút nghiên cứu uốn, ổn định dao động riêng dầm cong vật liệu rỗng gia cường sợi nano carbon (graphene-reinforced nanocomposite) Barati Zenkour [7, 8] nghiên cứu ứng xử sau ổn định dầm xốp với hai quy luật phân bố lỗ rỗng: đối xứng bất đối xứng, sử dụng mơ hình dầm bậc cao cải tiến có xét đến mặt trung hịa độ khơng hồn hảo ban đầu Chen cs [9] phân tích uốn ổn định dầm xốp với điều kiện biên khác dựa mơ hình dầm Timoshenko phương pháp Ritz Hầu hết nghiên cứu xây dựng mơ hình tính với trục tọa độ quy chiếu trùng với mặt phẳng trung bình Nhưng tính khơng đối xứng tính chất học vật liệu vật liệu xốp mặt trung bình, tương tác màng-uốn tồn không vật liệu đẳng hướng Một số tác giả hiệu ứng màng-uốn phương trình quan hệ loại bỏ mặt phẳng tham chiếu lựa chọn hợp lý [10–12] Ngoài hạn chế khác phân tích trước tác giả thường khai triển nghiệm xấp xỉ dạng chuỗi lượng giác, chuỗi đa thức thông qua nghiệm phần tử hữu hạn Vì độ xác lời giải nhiều bị hạn chế Trong báo này, tác giả tập trung phân tích ổn định tĩnh dầm vật liệu xốp, xét đến yếu tố mặt trung hòa Lý thuyết dầm Timoshenko nguyên lý cực tiểu sử dụng để xây dựng hệ phương trình cân cho tốn ổn định với dạng điều kiện biên Lời giải giải tích dạng nghiệm trực tiếp áp dụng cho dạng điều kiện biên khác dầm xây dựng Độ tin cậy lời giải giải tích minh chứng thơng qua ví dụ kiểm chứng Ảnh hưởng quy luật phân bố lỗ rỗng, hệ số mật độ lỗ rỗng, điều kiện biên tỷ số kích thước đến lực tới hạn dầm khảo sát Vật liệu xốp – Các phương trình Xét dầm vật liệu xốp có chiều dài L, mặt cắt ngang chữ nhật với bề rộng b, chiều cao h; ba dạng phân bố lỗ rỗng xem xét Hình Các số vật liệu biến thiên liên tục theo chiều dày tấm, phụ thuộc vào mật độ phân bố lỗ rỗng [7, 13]: 98 Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng - Phân bố (Đ): {E, G} = {E1 , G1 } (1 − e0 χ) ; χ= 1 − e0 e0 π − e0 − +1 π (1) - Phân bố đối xứng (ĐX): {E(z), G(z)} = {E1 , G1 } − e0 cos πz h (2) - Phân bố bất đối xứng (BĐX): đó: E1 , G1 giá trị lớn mô đun đàn hồi kéo – nén mô E2 , G2 giá trị nhỏ tương ứng π trường hợp πz đun đàn hồi trượt; + = {E , G } − e cos {E(z), G(z)} 1 theo tọa độ chiều phân bố không Hệ số Poisson, ν giả thiết không2h thay đổi dày (a) Phân bố (b) Phân bố đối xứng (3) (c) Phân bố bất đối xứng Dầm vật liệu hàm mậtđộ độphân phân bố bố lỗ lỗ rỗng Hình 1.Hình Dầm vật liệu rỗngrỗng vớivới cáccác hàm mật rỗngkhác khácnhau Hệ số mật độ lỗ rỗng e0 xác định bởi: Hệ số mật độ lỗ rỗng e0 xác địnhE bởi: e0 = - e0 = − EE21 = 1- G2 ; (0 < e0 < 1) G1 G2 =1− ; (4) (0 < e0 < 1) Vị trí mặt trung hịa dầm E1 xốp G1trường hợp phân bố bất đối xứng không trùng mặt trung bình, xác định từ điều kiện [14]: (4) Vị trí mặt trung hịa dầm xốp trườngh /2hợp phân bố bất đối xứng không trùng mặt trung h /2 é ù é h /2 ù z C E ( z ) dz = Þ C = zE ( z ) dz / E ( ) (5) ị ị ị bình, xác định từ điều kiện [14]: êë - h /2 úû êë - h /2 ( z )dz úû - h /2   h/2 chuyển vị theo Sửh/2dụng khái niệm mặt trung hòa, trường   h/2lý thuyết dầm      Timoshenko (TBT) [15]:  /  (z − C) E(z)dz = ⇒ C =  E(z)dz (5) zE(z)dz        (6) u ( x, zns ) = u0 ( x) + znsq x ( x); w( x, zns ) = w0 ( x)   −h/2 −h/2 −h/2 u0 , w0 chuyển vị màng độ võng điểm mặt trung hòa Sử dụng khái mặt trung theoquanh lý thuyết q trường theoniệm phương trục x, zns;hịa, góc xoay chuyển mặt cắtvịngang trục y dầm Timoshenko (TBT) [15]: x Các thànhu(x, phầnzns biến bao+gồm: ) =dạng u0 (x) zns θ x (x); w(x, zns ) = w0 (x) e x = u, x = u0, x + znsq x , x = e + znsk x ; g xz = w, x + u, z = w0, x + q x = g x xz (6) (7) u0 , w0 chuyển vị màng độ võng điểm mặt trung hòa theo phương trục x, zns ; θ x góc xoay mặt cắt ngang quanh trục y 99 Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Các thành phần biến dạng bao gồm: ε x = u,x = u0,x + zns θ x,x = ε0x + zns κ x ; γ xz = w,x + u,z = w0,x + θ x = γ0xz (7) ε0x = u0,x ; κ x = θ x,x ; γ0xz = w0,x + θ x dấu phảy nằm số dưới, sau biến (,) để đạo hàm riêng theo biến tương ứng Các thành phần ứng suất liên hệ với biến dạng theo định luật Hooke: σ x = Q11 (zns )ε x ; τ xz = Q55 (zns )γ xz (8) hệ số đàn hồi vật liệu [14, 16]: Q11 (zns ) = E(zns ); Q55 (zns ) = E(zns ) (1 + ν) Các phương trình cân - Điều kiện biên Các phương trình cân cho dầm xây dựng dựa nguyên lý cực tiểu [17, 18]: δU + δV = (9) Biến phân biến dạng đàn hồi dầm: L δU = (σ x δε x + τ xz δγ xz ) dA (10) A Biến phân tải trọng dọc trục: L N x0 w0,x δw0,x dx δV = (11) Thay biểu thức δU, δV từ (10) (11) vào (9), tiến hành tích phân phần, ta được: = N x δu0 |0L + M x δθ x |0L + V xz δw0 |0L L N x,x δu0 + N x0 w0,xx + Q xz,x δw0 + M x,x − Q xz δθ x dx − (12) V xz = N x0 w0,x + Q xz ; N x0 lực dọc màng; N x , M x Q xz thành phần nội lực, chúng xác định bởi: s N x = A11 ε0x ; M x = D11 κ x ; Q xz = A55 γ xz (13) Các số độ cứng dầm (12) xác định bởi: h/2−C A11 = b −h/2−C h/2−C E(zns )dzns ; D11 = b h/2−C z2ns E(zns )dzns ; −h/2−C s A55 = bk s −h/2−C 100 E(zns ) dzns (1 + ν) (14) Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hệ số hiệu chỉnh cắt k s = 5/6 sử dụng nghiên cứu Rõ ràng việc sử dụng mặt trung hòa giúp loại bỏ tương tác màng-uốn dầm Cho hệ số biến phân chiều dài dầm L không, hệ phương trình cân thu được: δu0 : N x,x = 0; δw0 : N x0 w0,xx + Q xz,x = 0; δθ x : M x,x − Q xz = (15) Các tham số điều kiện biên: chuyển vị, lực rút từ (12): (u0 , N x ) , (w0 , V xz ) , (θ x , M x ) (16) Thay (7) (13) vào (15), ta hệ phương trình theo chuyển vị: A11 u0,xx = 0; s s A55 − N0 w0,xx + A55 θ x,x = 0; s D11 θ x,xx − A55 w0,x + θ x = (17) N0 = −N x0 tải trọng nén dọc trục Phương trình thứ (17) chứa ẩn u0 , nghiệm phương trình có dạng: u0 = B1 x + B0 (18) B0 , B1 số tích phân, xác định theo điều kiện biên toán Liên quan đến thành phần chuyển vị theo phương dọc trục u0 , liên kết tự dịch chuyển (u0 0, N x = 0), tự dịch chuyển (u0 = 0, N x 0) Trong trường hợp, ta thu kết quả: B0 = B1 = 0; vậy, chuyển vị dọc trục: u0 = Để xác định hai thành phần chuyển vị lại: độ võng w0 góc xoay θ x ta tiến hành giải hệ hai phương trình cịn lại (17), với điều kiện biên xem xét liên quan đến độ võng góc xoay dầm Dưới đây, báo xem xét bốn dạng điều kiện biên thường gặp: dầm hai đầu khớp (SS), dầm hai đầu ngàm (CC), dầm đầu ngàm - đầu khớp (CS), dầm đầu ngàm - đầu tự (CF); biểu thức điều kiện biên độ võng góc xoay trình bày Bảng Bảng Một số dạng điều kiện biên độ võng, góc xoay cho dầm Điều kiện biên Tại x = Tại x = L SS w0 = 0; M x = w0 = 0; M x = CC w0 = 0; θ x = w0 = 0; θ x = CS w0 = 0; θ x = w0 = 0; M x = CF w0 = 0; θ x = V xz = N x0 w0,x + Q xz = 0; M x = Lời giải giải tích Trong báo này, lời giải giải tích nghiệm trực tiếp xây dựng cho toán ổn định tĩnh dầm xốp chịu nén dọc trục với dạng điều kiện biên khác Sau số biến đổi, ta đưa hệ gồm hai phương trình cân thứ hai thứ ba (17) dạng: s s A55 − N0 D11 w0,xxxx + N0 A55 w0,xx = 0; 101 θx = − D11 s A55 s A55 − N0 w0,xxx − w0,x (19) Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Phương trình thứ (19) ẩn w0 , ta giải nghiệm phương trình trước; sau giải w0 , ta suy θ x từ phương trình thứ hai Phương trình thứ viết lại thành: w0,xx + λ2 w0 = C1 x + C2 λ = (20) s N0 A55 C1 , C2 số s −N D A55 11 Đây phương trình vi phân cấp 2, nghiệm có dạng: w0 (x) = C3 sin (λx) + C4 cos (λx) + C1 x + C2 (21) Các số C1 , C2 , C3 , C4 phụ thuộc vào điều kiện biên (Bảng 1); ba bốn số λ xác định thơng qua bốn phương trình điều kiện biên Điều kiện để dầm ổn định số C1 , C2 , C3 , C4 không đồng thời không Biết λ (N0 ) ta ẽ xác định lực ổn định N0∗ xác định lực tới hạn Nth = N0∗ Các kết phân tích ổn định cho trường hợp điều kiện biên dầm xốp tổng hợp Bảng Bảng Một số kết phân tích ổn định dầm xốp Điều kiện biên Phương trình xác định N0∗ SS sin λL = N0∗ = CC   s λLA55 λL  λL λL  sin  sin − s cos  = 2 λ D11 + A55 N0∗ = CS sin(λL) − CF s λLA55 s λ2 D11 + A55 Kết s D m2 π2 A55 11 s L2 + m2 π2 D A55 11 s D π2 A55 11 Nth = s A55 L + π2 D11 cos(λL) = cos(λL) = ; s D 4m2 π2 A55 11 s L2 + 4m2 π2 D A55 11 s D 4π2 A55 11 Nth = s A55 L + 4π2 D11 ; Nghiệm phương trình phi tuyến này, N0 xác định theo phương pháp giải lặp Newton N0∗ = s D (2m − 1)2 π2 A55 11 s L2 + (2m − 1)2 π2 D 4A55 11 s D π2 A55 11 Nth = s 4A55 L + π2 D11 ; Kết số thảo luận Trong nghiên cứu này, báo phân tích ứng xử ổn định cho dầm xốp với dạng điều kiện biên khác Để thuận tiện, công thức không thứ nguyên sử dụng [19]: Nth Nˆ th = ; N¯ th = 103 Nˆ th E1 bh 102 (22) Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 5.1 Ví dụ kiểm chứng a Ví dụ Kiểm chứng lực tới hạn dầm xốp liên kết hai đầu khớp Xét dầm tiết diện chữ nhật, liên kết hai đầu khớp, vật liệu xốp có mật độ lỗ rỗng tuân theo quy luật phân bố đối xứng, với: b = 0,001 m, h = 0,1 m, E1 = 205 GPa, e0 = 0,99, ν = 0,3 Bảng trình bày kết tính tốn lực tới hạn Pth (N) cho dầm ba trường hợp dầm có chiều dài: L = m, L = 2,5 m L = m Nghiệm giải tích báo so sánh với tác giả: Magnucki Stasiewicz [20], Tang cs [5] Kitipornchai cs [19] Một điều thú vị trường hợp dầm liên kết hai đầu khớp, nghiệm giải tích báo hồn tồn trùng khớp với nghiệm theo phương pháp Ritz tác giả Kitipornchai cs., dựa mơ hình dầm Timoshenko Bảng Lực tới hạn Pth (N) dầm xốp phân bố đối xứng liên kết hai đầu khớp L Phương pháp Magnucki Stasiewicz [20] Tang cs [5] Kitipornchai cs [19] Bài báo 2m 2,5 m 5m 25808 27054 26756 26756 16795 17315 17192 17192 4295 4329 4321 4321 b Ví dụ Kiểm chứng lực tới hạn dầm xốp liên kết hai đầu ngàm Xét dầm tiết diện chữ nhật, liên kết hai đầu ngàm, vật liệu xốp có mật độ lỗ rỗng tuân theo quy luật phân bố đối xứng, với: b = 0,001 m, h = 0,1 m, L/h = 20, E1 = 205 GPa, ν = 0,3 Lực tới hạn không thứ nguyên, Nˆ th dầm với hệ số mật độ lỗ rỗng e0 thể Bảng Nghiệm giải tích báo so sánh với tác giả: Tang cs [5] Kitipornchai cs [19] Như vậy, trường hợp dầm liên kết hai đầu ngàm, lực tới hạn theo phương pháp Ritz với cách xấp xỉ chuỗi đa thức tính tốn thơng qua mặt trung bình tác giả Kitipornchai cs nhỏ chút so với kết báo Bảng Lực tới hạn không thứ nguyên, Nˆ th dầm xốp phân bố đối xứng liên kết hai đầu ngàm (L/h = 20) Phương pháp Tang cs [5] Kitipornchai cs [19] Bài báo e0 0,2 0,4 0,6 0,00727 0,00799 0,00802 0,00675 0,00736 0,00743 0,00622 0,00675 0,00683 0,00569 0,00614 0,00624 Từ kết tính tốn kiểm chứng trên, thấy lời giải giải tích chương trình máy tính sử dụng báo có độ tin cậy 5.2 Khảo sát ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học điều kiện biên lên tải trọng tới hạn dầm xốp Xét dầm tiết diện chữ nhật, vật liệu xốp (b = 0,01 m, h = 0,1 m, E1 = 205 GPa, ν = 0,3), tác dụng tải trọng nén dọc trục Bảng trình bày lực tới hạn khơng thứ ngun, N¯ th dầm 103 Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (L/h = 20) với hệ số mật độ lỗ rỗng (e0 = 0,1; 0,3; 0,5; 0,8); ba quy luật phân bố lỗ lỗng (đều, đối xứng, bất đối xứng) bốn dạng điều kiện biên (CF, SS, CS, CC) khảo sát Biến thiên lực tới hạn không thứ nguyên, N¯ th dầm với hệ số mật độ lỗ rỗng tương ứng thể Hình Bảng Lực tới hạn không thứ nguyên, N¯ th dầm xốp với hệ số rỗng, e0 khác (L/h = 20) Điều kiện biên N thN e0 Phân bố lỗ rỗng 0,1 0,3 0,5 0,8 CF Đều Đối xứng Bất đối xứng 0,4802 0,4946 0,4829 0,4120 0,4574 0,4186 0,3397 0,4202 0,3471 0,2156 0,3644 0,2140 SS Đều Đối xứng Bất đối xứng 1,9118 1,9688 1,9223 1,6403 1,8201 1,6662 1,3522 1,6713 1,3816 0,8581 1,4476 0,8524 CS Đều Đối xứng Bất đối xứng 3,8801 3,9949 3,9014 3,3291 3,6912 3,3816 2,7444 3,3868 2,8043 1,7416 2,9278 1,7321 CC Đều Đối xứng Bất đối xứng 7,5035 7,7231 7,5443 6,4379 7,1304 6,5389 5,3073 6,5354 5,4236 3,3681 5,6348 3,3551 N th N th e0 e th L /h L /h Hình 2 Biến thiên lựclực tớitới hạn không 3.Biến Biến thiên lựchạn tớikhơng hạnhạn khơng Hình Biến thiên củathiên lựccủa tớicủa hạn khơng thứ ngun Hình thiên lựccủa tới thứ ngun Hình Biến hạn khơng Hình Hình Biến thiên lực tới không ¯ ¯ N dầm xốp theo hệ số rỗng, e (L/h = 20) N dầm xốp theo tỷ số kích thước, L/h (e th th thứ nguyên N dầm xốp theo hệ số thứ nguyên N dầm xốp theo tỷ số= 0,3) thứ nguyên thN th dầm xốp theo hệ số e0 e(L/h = 20) Các kết quảrỗng, cho thấy: rỗng, (L/h = 20) thứ nguyênth N th dầm xốp theo tỷ số kích thước, L/hL/h (e0 (e = 00,3) kích thước, = 0,3) - Ảnh hưởng củabày mậtlực độ lỗ ekhông enguyên, nhiều lên),xốp với : tăng (dầm rỗng N th N Bảng trình tớirỗng hạnhạn thứthứ củacủa dầm (e0 (e =điều 0,3)kiện vớibiên Bảng trình bày lực tới không nguyên, dầm xốp = 0,3) với th quy luật phân bố lỗ rỗng, lực tới hạn giảm Lực tới hạn giảm gần tuyến tính trường tỷ tỷ số kích thước (L/h = 0,1; 0,3;0,3; 0,5;0,5; 0,8); ba luật quyquy luật phân lỗtrường lỗng (đều, đốibố xứng, hợp phân bố lỗ rỗng đối(L/h xứng, nhanh theo quy phi tuyến đốibố vớibố hợp phân lỗ xứng, rỗng số kích thước = giảm 0,1; 0,8); ba luật phân lỗ lỗng (đều, đối bất đối xứng) bốn dạng điều kiện biên (CF, SS, CS, CC) khảo sát Biến thiên bấtxứng) đối xứng Khi edạng chưa kiện lớn (e0 (CF, ≤ 0,7), phân bất đối xứng chosát kết tới điều bấtvàđối bốn biên SS, CS,bốCC) khảo Biếnlựcthiên N thNcủa dầm với tỷ số kích thước tương ứng lựclực tớitới hạnhạn không thứthứ nguyên, không nguyên, dầm với tỷ số kích thước tương ứng th 104 thểthể Hình 3 CácCác kếtkết quảquả chocho thấy: khikhi L/hL/h tăngtăng (dầm dài dài ra),ra), với với bốn Hình thấy: (dầm bốn dạng điều kiện biên khảo sát ba quy luật phân bố lỗ rỗng, lực tới hạn giảm theo quy dạng điều kiện biên khảo sát ba quy luật phân bố lỗ rỗng, lực tới hạn giảm theo quy luật phi tuyến; lực tới hạn giảm nhanh khoảng L/h = 5÷15, sau giảm luật phi tuyến; lực tới hạn giảm nhanh khoảng L/h = 5÷15, sau giảm Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng hạn lớn so với phân bố chút; ngược lại, trường hợp e0 đủ lớn (e0 ≥ 0,8), phân bố bất đối xứng lại cho kết lực tới hạn bé so với phân bố - Ảnh hưởng quy luật phân bố lỗ rỗng: số ba quy luật phân bố lỗ rỗng, phân bố đối xứng cho kết lực tới hạn lớn nhất; hai dạng phân bố cịn lại có thay đổi phụ thuộc vào mật độ lỗ rỗng, e0 , nhiên giá trị lực tới hạn hai trường hợp khác không nhiều - Ảnh hưởng điều kiện biên: với quy luật phân bố lỗ rỗng hệ số rỗng, điều kiện biên CC có lực tới hạn lớn nhất, sau đến điều kiện biên CS, SS CF Về trị số lực tới hạn, so với trường hợp điều kiện biên SS điều kiện biên CC cho kết lực tới hạn lớn khoảng lần, điều kiện biên CS vào khoảng lần; điều kiện biên CF giảm khoảng lần Bảng trình bày lực tới hạn không thứ nguyên, N¯ th dầm xốp (e0 = 0,3) với tỷ số kích thước (L/h = 0,1; 0,3; 0,5; 0,8); ba quy luật phân bố lỗ lỗng (đều, đối xứng, bất đối xứng) bốn dạng điều kiện biên (CF, SS, CS, CC) khảo sát Biến thiên lực tới hạn không thứ nguyên, N¯ th dầm với tỷ số kích thước tương ứng thể Hình Các kết cho thấy: L/h tăng (dầm dài ra), với bốn dạng điều kiện biên khảo sát ba quy luật phân bố lỗ rỗng, lực tới hạn giảm theo quy luật phi tuyến; lực tới hạn giảm nhanh khoảng L/h = ÷ 15, sau giảm chậm dần tiệm cận L/h → 30 Bảng Lực tới hạn không thứ nguyên, N¯ th dầm xốp với tỷ số kích thước, L/h khác (e0 = 0,3) Điều kiện biên Phân bố lỗ rỗng L/h 10 20 30 CF Đều Đối xứng Bất đối xứng 6,4379 7,1304 6,5389 1,6403 1,8201 1,6662 0,4120 0,4574 0,4186 0,1833 0,2035 0,1862 SS Đều Đối xứng Bất đối xứng 23,9537 26,3479 24,3162 6,4379 7,1304 6,5389 1,6403 1,8201 1,6662 0,7316 0,8121 0,7432 CS Đều Đối xứng Bất đối xứng 43,9058 47,8392 44,5359 12,7715 14,1029 12,9688 3,3291 3,6912 3,3816 1,4914 1,6549 1,5150 SS Đều Đối xứng Bất đối xứng 74,8983 80,7701 75,9092 23,9537 26,3479 24,3162 6,4379 7,1304 6,5389 2,9016 3,2182 2,9475 Kết luận Bài báo xây dựng nghiệm giải tích tính tốn lực tới hạn cho dầm vật liệu xốp, chịu nén dọc trục với loại điều kiện biên khác nhau; liên kết lý tưởng xem xét bao gồm: liên kết ngàm (C), liên kết khớp (S), tự (F) Nghiệm giải tích sử dụng lời giải trực tiếp dựa hệ phương trình cân ổn định tĩnh thiết lập cho dầm xem xét yếu tố mặt trung hịa Chương trình tính viết Matlab kiểm chứng, cho thấy độ tin cậy cao Các khảo sát số cho phép đánh giá ảnh hưởng tham số hình học, vật liệu, điều kiện biên lên ứng xử ổn định dầm Các kết nhận nguồn tài liệu tham khảo hữu ích, góp phần cho cơng tác nghiên cứu, tính tốn dầm làm vật liệu xốp 105 Long, N V., Hường, N T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Lời cảm ơn Tác giả chân thành cảm ơn hỗ trợ tài Trường Đại học Xây dựng cho đề tài “Xây dựng dạng nghiệm xác cho toán uốn ổn định kết cấu dầm với điều kiện biên khác nhau”, mã số 75-2020/KHXD Tài liệu tham khảo [1] Koizumi, M (1993) The concept of FGM Ceramic Transactions, 34:3–10 [2] Smith, B H., Szyniszewski, S., Hajjar, J F., Schafer, B W., Arwade, S R (2012) Steel foam for structures: A review of applications, manufacturing and material properties Journal of Constructional Steel Research, 71:1–10 [3] Lefebvre, L P., Banhart, J., Dunand, D C (2008) Porous metals and metallic foams: current status and recent developments Advanced Engineering Materials, 10(9):775–787 [4] Phuong, N T B., Tu, T M., Phuong, H T., Long, N V (2019) Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-NUCE, 13(1):33–45 [5] Tang, H., Li, L., Hu, Y (2018) Buckling analysis of two-directionally porous beam Aerospace Science and Technology, 78:471–479 [6] Anirudh, B., Ganapathi, M., Anant, C., Polit, O (2019) A comprehensive analysis of porous graphenereinforced curved beams by finite element approach using higher-order structural theory: Bending, vibration and buckling Composite Structures, 222:110899 [7] Barati, M R., Zenkour, A M (2017) Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions Composite Structures, 182:91–98 [8] Barati, M R., Zenkour, A M (2017) Post-buckling analysis of refined shear deformable graphene platelet reinforced beams with porosities and geometrical imperfection Composite Structures, 181:194– 202 [9] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2015) Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam Composite Structures, 133:54–61 [10] Zhang, D.-G (2013) Modeling and analysis of FGM rectangular plates based on physical neutral surface and high order shear deformation theory International Journal of Mechanical Sciences, 68:92–104 [11] Zhang, D.-G., Zhou, Y.-H (2008) A theoretical analysis of FGM thin plates based on physical neutral surface Computational Materials Science, 44(2):716–720 [12] Yaghoobi, H., Fereidoon, A (2010) Influence of neutral surface position on deflection of functionally graded beam under uniformly distributed load World Applied Sciences Journal, 10(3):337–341 [13] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2016) Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International Journal of Mechanical Sciences, 108:14–22 [14] Larbi, L O., Kaci, A., Houari, M S A., Tounsi, A (2013) An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and free vibration of functionally graded beams# Mechanics Based Design of Structures and Machines, 41(4):421–433 [15] Reddy, J N (2006) Theory and analysis of elastic plates and shells CRC press [16] Thai, H.-T., Vo, T P (2012) Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories International Journal of Mechanical Sciences, 62(1):57– 66 [17] Reddy, J N (2017) Energy principles and variational methods in applied mechanics John Wiley & Sons [18] Dym, C L., Shames, I H (1973) Solid mechanics New York: McGraw-Hill [19] Kitipornchai, S., Chen, D., Yang, J (2017) Free vibration and elastic buckling of functionally graded porous beams reinforced by graphene platelets Materials & Design, 116:656–665 [20] Magnucki, K., Stasiewicz, P (2004) Elastic buckling of a porous beam Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 42(4):859–868 106 ... trình điều kiện biên Điều kiện để dầm ổn định số C1 , C2 , C3 , C4 không đồng thời không Biết λ (N0 ) ta ẽ xác định lực ổn định N0∗ xác định lực tới hạn Nth = N0∗ Các kết phân tích ổn định cho... 2,9475 Kết luận Bài báo xây dựng nghiệm giải tích tính tốn lực tới hạn cho dầm vật liệu xốp, chịu nén dọc trục với loại điều kiện biên khác nhau; liên kết lý tưởng xem xét bao gồm: liên kết ngàm... Các kết phân tích ổn định cho trường hợp điều kiện biên dầm xốp tổng hợp Bảng Bảng Một số kết phân tích ổn định dầm xốp Điều kiện biên Phương trình xác định N0∗ SS sin λL = N0∗ = CC   s λLA55