Phân tích ứng xử của tấm phân lớp chức năng nhiều lớp dựa trên áp đặt các hàm dạng cho điều kiện biên khác nhau

Bài viết này trình bày lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để phân tích tần số dao động riêng và ổn định của tấm phân lớp chức năng nhiều lớp. Đây là lý thuyết tính toán phát triển từ lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và không cần sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt.

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC nNgày nhận bài: 15/10/2021 nNgày sửa bài: 19/11/2021 nNgày chấp nhận đăng: 06/12/2021 Phân tích ứng xử phân lớp chức nhiều lớp dựa áp đặt hàm dạng cho điều kiện biên khác Analysis of functionally graded sandwich plates based on imposition of the shape functions for various boundary conditions > TS NGUYỄN VĂN HẬU GV Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM Email: haunv@hcmute.edu.vn TÓM TẮT Bài báo trình bày lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để phân tích tần số dao động riêng ổn định phân lớp chức nhiều lớp Đây lý thuyết tính tốn phát triển từ lý thuyết biến dạng cắt bậc không cần sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt Phương trình cân thiết lập theo nguyên lý Hamilton Lời giải Ritz áp dụng cho kết cấu với điều kiện biên khác tính xác mơ hình phân tích đánh giá so sánh với lời giải trước Kết số phân tích phân lớp chức nhiều lớp dùng để đánh giá ổn định tới hạn tần số dao động riêng hiệu ứng thay đổi đặc trưng vật liệu, cấu trúc, tỉ số cạnh chiều dày Từ khóa: Tấm phân lớp chức nhiều lớp; dao động tự do;, phân tích ổn định   GIỚI THIỆU Vật liệu phân lớp chức (Functionally Graded Material (FGM)) loại vật liệu composite đặc biệt có đặc trưng lý thay đổi liên tục theo yêu cầu mong muốn [1] Chính vậy, chúng sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực như: Xây dựng, khí, hàng không vũ trụ, ô tô, tàu thủy… Do yêu cầu ứng dụng FGM kỹ thuật ngày tăng nên địi hỏi phải có nhiều nghiên cứu, mơ hình lý thuyết tính tốn cho phân tích ứng xử loại vật liệu Có nhiều nghiên cứu FGM nhà khoa học phát triển, phân tích ứng xử phân lớp chức nhiều lớp theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao lý thuyết phân tích hiệu cho kết cấu loại Một số lý thuyết tính tốn khác như: lý thuyết cổ điển (CPT) ([2]) bỏ qua ảnh hưởng biến dạng cắt, lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) ([35]) có kể đến thành phần biến dạng cắt cần hệ số hiệu chỉnh cắt, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) ([6-10]) không cần hệ số hiệu chỉnh cắt mặt biến dạng theo chiều dày 62 12.2021 ISSN 2734-9888 ABSTRACT This paper presents a higher-order shear deformation theory for buckling and free vibration analysis of functionally graded sandwich plates The theory used is developed from the first-order shear deformation theory without requiring shear correction factor The plate’s equations of motion are derived from the Hamilton’s principle Ritz’s solutions are applied to solve for the plate’s responses in various boundary conditions The accuracy of this plate model is verified with the past studies Numerical results are obtained for functionally graded sandwich plates to investigate the effects of the power-law index, constituent material distribution, side-to-thickness on the buckling and frequency responses Keywords: Functionally graded sandwich plates, free vibration, buckling analysis có dạng mặt cong, điều phù hợp với ứng xử thực tế kết cấu Mục tiêu nghiên cứu phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để phân tích ổn định tới hạn tần số dao động tự phân lớp chức nhiều lớp với điều kiện biên khác nhằm đa dạng hóa lời giải cho toán Trường chuyển vị xấp xỉ dựa thành phần chuyển vị chưa biết mặt trung bình, hàm số biến dạng cắt hàm số áp đặt điều kiện biên lựa chọn đóng vai trị quan trọng phân tích kết tốn Lời giải giải tích sử dụng để phân tích ổn định tần số dao động tự cho hình chữ nhật có điều kiện biên khác Các ví dụ số áp dụng để kiểm chứng mức độ xác nghiên cứu báo so với kết công bố CƠ SỞ LÝ THUYẾT Xét hình chữ nhật Hình có cạnh dài a , cạnh ngắn b , chiều cao h chế tạo từ gốm kim loại với đặc trưng hữu hiệu thay đổi theo chiều dày theo quy luật hàm mật độ thể tích Các đặc trưng hữu hiệu xác định: j P( z )  ( Pc  Pm )Vc  ( z )  Pm (1) Trong Pc Pm mô đun đàn hồi Young ( E ) , hệ số Poisson (  ) thành phần gốm (ceramic) kim loại (metal)  j mặt mặt Hàm mật độ gốm ( Vc ( z ) ) xác định theo quy luật:  1 V  ( z)  c     Vc ( z )   V  3  c ( z ) Với p 0; z   h0 , h1  p  z  h1    ; z   h1 , h2   h2  h1  1; z   h2 , h3  (2) hệ số đặc trưng vật liệu Sự phân bố vật liệu  j Vc ( z ) theo chiều dày thể Hình 2.1 Trường chuyển vị biến dạng Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao: w(x, y )  f  z   x (x, y ) x w(x, y )   f  z   y (x, y ) u2 (x, y,z ) v(x, y )-z y u3 (x, y,z )  w(x, y )  u1 (x, y,z ) u (x, y )-z Trường biến dạng xác định: ε ε   zε   fε  (5a) γ  gγ (5b) Trong  u    0   xx   x    0   v  1 0 ε   yy   , ε    0   y   xy   u v      y x    x    x  xx            y   yy 2   ε    y   2     xy    x  y     x   y (6b)  xz 0   γ     0   yz  (6c) T (7) (4)  bình tấm; r hệ số hiệu chỉnh, lấy r  Trong  U ,  V  K biến phân lượng biến dạng, biến phân biến phân động Thành phần biến phân lượng biến dạng xác định:  U  ( xx xx   yy  yy   zz zz   xy  xy V z  xz  xz   yz  yz )dV a b  h y x Hình Mơ hình FGM nhiều lớp 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 z/h   U   V   K dt 0 u, v, w,  x  y thành phần chuyển vị mặt trung  x  u  2 w  v  N M   Pxx  N yy xx  xx x x y x  A   2 w  y   u  v  (8)  Rzz z  N xy    y x  y  y   x  y   2 w 2 M xy  Pxy    xy x   y   z    z    Qy   y  Qx   x    dA  y   x    Trong dA  dxdy; N , M , R Q thành phần nội lực  M yy  Pyy tấm: hj  N xx , N yy , N xy      xx j  , yyj  , xy j   dz -0.1 p=0.5 p=1.0 p=5.0 p=10 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5  x     y  2.2 Phương trình lượng Nguyên lý biến phân Hamilton hệ xác định:   2w      xx1   x   1    w   yy     (6a)  1   y   xy    w   2   xy   2  (3) Trong f  z  hàm số biến dạng cắt ([11]): 16rz  rz   f  z  h arctan     h  3h r  0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Vc 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình Sự phân bố vật liệu theo chiều dày (9a) j 1 h j 1 hj  M xx , M yy , M xy     z  xx j  , yyj  , xy j   dz (9b) j 1 h j 1 ISSN 2734-9888 12.2021 63 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC hj  Rxx , Ryy , Rxy     j 1 h j 1     ,    ,    dz f  xx yy xy j j j  y : (9c) Qx , Qy     g  xz j  , yzj   dz  V    N  wdA (10) A Trong N thành phần lực nằm mặt phẳng 2 w 2 w 2 w N N  N xy0  N yy0 xy x y xx (11)  j  u2 u2  u3 u3  ( z )dV  w  w w  w   w w     v   I   y y  y y   x x  w  J1 ux  x u  vy  y v  J  x  x  w w   w    x   y  y   K  x x x y y    j (12)  Trong () đạo hàm thành phần chuyển động theo thời ( z ) khối lượng riêng I , I1 , I , J1 , J , K thành phần quán tính tấm:  I , I1 , I    hj j  J1 , J , K    hj     f , zf , f    zdz j (13a) (13b) j 1 h j 1 Thay  U ,  V  K từ (8), (10) (12) vào (7) Phương v: N xy x  N yy y  I v  I1  w  J1y y 64 12.2021 (14a)  j ISSN 2734-9888 (16b) j E   z  (16c) j 1      z     B  ε    Ds   ε     H s  ε      B D D s (17) A, B, D, Bs , Ds , H s thành phần độ cứng phân lớp chức nhiều lớp xác định: s s hj j 1 h j 1 , f , z f , f  C j  ( z )d z (18) Thành phần lực cắt xác định cách sử dụng phương trình (6c), (15b) (9d):   x   s  A44   y  s Qx   A5   Qy   (19) s s Trong A44 , A55 thành phần độ cứng cắt tấm: s s A A 44 55 hj  g C44  ( z )d z   j hj  j h j 1 j  h j 1 (14b) j (20)  2u  2u 2v 3 w     A A A B   66 12 66 11 xy x y x   B12  B66  (14c)   B12s  B66s  (14d) g C55  ( z )d z Thay (15) (17) vào (12) thu hệ phương trình để giải cho tốn A11  M xy  M yy  M xx  2  N  I0 w x xy y      u v    J  x  y   I1     I  w  x y   x y   P  P w  K 2x  x : xx  xy  Qx  J1u  J x y x w:  j Trong trình cần hệ xác định: N  N w  u : xx  xy I u  I1  J1x x y x (16a)  A, B, D, B , D , H     1, z, z j 1 h j 1 (15b) j     z  s    1, z, z    z  d z (15a) j E   z   j N  A    M  =  B P  s   B y y  dA j   xx      j   j C22   yy   j  j  C66    xy    j   xz     j   j C44   yz  j Thay (6a) (6b) vào (15a) kết hợp với (9a), (9b), (9c) thu mối quan hệ lực biến dạng: s  0    j (14e) C12  C C C 55 44 66  gian t ,   w  K 2y y j  j  j C12      z  C11   w w A  I  u u  v v  w  w   I1  u x  x  u  v  xx C11 j    j     j   yy   C12   j    xy    xz j   C55 j    j     yz   C C 11 22  j V  y Trong Thành phần biến phân động năng:  Qy  J1v  J  j  Thành phần biến phân năng:   u  u Pyy Phương trình ứng xử tấm: (9d) j 1 h j 1  K x  2 2 Trong    / x   / y toán tử Laplacian hj Pxy 2 3 w s  x s  x   B B 11 66 xy x y  2 y xy  I u  I1  w  J1x x (21a) A22   B12  B66    B12s  B66s  B11  2v 2v  2u 3 w  A66   A12  A66   B22 xy y x y  2 y  2 y 3 w s s   B B 22 66 x y y x (21b)   x w I v  I1  J1y xy y  y  3 x 4 w  D11s  D22s 2 x y x y 3  y  3 x   D  2D    D12s  D66s   N xy x y      u v    I1     I  w   J  x  y   I0 w  x y   x y    2u 2v  2u B11s   B12s  B66s   B66s x xy y s 66  2 x 3 w 3 w D   D12s  D66s   H11s x xy x (21c)  2 y  2 x H  H  H  A55s  x xy y  w   K 2x J1u  J x 2v  2u 2v   B12s  B66s   B66s B22s y xy x s 66  2 y  2 x H  H   H 66s  A44s  y xy x  w   K 2y J1v  J y v  x, y , t    Vm n X  x  Y   y e i t  Thay trường chuyển vị chọn vào phương trình cân thu phương trình dạng rút gọn: K   M  U   Trong (21d) k1   B1 1e1   B1  B33  e8 s k1  B1s1e12  B33 e8 , k1   B1s2 B3s3  e8 k2  A3 e10  A22 e4 , k2    B22 e4   B1  B33  e1  s s k24  B33 e10 B22 e4  B12s  B33s  e10 , k25  k3  B11e13   B1  B33  e1 , k3  B22 e5   B1  B33  e1 k33   D11e13  D22 e5   D12  D33  e11  N  e3   e9  (21e) s k34  D11s e13   D12s  D33  e11 , k35  D22s e5   D12s  D33s  e11 s k41  B11s e12  B33 e8 , k42   B12s B33s  e8 s k43   D11s e12   D12s  D33  e8 , k44  H11s e12  H 33s e8  A44s e6 k45   H12s  H 33s  e8 , k51   B12s  B33s  e10 s s s s k52  B33 e10  B22 e4 , k53   D22 e4   D12s  D33  e10 (22a) (22b) s k54  H12s  H 33  e10 , k55 H 33s e10  H 22s e4  A55s e2 m11   I e6 , m13  I1e6 , m14   J1e6 , m22   I e2 m23  I1e2 , m25   J1e2 , m31   I1e9 , m32   I1e3 m33   I e1   e3  e9  I , m34   J e9 , m35   J e3 m41   J1e6 , m43  J e6 , m44   K e6 , m52   J1e2 m53  J e2 , m55   K e2 (22c)  e1  m 1 n b a   X mYn X mYn d x d y, e2 0   x  x, y, t    X mn X   x  Y  y eit (25) k1  A1 1e12  A3 e8 , k1   A1 A3  e8  m 1 n  Trường hợp bốn biên ngàm (CCCC): (24b) m 1 n  w  x, y , t    Wmn X  x  Y  y eit (23b)   2m y    co s  b   1        n y  sin   b  b  3a m 1 n   Y  y   Y  y LỜI GIẢI GIẢI TÍCH Lời giải phân lớp chức nhiều lớp có điều kiện biên khác với thành phần chuyển vị xấp xỉ dạng: u  x, y, t    U mn X   x  Y  y  eit (23a) (24a) s 66   m x  s in   a  a    2m x    cos  a   1     s 66  2 y 3 w 3 w s s s D   D12  D66   H 22 y x y y X  x  3a s 22 s 12 Hàm dạng  X  x s 11 s 12 định;  tần số dao động riêng; i   phân lớp chức nhiều lớp [12] Trường hợp bốn biên tựa đơn (SSSS): 3v 4 w 4 w  D11  D22 y x y s 12 Trong U mn , Vmn , Wmn , X mn , Ymn đại lượng cần xác X  x  , Y  y  chọn để áp đặt điều kiện biên 2  D12  D66  (22e) m 1 n   3u  3u 3v 2 B B B B         12 66 12 66 x xy x y  B22   y  x, y, t    Ym n X  x  Y   y eit (22d)  e3 b a   X mYn X mYn d x d y, e4 0 b a  X Y X mYnd x d y m n 0 b a  X Y  X mYnd x d y m n 0 ISSN 2734-9888 12.2021 65 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC b a   X mYn X mYn d x d y, e6 e5 0 b a   X m Yn X m Yn d x d y 0 b a   X  Y X  Y d x d y, e   X Y X e8 m n m n m n 0 Y dxdy m n 0 b a   X mYnX mYnd x d y, e11 e10 0 b a b a   X Y X m n Y dxdy m n 0 b a   X Y X  Y d x d y, e   X Y X e12 trị tần số dao động riêng đạt giá trị lớn phân bố vật liệu theo cấu trúc 1-8-1 bé ứng với cấu trúc 2-1-2: h0  h / 2, h1  h  / 10, h2 h / 10, h3 h / b a m n m n 0 m 13 n Y dxdy m n 0 Các trường hợp liên kết xét đến báo trình bày Hình Hình Giá trị tần số dao động riêng 1 cho hình vng tựa đơn trường hợp cấu Hình Các trường hợp liên kết KẾT QUẢ SỐ Trong phần này, số ví dụ khảo sát để phân tích ổn định tới hạn tần số dao động riêng phân lớp chức nhiều lớp với điều kiện biên khác có kích thước hình chữ nhật Tấm chế tạo từ vật liệu gốm kim loại Hình 1, với đặc trưng vật liệu: mặt nhôm (Al): Em  GPa, trúc vật liệu thay đổi a / h  10 Hình trình bày hiệu ứng đặc trưng vật liệu điều kiện biên khác vuông trường hợp tỉ số cạnh chiều dày a / h  Từ hình vẽ cho thấy giá trị tần số dao động riêng phụ thuộc vào điều kiện liên kết tấm, có liên kết bốn biên ngàm cho giá trị tần số dao động riêng lớn có bốn biên tựa đơn có kết ngược lại, điều hồn tồn phù hợp với ứng xử thơng thường kết cấu phân tích tần số dao động tự Tương tự, Hình trình bày hiệu ứng đặc trưng vật liệu tỉ lệ cạnh chiều dày thay đổi cho trường hợp vng có bố biên tựa đơn Từ hình vẽ cho thấy tỉ lệ cạnh chiều dày có ảnh hưởng đến giá trị lực nén ổn định tới hạn m  2707 kg/m3, mặt gốm (Al2O3): Ec  GPa, c  , c  3800 kg/m3 Các hiệu ứng m  0.3 , đặc trưng vật liệu, tỉ số cạnh chiều dày trường hợp liên kết ảnh hưởng đến tần số dao động riêng ổn định tới hạn khảo sát cách chi tiết Đại lượng không thứ nguyên dùng để phân tích kết quả: a2  / E0 h N cr a  100 E0 h3 1   N cr1 (26) Hình Giá trị tần số dao động riêng 1 cho (cấu trúc 1-8-1) hình vng trường   0 1kg/m3 Trong E0 1GPa, hợp điều kiện biên khác a / h  10 Bảng trình bày giá trị tần số dao động riêng phân lớp chức nhiều lớp (cấu trúc 1-8-1: h0   h / 2, h1  4h / 10, h2  4h / 10, h3  h / ) trường hợp bốn biên tựa đơn liên kết ngàm khảo sát với thay đổi giá trị đặc trưng vật liệu tỉ số chiều dày cạnh Các kết tính tốn so sánh với nghiên cứu Q Li cộng [13] sử dụng lý thuyết ba chiều Từ bảng kết cho thấy có sai số nhỏ nghiên cứu báo so với nghiên cứu này, điều khẳng định xác kết nghiên cứu báo Hình trình bày hiệu ứng đặc trưng vật liệu với cấu trúc khác vuông trường hợp tỉ số cạnh chiều dày a / h  Từ hình vẽ cho thấy tần số dao động riêng phụ thuộc vào xếp vật liệu theo chiều dày tấm, điều phù hợp với ứng xử kết cấu thay đổi độ cứng Giá 66 12.2021 ISSN 2734-9888 Hình Giá trị lực nén tới hạn N cr1 cho (cấu trúc 1-1-1) hình vng tựa đơn trường hợp cạnh chiều dày thay đổi   Bảng Giá trị tần số dao động riêng ( 1 ) hình vng (cấu trúc 1-8-1) tựa đơn liên kết ngàm bốn biên Điều kiện biên SSSS Tham khảo Bài báo h/a p  0.5 p 1 p2 p5 p  10 0.01 1.33990 1.38666 1.44488 1.53138 1.59098 1.33931 1.38669 1.44491 1.53143 1.59105 Q Li cộng (3D) [13] Bài báo 0.1 Q Li cộng (3D) [13] Bài báo 0.2 Q Li cộng (3D) [13] CCCC Bài báo 0.01 Q Li cộng (3D) [13] Bài báo 0.1 Q Li cộng (3D) [13] Bài báo 0.2 Q Li cộng (3D) [13] KẾT LUẬN Bài báo trình bày phân tích ổn định dao động tự phân lớp chức nhiều lớp với điều kiện biên khác Phương trình cân lượng xây dựng từ thành phần chuyển động Lời giải Ritz sử dụng cho tốn có kích thước hình chữ nhật với điều kiện biên khác giúp cho việc phân tích ứng xử kết cấu phong phú theo phương pháp giải tích Kết nghiên cứu báo phù hợp với nghiên cứu trước đây, điều chứng tỏ tính xác nghiên cứu Các đánh giá hiệu ứng thay đổi tỉ lệ kích thước cạnh chiều dày, cấu trúc quy luật phân bố vật liệu theo chiều dày khảo sát phân tích cách chi tiết Mơ hình nghiên cứu báo phù hợp có giá trị cho phân tích ổn định tới hạn tần số dao động riêng phân lớp chức nhiều lớp Acknowledgement: This work belongs to the project in 2021 funded by Ho Chi Minh City University of Technology and Education, Vietnam 1.29512 1.34525 1.40498 1.49013 1.54714 1.29751 1.34847 1.40828 1.49309 1.54980 1.18677 1.24288 1.30494 1.38619 1.43703 1.19580 1.25338 1.31569 1.39567 1.44540 2.50374 2.59158 2.70049 2.86219 2.97352 2.45438 2.54149 2.64835 2.80692 2.91611 2.31386 2.41687 2.53180 2.68584 2.78449 2.24154 2.34606 2.45973 2.60760 2.70070 1.94337 2.06196 2.18021 2.31571 2.39084 1.86081 1.97993 2.09554 2.22142 2.28896 Talha, M and Singh, B N Static response and free vibration analysis of FGM plates using higher order shear deformation theory, Applied Mathematical Modelling, 34(39914011), 2010 10 Mantari, J L and Soares, C G Bending analysis of thick exponentially graded plates using a new trigonometric higher order shear deformation theory, Composite Structure, 94(1991-2000), 2012 11 Nguyen, V H., Nguyen, T K., Thai H T and Vo, T P A new inverse trigonometric shear deformation theory for isotropic and functionally graded sandwich plates, Composites Part B: Engineering, 66(233-246), 2014 12 Pirmoradian, M., Torkan, E., Abdali, N., Hashemian, M and Toghraie, D Thermomechanical stability of single-layered graphene sheets embedded in an elastic medium under action of a moving nanoparticle, Mechanics of Materials, 141(102248), 2020 13 Li, Q., Iu, V P and Kou, K P Three-dimensional vibration analysis of functionally graded material sandwich plates, Journal of Sound and Vibration, 311(498-515), 2008 TÀI LIỆU THAM KHẢO Koizumi, M FGM Activities in Japan, Composites Part B: Engineering, 28(1-4), 1997 Abrate, S Functionally graded plates behave like homogeneous plates, Composites Part B: Engineering, 39(151-158), 2008 Singha, M., Prakash, T and Ganapathi, M Finite element analysis of functionally graded plates under transverse load, Finite Elements in Analysis and Design, 47(453-460), 2011 Nguyen, T K., Sab, K and Bonnet, G., First-order shear deformation plate models for functionally graded materials, Composite Structures, 83(25-36), 2008 Thai, H T and Vo, T P A new sinusoidal shear deformation theory for bending, buckling, and vibration of functionally graded plates, Applied Mathematical Modelling, 37(3269-3281), 2013 Ferreira, A J M., Batra, R C., Roque, C M., Qian, L F and Martins, P A L S Static analysis of functionally graded plates using third-order shear deformation theory and a meshless method, Composite Structures, 69(449-457), 2005 Reddy, J N A general nonlinear third-order theory of functionally graded plates, International Journal of Aerospace and Lightweight Structures, 1(1-21), 2011 Mantari, J L., Oktem, J L A S and Soares, O G Bending response of functionally graded plates by using a new higher order shear deformation theory, Composite Structures, 94(714-723), 2012 ISSN 2734-9888 12.2021 67 ... với điều kiện biên khác giúp cho việc phân tích ứng xử kết cấu phong phú theo phương pháp giải tích Kết nghiên cứu báo phù hợp với nghiên cứu trước đây, điều chứng tỏ tính xác nghiên cứu Các. .. Bài báo trình bày phân tích ổn định dao động tự phân lớp chức nhiều lớp với điều kiện biên khác Phương trình cân lượng xây dựng từ thành phần chuyển động Lời giải Ritz sử dụng cho toán có kích... b  3a m 1 n   Y  y   Y  y LỜI GIẢI GIẢI TÍCH Lời giải phân lớp chức nhiều lớp có điều kiện biên khác với thành phần chuyển vị xấp xỉ dạng: u  x, y, t    U mn X   x  Y  y  eit