Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển sử dụng phương pháp phần tử tấm nhiều lớp chuyển động mmpm (multi layer moving palate method)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN HỮU SANG PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN CÓ ĐỘ CỨNG BIẾN THIÊN CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ TẤM NHIỀU LỚP CHUYỂN ĐỘNG MMPM (MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD) Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình Dân dụng Cơng nghiệp Mã số ngành: 60 58 02 08 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2020 CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hƣớng dẫn khoa học: Cán hƣớng dẫn 01: TS Hồ Thu Hiền Cán hƣớng dẫn 02: PGS TS Lƣơng Văn Hải Cán chấm nhận xét 1: PGS.TS Hồ Đức Duy Cán chấm nhận xét 2: TS Nguyễn Tấn Cƣờng Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ Trƣờng Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP HCM ngày 30 tháng 12 năm 2020 Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm: PGS.TS Nguyễn Trọng Phƣớc Chủ tịch hội đồng TS Nguyễn Thái Sơn Thƣ ký PGS.TS Hồ Đức Duy Ủy viên Phản Biện TS Nguyễn Tấn Cƣờng Ủy viên Phản Biện TS Nguyễn Hồng Ân Ủy viên Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá Luận văn Trƣởng Khoa quản lý chuyên ngành sau Luận văn đƣợc sữa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÕA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN HỮU SANG MSHV: 1670581 Ngày, tháng, năm sinh: 16/10/1986 Nơi sinh: Bến Tre Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình Dân dụng Cơng nghiệp Mã số ngành: 60580208 I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích ứng xử nhiều lớp có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển sử dụng phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Sử dụng mơ hình tính tốn phƣơng pháp MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) để phân tích ứng xử nhiều lớp có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển sử dụng phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab để thiết lập cơng thức tính tốn ví dụ số Kết ví dụ số đƣa kết luận quan trọng ứng xử III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 10/02/2020 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 18/12/2020 V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 1: TS Hồ Thu Hiền VI HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 2: PGS TS Lƣơng Văn Hải TP HCM, ngày 18 tháng 12 năm 2020 CÁN BỘ CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 01 HƢỚNG DẪN 02 TS Hồ Thu Hiền PGS TS Lƣơng Văn Hải CHỦ NHIỆM CHUYÊN NGÀNH ĐÀO TẠO TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cám ơn Cô hƣớng dẫn TS Hồ Thu Hiền Thầy PGS TS Lƣơng Văn Hải, Q Thầy Cơ tận tình dẫn dắt, hƣớng dẫn đƣa gợi ý để hình thành nên ý tƣởng đề tài đến hồn thành Luận văn Q Thầy Cơ hƣớng dẫn, góp ý cho tơi nhiều cách nhận định đắn vấn đề nghiên cứu, nhƣ cách tiếp cận nghiên cứu hiệu nguồn tài liệu giá trị suốt thời gian thực Luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ Thuật Xây dựng, trƣờng Đại học Bách Khoa Tp.HCM tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức cho suốt thời gian học thực Luận văn vừa qua Mặc dù thân nghiên cứu hoàn thành Luận văn, nhiên thân kiến thức hạn chế nên khơng thể khơng có thiếu sót Kính mong Q Thầy Cơ dẫn thêm để tơi học hỏi, bổ sung thêm kiến thức hoàn thiện thân Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy Cô TP HCM, ngày 18 tháng 12 năm 2020 Nguyễn Hữu Sang iii TĨM TẮT PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN CÓ ĐỘ CỨNG BIẾN THIÊN CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ TẤM NHIỀU LỚP CHUYỂN ĐỘNG MMPM (MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD) Ngày nay, kết cấu chịu tác động tải trọng di chuyển đƣợc ứng dụng rộng rãi ngành công nghiệp, xây dựng, giao thông Do tính ứng dụng rộng rãi thực tiễn, nên vấn đề phân tích ứng xử động nhận đƣợc nhiều quan tâm nhà nghiên cứu ngồi nƣớc Gần có nhiều nghiên cứu nhƣ: phân tích ứng xử động kết cấu chịu tải trọng di chuyển sử dụng phƣơng pháp phần tử chuyển động (Moving Element MethodMEM), phân tích ứng xử động kết cấu đàn nhớt, Pasternak, chịu tải trọng di chuyển Tuy nhiên, nghiên cứu trƣớc thƣờng phân tích ứng xử kết cấu đƣợc đơn giản hóa có độ cứng đồng nhất, nhƣng thực tế độ cứng đất khác nhau, cậy mơ hình kết cấu nhiều lớp có độ cứng biến thiên Luận văn đƣợc phát triển nhằm mơ xác độ cứng khơng đồng đất thực tế toán Ý tƣởng Luận văn nhằm phát triển phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động (Multi-Layer Moving Plate Method-MMPM) để phân tích tốn kết cấu nhiều lớp dài vơ hạn có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển Trong đó, đặc tính độ cứng đất đƣợc giả định biến thiên dọc theo phƣơng chiều dài tấm, đƣợc chia nhỏ thành “phần tử chuyển động” Những phần tử chuyển động thật so với đứng yên mà chuyển động giả tƣởng với tải di chuyển Ƣu điểm phƣơng pháp MMPM tải di động khơng đến biên phần tử đƣợc đề xuất chuyển động tải di chuyển từ phần tử đến phần tử khác, tránh đƣợc việc cập nhật véctơ tải trọng hay véctơ chuyển vị Ảnh hƣởng tƣơng tác kết cấu mơ hình đƣợc khảo sát kết cho thấy yếu tố ảnh hƣởng quan trọng đến ứng xử động Luận văn hy vọng tài liệu tham khảo hữu ích cho việc thiết kế, thi cơng bảo dƣỡng kết cấu thực tế iv ABSTRACT DYNAMIC ANALYSIS OF MULTI-LAYER PLATE RESTING ON A VARIABLE STIFFNESS FOUNDATION SUBJECTED TO MOVING LOAD USING MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD MMPM Nowadays, the structure of the plate impacted by the moved-load (hereafter called “plate-structure”) is widely used in industries, construction, traffic, etc Due to its wide applicability in practical situations, the problem this of platestructure has received much not only from domestic but also from foreign researchers Recently, there are many studies on this topic, such as: dynamic analysis of plate-structure used moving element method (MEM), dynamic analysis of plate-structure resting on viscous-elastic foundation, on Pasternak foundation subjected to moving load using moving element method (MEM) However, previous studies only focus on dynamic analysis of the plate as a simplified foundation with constant stiffness, but in practice the stiffness of the foundation is various, so the dynamic analysis of multi-layer plate resting on the variable stiffness foundation subjected to moving load is researched in order to stimulate more accurately the variable stiffness foundation in the real problems Thesis's new idea is to research on the method of Multi-Layer Moving Plate Method (MMPM) to dynamic analysis of muilti-layer plate structure is infinitely long resting on variable stiffness foundation subjected to moving load In which, the properties of the stiffness foundation are assumed to vary along the length of the plate, a plate is discretized into “moving elements” These moving elements are not physical elements fixed to the plate but are conceptual elements that “flow” with the moving load through the plate The main advantage of MMPM is that the load will never reach the boundary end since the proposed elements move along with it and the moving load will not even have to cross from one element into another, thereby avoiding the updating of the force or the displacement vectors Influence of the interaction between the multi-layer plate and the the variable stiffness foundation will be investigated The influence of the interaction between the multi-layer plate and the variable stiffness foundation is modeled and the results show that these factors have important effects on the dynamic response of the plate The thesis is expected to be the useful references for the designs, constructions and maintenance of structures in practices v LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công việc tơi thực dƣới hƣớng dẫn Cô TS Hồ Thu Hiền Thầy PGS TS Lƣơng Văn Hải Các kết Luận văn thật chƣa đƣợc công bố nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm công việc thực TP HCM, Ngày 18 tháng 12 năm 2020 Nguyễn Hữu Sang vi MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i LỜI CẢM ƠN ii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii LỜI CAM ĐOAN v MỤC LỤC vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ix DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU iii MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT vi CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1Giới thiệu 1.2 Tình hình nghiên cứu tính cấp thiết đề tài 1.2.1 Các công trình nghiên cứu giới 1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu nƣớc 1.3 Mục tiêu hƣớng nghiên cứu 1.4 Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 10 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 10 2.1 Mơ hình có độ cứng biến thiên 10 2.2 Phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động (Multi-Layer Moving Plate Method-MMPM): 12 2.2.1 Lý thuyết Mindlin 12 2.2.2 Biến dạng mối quan hệ biến dạng – chuyển vị 15 2.2.3 Biến dạng mối quan hệ ứng suất biến dạng 16 2.2.4 Phƣơng trình lƣợng 18 2.2.5 Phần tử đẳng tham số 19 2.2.6 Phép tích phân số - Phép cầu phƣơng Gauss 22 vii 2.2.7 Thiết lập công thức ma trận kết cấu nhiều lớp có độ cứng biến thiên sử dụng phƣơng pháp MPMM (Multi-Layer Moving Plate Method) 23 2.3 Phƣơng pháp Newmark 34 2.4 Thuật toán sử dụng Luận văn 36 2.4.1 Thông số đầu vào 36 2.4.2 Giải toán theo dạng chuyển vị 37 2.4.3 Độ ổn định hội tụ theo phƣơng pháp Newmark 38 2.5 Lƣu đồ tính tốn 39 CHƢƠNG 40 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 40 3.1 Kiểm chứng chƣơng trình Matlab 42 3.1.1 Bài toán 1a: Phân tích ứng xử Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng tĩnh xem xi măng đá cứng vô 42 3.1.2 Bài toán 1b: Phân tích ứng xử Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động xem xi măng đá cứng vô 46 3.2 Phân tích ứng xử nhiều lớp có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển sử dụng phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) 48 3.2.1 Bài toán 2: Khảo sát hội tụ toán 48 3.2.2 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động lực học nhiều lớp có độ cứng biến thiên 51 3.2.3 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động hệ số tƣơng quan α thay đổ 55 3.2.4 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động số mũ n thay đổi 58 3.2.5 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động hệ số độ cản thay đổi 60 viii 3.2.6 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động vận tốc tải di chuyển V thay đổi 63 3.2.7 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động giá trị tải di chuyển P thay đổi 66 3.2.8 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động module đàn hồi (Ec, Ef) thay đổi 68 3.2.9 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động chiều dày h thay đổi 71 3.2.10 Bài toán 11: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng cản nhớt biến thiên chịu tải trọng di động 74 3.2.11 Bài toán 12: Khảo sát ứng xử động lực học có độ cứng cản nhớt biến thiên chịu tải trọng di động số độ cứng k0 thay đổi 76 CHƢƠNG 80 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 80 4.1 Kết luận 80 4.2 Kiến nghị 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 PHỤ LỤC 88 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 99 Phụ lục [29] 85 M Eisenberger, Vibration frequencies for beams on variable one and two paramter elastic foundations Journal of Sound and Vibrations 176(5) (1994), 577-584 [30] A., Tan H.T., Kaya M.O., Free vibration analysis of beams on variable winkler elastic foundation by using the differential transform method, Mathematical and Computational Applications, Vol 16, No 3, 773-783, 2011 [31] Nguyễn Tấn Cƣờng, Phân tích dao động đàn nhớt xét đến khối lượng vật chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2011 [32] Đinh Hà Duy, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong ray tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2013 [33] Lê Tuấn Anh, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét độ nảy bánh xe tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2013 [34] Lƣơng Văn Hải, Đinh Hà Duy, Trần Minh Thi, Phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong ray tương tác với đất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động, Tạp chí Xây dựng, (2013) 57–59 [35] Bùi Văn Nhựt, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc mơ hình 3-D sử dụng phương pháp phần tử chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 [36] Đặng Nguyễn Thiên Thu, Phân tích động lực học tàu cao tốc sử dụng phần tử dầm nhiều lớp chuyển động có xét đến tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Mở Tp.HCM, 2014 [37] Võ Hoàng Nhi, Phân tích động lực học Nhiều lớp đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 [38] Nguyễn Trọng Phƣớc, Phạm Đình Trung, Đỗ Kiến Quốc, Phân tích động lực học chữ nhật đàn nhớt biến thiên chịu khối lượng di động, Tạp chí Xây dựng 7/2014; tr113-118 Phụ lục [39] 86 Nguyễn Hồng Thế, Phân tích động lực học có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sử dụng phương pháP MEM, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2015 [40] Đỗ Duy Minh, Phân tích động lực học kết cấu dày nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method), Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2016 [41] Nguyễn Văn Quí, Phân tích động lực học chịu tải trọng chuyển động với vận tốc không sử dụng phương pháp MEM cải tiến, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2017 [42] Võ Duy Thoại, Hiệu giảm chấn nhiều hệ cản khối lượng lên dầm liên tục chịu tải trọng di động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2018 [43] Nguyễn Phƣợng Kiều, Phương pháp kết hợp phần tử biên phần tử hữu hạn phân tích trực hướng chịu tải trọng di động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2018 [44] Phạm Hồng Thái, Ảnh hưởng liên kết đàn hồi phân tích động lực học kết cấu chịu tải trọng di động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2019 [45] Trần Phƣớc An, Phương pháp kết hợp phần tử biên phần tử chuyển động phân tích chịu tải trọng di động xét ảnh hưởng uốn dọc, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2019 [46] Trần Văn Hùng, Phân tích ảnh hưởng đặc tính cản đến ứng xử động lực học mỏng chất lỏng chịu tải trọng di động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2019 [47] S Timoshenko, Timoshenko theory of Plate and Shell, Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE 1959; 85:67-97 [48] K U Bletzinger, Theory of Plates Part III Finite elements for Plates in Bending, International Journal For Numerical Methods In Engineering 1980; 15:1771-1812 Phụ lục [49] 87 E Reissner, The effect of tranverse shear deformation on the Bending of Elastic Plates, Journal of Applied Mechanics ASCE 1945; 12: 69-77 [50] R D Mindin, Influence of Rotatory inertia and shear on flexural motion of isotropic Elastic plates, Journal of the Engineering Mechanics Trans 1951; 73:31-38 [51] N M Newmark, A method of computation for structural dynamics, Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE 1959; 85:67-9 [52] A W Leissa The free vibration of the rectangular plates, Journal of Sound and Vibration 1973; 31:257-293 Phụ lục 88 PHỤ LỤC Một số đoạn mã lập trình Mat lab Chƣơng trình tốn phân tích tĩnh clear all clc format long %% Multi-layer plate parameters % First plate Lxa=20;% length of x direction (m) Lya=10;% length of y direction (m) nxa=10;% (columns) number of element along x direction nya=10;% (rows) number of element along y direction lxa=Lxa/nxa;% side length of x direction lya=Lya/nya;% side length of y direction % Second plate Lxc=20;% length of x direction (m) Lyc=10;% length of y direction (m) nxc=nxa;% (columns) number of element along x direction nyc=nya;% (rows) number of element along y direction lxc=Lxc/nxc;% side length of x direction lyc=Lyc/nyc;% side length of y direction ndof=3;% numder of DOFs per node nnel=9;% number of nodes per element nela=nxa*nya;% total element of the first plate nelc=nxc*nyc;% total element of the second plate nel=nela+nelc;% total element of the multi-layer plate nnodea=(2*nxa+1)*(2*nya+1);% total number of nodes in the first plate nnodec=(2*nxc+1)*(2*nyc+1);% total number of nodes in the second plate nnode=nnodea+nnodec;% total number of nodes in the multi-layer plate edofa=nnel*ndof;% DOFs per the first plate's element edofc=nnel*ndof;% DOFs per the second plate's element edof=edofa+edofc;% DOFs per the multi-layer plate's element sdofa=nnodea*ndof;% total of the first plate DOFs sdofc=nnodec*ndof;% total of the first plate DOFs sdof=sdofa+sdofc; % total of the multi-layer plate DOFs kapa=5/6; % shear correction factor % First plate Eamodule=3.1*10^10;% Young's modulus (N/m2) nuya=0.35;% poison's ratio roa=2440;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) ta=0.22;% thickness of the plate (m) Ga=Eamodule/2/(1+nuya); % flexural rigidity of the plate Da=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2); % shear modulus % Second plate Ecmodule=1.516*10^10;% Young's modulus (N/m2) nuyc=0.35;% poison's ratio roc=2300;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) tc=0.18;% thickness of the plate (m) Gc=Ecmodule/2/(1+nuyc); % flexural rigidity of the plate Dc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2); % shear modulus %% Load parameters -f=2e4;% load (N) Phụ lục 89 vo=0;% initial velocity of load(m/s) v=25;% velocity of load(m/s) a=0;% acceleration (m/s2) %% Parameters % First plate ka=9.5e7; %(N/m3) ca=0; %(N.s/m3) % Second plate kf=0; %(N/m3) cf=0; %(N.s/m3) %% Matrix containing the density of the material and thickness -% First plate ma=roa*[ta 0; ta^3/12 0; 0 ta^3/12]; % Second plate mc=roc*[tc 0; tc^3/12 0; 0 tc^3/12]; %% Material matrix related to bending deformation and shear deformation -% First plate Dba=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2)*[1 nuya 0; nuya 0; 0 (1-nuya)/2]; Dsa=Eamodule*ta*kapa/2/(1+nuya)*[1 0; 1]; % Second plate Dbc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2)*[1 nuyc 0; nuyc 0; 0 (1-nuyc)/2]; Dsc=Ecmodule*tc*kapa/2/(1+nuyc)*[1 0; 1]; %% Mindlin Plate meshing -[gcoorda,elea]=mesh2d_rectq9a(Lya,nxa,nya,lxa,lya); % First plate [gcoordc,elec]=mesh2d_rectq9c(Lyc,nxc,nyc,lxc,lyc); % Second plate %% Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;% 3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;% number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); %% Loop for the total number of elements -% First plate for iel=1:nela for i=1:4 nd_cornera(i)=elea(iel,i); % extract connected node for (iel)th element xca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),1); % extract x value of the node yca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),2); % extract y value of the node end xcoorda=[xca (xca(1)+xca(2))/2 (xca(2)+xca(3))/2 (xca(3)+xca(4))/2 (xca(4)+xca(1))/2 (xca(1)+xca(2)+xca(3)+xca(4))/4]; ycoorda=[yca (yca(1)+yca(2))/2 (yca(2)+yca(3))/2 (yca(3)+yca(4))/2 (yca(4)+yca(1))/2 (yca(1)+yca(2)+yca(3)+yca(4))/4]; Phụ lục 90 end % Second plate for iel=1:nelc for i=1:4 nd_cornerc(i)=elec(iel,i); % extract connected node for (iel)th element xcc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),1); % extract x value of the node ycc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),2); % extract y value of the node end xcoordc=[xcc (xcc(1)+xcc(2))/2 (xcc(2)+xcc(3))/2 (xcc(3)+xcc(4))/2 (xcc(4)+xcc(1))/2 (xcc(1)+xcc(2)+xcc(3)+xcc(4))/4]; ycoordc=[ycc (ycc(1)+ycc(2))/2 (ycc(2)+ycc(3))/2 (ycc(3)+ycc(4))/2 (ycc(4)+ycc(1))/2 (ycc(1)+ycc(2)+ycc(3)+ycc(4))/4]; end K1=zeros(edof,edof); K1a=zeros(edof,edof); K1c=zeros(edof,edof); %% Numerical integration -for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); % Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2a]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoorda,ycoorda); % compute Jacobian of the first plate [jacob2c]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoordc,ycoordc); % compute Jacobian of the second plate detjacoba=det(jacob2a); % determinant of Jacobian of the first plate detjacobc=det(jacob2c); % determinant of Jacobian of the second plate invjacoba=jacob2a\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the first plate invjacobc=jacob2c\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the second plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2N dr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacoba);%derivatures in physic coordinate of the first plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2N dr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacobc);%derivatures in physic coordinate of the second plate [Bba,Bsa,Nwa, dNwadr, Na, dNadr, d2Nadr2]=memkine2da(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); [Bbc,Bsc,Nwc, dNwcdr, Nc, dNcdr, d2Ncdr2]=memkine2dc(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); K1a=K1a+(Bba'*Dba*Bba+Bsa'*Dsa*Bsa+ka*Nwa'*Nwa-ka*Nwa'*Nwcca*vo*Nwa'*dNwadr+ca*vo*Nwa'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacoba;% element stiffness matrix of the first plate at initial time K1c=K1c+(Bbc'*Dbc*Bbc+Bsc'*Dsc*Bsc+kf*Nwc'*Nwcka*Nwc'*Nwa+ka*Nwc'*Nwc+ca*vo*Nwc'*dNwadr- Phụ lục 91 ca*vo*Nwc'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacobc; % element stiffness matrix of the second plate at initial time end end K1=K1+K1a+K1c; %% Stiffness, mass, damping matrix of the multi-layer plate KOS1=zeros(sdof,sdof); for i=1:nya for j=1:nxa ie=nxa*(i-1)+j; ele(ie,1)=2*ie-1+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,2)=2*ie+1+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,3)=2*ie-1+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,4)=2*ie-3+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,5)=2*ie+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,6)=2*ie+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,7)=2*ie-2+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,8)=2*ie-2+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,9)=2*ie-1+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,10)=2*ie-1+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,11)=2*ie+1+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,12)=2*ie-1+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,13)=2*ie-3+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,14)=2*ie+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,15)=2*ie+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,16)=2*ie-2+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,17)=2*ie-2+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,18)=2*ie-1+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ix=memindexosm(ele(ie,:),nnel,ndof); [KOS1]=hpsystemmatrix(KOS1,K1,ix); end end %% Load vector -FOS1=zeros(sdof,1); FOS1(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f; % load's position at the middle of the center line of the first plate %% Boudary condition -option='C-C-C-C';% maping to infinity for clamped edge % First plate [ bcdofa ] = boundary_condition_a( nxa,nya,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofa ); % Second plate [ bcdofc ] = boundary_condition_c( nxc,nyc,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofc ); %% Displacement at initial time yini1=KOS1\FOS1; yini=zeros(sdof,1);% the initial displacement of the system for i=1:sdof yini(i)=yini1(i); end y=yini; ua=y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1); uc=y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,1); u=min(y); save TCXD_MPMM_10x10 Phụ lục 92 Chƣơng trình toán khảo sát phản ứng động clc close all format long %% Multi-layer plate parameters % First plate Lxa=20;% length of x direction (m) Lya=10;% length of y direction (m) nxa=20;% (columns) number of element along x direction nya=10;% (rows) number of element along y direction lxa=Lxa/nxa;% side length of x direction lya=Lya/nya;% side length of y direction % Second plate Lxc=20;% length of x direction (m) Lyc=10;% length of y direction (m) nxc=nxa;% (columns) number of element along x direction nyc=nya;% (rows) number of element along y direction lxc=Lxc/nxc;% side length of x direction lyc=Lyc/nyc;% side length of y direction ndof=3;% numder of DOFs per node nnel=9;% number of nodes per element nela=nxa*nya;% total element of the first plate nelc=nxc*nyc;% total element of the second plate nel=nela+nelc;% total element of the multi-layer plate nnodea=(2*nxa+1)*(2*nya+1);% total number of nodes in the first plate nnodec=(2*nxc+1)*(2*nyc+1);% total number of nodes in the second plate nnode=nnodea+nnodec;% total number of nodes in the multi-layer plate edofa=nnel*ndof;% DOFs per the first plate's element edofc=nnel*ndof;% DOFs per the second plate's element edof=edofa+edofc;% DOFs per the multi-layer plate's element sdofa=nnodea*ndof;% total of the first plate DOFs sdofc=nnodec*ndof;% total of the first plate DOFs sdof=sdofa+sdofc; % total of the multi-layer plate DOFs kapa=5/6; % shear correction factor % First plate Eamodule=3.1*10^10;% Young's modulus (N/m2) nuya=0.15;% poison's ratio roa=2400;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) ta=0.22;% thickness of the plate (m) Ga=Eamodule/2/(1+nuya); % flexural rigidity of the plate Da=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2); % shear modulus Phụ lục 93 % Second plate Ecmodule=1.516*10^10;% Young's modulus (N/m2) nuyc=0.25;% poison's ratio roc=2300;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) tc=0.18;% thickness of the plate (m) Gc=Ecmodule/2/(1+nuyc); % flexural rigidity of the plate Dc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2); % shear modulus %% Load parameters -f=1*2e4;% load (N) vo=0;% initial velocity of load(m/s) v=25;% velocity of load(m/s) a=0;% acceleration (m/s2) %% Parameters % First plate ka0=9.5e7; %(N/m3) n=1; anpha=0.5; ca0=1e6; %(N.s/m3) % Second plate kf0=8.7e7; %(N/m3) n=1; anpha=0.5; cf0=9,7e5; %(N.s/m3) %% Matrix containing the density of the material and thickness -% First plate ma=roa*[ta 0; ta^3/12 0; 0 ta^3/12]; % Second plate mc=roc*[tc 0; tc^3/12 0; 0 tc^3/12]; %% Material matrix related to bending deformation and shear deformation -% First plate Dba=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2)*[1 nuya 0; nuya 0; 0 (1-nuya)/2]; Dsa=Eamodule*ta*kapa/2/(1+nuya)*[1 0; 1]; % Second plate Dbc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2)*[1 nuyc 0; nuyc 0; 0 (1-nuyc)/2]; Dsc=Ecmodule*tc*kapa/2/(1+nuyc)*[1 0; 1]; Phụ lục 94 %% Newmark tolerance -tole=10^(-6); % tolerance to=1.81;% total analysis time (s) deltat=0.0025;% time step %% Mindlin Plate meshing -[gcoorda,elea]=mesh2d_rectq9a(Lya,nxa,nya,lxa,lya,nnodea); % First plate [ nodesa ] = coordinate_elementa( nxa,nya ); [ gcoordda ] = coordinate_nodes( Lxa,Lya,nxa,nya,nodesa,nnodea,0 ); [gcoordc,elec]=mesh2d_rectq9c(Lyc,nxc,nyc,lxc,lyc); % Second plate [ nodesc ] = coordinate_elementc( nxc,nyc, nnodea ); [ gcoorddc ] = coordinate_nodes( Lxc,Lyc,nxc,nyc,nodesc,nnodec,0 ); [ nodes ] = coordinate_element( nxa,nya,nnodea ); nodes(1,:) %% Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;% 3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;% number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); %% Stiffness, mass, damping matrix of the multi-layer plate KOS1=zeros(sdof,sdof); KOS=zeros(sdof,sdof); MOS=zeros(sdof,sdof); COS=zeros(sdof,sdof); %% Loop for the total number of elements -% First plate for iel=1:nela fprintf('element=%d/%d',iel,nel); [ index ] = connection( nodes(iel,:) ) for i=1:4 nd_cornera(i)=elea(iel,i); % extract connected node for (iel)th element xca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),1); % extract x value of the node yca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),2); % extract y value of the node nd_cornerc(i)=elec(iel,i); % extract connected node for (iel)th element xcc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),1); % extract x value of the node ycc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),2); % extract y value of the node end xcoorda=[xca (xca(1)+xca(2))/2 (xca(2)+xca(3))/2 (xca(3)+xca(4))/2 (xca(4)+xca(1))/2 (xca(1)+xca(2)+xca(3)+xca(4))/4]; ycoorda=[yca (yca(1)+yca(2))/2 (yca(2)+yca(3))/2 (yca(3)+yca(4))/2 (yca(4)+yca(1))/2 (yca(1)+yca(2)+yca(3)+yca(4))/4]; x0a=xcoorda(1,9); ka=ka0*(1-anpha*(x0a/Lxa)^n); ca=ca0*(1-anpha*(x0a/Lxa)^n); %=================================== Phụ lục 95 xcoordc=[xcc (xcc(1)+xcc(2))/2 (xcc(2)+xcc(3))/2 (xcc(3)+xcc(4))/2 (xcc(4)+xcc(1))/2 (xcc(1)+xcc(2)+xcc(3)+xcc(4))/4]; ycoordc=[ycc (ycc(1)+ycc(2))/2 (ycc(2)+ycc(3))/2 (ycc(3)+ycc(4))/2 (ycc(4)+ycc(1))/2 (ycc(1)+ycc(2)+ycc(3)+ycc(4))/4]; x0c=xcoordc(1,9); kf=kf0*(1-anpha*(x0c/Lxc)^n); cf=cf0*(1-anpha*(x0c/Lxc)^n); K1a=zeros(edof,edof); Ka=zeros(edof,edof); Ma=zeros(edof,edof); Ca=zeros(edof,edof); %=========================== K1c=zeros(edof,edof); Kc=zeros(edof,edof); Mc=zeros(edof,edof); Cc=zeros(edof,edof); %==================== K1=zeros(edof,edof); K=zeros(edof,edof); M=zeros(edof,edof); C=zeros(edof,edof); %% Numerical integration -for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); % Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2a]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoorda,ycoorda); % compute Jacobian of the first plate [jacob2c]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoordc,ycoordc); % compute Jacobian of the second plate detjacoba=det(jacob2a); % determinant of Jacobian of the first plate detjacobc=det(jacob2c); % determinant of Jacobian of the second plate invjacoba=jacob2a\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the first plate invjacobc=jacob2c\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the second plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2N dr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacoba);%derivatures in physic coordinate of the first plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2N dr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacobc);%derivatures in physic coordinate of the second plate [Bba,Bsa,Nwa, dNwadr, Na, dNadr, d2Nadr2]=memkine2da(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); [Bbc,Bsc,Nwc, dNwcdr, Nc, dNcdr, d2Ncdr2]=memkine2dc(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); K1a=K1a+(Bba'*Dba*Bba+Bsa'*Dsa*Bsa+vo^2*Na'*ma*d2Nadr2+ka*Nwa'*Nwa- Phụ lục 96 ka*Nwa'*Nwc-ca*vo*Nwa'*dNwadr+ca*vo*Nwa'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacoba;% element stiffness matrix of the first plate at initial time K1c=K1c+(Bbc'*Dbc*Bbc+Bsc'*Dsc*Bsc+vo^2*Nc'*mc*d2Ncdr2+kf*Nwc'*Nwcka*Nwc'*Nwa+ka*Nwc'*Nwc+ca*vo*Nwc'*dNwadrca*vo*Nwc'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacobc; % element stiffness matrix of the second plate at initial time Ka=Ka+(Bba'*Dba*Bba+Bsa'*Dsa*Bsa+v^2*Na'*ma*d2Nadr2+ka*Nwa'*Nwaka*Nwa'*Nwc-ca*v*Nwa'*dNwadr+ca*v*Nwa'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacoba; % element stiffness matrix of the first plate Kc=Kc+(Bbc'*Dbc*Bbc+Bsc'*Dsc*Bsc+v^2*Nc'*mc*d2Ncdr2+kf*Nwc'*Nwccf*v*Nwc'*dNwcdr-ka*Nwc'*Nwa+ka*Nwc'*Nwc+ca*v*Nwc'*dNwadrca*v*Nwc'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacobc; % element stiffness matrix of the second plate Ma=Ma+(Na'*ma*Na)*wtx*wty*detjacoba; % element mass matrix of the first plate Mc=Mc+(Nc'*mc*Nc)*wtx*wty*detjacobc; % element mass matrix of the second plate Ca=Ca+(-2*v*Na'*ma*dNadr+ca*Nwa'*Nwaca*Nwa'*Nwc)*wtx*wty*detjacoba; % element damping matrix of the first plate Cc=Cc+(-2*v*Nc'*mc*dNcdr+cf*Nwc'*Nwcca*Nwc'*Nwa+ca*Nwc'*Nwc)*wtx*wty*detjacobc; % element damping matrix of the second plate end end %Stiffness, mass, damping matrix of plate K1=K1a+K1c; % element stiffness matrix of the multi-layer plate at initial time K=Ka+Kc; % element stiffness matrix of the multi-layer plate M=Ma+Mc; % element mass matrix of the multi-layer plate C=C+Ca+Cc;% element damping matrix of the multi-layer plate KOS1(index,index)=KOS1(index,index)+K1; KOS(index,index)=KOS(index,index)+K; MOS(index,index)=MOS(index,index)+M; COS(index,index)=COS(index,index)+C; end %% Load vector -FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nxa+1)*nya+3*nxa/2+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate STEP =0; FOS1=zeros(sdof,1); FOS1(3*((2*nxa+1)*nya+3*nxa/2+1)-2,1)=-f; % load's position at the middle of the center line of the first plate %% Boudary condition -option='C-C-C-C';% maping to infinity for clamped edge % First plate [ bcdofa ] = boundary_condition_a( nxa,nya,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofa ); Phụ lục 97 % Second plate [ bcdofc ] = boundary_condition_c( nxc,nyc,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofc ); %% Displacement at initial time yini1=KOS1\FOS1; y=zeros(sdof,to/deltat); y1d=zeros(sdof,to/deltat); y2d=zeros(sdof,to/deltat); yini=zeros(sdof,1);% the initial displacement of the system for i=1:sdof yini(i)=yini1(i); end y(:,1)=yini; % : denotes an entire row or column %y=yini %u=min(y) %% Newmark constant beta=1/4; alpha=1/2; a0=1/(beta*deltat^2); a1=alpha/(beta*deltat); a2=1/(beta*deltat); a3=1/(2*beta)-1; a4=alpha/beta-1; a5=deltat/2*(alpha/beta-2); a6=deltat*(1-alpha); a7=alpha*deltat; tt=0:deltat:to-deltat; h=0; step=0; for i=1:(to-deltat)/deltat fprintf('STEP=%d/%d',i,(to-deltat)/deltat); y(:,i+1)=y(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i); y2d(:,i+1)=y2d(:,i); h=h+deltat; for j=1:10000000 d1=y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d2=y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d3=y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d4=y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); d5=y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); d6=y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nxa+1)*nya+3*nxa/2+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate with changeable intensity KK=KOS+a0*MOS+a1*COS; FF=FOS+MOS*(a0*y(:,i)+a2*y1d(:,i)+a3*y2d(:,i))+COS*(a1*y(:,i)+a4*y1d(: ,i)+a5*y2d(:,i)); [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdofa );% apply boundary for clamped edge mapping to infinity [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdofc );% apply boundary for clamped edge mapping to infinity Phụ lục 98 y(:,i+1)=KK\FF; y2d(:,i+1)=a0*(y(:,i+1)-y(:,i))-a2*y1d(:,i)-a3*y2d(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i)+a6*y2d(:,i)+a7*y2d(:,i+1); e1=abs((y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d1)/d1); e2=abs((y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d2)/d2); e3=abs((y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d3)/d3); e4=abs((y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d4)/d4); e5=abs((y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d5)/d5); e6=abs((y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d6)/d6); step=step+1; if e1