Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền pasternak dưới tác dụng của tải trọng chuyển động không đều sử dụng phương pháp phần tử tấm nhiều lớp chuyển động mpmm (multi layer plate moving method)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN NGỌC PHÚT PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN PASTERNAK DƢỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG ĐỀU SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ TẤM NHIỀU LỚP CHUYỂN ĐỘNG MPMM (MULTI-LAYER PLATE MOVING METHOD) Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình dân dụng cơng nghiệp Mã số ngành: 60 58 02 08 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2020 CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hƣớng dẫn khoa học: Cán hƣớng dẫn 1: TS Cao Tấn Ngọc Thân Cán hƣớng dẫn 2: PGS.TS Lƣơng Văn Hải Cán chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Tấn Cƣờng Cán chấm nhận xét 2: TS Thái Sơn Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ Trƣờng Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP HCM, ngày 30 tháng 12 năm 2020 Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm: PGS TS Hồ Đức Duy Chủ tịch hội đồng TS Nguyễn Hồng Ân Thƣ ký TS Nguyễn Tấn Cƣờng Ủy viên Phản biện TS Thái Sơn Ủy viên Phản biện TS Hồ Thu Hiền Ủy viên CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN NGỌC PHÚT MSHV: 1670578 Ngày, tháng, năm sinh: 06/4/1987 Nơi sinh: Bến Tre Chuyên ngành: Xây dựng cơng trình dân dụng cơng nghiệp Mã số ngành: 60 58 02 08 TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích ứng xử nhiều lớp Pasternak dƣới tác dụng tải trọng chuyển động không sử dụng phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MPMM (Multi-Layer Plate Moving Method) (Dynamic analysis of multi-layer plate resting on Pasternak foundation subjected to moving load with non-uniform motion using MPMM method.) I NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Sử dụng mơ hình tính tốn phần tử chuyển động để phân tích ứng xử nhiều lớp Pasternak dƣới tác dụng tải trọng chuyển động không sử dụng phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MPMM Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab để xây dựng chƣơng trình tính tốn Các ví dụ số đƣợc thực nhận xét ứng xử đƣợc trình bày II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 05/9/2019 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 20/12/2020 IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 1: TS Cao Tấn Ngọc Thân V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 2: PGS.TS Lƣơng Văn Hải TP HCM, ngày 21 tháng 12 năm 2020 CÁN BỘ HƢỚNG DẪN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN CHỦ NHIỆM CHUYÊN NGÀNH ĐÀO TẠO TS Cao Tấn Ngọc Thân PGS.TS Lƣơng Văn Hải TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ cuối khóa trang bị cho Học viên cao học khả nghiên cứu, giải vấn đề thực tế nghành xây dựng trách nhiệm, niềm tự hào học viên Suốt trình thực hồn thành Luận văn này, tơi cám ơn thầy PGS.TS Lƣơng Văn Hải đƣa ý tƣởng để tơi tìm hiểu nghiên cứu đề tài hƣớng dẫn nghiên cứu khoa học Tiếp theo, xin gửi lời cảm ơn đến Thầy TS Cao Tấn Ngọc Thân giúp đỡ nhiều trình thực hồn thành đề tài Luận văn thạc sĩ Cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ Thuật Xây dựng, Trƣờng Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh dạy cho tơi kiến thức q trình học tập mơn học, tảng kiến thức sâu rộng giúp nhiều trình thực đề tài Luận văn thạc sĩ tơi thực hồn thành với tập trung thực hiện, cố gắng phấn đấu nỗ lực thân Tuy nhiên, hiểu biết thân chƣa sâu, rộng số hạn chế định nên q trình thực khơng tránh đƣợc thiếu sót Tơi mong q Thầy Cô dạy thêm để bổ sung kiến thức ngành xây dựng hoàn thiện thân Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô./ TP HCM, ngày 21 tháng 12 năm 2020 Nguyễn Ngọc Phút iii TĨM TẮT PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN PASTERNAK DƢỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG ĐỀU SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ TẤM NHIỀU LỚP CHUYỂN ĐỘNG MPMM (MULTI-LAYER PLATE MOVING METHOD) Ngày nay, nhu cầu di chuyển ngƣời vận chuyển hàng hóa ngày cao, đặc biệt tuyến đƣờng huyết mạch thành phố Hồ Chí Minh tỉnh Đồng sông Cửu Long Xu hƣớng làm kết cấu đƣờng bê tông, đƣờng cao tốc việc sử dụng kết cấu mặt đƣờng bê tông sân bay rộng rãi đƣợc quan tâm nhiều nhà nghiên cứu toán khảo sát ứng xử nhiều lớp chịu tải trọng chuyển động không chƣa đƣợc thực Luận văn tập trung phân tích ứng xử nhiều lớp Pasternak dƣới tác dụng tải trọng chuyển động không sử dụng phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động (Multi-Layer Plate Moving Method - MPMM) Luận văn thiết lập ma trận khối lƣợng, ma trận độ cứng, ma trận cản cho kết cấu nhiều lớp, đồng thời phân tích ứng xử nhiều lớp Pasternak dƣới tác dụng tải trọng chuyển động không đều, xét ảnh hƣởng thông số quan trọng đến ứng xử nhƣ: thông số nền, thông số vật liệu tấm, tải trọng, gia tốc tải trọng… Các kết nghiên cứu luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho nghiên cứu chuyên sâu sau iv ABSTRACT DYNAMIC ANALYSIS OF MULTI-LAYER PLATE RESTING ON PASTERNAK FOUNDATION SUBJECTED TO MOVING LOAD WITH NON-UNIFORM MOTION USING MPMM METHOD Nowadays, the need of people to move to and from and transport goods is increasingly higher and higher, especially the arterial roads in Ho Chi Minh City and the Mekong Delta provinces The trend of making concrete road structures, expressways and the use of concrete pavement structures in airports is also very widespread and is attracting the attention of many researchers and surveying the responses of Multi-Layer Plate Moving Method subjected to irregular motion loads have also not been introduced This thesis focuses on analyzing the responses of multilayer plates on Pasternak substrates under the effect of uneven motion loads using the Multi-Layer Plate Moving Method (MPMM) The thesis will establish mass, hardness, and resistance matrices for laminated sheet structures, and analyze the responses of multilayer plates on Pasternak under the effect of unbalanced motion loads, considering the influence of important parameters on the behavior of the plate such as: substrate parameter, plate material parameters, load, load acceleration The research results in the thesis can be one of the useful references for further research in the future v LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng việc tơi thực dƣới hƣớng dẫn thầy PGS TS Lƣơng Văn Hải thầy TS Cao Tấn Ngọc Thân Các kết Luận văn thật chƣa đƣợc công bố nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm cơng việc thực TP HCM, ngày 21 tháng 12 năm 2020 Nguyễn Ngọc Phút vi MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i LỜI CẢM ƠN ii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii LỜI CAM ĐOAN v MỤC LỤC vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ix DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU .xii MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xiv CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu 1.2 Tình hình nghiên cứu tính cấp thiết đề tài 1.2.1 Các công trình nghiên cứu giới 1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu nƣớc 1.3 Mục tiêu hƣớng nghiên cứu 1.4 Cấu trúc Luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Lý thuyết Mindlin 2.1.1 Giới thiệu tổng quát .9 2.1.2 Biến dạng mối quan hệ biến dạng chuyển vị .12 2.1.3 Biến dạng mối quan hệ ứng suất – biến dạng .13 2.1.4 Quan hệ ứng suất biến dạng 15 2.1.5 Phƣơng trình lƣợng 15 2.2 Phần tử đẳng tham số 16 2.2.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số 16 2.2.2 Phép tích phân số - Phép cầu phƣơng Gauss 19 2.2.3 Thiết lập công thức ma trận kết cấu nhiều lớp Pasternak sử dụng phƣơng pháp MMPM 20 vii 2.2.4 Giải pháp thực 33 2.5 Phƣơng pháp Newmark 33 2.6 Thuật toán sử dụng Luận văn 35 2.6.1 Thông số đầu vào 35 2.6.2 Giải toán theo dạng chuyển vị 37 2.6.3 Giải toán theo dạng gia tốc 37 2.6.4 Độ ổn định hội tụ theo phƣơng pháp Newmark .37 2.7 Lƣu đồ tính tốn 38 CHƢƠNG KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 40 3.1 Kiểm chứng chƣơng trình Matlab 42 3.1.1 Bài tốn 1a: Phân tích ứng xử Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng tĩnh xem xi măng đá cứng vô 42 3.1.2 Bài tốn 1b: Phân tích ứng xử Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động xem xi măng đá cứng vô 47 3.2 Phân tích động lực học Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động 49 3.2.1 Bài toán 2: Khảo sát hội tụ toán 49 3.2.2 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng chuyển động không tỉ số độ cứng lớp liên kết hai thay đổi 51 3.2.3 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasterbak chịu tác dụng tải trọng chuyển động không tỉ số độ cản lớp liên kết hai thay đổi 56 3.2.4 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng di động không tỉ số module đàn hồi hai thay đổi 61 3.2.5 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động tỉ số chiều dày hai thay đổi 66 viii 3.2.6 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng di động không vận tốc lực di động V thay đổi 71 3.2.7 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng chuyển động không giá trị lực di động P thay đổi 73 3.2.8 Bài tốn 9: Phân tích ứng xử nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng chuyển động có gia tốc .75 3.2.9 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng chuyển động với pha tải khác 77 CHƢƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 80 4.1 Kết luận 80 4.2 Kiến nghị 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 PHỤ LỤC 86 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 96 Tài liệu tham khảo 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] http://nataliewarnert.com/ux-runway/ [2] https://en.wikipedia.org/wiki/Ontario_Highway_115 [3] X S Cheng, Dynamic response of plates on elastic foundations due to moving load, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol 8, No 4, pp 355–365, Apr 1987 [4] J S Wu, M L Lee and T S Lai, The dynamic analysis of flat plate under a moving load by the finite element method, International Journal of Numbers Methods in Engineering, Vol 24, pp 743–762, 1987 [5] M R Taheri and E C Teng, Dynamic response of plates to moving loads: structural impedance method, Computers of Structures, Vol 33, No 6, pp 1379–1393, 1989 [6] M R Taheri and E C Teng, Dynamic response of plates to moving loads: finite element method, Computers of Structures, Vol 34, No 3, pp 509–521, 1990 [7] G Pan and S N Atluri, Dynamic response of finite sized elastic runways subjected to moving loads: a couple BEM/FEM approach, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 38, pp 3143–3167, 1995 [8] J A Gbadeyan and S T Oni, Dynamic behavior of beams and rectangular plates under moving loads, Journal of Sound and Vibration 182(5) (1995) 677–695 [9] J A Gbadeyan and M.S Dada, Dynamic response of Mindlin elastic rectangular plate under a distributed moving mass, International Journal of Mechanical Sciences 48 (2006) 323–340 [10] L Sun, Dynamic response of Kirchhoff plate on viscoelastic foundation to harmonic circular loads, Journal of Applied Mechanics, Vol 70, pp 595– 600, July 2003 Tài liệu tham khảo [11] 83 L Sun, Dynamic of plate generated by moving harmonic loads, Journal of Applied Mechanics 72 (2005) 772–777 [12] S M Kim, Buckling and vibration of plate on elastic foundation subjected to in-plane compression and moving loads, International Journal of Solids and Structures 41 (2004) 5647–5661 [13] Y Xiang, C M Wang and S Kitipornchai, Exact vibration solution for initially stressed Mindlin plates on pasternak foundations, International Journal of Mechanical Sciences, Vol 36, No 4, pp 311–316, 1994 [14] K M Liew, J B Han, Z M Xiao and H Du, Differential quadrature method for Mindlin plates on winkler foundations, International Journal of Mechanical Sciences, Vol 38, No 4, pp 405–421, 1996 [15] K Al-Hosani, S Fadhil and A El-Zafrany, Fundamental solution and boundary element analysis of thick plates on winkler foundation, Journal of Computer & Structures 70 (1999) 325–336 [16] M H Huang and D P Thambiratnam, Deflection response of plate on winkler foundation to moving accelerated loads, Engineering Structures 23 (2001) 1134–1141 [17] O Civalek and M H Acar, Discrete singular convolution method for the analysis of Mindlin plates on elastic foundations, International Journal of Pressure Vessels and Piping 84 (2007) 527–535 [18] O Civalek, Nonlinear analysis of thin rectangular plates on WinklerPasternak elastic foundations by DSC-HDQ methods, Journal of Applied Mathematical Modelling 31 (2007) 606–624 [19] Y Xing, B Liu, Closed form solutions for free vibrations of rectangular Mindlin plates, Journal of Acta Mechanica Sinica 25 (2009) 689–698 [20] M Li, T Quian, Y Zhong and H Zong, Dynamic response of rectangular plate subjected to moving load with variable velocity, Journal of Engineering Mechanics (2013) 1943–7889 [21] C G Koh, G H Chiew and C C Lim, A numerical method for moving load on continuum, Journal of Sound and Vibration 300 (2007) 126–138 Tài liệu tham khảo [22] 84 K K Ang, M T Tran and V H Luong, Track vibrations during accelerating and decelerating phases of high-speed rails, The Thirteenth East Asia-Pacific Conference on Structural Engineering and Construction EASEC–13, 11–13/09/2013, Sapporo, Japan [23] K K Ang, D Jian, M T Tran and V H Luong, Analysis of high-speed rail accounting for jumping wheel phenomenon, International Journal of Computational Methods, Vol 11, No (2014) 1343007 [24] M T Tran, K K Ang and V H Luong, Dynamic analysis of high-speed rail system on two-parameter elastic damped foundation, International Conference on Advanced Computing and Applications ACOMP, 23– 25/10/2013, Ho Chi Minh City, Vietnam [25] X Lei and J Wang, Dynamic analysis of the train and slab track coupling system with finite elements in a moving frame of reference, Journal of Vibration and Control 0(0) (2013) 1–17 [26] Nguyễn Tấn Cƣờng, Phân tích dao động đàn nhớt xét đến khối lượng vật chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2011 [27] Lƣơng Văn Hải, Đinh Hà Duy, Trần Minh Thi, Phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong ray tƣơng tác với đất sử dụng phƣơng pháp phần tử chuyển động, Tạp chí Xây dựng, (2013) 57–59 [28] Lê Tuấn Anh, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét độ nảy bánh xe tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2013 [29] Đinh Hà Duy, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong ray tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2013 [30] Đặng Nguyễn Thiên Thu, Phân tích động lực học tàu cao tốc sử dụng phần tử dầm nhiều lớp chuyển động có xét đến tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Mở Tp.HCM, 2014 [31] Võ Hồng Nhi, Phân tích động lực học Mindlin đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 Tài liệu tham khảo [32] 85 Bùi Văn Nhựt, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc mơ hình 3-D sử dụng phương pháp phần tử chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 Phụ lục 86 PHỤ LỤC Phụ lục:Một số đoạn mã lập trình Matlab Chƣơng trình tốn phân tích ứng xử động clc close all format long %% Multi-layer plate parameters -% First plate Lxa=25;% length of x direction (m) Lya=10;% length of y direction (m) nxa=10;% (columns) number of element along x direction nya=5;% (rows) number of element along y direction lxa=Lxa/nxa;% side length of x direction lya=Lya/nya;% side length of y direction % Second plate Lxc=20;% length of x direction (m) Lyc=10;% length of y direction (m) nxc=nxa;% (columns) number of element along x direction nyc=nya;% (rows) number of element along y direction lxc=Lxc/nxc;% side length of x direction lyc=Lyc/nyc;% side length of y direction ndof=3;% numder of DOFs per node nnel=9;% number of nodes per element nela=nxa*nya;% total element of the first plate nelc=nxc*nyc;% total element of the second plate nel=nela+nelc;% total element of the multi-layer plate nnodea=(2*nxa+1)*(2*nya+1);% total number of nodes in the first plate nnodec=(2*nxc+1)*(2*nyc+1);% total number of nodes in the second plate nnode=nnodea+nnodec;% total number of nodes in the multi-layer plate edofa=nnel*ndof;% DOFs per the first plate's element edofc=nnel*ndof;% DOFs per the second plate's element edof=edofa+edofc;% DOFs per the multi-layer plate's element sdofa=nnodea*ndof;% total of the first plate DOFs sdofc=nnodec*ndof;% total of the first plate DOFs sdof=sdofa+sdofc; % total of the multi-layer plate DOFs kapa=5/6; % shear correction factor % First plate Eamodule=3.1*10^10;% Young's modulus (N/m2) nuya=0.15;% poison's ratio roa=2400;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) ta=0.22;% thickness of the plate (m) Ga=Eamodule/2/(1+nuya); % flexural rigidity of the plate Da=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2); % shear modulus Phụ lục 87 % Second plate Ecmodule=1.5*10^9;% Young's modulus (N/m2) nuyc=0.25;% poison's ratio roc=2300;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) tc=0.18;% thickness of the plate (m) Gc=Ecmodule/2/(1+nuyc); % flexural rigidity of the plate Dc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2); % shear modulus %% Load parameters f=90000;% load (N) vo=0;% initial velocity of load(m/s) a=100;% acceleration (m/s2) %omega=15; %% Parameters -% First plate ka=1.62e8; %(N/m3) ksa=1e9; ca=1.75e6; %(N.s/m3) % Second plate kf=1.42e7; %(N/m3) ksf=1e9; cf=3.79e5; %(N.s/m3) %% Matrix containing the density of the material and thickness % First plate ma=roa*[ta 0; ta^3/12 0; 0 ta^3/12]; % Second plate mc=roc*[tc 0; tc^3/12 0; 0 tc^3/12]; %% Material matrix related to bending deformation and shear deformation -% First plate Dba=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2)*[1 nuya 0; nuya 0; 0 (1-nuya)/2]; Dsa=Eamodule*ta*kapa/2/(1+nuya)*[1 0; 1]; % Second plate Dbc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2)*[1 nuyc 0; nuyc 0; 0 (1-nuyc)/2]; Dsc=Ecmodule*tc*kapa/2/(1+nuyc)*[1 0; 1]; %% Newmark tolerance tole=10^(-6); % tolerance to=9;% total analysis time (s) tt1=3; tt3=tt1; tt2=to-tt1-tt3; deltat=0.01;% time step Phụ lục 88 %% Mindlin Plate meshing [gcoorda,elea]=mesh2d_rectq9a(Lya,nxa,nya,lxa,lya); % First plate [gcoordc,elec]=mesh2d_rectq9c(Lyc,nxc,nyc,lxc,lyc); % Second plate %% Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;% 3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;% number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); %% Loop for the total number of elements % First plate for iel=1:nela for i=1:4 nd_cornera(i)=elea(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),1); % extract x value of the node yca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),2); % extract y value of the node end xcoorda=[xca (xca(1)+xca(2))/2 (xca(2)+xca(3))/2 (xca(3)+xca(4))/2 (xca(4)+xca(1))/2 (xca(1)+xca(2)+xca(3)+xca(4))/4]; ycoorda=[yca (yca(1)+yca(2))/2 (yca(2)+yca(3))/2 (yca(3)+yca(4))/2 (yca(4)+yca(1))/2 (yca(1)+yca(2)+yca(3)+yca(4))/4]; end % Second plate for iel=1:nelc for i=1:4 nd_cornerc(i)=elec(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xcc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),1); % extract x value of the node ycc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),2); % extract y value of the node end xcoordc=[xcc (xcc(1)+xcc(2))/2 (xcc(2)+xcc(3))/2 (xcc(3)+xcc(4))/2 (xcc(4)+xcc(1))/2 (xcc(1)+xcc(2)+xcc(3)+xcc(4))/4]; ycoordc=[ycc (ycc(1)+ycc(2))/2 (ycc(2)+ycc(3))/2 (ycc(3)+ycc(4))/2 (ycc(4)+ycc(1))/2 (ycc(1)+ycc(2)+ycc(3)+ycc(4))/4]; end K1=zeros(edof,edof); K1a=zeros(edof,edof); K1c=zeros(edof,edof); %% Numerical integration for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); % Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2a]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoorda,ycoorda); % compute Jacobian of the first plate [jacob2c]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoordc,ycoordc); % compute Jacobian of the second plate detjacoba=det(jacob2a); % determinant of Jacobian of the first plate detjacobc=det(jacob2c); % determinant of Jacobian of the second plate invjacoba=jacob2a\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the first plate Phụ lục invjacobc=jacob2c\eye(2,2); 89 % inverse of Jacobian matrix of the second plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Nds2,d2N drds,d2Ndsdr,invjacoba);%derivatures in physic coordinate of the first plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Nds2,d2N drds,d2Ndsdr,invjacobc);%derivatures in physic coordinate of the second plate [Bba,Bsa,Nwa, dNwadr, d2Nwadr2, d2Nwads2, Na, dNadr, d2Nadr2]=memkine2da(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); [Bbc,Bsc,Nwc, dNwcdr, d2Nwcdr2, d2Nwcds2, Nc, dNcdr, d2Ncdr2]=memkine2dc(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); K1a=K1a+(Bba'*Dba*Bba+Bsa'*Dsa*Bsa+vo^2*Na'*ma*d2Nadr2+ka*Nwa'*Nwaka*Nwa'*Nwc-ksa*Nwa'*d2Nwadr2ksa*Nwa'*d2Nwads2+ksa*Nwa'*d2Nwcdr2+ksa*Nwa'*d2Nwcds2ca*vo*Nwa'*dNwadr+ca*vo*Nwa'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacoba;% element stiffness matrix of the first plate at initial time K1c=K1c+(Bbc'*Dbc*Bbc+Bsc'*Dsc*Bsc+vo^2*Nc'*mc*d2Ncdr2+kf*Nwc'*Nwcksf*Nwc'*d2Nwcdr2-ksf*Nwc'*d2Nwcds2-ka*Nwc'*Nwa+ka*Nwc'*Nwc-ksa*Nwc'*d2Nwcdr2ksa*Nwc'*d2Nwcds2+ksa*Nwc'*d2Nwadr2+ksa*Nwc'*d2Nwads2+ca*vo*Nwc'*dNwadrca*vo*Nwc'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacobc; % element stiffness matrix of the second plate at initial time end end K1=K1a+K1c; % element stiffness matrix of the multi-layer plate at initial time %% Stiffness, mass, damping matrix of the multi-layer plate -KOS1=zeros(sdof,sdof); for i=1:nya for j=1:nxa ie=nxa*(i-1)+j; ele(ie,1)=2*ie-1+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,2)=2*ie+1+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,3)=2*ie-1+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,4)=2*ie-3+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,5)=2*ie+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,6)=2*ie+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,7)=2*ie-2+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,8)=2*ie-2+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,9)=2*ie-1+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,10)=2*ie-1+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,11)=2*ie+1+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,12)=2*ie-1+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,13)=2*ie-3+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,14)=2*ie+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,15)=2*ie+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,16)=2*ie-2+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,17)=2*ie-2+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,18)=2*ie-1+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ix=memindexosm(ele(ie,:),nnel,ndof); [KOS1]=hpsystemmatrix(KOS1,K1,ix); %[KOS,MOS,COS]=hpmatrix(KOS,MOS,COS,K,M,C,ix); end end %% Load vector STEP =0; Phụ lục 90 FOS1=zeros(sdof,1); FOS1(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f; % load's position at the middle of the center line of the first plate %% Boudary condition option='C-C-C-C';% maping to infinity for clamped edge % First plate [ bcdofa ] = boundary_condition_a( nxa,nya,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofa ); % Second plate [ bcdofc ] = boundary_condition_c( nxc,nyc,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofc ); %% Displacement at initial time -yini1=KOS1\FOS1; y=zeros(sdof,to/deltat); y1d=zeros(sdof,to/deltat); y2d=zeros(sdof,to/deltat); yini=zeros(sdof,1);% the initial displacement of the system for i=1:sdof yini(i)=yini1(i); end y(:,1)=yini; % : denotes an entire row or column %% Newmark constant -beta=1/4; alpha=1/2; a0=1/(beta*deltat^2); a1=alpha/(beta*deltat); a2=1/(beta*deltat); a3=1/(2*beta)-1; a4=alpha/beta-1; a5=deltat/2*(alpha/beta-2); a6=deltat*(1-alpha); a7=alpha*deltat; tt=0:deltat:to-deltat; h=0; dur=0; vmax=a*tt1; step=0; for i=1:(to-deltat)/deltat dur=dur+deltat; if dur