Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền pasternak chịu tải trọng điều hòa di chuyển sử dụng phương pháp mmpm (multi player moving plate method mmpm)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN TƢỜNG DUY PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN PASTERNAK CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA DI CHUYỂN SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP MMPM (MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD-MMPM) Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình dân dụng cơng nghiệp Mã số ngành: 60580208 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2020 CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hƣớng dẫn khoa học: Cán hƣớng dẫn 1: TS Cao Tấn Ngọc Thân Cán hƣớng dẫn 2: PGS TS Lƣơng Văn Hải Cán chấm nhận xét 1: PGS.TS Nguyễn Trọng Phƣớc Cán chấm nhận xét 2: TS Thái Sơn Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ Trƣờng Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 30 tháng 12 năm 2020 Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch hội đồng: PGS.TS Hồ Đức Duy Thƣ ký hội đồng: TS Nguyễn Hồng Ân Ủy viên phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Trọng Phƣớc Ủy viên phản biện 2: TS Thái Sơn Ủy viên hội đồng: TS Nguyễn Tấn Cƣờng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN TƢỜNG DUY MSHV: 1670968 Ngày, tháng, năm sinh: 17/01/1984 Nơi sinh: Bến Tre Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình dân dụng cơng nghiệp Mã số ngành: 60580208 I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích ứng xử nhiều lớp Pasternak chịu tải trọng điều hòa di chuyển sử dụng phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) Dynamic analysis of multi-layer plate resting on a Pasternak foundation subjected to moving harmonic loads using MMPM (Multi-layer moving plate method) II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Sử dụng mơ hình tính tốn phƣơng pháp MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) để phân tích ứng xử nhiều lớp Pasternak chịu tải trọng điều hịa di chuyển Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab để xây dựng chƣơng trình tính tốn Các ví dụ số đƣợc thực nhận xét ứng xử đƣợc trình bày đƣa kết luận quan trọng ứng xử III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 05/9/2019 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/12/2020 V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 1: TS Cao Tấn Ngọc Thân VI HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 2: PGS TS Lƣơng Văn Hải TP Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 12 năm 2020 CÁN BỘ HƢỚNG DẪN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN TS Cao Tấn Ngọc Thân PGS.TS Lƣơng Văn Hải CHỦ NHIỆM CHUYÊN NGÀNH ĐÀO TẠO TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng cơng trình dân dụng công nghiệp nằm hệ thống luận cuối khóa nhằm trang bị cho Học viên cao học khả tự nghiên cứu, giải vấn đề cụ thể đặt thực tế xây dựng… Đó trách nhiệm vinh dự học viên cao học Để hoàn thành Luận văn này, cố gắng nỗ lực thân, nhận đƣợc giúp đỡ nhiều từ tập thể cá nhân Tôi xin ghi nhận tỏ lòng biết ơn đến tập thể cá nhân dành cho tơi giúp đỡ q báu Đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Lƣơng Văn Hải Thầy đƣa gợi ý để hình thành nên ý tƣởng đề tài Thầy hƣớng dẫn cho tơi cách nhìn nhận vấn đề nghiên cứu, nhƣ cách tiếp cận để giải vấn đề Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy TS Cao Tấn Ngọc Thân tận tình giúp đỡ hƣớng dẫn cho tơi q trình thực Luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ Thuật Xây dựng, trƣờng Đại học Bách Khoa Tp.HCM truyền dạy kiến thức quý giá cho tơi q trình học tập nghiên cứu Luận văn thạc sĩ hoàn thành thời gian quy định, trình thực Luận văn thân cố gắng nghiên cứu hoàn thiện, nhiên q trình thực khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ dẫn thêm để tơi bổ sung kiến thức hồn thiện thân Xin trân trọng cảm ơn TP Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 12 năm 2020 Nguyễn Tƣờng Duy iii TĨM TẮT PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN PASTERNAK CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA DI CHUYỂN SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ TẤM NHIỀU LỚP CHUYỂN ĐỘNG MMPM (MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD) Cùng với phát triển kinh tế nhu cầu vận chuyển hàng hóa nhƣ ngƣời ngày tăng, hệ thống đƣờng băng đƣờng cao tốc đƣợc quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới nhƣ Nhật Bản, Pháp, Mỹ, Trung Quốc, Hàn Quốc, Anh… Hiện hệ thống mặt đƣờng đại đƣợc nhiều nƣớc giới xây dựng, kể Việt Nam Các nghiên cứu trƣớc thƣờng mơ hình kết cấu gồm lớp đặt đàn hồi hay đàn nhớt Tuy nhiên đƣờng cao tốc, đƣờng băng thƣờng cấu tạo bao gồm nhiều lớp có tƣơng tác qua lại lẫn nên điểm Luận văn mơ xác kết cấu áo đƣờng nhiều lớp xét đến tƣơng tác lớp Luận văn tập trung phân tích ứng xử nhiều lớp Pasternak chịu tải trọng điều hòa di chuyển sử dụng phƣơng pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) Sử dụng phƣơng pháp MMPM, phần tử đƣợc xem nhƣ di chuyển tải trọng đƣợc xem đứng yên Cách thiết lập ma trận khối lƣợng, ma trận độ cứng ma trận cản cho hệ kết cấu nhiều lớp ma trận tổng thể cho toán động lực học nhiều lớp đƣợc trình bày Ngồi ra, ảnh hƣởng tƣơng tác qua lại với đất đƣợc khảo sát trình bày yếu tố quan trọng đến vận hành an toàn mặt đƣờng Các kết phân tích số đƣợc triển khai nhằm tìm hiểu ảnh hƣởng yếu tố quan trọng đến ứng xử nhiều lớp, ví dụ nhƣ vận tốc, độ dày, liên kết với nhau, độ cứng hệ số cản đất Các kết nghiên cứu Luận văn đóng góp cho cơng việc cho công việc thiết kế, thi công bảo trì cơng trình thực tế iv ABSTRACT DYNAMIC ANALYSIS OF MULTI-LAYER PLATE RESTING ON A PASTERNAK FOUNDATION SUBJECTED TO MOVING HARMONIC LOADS USING MMPM (MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD) Along with the development of the economy, the need to transport goods as well as people is increasing, so the runway and highway system is concerned about and researched by many scientists around the world such as Japan, France, America, China, Korea, UK… Currently, modern road surface systems have been built by many countries around the world, including Vietnam Previous studies have often been only model of the plate structure consisting of a layer placed on an elastic or viscous foundation However, highways and runways are often composed of many layers and have mutual interactions, so the new point of the thesis is to more accurately simulate the multi-layer pavement structure and consider the interaction between the layers This thesis focuses on analyzing the activities of the multi-layer plate on the Pasternak substrate under the motion conditioning load using MMPM (Multi-layer moving plate method) The use of the MMPM, where the plate elements will be viewed as moving and the load can be considered stationary How to establish mass, stiffness and resistance matrices for multi-layer plate structures and the overall matrix for the dynamic problem of multi-layer plates is presented In addition, the influence of the interaction between the plates and between the plates and the ground is also investigated and presented because this is one of the important factors in the safe operation of the pavement The results of numerical analysis have been developed to understand the effects of the important factors on the responses of the laminated sheet, such as speed, thickness, bonding between plates, hardness and coefficients bumpers of the ground The research results in the Thesis will contribute to the work of design, construction and maintenance of works in practice v LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng việc tơi thực dƣới hƣớng dẫn thầy PGS TS Lƣơng Văn Hải, TS Cao Tấn Ngọc Thân Các kết Luận văn thật chƣa đƣợc công bố nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm cơng việc thực TP Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 12 năm 2020 Nguyễn Tƣờng Duy vi MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i LỜI CẢM ƠN ii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii LỜI CAM ĐOAN v MỤC LỤC… vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ix DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU .xii MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xiv CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu 1.2 Tình hình nghiên cứu tính cấp thiết đề tài 1.2.1 Các cơng trình nghiên cứu giới 1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu nƣớc 1.3 Mục tiêu hƣớng nghiên cứu 1.4 Cấu trúc Luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Lý thuyết Mindlin 2.1.1 Giới thiệu tổng quát 2.1.3 Biến dạng mối quan hệ ứng suất – biến dạng 13 2.1.5 Phƣơng trình lƣợng .15 2.2 Phần tử đẳng tham số 15 2.2.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số .15 2.2.2 Hệ tọa độ địa phƣơng phần tử đẳng tham số Q9 .16 2.2.3 Phép tích phân số - Phép cầu phƣơng Gauss 18 2.3 Thiết lập công thức ma trận kết cấu nhiều lớp Pasternak sử dụng phƣơng pháp MMPM 19 2.4 Giải pháp thực 30 2.5 Phƣơng pháp Newmark 32 2.6 Lƣu đồ tính tốn 35 vii CHƢƠNG KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 36 3.1 Kiểm chứng chƣơng trình Matlab 38 3.1.1 Bài tốn 1a: Phân tích ứng xử Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng tĩnh xem xi măng đá cứng vô 38 3.1.2 Bài tốn 1b: Phân tích ứng xử Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động xem xi măng đá cứng vô .42 3.2 Phân tích động lực học Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động 44 3.2.1 Bài toán 2: Khảo sát hội tụ toán .44 3.2.2 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng di động tỉ số độ cứng lớp liên kết hai thay đổi 46 3.2.3 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng di động tỉ số độ cản lớp liên kết hai thay đổi 52 3.2.4 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng di động tỉ số module đàn hồi hai thay đổi 56 3.2.5 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng di động tỉ số chiều dày hai thay đổi .61 3.2.6 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động vận tốc lực di động V thay đổi 67 3.2.7 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak chịu tác dụng tải trọng di động giá trị lực di động P thay đổi .70 3.2.8 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động nhiều lớp Pasternak xét đến ảnh hƣởng hệ số kháng cắt k sc hệ số k sf 71 viii 3.2.9 Bài toán 10: Khảo sát chuyển vị nhiều lớp Pasternak tần số tải trọng điều hòa thay đổi 73 CHƢƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 75 4.1 Kết luận 75 4.2 Kiến nghị 76 PHỤ LỤC 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 91 Tài liệu tham khảo 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] http://nataliewarnert.com/ux-runway/ https://en.wikipedia.org/wiki/Ontario_Highway_115 X S Cheng, Dynamic response of plates on elastic foundations due to moving load, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol 8, No 4, pp 355–365, Apr 1987 J S Wu, M L Lee and T S Lai, The dynamic analysis of flat plate under a moving load by the finite element method, International Journal of Numbers Methods in Engineering, Vol 24, pp 743–762, 1987 M R Taheri and E C Teng, Dynamic response of plates to moving loads: structural impedance method, Computers of Structures, Vol 33, No 6, pp 1379–1393, 1989 M R Taheri and E C Teng, Dynamic response of plates to moving loads: finite element method, Computers of Structures, Vol 34, No 3, pp 509–521, 1990 G Pan and S N Atluri, Dynamic response of finite sized elastic runways subjected to moving loads: a couple BEM/FEM approach, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 38, pp 3143–3167, 1995 J A Gbadeyan and S T Oni, Dynamic behavior of beams and rectangular plates under moving loads, Journal of Sound and Vibration 182(5) (1995) 677–695 J A Gbadeyan and M.S Dada, Dynamic response of Mindlin elastic rectangular plate under a distributed moving mass, International Journal of Mechanical Sciences 48 (2006) 323–340 L Sun, Dynamic response of Kirchhoff plate on viscoelastic foundation to harmonic circular loads, Journal of Applied Mechanics, Vol 70, pp 595– 600, July 2003 L Sun, Dynamic of plate generated by moving harmonic loads, Journal of Applied Mechanics 72 (2005) 772–777 S M Kim, Buckling and vibration of plate on elastic foundation subjected to in-plane compression and moving loads, International Journal of Solids and Structures 41 (2004) 5647–5661 S M Kim and J M Roesset, Moving loads on a plate on elastic foundation, Journal of Engineering Mechanics 124(9) (1998) 1010–1017 M Zaman, M R Taheri and A Alvappillai, Dynamic response of a thick plate on viscoelastic foundation to moving loads, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol 15, pp 627–647, 1991 Y Xiang, C M Wang and S Kitipornchai, Exact vibration solution for initially stressed Mindlin plates on Pasternak foundations, International Journal of Mechanical Sciences, Vol 36, No 4, pp 311–316, 1994 Tài liệu tham khảo [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] 78 K M Liew, J B Han, Z M Xiao and H Du, Differential quadrature method for Mindlin plates on winkler foundations, International Journal of Mechanical Sciences, Vol 38, No 4, pp 405–421, 1996 K Al-Hosani, S Fadhil and A El-Zafrany, Fundamental solution and boundary element analysis of thick plates on winkler foundation, Journal of Computer & Structures 70 (1999) 325–336 M H Huang and D P Thambiratnam, Deflection response of plate on winkler foundation to moving accelerated loads, Engineering Structures 23 (2001) 1134–1141 O Civalek and M H Acar, Discrete singular convolution method for the analysis of Mindlin plates on elastic foundations, International Journal of Pressure Vessels and Piping 84 (2007) 527–535 O Civalek, Nonlinear analysis of thin rectangular plates on WinklerPasternak elastic foundations by DSC-HDQ methods, Journal of Applied Mathematical Modelling 31 (2007) 606–624 Y Xing, B Liu, Closed form solutions for free vibrations of rectangular Mindlin plates, Journal of Acta Mechanica Sinica 25 (2009) 689–698 M Li, T Quian, Y Zhong and H Zong, Dynamic response of rectangular plate subjected to moving load with variable velocity, Journal of Engineering Mechanics (2013) 1943–7889 A V Javad, N Ali, D R Mohammad and H E Mohsen Vibration analysis of Mindlin elastic plate under moving mass excitation by eigenfunction expansion method, Thin-Walled Structures 62 (2013) 53–64 C G Koh, J S Y Ong, D K H Chua and J Feng, Moving element method for train-track dynamics, International Journal for Numerical Methods in Engineering 56 (2003) 1549–1567 C G Koh, G H Chiew and C C Lim, A numerical method for moving load on continuum, Journal of Sound and Vibration 300 (2007) 126–138 K K Ang, M T Tran and V H Luong, Track vibrations during accelerating and decelerating phases of high-speed rails, The Thirteenth East Asia-Pacific Conference on Structural Engineering and Construction EASEC–13, 11–13/09/2013, Sapporo, Japan K K Ang, D Jian, M T Tran and V H Luong, Analysis of high-speed rail accounting for jumping wheel phenomenon, International Journal of Computational Methods, Vol 11, No (2014) 1343007 M T Tran, K K Ang and V H Luong, Dynamic analysis of high-speed rail system on two-parameter elastic damped foundation, International Conference on Advanced Computing and Applications ACOMP, 23– 25/10/2013, Ho Chi Minh City, Vietnam W T Xu, J H Lin, Y H Zhang, D Kennedy and F.W Williams, 2D moving element method for random vibration analysis of vehicles on Kirchhoff plate with Kelvin foundation, Latin American Journal of Solids and Structures, Vol 6, pp 169–183, 2009 Tài liệu tham khảo [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] 79 Nguyễn Tấn Cƣờng, Phân tích dao động đàn nhớt xét đến khối lượng vật chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2011 Đinh Hà Duy, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong ray tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2013 Lê Tuấn Anh, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét độ nảy bánh xe tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2013 Lƣơng Văn Hải, Đinh Hà Duy, Trần Minh Thi, Phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong ray tƣơng tác với đất sử dụng phƣơng pháp phần tử chuyển động, Tạp chí Xây dựng, (2013) 57–59 Bùi Văn Nhựt, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc mơ hình 3-D sử dụng phương pháp phần tử chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 Đặng Nguyễn Thiên Thu, Phân tích động lực học tàu cao tốc sử dụng phần tử dầm nhiều lớp chuyển động có xét đến tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Mở Tp.HCM, 2014 Võ Hồng Nhi, Phân tích động lực học Mindlin đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 E Reissner, The effect of tranverse shear deformation on the bending of elastic plates, Journal of Applied Mechanics ASCE 12 (1945) 69–77 R D Mindin, Influence of rotatory inertia and shear on flexural motion of isotropic elastic plates, Journal of the Engineering Mechanics Trans 73 (1951) 31–38 Võ Hồng Nhi, Phân tích động lực học Mindlin đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động (2014) Cao Tấn Ngọc Thân, Lƣơng Văn Hải, Nguyễn Trọng Phƣớc (2015) “ Phân tích ứng xửu động Mindlin Pasternak chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động” Ngƣời xây dựng, 10:113:118 Đỗ Duy Minh, Phân tích động lực học kết cấu dày nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phƣơng pháp MMPM (Multi-Layer Plate Moving Method), Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2016 Phụ lục 80 PHỤ LỤC Phụ lục A – Một số đoạn mã lập trình Matlab Chƣơng trình tốn phân tích ứng xử động clc close all format long %% Multi-layer plate parameters % First plate Lxa=20;% length of x direction (m) Lya=10;% length of y direction (m) nxa=20;% (columns) number of element along x direction nya=10;% (rows) number of element along y direction lxa=Lxa/nxa;% side length of x direction lya=Lya/nya;% side length of y direction % Second plate Lxc=20;% length of x direction (m) Lyc=10;% length of y direction (m) nxc=nxa;% (columns) number of element along x direction nyc=nya;% (rows) number of element along y direction lxc=Lxc/nxc;% side length of x direction lyc=Lyc/nyc;% side length of y direction ndof=3;% numder of DOFs per node nnel=9;% number of nodes per element nela=nxa*nya;% total element of the first plate nelc=nxc*nyc;% total element of the second plate nel=nela+nelc;% total element of the multi-layer plate nnodea=(2*nxa+1)*(2*nya+1);% total number of nodes in the first plate nnodec=(2*nxc+1)*(2*nyc+1);% total number of nodes in the second plate nnode=nnodea+nnodec;% total number of nodes in the multi-layer plate edofa=nnel*ndof;% DOFs per the first plate's element edofc=nnel*ndof;% DOFs per the second plate's element edof=edofa+edofc;% DOFs per the multi-layer plate's element sdofa=nnodea*ndof;% total of the first plate DOFs sdofc=nnodec*ndof;% total of the first plate DOFs sdof=sdofa+sdofc; % total of the multi-layer plate DOFs kapa=5/6; % shear correction factor % First plate Eamodule=3.1*10^10;% Young's modulus (N/m2) nuya=0.15;% poison's ratio roa=2400;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) ta=0.22;% thickness of the plate (m) Ga=Eamodule/2/(1+nuya); % flexural rigidity of the plate Da=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2); % shear modulus % Second plate Ecmodule=1.5*10^9;% Young's modulus (N/m2) Phụ lục 81 nuyc=0.25;% poison's ratio roc=2300;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) tc=0.18;% thickness of the plate (m) Gc=Ecmodule/2/(1+nuyc); % flexural rigidity of the plate Dc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2); % shear modulus %% Load parameters -f=95000;% load (N) vo=0;% initial velocity of load(m/s) v=40;% velocity of load(m/s) omega=10; %% Parameters % First plate ka=1*1.62e8; %(N/m3) ksa=1e9; ca=1.75e6; %(N.s/m3) % Second plate kf=1.42e7; %(N/m3) ksf=1e9; cf=3.79e5; %(N.s/m3) %% Matrix containing the density of the material and thickness -% First plate ma=roa*[ta 0; ta^3/12 0; 0 ta^3/12]; % Second plate mc=roc*[tc 0; tc^3/12 0; 0 tc^3/12]; %% Material matrix related to bending deformation and shear deformation -% First plate Dba=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2)*[1 nuya 0; nuya 0; 0 (1-nuya)/2]; Dsa=Eamodule*ta*kapa/2/(1+nuya)*[1 0; 1]; % Second plate Dbc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2)*[1 nuyc 0; nuyc 0; 0 (1-nuyc)/2]; Dsc=Ecmodule*tc*kapa/2/(1+nuyc)*[1 0; 1]; %% Newmark tolerance -tole=10^(-6); % tolerance to=3;% total analysis time (s) deltat=0.01;% time step Phụ lục 82 %% Mindlin Plate meshing -[gcoorda,elea]=mesh2d_rectq9a(Lya,nxa,nya,lxa,lya); % First plate [gcoordc,elec]=mesh2d_rectq9c(Lyc,nxc,nyc,lxc,lyc); % Second plate %% Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;% 3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;% number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); %% Loop for the total number of elements -% First plate for iel=1:nela for i=1:4 nd_cornera(i)=elea(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),1); % extract x value of the node yca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),2); % extract y value of the node end xcoorda=[xca (xca(1)+xca(2))/2 (xca(2)+xca(3))/2 (xca(3)+xca(4))/2 (xca(4)+xca(1))/2 (xca(1)+xca(2)+xca(3)+xca(4))/4]; ycoorda=[yca (yca(1)+yca(2))/2 (yca(2)+yca(3))/2 (yca(3)+yca(4))/2 (yca(4)+yca(1))/2 (yca(1)+yca(2)+yca(3)+yca(4))/4]; end % Second plate for iel=1:nelc for i=1:4 nd_cornerc(i)=elec(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xcc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),1); % extract x value of the node ycc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),2); % extract y value of the node end xcoordc=[xcc (xcc(1)+xcc(2))/2 (xcc(2)+xcc(3))/2 (xcc(3)+xcc(4))/2 (xcc(4)+xcc(1))/2 (xcc(1)+xcc(2)+xcc(3)+xcc(4))/4]; ycoordc=[ycc (ycc(1)+ycc(2))/2 (ycc(2)+ycc(3))/2 (ycc(3)+ycc(4))/2 (ycc(4)+ycc(1))/2 (ycc(1)+ycc(2)+ycc(3)+ycc(4))/4]; end K1=zeros(edof,edof); K1a=zeros(edof,edof); K1c=zeros(edof,edof); K=zeros(edof,edof); Ka=zeros(edof,edof); Kc=zeros(edof,edof); M=zeros(edof,edof); Ma=zeros(edof,edof); Mc=zeros(edof,edof); Phụ lục 83 C=zeros(edof,edof); Ca=zeros(edof,edof); Cc=zeros(edof,edof); %% Numerical integration -for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); % Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2a]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoorda,ycoorda); % compute Jacobian of the first plate [jacob2c]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoordc,ycoordc); % compute Jacobian of the second plate detjacoba=det(jacob2a); % determinant of Jacobian of the first plate detjacobc=det(jacob2c); % determinant of Jacobian of the second plate invjacoba=jacob2a\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the first plate invjacobc=jacob2c\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the second plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds ,d2Ndr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacoba);%derivatures in physic coordinate of the first plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds ,d2Ndr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacobc);%derivatures in physic coordinate of the second plate [Bba,Bsa,Nwa, dNwadr, d2Nwadr2, d2Nwads2, Na, dNadr, d2Nadr2]=memkine2da(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); [Bbc,Bsc,Nwc, dNwcdr, d2Nwcdr2, d2Nwcds2, Nc, dNcdr, d2Ncdr2]=memkine2dc(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); K1a=K1a+(Bba'*Dba*Bba+Bsa'*Dsa*Bsa+vo^2*Na'*ma*d2Nadr2+ka*Nwa'*Nwa -ka*Nwa'*Nwc-ksa*Nwa'*d2Nwadr2ksa*Nwa'*d2Nwads2+ksa*Nwa'*d2Nwcdr2+ksa*Nwa'*d2Nwcds2ca*vo*Nwa'*dNwadr+ca*vo*Nwa'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacoba;% element stiffness matrix of the first plate at initial time K1c=K1c+(Bbc'*Dbc*Bbc+Bsc'*Dsc*Bsc+vo^2*Nc'*mc*d2Ncdr2+kf*Nwc'*Nwc -ksf*Nwc'*d2Nwcdr2-ksf*Nwc'*d2Nwcds2-ka*Nwc'*Nwa+ka*Nwc'*Nwcksa*Nwc'*d2Nwcdr2ksa*Nwc'*d2Nwcds2+ksa*Nwc'*d2Nwadr2+ksa*Nwc'*d2Nwads2+ca*vo*Nwc'*d Nwadr-ca*vo*Nwc'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacobc; % element stiffness matrix of the second plate at initial time Ka=Ka+(Bba'*Dba*Bba+Bsa'*Dsa*Bsa+v^2*Na'*ma*d2Nadr2+ka*Nwa'*Nwaka*Nwa'*Nwc-ksa*Nwa'*d2Nwadr2ksa*Nwa'*d2Nwads2+ksa*Nwa'*d2Nwcdr2+ksa*Nwa'*d2Nwcds2ca*v*Nwa'*dNwadr+ca*v*Nwa'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacoba; % element stiffness matrix of the first plate Phụ lục 84 Kc=Kc+(Bbc'*Dbc*Bbc+Bsc'*Dsc*Bsc+v^2*Nc'*mc*d2Ncdr2+kf*Nwc'*Nwcksf*Nwc'*d2Nwcdr2-ksf*Nwc'*d2Nwcds2-ka*Nwc'*Nwa+ka*Nwc'*Nwcksa*Nwc'*d2Nwcdr2ksa*Nwc'*d2Nwcds2+ksa*Nwc'*d2Nwadr2+ksa*Nwc'*d2Nwads2+ca*v*Nwc'*dN wadr-ca*v*Nwc'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacobc; % element stiffness matrix of the second plate Ma=Ma+(Na'*ma*Na)*wtx*wty*detjacoba; % element mass matrix of the first plate Mc=Mc+(Nc'*mc*Nc)*wtx*wty*detjacobc; % element mass matrix of the second plate Ca=Ca+(-2*v*Na'*ma*dNadr+ca*Nwa'*Nwaca*Nwa'*Nwc)*wtx*wty*detjacoba; % element damping matrix of the first plate Cc=Cc+(-2*v*Nc'*mc*dNcdr+cf*Nwc'*Nwcca*Nwc'*Nwa+ca*Nwc'*Nwc)*wtx*wty*detjacobc; % element damping matrix of the second plate end end K1=K1a+K1c; % element stiffness matrix of the multi-layer plate at initial time K=Ka+Kc; % element stiffness matrix of the multi-layer plate M=Ma+Mc; % element mass matrix of the multi-layer plate C=C+Ca+Cc;% element damping matrix of the multi-layer plate %% Stiffness, mass, damping matrix of the multi-layer plate KOS1=zeros(sdof,sdof); KOS=zeros(sdof,sdof); MOS=zeros(sdof,sdof); COS=zeros(sdof,sdof); for i=1:nya for j=1:nxa ie=nxa*(i-1)+j; ele(ie,1)=2*ie-1+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,2)=2*ie+1+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,3)=2*ie-1+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,4)=2*ie-3+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,5)=2*ie+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,6)=2*ie+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,7)=2*ie-2+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,8)=2*ie-2+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,9)=2*ie-1+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,10)=2*ie-1+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,11)=2*ie+1+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,12)=2*ie-1+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,13)=2*ie-3+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,14)=2*ie+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,15)=2*ie+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,16)=2*ie-2+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,17)=2*ie-2+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,18)=2*ie-1+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ix=memindexosm(ele(ie,:),nnel,ndof); [KOS1]=hpsystemmatrix(KOS1,K1,ix); Phụ lục 85 [KOS,MOS,COS]=hpmatrix(KOS,MOS,COS,K,M,C,ix); end end %% Load vector -FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate STEP =0; FOS1=zeros(sdof,1); FOS1(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f; % load's position at the middle of the center line of the first plate %% Boudary condition -option='C-C-C-C';% maping to infinity for clamped edge % First plate [ bcdofa ] = boundary_condition_a( nxa,nya,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofa ); % Second plate [ bcdofc ] = boundary_condition_c( nxc,nyc,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofc ); %% Displacement at initial time yini1=KOS1\FOS1; y=zeros(sdof,to/deltat); y1d=zeros(sdof,to/deltat); y2d=zeros(sdof,to/deltat); yini=zeros(sdof,1);% the initial displacement of the system for i=1:sdof yini(i)=yini1(i); end y(:,1)=yini; % : denotes an entire row or column %y=yini %u=min(y) %% Newmark constant beta=1/4; alpha=1/2; a0=1/(beta*deltat^2); a1=alpha/(beta*deltat); a2=1/(beta*deltat); a3=1/(2*beta)-1; a4=alpha/beta-1; a5=deltat/2*(alpha/beta-2); a6=deltat*(1-alpha); a7=alpha*deltat; tt=0:deltat:to-deltat; h=0; step=0; for i=1:(to-deltat)/deltat fprintf('STEP=%d/%d',i,(to-deltat)/deltat); y(:,i+1)=y(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i); Phụ lục 86 y2d(:,i+1)=y2d(:,i); h=h+deltat; for j=1:10000000 d1=y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d2=y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d3=y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d4=y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); d5=y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); d6=y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f*cos(omega*t) %load's position at the middle of the center line of the plate with changeable intensity %FOS(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f; KK=KOS+a0*MOS+a1*COS; FF=FOS+MOS*(a0*y(:,i)+a2*y1d(:,i)+a3*y2d(:,i))+COS*(a1*y(:,i)+a4*y 1d(:,i)+a5*y2d(:,i)); [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdofa );% apply boundary for clamped edge mapping to infinity [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdofc );% apply boundary for clamped edge mapping to infinity y(:,i+1)=KK\FF; y2d(:,i+1)=a0*(y(:,i+1)-y(:,i))-a2*y1d(:,i)-a3*y2d(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i)+a6*y2d(:,i)+a7*y2d(:,i+1); e1=abs((y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d1)/d1); e2=abs((y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d2)/d2); e3=abs((y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d3)/d3); e4=abs((y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d4)/d4); e5=abs((y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d5)/d5); e6=abs((y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d6)/d6); step=step+1; if e1