Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di chuyển có xét đến hiện tượng hãm sử dụng phương pháp phần tử tấm nhiều lớp chuyển động mmpm (multi layer moving plate method)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN TRƯỜNG GIANG PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN ĐÀN NHỚT CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN CÓ XÉT ĐẾN HIỆN TƯỢNG HÃM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ TẤM NHIỀU LỚP CHUYỂN ĐỘNG MMPM (MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD) Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình Dân dụng Cơng nghiệp Mã số ngành: 60 58 02 08 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2020 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA-ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: Cán hướng dẫn 1: PGS TS Lương Văn Hải Cán hướng dẫn 2: TS Hồ Thu Hiền Cán chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Hồng Ân Cán chấm nhận xét 2: TS Nguyễn Tấn Cường Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 30 tháng 12 năm 2020 Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm: PGS TS Hồ Đức Duy Chủ tịch hội đồng TS Nguyễn Hồng Ân Thành viên phản biện TS Nguyễn Tấn Cường Thành viên phản biện TS Hồ Thu Hiền .Ủy viên TS Thái Sơn Thư ký CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG PGS TS Hồ Đức Duy PGS TS Lê Anh Tuấn i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN TRƯỜNG GIANG MSHV: 1670565 Ngày/tháng/năm sinh: 12/03/1979 Nơi sinh: Bến Tre Chun ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình Dân dụng Công nghiệp Mã số ngành: 60 58 02 08 I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích ứng xử nhiều lớp đàn nhớt chịu tải trọng di chuyển có xét đến tượng hãm sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Dynamic analysis of multi-layer plate resting on a viscoelastic foundation subjected to a moving load during abrupt braking using multi-layer moving plate method (MMPM)) II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Sử dụng mơ hình tính tốn phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-layer moving plate method) để phân tích ứng xử nhiều lớp đàn nhớt chịu tải trọng di chuyển có xét đến tượng hãm Phát triển thuật tốn, sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab để xây dựng chương trình tính tốn, giải hệ phương trình động tổng thể phân tích kết Thực ví dụ số để khảo sát ảnh hưởng đại lượng khác đến ứng xử động tốn, từ rút kết luận III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 05/09/2019 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 18/12/2020 V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: PGS TS Lương Văn Hải VI HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: TS Hồ Thu Hiền TP HCM, ngày 31 tháng 12 năm 2020 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM CHUYÊN NGÀNH ĐÀO TẠO PGS TS Lương Văn Hải TS Hồ Thu Hiền PGS TS Lương Văn Hải TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG ii LỜI CẢM ƠN Kính thưa quý thầy cô! Ước mong Học viên cao học hồn thành khóa học Thạc sĩ ước mong lớn qua nhiều năm Từ công tác tỉnh Bến Tre năm 2002, ước mong chưa thực việc lại cịn nhiều khó khăn, đời sống kinh tế chưa thuận lợi Từ quan tâm Quý Lãnh đạo tỉnh nhà Quý Lãnh đạo Đại học Quốc gia – Hồ Chí Minh, Phân hiệu Đại học Quốc gia – Hồ Chí Minh tỉnh Bến Tre thành lập vào tháng năm 2017 Phân hiệu Đại học Quốc gia – Hồ Chí Minh tỉnh Bến Tre với đóng góp to lớn Trường Đại học bách khoa thành phố Hồ Chí Minh mở chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành kỹ thuật xây dựng cơng trình dân dụng cơng nghiệp Tỉnh bến Tre Điều mang đến cho niềm hy vọng lớn lao để thực ước mơ dang dỡ Luận văn thạc sĩ nằm hệ thống luận cuối khóa nhằm trang bị cho Học viên cao học khả tự nghiên cứu, biết cách giải vấn đề cụ thể đặt thực tế ngành xây dựng… Đó trách nhiệm niềm tự hào học viên cao học Để hoàn thành Luận văn này, cố gắng nỗ lực thân, nhận giúp đỡ nhiều từ tập thể cá nhân Tơi xin ghi nhận tỏ lịng biết ơn đến tập thể cá nhân dành cho tơi giúp đỡ q báu Đầu tiên, Tôi xin cám ơn đến Quý Lãnh đạo tỉnh Bến Tre, ĐHQG-HCM, Phân hiệu ĐHQG-HCM tỉnh Bến Tre, Trường Đại học bách Khoa TPHCM Tôi xin cảm ơn Thầy, Cơ giáo Phịng Đào tạo sau đại học, khoa Kỹ thuật cơng trình xây dựng hỗ trợ, hướng dẫn suốt q trình học tập Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Lương Văn Hải Thầy đưa gợi ý để hình thành nên ý tưởng đề tài Thầy góp ý cho tơi nhiều cách nhận định đắn vấn đề nghiên cứu, cách tiếp cận nghiên cứu hiệu iii Tôi xin gửi lời cảm ơn đến cô TS Hồ Thu Hiền giúp đỡ nhiều trình thực Luận văn Cuối cùng, Tôi không gửi lời cám ơn đến gia đình, người thân, bạn bè đồng nghiệp Họ tạo điều kiện từ vật chất đến tinh thần, kiến thức bổ trợ, quan tâm chia để tơi hồn thành khóa học Thạc sĩ Luận văn thạc sĩ hoàn thành thời gian quy định với nỗ lực thân, nhiên khơng thể khơng có thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ dẫn để tơi bổ sung kiến thức hoàn thiện thân Xin trân trọng cảm ơn TP HCM, ngày 31 tháng 12 năm 2020 Nguyễn Trường Giang iv TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN ĐÀN NHỚT CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN CÓ XÉT ĐẾN HIỆN TƯỢNG HÃM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ TẤM NHIỀU LỚP CHUYỂN ĐỘNG MMPM Cùng với phát triển kinh tế nhu cầu vận chuyển hàng hóa người ngày tăng, hệ thống đường băng đường cao tốc quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới Hiện hệ thống mặt đường đại nhiều nước giới xây dựng, tiêu biểu nước Nhật Bản, Ý, Pháp, Mỹ, Trung Quốc, Hàn Quốc, Đức, Anh… kể Việt Nam Các nghiên cứu trước thường mơ hình kết cấu đàn nhớt chịu tải di động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Method) Về sau, phát triển hơn, có nhiều nghiên cứu như: phân tích ứng xử động Mindlin sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) ; phân tích ứng xử nhiều lớp đàn nhớt, Pasternak,… chịu tải trọng di chuyển sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-layer moving plate method) Luận văn tập trung phân tích ứng xử nhiều lớp đàn nhớt chịu tải trọng di chuyển có xét đến tượng hãm sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-layer moving plate method) Luận văn thiết lập ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, ma trận cản cho kết cấu nhiều lớp, đồng thời phân tích ứng xử nhiều lớp chịu tải trọng hãm Ảnh hưởng tương tác đất xét đến với Winkler Các kết phân tích số triển khai nhằm tìm hiểu ảnh hưởng yếu tố quan trọng đến ứng xử tấm, ví dụ vận tốc ban đầu, gia tốc hãm, khối lượng, độ cứng hệ số cản đất nền, tác động qua lại vị trí chịu tải trọng… Các kết nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho nghiên cứu chuyên sâu sau, tạo điều kiện thuận lợi cho công việc thiết kế, thi công bảo dưỡng hệ thống mặt đường v ABSTRACT DYNAMIC ANALYSIS OF MULTI-LAYER PLATE RESTING ON A VISCOELASTIC FOUNDATION SUBJECTED TO A MOVING LOAD DURING ABRUPT BRAKING USING MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD (MMPM) Along with the development of the economy, the need on transportation of goods and person is increasing, then the system of runways and highways is the concern and research of many scientists around the world Currently, the system of modern road surface has been built by many countries around the world, typically Japan, Italy, France, America, China, Korea, Germany, UK and even in Vietnam Previous, studies used to mention the model about the structure of a viscous elastic substrate under mobile load using the Finite Element Method (FEM) Thereafter, there were more developed studies about the analysis of the dynamic behavior of the Mindlin plate using the Moving Element Method (MEM); analyzing the behavior of multi-layered plates on viscous elastic substrates, Pasternak substrates,… under moving loads using the MMPM (Multi-layer moving plate method) This thesis focuses on analyzing the behavior of multi-layer plates on viscous elastic substrates under moving loads considering the braking phenomenon using MMPM (Multi-layer moving plate method) The thesis will establish mass matrix, hardness matrix and resistance matrix for the structure of multi-layer plate, and at the same time analyze the behavior of multilayer plate under braking loads The influence of the interaction between the substrate and the slab is also considered with the Winkler substrate The results of numerical analysis are deployed to understand the effects of the important factors on the behavior of the plate, such as initial speed, brake acceleration, mass, hardness and drag coefficient of the ground, the interacting between positions under load The research results in the Thesis can become one of the useful references for further indepth studies, creating favorable conditions for the design, construction and maintenance of road surface vi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng việc tơi thực hướng dẫn thầy PGS TS Lương Văn Hải cô TS Hồ Thu Hiền Các kết Luận văn thật chưa công bố nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm cơng việc thực TP HCM, ngày 31 tháng 12 năm 2020 Nguyễn Trường Giang vii MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i LỜI CẢM ƠN ii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iv LỜI CAM ĐOAN vi DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH x DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xii MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xiii CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu 1.2 Tình hình nghiên cứu tính cấp thiết đề tài 1.2.1 Các cơng trình nghiên cứu giới 1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu nước 1.3 Mục tiêu hướng nghiên cứu 1.4 Cấu trúc Luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Mơ hình đường nhiều lớp 2.1.1 Hệ số độ cứng đàn hồi Ks 10 2.1.2 Hệ số cản Cs 11 2.2 Phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-layer moving plate method): 13 2.2.1 Lý thuyết có kể đến biến dạng trượt Reissner-Mindlin 13 2.2.2 Biến dạng mối quan hệ biến dạng – chuyển vị 14 2.2.3 Biến dạng mối quan hệ ứng suất – biến dạng 15 2.2.4 Quan hệ ứng suất biến dạng: 17 2.2.5 Phương trình lượng 17 2.3 Phần tử đẳng tham số 18 2.3.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số 18 2.3.2 Hệ tọa độ địa phương phần tử đẳng tham số Q9 18 viii 2.3.3 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss 21 2.4 Phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM (Multi-layer moving plate method) 22 2.5 Tải trọng 32 2.6 Giải pháp thực 34 2.7 Phương pháp Newmark [45] 37 2.8 Lưu đồ tính toán 38 CHƯƠNG KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 41 3.1 Kiểm chứng giải thuật khảo sát hội tụ 43 3.1.1 Bài toán 1a: Phân tích ứng xử nhiều lớp đàn nhớt chịu tác dụng tải trọng tĩnh xem xi măng đá cứng vô 43 3.1.2 Bài tốn 1b: Phân tích ứng xử Mindlin nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động xem xi măng đá cứng vô 47 3.1.3 Bài toán 2: Kiểm tra hội tụ chương trình tính toán với toán động 49 3.1.4 Bài toán 3: Kiểm tra độ tin cậy chương trình tính toán với toán động 50 3.2 Phân tích động lực học Mindlin đàn nhớt chịu tác dụng tải trọng hãm 53 3.2.1 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học đàn nhớt chịu tải trọng hãm gia tốc hãm thay đổi 53 3.2.2 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học đàn nhớt chịu tải trọng hãm vận tốc ban đầu thay đổi 56 3.2.3 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học đàn nhớt chịu tải trọng hãm khối lượng vật thay đổi 59 3.2.4 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học đàn nhớt chịu tải trọng hãm hệ số ma sát động thay đổi 62 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 65 Tài liệu tham khảo [11] 68 S M Kim, Buckling and vibration of plate on elastic foundation subjected to in-plane compression and moving loads, International Journal of Solids and Structures, Vol 41, pp 5647–5661, 2004 [12] M H Huang and D P Thambiratnam, Deflection response of plate on winkler foundation to moving accelerated loads, Engineering Structures, Vol 23, pp 1134–1141, 2001 [13] L Sun, Dynamic response of Kirchhoff plate on viscoelastic foundation to harmonic circular loads, Journal of Applied Mechanics, Vol 70, pp 595– 600, 2003 [14] L Sun, Dynamic of plate generated by moving harmonic loads, Journal of Applied Mechanics, Vol 72, pp 772–777, 2005 [15] O Civalek and M H Acar, Discrete singular convolution method for the analysis of Mindlin plates on elastic foundations, International Journal of Pressure Vessels and Piping, Vol 84, pp 527–535, 2007 [16] O Civalek, Nonlinear analysis of thin rectangular plates on WinklerPasternak elastic foundations by DSC-HDQ methods, Journal of Applied Mathematical Modelling, Vol 31, pp 606–624, 2007 [17] A V Javad, N Ali, D R Mohammad and H E Mohsen Vibration analysis of Mindlin elastic plate under moving mass excitation by eigenfunction expansion method, Thin-Walled Structures, Vol 62, pp 53–64, 2013 [18] J S Wu, M L Lee and T S Lai, The dynamic analysis of flat plate under a moving load by the finite element method, International Journal of Numbers Methods in Engineering, Vol 24, pp 743–762, 1987 [19] M Zaman, M R Taheri and A Alvappillai, Dynamic response of a thick plate on viscoelastic foundation to moving loads, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol 15, pp 627–647, 1991 [20] G Pan and S N Atluri, Dynamic response of finite sized elastic runways subjected to moving loads: a couple BEM/FEM approach, International Tài liệu tham khảo 69 Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 38, pp 3143–3167, 1995 [21] Y Xing, B Liu, Closed form solutions for free vibrations of rectangular Mindlin plates, Journal of Acta Mechanica Sinica, Vol 25, pp 689–698, 2009 [22] M Li, T Quian, Y Zhong and H Zong, Dynamic response of rectangular plate subjected to moving load with variable velocity, Journal of Engineering Mechanics, Vol 4, pp 1943–7889, 2013 [23] C G Koh, J S Y Ong, D K H Chua and J Feng, Moving element method for train-track dynamics, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 56, pp 1549–1567, 2003 [24] C G Koh, G H Chiew and C C Lim, A numerical method for moving load on continuum, Journal of Sound and Vibration, Vol 300, pp 126–138, 2007 [25] W T Xu, J H Lin, Y H Zhang, D Kennedy and F.W Williams, 2D moving element method for random vibration analysis of vehicles on Kirchhoff plate with Kelvin foundation, Latin American Journal of Solids and Structures, Vol 6, pp 169–183, 2009 [26] K K Ang, M T Tran and V H Luong, Track vibrations during accelerating and decelerating phases of high-speed rails, The Thirteenth East Asia-Pacific Conference on Structural Engineering and Construction EASEC–13, 11–13/09/2013, Sapporo, Japan [27] K K Ang, D Jian, M T Tran and V H Luong, Analysis of high-speed rail accounting for jumping wheel phenomenon, International Journal of Computational Methods, Vol 11, No (2014) 1343007 [28] M T Tran, K K Ang and V H Luong, Dynamic analysis of high-speed rail system on two-parameter elastic damped foundation, International Conference on Advanced Computing and Applications ACOMP, 23– 25/10/2013, Ho Chi Minh City, Vietnam Tài liệu tham khảo [29] 70 Tran, M T., Ang, K K and Luong, V H (2014) Vertical dynamic response of non-uniform motion of high-speed rails Journal of Sound and Vibration, 333, 5427-5442 [30] Tran, M T., Ang, K K and Luong, V H (2016) Dynamic response of high-speed rails due to heavy braking Journal of Rail and Rapid Transit (DOI: 10.1177/0954409716639997) [31] Nguyễn Tấn Cường, Phân tích dao động đàn nhớt xét đến khối lượng vật chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2011 [32] Đinh Hà Duy, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong ray tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2013 [33] Lê Tuấn Anh, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét độ nảy bánh xe tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2013 [34] Lương Văn Hải, Đinh Hà Duy, Trần Minh Thi, Phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong ray tương tác với đất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động, Tạp chí Xây dựng, (2013) 57–59 [35] Bùi Văn Nhựt, Phân tích ứng xử động tàu cao tốc mơ hình 3-D sử dụng phương pháp phần tử chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 [36] Đặng Nguyễn Thiên Thu, Phân tích động lực học tàu cao tốc sử dụng phần tử dầm nhiều lớp chuyển động có xét đến tương tác đất nền, Luận văn thạc sỹ, ĐH Mở Tp.HCM, 2014 [37] Võ Hồng Nhi, Phân tích động lực học Mindlin đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 [38] Lê Đỗ Phương An, Phân tích tốn tương tác Mindlin đàn nhớt gia cường top-base chịu tải trọng di động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2014 Tài liệu tham khảo [39] 71 Nguyễn Thị Xuyên, Phân tích động lực học top base chịu trọng di động sử dụng phần tử chuyển động, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2015 [40] Đỗ Duy Minh, Phân tích động lực học kết cấu dày nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp (Multi-layer moving plate methodMMPM), Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2016 [41] Lê Văn Tư, Phân tích động Mindlin đàn nhớt chịu tải trọng hãm, Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2017 [42] P D Shambhu, Dynamic of Structure and Foundation – A Unified Approach, London, UK, 2009 [43] R D Mindlin, Influence of Rotary inertia and shear on flexural motion of isotropic Elastic plates, Journal of the Engineering Mechanics Trans 1951; 73:31-38 [44] M T Tran, K K Ang and V H Luong, "Dynamic response of high speed rails due to heavy braking," Journal of Rail an Rapid Transit, vol 1, p 16, 2016 [45] N M Newmark, A method of computation for structural dynamics, Journal of the Engineering Mechanics Divison ASCE 1959; 85:67-9 [46] X Lei and J Wang, Dynamic analysis of the train and slab track coupling system with finite elements in a moving frame of reference, Journal of Vibration and Control, Vol 0, No 0, pp 1–17, 2013 [47] https://en.wikipedia.org/wiki/Friction [48] M H Huang and D P Thambiratnam, "Deflection response of plate on winkler foundation to moving accelerated loads," Engineering Structures, vol 23, no 9, pp 1134-1141, 2001 Phụ lục 72 PHỤ LỤC Phụ lục – Một số đoạn mã lập trình Matlab Chương trình tốn phân tích ứng xử động clear all clc format long %% Multi-layer plate parameters % First plate Lxa=20;% length of x direction (m) Lya=10;% length of y direction (m) nxa=5;% (columns) number of element along x direction nya=5;% (rows) number of element along y direction lxa=Lxa/nxa;% side length of x direction lya=Lya/nya;% side length of y direction % Second plate Lxc=Lxa;% length of x direction (m) Lyc=Lya;% length of y direction (m) nxc=nxa;% (columns) number of element along x direction nyc=nya;% (rows) number of element along y direction lxc=Lxc/nxc;% side length of x direction lyc=Lyc/nyc;% side length of y direction ndof=3;% numder of DOFs per node nnel=9;% number of nodes per element nela=nxa*nya;% total element of the first plate nelc=nxc*nyc;% total element of the second plate nel=nela+nelc;% total element of the multi-layer plate nnodea=(2*nxa+1)*(2*nya+1);% total number of nodes in the first plate nnodec=(2*nxc+1)*(2*nyc+1);% total number of nodes in the second plate nnode=nnodea+nnodec;% total number of nodes in the multi-layer plate edofa=nnel*ndof;% DOFs per the first plate's element edofc=nnel*ndof;% DOFs per the second plate's element edof=edofa+edofc;% DOFs per the multi-layer plate's element sdofa=nnodea*ndof;% total of the first plate DOFs sdofc=nnodec*ndof;% total of the first plate DOFs sdof=sdofa+sdofc; % total of the multi-layer plate DOFs kapa=5/6; % shear correction factor % First plate Eamodule=3.1e10;% Young's modulus (N/m2) nuya=0.15;% poison's ratio roa=2400;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) ta=0.3;% thickness of the plate (m) Ga=Eamodule/2/(1+nuya); % flexural rigidity of the plate Da=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2); % shear modulus % Second plate Ecmodule=1.5e9;% Young's modulus (N/m2) nuyc=0.25;% poison's ratio roc=2300;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) tc=0.3;% thickness of the plate (m) Gc=Ecmodule/2/(1+nuyc); % flexural rigidity of the plate Dc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2); % shear modulus Phụ lục 73 nuys=0.85; % static cofficient of friction nuyk=0.60; % kinetic cofficient of friction %% Load parameters -f=100000;% load (N) ag=9.81; % acceleration of gravity (m/s^2) mcar=f/ag; % mass of car body vo=0; % initial velocity of load (m/s) v=10; % velocity of load in 1st phase (m/s) a=0; % acceleration %% Parameters % First plate ka=1.72e8; %(N/m3) ca=1.75e6; %(N.s/m3) % Second plate kc=9.5e7; %(N/m3) cc=1.0e6; %(N.s/m3) %% Matrix containing the density of the material and thickness -% First plate ma=roa*[ta 0; ta^3/12 0; 0 ta^3/12]; % Second plate mc=roc*[tc 0; tc^3/12 0; 0 tc^3/12]; %% Material matrix related to bending deformation and shear deformation% First plate Dba=Eamodule*ta^3/12/(1-nuya^2)*[1 nuya 0; nuya 0; 0 (1-nuya)/2]; Dsa=Eamodule*ta*kapa/2/(1+nuya)*[1 0; 1]; % Second plate Dbc=Ecmodule*tc^3/12/(1-nuyc^2)*[1 nuyc 0; nuyc 0; 0 (1-nuyc)/2]; Dsc=Ecmodule*tc*kapa/2/(1+nuyc)*[1 0; 1]; %% Newmark tolerance tole=10^(-6); % tolerance to=1; % analysis time (s) of constant v phase deltat=0.01; % time step for Newmark td=10; % analysis time (s) of deceleration phase ade=-10; % ACCELERATION OF DECELERATION PHASE %% Mindlin Plate meshing [gcoorda,elea]=mesh2d_rectq9a(Lya,nxa,nya,lxa,lya); % First plate [gcoordc,elec]=mesh2d_rectq9c(Lyc,nxc,nyc,lxc,lyc); % Second plate %% Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;% 3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;% number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); %% Loop for the total number of elements % First plate for iel=1:nela for i=1:4 Phụ lục 74 nd_cornera(i)=elea(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element end xca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),1); yca(i)=gcoorda(nd_cornera(i),2); % extract x value of the node % extract y value of the node xcoorda=[xca (xca(1)+xca(2))/2 (xca(2)+xca(3))/2 (xca(3)+xca(4))/2 (xca(4)+xca(1))/2 (xca(1)+xca(2)+xca(3)+xca(4))/4]; ycoorda=[yca (yca(1)+yca(2))/2 (yca(2)+yca(3))/2 (yca(3)+yca(4))/2 (yca(4)+yca(1))/2 (yca(1)+yca(2)+yca(3)+yca(4))/4]; end % Second plate for iel=1:nelc for i=1:4 nd_cornerc(i)=elec(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xcc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),1); % extract x value of the node ycc(i)=gcoordc(nd_cornerc(i),2); % extract y value of the node end xcoordc=[xcc (xcc(1)+xcc(2))/2 (xcc(2)+xcc(3))/2 (xcc(3)+xcc(4))/2 (xcc(4)+xcc(1))/2 (xcc(1)+xcc(2)+xcc(3)+xcc(4))/4]; ycoordc=[ycc (ycc(1)+ycc(2))/2 (ycc(2)+ycc(3))/2 (ycc(3)+ycc(4))/2 (ycc(4)+ycc(1))/2 (ycc(1)+ycc(2)+ycc(3)+ycc(4))/4]; end K1=zeros(edof,edof); K1a=zeros(edof,edof); K1c=zeros(edof,edof); K=zeros(edof,edof); Ka=zeros(edof,edof); Kc=zeros(edof,edof); M=zeros(edof,edof); Ma=zeros(edof,edof); Mc=zeros(edof,edof); C=zeros(edof,edof); Ca=zeros(edof,edof); Cc=zeros(edof,edof); %% Numerical integration -for intx=1:nglx x1=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y1=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x1,y1); % Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2a]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoorda,ycoorda); % compute Jacobian of the first plate [jacob2c]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoordc,ycoordc); % compute Jacobian of the second plate detjacoba=det(jacob2a); % determinant of Jacobian of the first plate detjacobc=det(jacob2c); % determinant of Jacobian of the second plate invjacoba=jacob2a\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the first plate invjacobc=jacob2c\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the second plate Phụ lục 75 [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2Ndr2 ,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacoba);%derivatures in physic coordinate of the first plate [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2Ndr2 ,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacobc);%derivatures in physic coordinate of the second plate [Bba,Bsa,Nwa, dNwadr, Na, dNadr, d2Nadr2]=memkine2da(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); [Bbc,Bsc,Nwc, dNwcdr, Nc, dNcdr, d2Ncdr2]=memkine2dc(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); K1a=K1a+(Bba'*Dba*Bba+Bsa'*Dsa*Bsa+vo^2*Na'*ma*d2Nadr2a*Na'*ma*dNadr+ka*Nwa'*Nwa-ka*Nwa'*Nwcca*vo*Nwa'*dNwadr+ca*vo*Nwa'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacoba;% element stiffness matrix of the first plate at initial time K1c=K1c+(Bbc'*Dbc*Bbc+Bsc'*Dsc*Bsc+vo^2*Nc'*mc*d2Ncdr2a*Nc'*mc*dNcdr+kc*Nwc'*Nwc-ka*Nwc'*Nwa+ka*Nwc'*Nwc+ca*vo*Nwc'*dNwadrca*vo*Nwc'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacobc; % element stiffness matrix of the second plate at initial time Ka=Ka+(Bba'*Dba*Bba+Bsa'*Dsa*Bsa+v^2*Na'*ma*d2Nadr2a*Na'*ma*dNadr+ka*Nwa'*Nwa-ka*Nwa'*Nwcca*v*Nwa'*dNwadr+ca*v*Nwa'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacoba; % element stiffness matrix of the first plate Kc=Kc+(Bbc'*Dbc*Bbc+Bsc'*Dsc*Bsc+v^2*Nc'*mc*d2Ncdr2a*Nc'*mc*dNcdr+kc*Nwc'*Nwc-ka*Nwc'*Nwa+ka*Nwc'*Nwc+ca*v*Nwc'*dNwadrca*v*Nwc'*dNwcdr)*wtx*wty*detjacobc; % element stiffness matrix of the second plate Ma=Ma+(Na'*ma*Na)*wtx*wty*detjacoba; % element mass matrix of the first plate Mc=Mc+(Nc'*mc*Nc)*wtx*wty*detjacobc; % element mass matrix of the second plate Ca=Ca+(-2*v*Na'*ma*dNadr+ca*Nwa'*Nwaca*Nwa'*Nwc)*wtx*wty*detjacoba; % element damping matrix of the first plate Cc=Cc+(-2*v*Nc'*mc*dNcdr+cc*Nwc'*Nwcca*Nwc'*Nwa+ca*Nwc'*Nwc)*wtx*wty*detjacobc; % element damping matrix of the second plate end end K1=K1a+K1c; % element stiffness matrix of the multi-layer plate at initial time K=Ka+Kc; % element stiffness matrix of the multi-layer plate M=Ma+Mc; % element mass matrix of the multi-layer plate C=C+Ca+Cc;% element damping matrix of the multi-layer plate %% Stiffness, mass, damping matrix of the multi-layer plate KOS1=zeros(sdof,sdof); KOS=zeros(sdof,sdof); MOS=zeros(sdof,sdof); COS=zeros(sdof,sdof); for i=1:nya for j=1:nxa ie=nxa*(i-1)+j; ele(ie,1)=2*ie-1+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,2)=2*ie+1+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,3)=2*ie-1+(i+1)*(nxa+1)*2; Phụ lục 76 ele(ie,4)=2*ie-3+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,5)=2*ie+(i-1)*(nxa+1)*2; ele(ie,6)=2*ie+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,7)=2*ie-2+(i+1)*(nxa+1)*2; ele(ie,8)=2*ie-2+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,9)=2*ie-1+(i)*(nxa+1)*2; ele(ie,10)=2*ie-1+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,11)=2*ie+1+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,12)=2*ie-1+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,13)=2*ie-3+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,14)=2*ie+(i-1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,15)=2*ie+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,16)=2*ie-2+(i+1)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,17)=2*ie-2+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ele(ie,18)=2*ie-1+(i)*(nxa+1)*2+nnodea; ix=memindexosm(ele(ie,:),nnel,ndof); [KOS1]=hpsystemmatrix(KOS1,K1,ix); [KOS,MOS,COS]=hpmatrix(KOS,MOS,COS,K,M,C,ix); end end %% Load vector -FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate STEP=0; FOS1=zeros(sdof,1); FOS1(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f; % load's position at the middle of the center line of the first plate %% Boudary condition -option='C-C-C-C';% maping to infinity for clamped edge % First plate [ bcdofa ] = boundary_condition_a( nxa,nya,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofa ); % Second plate [ bcdofc ] = boundary_condition_c( nxc,nyc,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofc ); %% Displacement at initial time yini1=KOS1\FOS1; y=zeros(sdof,to/deltat); y1d=zeros(sdof,to/deltat); y2d=zeros(sdof,to/deltat); yini=zeros(sdof,1);% the initial displacement of the system for i=1:sdof yini(i)=yini1(i); end y(:,1)=yini; % : denotes an entire row or column %% Newmark constant beta=1/4; alpha=1/2; a0=1/(beta*deltat^2); a1=alpha/(beta*deltat); a2=1/(beta*deltat); a3=1/(2*beta)-1; a4=alpha/beta-1; a5=deltat/2*(alpha/beta-2); a6=deltat*(1-alpha); a7=alpha*deltat; Phụ lục 77 tt=0:deltat:to-deltat; h=0; step=0; for i=1:round((to-deltat)/deltat) fprintf('STEP=%d/%d\n',i,round((to-deltat)/deltat)+2); y(:,i+1)=y(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i); y2d(:,i+1)=y2d(:,i); h=h+deltat; for j=1:10000000 d1=y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d2=y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d3=y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1); d4=y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); d5=y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); d6=y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1); FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate with changeable intensity KK=KOS+a0*MOS+a1*COS; FF=FOS+MOS*(a0*y(:,i)+a2*y1d(:,i)+a3*y2d(:,i))+COS*(a1*y(:,i)+a4*y1d(:,i) +a5*y2d(:,i)); [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdofa );% apply boundary for clamped edge mapping to infinity [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdofc );% apply boundary for clamped edge mapping to infinity y(:,i+1)=KK\FF; y2d(:,i+1)=a0*(y(:,i+1)-y(:,i))-a2*y1d(:,i)-a3*y2d(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i)+a6*y2d(:,i)+a7*y2d(:,i+1); e1=abs((y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d1)/d1); e2=abs((y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d2)/d2); e3=abs((y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1)-2,i+1)-d3)/d3); e4=abs((y(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d4)/d4); e5=abs((y1d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d5)/d5); e6=abs((y2d(3*((2*nxa+1)*nya+nxa+1+nnodea)-2,i+1)-d6)/d6); step=step+1; if e1