Phân tích tĩnh tấm bằng vật liệu fgm xốp trên nền đàn hồi pasternak theo phương pháp chuyển vị có kể đến tính phi tuyến hình học và vị trí mặt trung hòa

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 14 (5V): 166–179 PHÂN TÍCH TĨNH TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM XỐP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI PASTERNAK THEO PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ CĨ KỂ ĐẾN TÍNH PHI TUYẾN HÌNH HỌC VÀ VỊ TRÍ MẶT TRUNG HỊA Lê Thanh Hảia , Nguyễn Văn Longb,∗, Trần Minh Túb , Chu Thanh Bìnhb a Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh, số 182 đường Lê Duẩn, thành phố Vinh, Nghệ An, Việt Nam b Khoa Xây dựng dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, số 55 đường Giải phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 01/09/2020, Sửa xong 21/10/2020, Chấp nhận đăng 22/10/2020 Tóm tắt Bài báo xây dựng nghiệm giải tích dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc để phân tích phi tuyến ứng xử uốn FGM xốp đặt đàn hồi Pasternak Vị trí mặt trung hịa ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, đối xứng, bất đối xứng xét đến Bằng việc sử dụng phương pháp Galerkin, lời giải giải tích theo phương pháp chuyển vị thiết lập với điều kiện biên khác Độ tin cậy mơ hình lý thuyết chương trình tính viết Matlab kiểm chứng với kết số tác giả khác cơng bố Các ví dụ số thực nhằm đánh giá ảnh hưởng dạng phân bố hệ số lỗ rỗng, tỉ số kích thước cạnh, hệ số đàn hồi Pasternak điều kiện biên đến độ võng, thành phần mô men uốn nội lực FGM xốp Từ khoá: phân tích uốn phi tuyến; vật liệu FGM xốp; lời giải giải tích; lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất; tiếp cận chuyển vị GEOMETRICALLY NONLINEAR STATIC ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED POROUS PLATES RESTING ON PASTERNAK ELASTIC FOUNDATION BY USING DISPLACEMENT APPROACH AND NEUTRAL SURFACE POSITION Abstract In this paper, the analytical solution is presented for nonlinear bending response of functionally graded porous (FGP) plates based on first-order shear deformation theory The neutral surface position and three patterns of porosity distributions namely uniform, non-uniform symmetric and non-uniform non-symmetric are considered Using displacement approach in conjunction with Galerkin method, the analytical solution is obtained for various boundary conditions The numerical examples are performed and compared with those available in the literature to show the accuracy of the present results The effects of porosity distribution patterns and porosity coefficient, an aspect ratio of plates, Pasternak elastic foundation parameters, and boundary conditions on deflection, stress resultants of FGP plate are investigated Keywords: nonlinear bending analysis; functionally graded porous plate; analytical solution; first-order shear deformation theory; displacement approach https://doi.org/10.31814/stce.nuce2020-14(5V)-14 © 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) Giới thiệu Một phát kiến quan trọng vật liệu tiên tiến năm 80 kỷ 19 đời vật liệu có tính biến thiên (Functionally graded material - FGM) nhà khoa ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: longnv@nuce.edu.vn (Long, N V.) 166 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng học Nhật FGM loại vật liệu composite có cấu trúc vi mơ khơng đồng nhất, thường tạo thành từ hai vật liệu thành phần kim loại gốm, tính chất học vật liệu biến đổi trơn liên tục hai bề mặt Gần đây, loại vật liệu FGM hệ gọi vật liệu FGM xốp (functionally graded porous materials) có lỗ rỗng cấu trúc vi mô, biết đến loại vật liệu nhẹ, hệ số rỗng biến thiết kế, điều chỉnh để đạt tính chất học mong muốn Các kết cấu nhẹ sử dụng vật liệu FGM xốp bọt kim loại (metal foam) chẳng hạn có tiềm ứng dụng nhiều lĩnh vực hàng không, giao thông vận tải, xây dựng dân dụng [1–3] Với khả hấp thụ lượng tốt, bọt kim loại với loại vật liệu xốp khác bông, gạch, bê tông, nhựa alphat, nhựa PU cấu trúc có lỗ rỗng lựa chọn thích hợp để chế tạo cách âm, cách nhiệt, cấu kiện chịu tải trọng động hay tải trọng va chạm Cùng với gia tăng ứng dụng, nghiên cứu ứng xử học kết cấu vật liệu FGM xốp ngày thu hút quan tâm đông đảo nhà khoa học nước Đa số nghiên cứu tập trung phân tích tuyến tính ứng xử uốn, dao động ổn định kết cấu dầm, vỏ [4–10] Để mô tả gần làm việc kết cấu thực tế, phân tích phi tuyến thường sử dụng Praveen Reddy [11] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc (First-Order Shear Deformation Plate Theory - FSDT) có kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von-Kárman phân tích tĩnh động P-FGM có kể đến ảnh hưởng nhiệt phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) Zhao Liew [12] phân tích phi tuyến FGM chịu tác dụng đồng thời tải trọng cơ-nhiệt phương pháp kp-Ritz không lưới (mesh-free kp-Ritz method) Yin cs [13] khảo sát ứng xử phi tuyến FGM phương pháp đẳng hình học Na Kim [14] khảo sát ứng xử uốn phi tuyến FGM chịu tác dụng tải trọng cơ-nhiệt phương pháp PTHH-3D Ngoài phương pháp số sử dụng phân tích kể trên, phương pháp giải tích cơng cụ hữu hiệu thường nhiều tác giả lựa chọn Theo tiếp cận ứng suất, Tung Duc [15] phân tích ổn định phi tuyến FGM phương pháp giải tích Lý thuyết cổ điển (Classical Plate Theory - CLPT) phương pháp Galerkin tác giả sử dụng để nhận phương trình ổn định phi tuyến Cũng sử dụng lý thuyết CLPT, hàm ứng suất Airy phương pháp Galerkin, Thang cs [16] thiết lập lời giải hiển cho phân tích phi tuyến S-FGM Duc cs [17] phân tích ứng xử ổn định phi tuyến nhiệt FGM đàn hồi sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba (Third-Order Shear Deformation Plate Theory - TSDT) hàm ứng suất Woo cs [18] phân tích dao động riêng phi tuyến mỏng FGM Theo tiếp cận chuyển vị, Shen [19], Yang Shen [20] phân tích ứng xử uốn phi tuyến FGM chịu tác dụng tải trọng cơ-nhiệt sử dụng kỹ thuật hàm phạt (pertubation technique) sở lý thuyết TSDT Wu cs [21] phân tích sau ổn định FGM với điều kiện biên khác phương pháp giải tích sử dụng chuỗi đa thức hữu hạn Chebyshev lý thuyết FSDT Alinia Ghannadpour [22] sử dụng nghiệm chuyển vị dạng hàm điều hịa để phân tích phi tuyến mỏng FGM chịu uốn Các phân tích cho thấy, nghiên cứu ứng xử phi tuyến FGM thực không nhiều, kết cấu vật liệu FGM xốp nghiên cứu chủ đề lại hạn chế Sử dụng lý thuyết FSDT, Duc cs [23] khảo sát ứng xử động lực học phi tuyến FGM có vi bọt rỗng Tu cs [24] nghiên cứu ổn định sau ổn định FG xốp khơng hồn hảo tác dụng tải trọng học Cong cs [25] nghiên cứu ổn định cơ-nhiệt phi tuyến sau ổn định FGM có vi bọt rỗng đàn hồi sử dụng lý thuyết TSDT Phung-Van cs [26] kết hợp lý thuyết TSDT phương pháp đẳng hình học phân tích ứng xử uốn phi tuyến FGM có vi bọt rỗng Khi nghiên cứu về vật liệu FGM với cấu trúc vật liệu khơng đối xứng, mặt trung bình hình học 167 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng mặt trung hịa thường khơng trùng Để loại bỏ tương tác màng - uốn, nhiều tác giả thường tính tốn với hệ tọa độ quy chiếu đặt mặt trung hịa thay tính tốn mặt trung bình vật liệu đẳng hướng [27–30] Với việc chuyển hệ tọa độ quy chiếu mặt trung hòa, hệ thức khơng có tương tác màng - uốn, thời gian tính tốn rút ngắn, với toán phi tuyến Tấm đàn hồi mơ hình học mô làm việc thực tế mặt đường bê tông xi măng, mặt đường nhựa, đường băng sân bay hay đáy bể chứa đặt đất cơng trình Các tường lị phản ứng hạt nhân, hầm chứa, bể chứa hóa chất nhiều cấu kiện cơng trình khác mơ hình hóa kết cấu đặt nền, hay bao quanh đàn hồi Các nghiên cứu đàn hồi toán quan trọng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [31–34] Trong bài báo này, phương pháp chuyể ị ẽ đượ ụng để ứ Trongố báo này, phương pháp chuyển vị sử dụng để phân tích ứng xử uốn phi ế ủ ấ ữ ậ ố đặ ền đàn hồ ộ ố điề ệ tuyến chữ nhật FGM có xốpxétđặtđếtrênị đàn hồi với số điều kiện biên khác có xét đến vị ặ ấ ỉ ể ị đượ ả ế trí mặt trung hịa Hàm xấp xỉ chuyển vị giả thiết dạng hàm điều hịa kép, hệ phương trình dướ ạng hàm điề ệ phương trình phi tuyến để ả ận đượ ằ phi tuyến để giải nhận cách sử dụng phương pháp Galerkin sở lý thuyết biến dạng ụng phương pháp Galerkin sở ế ế ắ ậ ấ Ảnh hưở cắt bậc Ảnh hưởng ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, không đối xứng không bất đối ủ ố ỗ ỗng: đề không đề đố ứ không đề ất đố xứng hệ số mật độ lỗ rỗng, điều kiện biên tham số kích thước tấm,ứng thamcũng số đến hệ thành ố ậtphần độ ỗnộiỗng, ố kích thướ ấ ố ề độ võngnhư lực điề đượcệ khảo sát đến độ ầ ộ ự ẽ đượ ả Mơ hình ấ vậtằ liệuậFGM ệ xốp ố Xét chữ nhật ấ ữ ậvật ằliệu FGM ậ ệ xốp có chiều ố dài a, ề chiều rộngề b ộ chiều dày ềh Hình Tấm đượcnhư đặtHình ấm đànđược hồi đặ Pasternakềnvới hệ số nền: K hệ đàn hồ ớw ệ sốố độề cứng uốn ệ ố(Winkler stiffness), độ Kứsi (i =ốx, y) hệ số độ cứng cắt (shear stiffness) ệ ố độ ứ ắ xốptrên trênnền nềnđàn đànhồi hồi Hình 1.Mơ Mơhình hìnhtấm tấmchữ chữ nhật nhật FGM xốp Mơ đun đàn hồ nén và mô đun đàn hồi trượ ủ ậ ệ ố ụ ộ Mô đun đàn hồi kéo-nén mô đun đàn hồi trượt vật liệu FGM xốp phụ thuộc vào mật độ ật độ ố ỗ ỗ ế ụ ề ấ ậ phân bố lỗ rỗng, biến thiên liên tục theo chiều dày theo quy luật sau [35, 36]: - Phân bố đều: x ố đề 2 1 − e0 − + − (1) E = Emax (1 − e0 λ) ; G = Gmax (1 − e0 λ) ; λ = e e0 π π §0 ·  ¨    ¸  O  O O - Phân bố khơng - đối xứng: S ¹ ©S πz πz − e0 cos (2) x E(z) =ốEkhông đố ứ ; G(z) = Gmax − e0 cos max h h ê xng:Đ S à ª § S ·º - Phân bố khơng - bt i ă áằ ă áằ ô  ô  â â ạẳ ẳ z z ; G(z) = Gmax − e0 cos (3) + + E(z) = Emax − e0 cos 2hất đố4 2h x khụng ê ô  S à ĐS  áằ ă â ạẳ 168 ê ô  S à ĐS  áằ ă â ạẳ Hi, L T / Tp Khoa hc Cơng nghệ Xây dựng ần ần lượlượ ị ớị ị ấớ ấ ủaấủa mơmơ đun đó đunđàn đànhồ hồ hồ ần lượ mơ đun đàn Emax , Gmax giá trị lớn mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi mômô đunđun đànđun hồihồi trượ lượlượ ứứ ứ ị ỏHình ấttương tương trượ ịỏ ấtỏ2) ất tương hồi trượEốiminối ối lượcác giá trị nhỏ tương ứng ị(xem Hệ số Poisson trượtmô đàn khối đàn lượng riêng; , Gmin coi không đổiố theo chiều dày ệ ốệthay Poisson coi làtấm không thay đổ ềề ề ấấ ấ ố ệPoisson coi là thay đổ đổ Poisson coikhông là không thay (a) Phân bố (b) Phân bố đối xứng ố đốốứđốứ ứ ố đố ố đềố đề ố đề (c) Phân bố bất đối xứng ố ốấtất ứứ ứ ốđốđố ất đố mật phân ố ớxốp ật ỗốỗ khác ỗỗ ỗnhau ốớ vớiớcác hàm ật ật độ bốốlỗốỗrỗng ấ ấHình ằ ấằ2 Tấm ậ ằ ậbằng ệ ệậvật ệliệu ốFGM độđộđộ ật độ đượ ệ độ ốđộ độỗ ỗe0 ỗđượ đượ lỗ ỗrỗng tính theo: ệ Hệ ốệ sốốậtmật ỗật E G min e0 <  <  1) e0 = − E  = 1 − G   (0 max (4) max Vị trí mặt trung hịa FGM xốp trường hợp không mặt ốp trườợbốợ bấtợ đối xứng ất trùng đố trườphân ị ị ặị ặ ặ ủ ủ ấ ấủ ấ ốpốp trườ ố ố ấtốấtđốđố ứứ ứ trung bình, xác định từ điều kiện [37]: ặtbình, trung bình, điề ặt trung bình, xác đị ừđịđiề điề ặt trung xác đị xác ệ ệ ệ     h/2 h/2   h/2   ª  º ºª ª º ª  º º º  ª ª (z − C) E(z)dz Ÿ zE(z)dz /  = Ÿ⇒ C =  E(z)dz (5) Ÿ ³ ³   ô ô ôơ  ằ ằô ô ằẳ ôơ  ằ ằ ằẳ   h/2 ơ ơ h/2ẳ ẳơ   −h/2¼ ¼ ế ế ế ếế ếạ ắạ ắ ậ ắậ ấậ ấ ấ Lý thuyết biến dạng cắt bậc ệ độ ọa độ ếu qua mặ ầ ể ị ửụ ụử ệụ ệọa ọa ếu Sử độquy ếuqua mặt quaqua mặmặ ầu,ầv, w ể ểđiểm ị ịbất dụng hệ tọa độ chiếu trung hòa, thành phần chuyển vị , ,ủa w điể điểấ ỳấ ỳ ọa độ ọa độ ấ ,w , wủa , ,kỳ ấ znsỳ) trongọakhơng độ gian [38]: ấấ có tọađiể độ (x, y, ( x, y  T T v ( x,  T T( , Ty);  θ x(x, T y); u(x, y, zns ) = u0 (x, y) + zns v(x, y, zns ) = v0 (x, y) + zns θy(x, y); w(x, y, zns ) = w0 (x, y) (6) đó: u0 , v0 , w0 thành phần chuyển vị điểm mặt trung hòa theo phương x, y, zns ; đó: ầ hòaể quanh ể hai ị điể θ x , θtrong góc xoay,của, w pháp tuyến mặtầtrung trục y, x ặ ặ trongy đó:đó: , ,, w , w ầ ể ị ịủaủa điểđiể ặ Các thành phần biến dạng có kể đến thànhủ phần phi tuyến ếặ ặhình học theo nghĩaụvonụKármán [38] phương T , TT , T phương ủ ế ủ ế ặ ụ phương có dạng sau: T , T        ε       κ ε x  x  thành kể đến tuyến học nghĩa    xcó    đến   γhình Các Các thành phầnphần biến dạng thành phần phiγphi tuyến hình theotheo nghĩa  dạng có kể  biến  thành  phần xz  xzhọc Các thành phần biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học theo nghĩa ε ε κ = (7) + z = ;       y y ns y       có dạng sau    γyz γyz     sau  κ    có dạng   γ γ xy xy có dạng sau xy ­ ½ ­N ½ ­wH20,x­°½­H 0­½°H½ °½H ° w­0,y N½ ;°½γ0 °= u°­J +°½ v ­°J+ °½w w ; κ = θ ; κ = θ ; ½ ­ ° ° H ; ε = v + đó: ε0x = u0,x­ + ° ½ 0,x 0,y x x,x y y,y H ° ®°°H yắ đ0,y N H ắ  2N đưNxyJ ưắJẵ đẵ0,yưJ ưắJẵ0,x đ ắ H H J đ ắ đ ắ đ ¾ ® ® ¾ 0 ¾ J ° ° ¯°®kèm ¿ thành phần chuyển vị đạo hàm κ xy = θ x,y + θy,x ; γ xz ®=Hw0,x +° θ ; γ ° = ° w ®° N+ θ¾y °Dấu J¾ °°(,) ¿ °J¾ ¯°° ắ đJ Hx ắyzJ 0,y Nđ J° ° J° ¯ °¿° N° ¯ ¯°J ¿ ¿° °¯J ¯ °¿ ¿ riêng theo biến tương ° ứng ¯ ¿ ° ° ¯J ¿ °¯J ¯ °¿ ¿ ¯ ¿ ¯N ¿ 169 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Vật liệu FGM xốp coi đàn hồi tuyến tính, thành phần ứng suất xác định từ định luật Hooke:             σx  κx  εx  Mx   Q11 Q12    C11 C12                             σy  κy  εy  My  =  Q21 Q22   (8) =  C12 C11   ;                        σ        0 Q κ M 0 C γ 66 xy xy 66 xy xy νE(zns ) E(zns ) E(zns ) , Q12 = Q21 = , Q44 = Q55 = Q66 = 2 (1 + v) 1−ν 1−ν Các thành phần nội lực suy từ biểu thức định nghĩa:          εx      κx Nx  Mx   A11 A12    C11 C12                              ε κy C C N A A M ;  =  12  y  =  12 11 11 y      y                    N        κ xy A66 0 C66 M xy γ xy xy đó: Q11 = Q22 = Q xz Qyz = s A44 0 s A44 γ0xz γyz (9) h/2−C h/2−C đó: Ai j , Ci j =      ;     Qi j 1, z2ns dzns ; i j = s 11, 12, 66; A44 = ks Q44 dzns ; k s hệ số hiệu −h/2−C −h/2−C chỉnh cắt, với chữ nhật vật liệu FGM xốp: k s = 5/6 Biểu thức (9) cho thấy việc sử dụng mặt trung hòa giúp loại bỏ tương tác màng-uốn Nguyên lý toàn phần cực tiểu sử dụng để thiết lập phương trình cân [39], với dạng toán học sau: = δU P + δU F + δV (10) δU P , δU F , δV biến phân biến dạng đàn hồi tấm, biến dạng tải trọng Hệ phương trình cân thu có dạng [39]: N x,x + N xy,y = 0; N xy,x + Ny,y = 0; Q xz,x + Qyz,y + N x w0,xx + 2N xy w0,xy + Ny w0,yy − Kw w0 + K sx w0,xx + K sy w0,yy + q = 0; M x,x + M xy,y − Q xz = 0; (11) M xy,x + My,y − Qyz = Các tham số điều kiện biên bao gồm: (un , Nn ) , (u s , Nns ) , (w0 , Qn ) , (θn , Mn ) , (θ s , Mns ) Các số n, s thể phương pháp tuyến tiếp tuyến biên Thay liên hệ thành phần nội lực qua biến dạng, biến dạng qua chuyển vị từ quan hệ (7)–(9) vào (11), ta hệ phương trình cân theo chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất: A11 u0,xx + w0,x w0,xx + A12 v0,xy + w0,y w0,xy + A66 u0,yy + v0,xy + w0,x w0,yy + w0,y w0,xy = 0; A12 u0,xy + w0,x w0,xy + A11 v0,yy + w0,y w0,yy + A66 u0,xy + v0,xx + w0,xx w0,y + w0,x w0,xy = 0; s s s s A44 w0,yy + A44 w0,xx − Kw w0 + K sx w0,xx + K sy w0,yy + A44 θ x,x + A44 θy,y + A11 u0,x w0,xx +A12 u0,x w0,yy + 2A66 u0,y w0,xy + A12 v0,y w0,xx + A11 v0,y w0,yy + 2A66 v0,x w0,xy + A11 w20,x w0,xx 1 + A12 w20,y w0,xx + A12 w20,x w0,yy + A11 w20,y w0,yy + 2A66 w0,x w0,y w0,xy + q = 0; 2 170 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng s s C11 θ x,xx + C66 θ x,yy + (C12 + C66 ) θy,xy − A44 θ x − A55 w0,x = 0; s s (C12 + C66 ) θ x,xy + C66 θy,xx + C11 θy,yy − A44 θy − A44 w0,y = (12) Lời giải giải tích Với chữ nhật, nghiệm chuyển vị thỏa mãn điều kiện biên theo lý thuyết biến dạng cắt bậc sau thiết lập: - Liên kết khớp cạnh (SSSS): Tất bốn cạnh tựa lề, với ràng buộc tương ứng là: un = u s = w0 = θ s = 0, Mn = (13) - Liên kết ngàm cạnh (CCCC): Tất bốn cạnh liên kết ngàm, ràng buộc tương ứng là: un = v s = w0 = θn = θ s = (14) - Liên kết đối xứng ngàm cạnh, khớp cạnh (SCSC): Hai cạnh đối diện tựa lề, hai cạnh lại liên kết ngàm, ràng buộc tương ứng là: Tại x = 0, a: u0 = v0 = w0 = θy = 0, M x = Tại y = 0, b: u0 = v0 = w0 = θ x = θy = (15) Lưu ý rằng, điều kiện biên xem xét có chung đặc điểm khơng thể tự dịch chuyển mặt phẳng (immovable) Với điều kiện biên nêu ta chọn nghiệm chuyển vị dạng khai triển sau [22, 40]: M N M u0mn U1m (x)U2n (y); u0 = m=1 n=1 M N v0mn V1m (x)V2n (y); m=1 n=1 M N θ xmn Xm′ (x)Yn (y); θx = N v0 = θymn Xm (x)Yn′ (y); θy = m=1 n=1 (16) m=1 n=1 M N w0mn Xm (x)Yn (y) w0 = m=1 n=1 2mπx ; U2n (y) = đó: u0mn , v0mn , w0mn , θ xmn , θymn hệ số cần xác định; U1m (x) = sin a (2n − 1) πy (2m − 1) πx 2nπy sin ; V1m (x) = sin ; V2n (y) = sin , với m, n = 1, 2, b a b Các hàm Xm (x), Yn (y) phải đảm bảo liên tục, thỏa mãn điều kiện biên độc lập tuyến tính Bảng hàm dạng Xm (x) Yn (y) áp dụng cho điều kiện biên SSSS, SCSC CCCC 171 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng Các hàm dạng Xm (x) Yn (y) sử dụng khai triển (16) [41, 42] Điều kiện biên Tại x = 0, a Tại y = 0, b SSSS Xm = Xm′′ = Ym = Ym′′ = SCSC Xm = Xm′′ = Ym = Ym′ = CCCC Xm = Xm′ = Ym = Ym′ = Xm (x) mπx sin a mπx sin a mπx sin a Yn (y) nπy sin b nπy sin b nπy sin b (m, n) m, n = 1, 3, m = 1, 3, n = 1, 2, m, n = 1, 2, Thay (16) vào (12), ta được: M N M N M N w0mn w0pq h(13) mnpq = 0; (11) (12) + u0mn lmn + v0mn lmn m=1 n=1 M m=1 n=1 p=1 q=1 N M N M N (21) (22) + u0mn lmn + v0mn lmn m=1 n=1 M w0mn w0pq h(23) mnpq = 0; m=1 n=1 p=1 q=1 N M N M N (33) (34) (35) w0mn lmn + θ xmn lmn + θymn lmn + m=1 n=1 (32) u0mn w0pq h(31) mnpq + v0mn w0pq hmnpq (17) m=1 n=1 p=1 q=1 M N M N M N w0mn w0pq w0rs p(33) mnpqrs + q = 0; + m=1 n=1 p=1 q=1 r=1 s=1 M N M (43) w0mn lmn + (44) θ xmn lmn + (45) θymn lmn N (55) (53) (54) =0 + θymn lmn w0mn lmn + θ xmn lmn = 0; m=1 n=1 m=1 n=1 ) () ) (x, y), p(mnpqrx (x, y) trình bày Phụ lục A đó: hàm số lmn (x, y), h(mnpq Áp dụng phương pháp Galerkin, nhân biểu thức phương trình (17) với hàm riêng tương ứng thực tích phân tồn miền A tấm, ta được: M M N N M N (11) (12) u0mn Lmni j + v0mn Lmni j + m=1 n=1 M m=1 n=1 p=1 q=1 M N (21) u0mn Lmni j + (22) v0mn Lmni j N M N (23) w0mn w0pq Hmnpqi j = 0; + m=1 n=1 M (13) w0mn w0pq Hmnpqi j = 0; m=1 n=1 p=1 q=1 N M N M N (33) (34) (35) w0mn Lmni j + θ xmn Lmni j + θymn Lmni j + m=1 n=1 (31) (32) u0mn w0pq Hmnpqi j + v0mn w0pq Hmnpqi j m=1 n=1 p=1 q=1 M N M N M N w0mn w0pq w0rs P(33) mnpqrsi j + F i j = 0; + m=1 n=1 p=1 q=1 r=1 s=1 M M N N (53) (54) (55) w0mn Lmni j + θ xmn Lmni j + θymn Lmni j = (43) (44) (45) w0mn Lmni j + θ xmn Lmni j + θymn Lmni j = 0; m=1 n=1 m=1 n=1 172 (18) Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng () () () hệ số Lmni j , Hmnpqi j , Pmnpqrsi j , F i j trình bày Phụ lục B Nghiệm hệ phương trình đại số phi tuyến (18) véc tơ chuyển vị u0mn ; v0mn ; w0mn ; θ xmn ; θymn ; từ xác định phần chuyển vị, biến dạng, nội lực tốn phân tích phi tuyến tính tĩnh Trong phân tích tuyến tính, bỏ qua thành phần biến dạng phi tuyến cơng thức (7); hệ phương trình đại số tuyến tính thu từ (18) sau bỏ qua thành phần phi tuyến () () Hmnpqi j , Pmnpqrsi j Kết số thảo luận Với nghiệm giải tích thiết lập phần trên, chương trình tính Matlab viết để thực ví dụ số Các kết phân tích phi tuyến trừ trường hợp riêng nói trước Các cơng thức khơng thứ ngun sử dụng [43, 44]: K sy b2 a b Kw a4 K sx a2 q0 a4 ; J = = ; E = 1,0 GPa; P = w¯ = w0 , ; K0 = 0 h 2 E0 h3 E0 h3 ν E0 h3 ν E h4 (19) 5.1 Ví dụ kiểm chứng a Ví dụ kiểm chứng Tấm vuông đẳng hướng điều kiện biên hai cạnh đối diện tựa khớp, hai cạnh lại liên kết ngàm (SCSC) tác dụng tải trọng phân bố q0 với h/a = 0,05, ν = 0,3, E = 0,3 × 107 psi Bảng thể kết độ võng không thứ nguyên w¯ tâm với tham số tải trọng uốn P khác Các kết tính tốn báo so sánh với Lei [45] sử dụng phương pháp phần tử biên (the boundary element method) dựa lý thuyết bậc nhất, Azizian Dawe [46] sử dụng phương pháp dải hữu hạn (the finite strip method) sử dụng lý thuyết Mindlin, Long cs [47] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc theo tiếp cận ứng suất Bảng Độ võng không thứ nguyên w¯ vuông đẳng hướng điều kiện biên SCSC tác dụng tải trọng phân bố q0 = PE1 h4 /a4 P Azizian Dawe [46] (Lý thuyết Mindlin) Lei [45] Long cs [47] (Tiếp cận theo ứng suất) Bài báo Sai số δ (%) 0,9158 4,5788 6,8681 9,1575 0,0199 0,0988 0,1469 0,1936 0,0199 0,0984 0,1455 0,1904 0,0198 0,0982 0,1461 0,1929 0,0198 0,0981 0,1459 0,1922 0,23 0,11 0,17 0,35 *Sai số so với kết Long cs [47] b Ví dụ kiểm chứng Xét vuông đẳng hướng: a/h = 10, E = Ec = 322,27 GPa (Si3 N4 ), ν = 0,28, chịu tác dụng Em h4 tải trọng phân bố q0 = P , Em = 207,78 GPa (SUS304) Độ võng không thứ nguyên tâm a w¯ tính tốn so sánh với Talha Singh [48] sử dụng phương pháp PTHH (phần tử C , 13 bậc tự nút) dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với ẩn số chuyển vị độc lập Các kết kiểm chứng thể Bảng áp dụng với dạng điều kiện biên SSSS, SCSC 173 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Bảng Độ võng không thứ nguyên không thứ nguyên w¯ vuông đẳng hướng tác dụng tải trọng phân bố Phương pháp P=4 P=8 P = 12 P = 16 P = 20 P = 40 0,3911 0,3927 0,40 0,4597 0,4583 0,30 0,6984 0,6908 1,09 0,2306 0,2286 0,85 0,2811 0,2800 0,38 0,4942 0,4953 0,21 0,1598 0,1560 2,37 0,1981 0,1936 2,25 0,3698 0,3681 0,47 SSSS Talha Singh [48] Bài báo Sai số δ (%) 0,1200 0,1189 0,96 0,2251 0,2254 0,14 0,3185 0,3160 0,77 SCSC Talha Singh [48] Bài báo Sai số δ (%) 0,0602 0,0594 1,26 0,1193 0,1179 1,19 0,1764 0,1745 1,09 CCCC Talha Singh [48] Bài báo Sai số δ (%) 0,0405 0,0395 2,51 0,0808 0,0788 2,52 0,1207 0,1177 2,51 ớitrịđộ độ ả rằng, saiớớlệch ảả với ẫẫ cácới ấấ ảả kếtạạquả ốốbáo ỗỗ CCCC số tải trọng uốn khácứứnhau Có thể ảthấy làcũng bé (dưới [48] ến tính tính phi2,6%) tuyế ệệ ốố ỗỗ ảnhhưở hưở ỗỗ kết Talha Singh ến phi tuyế ớớ ảnh Qua ví dụ kiểm chứng 2, thấy rằngốlời theo có tiếpđộ cận phươngấpháp chuyển đốgiảiứng ứng ủủ ạạ ốố ỗỗ ỗỗ ệệ ố đố có độ ấ vị chương trình máy tính mà báo xây dựng có độ tin cậy ạạ độ ệt.Như Nhưchờ chờ ốố ỗỗ ỗỗ ạạ ếế ảả độ ấấ ệt đợ Các ví dụ khảo sát ếế độ độ hơntính tínhtheo theotuyế tuyế 5.2 đợ ếế ảả ỗng tăng lên sự độ tác dụngữữcủa tải ậậ vậtấấliệu xốp (E ệệ1 = ốố200 ỗng tăng sự ệệ hồi, ềềđộ Xét chữ nhật GPa, ν =lên 1/3) đặt đàn trọng phân bố q0càng càng Dướilớ đây, ảnh hưởng dạng phân bố lỗ rỗng, hệ số rỗng, tham số tỷ phương pháp tính lớ phương pháp tính Hình Biến thiên võngđộ w¯ tấmww xốp ủtheo ến độ thiên độ ủ ấấhệ số ến thiên rỗng e0 với quy luật phân bố lỗ rỗng khác ốố ệệ ốố ỗỗ ốố ỗỗ ỗỗ ậậ đượ đượ ểể ếế ễễ ần ần lượ lượ ớớ ủa độ độ Hình Biến thiên độ võng ếnthiên thiên độw¯ tấmw theo ến độ ủủ tải ấấtrọng phân bố P với quy luật phân bố lỗ rỗng khác ảả ọọ ốốđề ớớ đề ậậ 174 ủủ ấấ ậậ ứứ ốố ỗỗ ỗỗ ỷỷ ốốkích kíchthướ thướ ấấ ốố ớớ điề điề ệệ ếế ảả ếế ủủ w Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng số kích thước khảo sát Chú ý phân tích phi tuyến ký hiệu PT, phân tích tuyến tính ký hiệu TT Hình thể biến thiên độ võng lớn không thứ nguyên theo hệ số rỗng với ba dạng phân bố lỗ rỗng khác nhau: đều, đối xứng bất đối xứng Hình biểu diễn đường cong tải - độ võng với ba dạng phân bố lỗ rỗng khác (e0 = 0,5) Các đường thẳng thể phân tích tuyến tính, đường cong phân tích phi tuyến Từ đồ thị nhận ta nhận thấy, hệ số rỗng tăng làm cho độ cứng giảm, dẫn tới độ võng không thứ nguyên tăng theo với tất dạng phân bố lỗ rỗng, phân tích tuyến tính phi tuyến Hệ số rỗng lớn ảnh hưởng dạng phân bố lỗ rỗng rõ rệt Phân bố đối xứng có độ võng bé hai dạng phân bố lỗ rỗng lại cho kết độ võng không khác biệt phân tích tuyến tính Như chờ đợi, tính theo phi tuyến cho kết độ võng bé tính theo tuyến tính, ngồi cịn nhận thấy, hệ số lỗ rỗng tăng lên có khác biệt đáng kể độ võng phân tích theo tuyến tính phi tuyến w theo ếnđộ thiên ủ tỷấ số thiên độ ủ ấ w theo w kích ến thiên độ ủ ấ Hình 6.ến ếnđộthiên ủ tỷấ số kích Hình Biến thiên võngđộ w¯ Biến thiên võngđộ w¯ thước a/h với điều kiện biên khác thước cạnh b/a với điều kiện biên khác ỷ ố kíchỷthướ ấ thướ ới ố kích ấ điềới điề ỷ ố kíchỷthướ ố kíchạ thướ ạớ ệ điề ệ điề ệ ệ Quy luật biến thiên độ võng khơng thứ ngun w¯ theo tỷ số kích thước a/h (với b/a = 1) độ xốp ố ặớ ề ả với độủcácấđiềuủkiện ấ biên ố biểu ặố diễn ố lượt ề b/a (với a/h =đườ 10) củađườ tấmảFGM khácố lần Các ẽừ kết ấ tuyến ằ ố cận ề chuyển ẽể phân tích ể phi ấ tăng ằbài báo theo tăngtiếp ố ềđộ Hình Hình vị độ tính thịso cácệso hình tốn soủsánh cách tiếpảm cậnđáng theo ứng ấ vớiủảm kể ảnh hưởsuất ủhưởệbàiố ủbáo ề [47] ốvớềnàyệ cho ấđáng kể ảnhtrong ệ ốớnĐồ ềhơn ớnvớhơn ố thấy ề tương đồng hai cách tiếp cận, cụ thể là: - Về ảnh hưởng điều kiện biên: rõ ràng biên SSSS có độ võng lớn nhất, sau đến biên SCSC, biên CCCC có độ võng nhỏ nhất; biên hạn chế chuyển vị mặt phẳng có độ võng bé so với biên không hạn chế chuyển vị mặt phẳng tương ứng - Về ảnh hưởng tỷ số a/h: tăng tỷ số a/h, độ võng không thứ nguyên w¯ giảm nhanh a/h nhỏ (tấm dày, a/h ≤ 10); sau độ võng giảm chậm lại gần không đổi a/h lớn (a/h ≥ 30) - Về ảnh hưởng tỷ số b/a: tăng tỷ số b/a, độ võng không thứ nguyên w¯ tăng b/a nhỏ (0,5 ≤ b/a ≤ 2); sau thay đổi Hình đường cong tải - độ võng FGM xốp với bốn cặp tham số khác Từ hình vẽ, ta quan sát thấy rằng, tăng tham số K0 , J0 , độ võng giảm đáng kể; ảnh hưởng hệ số J0 lớn so với hệ số K0 Biến thiên thành phần mô men uốn M x , My tâm theo tải trọng phân bố P chữ nhật (b/a = 2) FGM xốp với điều kiện biên khác thể Hình Các đồ thị w ến mức thiêntải độ ố M Một w ủ ấ ếnP,thiên ế men uốn ố điều, thú vị cho thấy, với mô độ menủM xấ lớn nhiềuế so với mô y ả ọ ệớ ố ả ọ ố đề ốớđề ệ ố ủ ấ ủ ấả ọ ả ọ ố ố 175 ề ề đề ớiđềcác điềới ệ điề ệ ố ế ủ ốấ ếủ ủữ ấ ậ ủ ữ ầ ậ ầ ố ố ấạ ố ới điề ệ ố ới điề ệ ấả ọ ả ọ đượ ểđượ ể ến thiênếnđộthiên độ ủ ấ ủ ấ ỷ thướ ố kích ấthướ ấ ới điề ới điề ỷ ố kích ệ ệ ến thiênếnđộthiên độ ủ ấ ỷ thướ ố kích thướ ạớ ỷ ố kích ệ điề ệđiề ủ ấ đườ ả độ ả độ ủ ấ ủ ấ ố ố ố ớặ ố ặ ố ề ố ề Hải, L T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng ẽ ể ể độ ẽ ấ ằ ấ ằ tăng tăng ố ề ố ề độ ấ tăng ảm kể ảnhMhưở ề men ố ềnhỏ với biênủ SCSC, tảikểđáng P, môảnh menhưở uốn Myhơn so tăng ấ ủ ảm đáng ủx tăng ệ ốủ ềệkhiố mô ớn ớn so vớ ệ vớ ốkhiề ệP (P ≤ 12), sau lại giảm đườ w , w theo ếnđộthiên ủ ấ Hình ếBiến thiên ế mơ men uốn ếnđộ thiên ủ tải ấ trọng ố M x , ốMy (Nm/m) Hình Biến thiên võng w¯ củađộ phânảbố P với hệ số khác theo tải trọng phân bố P với điều kiện ớệ ố ệ ố ọ ả ọ ố đề ố đề ố ủ ấ ủ ấả ọ ả ọ ố biên khác ề ề đề ới điề đề ới ệđiề ệ ế ầ ố ế ủ ủ ầ ố ạấ ấ ả ọ ả ọ Kết ố luận ủ ố ấ ủ ữấ ậ ữ ậ ố ới ốcác điề đượ đượ ể ới ệđiề ệ ể ệ báo ệxây dựng sởđồlý thuyết ị đồ vàị ấthuậtớtoán ớn ấ ọphân ứ tích ọ ả phi ứ tuyến ả ứng xử uốn Bài củaớn chữkhá nhật ố với tăngkhi tả tăng ố ộtsốđiề ột kiện điề ị biên ới ị biên ớiSCSC, biên tả vị lý FGM ềxốp đặtềớtrên nềnớ đàn hồi điều khác theo SCSC, phương pháp chuyển ố dạngtăng mơ menmơgiải tăng ỏ phương ≤ 12), đóBubnov-Galerkin lạ ả lạ ả ố cắt tăng men tăng khibằng ỏ sau ≤ 12), sau thuyết biến bậc Nghiệm tíchkhi thu pháp với chương trình tính tự viết Matlab kiểm chứng với kết công bố cho thấy đủ tin cậy Ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số đàn hồi, tải trọng uốn điều kiện biên đến độ võng, đường cong tải - độ võng mô men uốn nội lực chi tiết qua ví dụ số Các nhận xét rút nguồn tham khảo hữu ích cho cơng tác tính tốn, thiết kế bảo trì cấu kiện cơng trình sử dụng vật liệu FGM xốp Lời cảm ơn Tác giả chân thành cảm ơn hỗ trợ tài đề tài khoa học cơng nghệ cấp Bộ “Nghiên cứu giải pháp ứng dụng vật liệu thông minh, thân thiện mơi trường kết cấu cơng trình thích ứng bối cảnh cách mạng cơng nghiệp 4.0”, mã số CT.2019.03.04 Tài liệu tham khảo [1] Smith, B H., Szyniszewski, S., Hajjar, J F., Schafer, B W., Arwade, S R (2012) Steel foam for structures: A review of applications, manufacturing and material properties Journal of Constructional Steel Research, 71:1–10 [2] Ashby, M F., Evans, T., Fleck, N A., Hutchinson, J W., Wadley, H N G., Gibson, L J (2000) Metal foams: a design guide Elsevier [3] Banhart, J (2001) Manufacture, characterisation and application of cellular metals and metal foams Progress in Materials Science, 46(6):559–632 [4] Magnucki, K., Malinowski, M., Kasprzak, J (2006) Bending and buckling of a rectangular porous plate Steel and Composite Structures, 6(4):319–333 176 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [5] Jabbari, M., Mojahedin, A., Khorshidvand, A R., Eslami, M R (2014) Buckling analysis of a functionally graded thin circular plate made of saturated porous materials Journal of Engineering Mechanics, 140(2):287–295 [6] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2015) Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam Composite Structures, 133:54–61 [7] Wang, Y., Wu, D (2017) Free vibration of functionally graded porous cylindrical shell using a sinusoidal shear deformation theory Aerospace Science and Technology, 66:83–91 [8] Hải, L V., Tú, T M., Huỳnh, L X (2018) Phân tích dao động riêng vật liệu rỗng theo lỳ thuyết biến dạng cắt bậc Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 12(7):9–19 [9] Long, N V., Hường, N T (2020) Phân tích ổn định kết cấu dầm vật liệu xốp chịu nén dọc trục với điều kiện biên khác Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 14(2V):97–106 [10] Ebrahimi, F., Dabbagh, A., Rastgoo, A (2019) Vibration analysis of porous metal foam shells rested on an elastic substrate The Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 54(3):199–208 [11] Praveen, G N., Reddy, J N (1998) Nonlinear transient thermoelastic analysis of functionally graded ceramic-metal plates International Journal of Solids and Structures, 35(33):4457–4476 [12] Zhao, X., Liew, K M (2009) Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198(33-36): 2796–2811 [13] Yin, S., Yu, T., Bui, T Q., Nguyen, M N (2015) Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using isogeometric analysis Engineering Computations [14] Na, K.-S., Kim, J.-H (2006) Nonlinear bending response of functionally graded plates under thermal loads Journal of Thermal Stresses, 29(3):245–261 [15] Tung, H V., Duc, N D (2010) Nonlinear analysis of stability for functionally graded plates under mechanical and thermal loads Composite Structures, 92(5):1184–1191 [16] Thang, P.-T., Nguyen-Thoi, T., Lee, J (2016) Closed-form expression for nonlinear analysis of imperfect sigmoid-FGM plates with variable thickness resting on elastic medium Composite Structures, 143:143– 150 [17] Duc, N D., Bich, D H., Cong, P H (2016) Nonlinear thermal dynamic response of shear deformable FGM plates on elastic foundations Journal of Thermal Stresses, 39(3):278–297 [18] Woo, J., Meguid, S A., Ong, L S (2006) Nonlinear free vibration behavior of functionally graded plates Journal of Sound and Vibration, 289(3):595–611 [19] Shen, H.-S (2002) Nonlinear bending response of functionally graded plates subjected to transverse loads and in thermal environments International Journal of Mechanical Sciences, 44(3):561–584 [20] Yang, J., Shen, H.-S (2003) Nonlinear bending analysis of shear deformable functionally graded plates subjected to thermo-mechanical loads under various boundary conditions Composites Part B: Engineering, 34(2):103–115 [21] Wu, T.-L., Shukla, K K., Huang, J H (2007) Post-buckling analysis of functionally graded rectangular plates Composite Structures, 81(1):1–10 [22] Alinia, M M., Ghannadpour, S A M (2009) Nonlinear analysis of pressure loaded FGM plates Composite Structures, 88(3):354–359 [23] Duc, N D., Quang, V D., Nguyen, P D., Chien, T M (2018) Nonlinear dynamic response of functionally graded porous plates on elastic foundation subjected to thermal and mechanical loads Journal of Applied and Computational Mechanics, 4(4):245–259 [24] Tu, T M., Hoa, L K., Hung, D X., Hai, L T (2020) Nonlinear buckling and post-buckling analysis of imperfect porous plates under mechanical loads Journal of Sandwich Structures & Materials, 22(6): 1910–1930 [25] Cong, P H., Chien, T M., Khoa, N D., Duc, N D (2018) Nonlinear thermomechanical buckling and post-buckling response of porous FGM plates using Reddy’s HSDT Aerospace Science and Technology, 77:419–428 [26] Phung-Van, P., Thai, C H., Ferreira, A J M., Rabczuk, T (2020) Isogeometric nonlinear transient analysis of porous FGM plates subjected to hygro-thermo-mechanical loads Thin-Walled Structures, 177 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 148:106497 [27] Zhang, D.-G., Zhou, Y.-H (2008) A theoretical analysis of FGM thin plates based on physical neutral surface Computational Materials Science, 44(2):716–720 [28] Bellifa, H., Benrahou, K H., Hadji, L., Houari, M S A., Tounsi, A (2016) Bending and free vibration analysis of functionally graded plates using a simple shear deformation theory and the concept the neutral surface position Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 38(1):265– 275 [29] Liu, Y., Su, S., Huang, H., Liang, Y (2019) Thermal-mechanical coupling buckling analysis of porous functionally graded sandwich beams based on physical neutral plane Composites Part B: Engineering, 168:236–242 [30] Phuong, N T B., Tu, T M., Phuong, H T., Van Long, N (2019) Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-NUCE, 13(1):33–45 [31] Xu, T F., Xing, Y F (2016) Closed-form solutions for free vibration of rectangular FGM thin plates resting on elastic foundation Acta Mechanica Sinica, 32(6):1088–1103 [32] Zenkour, A M., Radwan, A F (2019) Bending response of FG plates resting on elastic foundations in hygrothermal environment with porosities Composite Structures, 213:133–143 [33] Zaoui, F Z., Ouinas, D., Tounsi, A (2019) New 2D and quasi-3D shear deformation theories for free vibration of functionally graded plates on elastic foundations Composites Part B: Engineering, 159: 231–247 [34] Benferhat, R., Daouadji, T H., Mansour, M S., Hadji, L (2016) Effect of porosity on the bending and free vibration response of functionally graded plates resting on Winkler-Pasternak foundations Earthquakes and Structures, 10(6):1429–1449 [35] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S (2016) Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International Journal of Mechanical Sciences, 108:14–22 [36] Barati, M R., Zenkour, A M (2017) Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions Composite Structures, 182:91–98 [37] Larbi, L O., Kaci, A., Houari, M S A., Tounsi, A (2013) An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and free vibration of functionally graded beams# Mechanics Based Design of Structures and Machines, 41(4):421–433 [38] Reddy, J N (2006) Theory and analysis of elastic plates and shells CRC Press [39] Reddy, J N (2017) Energy principles and variational methods in applied mechanics John Wiley & Sons [40] Benatta, M A., Kaci, A., Tounsi, A., Houari, M S A., Bakhti, K., Bedia, E A A (2014) Nonlinear bending analysis of functionally graded plates under pressure loads using a four variable refined plate theory International Journal of Computational Methods, 11(04):1350062 [41] Sobhy, M (2013) Buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates resting on elastic foundations under various boundary conditions Composite Structures, 99:76–87 [42] Meziane, M A A., Abdelaziz, H H., Tounsi, A (2014) An efficient and simple refined theory for buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates under various boundary conditions Journal of Sandwich Structures & Materials, 16(3):293–318 [43] Thai, H.-T., Choi, D.-H (2011) A refined plate theory for functionally graded plates resting on elastic foundation Composites Science and Technology, 71(16):1850–1858 [44] Zenkour, A M (2009) The refined sinusoidal theory for FGM plates on elastic foundations International Journal of Mechanical Sciences, 51(11-12):869–880 [45] Lei, X.-y., Huang, M.-K., Wang, X (1990) Geometrically nonlinear analysis of a Reissner type plate by the boundary element method Computers & Structures, 37(6):911–916 [46] Azizian, Z G., Dawe, D J (1985) Geometrically nonlinear analysis of rectangular mindlin plates using the finite strip method Computers & Structures, 21(3):423–436 [47] Long, N V., Tú, T M., Trang, V T T (2020) Phân tích phi tuyến ứng xử uốn vật liệu FGM xốp đặt đàn hồi Pasternak với điều kiện biên khác có xét đến vị trí thực mặt trung 178 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng hịa Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 14(4V):1–15 [48] Talha, M., Singh, B N (2011) Nonlinear mechanical bending of functionally graded material plates under transverse loads with various boundary conditions International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing, 2(02):237–258 Phụ lục A Các hàm số hệ phương trình (17) ′ ′ (11) ′′ ′′ (12) V2n lmn (x, y) = A11 U1m U2n + A66 U1m U2n ; lmn (x, y) = (A12 + A66 ) V1m ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ h(13) mnpq (x, y) = A11 Xm Yn X p Yq + A12 Xm Yn X p Yq + A66 Xm Yn X p Yq + Xm Y p X p Yq (21) ′ ′ (22) ′′ ′ lmin (x, y) = (A12 + A66 ) U1m U2n ; lmn (x, y) = A11 V1m V2n + A66 V1m V2n ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ h(23) mnpq (x, y) = A22 Xm Yn X p Yq + A12 Xm Yn X p Yq + A66 Xm Yn X p Yq + Xm Yn X p Yq (33) s s lmn (x, y) = A44 Xm Yn′′ + A55 Xm′′ Yn − Kw Xm Yn + K sx Xm′′ Yn + K sy Xm Yn′′ (34) s (35) s lmn (x, y) = A55 Xm′′ Yn ; lmn (x, y) = A44 Xm Yn′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ h(31) mnpq (x, y) = A11 U 1m U 2n X p Yq + A12 U 1m U 2n X p Yq + 2A66 U 1m U 2n X p Yq ′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ h(32) mnpq (x, y) = A12 V1m V2n X p Yq + A11 V1m V2n X p Yq + 2A66 V1m V2n X p Yq 1 ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ p(33) mnpqrs (x, y) = A11 Xm Yn X p Yq Xr Y s + A12 Xm Yn X p Yq Xr Y s + A12 Xm Yn X p Yq Xr Y s 2 + A11 Xm Yn′ X p Yq′ Xr Y s′′ + 2A66 Xm′ Yn X p Yq′ Xr′ Y s′ (43) s (44) lmn (x, y) = −A55 Xm′ Yn ; lmn (x, y) = C11 Xm′′′ Yn − A55 Xm′ Yn + C66 Xm′ Yn′′ (53) s (54) (45) (x, y) = −A44 Xm Yn′ ; lmn (x, y) = (C12 + C66 ) Xm′′ Yn′ lmn (x, y) = (C12 + C66 ) Xm′ Yn′′ ; lmn (55) s lmn (x, y) = C66 Xm′′ Yn′ + C22 Xm Yn′′′ − A44 Xm Yn′ Phụ lục B Các hệ số công thức (18) b a (11) (12) (13) Lmni j , Lmni j , Hmnpqi j (11) (12) (13) lmn , lmn , hmnpq U1i U2 j dxdy = 0 a (21) (22) (23) Lmni j , Lmni j , Hmnpqi j b (21) (22) (23) lmn , lmn , hmnpq V1i V2 j dxdy = 0 b a (33) (34) (35) (31) (32) (33) Lmni j , Lmni j , Lmni j , Hmnpqi j , Hmnpqi j , Pmnpqrsi j (33) (34) (35) (31) (33) lmn , lmn , lmn , hmnpq , h(32) mnpq , pmnpqrs Xi Y j dxdy = a b Fi j = qXi Y j dxdy 0 b a (43) (44) (45) Lmni j , Lmni j , Lmni j (11) (12) (13) (43) (44) (45) , lmn , lmn Xi′ Y j dxdy lmn , lmn , hmnpq , lmn = 0 b a (53) (54) (55) Lmni j , Lmni j , Lmni j = (11) (12) (13) (53) (54) (55) lmn , lmn , hmnpq , lmn , lmn , lmn Xi Y ′j dxdy 0 179 ... độ ứ ắ xốptrên trênnền nền? ?àn đànhồi hồi Hình 1.Mơ M? ?hình hìnhtấm tấmchữ chữ nhật nhật FGM xốp Mô đun đàn hồ nén và mô đun đàn hồi trượ ủ ậ ệ ố ụ ộ Mô đun đàn hồi kéo-nén mô đun đàn hồi trượt... xử phi tuyến FGM phương pháp đẳng hình học Na Kim [14] khảo sát ứng xử uốn phi tuyến FGM chịu tác dụng tải trọng cơ-nhiệt phương pháp PTHH-3D Ngoài phương pháp số sử dụng phân tích kể trên, phương. .. Trang, V T T (2020) Phân tích phi tuyến ứng xử uốn vật liệu FGM xốp đặt đàn hồi Pasternak với điều kiện biên khác có xét đến vị trí thực mặt trung 178 Hải, L T / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây