Đề thi Đại số Đại Cương

Tổ chức EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Chuyên san EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp HCM 1 Đề thi Đại số Đại Cương Bộ đề này được thực hiện dựa trên chương.

Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Đề thi Đại số Đại Cương Bộ đề thực dựa chương trình hợp tác tổ chức EXP Toantin.org, hai thuộc khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp.HCM Tổ chức EXP Toantin.org Mọi góp ý đề thi xin gửi email: thienquocdongphuc@gmail.com Cảm ơn bạn Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Trên tập ℝ số thực, xét phép toán ∗ định 𝑥 ∗ 𝑦 = ( √𝑥 + 3√𝑦 + 2) a) Chứng minh (ℝ; ∗) nhóm giao hốn b) Tìm 𝑥 ∈ ℝ thỏa ∗ 𝑥 ∗ (−8) = −1 Câu 2: Cho ánh xạ 𝑓: ℤ → ℤ33 định 𝑓(𝑘) = 2𝑘̅ a) Chứng minh 𝑓 đồng cấu nhóm b) Xác định Ker 𝑓 c) 𝑓 có phải tồn cấu nhóm khơng? Tại sao? Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑛 số nguyên dương lẻ Với 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, đặt 𝑛 𝑛 𝑥 ∗ 𝑦 = (1 + √𝑥 + 𝑛√𝑦) Chứng minh (ℝ; ∗) nhóm giao hốn Câu 2: Trong nhóm 𝐺 cho phần tử 𝑎 có cấp 16 Tìm cấp phần tử 𝑎6 Câu 3: Cho 𝐺 nhóm 𝐻 nhóm cyclic, chuẩn tắc 𝐺 Chứng minh nhóm 𝐻 nhóm chuẩn tắc 𝐺 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Chứng minh 𝐻 nhóm nhóm cộng số nguyên ℤ 𝐻 có dạng 𝑛ℤ, với 𝑛 ∈ ℕ Câu 2: Trên tập hợp số thực ℝ xét phép tốn hai ngơi ∗ sau 3 𝑥 ∗ 𝑦 = ( √𝑥 + 3√𝑦) , với 𝑥, 𝑦 thuộc ℝ Chứng minh (𝑅; ∗) nhóm mơ tả phần tử có cấp hữu hạn nhóm Câu 3: Chứng minh 𝐺𝐿(𝑛; ℝ)⁄𝑆𝐿(𝑛; ℝ) ≡ ℝ∗ Câu 4: Trong nhóm hốn vị chẵn 𝐴𝑖 nhóm khơng chuẩn tắc Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 = ℝ∗ \{1} Định nghĩa phép toán 𝐺 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 ln 𝑦 với 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺 Chứng minh 𝐺 nhóm giao hốn Câu 2: Trong nhóm hốn vị 𝑆9 xét phần tử sau: 𝜎=( ) ; 𝜏 = (1 3)(4 8)(1 9) a) Viết 𝜎 𝜏 dạng tích chu trình rời dạng tích chuyển vị b) Tính cấp phần tử 𝜎𝜏; 𝜎 −1 𝜏 𝜏𝜎 Câu 3: Chứng minh nhóm thương ℝ⁄ℤ đẳng cấu với nhóm nhân 𝑈 số phức có module Câu 4: Cho 𝐺 = 𝑆3 nhóm hốn vị bậc với phần tử đơn vị 𝑒 Đặt 𝐻 = {𝑒; (123); (132)} a) Chứng minh 𝐻 nhóm chuẩn tắc 𝐺 b) Tìm nhóm thương 𝐺 ⁄𝐻 c) 𝐺 ⁄𝐻 có giao hốn khơng? Vì sao? Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑛 số nguyên dương lẻ Với 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ, đặt 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑛√𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 + 2𝑛 a) Chứng minh (ℝ; ∗) nhóm giao hốn b) Trong (ℝ; ∗), tìm tất phần tử có cấp ước số Câu 2: Liệt kê tất phần tử sinh nhóm ℤ18 Câu 3: Cho 𝐺 nhóm Abel Chứng minh tập hợp 𝐻 gồm tất phần tử có cấp hữu hạn 𝐺 nhóm 𝐺 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Trên tập ℝ số thực, xét phép toán ∗ định 𝑥 ∗ 𝑦 = ( √𝑥 + 3√𝑦 + 2) a) Chứng minh (ℝ; ∗) nhóm giao hốn b) Tìm 𝑥 ∈ ℝ thỏa 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ (−8) = −1 Câu 2: Cho ánh xạ 𝑓 ∶ ℤ → ℤ33 định 𝑓(𝑘) = 2𝑘̅ a) Chứng minh 𝑓 đồng cấu nhóm b) Xác định Ker 𝑓 c) 𝑓 có tồn cấu nhóm khơng? Tại sao? Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Trên tập ℝ số thực, xét phép toán ∗ định 𝑥 ∗ 𝑦 = √𝑥 + 𝑦 + 35 a) Chứng minh (ℝ; ∗) nhóm Abel b) Tìm 𝑥 ∈ ℝ thỏa 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ ∗ 𝑥 = √3 Câu 2: Cho ánh xạ 𝑓 ∶ ℤ10 → ℤ10 định 𝑓(𝑘̅) = 3𝑘̅ a) Chứng minh 𝑓 đồng cấu nhóm cộng b) Xác định Ker 𝑓 ; Im 𝑓 Từ rút kết luận đồng cấu 𝑓 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Cho 𝐺 = ℝ\{5} tập số thực khác Với 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺, đặt 𝑥 ∗ 𝑦 = − (𝑥 − 5)(𝑦 − 5) Câu 1: Chứng minh ∗ phép tốn 𝐺 (𝐺; ∗) nhóm Abel Câu 2: Tìm tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm (𝐺; ∗) Câu 3: Cho ánh xạ 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐺 định 5𝑥 − 24 𝑓(𝑥) = 𝑥−5 Chứng minh 𝑓 đồng cấu nhóm Câu 4: Xác định Ker 𝑓 ; Im 𝑓 Từ rút kết luận đồng cấu 𝑓 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho nhóm giao hốn 𝐺 𝑎, 𝑏 hai phân tử 𝐺, 𝑎 có cấp 10 𝑏 có cấp 15 Chứng minh phần tử 𝑎5 𝑏 có cấp Có kết luận 𝑎𝑏 có cấp 30 khơng? Tại sao? Câu 2: Trên tập ℤ × ℤ ta định nghĩa phép cộng phép nhân sau: ∀(𝑎; 𝑏); (𝑚; 𝑛) ∈ ℤ × ℤ (𝑎; 𝑏) + (𝑚; 𝑛) = (𝑎 + 𝑚; 𝑏 + 𝑛) (𝑎; 𝑏) (𝑚; 𝑛) = (𝑎𝑚; 𝑎𝑛 + 𝑏𝑚 + 𝑏𝑛) Chứng minh ℤ × ℤ với hai phép tốn lập thành vành Hãy tìm ước khơng vành Câu 3: Trong trường số phức ℂ đặt ℚ(√2) = {𝑎 + 𝑏√2 | 𝑎; 𝑏 ∈ ℚ} Chứng minh ℚ(√2) trường ℂ tìm tất tự đồng cấu ℚ(√2) Câu 4: Giải phương trình sau vành ℤ666 ̅̅̅ ̅̅̅ = ̅35 78𝑥̅ − ̅13 Câu 5: Trong vành ℚ[𝑥] cho hai đa thức 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑔(𝑥) = 𝑥 3𝑛 − 𝑥 2𝑛 + 𝑥 𝑛 − Trong 𝑛 số nguyên dương lẻ Chứng minh 𝑓(𝑥) | 𝑔(𝑥) 10 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 = ℝ∗ × ℝ, ℝ trường số thực ℝ∗ nhóm nhân số thực khác khơng Trên 𝐺 cho phép tốn ∗ xác định sau: (𝑥1 ; 𝑦1 ) ∗ (𝑥2 ; 𝑦2 ) = (𝑥1 𝑥2 ; 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 ) a) Chứng minh (𝐺; ∗) nhóm khơng giao hốn b) Tìm nhóm 𝐻 𝐾 cho 𝐻 nhóm chuẩn tắc thực 𝐺 𝐺 ⁄𝐻 đẳng cấu với 𝐾 Câu 2: a) Giải phương trình sau ℤ999 : 103𝑥̅ = ̅̅̅̅̅ 444 b) Tìm đa thức 𝑓(𝑥) bậc ℤ11 [𝑥] cho 𝑓(1̅) = 𝑥̅ ; 𝑓(2̅) = 2̅; 𝑓(3̅) = 4̅; 𝑓(5̅) = 6̅ Câu 3: Trong vành đa thức ℚ[𝑥] cho đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 7𝑥 + 18𝑥 + 22𝑥 + 13; 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 4𝑥 + 8𝑥 + 8𝑥 + a) Tìm khai triển Taylor đa thức 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥) 𝑥0 = xét xem chúng có phải đa thức bất khả quy khơng? b) Tìm ước chung lớn đa thức 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥) 11 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 nhóm Giả sử tồn số nguyên 𝑛 > cho (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 , ∀𝑎; 𝑏 ∈ 𝐺 Chứng minh ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ta có: a) (𝑎𝑏)𝑛−1 = 𝑏 𝑛−1 𝑎𝑛−1 b) 𝑎𝑛 𝑏 𝑛−1 = 𝑏 𝑛−1 𝑎𝑛 Câu 2: Cho 𝐺 nhóm 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐺 ánh xạ xác định 𝑓(𝑥) = 𝑥 −1 , ∀𝑥 ∈ 𝐺 Chứng minh 𝑓 đẳng cấu 𝐺 nhóm abel Câu 3: Tìm tất số nguyên 𝑛 thỏa mãn 35𝑛 + 45 chia hết cho 225 Câu 4: Cho đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 9𝑥 + 6𝑥 − a) Chứng tỏ 𝑓(𝑥) bất khả qui ℚ b) Hãy phân tích 𝑓(𝑥) thành tích nhân tử bất khả quy ℤ Câu 5: Cho 𝑎 = √2 + √3 Tìm đa thức 𝑓(𝑥) bất khả qui ℤ cho 𝑓(𝑎) = 12 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐺 ′ 𝑔 ∶ 𝐺 ′ → 𝐺 đồng cấu nhóm Đặt 𝐻 = {𝑥 ∈ 𝐺 | 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)} Chứng minh 𝐻 nhóm 𝐺 Câu 2: Cho (𝐺, ) Là nhóm, 𝐻 = 〈𝑥〉 nhóm cyclic 𝐺 𝐻 chuẩn tắc 𝐺 a) Chứng minh (𝑥 −1 𝑦𝑥)𝑘 = (𝑥 −1 𝑦 𝑘 𝑥) với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 𝑘 ∈ ℤ b) Chứng minh nhóm cyclic 𝐾 = 〈𝑥 𝑘 〉 chuẩn tắc 𝐺 với 𝑘 ∈ ℤ Câu 3: Giải phương trình sau ℤ130 ̅̅̅̅ = 36 ̅̅̅̅𝑥̅ + 45 ̅̅̅̅ 63 Câu 4: Chứng minh đa thức sau bất khả qui ℚ 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 + Câu 5: Cho 𝑅 vành có phần tử cho với phần tử 𝑥 khác 𝑅 tồn phần tử 𝑦 𝑅 để 𝑥𝑦𝑥 = 𝑥 Chứng minh 𝑅 khơng có ước 13 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Với 𝑥; 𝑦 thuộc ℝ, đặt 3 𝑥 ∗ 𝑦 = ( √𝑥 + 3√𝑦 + 2) a) Chứng minh (ℝ; ∗) nhóm giao hốn b) Xác định tất phần tử có cấp hữu hạn (ℝ; ∗) 𝑎 𝑏 Câu 2: Trong vành 𝑅 = 𝑀(2, ℝ), xét 𝐼 = {[ ] | 𝑎; 𝑏 ∈ ℝ} 0 a) Chứng minh 𝐼 vành 𝑅 b) 𝐼 có ideal 𝑅 khơng? 𝐼 có ideal phải, có ideal trái 𝑅 khơng? Câu 3: Xác định tất số tự nhiên 𝑛 cho đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥 2𝑛 + 𝑥 𝑛+1 + 𝑥 − chia hết cho đa thức 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + ℚ[𝑥] Câu 4: Cho đa thức với hệ số nguyên: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 12𝑥 − 11𝑥 + 42𝑥 + a) Chứng minh 𝑓(𝑥) có nghiệm hữu tỉ 𝑥0 b) Đặt 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑔(𝑥) Viết khai triển Taylor 𝑔(𝑥) 𝑥1 = c) Phân tích 𝑓(𝑥) thành tích đa thức bất khả qui ℚ 14 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Chứng minh 𝑥 𝑦 𝐻 = {[2𝑦 𝑥 ] |𝑥; 𝑦 ∈ ℚ; 𝑥 + 𝑦 > 0} nhóm nhóm (𝐺𝐿(2; ℚ); ) Câu 2: Xét đồng cấu nhóm cộng 𝑓: ℚ → ℤ a) Chứng minh với 𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑓(1) = 𝑛𝑓(1⁄𝑛) b) Suy ra: 𝑓(1) = 𝑓 đồng cấu tầm thường ̅̅̅ ℤ666 ̅̅𝑥 − ̅13 ̅̅̅ = ̅35 Câu 3: Giải phương trình ̅̅ 78 Câu 4: Tìm ước chung lớn hai đa thức sau trường ℚ 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 2𝑥 − 16𝑥 + 5𝑥 + 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥 − 5𝑥 + Câu 5: Trong trường số phức ℂ xét trường ℚ(√2) = {𝑎 + 𝑏√2 | 𝑎; 𝑏 ∈ ℚ} ℚ(𝑖) = {𝑎 + 𝑏𝑖 | 𝑎; 𝑏 ∈ ℚ} Chứng minh ℚ(𝑖) ℚ(√2) không đẳng cấu với 15 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho nhóm (𝐺 ; ) Và 𝑎 ∈ 𝐺 Trên 𝐺 ta định nghĩa phép toán ∗ sau: với 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺; 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥𝑎𝑦 Chứng minh (𝐺; ∗) nhóm ̅̅̅ = 2̅ ℤ335 Câu 2: Giải phương trình 95𝑥̅ − ̅13 Câu 3: Tìm ước chung lớn hai đa thức sau trường ℚ 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + Câu 4: Chứng minh hai trường sau đẳng cấu: 𝑎 𝑏 𝐹 = {[ ] | 𝑎; 𝑏 ∈ ℚ} ℚ√2 = {𝑎 + 𝑏√2 | 𝑎; 𝑏 ∈ ℚ} 2𝑏 𝑎 16 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 = 〈𝑥〉 nhóm nhân cyclic cấp 𝑛 𝑘 số nguyên dương a) Chứng minh 〈𝑥 𝑘 〉 = 〈𝑥 (𝑛; 𝑘) 〉, (𝑛; 𝑘) ước số chung lớn 𝑛 𝑘 b) Giả sử 𝑘 ước số 𝑛 Chứng minh 𝑥 𝑘 có cấp 𝑛⁄𝑘 𝐺 tồn nhóm cấp 𝑘 Câu 2: Trong vành ma trận vuông cấp với hệ số thực 𝑅 = 𝑀(2; ℝ), cho 𝑎 𝑏 𝐼 = {[ ] | 𝑎; 𝑏 ∈ ℝ} 𝑎 a) Chứng minh 𝐼 vành 𝑅 b) 𝐼 có ideal 𝑅 khơng? 𝐼 có ideal phải, có ideal trái 𝑅 khơng? Câu 3: a) Chứng minh ánh xạ 𝑓 ∶ ℤ12 → ℤ12 định 𝑓(𝑥̅ ) = 9𝑥̅ môt đẳng cấu vành liệt kê phần tử 𝐼𝑚(𝑓), Ker(𝑓) b) Xét vành ℤ𝑛 số nguyên đồng dư modulo 𝑛 Tìm điều kiện 𝑘 ∈ ℕ cho ánh xạ 𝑓 ∶ ℤ𝑛 → ℤ𝑛 định 𝑓(𝑥̅ ) = 𝑘𝑥̅ đồng cấu vành Câu 4: Cho đa thức với hệ số nguyên: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 6𝑥 + a) Viết khai triển Taylor 𝑓(𝑥) 𝑥0 = −1 b) Khảo sát tính bất khả quy ℚ 𝑓(𝑥) 17 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 tập số thực dương khác Với 𝑥; 𝑦 thuộc 𝐺, đặt 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 − ln 𝑥 a) Chứng minh (𝐺, ∗) nhóm giao hốn b) Tìm tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm 𝐺 Câu 2: Cho 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑅 = {[0 𝑎 𝑑] | 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 ∈ ℚ} ; 𝐼 = {[0 𝑑 ] | 𝑏; 𝑐; 𝑑 ∈ ℚ} 0 𝑎 0 Chứng minh rằng: a) 𝑅 vành vành ma trận 𝑀3 (ℚ) b) 𝐼 ideal 𝑅 không ideal 𝑀3 (ℚ) c) 𝑅 ⁄𝐼 ≅ ℚ Câu 3: Giải phương trình sau: ̅̅̅̅ = 75 ̅̅̅̅ ℤ100 a) 23𝑥̅ − 45 ̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ b) 46𝑥̅ − ̅90 150 ℤ200 Câu 4: Cho đa thức với hệ số nguyên: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 8𝑥 + 22𝑥 + 22𝑥 − 𝑥 + a) Viết khai triển Taylor 𝑓(𝑥) 𝑥0 = −1 b) 𝑓(𝑥) có bất khả quy ℚ hay khơng? Vì sao? 18 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 tập số thực khác −2 Với 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺, đặt 𝑥 ∗ 𝑦 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑥𝑦 + Chứng minh: a) ∗ phép toán 𝐺 b) (𝐺; ∗) nhóm giao hốn c) Tìm tất phần tử có cấp nhóm (𝐺; ∗) Câu 2: Xét nhóm hốn vị 𝑆5 𝐴 = {(1 2); (3 5)} ⊂ 𝑆5 a) Liệt kê phần tử nhóm 𝐻 = 〈𝐴〉 xác định cấp 𝐻 b) 𝐻 có chuẩn tắc 𝑆5 khơng? Vì sao? Câu 3: Xét trường số thực ℝ vành tích trực tiếp ℝ2 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ} đặt 𝐼 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 ∈ ℝ; 𝑦 ∈ ℚ}; 𝐽 = {(𝑥; 0) | 𝑥 ∈ ℝ} a) Chứng minh 𝐼 vành không ideal ℝ2 b) Chứng minh 𝐽 ideal ℝ2 c) Tìm tất ideal ℝ2 Câu 4: Trong ℚ[𝑥], cho đa thức hệ số nguyên: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5𝑥 + 12𝑥 + 11𝑥 + a) Viết khai triển Taylor 𝑓(𝑥) 𝑥0 = −2 b) 𝑓(𝑥) có bất khả qui ℚ khơng? Vì sao? c) Chứng minh không tồn đa thức 𝑔(𝑥) ∈ ℚ[1], ≤ deg(𝑔) ≤ cho 𝑓(𝑥) chia hết cho 𝑔(𝑥) 19 Chuyên san EXP tập đoàn Toán học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑛 số nguyên dương phép toán ∗ tập hợp ℝ số thực định bởi: 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑛√𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 + 2𝑛 a) Chứng minh phép toán ∗ giao hoán kết hợp ℝ b) Xác định 𝑛 để (ℝ; ∗) nhóm Câu 2: Cho nhóm cộng 𝐺 = ℚ⁄ℤ 𝑛 số nguyên dương a) Chứng minh phần tử + ℤ có cấp 𝑛 𝐺 𝑛 b) Chứng minh 𝐺 tồn nhóm cylic cấp 𝑛 Câu 3: Xét vành ℤ10 ánh xạ 𝑓 ∶ ℤ10 → ℤ10 định 𝑓(𝑎̅) = 6𝑎̅ a) Chứng minh 𝑓 đồng cấu vành b) Chứng minh im 𝑓 = 〈2̅〉 ker 𝑓 = 〈5̅〉 Câu 4: Cho đa thức với hệ số nguyên: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 7𝑥 + 16𝑥 − 14𝑥 + 14𝑥 − 20 a) Viết khai triển Taylor 𝑓(𝑥) 𝑥0 = b) Phân tích 𝑓(𝑥) thành tích đa thức bất khả quy ℚ 20 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑛 số nguyên dương lẻ phép toán ∗ tập hợp ℝ số thực định bởi: 𝑛 𝑛 𝑥 ∗ 𝑦 = ( √𝑥 + 𝑛√𝑦 − 2) a) Chứng minh (ℝ; ∗) nhóm giao hốn b) Tìm tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm (ℝ; ∗) Câu 2: Giải phương trình sau: ̅̅̅̅) = 4̅ vành ℤ31 a) 7(𝑥̅ − 14 ̅̅̅̅) = 12 ̅̅̅̅ tron vành ℤ93 b) 21(𝑥̅ − 14 Câu 3: Cho 𝑅 vành giao hốn có đơn vị 𝑎 ∈ 𝑅 thỏa 𝑎3 = Chứng minh: a) + 𝑎 khả nghịch tìm (1 + 𝑎)−1 b) Nếu 𝑥 ∈ 𝑅 thỏa 𝑥 + 𝑎 khả nghịch 𝑥 khả nghịch Câu 4: Cho đa thức với hệ số nguyên: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 9𝑥 − 10𝑥 − a) Tìm tất nghiệm hữu tỷ 𝑓(𝑥) b) Phân tích 𝑓(𝑥) thành tích đa thức bất khả quy ℚ 21 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 tập số thực dương khác Với 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺, đặt 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 ln 𝑦 a) Chứng minh (𝐺; ∗) nhóm giao hốn b) Tìm tất phần tử có cấp 𝐺 c) Chứng minh 𝐺 không tồn phần tử có cấp hữu hạn 𝑛 > Câu 2: Cho 𝐺 nhóm 𝐻 nhóm cyclic 𝐺 Chứng minh 𝐻 chuẩn tắc 𝐺 nhóm 𝐻 chuẩn tắc 𝐺 Câu 3: Xét ánh xạ 𝑓 ∶ ℤ → ℤ12 định 𝑓(𝑎) = 4𝑎̅ a) Chứng minh 𝑓 đồng cấu vành b) Xác định Ker 𝑓 c) 𝑓 có tồn cấu vành không? Tại sao? Câu 4: Cho đa thức với hệ số nguyên: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 6𝑥 + a) Viết khai triển Taylor 𝑓(𝑥) 𝑥0 = b) 𝑓(𝑥) có bất khả quy ℚ khơng? Tại sao? 22 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 tập số thực dương khác Với 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺, đặt 𝑥 ∗ 𝑦 = 2ln 𝑥 ln 𝑦 a) Chứng minh (𝐺, ∗) nhóm Abel b) Tìm tất phần tử có cấp 𝐺 c) Chứng minh 𝐺 khơng tồn phần tử có cấp hữu hạn 𝑛 > Câu 2: Cho 𝐺 nhóm Abel Chứng minh tất phần tử có cấp hữu hạn 𝐺 nhóm 𝐺 Kết cịn hay khơng 𝐺 không Abel? Tại sao? Câu 3: Trong vành 𝑀2 (ℝ) ma trận vuông cấp với hệ số thực, cho 𝑎 𝑏 𝐼 = {[ ] | 𝑎; 𝑏 ∈ ℝ} 0 a) Chứng minh 𝐼 vành 𝑀2 (ℝ) b) I có ideal trái 𝑀2 (ℝ) khơng? c) I có ideal phải 𝑀2 (ℝ) khơng? d) I có ideal 𝑀2 (ℝ) không? Câu 4: Trong ℂ[𝑥] cho đa thức 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥) định 𝑓(𝑥) = 𝑥 2𝑛 + 𝑥 𝑛+1 + 𝑥 − (𝑛 ∈ ℕ) 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + a) Chứng minh 𝑔(𝑥) có nghiệm đơn ℂ b) Xác định 𝑛 ∈ ℕ để 𝑓(𝑥) chia hết cho 𝑔(𝑥) ℂ[𝑥] 23 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐺 = ℝ\{1} tập số thực khác Với 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺, đặt 𝑥 ∗ 𝑦 = √(𝑥 − 1)(𝑦 − 1) + a) Chứng minh (𝐺, ∗) nhóm Abel b) Cho 𝑥 ∈ 𝐺 𝑛 ∈ ℕ Tính ⏟ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ … ∗ 𝑥 𝑛 lần c) Mô tả phần tử nhóm cylic 〈𝑥〉 sinh phần tử 𝑥 ∈ 𝐺 cho trước Câu 2: Cho 𝐺 nhóm Abel hữu hạn Ký hiệu 𝑜(𝑥) để cấp phần tử 𝑥 ∈ 𝐺 a) Chứng minh 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐺 có cấp 𝑜(𝑥) = 𝑟; 𝑜(𝑦) = 𝑠 với 𝑟; 𝑠 nguyên tố phần tử 𝑧 = 𝑥𝑦 có cấp 𝑜(𝑧) = 𝑟𝑠 b) Đặt 𝑛 = max{𝑘 ∈ ℕ|∃𝑥 ∈ 𝐺; 𝑜(𝑥) = 𝑘} Chứng minh phần tử 𝐺 có cấp uốc số 𝑛 Câu 3: a) Tìm phần tử nghịch đảo 7̅ vành ℤ100 ̅̅̅ = 3̅ vành ℤ100 b) Giải phương trình 7𝑥̅ − ̅20 ̅̅̅̅ = 9̅ vành ℤ300 c) Giải phương trình 21𝑥̅ − 60 Câu 4: Cho đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5𝑥 + 10𝑥 + 40𝑥 + 135𝑥 + 112 ∈ ℚ[𝑥] a) Viết khai triển Taylor 𝑓(𝑥) 𝑥0 = −2 b) Khảo sát tính bất khả quy 𝑓(𝑥) ℚ[𝑥] 24 Chuyên san EXP tập đoàn Toán học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM 𝑎 𝑏 ) ∶ 𝑎 ∈ ℝ∗ ; 𝑏 ∈ ℝ} 𝑎 a) Chứng minh 𝐺 với phép nhân ma trận nhóm giao hốn b) Tìm tất phần tử cấp 1, cấp 𝐺 𝑎 𝑏 c) Cho 𝐴 = ( ) ∈ 𝐺 𝑛 ∈ ℕ Tính 𝐴𝑛 𝑎 d) Chứng 𝐺 khơng có phần tử có cấp hữu hạn 𝑛 > Câu 2: Cho 𝐺 = 〈𝑎〉 mộ nhóm cyclic hữu hạn cấp 𝑛 𝑘 ước nguyên dương 𝑛 Chứng minh: Câu 1: Cho 𝐺 = {( 𝑛 a) Phần tử 𝑎 𝑘 có cấp 𝑘 b) Trong 𝐺 tồn nhóm cấp 𝑘 Câu 3: Xét vành ℤ10 số nguyên đồng dư modulo 10 a) Chứng minh ánh xạ 𝑓 ∶ ℤ10 → ℤ10 định 𝑓(𝑥̅ ) = 6𝑥̅ đồng cấu vành b) Xác định tất số nguyên 𝑎 cho ánh xạ 𝑔 ∶ ℤ10 → ℤ10 định 𝑔(𝑥̅ ) = 2𝑎𝑥̅ đồng cấu vành Câu 4: Cho đa thức số nguyên 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + 35𝑥 + 115𝑥 + 126𝑥 + 46 a) Viết khai triển Taylor 𝑓(𝑥) 𝑥0 = −2 b) Chứng minh 𝑓(𝑥) không bất khả quy ℚ[𝑥] c) Phân tích 𝑓(𝑥) thành tích đa thức bất khả quy ℚ[𝑥] 25 ... Trong