hệ trục tọa độ từ 5 đến 10 điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Chuyên đề 28 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 Lý thuyết chung Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc r Ox :  Trục trục hồnh, có vectơ đơn vị i  (1; 0;0) r Oy  Trục : trục tung, có vectơ đơn vị j  (0;1;0) r k Oz :  Trục trục cao, có vectơ đơn vị  (0;0;1)  Điểm O(0; 0;0) gốc tọa độ r r r r r u  xi  y j  zk � u  ( x; y; z ) Tọa độ vectơ: Vectơ r r a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có: Cho r r a �b  ( a1 �b1; a2 �b2 ; a3 �b3 ) r r r r  � a  kb (k �R ) r  a phương b ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 )  a1  kb1 � a a a � a1  b1 � �� a2  kb2 �   , (b1 , b2 , b3 �0) r r � b1 b2 b3 ab � � a2  b2 � a3  kb3 � � a3  b3 �  r2 rr r r 2 a  a  a12  a22  a32 a b  a b  a b  a b a  a  a  a 1 2 3 2    rr r r r rr a1b1  a2b2  a3b3 r a.b cos( a , b )  r r  a  b � a b  � a b  a b  a b  1 2 3  a b a12  a22  a32 b12  b22  b32  Tọa độ điểm: uuuu r M ( x; y; z ) � OM  ( x; y; z ) uuur AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )  Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có: AB  ( xB  x A )  ( yB  y A )  ( z B  z A )   Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:  Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: �x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC � �x  x y  y B z A  z B � M �A B ; A ; G �A B C ; A ; � � � 2 � 3 � � QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ  Điểm  Điểm  Điểm Chie� u va� o Ox M (xM ; yM ; zM ) ����� � M (xM ;0;0) (Gi�� nguye� n x) Chie� u va� o Oy M (xM ; yM ; zM ) ����� � M (0; yM ;0) (Gi�� nguye� n y) Chie� u va� o Oz M (xM ; yM ; zM ) ����� � M (0;0; zM ) (Gi�� nguye� n z)  Điểm  Điểm  Điểm Đối xứng điểm qua trục tọa độ  �o� i x�� ng qua Ox (Gi�� nguye� n x; �o� i da� u y, z) Chie� u va� o Oxy M (xM ; yM ; zM ) ����� � M (xM ; yM ;0) (Gi�� nguye� n x, y) Chie� u va� o Oyz M (xM ; yM ; zM ) ����� � M (0; yM ; zM ) (Gi�� nguye� n y, z) Chie� u va� o Oxz M (xM ; yM ; zM ) ����� � M (xM ;0; zM ) (Gi�� nguye� n x, z) Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ  M (xM ; yM ; zM ) �������� � M (xM ;- yM ;- zM )   �o� i x�� ng qua Oxy M (xM ; yM ; zM ) �������� � M (xM ; yM ;- zM ) (Gi�� nguye� n x, y; �o� i da� u z) �o� i x�� ng qua Oxz M (xM ; yM ; zM ) �������� � M (xM ;- yM ; zM ) (Gi�� nguye� n x, z; �o� i da� u y) �o� i x�� ng qua Oyz �o� i x�� ng qua Oy � M (- xM ; yM ; zM ) M (xM ; yM ; zM ) �������� � M (- xM ; yM ;- zM ) M (xM ; yM ; zM ) �������� (Gi�� nguye� n y, z; �o� i da� u x) (Gi�� nguye� n y; �o� i da� u x, z)   Trang �o� i x�� ng qua Oz M (xM ; yM ; zM ) �������� � M (- xM ;- yM ; zM ) (Gi�� nguye� n z; �o� i da� u x, y) Tích có hướng hai vectơ: r r r r a  ( a , a , a ) b  ( b , b , b ) 3 a b  Định nghĩa: Cho , , tích có hướng là: �a2 a3 a3 a1 a1 a2 � r r � a, b � ; ; � � � �  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b b b b b b 3 1 � � r r r r r r r r r r r r [a, b]  a b sin  a, b   Tính chất: [ a , b]  a [a, b]  b r r r r r a , b c  Điều kiện phương hai vectơ a & b  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ r r r r r r r � � a , b  (0; 0;0) [ a , b].c  � � với  Diện tích hình bình hành ABCD: uuur uuur SY ABCD  � AB, AD � � �  Thể tích khối hộp: uuu r uuur uuu r VABCD A ' B 'C ' D '  [ AB, AD ] AA '  Diện tích tam giác ABC: r uuur uuu SABC  � AB, AC � � � r uuur uuur uuu VABCD  � AB , AC � AD � 6�  Thể tích tứ diện: Dạng Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Dạng 1.1 Tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng, đường thẳng Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M  2;  2;1 A Câu M  2;1; 1 mặt phẳng  0;1;  B Trang C  0;  2;1 D  0;0;1  Ozx  có tọa độ  2;1;0  C  0;1; 1 D  2;0; 1  0; 2;  B  0; 0;5 C  1;0;0  D  0; 2;5  0; 2;1 B  3; 0;0  C  0;0;1 D  0; 2;  A 3;5;  (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm  trục Ox có tọa độ A Câu  2;  2;0  A 3; 2;1 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm  trục Ox có tọa độ là: A Câu có tọa độ A 1; 2;5  (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm  trục Ox có tọa độ A Câu B  Oxy  (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A Câu  2;0;1 mặt phẳng  0;5;  B  0;5;  C  3; 0;0  D  0; 0;  (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A(8;1; 2) trục Ox có tọa độ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A (0;1;0) Câu B (1; 4;0)  3;0; 1 B  0;1;0   0;0;  1 B  2;0;  1  3; 1;0  B  0;0;1  2; 0;  B  0;1;0  C M  0;0;3 D N  0; 2;3 C M  0; 0;1 D N  3; 4;0  C  3;0;0  D  0;0; 1 C  0;1;0  D  2;0;0  C  0; 1;0  D  3; 0;0  C  2;1;0  D  0;0;  1 A  3; 1;1 (Đề Tham Khảo 2018) Trong khơng gian Oxyz , cho điểm Hình chiếu vng góc  Oyz  điểm điểm A mặt phẳng M  3;0;0  N  0; 1;1 A B Câu 16 N  3;5;  M  2;1;  1 (Mã 101 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm trục Oz có tọa độ A Câu 15 D M  3; 1;1 (Mã 102 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm trục Oz có tọa độ A Câu 14 Q  0;5;  M  2;1;  1 (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm trục Oy có tọa độ A Câu 13 C M  3;1; 1 (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm trục Oy có tọa độ A Câu 12 D (0; 0; 2) (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm hình chiếu vng góc A  3; 4;1  Oxy  ? điểm mặt phẳng Q  0; 4;1 P  3;0;1 A B Câu 11 C (1;0; 2) (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm hình chiếu vng góc A  1; 2;3 điểm mặt phẳng Oxy Q  1;0;3  P  1; 2;0  A B Câu 10 D (0;0; 2) (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm hình chiếu vng góc A 3;5;  Oxy  điểm  mặt phẳng  ? M  3;0;  0; 0;  A B  Câu C (0;1;2) (Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz Điểm sau hình chiếu vng góc điểm A(1; 4; 2) mặt phẳng Oxy ? A (0; 4; 2) Câu B (8;0;0) C P  0; 1;0  D Q  0;0;1 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm sau nằm mặt phẳng tọa độ  Oyz  ? Trang A Câu 17 M  3; 4;  B P  2;0;3 C Q  2; 0;  D Câu 19 qua mặt phẳng Câu 23  0; 2; 3 B  1; 2; 3 Trang C  1; 2; 3 D  1; 2;3 A 2; 3;5  (Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm  Tìm tọa độ A�là điểm đối xứng với A qua trục Oy C A�  2; 3;5 D A�  2; 3; 5 uuu r A  1;1;   B  2; 2;1 (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Vectơ AB có tọa độ  1;  1;  3  3;1;1  1;1;3  3;3;  1 A B C D A 1;1;  1 B 2;3;  (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm   Vectơ uuur AB có tọa độ 1; 2; 3 1;  2; 3 3;5;1 3; 4;1 A  B  C  D  A  2; 2;1 (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm Tính độ dài đoạn thẳng OA A OA  Câu 24  Oyz  A�2;3;5 A�2; 3; 5  A  B  Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ Câu 22 M�  0;5;6 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng A Câu 21 D M  x; y ; z  (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?  Oxz  M �  x; y ;  z  A Nếu M � đối xứng với M qua mặt phẳng M�  x; y;  z  B Nếu M � đối xứng với M qua Oy  Oxy  M �  x; y ;  z  C Nếu M � đối xứng với M qua mặt phẳng M�  x; y ;0 D Nếu M � đối xứng với M qua gốc tọa độ O M  1; 2; 3 Câu 20 M  4;5;6  (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho Hình chiếu  Oyz  M � M xuống mặt phẳng Xác định tọa độ M � M� M� M�  4;5;0  4;0;6  4;0;0 A B C Câu 18 N  0; 4; 1 B OA  C OA  D OA  (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto r r r r r r r a  1; 2;3 ; b  2; 2; 1 ; c  4;0; 4  Tọa độ vecto d  a  b  2c r r r r d  7;0; 4  d  7; 0;  d  7; 0; 4  d  7;0;  A B C D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 uuur A  0;1;   B  2;3;  Oxyz Câu 25 (THPT Ba Đình 2019) Trong khơng gian , cho hai điểm , Vectơ AB có tọa độ  2; 2;3  1; 2;3  3;5;1  3; 4;1 A B C D r r a   2;3;2  b   1;1;  1 Oxyz Câu 26 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian cho r r Vectơ a  b có tọa độ  3;4;1  1;  2;3 A B Câu 27 Câu 28 C  3;5;1 D  1; 2;3 (THPT Hồng Hoa Thám Hưng n 2019) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho r r r r r r r a   2; 3;3 b   0; 2; 1 c   3; 1;5  , , Tìm tọa độ vectơ u  2a  3b  2c 10; 2;13 2; 2; 7  2; 2;  2; 2;  A  B  C  D  (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho r r r r r a  i  j  3k Tọa độ vectơ a A  1; 2; 3 B  2; 3; 1 C  2; 1; 3 D  3; 2; 1 r r r a   2;  3; 3 b   0; 2;  1 c   3;  1;  Oxyz Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , Tìm tọa r r r r độ vectơ u  2a  3b  2c A Câu 30 Câu 31  10;  2;13 B  2; 2;   C  2;  2;  D  2; 2;  (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ r u r r r u r x   2;1; 3 y   1;0; 1 a  x  y Tìm tọa độ vectơ r r r r a   4;1; 1 a   3;1; 4  a   0;1; 1 a   4;1; 5  A B C D B  1;1; 3 A  2; 1;0  (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian O xyz , cho uuu r Vectơ AB có tọa độ A  3;0; 3 B  1; 2; 3 C  1; 2;3 D  1; 2;3 uuu r A 2; 2;1 , B  1; 1;3 (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho  Tọa độ vecto AB là: A (1;1; 2) B ( 3;3; 4) C (3; 3; 4) D (1; 1; 2) rr r Oxyz Câu 33 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với i, j, k r r r vecto đơn vị trục Ox, Oy, Oz Tính tọa độ vecto i  j  k r r r r r r r r r r r r i  j  k  (  1;  1;1) i  j  k  (  1;1;1) i  j  k  (1;1;  1) A B C D i  j  k  (1; 1;1) Câu 32 Câu 34 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử r r r r r u  2i  j  k , tọa độ véc tơ u A  2;3;1 B  2;3; 1 C  2; 3; 1 D  2;3;1 Trang r r b   1;3;0  a   1; 2;1 Oxyz Câu 35 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian , cho r r r Vectơ c  2a  b có tọa độ A  1;7;2 B  1;5;2 C  3;7;2 D  1;7;3 Câu 36 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho r r r r r a  i  j  3k Tọa độ vectơ a là: r r r r a  1; 2; 3 a  2; 3; 1 a  3; 2; 1 a  2; 1; 3 A B C D Câu 37 (Sở Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A Tính độ dài AB A 26 Câu 38 B 22 B C C 11 B 11 D r r r a  2; 2;0  , b  2; 2;0  , c  2; 2;  Giá D A  1;3;5  B  2; 2;3 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm , Độ dài đoạn AB A Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm Câu 42 (Hội trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho r r r abc trị A Câu 41 22 Độ dài đoạn thẳng AB A 13 Câu 40 D A  1; 2; 1 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm , B  1; 4;3 Câu 39 26 C  1; 3;1 , B  3; 0; 2  B C D A  2; 4;3 B  2; 2;7  (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ  4; 2;10   1;3;   2; 6;   2; 1;5  A B C D A  3; 4;0  (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm , B  1;1;3 C  3,1,  , Tìm tọa độ điểm D trục hoành cho AD  BC D  6;0;0  D  12;0;0  D  0;0;0  D  6;0;  A , B , D  2;1;0  D  4;0;  D  0;0;0  D  6; 0;  C , D , A  3; 2;3 B  1; 2;5  Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A Trang I  1;0;  B I  2; 0;8  C I  2; 2; 1 D I  2; 2;1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 44 A  3; 2;3 (THPT Cẩm Giàng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm B  1; 2;5  A Câu 45 Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB : I  2; 2;1 B I  1;0;  C I  2;0;8  D I  2; 2; 1 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A  1;3;  B 3; 1;  ,  Tìm tọa độ trung điểm I AB I 2; 4;  I 4; 2;6  I 2; 1; 3  A  B  C  D I  2;1;3 A 1; 2;3 , B  1; 2;5  , C  0;0;1 Câu 46 Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm  Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC A G  0;0;3 B G  0;0;9  C G  1;0;3 D G  0;0;1 A  1;3;  B  3; 1;  Câu 47 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho , Tìm tọa độ trung điểm I AB A I  2; 4;  B I  4; 2;6  C I  2; 1;3 D I  2;1;3 A  2; 4;3 Câu 48 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm B  2; 2;7  Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ  1;3;   2; 1;5  2; 1; 5 A B C Câu 49 D  2; 6;  (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A  1;3;  , B  2; 1;  , C  3;1;  A Câu 50 G  2;1;  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC �2 � G� 3; ;3 � G  6;3;  G 2; 1;  B C � � D  (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A  5; 2;0  , B  2;3;0  , C  0; 2;3 Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ:  1; 2;1  2;0; 1  1;1;1  1;1; 2  A B C D Câu 51 M  1;  2;  N  1;0;  (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm Toạ độ trung điểm đoạn thẳng MN là: A Câu 52  1;  1;3 B  0; 2;  C  2;  2;6   1; 0;3 A  3;  (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm B  5;6  Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ  1;5   4;1  5;1 A B C Câu 53 D D  8;  A  2; 4;3 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm B  2; 2;9  Trung điểm đoạn AB có tọa độ Trang A Câu 54 B  4; 2;12  C  2; 1;  A  1;5;  (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A Câu 55  0;3;3 � 3� 0; ; � � D � 2 � B  3;  3;  M  1;1;  Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB M  2; 2;  M  2;  4;0  B C D M  4;  8;0  A 1;5;3 (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm  M  2;1;   Tọa độ điểm B biết M trung điểm AB �1 � B � ;3; � B  4;9;8  A �2 � B B  5;3; 7  B  5; 3; 7  C D Dạng Tích vô hướng ứng dụng Câu 56 Oxyz (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ r r r b   1;0; 2 Tính cos a, b r r r r r r 2 cos a,b   cos a, b   cos a,b  25 25 A B C   Câu 57 Câu 58 r a , cho hai vectơ   2;1;0     (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong r r a   2; 2; 4  , b   1; 1;1 Mệnh đề sai? r r r r a  b   3; 3; 3 a b A B phương r r r b  a C D  b không r r cos a,b  D gian Oxyz, cho vectơ (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết A  1;  B  2; 2  C  3;1 , , Tính cosin góc A tam giác 2 cos A  cos A  cos A   17 17 17 A B C D cos A   17 r Oxyz Câu 59 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Trong khơng gian , góc hai vectơ i r u   3; 0;1  A 120�  D 30� r r a   3; 4;0  b   5;0;12  Oxyz Câu 60 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian , cho , Cơsin r r góc a b 5   A 13 B C D 13 Trang B 60� C 150� TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 r Oxyz Câu 61 (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Trong khơng gian tọa độ góc hai vectơ i r u   3;0;1 A 120� B 30� C 60� D 150�   (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ r r rr u   3;0;1 v   2;1;0  Tính tích vơ hướng u.v rr rr rr rr u v  u v  u v  u A B C D .v  6 r Oxyz Câu 63 (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian tọa độ , góc hai vectơ i r u   ;0;1 Câu 62   A 30 Câu 64 Câu 65 B 120 C 60 D 150 (Chuyên Trần Phú Hải Phịng 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3) � B (0;3;1) , C (4; 2; 2) Cosin góc BAC 9 9   35 A 35 B C 35 D 35 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A  1; 0;0  , B  0;0;1 , C  2;1;1 Diện tích tam giác ABC bằng: A 11 B C D r r a   3; 4;0  b   5;0;12  Oxyz Câu 66 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian , cho r r Cơsin góc a b 5   A 13 B C D 13 r r r r v   2; 1 Oxy u  i  j Câu 67 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ , cho Tính rr u.v rr rr rr rr u v   2; 3 u v   u v  u A B C D .v  r r a   1; 2;3 b   2;1;  Câu 68 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phịng 2019) Cho hai véc tơ , Khi r r r a  b b đó, tích vơ hướng A 12 B C 11 D 10  Câu 69 Câu 70  (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai r r a   2;1 ;  3 b   4;  ;  vectơ , Phát biểu sau sai? r r rr r r r r b  a a b  A b  2a B C a ngược hướng với b D (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho , , góc hai véctơ Trang A 120� B 45� C 135� D 60� Câu 71 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A  0; 0; 3 B  0; 0;  1 C  1; 0;  1 D  0; 1;  1 , , , Mệnh đề sai? B AB  BC D AB  CD r Oxyz a Câu 72 (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian cho véc tơ  ( 2;1; 1) ; r r r b  (1; 3; m) Tìm m để a; b  90� A m  5 B m  C m  D m  2 r u   2; 1;1 Oxyz Câu 73 (SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho r rr v   0; 3;  m  Tìm số thực m cho tích vơ hướng u.v  A m  B m  C m  D m  2 A AB  BD C AB  AC   Câu 74 Câu 75 (CỤM Chun Mơn - Hải Phịng - 2018) Trong không gian uuu r uuur A  1;2;3 ; B  1;2;1 ; C  3; 1; 2  Tính tích vơ hướng AB AC A 6 B 14 C 14 D Oxyz cho A 1; 2;3 (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm  , B  0;3;1 C  4; 2;  , Cơsin góc BAC 9 A 35 B 35 C  35 D  35 Dạng Tích có hướng ứng dụng Câu 76 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ r r r r r a   2;1; 2  vectơ b   1;0;2  Tìm tọa độ vectơ c tích có hướng a b r r r r c   2;6; 1 c   4;6; 1 c   4; 6; 1 c   2; 6; 1 A B C D r (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ vectơ n vng góc r r a   1;1; 2  b   1;0;3 với hai vectơ ,  2;3; 1  3;5; 2   2; 3; 1  3; 5; 1 A B C D r r r a   1; 2; 1 , b   3; 1;  , c   1; 5;  Oxyz Câu 78 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba véctơ Câu sau đúng? r r r r r a b a A phương với B , b , c không đồng phẳng r r r r r C a , b , c đồng phẳng D a vng góc với b Câu 77 Câu 79 Trang 10 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;  2;0) , B (2; 0;3) , C ( 2;1;3) D(0;1;1) Thể tích khối tứ diện ABCD bằng: A B C 12 D uu r uur uur r Trong tam giác ABC , I tâm đường tròn nột tiếp D ABC ta có: a IA + b.IB + c.IC = với BC = a; AC = b; AB = c Thật vậy: Gọi A�là chân đường phân giác kẻ từ A uuur c uuuur uuur uuur r � BA� = A� C � bBA� + cCA� = ( 1) b uu r c uuur c uuur b + c uuur IA = A� I= A� I= A� I ac uuu r r A' B a uur � � aIA + b + c IA =0 ( ) b +c uu r uur uur r uuur uuur r uur uur uur � aIA + bIB + cIC = ( ( 1) ) � aIA + bIB + cIC + bBA� + cCA� =0 Áp dụng công thức tam giác OMN uur uuur uur r OM IN + ON IM + MN IO = ta � OM xN + ON xM + MN xO � xI = =0 � � OM + ON + MN � � � OM y N + ON yM + MN yO �� =1 �yI = � OM + ON + MN � � � OM z N + ON z M + MN zO � zI = =1 � � OM + ON + MN � Vậy điểm I (0;1;1) điểm cần tìm A ( 1; 2; - 1) B ( 2; - 1;3) Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có , , C ( - 4;7;5) Gọi a + b + 2c A Chọn A Trang 52 D ( a; b; c ) chân đường phân giác góc B tam giác ABC Giá trị B C 14 Lời giải D 15 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ta có AB = 26 , BC = 104 = 26 uuur DA BA 1 uuur = = DA =DC ( *) D ( x; y; z ) DC BC 2 Gọi , theo tính chất phân giác ta có Suy uuur uuur DA = ( 1- x; - y; - 1- z ) DC = ( - - x;7 - y;5 - z ) Ta có Do � � � x =1- x =- ( - - x ) � � � � � � � � � � 11 � � 11 � - y =- ( - y ) � � � D� - ; ;1� � a + b + 2c = ( *) � � � � �y = � � �3 � � � � � � � � � � z =1 � � z =5 z ( ) � � � � � � Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm AB cắt mặt phẳng  Oxz  AM  A BM A  2;3;1 AM điểm M Tính tỉ số BM AM AM 2  B BM C BM B  5; 6;  Đường thẳng AM 3 D BM Lời giải Chọn A M � Oxz  � M  x;0;z  ; uuur AB   7;3;1 � AB  59 ; uuuur AM   x  2;  3;z  1 �x   k �x  9 � � � �3  3k � � 1  k uuuur uuur � � �z   k �z  � M  9;0;0  A, B, M thẳng hàng � AM  k AB  k �� uuuu r uuuur BM   14;  6;   ; AM   7;  3;  1 � BM  AB Câu 27 A  2;3;1 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm , B  2;1;  C  3;  1;1 , Tìm tất điểm D cho ABCD hình thang có đáy AD diện tích tứ giác ABCD lần diện tích tam giác ABC A D  12;  1;3 � D  8;  7;1 � D  12;1;  3 B � D  8;7;  1 C Lời giải � D  8;7;  1 � D  12;  1;3 D � Trang 53 Chọn A 2S 1  AD  BC  d  A, BC  � S ABCD   AD  BC  ABC 2 BC Ta có:  AD  BC  S ABC � 3S ABC  � 3BC  AD  BC � AD  BC BC uuur uuur ABCD AD  BC  1 AD Mà hìnhuu thang có đáy nên uuur ur BC   5;  2;1 AD   xD  2; y D  3; z D  1 , �xD   10 �xD  12 � � � �yD   4 � �yD  1 �z   �z   1 �D �D D  12;  1;3 Vậy S ABCD  Câu 28 (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vng A B Ba đỉnh A(1;2;1) , B (2;0; 1) , C (6;1;0) Hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D( a; b; c) , tìm mệnh đề đúng? A a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  Lời giải uuu r uuur uuu r uuur AB   1; 2; 2  � AB  BC   4;1;1 � BC  Ta có ; D a  b  c  Theo giả thiết ABCD hình thang vng A B có diện tích nên   1 AB  AD  BC   � AD   � AD  BC � AD  2 uuur uuur AD  BC Do ABCD hình thang vuông A B nên � � a   a � � 3 � � � � b2 � � b � � � � � c 1  c � � � �abc  Giả sử D( a; b; c) ta có � Câu 29 Trang 54 (Chun Lê Q Dơn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp  6;8;10  Tọa độ điểm B�là ABCD A���� B C D Biết A  2; 4;  , B  4;0;  , C  1; 4;   D� B�8; 4;10  B�6;12;0  B�10;8;  B�13;0;17  A  B  C  D  Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 O Giả sử D  a; b; c  B� a��� ;b ;c  ,  a  3 � � b8 �1 7 �� � � O � ; 4; � � c  7 � � �2 Gọi O  AC �BD uuuur uuur uuuur uuur DD�   9;0;17  BB�   a�  4; b�� ;c  B C D hình hộp nên DD�  BB� Vậy , Do ABCD A���� a�  13 � � �� b� 0 � c�  17 � Câu 30 Vậy B�  13; 0;17  (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp  4;5;   Tính tọa độ đỉnh A�của hình ABCD A���� B C D có A  1;0;1 , B  2;1;  , D  1;  1;1 , C � hộp A� A� A� A�  4;6;    2;0;   3;5;    3; 4;   A B C D Lời giải uuur uuur uuur uuuu r  AC � Theo quy tắc hình hộp ta có: AB  AD  AA� uuur uuuu r uuur uuur  AC �  AB  AD Suy AA� uuuu r uuu r uuur AC �   3;5;   AB   1;1;1 AD   0;  1;0  Lại có: , , uuur AA�   2;5;   Do đó: A�  3;5;   Suy Câu 31 (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp  0; 3;  3 Toạ độ trọng tâm tam ABCD A���� B C D có A  0; 0;  , B  3; 0;  , D  0; 3;  , D� B C giác A�� A  1; 1;   B  2; 1;   1; 2;  1 C  Lời giải D  2; 1;  1 Trang 55 D� A� C� B� D C B uuur C  x; y; z  � DC   x; y  3; z  Cách 1: Ta có Gọi uuu r uuur � AB  DC �  x; y; z    3; 3; 0 � C  3; 3;  ABCD hình bình hành uuur uuuur AD   0; 3;  A� x� ; y� ; z� � A�� D    x� ;  y� ;   z�    Ta có Gọi uuur uuuur � AD  A�� D �  x� ; y� ; z�    0; 0;  3 � A�  0; 0;  3 � � ADD A hình bình hành uuuur B� x0 ; y0 ; z0  � A�� B   x0 ; y0 ; z0  3  Gọi uuu r uuuur B �  x0 ; y0 ; z0    3; 0;  3 � B�  3; 0;  3 ABB� A�là hình bình hành � AB  A��  3 � 2 �xG  � 003 � � �yG   � G  2; 1;   � 3   �  2 �zG  G trọng tâm tam giác ABC � uuu r AB   3; 0;  A �3 3 � I � ; ; � G a; b; c  Cách 2: Gọi I trung điểm đoạn thẳng BD� Ta có �2 2 �.Gọi  trọng tâm BC tam giác A�� �3 � 3� a � �2  � 2� � � �a  uuu r �3 3 � �3 � � 3� � b  �� � b 1 �  � �DI  �2 ;  ;  � 2 � � � � � � � c  2 � � uur � �3 3 � � � � IG  � a  ;b  ; c  � c � �  � uuu r uur � 2 2 2� � � � � DI  IG � Ta có: với Do đó: G 2;1;   Vậy  A  1; 2;  1 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm Câu 32 B  2;  1;3 C  4;7;5  , Tọa độ chân đường phân giác góc B tam giác ABC 11 � 11 � � � �2 11 �  ; ;1� � � ;  2;1� �; ; �  2;11;1 3 � � � � A B C �3 3 � D Lời giải , uuu r uuu r uuur uuur BA   1;  3;  � BA  26; BC   6;8;  � BC  26 Ta có: Gọi D chân đường phân giác kẻ từ B lên AC tam giác ABC � 11 � DA BA  ; ;1� uuur uuur � D �  � 3 � Suy : DC BC � DC  2 DA Trang 56 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Câu 33 (Tốn Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho uuu r r r r OA  2i  j  2k , B  2; 2;  C  4;1;  1 Trên mặt phẳng  Oxz  , điểm cách ba điểm A , B , C �3 M � ; 0; �4 A 1 � �3 N � ; 0; � � B �4 1� � � 1 � �3 P � ; 0; � � C �4 �3 Q � ; 0; D �4 1� � � Lời giải Ta có: Câu 34 A  2; 2;  PA  PB  PC  21 A  1;3; 1 B  3; 1;5  (SGD Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , uuur uuur Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức MA  3MB �5 13 � M � ; ;1� �3 � A �7 � M � ; ;3 � B �3 � �7 � M � ; ;3 � C �3 � D M  4; 3;8  Lời giải x A  xB � �xM    uuur uuur � y  yB � MA  3MB � �yM  A  3 � M  4; 3;8  1 � z A  3z B � �zM    � Ta có Câu 35 BCD , (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A���� biết A A  3;0;0  B  0; 2;0  D  0;0;1 A�  1; 2;3 C�  10; 4;  , , B C�  13; 4;  , Tìm tọa độ điểm C � C�  13; 4;  C Lời giải D C�  7; 4;4  uuur uuur uuur AB   3; 2;0  AD   3;0;1 AA�   4; 2;3 Gọi Ta có ; ; �x  10  � � �y   uuuu r �z   � C � uuuu r uuu r uuur uuur � AC �   10; 4;   13; 4;  � � � Mà AC  AB  AD  AA C�  x; y; z  Trang 57 Câu 36 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0; 2; 2  , B  2; 2; 4  Giả sử I  a; b; c  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Tính T  a  b2  c2 B T  A T  D T  14 C T  Lời giải uuu r uuur OA   0; 2; 2  OB   2; 2; 4   OAB  Ta có , có phương trình: x  y  z  I � OAB  � a  b  c  uur uur uur AI   a; b  2; c   BI   a  2; b  2; c   OI   a; b; c  , , ac  �AI  BI � �a   c     a     c   � � �� 2 � 2 �  b  2   c  2  b  c b  c  2 � � Ta có hệ �AI  OI �2 2 a2 �a  c  � � � b0 ac  � � �b  c  2 � � � �a  b  c  � c  2 b  c  2 � � Ta có hệ � Vậy Câu 37 I  2;0; 2  � T  a  b  c  A  4; 2; 1 (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , B  2;  1;  A M  0;0;3 uuuu r uuur Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức AM  2MB B M (0; 0; 3) C M (8; 4; 7) Lời giải D M (8; 4; 7) �x    2  x  �x  � � �y    1  y  � � �y  � �z  u u u u r u u u r M  x; y; z  � �z     z  Gọi điểm Khi đó: AM  2MB M  0;0;3 Vậy Câu 38 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A  2;3;1 B  2;1;0  C  3;  1;1 , , Tìm tất điểm D cho ABCD hình thang có đáy AD S ABCD  3S ABC A D  8;7;  1 Ta có: S ABCD  � 3S ABC  D  8;  7;1 � � D  12;1;  3 B � D  8;7;  1 � � D  12;  1;3 C � Lời giải 2S 1  AD  BC  d  A, BC  � S ABCD   AD  BC  ABC 2 BC  AD  BC  S ABC BC � 3BC  AD  BC � AD  BC uuur uuu r  1 Mà ABCD hình thang có đáy AD nên AD  BC Trang 58 D D  12;  1;3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 uuur uuur BC   5;  2;1 AD   xD  2; yD  3; z D  1 , �xD   10 �xD  12 � � � �yD   4 � �yD  1 �z   1 � �zD   �D D  12;  1;3 Vậy Dạng Tích vơ hướng, tích có hướng ứng dụng Dạng 2.1 Tích vơ hướng ứng dụng Câu M  2;3;  1 N  1;1;1 (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm , P  1; m  1;  Tìm A m  m để tam giác MNP vuông N B m  6 C m  Lời giải Chọn C uuuu r uuur MN  3; 2;  ; NP  2; m  2;1 Tam giác MNP vuông Câu D m  4 uuuu r uuur N � MN NP  � 6   m     � m   2 � m  (THPT n Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong khơng gian Oxyz cho điểm A  5;1;5  ; B  4;3;  ; C  3; 2;1 Điểm I  a; b; c  tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a  2b  c ? A B C Lời giải D 9 uuu r � uuur uuur �AB   1; 2; 3 � AB.BC  � �uuur BC   7; 5; 1 Ta có � tam giác ABC vng B � tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm cạnh huyền AC � � I� 1;  ;3 � � � � Vậy a  2b  c  Câu (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ r r r r � u   1;1; 2  , v   1; 0; m  Tìm tất giá trị m để góc u , v 45 A m  B m  � C m   Lời giải D m   rr u v r r r r  2m � r r  �  u, v  45�� cos u, v  � m    2m u.v 2  m +     � m� �  m � � �� �� � m  4m   3m    m  m � �   � m  2 Trang 59 Câu (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho vec tơ r b   m; 1; m  3 Có giá trị nguyên dương m r a   5;3; 2  r r để góc hai vec tơ a b góc tù? A B C D Lời giải Chọn A r r r r a b 3m  cos a; b  r r  a.b 38 2m  6m  10  Ta có   r r  r r cos a; b  � 3m   � m  Góc hai vec tơ a b góc tù Vì Câu m nguyên dương nên m � 1; 2 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán r r r r c   x; y; z  a   1;3;  , b   1; 2;3 Biết khác vng góc với hai vectơ Khẳng định đúng? A z  x  B x  y  C z  x  D x  y  Lời giải Chọn D r c   x; y; z  r r r a  1;3; , b   1; 2;3   khác vng góc với hai vectơ Theo giả thiết ta có nên r r � c a0 � 1x  y  z 0 1x  y  z 0 � � �� �� r r � 1 x  y  z  � y7z 0 c b 0 � � 5 � x  y  y0 � � �� �  �z  y � Câu x  y 0 � � 5y7z  � A  2;0;0  B  0; 2;0  C  0;0;  Trong không gian tọa độ Oxyz , cho , , Có tất điểm M khơng gian thỏa mãn M không trùng với điểm A , B , C � �  CMA �  90� AMB  BMC A B C Lời giải D Chọn C uuuu r uuuu r �AM BM  r uuuu r � �uuuu � �BM CM  r uuuu r �uuuu CM AM 0 M  x; y; z � � � � Gọi Ta có: AMB  BMC  CMA  90� �x  x    y  y    z  �x  y  z  x  y  �x  y  z  x  y  � �2 �2 � � �x  y  y    z  z    � �x  y  z  y  z  � � xz � �x  y  z  x  z  �y  z �x  x    y  z  z    � � Trang 60 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 � M  0;0;0  � 3x  x  � �� � � �4 4 � M�; ; � �x  y  z � � �3 3 � Câu r r (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u v r r r r u  v  u v tạo với góc 120�và , Tính B 5 A 19 r r  u  v    u  v Ta có : r r C D Lời giải r r2 rr r  u  ur vr cos ur ; vr  vr  u  2uv  v 39   � 1�  22  2.2.5 �  �  19 � 2� r r u  v  19 Suy Câu (THPT Trần Nhân Tông - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm , N  1;1;1 A m  6 M  2;3;  1 P  1; m  1;  Tìm m để tam giác MNP vuông N B m  C m  4 D m  Lời giải Ta có uuuur uuur NM   3; 2;   NP   2; m  2;1 , uuuu r uuur Tam giác MNP vuông N NM NP  � 3.2   m    2.1  � m  Vậy giá trị cần tìm m m  Dạng 2.2 Tích có hướng ứng dụng Câu A 2;0;  B  1; 1; 2  C  1;1;0  (Yên Phong - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm  , , , D  2;1;  Thể tích khối tứ diện ABCD 42 14 21 A B C Lời giải uuur uuu r uuur AC   3;1; 2  ; AB   1; 1; 4  ; AD   4;1;0  uuu r uuur � AB, AC � � �  6; 10;  r uuur uuur 1 uuu V  � AB , AC � AD  14  � � 6 Thể tích khối tứ diện là: D r r a   5;3; 1 b   1; 2;1 Oxyz Câu 10 (SGD Cần Thơ - 2018) Trong không gian , cho vectơ , , r r r r a� b, c � c   m;3; 1 � �là Giá trị m cho A m  1 B m  2 C m  D m  Lời giải Trang 61 r r � � b �, c �  5; m  1;3  2m  r r r m 1  � �� � a� b , c � �  2m  1 � m  � Ta có: ur m   4;3;1 Oxyz Câu 11 (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ , u r r r ur ur r � m, n � n   0;0;1 p � � m n Gọi vectơ hướng với (tích có hướng hai vectơ ) Biết ur ur p  15 , tìm tọa độ vectơ p ur ur ur ur p   9; 12;  p   45; 60;  p   0;9; 12  p   0; 45; 60  A B C D Lời giải ur r � m; n �  3; 4;  Ta có : � � ur r ur ur r ur � � � � m ; n p  k m � ; n �, k  Do p vectơ hướng với � �nên ur r ur ur � 15 m , n p  15 � k � � � � k  15 � k  Vậy p   9; 12;0  Mặt khác: Câu 12 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A  0;  2;  a  ; B  a  3;  1;1 ; C  4;  3;0  ; D  1;  2; a  1 Tập hợp giá trị a để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng tập tập sau?  7;    3;6  C  5;8 D  2;2  A B Lời giải uuu r uuur uuur AB  a  3;1;a  1 AC  4;  1;a   AD  1;0; 2a  3 Ta có , , uuu r uuur � AB, AC � � �  2a  3;  a  5a  10;  a  1 Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng: a0 � uuu r uuur uuur � � AB, AC � AD  � 2a    2a  3   a  1  � � � � a � Câu 13 A 3;  2; m  (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD biết  , B  2; 0;  C  0; 4;  D  0; 0;3 , , Tìm giá trị dương tham số m để thể tích tứ diện A m  B m  C m  12 D m  Lời giải uuu r uuur uuur DA   3;  2; m  3 , DB   2; 0;   , DC   0; 4;   Ta có: m  6 � uuur uuur uuur � V � DB , DC DA �  24  m  �   � � m6 6� � Thể tích tứ diện: Vì m dương nên m  Do chọn D Câu 14 Trang 62 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ r r r r � u , v � 14 u   1;1;  , v   1; m; m   Khi � � Oxyz , cho TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 11 11 m m B m  1 A m  C m  m  3 D m  1 Lời giải Chọn C r r r r 2 2 � �   m  2;  m; m  1 � � � u , v u � � �, v �  m    m   m  1  3m  6m  r r  u, v  Câu 15 m 1 �  14 � 3m  6m   14 � 3m2  6m   � � m  3 � (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A  2; 1;1 , B  3;0; 1 , C  2; 1;3  , D �Oy tích Tính tổng tung độ điểm D A 6 B C D 4 Lời giải Chọn A uuur uuur uuur D �Oy � D  0; y;0  DA  2;   y ;1 DB  3;  y ;  DC   2; 1  y; 3     Do , đó: , , uuur uuur � � � Khi DA, DB �   y;5; y  3 y   30 � �y  12 uuur uuur uuur VABCD  � DA, DB � DC  � � �� � � y   30 � �y  18 Và Vậy y1  y2  12  18  6 Câu 16 A ( 1; - 2; 0) (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm , B ( 1; 0; - 1) C ( 0; - 1; 2) D ( - 2; m; n) , , Trong hệ thức liên hệ m n đây, hệ thức để bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng? A 2m + n = 13 B 2m - n = 13 C m + 2n = 13 Lời giải D 2m - 3n = 10 Ta tính uuu r uuur uuu r uuur uuur AB, AC � = 5;1; 2) AB = ( 0; 2; - 1) ; AC = ( - 1;1; 2) ; AD = ( - 3; m + 2; n) � �( ;� uuur uuur uuur � � AB, AC � AD = � m + 2n = 13 � � Bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng ur r ur m   ; ;1 n   ; ; 1 Oxyz Câu 17 Trong không gian , cho hai véc tơ Gọi p véc tơ ur r ur ur � � p  15 m , n �và hướng với � Tọa độ véc tơ p  ;  12 ;   ; ; 12   9 ; 12 ;   ; ; 12  A B C D Lời giải ur r � m , n� �  ;  ;  Ta có: � ur r ur ur r ur � � � � m , n p  k m �nên � , n �  3k ;  4k ;0  , k  Vì p véc tơ hướng với � Trang 63 ur k  3 � p  15 � 9k  16k  15 � � k 3 � Ta có: ur � p   ;  12 ;  So sánh với điều kiện k  � k  Câu 18 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa Oxyz , độ cho bốn điểm A  0;  2;1 ; B  1; 0;   ; C  3;1;   ; D  2;  2;  1 Câu sau sai? B Tam giác ACD tam giác vuông A A Bốn điểm A, B, C , D khơng đồng phẳng uuur uuu r C Góc hai véctơ AB CD góc tù D Tam giác ABD tam giác cân B Lời giải uuu r uuur AB   1; 2;  3 ; CD   5;  3;1 uuur uuur AC   3;3;  3 ; BD   3;  2;1 uuur AD   2;0;   uuur uuur uuur uuur uuur � �  3;  6;  3 � � AB , AC AB, AC � AD   2   0.6   2   3  � � � Ta có: � uuu r uuur uuur � AB, AC , AD đồng phẳng hay bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng Vậy đáp án A sai uuur uuur AC AD   2   3.0   3  2   � AC  AD Lại có � tam giác ACD tam giác vuông A Vậy đáp án B uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD   5    3   3  14  � cos AB, CD  � AB, CD Mặt khác: góc tù Vậy đáp án C uuur uuur AB  BD  14 hay AB  BD � tam giác ABD tam giác cân B Vậy đáp án D  Câu 19   A 2;3;1 B  2;1;0  (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm  , , C  3; 1;1 A Tìm tất điểm D cho ABCD hình thang có đáy AD S ABCD  3S ABC D  8;7; 1 � D  8; 7;1 � D  12;1; 3  B � Ta có AD //BC � AD nhận Kết hợp với AD qua uuu r CB   5; 2; 1 � D  8;7; 1 � D  12; 1;3 C � Lời giải D D  12; 1;3 VTCP �x  2  5t � � AD : �y   2t �z   t A  2;3;1  t �� � D  5t  2; 2t  3;1  t  � Biến đổi S ABCD  3S ABC � S ACD  2S ABC   uuu r �AB   4; 2; 1 uuu r uuur �� � AB � u u u r � �� ; AC �  4;1; 18  AC   1;  4;0 �   �uuur uuur � AC ; AD � �uuur �� � �  4t ; t ;18t  � AD  t ; t ;  t   � Ta có Trang 64  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 r uuur � uuu � AB ; AC �S ABC  � � � 2� �� uuur uuur � � � S  AC ; AD ACD � � � 2� t Kết hợp với Với Với  1  4   4t    t    18t   12   18   2 341 t 341  t  � D  8;7; 1 � 341  341 � � t  2 � D  12; 1;3 � ta uuur uuu r uuur D  8;7; 1 � AD   10; 4; 2   2CB  2 BC uuur uuu r uuur D  12; 1;3 � AD   10; 4;   2CB  BC uuur uuur Hình thang ABCD có đáy AD AD  k BC với k  Do có Câu 20 D  12; 1;3 thỏa mãn A 0; 0;  (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm  , B  3; 0;5  C 1;1;  A  4;1;  ,  , Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC 11 A 11 B C 11 Lời giải D 11 Chọn A Gọi DH độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC uuur uuur uuur VABCD  � AB, AC � AD � 6� Cơng thức tính thể tích tứ diện ABCD là: uuur uuur � SABC  � AB, AC � 2� Cơng thức tính diện tích tam giác SABC là: VABCD  � SABC � DH Mặt khác nên uuu r uuur uuur � � AB AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1 � , AC � � � � � AB , AC AD  � � AB , AC � DH � DH  � u u u r u u u r � � 6� � � � AB , AC � � Ta có: uuu r uuur uuur AB   3; 0;3 ; AC   1;1; 2  ; AD   4;1;0  uuu r uuur uuu r uuur uuur �  3;9;3 ; � � �� AB , AC AB AD  3 � � � , AC � uuu r uuur uuur � � AB AD 11 � , AC � DH    � uuu r uuur 2 11 � � AB , AC  3    � � Nên Câu 21 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A  0;  2;  a  ; B  a  3;  1;1 ; C  4;  3;  ; D  1;  2; a  1 Tập hợp giá trị a để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng tập tập sau? Trang 65 A  7;   B  3;6  C  5;8 uuu r uuur AB  a  3;1;a  1 AC  4;  1;a   Ta có , , uuu r uuur � AB, AC � � �  2a  3;  a  5a  10;  a  1 Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng:  2;2  D Lời giải uuur AD  1;0; 2a  3 a0 � uuu r uuur uuur � � AB, AC � AD  � 2a    2a  3   a  1  � � � � a � Trang 66 ... D HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Chuyên đề 28 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5- 6 Lý thuyết chung Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi vuông góc r Ox :  Trục trục... �z M    Trung điểm M có tọa độ � Câu 55 A 1 ;5; 3  (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm  M  2;1;   Tọa độ điểm B biết M trung điểm AB �1 � B �... trung điểm AB , ta có tọa độ điểm I � I  2;  1 ;5  Vậy Câu 42 A  3; 4;0  (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm , B  1;1;3 C  3,1,  , Tìm tọa độ điểm D trục