Toán 10 Bài 4 hệ TRỤC tọa độ

BÀI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm trục tọa độ, tọa độ điểm tọa độ vectơ trục tọa độ + Nắm khái niệm độ dài đại số hệ thức Sac-lơ + Hiểu phép toán liên quan đến tọa độ vectơ  Kĩ + Xác định tọa độ điểm, vectơ trục, hệ trục tọa độ + Tính độ dài vectơ qua tọa độ Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Trục độ dài đại số trục - Trục tọa độ đường thẳng xác r uuur định điểm O gọi điểm gốc vectơ đơn Nhận xét Nếu AB hướng với e r r uuur vị e AB = AB , AB ngược hướng với e r - Cho M điểm tùy ý trục O; e Khi AB = − AB r uuuu r r O ; e Nếu hai điểm A B trục có tọa độ lần có số k cho OM = ke Số k ( ) ( ) gọi tọa độ điểm M trục cho lượt a b AB = b − a r - Cho hai điểm A, B trục O; e , tồn ( ) uuur r số a cho AB = ae Ta gọi số a uuur độ dài đại số vectơ AB trục cho, kí uuu r hiệu a = AB Hệ trục tọa độ r r r - Hệ trục tọa độ O; i; j gồm hai trục O; i ( ( ) ( ) r O; j vng góc với Điểm gốc O chung ) r hai trục gọi gốc tọa độ Trục O; i gọi ( ) r trục hoành kí hiệu Ox, trục O; j gọi ( ) r r trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j r r vectơ đơn vị Ox Oy với i = j = Hệ trục r r tọa độ O; i; j cịn kí hiệu Oxy ( ) r ur Nhận xét Cho u ( x; y ) u ′ ( x′; y′ ) Khi Tọa độ vectơ r - Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Tồn r r r cặp số ( x; y ) cho u = xi + y j r ur  x = x′ u = u′ ⇔   y = y′ Cặp số ( x; y ) gọi tọa độ r vectơ u hệ tọa độ Oxy viết r r u = ( x; y ) u ( x; y ) Trong đó: x gọi Trang r hoành độ, y gọi tung độ vectơ u uuuu r Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ OM thỏa uuuu r r r - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy mãn OM = 3i − j Khi tọa độ điểm M uuuu r ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi mặt phẳng Oxy M ( 3; − ) tọa độ điểm M hệ trục uuuu r r r M ( x; y ) ⇔ OM = xi + y j Tọa độ điểm Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng - Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ( x A ; y A ) uuur B ( xB ; yB ) Ta có AB = ( xB − x A ; yB − y A ) r r Nhận xét Hai vectơ u = ( u1 ; u2 ) , v = ( v1 ; v2 ) với r r v ≠ phương có số k cho u1 = kv1 u2 = kv2 r r r r r Tọa độ vectơ u + v, u − v, ku r r - Cho u = ( x1 ; x2 ) , v = ( x2 ; y2 ) Khi r r u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ; r r u − v = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ) ; r ku = ( k x1 ; k x2 ) ( k ∈ ¡ ) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Ví dụ: Cho A ( 3; ) B ( 1; ) Tọa độ trung điểm - Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ) B ( xB ; yB ) I đoạn thẳng AB I ( 2; ) Khi đó, tọa độ trung điểm I ( x1 ; yI ) AB thỏa mãn xI = x A + xB y + yB , yI = A 2 Tọa độ trọng tâm tam giác Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm - Cho tam giác ABC có A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) C ( xC ; yC ) Khi đó, tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) tam giác ABC thỏa mãn xG = x A + xB + xC y + yB + yC , yG = A 3 A ( 0; 1) , B ( 1; 3) C ( −2; ) khơng thẳng hàng Khi tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  G− ;   2÷  Trang Sơ đồ lí thuyết: Hệ trục tọa độ r Trục tọa độ O; e Tọa độ độ dài đại số trục ( ) r Với O điểm gốc e vectơ đơn vị Tọa độ điểm M trục tọa độ k uuuu r r OM = ke r r Độ dài đại số vectơ u = ae a, kí hiệu u = a r r Hai trục O; i O; j vuông góc với ( Hệ trục ( tọa độ r r O; i; j ) HỆ TRỤC ) ( ) r  O; i kí hiệ u làtrục Ox  Trục hồnh r  i làvectơ đơn vị, độdà i i =1 ( ) r  O; j kí hiệ u làtrục Oy  Trục tung  r  j làvectơ đơn vị, độdà i j =1 ( ) r r r r Vectơ u = ( a; b ) ⇔ u = + b j TỌA ĐỘ Các phép toán tọa độ r r Phép cộng: u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) r r Phép trừ: u − v = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ) r Nhân vectơ với số: ku = ( k x1 ; k x2 ) vectơ Công thức trung điểm trọng tâm x A + xB  x = I  Trung điểm I đoạn AB:   y = y A + yB  I x A + xB + xC   xG = Trọng tâm G tam giác ABC:  y + y B + yC y = A G  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP r Dạng 1: Tìm tọa độ điểm độ dài đại số vectơ trục O; e ( ) Phương pháp giải r r r Cho trục O; e điểm M trục O; e Ví dụ: Trên trục O; e cho điểm M thỏa mãn uuuu r r uuuu r r - Nếu OM = m.e ta mói điểm M có tọa độ m OM = 2e uuur r r - Nếu hai điểm A, B thuộc trục AB = a.e độ - Tọa độ điểm M trục O; e ( ) ( ) ( ) ( dài đại số AB = a ) - Độ dài đại số OM = Phương pháp thực hiện: r - Để tìm tọa độ điểm M thuộc trục O; e ta tìm ( ) uuuu r r cách biểu thị OM theo vectơ đơn vị e - Để tính độ dài đại số AB ta tìm cách biểu thị r uuur AB theo vectơ đơn vị e - Ngồi sử dụng hệ thức AB + BC = AC với A, B, C ba điểm tùy ý trục (Hệ thức Saclơ) Ví dụ mẫu r Ví dụ Trên trục O; e cho hai điểm A, B có tọa độ ( ) a) Tính độ dài đại số AB, BA b) Xác định tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB Hướng dẫn giải uuur uuur uuu r r a) AB = OB − OA = 4e ⇒ AB = ⇒ BA = − AB = −4 b) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB uur uuu r uuu r r r r ⇒ OI = OA + OB = 3e + 7e = 5e 2 ( ) ( ) Vậy trung điểm I AB có tọa độ Chú ý: Nếu hai điểm A, B có tọa độ a b AB = b − a Ví dụ Trên trục x'Ox, cho điểm M, N có tọa độ tương ứng Gọi K điểm đối xứng N qua M Tính độ dài đại số OK Trang Hướng dẫn giải Cách 1: Vì K đối xứng với N qua M nên M trung điểm KN uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur r r OM = OK + ON ⇒ OK = 2OM − ON = −3e (ở e vectơ đơn vị trục x’Ox) Vậy OK = −3 ( ) Cách 2: Ta có OK = OM + MK (hệ thức Sac-lơ) Vì M trung điểm KN nên MK = − MN Suy OK = OM − MN = − = −3 Cách 3: Gọi a tọa độ điểm K trục x’Ox Từ giả thiết, suy M trung điểm KN Áp dụng công thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng ta có 3= 9+a ⇒ a = −3 Khi OK = a = −3 Ví dụ Trên trục x’Ox, cho hai điểm A, B thỏa mãn đồng thời điều kiện OB = 10 AB = −5 a) Xác định tọa độ điểm A uuur uuur r b) Xác định tọa độ điểm M trục cho MA − MB = Hướng dẫn giải r a) Gọi e vectơ đơn vị trục x’Ox uuu r r Áp dụng hệ thức Sac-lơ, ta có OB = OA + AB ⇒ OA = OB − AB = 15 ⇒ OA = 15e Vậy tọa độ điểm A trục x’Ox 15 uuu r r uuu r r b) Theo kết câu a) ta có OA = 15e, OB = 10e Khi uuur uuur r uuu r uuuu r uuu r uuuu r r uuuu r uuu r uuu r r MA − MB = ⇔ OA − OM − OB − OM = ⇒ OM = 2OA − OB = 20e ( ) ( ) Vậy tọa độ điểm M trục x’Ox 20 r Ví dụ Trên trục O; e cho ba điểm A, B, C có tọa độ -5; 2; Tìm tọa độ điểm M trục ( ) uuur uuuu r uuur r thỏa mãn đẳng thức MA + 3MC + MB = Hướng dẫn giải uuu r r uuur r uuur r Cách Từ giả thiết, suy OA = −5e, OB = 2e, OC = 4e uuur uuuu r uuur r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r r Ta có MA + 3MC + MB = ⇔ OA − OM + OC − OM + OB − OM = ( ) ( ) ( ) Trang uuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuur 10 r ⇔ 2OA + 3OC + 4OB = 9OM ⇔ OM = 2OA + 4OB + 3OC = e 9 ( Vậy tọa độ điểm M trục ) 10 Cách Gọi tọa độ điểm M trục m, ta có uuur uuuu r uuur r 10 MA + 3MC + MB = ⇔ ( −5 − m ) + ( − m ) + ( − m ) = ⇔ m = Vậy tọa độ điểm M trục 10 r Ví dụ Trên trục O; e cho điểm A, B có tọa độ -2 Gọi M, N hai điểm trục thỏa ( ) uuur uuur r mãn MA + MB = NA − NB = Tính độ dài đại số MN Hướng dẫn giải uuu r r uuur r Theo ra, ta có OA = −2e ⇒ OA = −2; OB = 5e ⇒ OB = uuur uuur r uuu r uuuu r uuur uuuu r r Khi MA + MB = ⇔ OA − OM + OB − OM = ( ) ( ) uuuu r uuu r uuu r 8r ⇔ OM = OA + 2OB = e ⇒ OM = 3 uuur NA − NB = ⇔ OA − ON − OB − ON = ( ( ) ( ) ) ⇔ 2ON = 3OA − OB − = −12 ⇒ ON = −6 ⇒ MN = ON − OM = −6 − Vậy MN = − 26 =− 3 26 Bài tập tự luyện dạng r Câu 1: Trên trục O; e , cho điểm M có tọa độ -2 Khẳng định sau đúng? uuuu r r A OM = 2e B OM = −2 C OM = D OM = −2 r r Câu 2: Trên trục O; e , cho điểm M thỏa mãn OM = −3 Tọa độ M trục O; e ( ) ( ) A -3 ( B C ) D -6 Câu 3: Trên trục x’Ox cho hai điểm A, B có tọa độ tương ứng -2 Tính AB A AB = B AB = −4 C AB = D AB = 2 Câu 4: Trên trục x’Ox cho hai điểm A, B thỏa mãn OB = AB = Tọa độ điểm A trục x’Ox A B -2 C D r uuuu r r Câu 5: Trên trục O; e cho hai điểm M, N thỏa mãn OM = 2e , ON = −5 Độ dài đại số MN ( ) Trang A B -3 C -7 D r Câu 6: Trên trục O; e cho hai điểm A, B thỏa mãn AB = , điểm B có tọa độ -6 Tọa độ trung ( ) điểm đoạn thẳng AB A B -7 C -5 D -2 r Câu 7: Trên trục O; e cho hai điểm A, B có tọa độ tương ứng -3 Gọi M điểm trục ( ) thỏa mãn MA + 3MB = Độ dài đại số BM A -2 B C D r Câu 8: Trên trục O; e , cho hai điểm M, N thỏa mãn OM + ON = MN = Gọi E trung điểm ( ) MN, độ dài OE A B C D Dạng 2: Xác định tọa độ vectơ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Phương pháp giải Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: r r r r +) u ( a; b ) ⇔ u = a.i + b j uuuu r r r +) M ( x; y ) ⇔ OM = x.i + y j uuur +) AB = ( xB − xA ; yB − y A ) r r Giả sử u ( u1 ; u2 ) , v ( v1 ; v2 ) r r u1 = v1 Khi u − v ⇔  u2 = v2 Lưu ý: Nhiều tốn, việc tìm tọa độ điểm quy tìm điều kiện để hai vectơ Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A ( −2; 1) , B ( 5; ) uuur a) Tìm tọa độ vectơ AB uuur uuu r b) Tìm tọa độ điểm D cho AD = OB Hướng dẫn giải uuur uuur a) AB = ( xB − xA ; yB − y A ) hay AB = ( 7; 1) uuur uuur b) OB = ( 5; ) , AD = ( xD + 2; yD − 1) uuur uuur  xD + = x = ⇔ D Do AD = OB ⇔   yD − =  yD = Vậy D = ( 3; 3) Ví dụ mẫu uuuu r r r uuur r r Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M, N thỏa mãn OM = 3i − j , ON = i + j uuuu r a) Xác định tọa độ MN b) Xác định tọa độ trung điểm đoạn thằng MN Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuuu r r r uuuu r a) Ta có MN = ON − OM = −2i + j ⇒ MN = ( −2; ) b) Từ giả thiết, suy M ( 3; − ) , N ( 1; ) Trang xM + xN +  = =2  xI = 2 Gọi I trung điểm MN ⇒   y = yM + yN = −2 + =  I 2 Vậy tọa độ trung điểm đoạn thẳng MN (2; 2) Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1; 3) , B ( −2; ) , C ( 0; ) uuuu r uuur a) Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn AM = BC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành Hướng dẫn giải uuur uuur a) BC = ( 2; ) ⇒ BC = ( 4; 10 ) uuuu r Gọi M ( x; y ) ⇒ AM = ( x − 1; y − 3) uuuu r uuur x −1 = x = ⇔ Khi AM = BC ⇔   y − = 10  y = 13 b) Dễ dàng chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng uuur uuur Ta có AB = ( −3; − 1) ; CD = ( xD ; yD − ) uuur uuur  xD = −3  x = −3 ⇔ D Tứ giác ABDC hình bình hành ⇔ CD = AB ⇔   yD − = −1  yD = Vậy D ( −3; ) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 4; − 3) , B ( 2; ) Tìm tọa độ điểm K thỏa mãn uuu r uuur r đẳng thức KA − KB = Hướng dẫn giải Gọi K ( x; y ) ta có uuu r uuur KA = ( − x; − − y ) , KB = ( − x; − y ) uuur ⇒ KB = ( − x; 10 − y ) uuu r uuur 4 − x = − x x = ⇔ Ta có KA = KB ⇔  −3 − y = 10 − y  y = 13 Vậy K ( 0; 13) Lưu ý: Ta xử lí tốn theo cách sau uuu r uuur r KA − KB = uuu r uuu r uuu r r ⇔ KA − KA + AB = ( ) Trang uuur uuur ⇔ AK = AB Đến giải Ví dụ 2a Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E ( −3; 1) , F ( 2; ) Gọi H, K hình chiếu E, F trục hồnh Độ dài đoạn thẳng HK A B C D Hướng dẫn giải Vì H, K hình chiếu E F trục hồnh Do H ( −3; ) , K ( 2; ) suy HK = − ( −3) = Chọn B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm P ( 1; ) , Q ( −5; ) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục uuur uuuu r Ox cho MP + MQ đạt giá trị nhỏ A ( −2; 3) B ( 0; 3) C ( −6; ) D ( −2; ) Hướng dẫn giải uuur uuuu r uuu r Gọi I trung điểm PQ, ta có I ( −2; 3) MP + MQ = 2MI = 2MI uuur uuuu r Khi MP + MQ nhỏ  MI nhỏ Điều xảy M hình chiếu vng góc I trục Ox hay M ( −2; ) Chọn D Chú ý: Bài toán có sử dụng đến tốn hình học “Tìm điểm M đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến điểm cố định I cho trước nhỏ nhất” Những tốn hình học kiểu giúp ta xác định vị trí tương đối điểm với điểm đường thẳng cho làm sở cho việc tìm tọa độ điểm Lời bình: Mấu chốt tốn việc điểm I Trong biến đổi vectơ, để làm xuất điểm ta việc xen điểm vào vectơ đó, cụ thể sau: uuu r uur uuu r uur uuu r uur uur uuur uuuu r MP + MQ = MI + IP + MI + IQ = 2MI + IP + IQ ( ) ( ) ( ) với điểm I tùy ý Qua ta thấy rằng, việc chọn I trung điểm PQ mục đích để uur uur r uuur uuuu r uuu r IP + IQ = , tổng MP + MQ MI Trang 10 A -3 B 55 C 19 D 37 Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A ( 0; − 3) , B ( 2; 1) , C ( 4; − 1) Tọa độ đỉnh D A ( 6; 3) B ( 3; ) C ( 5; ) D ( 2; − ) r r r r Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba vectơ a ( 2; − 3) , b ( 3; 1) , c ( −1; ) Ta phân tích c r r r r r theo hai vectơ a, b sau c = k a + m.b Tổng k + m A -1 B A -1 B C D -3 r r r r Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a ( 2; − ) , b ( 1; − 3) , c ( 1; − ) Ta phân tích c theo hai r r r r r vectơ a, b sau c = ma + nb Tổng m + n C -5 D r r r r r r Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a ( 2; 1) , b ( 3; ) , c ( 7; ) Giá trị m, n để c = ma + nb A m = − C m = 22 ,n=− 5 B m = , n = − 5 22 ,n=− 5 D m = 22 ,n= 5 Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai vectơ phương tọa độ Phương pháp giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ r r r r a ( a1 ; a2 ) , b ( b1 ; b2 ) a ( 2; − ) Vectơ sau phương với a ? r r uu r * a, b phương A a1 ( 1; 3) uu r r r r a1 = kb1 a B ( −3; 1) ∃k ∈ ¡ : a = kb b ≠ ⇔  uu r a2 = kb2 C a3 ( −1; 3) Lưu ý: Có thể sử dụng định thức cấp để chứng uu r D a4 ( 4; 12 ) minh hai vectơ phương, cụ thể ( ) r r a1 a, b phương ⇔ b1 a2 b2 =0 ⇔ a1b2 − a2 b1 = * Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Hướng dẫn giải uu r uu r r 1r Dế thấy a3 = − a ⇒ a3 phương với a Chọn C Trong mặt phẳng, cho ba điểm phân biệt A, B, C uuu r uuur Khi đó: A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k AC Ví dụ mẫu r r r r Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a ( 3; − ) , b ( x − 1; ) Giá trị x để a, b phương Trang 15 A x = −6 B x = −5 C x = D x = − Hướng dẫn giải r r r r  x − = 3k  k = −2 ⇒ Cách a, b phương ⇔ b = k a ⇔   = −2 k  x = −5 r r −2 = Cách Cách khác a, b phương ⇔ x −1 ⇔ 3.4 − ( −2 ) ( x − 1) = ⇔ x = −5 Chọn B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1; 1) , B ( − ) , C ( 7; ) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác Hướng dẫn giải uuur uuur AB = ( 1; − ) , AC = ( 6; ) Vì uuur uuur uuur uuur ≠ − nên ∃k ∈ ¡ : AB = k AC ⇒ AB AC không phương => A, B, C không thẳng hàng Vậy A, B, C ba đỉnh tam giác Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 3; − ) , B ( 1; 3) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành cho A, B, E thẳng hàng Hướng dẫn giải E ∈ Ox ⇒ E = ( x; ) uuur uuur Khi AE = ( x − 3; ) , AB = ( −2; ) uuur uuur x−3 11 = ⇔x= A, B, E thẳng hàng ⇔ AE AB phương ⇔ −2 5  11  Vậy E =  ; ÷ 5  Lời bình: - Trong ví dụ này, việc ràng buộc E thuộc trục hoành dẫn tới tọa độ điểm E cịn phụ thuộc vào tham số - Ta thay trục hoành đường thẳng bất kỳ, hay đồ thị hàm số đảm bảo tiêu chí tọa độ điểm E phụ thuộc vào tham số (ta thường gọi phương pháp tham số hóa tọa độ điểm) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M ( 1; 1) , N ( 2; 3) đường thẳng d : y = x + Trên d, lấy điểm P cho M, N, P thẳng hàng Tọa độ điểm P Trang 16 1  A  ; ÷ 2  B ( 3; ) C ( 3; − ) D ( −2; − ) Hướng dẫn giải P ∈ d ⇒ P = ( x; x + 3) uuur uuuu r Khi MP = ( x − 1; x + ) , MN = ( 1; ) uuuu r uuur x − 4x + = ⇔ x = −2 Để M, N, P thẳng hàng MN MP phương ⇔ Vậy tọa độ điểm P cần tìm ( −2; − ) Chọn D Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1; 3) , B ( −2; − 3) Tìm tọa độ điểm I thuộc trục tung cho IA + IB nhỏ Hướng dẫn giải Ta có I ∈ Oy ⇒ I = ( 0; y ) IA + IB ≥ AB , dấu “=” xảy  I, A, B thẳng hàng I nằm A B Dựa vào tọa độ A B ta thấy A, B nằm hai phía so với trục Oy Do đó, giao điểm AB với trục Oy nằm hai điểm A B => điểm I cần tìm giao điểm AB với trục tung Bài toán cho trở thành “Tìm tọa độ điểm I thuộc trục Oy cho I, A, B thẳng hàng” Ta kết I ( 0; 1) Lời bình: - Mấu chốt toán đánh giá IA + IB ≥ AB , tính chất hình học quen thuộc lớp thường sử dụng - Cách giải tốn khơng thay đổi ta thay trục tung đường thẳng tùy ý - Trong trường hợp hai điểm A, B nằm phía với trục Oy giao điểm AB với Oy điểm thỏa mãn yêu cầu - Nếu xảy trường hợp A, B nằm phía với trục Oy ta tìm điểm C thay cho A cho B, C nằm khác phía với Oy thỏa mãn IB + IC = IA + IB hay IC = IA với điểm I ∈ Oy , tức C đối xứng với A qua Oy Bài tập tự luyện dạng r Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, vectơ u ( −2; 3) phương với vectơ sau đây? r A a ( 4; ) r B b ( 3; − ) r 3 C c 1; − ÷ 2  ur D d ( 1; − 3) Trang 17 Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2; − ) , B ( 0; ) Vectơ sau hướng uuur với vectơ AB ? uu r uu r uu r uu r A u1 ( −1; − ) B u2 ( 1; − ) C u3 ( −3; ) D u4 ( 3; ) r r r r Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ a ( 2; m ) , b ( 1; n ) Điều kiện cần đủ để a, b phương A m = 2n B n = 2m C m = n = D m + 2n = Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1; 1) , B ( 3; − ) Tìm trục hoành điểm E cho ba điểm A, B, E thẳng hàng A E ( 3; ) 2  B E  ; ÷ 3   5 C E  0; ÷  3 5  D E  ; ÷ 3  Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2; ) , B ( −1; − ) Tọa độ điểm E thuộc trục tung cho ba điểm A B, E thẳng hàng A E ( 0; ) B E ( 0; − ) C E ( 0; 1) D E ( 0; − 1) Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( −1; − ) , B ( 3; ) Tọa độ điểm M đường thẳng y = để ba điểm M, A, B thẳng hàng A M ( 3; 1) B M ( −1; 1) C M ( 2; 1) D M ( 4; ) Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A ( 1; − ) , B ( −1; − 3) , C ( 3; 1) Tọa độ điểm D trục hoành cho tứ giác BCAD hình thang có đáy BC AD A ( 7; ) B ( 9; ) C ( 1; ) D ( 3; ) Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( −2; 1) , B ( 0; 3) Gọi M điểm thuộc trục hoành cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ Hoành độ điểm M thuộc khoảng sau đây? A ( −10; − ) B ( −5; ) C ( 0; ) D ( 5; 10 ) Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 3; ) , B ( 2; − 1) Tọa độ điểm N thuộc đường thẳng x = cho NA + NB nhỏ  1 A  1; ÷  2 B ( 1; − 3) C ( 1; ) D ( 1; ) Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E ( 2; ) , F ( 1; 1) Gọi P ( x; ) điểm thuộc trục hoành cho PE − PF lớn Giá trị x thuộc khoảng sau đây? A ( 0; 1) B ( 1; ) C ( 2; 3) D ( 3; ) Dạng 5: Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác Phương pháp giải * Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho a) Hai điểm A ( 3; − ) , B ( 1; ) Tọa độ trung điểm Trang 18  x A + xB y A + y B   ; ÷   * Tọa độ trọng tâm tam gác ABC  x A + xB + xC y A + yB + yC  ;  ÷ 3   đoạn thẳng AB ( 2; − 3) b) Tam giác MNP có M ( 2; − ) , N ( 3; ) P ( 7; − 1) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC ( 4; − ) Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1; ) , B ( −5; ) a) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB b) Tìm tọa độ điểm B' đối xứng với B qua A Hướng dẫn giải  x A + xB + ( −5 ) ; = −2  xI = 2 a) I trung điểm đoạn thẳng AB nên   y = y A + yB = + =  I 2 Vậy I = ( −2; ) xB + xB ′   x A =  x ′ = x A − xB = ⇒ B b) B' đối xứng với B qua A nên   y B′ = y A − y B =  y = y B + y B′ A  Vậy tọa độ điểm B' cần tìm B ′ ( 7; ) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 0; ) , B ( −5; 3) , C ( 2; 1) a) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm E cho A trọng tâm tam giác BCE Hướng dẫn giải a) Dễ dàng chứng minh A, B, C khơng thẳng hàng (Xem ví dụ dạng 4)  x A + xB + xC + ( −5 ) + = = −1  xG = 3 Khi   y = y A + yB + yC = + + =  G 3 Vậy G = ( −1; ) b) Vì A trọng tâm tam giác BCE nên Trang 19 xB + xC + xE   x A =  xE = xA − xB − xC = 3 ⇒   y E = y A − y B − yC =  y = yB + yC + y E A  Vậy E = ( 3; ) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A ( 3; − 3) Tìm tọa độ điểm B, C thuộc trục tung đường thẳng y = cho tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Hướng dẫn giải Gọi B ( 0; b ) , C ( c; )  x A + xB + xC =0  3 + + c =  c = −3 ⇔ ⇒ Theo ra, ta có  −3 + b + = b =  y A + yB + yC =  Vậy điểm B, C cần tìm B ( 0; 1) , C ( −3; ) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( 2; 3) Xác định tọa độ trung điểm M cạnh BC biết đỉnh A ( −2; )  11  A M  ; ÷ 3  B M ( 4; ) C M ( 8; − ) D M ( 10; − 1) Hướng dẫn giải uuur uuuu r uuuu r uuur Từ tính chất trọng tâm tam giác, ta có AG = AM ⇔ AM = AG uuur uuur Ta có AG = ( 4; − ) ⇒ AG = ( 6; − 3) (1)  xM − x A =  x = + xA = ⇒ M Khi ( 1) ⇔   y M − y A = −3  y M = − + y A = Vậy trung điểm cạnh BC M ( 4; ) Chọn B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tọa độ đỉnh A ( 2; − ) trung điểm đường chéo BD I ( −4; 1) Xác định tọa độ trọng tâm G tam giác BCD Trang 20 Hướng dẫn giải Vì ABCD hình bình hành nên I trung điểm AC ⇒ C ( −10; ) uuur uur G trọng tâm ∆BCD ⇒ CG = CI Giải ta G ( −6; ) uur uur uur Lưu ý: Ta khơng cần xác định tọa độ điểm C việc sử dụng IG = IC = AI 3 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hai điểm A ( 5; − 1) , B ( 1; 3) Tọa độ trung điểm AB A ( 6; ) B ( 4; − ) C ( 3; 1) D ( 2; − 1) Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A ( 7; − 1) , B ( −2; ) , C ( 10; − 1) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC A ( 1; 3)  17  B  ; ÷  3  19  C  ; 1÷   D ( 5; 1) Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A ( 10; 3) , B ( 4; − ) Gọi A′ ( a; b ) điểm đối xứng với A qua B Tổng a + b A -15 B -11 C 11 D 15 Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( 1; − 1) , B ( 2; ) , C ( 0; ) , D ( x; y ) Biết C trọng tâm tam giác ABD Giá trị tích x y A 56 B 24 C -36 D -42 Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có trung điểm cạnh BC M ( −2; 3) trọng tâm G ( 1; ) Tọa độ đỉnh A A ( 7; ) B ( −11; ) C ( 1; ) D ( −7; ) Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M ( 2; − 3) , N ( −3; ) , P ( −5; 1) trung điểm cạnh BC, CA, AB Tọa độ đỉnh A A ( 9; − 10 ) B ( 9; 10 ) C ( 10; ) D ( −10; ) Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( 3; 1) đỉnh B ( −1; ) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành A ( 4; 1) B ( 11; 3)  3 C  6; ÷  2 D ( 8; ) Trang 21 Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A ( 0; ) Trung điểm cạnh DC, BC M ( 4; − 1) , N ( 2;5 ) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  16  A G  ; ÷ 3  8 4 B G  ; − ÷ 3 3 C G ( 2; ) 2 4 D G  ; ÷ 3 3 Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A ( 2; ) , B ( 5; − 3) điểm C ∈ Ox Trọng tâm G tam giác ABC nằm đường thẳng y = x Tọa độ trung điểm BC 2  A  0; − ÷ 3  5 3 B  ; − ÷ 2 2 3  C  − ; − ÷ 2   2 D  − ; ÷  3 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) : y = x điểm K ( 3; ) M điểm trục hoành, M' điểm đối xứng với M qua K Trong trường hợp M ′ ∈ ( P ) tổng hoành độ điểm M thỏa mãn yêu cầu A B C 12 D 16 Trang 22 ĐÁP ÁN r Dạng Tìm tọa độ điểm độ dài đại số vectơ trục O, e ( ) * Đáp án trắc nghiệm 1-B 2-A 3-C 4-D 5-C 6-B 7-C 8-B * Hướng dẫn giải Câu OB = −6 ⇒ OA = OB + BA = OB − AB = −8 Tọa độ A, B trục tương ứng -8 -6 Do tọa độ trung điểm AB −8 + ( −6 ) = −7 Câu Gọi tọa độ điểm M m uuuu r r uuu r r uuur uuu r uuuu r r uuur Ta có OM = m.e, OA = e ⇒ MA = OA − OM = ( − m ) e ⇒ MA = − m Tương tự MB = −3 − m Khi MA + 3MB = ⇔ − m + ( −3 − m ) = ⇔ m = −2 Vậy BM = m + = Câu Gọi tọa độ M, N trục m, n m + n = m = −3 ⇔ Theo ra, ta có  n − m = n = E trung điểm MN => tọa độ điểm E −3 + = Hay OE = Dạng Xác định tọa độ vectơ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy * Đáp án trắc nghiệm 1-B 2-C 3-A 4-C 5-D 6-B 7-B 8-B 9-C 10-A * Hướng dẫn giải Câu Gọi M ( a; b ) uuuu r uuur Ta có AM = ( a − 2; b − 1) AB = ( −3; ) uuuu r uuu r r 3 ( a − ) − = a = ⇔ Lại có AM + AB = ⇔  Suy M ( 3; − 1) b = −1 3 ( b − 1) + = Câu Trang 23 uuur uuur uuuu r r uuur uuur uuur   Ta có MA + MB − MC = ⇔ MB = AC ⇒ MB =  − ; ÷  2 1    xB − xM = −  xM = − ⇒ ⇔ y − y = y = − B M M   3  Vậy M  − ; − ÷ 2  Câu uuuur uuur r Gọi P ( x; y ) Vì P điểm đối xứng với M qua N nên N trung điểm MP hay NM + NP = ( − ) + ( x − ) = x = ⇔ Hay  Vậy P ( 3; 10 )  y = 10 ( −4 − 3) + ( y − 3) = Câu 7 4 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có G  ; ÷ 3 3 uuur uuur uuuu r uuuu r Theo tính chất trọng tâm tam giác MA + MB + MC = 3MG uuur uuur uuuu r uuuu r ⇒ MA + MB + MC nhỏ ⇔ 3MG nhỏ hay MG nhỏ Vì G cố định M thuộc trục hoành nên MG nhỏ M hình chiếu vng góc G trục Ox Khi hồnh độ G M 7  Vậy điểm M cần tìm M  ; ÷ 3  Câu uur uur uuu r r uuu r uuu r uuur uuur Gọi J điểm thỏa mãn JA − JB + JC = ⇒ OJ = 2OA − 3OB + 2OC  xJ = x A − 3xB + xC = −4 ⇒ ⇒ J ( −4; − 19 )  y J = y A − yB + yC = −19 uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r Khi MA − 3MB + MC = MJ , ∀M ⇒ MA − 3MB + MC = MJ nhỏ  M hình chiếu J trục Ox hay M ( −4; ) Câu 10 uu r uur r Gọi I điểm thỏa mãn hệ thức IA − IB = ⇒ I = ( −3; − 11) Lập luận tương tự câu 9, điểm M cần tìm hình chiếu I đường thẳng y = hay M ( −3; ) ⇒ a + b = −1 Trang 24 Dạng Tìm tọa độ vectơ tổng hiệu, tích vectơ với số * Đáp án trắc nghiệm 1-A 2-A * Hướng dẫn giải 3-A 4-C 5-D 6-A 7-A 8-C Câu uuu r uuu r Ta có OA = ( 1; 1) ; OB = ( 4; − ) uuuu r uuu r uuu r Lại có OM = 2OA − 5OB = ( 2.1 − 5.4; 2.1 − ( −7 ) ) = ( −18; 37 ) Tổng tung độ hoành độ M −18 + 37 = 19 Câu uuur uuu r uuur Gọi D ( x; y ) , ta có AD = ( x; y + 3) ; AB = ( 2; ) ; AC = ( 4; ) uuur uuur uuur 2 + x = x = ⇔ Vì ABCD hình bình hành nên AB + AD = AC ⇔  4 + y + =  y = −5 Vậy D ( 2; − ) Câu r r r −1 = 2k + 3m k = −2 ⇔ ⇒ k + m = −1 Ta có c = k a + m.b ⇔  7 = −3k + m m = Câu r r r 1 = 2m + n m = c = ma + nb ⇔  ⇔ ⇒ m + n = −1  −5 = −7m − 3n n = −3 Câu r r ma + nb = ( 2m + 3n; m + 4n ) r r r 7 = 2m + 3n ⇔ Khi c = ma + nb ⇔   = m + 4n 22  m =  m = −  Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai vectơ phương tọa độ * Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-C * Hướng dẫn giải 3-A 4-D 5-D 6-C 7-D 8-B 9-C 10-A Câu uuur Ta có AB = ( 2; − 3) uuur Gọi E ( x; ) , AE = ( x − 1; − 1) Trang 25 uuur uuu r x − −1 = ⇔x= Ba điểm A, B, E thẳng hàng ⇔ AE , AB phương ⇔ −3 5  Vậy E  ; ÷ 3  Lưu ý: Bài tốn giải phương pháp giải tích sau: - Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B (đồ thị hàm bậc nhất) - Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB trục hồnh - Giao điểm điểm E cần tìm Câu E ∈ Oy ⇒ E ( 0; y ) uuur uuur Ta có AE = ( −2; y − ) , AB = ( −3; − 12 ) uuur uuur −2 y − = ⇔ y = −1 Để A, B, E thẳng hàng AE AB phương ⇔ −3 −12 Vậy E = ( 0; − 1) Câu uuuu r uuur Gọi M ( m; 1) ⇒ AM = ( m + 1; ) , AB = ( 4; 12 ) M, A, B thẳng hàng ⇔ m +1 = ⇔m=2 12 Vậy M ( 2; 1) Câu D ∈ Ox ⇒ D = ( x; ) uuur uuur BC = ( 4; ) , AD = ( x − 1; ) uuur uuur x −1 = ⇒ x=3 BCAD hình thang có hai đáy BC AD nên AD BC phương ⇒ 4 Vậy D = ( 3; ) Câu Lấy C đối xứng với B qua Ox ⇒ C ( 0; − 3) Ta có MA + MB = MA + MC ≥ AC Dấu “=” xảy  A, C, M thẳng hàng => M giao điểm AC với trục hoành   Ta kết M  − ; ÷   Trang 26 Câu Dễ thấy A, B nằm phía bên phải đường thẳng x = Gọi A' điểm đối xứng A qua đường thẳng x = ⇒ A′ ( −1; ) Khi NA + NB = NA′ + NB ≥ A′B với điểm N thuộc đường thẳng x = Dấu “=” xảy  N, A', B thẳng hàng uuuu r uuur Giả sử N ( 1; n ) ⇒ A′N = ( 2; n − ) , A′B = ( 3; − 3) N, A', B thẳng hàng ⇔ n−2 = ⇔n=0 −3 Vậy N = ( 1; ) Câu 10 Dễ thấy E, F nằm phía so với trục Ox (phía trên) Ta có PE − PF ≤ EF , ∀P ∈ Ox Dấu “=” xảy  P, E, F thẳng hàng P nằm đoạn EF (hoặc trùng với E, F) uuu r uuur PE = ( − x; ) , EF = ( −1; − ) P, E, F thẳng hàng ⇔ 2− x = ⇔x= −1 −4 Vì E, F nằm phía so với trục hồnh nên P nằm ngồi đoạn EF Vậy giá trị x cần tìm x = ∈ ( 0; 1) Dạng Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác * Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-D * Hướng dẫn giải 3-A 4-D 5-A 6-D 7-B 8-A 9-C 10-C Trang 27 Câu x A + xB + x D 1+ + x   0=  xC =   x = −3  3 ⇔ ⇔ Vì C trọng tâm tam giác ABD nên   y = 14  y = y A + yB + yD 5 = −1 + + y C   Vậy D ( −3; 14 ) nên x y = −3.14 = −42 Câu uuur uuuu r Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AG = 2GM 1 − x = ( −2 − 1) x = ⇔ Gọi A ( x; y ) Ta có  Suy A ( 7; ) y =  − y = ( − ) Câu Gọi G trọng tâm ∆ABC => G trọng tâm ∆MNP Do G = ( −2; 1) uuur uuuu r Áp dụng tính chất trọng tâm tam giác, ta có AG = 2GM ⇒ A ( −10; ) Câu Dựa vào tính chất trọng tâm tam giác ta có uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur BG = BI = BD = BD ⇒ BD = 3BG ⇒ BD = ( 12; 3) ⇒ D = ( 11; 3) 3 Câu Gọi I = AC ∩ BD , E trung điểm MN ⇒ E ( 3; ) Trang 28 Ta có E trung điểm IC  uuur uur  AG = AI uuur uuur ⇒ AG = AE Ta có  uur uuur  AI = AE  4    xG − x A = ( xE − x A )  xG = ⇒ ⇒ y − y = ( y − y )  y = 16 G A E A  G   16  Vậy trọng tâm tam giác ABC G  ; ÷ 3  Câu Gọi C ( c; ) , G ( x; x ) 2+5+ c x A + xB + xC   x = x = G    x = −1  ⇔ ⇔ ⇒ C ( −10; ) G trọng tâm ∆ABC nên ta có  y + y + y + − + c = − 10 ( )  A B C y = x =  G  3 3  Tọa độ trung điểm cạnh BC  − ; − ÷ 2  Câu 10 Gọi M ( x; ) điểm cần tìm Vì K trung điểm MM' nên M ′ ( − x; ) 6 − x = 2 ⇔ Lại có M ′ ( − x; ) ∈ ( P ) ⇒ = ( − x ) ⇔   − x = −2 x = x =  Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu tổng hoành độ chúng 12 Trang 29 ... Khi tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  G− ;   2÷  Trang Sơ đồ lí thuyết: Hệ trục tọa độ r Trục tọa độ O; e Tọa độ độ dài đại số trục ( ) r Với O điểm gốc e vectơ đơn vị Tọa độ điểm M trục tọa. .. uuur độ dài đại số vectơ AB trục cho, kí uuu r hiệu a = AB Hệ trục tọa độ r r r - Hệ trục tọa độ O; i; j gồm hai trục O; i ( ( ) ( ) r O; j vng góc với Điểm gốc O chung ) r hai trục gọi gốc tọa độ. .. M uuuu r ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi mặt phẳng Oxy M ( 3; − ) tọa độ điểm M hệ trục uuuu r r r M ( x; y ) ⇔ OM = xi + y j Tọa độ điểm Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng - Trong