CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ §4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT TRỤC VÀ ĐỘ DÀI ĐẠI SỐ TRÊN TRỤC Trục tọa độ (còng gọi trục) đường thẳng xác định điểm O cố định véc-tơ #» đơn vị i (véc-tơ có độ dài 1) Điểm O gọi gốc tọa độ Hướng véc-tơ đơn vị hướng trục #» Trục tọa độ ký hiệu (O; i ) # » #» #» Cho điểm tùy ý M nằm trục (O; i ) Khi đó, có số k xác định cho OM = k· i #» Số k gọi tọa độ điểm M trục (O; i ) #» #» Cho véc-tơ #» a nằm trục (O; i ) Khi có số t xác định cho #» a = t · i Số t #» gọi tọa độ véc-tơ #» a trục (O; i ) # » Như tọa độ điểm M tọa độ véc-tơ OM # » #» Nếu hai điểm A, B nằm trục Ox Khi có số t cho AB = t · t Ta gọi số t # » # » #» độ dài véc-tơ AB trục cho, ký hiệu AB Như AB = AB · i # » #» Nếu AB hướng với i AB = AB # » #» Nếu AB ngược hướng với i AB = −AB #» Nếu hai điểm A, B trục (O; i ) có tọa độ a, b AB = b − a ! Định lí Trên trục số Với ba điểm trục, ta có AB + BC = AC # » # » Hai véc-tơ AB CD AB = CD HỆ TRỤC TỌA ĐỘ #» #» #» #» Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) (O; j ) vng góc với nhau, Điểm O goi gốc tọa độ #» Trục (O; i ) gọi trục hoành, ký hiệu Ox #» Trục (O; j ) gọi trục tung, ký hiệu Oy #» #» Các véc-tơ i j véc-tơ đơn vị trục Ox Oy #» #» Hệ trục tọa độ (O; i , j ) ký hiệu Oxy Mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt ! phẳng Oxy TỌA ĐỘ CỦA VÉC-TƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ #» #» #» #» Đối với hệ trục tọa độ (O; i , j ) #» u = x i + y j cặp số (x; y) gọi tọa độ véc-tơ #» u, ký hiệu #» u = (x; y) hay #» u (x; y) Số x gọi hoành độ, y gọi tung độ véc-tơ #» u CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ #» #» Định lí Cho hai véc-tơ a = (x; y), b = (x ; y ) số thực k x = x #» #» (i) a = b ⇔ y = y #» #» (ii) #» a + b = (x + x ; y + y ) #» a − b = (x − x ; y − y ) (iii) k #» a = (kx; ky) x = kx #» #» #» (iv) #» a phương với b ( b = ) ⇔ ∃k ∈ R cho y = ky TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM # » Trong mặt phẳng Oxy, tạo độ véc-tơ OM gọi tọa độ điểm M Như vậy, (x; y) tọa # » độ điểm M OM = (x; y), ký hiệu M (x; y) hay M = (x; y) Số x gọi hoành độ, số y gọi tung độ điểm M Nếu gọi H, K hình chiếu M Ox Oy # » #» #» # » # » M (x; y) ⇔ OM = x i + y j = OH + OK ! # » # » #» #» Như OH = x i hay x = OH OK = y j hay y = OK Định lí Với hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) ta có # » AB = (xB − xA ; yB − yA ) TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC Định lí Cho hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) Khi trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ xI = xA + xB y = yA + yB I Định lí 5. Cho ba điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) C(xC ; yC ) Khi trọng tâm G tam giác ABC x G = x A + x B + x C có tọa độ y = yA + yB + yC G B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tìm tọa độ điểm độ dài đại số véc-tơ trục Căn vào định nghĩa tọa độ điểm, độ dài đại số véc-tơ công thức tọa độ véc-tơ #» u + #» v , #» u − #» v ,k #» u # » • Điểm M có tọa độ a ⇔ OM = a #» e với O điểm gốc # » # » • Véc-tơ AB có độ dài đại số m = AB ⇔ AB = m #» e • Nếu A B có tọa độ a b AB = b − a CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ xA + xB • Tọa độ trung điểm I đoạn AB : xI = • Nếu #» u = (u1 ; u2 ), #» v = (v1 ; v2 ) #» u + #» v = (u1 + v1 ; u2 + v2 ); #» u − #» v = (u1 − v1 ; u2 − v2 ); k #» u = (ku ; ku ), k ∈ R ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ # » # » Ví dụ Trên trục tọa độ (O; #» e ), cho ba điểm A, B, C với: OA = 4, #» e , OB = −7, #» e, # » #» OC = −3, e a Xác định tọa độ điểm A, B, C b Tìm tọa độ trung điểm M , N , P theo thứ tự đoạn thẳng AB, BC, CA c Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC, CA Ví dụ Trên trục tọa độ (O, #» e ), cho ba điểm A(1), B(−2), C(7) Tìm tọa độ điểm M cho AM + 3BM = 2CM Ví dụ Trên trục tọa độ (O, #» e ), cho điểm A(2), B(−3), C(−6) Tìm tọa độ D(x) cho DA + 4DB ≤ 3DC #» #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (−4; 2), b = (5; 8) Tính tọa độ véc-tơ #» a+ b, #» #» #» #» a − b , #» a , #» a + b , −(5 #» a − b ) #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho véc-tơ #» a = (4; −2), b = (−1; −1) , #» c = (2; 5) Hãy #» phân tích véc-tơ b theo hai véc-tơ #» a #» c #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (x; 2), b = #» #» 4a − b Å ã #» −5; , c = (x; 7) Tìm véc-tơ #» c = #» #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a (1; −2); b (−3; 0); #» c (4; 1) Tìm tọa độ t = #» a − #» #» 3b + c CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUYỆN #» Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (2; 1) , b = (3; 4) , #» c = (7; 2) #» #» #» #» a Tìm tọa độ véc-tơ u = a − b + c #» b Tìm tọa độ véc-tơ #» v cho #» v + #» a = b − #» c #» #» #» c Tìm số k, h để c = k a + h b #» Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (−1; 3), b = (0; 5), #» c = (5; −2) Tính tọa độ véc-tơ #» #» u , v định bởi: #» a) #» u = #» a + b − #» c #» #» #» b) a + v = b − #» c #» Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (x; 2) , b = (−5; 1), #» c = (x; 7) Tìm tọa độ véc-tơ #» #» #» c = 2a + b #» #» Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (2; 1), b = (3; 4), #» c = (7; 2) Tìm tọa độ #» c = m #» a + n b #» Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (−2; 1), b = (3; 4) #» c = (0; 8) Tìm tọa độ #» x thỏa #» #» x + #» a = b − #» c #» #» Bài Cho #» a = (0; 1), b = (−1; 2), #» c = (−3; −2) Tìm tọa độ #» u = #» a + b − #» c #» #» Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (2; 1), b = (3; 4), #» c = (7; 2) Tìm m n để #» c = m #» a +nb Bài Trên trục Ox cho điểm A(2), B(−2) Tìm điểm M (x) thỏa mãn điều kiện M A.M B ≤ AB Bài Trên trục tọa độ (O; #» e ), cho ba điểm A(−4), B(9), C(−3) a Tìm điểm M (x) thỏa mãn điều kiện AB = 2CM b Tìm điểm P (x) thỏa mãn điều kiện P A + 2P B + 3P C ≤ c Tìm điểm Q(x) thỏa mãn điều kiện QA.QB ≤ QC Bài 10 Trên trục tọa độ x Ox cho ba điểm A, B, C có tọa độ 9, −6, Tìm điểm đối xứng với điểm A B qua C CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Dạng Xác định tọa độ véc-tơ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Trong mặt phẳng Oxy, với điểm M tùy ý, tồn hai số thực x, y cho # » # » # » #» #» OM = x i + y j Bộ hai số thực (x; y) gọi tọa độ véc-tơ OM , ký hiệu OM = (x; y) # » hay OM (x; y) ! #» #» • Tọa độ véc-tơ đơn vị i (1; 0), tức i = (1; 0) #» #» • Tọa độ véc-tơ đơn vị j (0; 1), tức j = (0; 1) #» • Tọa độ véc-tơ-không (0; 0), tức = (0; 0) # » Nếu biết tọa độ hai điểm A, B ta tính tọa độ véc-tơ AB theo công thức # » AB = (xB − xA ; yB − yA ) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(3; 2), B(2; −1), C(−2; −2) Tìm tọa độ điểm D Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC Gọi M (4; −1), N (3; 0) P (4; 2) trung điểm cạnh BC, CA AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có AD = chiều cao ứng với # » #» #» ’ = 30◦ Chọn hệ trục tọa độ (A; #» cạnh AD góc BAD i , j ) cho i AD hướng # » # » # » # » Tìm tọa độ véc-tơ AB, BC, CD AC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(−1; 4), B(2; 6), C(1; 1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(1; −1), B(2; 2), C(1; −5), D(3; 1) Chứng minh hai đường thẳng AB CD song song với #» #» Bài Cho tam giác ABC cạnh a Chọn hệ trục tọa độ (O; i , j ), O trung điểm # » #» # » #» cạnh BC, i hướng với OC, j hướng với OA a) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC; b) Tìm tọa độ trung điểm E cạnh AC; c) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Dạng Tính tọa độ trung điểm - trọng tâm Phương pháp giải, kinh nghiệm giải x + xB x M = A M trung điểm AB ⇔ y + yB A yM = 2 x + xB + xC x G = A G trọng tâm tam giác ABC ⇔ y + y + yC A B y G = ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 4), B(−2; 6) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−1; 2), B(1; 4), C(−1; −2) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(3; 1), B(2; 2), G(2; −1) Tìm tọa độ điểm C biết G trọng tâm tam giác ABC Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−2; 0), B(0; −4) Gọi M trung điểm AB, tìm tọa độ trọng tâm tam giác OBM Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(1; 5), B(−4; −3), C(2; −1) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, tìm tọa độ điểm G điểm đối xứng G qua B CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, điểm thuộc đường thẳng Sử dụng điều kiện cần đủ sau: #» #» #» • Hai véc-tơ #» a b = phương tồn số k cho #» a = kb # » # » • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véc-tơ AB AC phương • Điểm M thuộc đường thẳng AB ba điểm M , A, B thẳng hàng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(−1; 1), B(1; 3), C(2; 4) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Đường thẳng AB cắt trục Ox điểm M Tìm tọa độ điểm M #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba véc-tơ #» a = (1; 2), b = (−3; 1) #» c = (6; 5) Tìm m #» #» #» #» để véc-tơ u = m a + b phương với c Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(5; 5), B(6; −2), C(−2; 4) a) Chứng minh ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−2; 1) B(−4; 5) a) Tìm trục Ox điểm C cho ABCO hình thang có cạnh đáy AO b) Tìm tọa độ giao điểm I hai đường chéo hình thang ABCO CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm phân biệt A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) Ta nói điểm M chia # » # » đoạn thẳng AB theo tỉ số k = M A = k M B Chứng minh rằng: xA − kxB x M = 1−k y − kyB A yM = 1−k Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(0; 2), B(1; 1) C(−1; −2) Các điểm A , B , C chia đoạn thẳng BC, CA, AB theo tỉ số , −2, −1 a) Tìm tọa độ điểm A , B , C b) Chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(5; 0), B(3; −2) Đường thẳng AB cắt trục Oy điểm M Trong ba điểm A, B, M , điểm nằm hai điểm lại? Å ã Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(6; 4), B(3; −2), C ;2 a) Tìm trục hoành điểm M cho M A + M B đạt giá trị nhỏ b) Tìm trục hoành điểm N cho N A + N C đạt giá trị nhỏ Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(6; 4), B(2; 3), C(−2; 1) a) Tìm trục tung điểm M cho |M A − M B| đạt giá trị lớn b) Tìm trục tung điểm N cho |N A − N C| đạt giá trị lớn C BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ véc-tơ sau: #» a) #» a = −5 i ; #» #» b) b = j ; #» #» c) #» c = −3 i + j ; #» #» √ #» d) d = 0, i − 11 j Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(−3; −1), B(1; 1) C(7; 4) # » # » a) Tìm tọa độ AB, BC Chứng minh A, B, C thẳng hàng b) Chứng minh A, B, O không thẳng hàng Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABO c) Tìm tọa độ điểm D trục hoành để A, B, D thẳng hàng CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(−2; 3), B(2; 4) C(1; −2) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác # » b) Tính tọa độ véc-tơ AM với M trung điểm BC c) Tính tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(−2; 2), B(1; 4), C(5; 1) a) Tìm tọa độ trung điểm I AC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; −1), B(−3; 5), C(4; −7) a) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tức giác BGCD hình bình hành Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1; 6), B(2; 2) C(−2; 3) a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành tam giác b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tìm tọa độ điểm E(x; −2) cho A, B, E thẳng hàng Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm B(−3; 2) C(6; 5) Tìm tọa độ điểm A thuộc trục tung cho AB + AC bé Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm M (−3; −4) N (3; −2) Tìm tọa độ điểm P thuộc trục Ox cho P M + P N bé Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2) Tìm điểm D cho D ∈ Ox ABCD hình thang đáy AB Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC Gọi G, I, H trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác ABC Tìm tọa độ trọng tâm G biết I(0; 2), H(3; 5) Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(5; 3), B(2; −3), C(−2; 1) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác # » # » # » b) Tìm trục hoành điểm M cho M A + M B + M C đạt giá trị nhỏ # » # » # » c) Tìm trục tung điểm N cho N A − 4N B + 9M C đạt giá trị nhỏ Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−3; 3), B(−1; 4) Đường thẳng qua hai điểm A B cắt trục hoành M cắt trục tung N Tính diện tích tam giác OM N độ dài đường cao tam giác OM N kẻ từ O Bài 13 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Gọi I J trung điểm đoạn thẳng AB CD; P Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, P Q M N có trung điểm ... ≤ QC Bài 10 Trên trục tọa độ x Ox cho ba điểm A, B, C có tọa độ 9, −6, Tìm điểm đối xứng với điểm A B qua C CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Dạng Xác định tọa độ véc-tơ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy... c (4; 1) Tìm tọa độ t = #» a − #» #» 3b + c CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUYỆN #» Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (2; 1) , b = (3; 4) , #» c = (7; 2) #» #» #» #» a Tìm tọa độ. .. A + x B + x C có tọa độ y = yA + yB + yC G B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tìm tọa độ điểm độ dài đại số véc-tơ trục Căn vào định nghĩa tọa độ điểm, độ dài đại số véc-tơ công thức tọa độ véc-tơ #» u +