THÔNG TIN TÀI LIỆU
BÀI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ MỤC TIÊU Kiến thức: - Hiểu khái niệm trục tọa độ, tọa độ điểm tọa độ vectơ trục tọa độ -Nắm khái niệm độ dài đại số hệ thức Sác-lơ - Hiểu phép toán liên quan đến tọa độ vectơ Kỹ năng: - Xác định tọa độ điểm, vectơ trục, hệ trục tọa độ - Tinh độ dài vectơ qua tọa độ I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Trục độ dài đại số trục - Trục tọa độ đường thẳng xác định điểm O gọi điểm gốc vectơ đơn vị e - Cho M điểm tùy ý trục O; e Khi có số k cho OM ke Số k gọi tọa độ điểm M trục cho - Cho hai điểm A, B trục O; e , tồn số a cho AB ae Ta gọi số a độ dài đại số vecto AB trục cho, kí hiệu a AB Chú ý: Nhận xét Nếu AB hướng với e AB AB , cịn AB ngược hướng với e AB AB Nếu hai điểm A B trục O; e có tọa độ a b AB b a Hệ trục tọa độ - Hệ trục tọa độ (O, i; j ) gồm hai trục (O; i ) (O; j ) vng góc với Điểm gốc O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục O; i gọi trục hoành kí hiệu Ox , trục O; j gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Ox Oy với | i || j | Hệ trục tọa độ (O; i; j) cịn kí hiệu Oxy Chú ý: Tọa độ vectơ - Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Tồn cặp số x; y cho u xi yj Cặp số x; y gọi tọa độ vectơ u hệ tọa độ Oxy viết u u ( x; y ) u ( x; y) Trong đó: x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u Trang x x' Nhận xét Cho u ( x; y) vat u ' x ' ; y ' Khi u u ' y y Tọa độ điểm - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục M ( x; y) OM xi yj Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ OM thỏa mãn OM 3i j Khi tọa độ điểm M mặt phẳng Oxy M 3; 4 Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng - Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A xA ; yA B xB ; yB Ta có AB xB xA ; yB yA Nhận xét Hai vectơ u u1; u2 , v v1; v2 với v phương có số k cho u1 kv u2 kv2 Tọa độ vectơ u v , u v , ku - Cho u x1; x2 , v x2 ; y2 Khi u v x1 x2 ; y1 y2 u v x1 x2 ; y1 y2 ku k x1; k1 x2 (k ) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng - Cho đoạn thẳng AB có A xA ; yA B xB ; yB Khi đó, tọa độ trung điểm I x; y AB thỏa mãn x A xB y yB , yA A 2 Ví dụ: Cho A 3;4 B 1;6 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB I 2;5 xI Tọa độ trọng tâm tam giác - Cho tam giác ABC có A xA ; yA , B xB ; yB C xC ; yC Khi đó, tọa độ trọng tâm G xG ; yG tam giác ABC thỏa mãn xA xB xC y yB yC , yG A 3 Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 0;1 , B 1;3 C 2;2 khơng thẳng hàng Khi xG tọa độ trọng tâm G tam giác ABC G ; Sơ đồ lí thuyết: Hệ trục tọa độ CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm tọa độ điểm độ dài đại số vectơ trục + Phương pháp giải Cho trục (O; e ) điểm M trục O, e - Nếu OM m.e ta nói điểm M có tọa độ m - Nếu hai điểm A, B thuộc trục AB a.e độ dài đại số AB a Trang Phương pháp thực hiện: - Để tìm tọa độ điểm M thuộc trục (O; e ) ta tìm cách biểu thị OM theo vectơ đơn vị e - Để tính độ dài đại số AB ta tìm cách biểu thị AB theo vectơ đơn vị e - Ngồi sử dụng hệ thức AB BC AC với A, B, C ba điểm tùy ý trục (Hệ thức Sác-lơ) Ví dụ: Trên trục (O; e ) cho điểm M thỏa mãn OM 2e - Tọa độ điểm M trục (O; e ) - Độ dài đại số OM - Ví dụ mẫu Ví dụ Trên trục O; e cho hai điểm A,B có tọa độ a) Tính độ dài đại số AB, AB b) Xác định tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB Hướng dẫn giải a) AB OB OA 4e AB AB AB 4 b) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB 1 OI (OA OB) (3e 7e ) 5e 2 Vậy trung điểm I AB có tọa độ Chú ý: Nếu hai điểm A,B có tọa độ a b AB b a Ví dụ Trên trục xOx, cho điểm M, N có tọa độ tương ứng Gọi K điểm đối xứng N qua M Tính độ dài đại số OK Hướng dẫn giải Cách 1: Vì K đối xứng với N qua M nên M trung điểm KN OM (OK ON ) OK 2OM ON 3e (ở e vectơ đơn vị trục x ' Ox ) Vậy OK 3 Cách 2: Ta có OK OM MK (Hệ thức Sac-lơ) Vì M trung điểm KN nên MK MN Suy OK OM MN 3 Cách 3: Gọi a tọa độ điểm K trục x ' Ox Từ giả thiết, suy M trung điểm KN Áp dụng công thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng ta có 9a 3 a 3 Khi OK a 3 Ví dụ Trên trục x ' Ox , cho hai điểm A,B thỏa mãn đồng thời điều kiện OB 10 AB 5 a) Xác định tọa độ điểm A b) Xác định tọa độ điểm M trục cho MA MB Hướng dẫn giải Trang a) Gọi e vectơ đơn vị trục x ' Ox OB OA AB OA OB AB 15 OA 15e Vậy tọa độ điểm A trục x ' Ox 15 b) Theo kết câu a) ta có OA 15e , OB 10e Khi 2MA MB 2(OA OM ) (OB OM ) OM 2OA OB 20e Vậy tọa độ điểm M trục x ' Ox 20 Ví dụ Trên trục (O; e ) cho ba điểm A,B,C có tọa độ 5; 2; Tìm tọa độ điểm M trục thỏa mãn đẳng thức 2MA 3MC 4MB Hướng dẫn giải Cách Từ giả thiết, suy OA 5e, OB 2e, OC 4e Ta có 2MA 3MC 4MB 2(OA OM ) 3(OC OM ) 4(OB OM ) 10 2OA 3OC 4OB 9OM OM (2OA 4OB 3OC ) e 9 10 Vậy tọa độ điểm M trục Cách Gọi tọa độ điểm M trục m, ta có 2MA 3MC 4MB 2(5 m) 3(4 m) 4(2 m) m Vậy tọa độ điểm M trục 10 10 Ví dụ Trên trục O; e cho điểm A, B có tọa độ 2 Gọi M, N hai điểm trục thỏa mãn MA 2MB 3NA NB Tính độ dài đại số MN Hướng dẫn giải Theo ra, ta có OA 2e OA 2; OB 5e OB Khi MA 2MB (OA OM ) 2(OB OM ) 8 OM (OA 2OB) e OM 3 3NA NB 3(OA ON ) (OB ON ) 2ON 3OA OB 12 ON 6 26 MN ON OM 6 3 26 Vậy MN Bài tập tự luyện dạng Câu Trên trục O; e cho điểm M có tọa độ - Khẳng định sau đúng? A OM 2e B OM 2 C OM = D OM = -2 Câu Trên trục O; e , cho điểm M thỏa mãn OM 3 Tọa độ M trục O; e A 3 B C D -6 Câu Trên trục x ' Ox cho hai điểm A, B có tọa độ tương ứng 2 Tính AB Trang A AB B AB 4 C AB D AB 2 Câu Trên trục x ' Ox cho hai điểm A, B thỏa mãn OB AB Tọa độ điểm A trục x ' Ox A B 2 C D Câu Trên trục O; e , cho hai điểm M,N thỏa mãn OM 2e , ON 5 Độ dài đại số MN A B 3 C 7 D Câu Trên trục O; e , cho hai điểm A,B thỏa mãn AB , điểm B có tọa độ -6 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB A B -7 Câu Trên trục C D 2 O; e , cho hai điểm A,B có tọa độ tương ứng -3 Gọi M điểm trục thỏa mãn MA 3MB Độ dài đại số BM A 2 B C D Câu Trên trục O; e , cho hai điểm M,N thỏa mãn OM ON MN Gọi E trung điểm MN, độ dài OE A *Đáp án trắc nghiệm B C D *Hướng dẫn giải Câu OB 6 OA OB BA OB AB 8 Tọa độ A, B trục tương ứng -8 -6 8 (6) 7 Do tọa độ trung điểm AB Câu Gọi tọa độ điểm M m Ta có OM m.e , OA e MA OA OM (1 m)e MA 1 m Tương tự MB 3 m Khi MA 3MB m 3(3 m) m 2 Vậy BM m Câu Gọi tọa độ M, N trục m, n m n m 3 Theo ta có n n m E trung điểm MN tọa độ điểm E 3 Hay OE Dạng Xác định tọa độ vectơ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy - Phương pháp giải Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có Trang )u (a; b) u a.i b j ) M ( x; y) OM x.i y j ) AB xB xA ; yB y A Giả sử u u1; u2 , v v1; v2 u v Khi u v 1 u2 v2 Lưu ý: Nhiều tốn, việc tìm tọa độ điểm quy tìm điều kiện để hai vectơ Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(-2;1), B(5;2) a) Tìm tọa độ vectơ AB b) Tìm tọa độ điểm D cho AD OB Hướng dẫn giải a) AB xB xA ; yB yA hay AB (7;1) b) OB (5;2), AD xD 2; yD 1 x xD Do AD OB D y D yD Vậy D 3;3 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M,N thỏa mãn OM 3i j ON i j a) Xác định tọa độ MN b) Xác định tọa độ trung điểm đoạn thẳng MN Hướng dẫn giải a) Ta có MN ON OM 2i j MN (2;8) b) Từ giả thiết, suy M 3; 2 , N 1;6 xM xN 2 xI 2 Gọi I trung điểm MN y yM yN 2 I 2 Vậy tọa độ trung điểm đoạn thẳng MN 2;2 Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 1;3 , B 2;2 , C 0;7 a) Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn AM BC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành Hướng dẫn giải a) BC (2;5) 2BC (4;10) Gọi M ( x; y) AM ( x 1; y 3) x 1 x Khi AM BC y 13 y 10 b) Dễ dàng chứng minh ba điểm A,B,C khơng thẳng hàng Ta có AB (3; 1); CD xD ; yD Trang x 3 x 3 Tứ giác ABDC hình bình hành CD AB D D yD 1 yD Vậy D 3;6 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 4; 3 , B 2;5 Tìm tọa độ điểm K thỏa mãn đẳng thức KA KB Hướng dẫn giải Gọi K x; y ta có KA x; 3 y , KB (2 x;5 y) 2KB (4 2x;10 y) 4 x x x Ta có KA KB y 13 3 y 10 y Vậy K 0;13 Lưu ý: Ta xử lý toán theo cách sau KA KB KA 2( KA AB) AK AB Đến giải Ví dụ 2a Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E 3;1 , F 2;9 Gọi H,K hình chiếu E,F trục hoành Độ dài đoạn thẳng HK A B C Hướng dẫn giải Vì H,K hình chiếu E F trục hồnh Do H 3;0 , A 2;0 , suy HK = |2-(-3)| = D Chọn B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm P 14 , Q 5;2 Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox cho | MP MQ | đạt giá trị nhỏ A 2;3 B 0;3 C 6;0 D 2;0 Chú ý: Bài tốn có sử dụng đến tốn hình học “Tìm điểm M đường thẳng cho khoảng cách từ M đến điểm cố định I cho trước nhỏ nhất” Những tốn hình học kiểu giúp ta xác định vị trí tương đối điểm với điểm đường thẳng cho làm sở cho việc tìm tọa độ điểm, Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm PQ, ta có : I(2;3) | MP MQ || 2MI | 2MI Trang Khi | MP MQ | nhỏ MI nhỏ Điều xảy M hình chiếu vng góc I trục Ox hay M 2;0 Chọn D Lời bình: Mấu chốt toán việc điểm I Trong biến đổi vectơ, để làm xuất điểm ta việc xem điểm vào vectơ đó, cụ thể sau: MP MQ ( MI IP) ( MI CQ) 2M ( P C ) với điểm I tùy ý Qua ta thấy rằng, việc chọn I trung điểm PQ mục đích để IP IQ tổng MP MQ MI Với nhận xét giúp ta giải toán dạng kể ta tăng Số điểm hay thay đổi hệ số trước vectơ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm E 3; 3 , F 7;1 Tìm tọa độ điểm K thuộc trục Oy cho KE KF đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Gọi I điểm thỏa mãn 3IE 2IF I (5; 11) Khi | 3KE 2KF || 3(KI IE) 2(KI IF ) || KI | KI Do | 3KE 2KF | đạt giá trị nhỏ KI ngắn Điều xảy K hình chiếu I trục Oy , K 0; 11 Vậy điểm K cần tìm K 0; 11 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A 2;0 , B 5 , C 1; 5 M điểm thay đổi trục hồnh Tìm giá trị nhỏ biểu thức P | MA MB MC | Hướng dẫn giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC G 2; 4 GA GB GC Ta có MA MB MC (MG GA) (MG GB) (MG GC) 3MG | MA MB MC || 3MG | 3MG Do P nhỏ MG nhỏ M hình chiếu G Ox Khi M hình chiếu G Ox M (2;0) MG | 4 | Vậy Pmin 12 Bài tập tự luyện dạng Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vectơ đơn vị trục hồnh có tọa độ A 0;1 B 1;0 C 1;1 D 1;0 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ u ngược hướng với vectơ đơn i | u | Tọa độ vectơ u A 2;0 B 0; 2 C 2;0 D 2;2 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2i j Tọa độ điểm M Trang A 2; 1 B (1; 2) C 2;1 D 2;1 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 2; 5 Khẳng định sau đúng? A OA 5i j B OA j j C OA 5 j 2i D OA j Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2;1 , B 1;7 Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức AM AB A M 1; 3 B M(5 ;-5) C M(1 ;-1) D M(3 ;-1) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 3;4 , B 1;0 , C 2;7 Tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức MA MB MC 1 3 3 A M ; B M ; 2 2 2 3 C M ; 2 1 3 D M ; 2 2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M 1; 4 , N 2;3 Gọi P điểm đối xứng với M qua N Tọa độ điểm P 3 1 A ; 2 2 B (3 ; 10) C (0 ;-11) D (3;1) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 2;1 , B 4;3 , C 3;0 M điểm thuộc trục hoành cho | MA MB MC | đạt giá trị nhỏ Khi hồnh độ điểm M thuộc khoảng sau đây? A 1;1 B 1;3 C 3;5 D 5;6 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 1;0 , B 0;3 , C 3; 5 Tọa độ điểm M thuộc trục Ox cho T | 2MA 3MB 2MC | bé A M 2;0 B M(4 ; 0) C M 4;0 D M 2;0 Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;1 , B 2;4 Gọi M a; b điểm thuộc đường thẳng y = cho T | 5MA 4MB | đạt giá trị nhỏ Tổng a + b A 1 *Đáp án trắc nghiệm B 14 C 9 D *Hướng dẫn giải Câu Gọi M(a;b) Ta có AM (a 2; b 1) AB (3;6) 3(a 2) a Lại có AM AB b 1 3(b 1) Suy M (3;-1) Câu 3 Ta có MA 2MB MC 2MB AC MB ; 2 Trang 1 xB xM xM y y y B M M 3 Vậy M ; 2 Câu Gọi P ( x; y) Vì P điểm đối xứng với M qua N nên N trung điểm MP hay NM NP (1 2) ( x 2) x Hay Vậy P(3;10) y 10 (4 3) ( y 3) Câu 7 4 Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta có G ; 3 3 Theo tính chất trọng tâm tam giác MA MB MC 3MG | MA MB MC | nhỏ | 3MG | nhỏ hay MG nhỏ Vì G cố định M thuộc trục hồnh nên MG nhỏ M hình chiếu vng góc G trục Ox Khi hồnh độ G M 7 Vậy điểm M cần tìm M ;0 3 Câu Gọi J điểm thỏa mãn JA 3JB JC OJ 2OA 3OB 2OC x xA 3xB xC 4 j J (4; 19) y y y y 19 J A B C Khi 2MA 3MB 2MC MJ , M 2MA 3MB 2MC MJ nhỏ M hình chiếu J trục Ox hay M(-4;0) Câu 10 Gọi I điểm thỏa mãn hệ thức 5IA 4IB I (3; 11) Lập luận tương tự câu 9, điểm M cần tìm hình chiếu I đường thẳng y = hay M (3; 2) a b 1 Dạng Tìm tọa độ vectơ tổng, hiệu, tích vectơ với số Phương pháp giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ a ; a2 , b b1; b2 số thực k Khi a b a1 b1 ; a2 b2 a b a1 b1 ; a2 b2 ka ka1 ; ka2 Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ a (4; 7), b (5;1) Xác định tọa độ vectơ a b , a 2b Hướng dẫn giải Trang 10 ) a b (4 5; 7 1)hay a b (9; 6) ) 2b (10;2) a 2b (6; 9) Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u 4i j v (0; 3) a) Tìm tọa độ vectơ u v ; u v ;5u b) Tìm tọa độ vectơ x 2u 3v Hướng dẫn giải a) Ta có u 4i j u (4; 2) Khi )u v (4; 5) )u v (4;1) )5u (20; 10) b) Ta có 2u (8; 4);3v (0; 9) 2u 3v (8;5) Vậy x (8;5) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a( x;2), b (5;1), c ( x; y) thỏa mãn c 2a 3b Giá trị biểu thức S x y A S 12 Hướng dẫn giải B S 22 C S 31 D S 8 2a (2x;4),3b (15;3) 2a 3b (2x 15;7) x x 15 x 15 S x y 22 Khi c 2a 3b y y Chọn B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 3 , B 2;2 hai vectơ u , v thỏa mãn u 2MA MB, v 3OA AB Xác định tọa độ điểm M để u v Hướng dẫn giải Gọi M x; y ta có MA (5 x; 3 y), MB (2 x;2 y) u 12 x; 8 y OA (5; 3), AB (7;5) v (8; 4) 12 x x Khi u v y 4 8 y 4 Vậy M 1; 4 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A 2; 1 , B 1;0 , C 3;2 Tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức 6MA 11MB 9MC A 4; 3 B 3;4 C 4;3 D 4;3 Hướng dẫn giải Gọi M x; y ta có 6MA (12 6x; 6 y); 11MB (11x 55;11y) 9MC (27 x;18 y) 6MA 11MB 9MC (16 x;12 y) Trang 11 16 x x 4 Khi 6MA 11MB 9MC y 12 y Vậy tọa độ điểm M cần tìm M 4;3 Chọn C Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba vectơ a (4; 3), b (8;11), c 4; 37 Phân tích c theo hai vectơ a, b ta kết A c 2a 5b Hướng dẫn giải B c 4a 3b C c 4a 3b D c 5a 2b 4m 8n m Giả sử c ma nb , ta có n 2 3m 11n 37 Vậy c 5a 2b Chọn D - Bài tập tự luyện dạng Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai vectơ a(1; 4), b (0;2) Tọa độ vectơ u 2a b A 2; 10 B 2; 6 C 2;6 D 0; 8 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ a(7;3), b (4;1) Tọa độ u b 2a A 18; 5 B 10;7 C 18;5 D 10; 7 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u 5;4 v 3 j Tọa độ a 2u 5v A (-10 ; 23) B 2; 5 C 7;11 D 5;23 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai hai điểm A(1,1), B(4; 7) OM 2OA 5OB Tổng hoành độ tung độ M A -3 B 55 C 19 D 37 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A 0; 3 , B 2;1 , C 4; 1 Tọa độ đỉnh D A (6;3) B (3;6) C (5;2) D 2; 5 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba vectơ a(2; 3), b (3;1), c (1;7) Ta phân tích c theo hai vectơ a, b sau c ma nb Tổng m n A 1 B C D 3 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba vectơ a(2; 7), b (1; 3), c (1; 5) Ta phân tích c theo hai vectơ a, b sau c k a m.b Tổng k m A 1 B C D 3 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a(2;1), b (3;4), c (7;2) Giá trị m,n để c ma nb 22 ,n 5 22 C m , n 5 A m B m , n 5 22 D m , n 5 *Đáp án trắc nghiệm Trang 12 *Hướng dẫn giải Câu Ta có OA (1;1); OB (4; 7) Lại có OM 2OA 5OB (2.1 5.4;2.1 5.(7)) (18;37) Tổng tung độ hoành độ M -18+ 37 =19 Câu Gọi D( x; y), ta có AD ( x; y 3); AB (2;4); AC (4;2) 2 x x Vì ABCD hình bình hành nên AB AD AC y 5 4 y Vậy D(2;-5) Câu 1 2k 3m k 2 k m 1 Ta có c k a m.b m 7 3k m Câu 1 2m n m c ma nb m n 1 n 3 5 7m 3n Câu ma nb (2m 3n; m 4n) 22 m m n Khi c ma nb 2 m 4n n Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai vectơ phương tọa độ - Phương pháp giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ a a1; a2 , b b1; b2 • a, b phương a kb1 : a kb (b 0) a2 kb2 Lưu ý: Có thể sử dụng định thức cấp để chúng minh hai vectơ phương, cụ thể a1 a2 a1b2 a2b1 a, b phương b1 b2 k • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Trong mặt phẳng, cho ba điểm phân biệt A,B,C Khi đó: A,B,C thẳng hàng AB k AC Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a (2; 6) Vectơ sau phương với a ? A A a1 (1;3) B a2 (3;1) C a3 (1;3) Trang 13 D a4 (4;12) Hướng dẫn giải Dễ thấy a3 a a3 phương với a Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a(3; 2), b ( x 1;4) Giá trị x để a,b phương A x 6 B x 5 C x D x Hướng dẫn giải Cách x 3k k 2 a, b phương b ka x 5 4 2k Cách 2 0 Cách khác a, b phương x 1 3.4 (2) ( x 1) x 5 Chọn B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A 1;1 , B 5 , C 0;3 Chứng minh A, B, C ba đình tam giác Hướng dẫn giải AB (1; 6), AC (6;2) Vì nên k : AB k AC AB AC không phương A, B, C không thẳng hàng Vậy A,B,C ba đỉnh tam giác Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3; 2 , B 1;3 Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành cho A,B,E thẳng hàng Hướng dẫn giải E Ox E ( x;0) Khi AE ( x 3;2), AB (2;5) A,B,E thẳng hàng AE AB phương x 3 11 x 2 5 11 Vậy E ;0 5 Lời bình: - Trong ví dụ này, việc ràng buộc E thuộc trục hoành dẫn tới tọa độ điểm E phụ thuộc vào tham số - Ta thay trục hồnh đường thẳng bất kỳ, hay đồ thị hàm số đảm bảo tiêu chí tọa độ điểm E phụ thuộc vào tham số (ta thường gọi phương pháp tham Số hóa tọa độ điểm) Trang 14 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M 1;1 , A 2;3 đường thẳng d : y x Trên d , lấy điểm P cho M,N,P thẳng hàng Tọa độ điểm P 1 A ;5 B (3 ; 5) C (3 ;-5) 2 Hướng dẫn giải P d P ( x; x 3) D (-2 ;-5) Khi MP ( x 1;4x 2), MN (1;2) Để M,N,P thẳng hàng MN MP phương x 1 4x x 2 Vậy tọa độ điểm P cần tìm 2; 5 Chọn D Lời bình: - Trong ví dụ ( kể ví dụ ví dụ 3), việc lập tỉ số phải đảm bảo mẫu số ln khác - Điểm P ví dụ giao điểm đường thẳng MN d, ta nhìn nhận la toán tương giao hai đồ thị hàm số Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A 1;3 , B 2; 3 Tìm tọa độ điểm I thuộc trục tung cho IA IB nhỏ Hướng dẫn giải Ta có I Oy I (0; y) IA IB AB dấu "=" xảy I , A, B thẳng hàng I nằm A B Dựa vào tọa độ A B ta thấy A, B nằm hai phía so với trục Oy Do đó, giao điểm AB với trục Oy nằm hai điểm A B điểm I cần tìm giao điểm AB với trục tung Bài tốn cho trở thành “Tìm tọa độ điểm I thuộc trục Oy cho I,A,B thẳng hàng” Ta kết I 0;1 Lời bình: - Mấu chốt tốn đánh giá IA IB AB , tính chất hình học quen thuộc lớp thường sử dụng - Cách giải tốn khơng thay đổi ta thay trục tung đường thẳng tùy ý - Trong trường hợp hai điểm A, B nằm phía với trục Oy giao điểm AB với Oy điểm thỏa mãn yêu cầu - Nếu xảy trường hợp A,B nằm phía với trục Oy ta tìm điểm C thay cho A cho B, C nằm khác phía với Oy thỏa mãn IB IC IA IB hay IC IA với điểm I Oy , tức C đối xứng với A qua Oy Bài tập tự luyện dạng Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , vectơ u 2;3 phương với vectơ sau đây? A a(4;6) B b (3; 2) 3 C c 1; 2 D d (t 3) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; 2 , B 0;2 Vectơ sau hướng với vectơ AB? A u1 (1; 2) B u2 (1, 2) C u3 (3;6) D u4 (3;6) Trang 15 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ a(2; m), b (1; n) Điều kiện cần đủ để a, b phương A m 2n B n 2m C m n D m 2n Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;1 , B 3; 2 Tìm trục hoành điểm E cho ba điểm A,B,E thẳng hàng 2 A E(3 ; 0) B E ;0 3 5 C E 0; 3 cho ba điểm A,B,E thẳng hàng A E(0 ; 7) B E 0; 5 C E(0 ; 1) 5 D E ;0 3 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 27 , B 1; 5 Tọa độ điểm E thuộc trục tung D E(0 ;-1) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1; 8 , B 3;4 Tọa độ điểm M đường thẳng y =1 để ba điểm M,A,B thẳng hàng A M 3;1 B M 1;1 C M 2;1 D M 4;7 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 1; 2 , B 1; 3 , C 3;1 Tọa độ điểm D trục hoành cho tứ giác BCAD hình thang có đáy BC AD A (7;0) B (9;0) C (1:0) D (3;0) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2;1 , B 0;3 Gọi M điểm thuộc trục hoành cho tổng MA MB đạt giá trị nhỏ Hoành độ điểm M thuộc khoảng sau đây? A 10; 5 B 5;0 C 0;5 D 5;10 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3;2 , B 2; 1 Tọa độ điểm N thuộc đường thẳng x cho NA NB nhỏ 1 A 1; B (1-3) 2 C 1;0 D 1;5 Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm E 2;5 , F 1;1 Gọi P x;0 điểm thuộc trục hoành cho PE PF lớn Giá trị x thuộc khoảng sau đây? A (0:1) *Đáp án trắc nghiệm B (1:2) C (2:3) D (3;4) *Hướng dẫn giải Câu Ta có AB (2; 3) Gọi E ( x; 0), AE ( x 1; 1) Ba điểm A, B, E thẳng hàng AE, AB phương x 1 x 3 5 Vậy E ;0 3 Lưu ý: Bài toán giải phương pháp giải tích sau: - Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B (đồ thị hàm bậc nhất) - Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB trục hồnh Trang 16 - Giao điểm điểm E cần tìm Câu E Oy E (0; y ) Ta có AE (2; y 7), AB (3; 12) Để A, B, E thẳng hàng AE AB phương 2 y y 1 3 12 Vậy E = (0;-1) Câu Gọi M (m;1) AM (m 1;9), AB (4;12) M, A, B thằng hàng m 1 m2 12 Vậy M(2;1) Câu D Ox D ( x;0) BC (4;4), AD ( x 1;2) BCAD hình thang có hai đáy BC AD nên AD BC phương x 1 x 4 Vậy D= (3;0) Câu Lấy C đối xứng với B qua Ox C (0; 3) Ta có MA MB MA MC AC Dấu “=” xảy A, C, M thẳng hàng M giao điểm AC với trục hoành Ta kết M ;0 Câu Dễ thấy A, B nằm phía bên phải đường thẳng x = Gọi A’ điểm đối xứng A qua đường thẳng x = A'(-1;2) Khi NA + NB = NA' + NB A'B với điểm N thuộc đường thẳng x = Dấu “=” xảy N, A, B thẳng hàng Giả sử N (1; n) A N (2; n 2), A B (3; 3) N, A’, B thẳng hàng n2 n0 3 Vậy N (1;0) Câu 10 Dễ thấy E, F nằm phía so với trục Ox (phía trên) Trang 17 Ta có | PE PF | EF , P Ox Dấu “=” xảy P, E, F thẳng hàng P nằm đoạn EF (hoặc trùng với E, F) PE (2 x;5), EF (1; 4) 2 x x P, E, F thằng hàng 1 4 Vì E, F nằm phía so với trục hồnh nên P nằm đoạn EF Vậy giá trị x cần tìm x (0;1) Dạng Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác Phương pháp giải • Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB xA xB y A yB ; Tọa độ trọng tâm tam giác ABC xA xB xC y A yB yC ; 3 Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho a) hai điểm A 3; 6 , B 1;0 Tọa độ trung điểmcủa đoạn thẳng AB 2; 3 b) tam giác MNP có M 2; 5 , N 3;0 P 7; 1 Tọa độ trọng tâm tam giác ABC 4; 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;4 , B 5;6 a) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB b) Tìm tọa độ điểm B ' đối xứng với B qua A Hướng dẫn giải xA xB (5) 2 xI a) I trung điểm đoạn thẳng AB nên y y A yB I 2 Vậy I 2;5 xB xB ' xA x x A xB B' b) B' đối xứng với B qua A nên yB ' y A yB y yB yB ' A Vậy tọa độ điểm B cần tìm B ' 7;2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A 0;2 , B 5;3 , C 2;1 a) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm E cho A trọng tâm tam giác BCE Hướng dẫn giải a) Dễ dàng chứng minh A,B,C không thẳng hàng (Xem ví dụ dạng 4) Trang 18 xA xB xC (5) 1 xG 3 Khi y y A yB yC G 3 Vậy G 1;2 b) Vì A trọng tâm tam giác BCE nên xB xC xE xA x 3xA xB xC 3 E yE y A yB yC y yB yC yE A Vậy E 3;2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 3; 3 Tìm tọa độ điểm B,C thuộc trục tung đường thẳng y cho tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm, Hướng dẫn giải Gọi B 0; b , C 0;2 xA xB xC 0 3 c c 3 Theo ra, ta có 3 b b y A yB yC Vậy điểm B, C cần tìm B 0;1 , C 3;2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G 2;3 Xác định tọa độ trung điểm M cạnh BC biết đỉnh A 2;5 11 A M ; 3 C M(8 ;-8) B M(4 ; 2) D M(10;-1) Hướng dẫn giải Từ tính chất trọng tâm tam giác, ta có AG Ta có AG (4; 2) AM AM AG (1) 3 AG (6; 3) x xA x xA Khi 1) M M yM y A 3 yM 3 y A Vậy trung điểm cạnh BC M 4;2 Chọn B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có tọa độ đỉnh A 2; 2 trung điểm đường chéo BD I 4;1 Xác định tọa độ trọng tâm G tam giác BCD Trang 19 1 Lưu ý: Ta không cần xác định tọa độ điểm C việc sử dụng IG IC AI 3 Hướng dẫn giải Vì ABCD hình bình hành nên I trung điểm AC C 10;4 G trọng tâm BCD CG CI Giải ta G(-6 ; 2) Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hai điểm A 1; 1 , B 1;3 Tọa độ trung điểm AB A 6;2 B 4; 4 C 3;1 D 2; 1 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A 3; 1 , B 2;5 , C 10; 1 Tọa độ trọng tâm tam giác ABC A 1;3 17 B ; 3 19 C ;1 D 5;1 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 10;3 , B 4; 5 Gọi A ' a; b điểm đối xứng với A qua B Tổng a+b A 15 B 11 C 11 D 15 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bốn điểm A 1; 1 , B 2;2 , C 0;5 , D x; y Biết C trọng tâm tam giác ABD Giá trị tích x y D 42 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ∆ABC có trung điểm cạnh BC M 2;3 trọng tâm A 56 B 24 C 36 B 11;6 C 1; G 1;2 Tọa độ đỉnh A A 7;0 D 7;6 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M 2; 3 , N 3;5 , P 5;1 trung điểm cạnh BC,CA,AB Tọa độ đỉnh A A 9; 10 B 9;10 C 10;9 D 10;9 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G 3;1 đỉnh B 1;0 Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành A 4;1 B 11;3 3 C 6; 2 D 8;2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A 0;8 Trung điểm cạnh DC,BC M 4; 1 , N 2;5 Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 16 A G ; 3 8 2 4 B G ; C G(2 ; 4) D G ; 3 3 3 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 2;0 , B 2; 3 điểm C Ox Trọng tâm G tam giác ABC nằm đường thẳng y x Tọa độ trung điểm BC 2 A 0; 3 3 5 B ; 2 2 3 C ; 2 2 D ; 3 Trang 20 Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) : y x2 điểm K 3; M điểm trục hoành, M ' điểm đối xứng với M qua K Trong trường hợp M ' P tổng hồnh độ điểm M thỏa mãn yêu cầu A *Đáp án trắc nghiệm B C 12 D 16 *Hướng dẫn giải Câu x x x 1 x xc A B 0 x 3 3 Vì C trọng tâm tam giác ABD nên y 14 y y A yB yD 5 1 y c 3 Vậy D (-3;14) nên x y 3.14 42 Câu Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AG 2GM 1 x 2(2 1) x Gọi A ( x; y) Ta có: y 2 y 2(3 2) Suy A(7;0) Câu Gọi G trọng tâm ABC G trọng tâm MNP Do G =(-2;1) Áp dụng tính chất trọng tâm tam giác, ta có AG 2GM A(10;9) Câu Dựa vào tính chất trọng tâm tam giác ta có 2 1 BG BI BD BD BD 3BG BD (12;3) D (11;3) 3 Câu Gọi I AC BD , E trung điểm MN E(3;2) Ta có E trung điểm IC Trang 21 4 x6 xA xE xA xG AG A AG AE Ta có AI AE y y y y y 16 G A E A G 16 Vậy trọng tâm tam giác ABC G ; 3 Câu Gọi C(c;0), G(x; x) x x x 25c xG A B C x x 1 3 G trọng tâm ABC nên ta có C (10;0) y y y ( 3) c 10 A B C y x G 3 3 Tọa độ trung điểm cạnh BC ; 2 Câu 10 Gọi M (x;0) điểm cần tìm Vì K trung điểm MM' nên M' (6 – x; 4) 6 x x Lại có M (6 x; 4) ( P) (6 x) x 6 x 2 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu tổng hoành độ chúng 12 Trang 22 ... tọa độ trọng tâm G tam giác ABC G ; Sơ đồ lí thuyết: Hệ trục tọa độ CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm tọa độ điểm độ dài đại số vectơ trục + Phương pháp giải Cho trục (O; e ) điểm M trục. .. u ' x ' ; y ' Khi u u ' y y Tọa độ điểm - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục M ( x; y) OM xi yj Ví dụ: Trong... 2e, OC 4e Ta có 2MA 3MC 4MB 2(OA OM ) 3(OC OM ) 4( OB OM ) 10 2OA 3OC 4OB 9OM OM (2OA 4OB 3OC ) e 9 10 Vậy tọa độ điểm M trục Cách Gọi tọa độ điểm M trục m,
Ngày đăng: 30/04/2021, 09:14
Xem thêm: