Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 1554252

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Mơn thi: Tốn Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang có câu) ĐỀ THI: Câu Giải phương trình: tan x  tan x    sin  x   tan x  4  C©u 2: Cho khai triĨn 1  x  x   x14   a0  a1 x  a2 x   a210 x 210 Chøng minh r»ng: 15 C150 a15  C151 a14  C152 a13   C1515 a0  15 C©u 3: Cho dãy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xác định bởi: u0  ; un 1  4un  15un2  60 a) Hãy xác định số hạng tổng quát un b) Chứng minh số liên tiếp (u2 n  8) biểu diễn thành tổng bình phương ba số ngun C©u 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD hình vng cạnh , SA (ABCD), SA = Mặt phẳng () qua BC tạo với AC góc 30o, cắt SA, SD M N Tính diện tích thiết diện BCNM Câu 5: Cho x, y, z số thùc d­¬ng tháa m·n x  y  z  Chøng minh r»ng: x  y  z  y  z  x z  x  y    xyz  yz  zx  xy DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN Câu Giải phương trình: Điều kiện: cos x   x  tan x  tan x    sin  x   tan x  4    k (*) Phương trình cho tương đương với: cos x(tan x  tan x)  sin x  cos x  2sin x  2sin x.cos x  sin x  cos x  2sin x(sin x  cos x)  sin x  cos x  (sin x  cos x)(2sin x  1)  + Với sin x  cos x   tan x  1  x   + Với 2sin x    sin x    k  5  x   k 2 ; x   k 2 6 Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là:   5 x    k ; x   k 2 ; x   k 2 (k  ฀ ) 6 C©u 2: Cho khai triĨn 1  x  x   x14   a0  a1 x  a2 x   a210 x 210 Chøng minh r»ng: 15 C150 a15  C151 a14  C152 a13   C1515 a0  15 Ta cã 1  x15   1  x  x   x14  1  x     1 C15k xi  k 15 15 15 210 15 k i 0 k 0 Suy hÖ sè cđa x15 khai triĨn 1  x  15 15 Mặt khác x 15 15 lµ   1 i  k 15 k C15k  C150 a15  C151 a14  C152 a13   C1515 a0   15 x15   x 225 Suy hƯ sè cđa x15 khai triĨn 1  x15  15 lµ 15 VËy C150 a15  C151 a14  C152 a13 C1515 a0 15 (đpcm) Câu 3: Cho dãy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xác định bởi: u0  un 1  4un  15un2  60 a) Hãy xác định số hạng tổng quát un b) Chứng minh số (u2 n  8) biểu diễn thành tổng bình phương ba số nguyên liên tiếp a)Theo ta có: un21  8unun 1  un2  60  Thay n n-1 ta được: un2  8un 1un  un21  60  (1) (2) Trừ theo vế (1) cho (2) được:  un1  un1  un1  8un  un1    un1  8un  un1  (3) (do un 1  4un 16un 1  un 1  un 1  Phương trình đặc trưng (3) DeThiMau.vn t   15 t  8t     t   15     b) Với số n 1 , tồn số k ฀ để:   15     15   k 15 Suy    15     15   15.k    15     15   15.k    1 Do vậy,  u       15     15     3.k    k  1  k   k  1  5 n Số hạng tổng quát: un   15   15 n n n n n 2n 2n 2n 2n 2 2 2n C©u 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD hình vng cạnh , SA (ABCD), SA = Mặt phẳng () qua BC tạo với AC góc 30o, cắt SA, SD M N Tính diện tích thiết diện BCNM BC // AD  Ta có: ()  (SAD)  MN  MN // BC // AD BC  (); AD  (SAD)  Mà: BC  BA; BC  SA (SA  (ABCD))  BC  (SAB)  BC  BM Suy thiết diện BCNM thang vuông B, M Dựng AH  BM ฀  30o Ta có: BC  AH (vì BC  (SAB)) Suy ra: AH  ()  ACH Tam giác ABM vuông A, đường cao AH có: 1 1       AM  2 2 AM AH AB 3  BM  (tam giác ABM vuông cân) MN  Diện tích hình thang vuông BCNM:   1  3   3,1820 S  MB.(MN  BC)     S 2 N M H  A B D C C©u 5: Cho x, y, z số thực dương tháa m·n x  y  z  Chøng minh r»ng: x  y  z  y  z  x z  x  y    xyz (1)  yz  zx  xy DeThiMau.vn Ta cã  yz  zx  xy    x  y  z   yz  zx  xy   y  z    z  x    x  y   (2) yz   yz  zx   zx  xy   xy  yz  y  z   Ta cã yz   yz  yz   yz   yz   yz   1    yz   yz    2  yz Do  y  z    z  x   x  y         yz   yz  zx   zx  xy   xy    yz  zx  xy     18  VËy (2) ®óng (®pcm) 63 DeThiMau.vn ®ã 18 yz  zx  xy  ... N Tính diện tích thi? ??t diện BCNM BC // AD  Ta có: ()  (SAD)  MN  MN // BC // AD BC  (); AD  (SAD)  Mà: BC  BA; BC  SA (SA  (ABCD))  BC  (SAB)  BC  BM Suy thi? ??t diện BCNM thang... un1  8un  un1  (3) (do un 1  4un 16un 1  un 1  un 1  Phương trình đặc trưng (3) DeThiMau.vn t   15 t  8t     t   15     b) Với số n 1 , tồn số k ฀ để:   15 ... mÃn x y z  Chøng minh r»ng: x  y  z  y  z  x z  x  y    xyz (1)  yz  zx  xy DeThiMau.vn Ta cã  yz  zx  xy    x  y  z   yz  zx  xy   y  z    z  x    x 