Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 954255

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Mơn thi: Tốn Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang có câu) Câu I Giải hệ phương trình, hệ phương trình  3x    x  1  y   y   x  y  x  y    6 x  y   2) sin 3x  cos3x  2cos  x     4  x2 x3  lim x ( ) x  x x 1) Câu II Câu Cho 10 thÝ sinh ngồi quanh bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, loại đề có nhiều đề khác Một cách phát đề gọi hợp lệ thí sinh nhận loại đề hai thí sinh ngồi cạnh không nhận loại đề Hỏi có cách phát ®Ị hỵp lƯ ? Câu IV   ASB   ASC  45 ; cos(  BSC )  Cho hình chóp S.ABC có ; SB=SC= SA, SA=a K trung điểm BC; M điểm nằm đoạn thẳng AK Đặt AM=x Chứng minh: SA  (ABC) Mặt phẳng (a) qua M vng góc với AK Tìm x để thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(a) có diện tích lớn Câu V a3 b3 c3 abc Cho a , b, c  Chứng minh:    2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Hết: DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN Câu I Giải hệ phương trình, hệ phương trình  3x    x  1  y   y 1)   x  y  x  y    6 x  y  3x    x  1  y   y 1  2  x  y  x  y    6 x  y Điều kiện: x  ; y  (2)   y   x  3 y  x  x   0;    3x  5 Vậy ta có: y  x 1 2 x  y    y  x   vơ nghiệm x  ; y  x  y    y  x  , thay vào (1) ta có: 3x    x  1  x    x     3x  1  3x    x  3  x  *  *  3x   x   x   y  12 Kết luận:  x, y    4;12    sin 3x  cos3x  2cos  x     4    sin 3x  cos3x  2cos  x     4   sin 3x  cos3x   cos x  sin x    2)  sin 3x  sin x  cos3x  cos x   cos x  sin x     2sin x cos x  2sin x sin x   cos x  sin x     2sin x  cos x  sin x    cos x  sin x       ; t    2;    2(1  t )t  t    2t  t    t  Đặt: t  cos x - sin x  cos  x  Ta có: Câu II lim x ( x  x2 x3  ) x x DeThiMau.vn Đặt x  x   y  y I  lim y 0  y   3y y2   y  (1  y )  y  (1  y )   lim    y 0 y2 y2      y2 y ( y  3)   lim   y 0  y  y  (1  y ) y (3 (1  y )  (1  y )3  y  (1  y ) )    y3   lim   y 0   y   y (1  y )  (1  y )3  y  (1  y )  1   1  2 Vậy I  Câu Cho 10 thí sinh ngồi quanh bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, loại đề có nhiều đề khác Một cách phát đề gọi hợp lệ thí sinh nhận loại đề hai thí sinh ngồi cạnh không nhận loại đề Hỏi có cách phát đề hợp lệ ? Lời giải Gọi sn số cách phát đề hợp lệ cho n thí sinh a1 , a2 , , an Ta viÕt  a j ( i  j ) nÕu a j nhận loại đề a j trường hợp ngược lại Xét cách phát đề hợp lệ cho ( n  1) thÝ sinh a1 , a2 , , an , an1 - NÕu a1  an th× bá thí sinh an1 ta cách phát đề hỵp lƯ cho n thÝ sinh a1 , a2 , , an Khi có 10-2=8 cách phát đề cho thí sinh an1 (khác với đề a1, an ) - Nếu a1 an bỏ hai thí sinh an , an1 ta cách phát đề hợp lệ cho ( n 1) thí sinh a1 , a2 , , an1 Khi ®ã có 10-1=9 cách phát đề hợp lệ cho an , an1 (cụ thể an a1 , an1 phát đề khác a1 ) Như ta cã hÖ thøc sau sn1  sn  n1 , n Mặt khác, dễ tính ®­ỵc : s2  10.9  90, s3  10.9.8 720 Do tính s10 3486784410 Câu IV Cho hình chóp S.ABC có ASB  ASC  45 ; cos(BSC )   ; SB=SC= K trung điểm BC; M điểm nằm đoạn thẳng AK Đặt AM=x Chứng minh: SA  (ABC) DeThiMau.vn SA SA=a Mặt phẳng (a) qua M vng góc với AK Tìm x để thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(a) có diện tích lớn S E N F Q A P C M K B CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin tam giác);  SAB =  SAC(c-g-c) ; vuông cân A:  SA  AB  SA  ( ABC )  SA  AC 2.BC  AK; SA  AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK N Từ N kẻ đt song song với BC cắt SB; SC F; E thiết diện hình chữ nhật PQEF : Std  PQ.PF Ta có : BC=a ; AK= a/ Tính PQ  x 3; PF  (a  x) x  a  x) a  a  Std Max  x  M trung điểm AK 4 Std  x (a  x)  ( Câu V a3 b3 c3 abc Cho a , b, c  Chứng minh:    2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a dụng Áp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 4 ta có: a b c a b c      2 2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a a  a  ab  b  b  b  bc  c  c  c  ca  a   a  b2  c2  a  b3  c3  a 2b  ab  b 2c  bc  c a  ca a 2 a  b2  c2  a  b  c   a  b  c   2   a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c  b2  c2  DeThiMau.vn  a 1 2  b2  c2   a  b  c   12  12  a  b  c   abc Đẳng thức xảy a  b  c DeThiMau.vn ... 10 thí sinh ngồi quanh bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, loại đề có nhiều đề khác Một cách phát đề gọi hợp lệ thí sinh nhận loại đề hai thí sinh ngồi cạnh không nhận loại đề Hỏi... n  1) thÝ sinh a1 , a2 , , an , an1 - NÕu a1  an th× bá thí sinh an1 ta cách phát đề hỵp lƯ cho n thÝ sinh a1 , a2 , , an Khi có 10-2=8 cách phát đề cho thí sinh an1 (khác với đề a1, an )... có cách phát đề hợp lệ ? Lời giải Gọi sn số cách phát đề hợp lệ cho n thí sinh a1 , a2 , , an Ta viÕt  a j ( i  j ) nÕu a j nhận loại đề a j trường hợp ngược lại Xét cách phát đề hợp lệ cho