Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 1054254

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Mơn thi: Tốn Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề)   Câu I Giải phương trình: 2 sin x    cos x  (1) 12  u1   un2  2012un Câu II Cho dãy {un} xác định bởi:  un 1  2013  n ui Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: S n   i 1 ui 1  n N* Tìm lim Sn n  Câu III Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a3 b3 c3   1  b 1  c  1  c 1  a  1  b 1  a  Câu IV 1)Cho hình chop S ABCD đáy hình thang, đáy lớn AB Trên SA, BD lấy hai điểm M, N 3 cho SM  SA , DN  DB Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC H, K a) Chứng minh rằng: MH / /  SBD  b) Gọi O giao điểm SB với  MNH  Chứng minh: OK / / SC 2) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng (DMN) vng góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM  x, AN  y Tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ Câu V 1)Nếu số chọn ngẫu nhiên từ tập hợp gồm chữ số tổng chữ số 43 Tính xác xuất để số chọn chia hết cho 11 2) Tìm tất số nguyên dương n cho phần nguyên nguyên tố DeThiMau.vn n  8n  số 3n HƯỚNG DẪN   Câu I Giải phương trình: 2 sin x         cos x  (1) 12   (1)  sin 2x    sin   12 12       sin  2x    sin  12  12         sin 2x    sin  sin  sin cos 12  12 12    5   sin 2x    cos  sin 12  12 12   5  7   k2 hay 2x    k2 12 12 12 12    x   k hay x   k  k  Z   2x   k  Z u1   un2  2012un Câu II Cho dãy {un} xác định bởi:  un 1  2013  n ui S   Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: n i 1 ui 1  n N* Tìm lim Sn n  Giải: Tacó: un2  2012un un2  2013un  un  2013 2013 u  u  1  n n  un (*) ; n  N * 2013 u1   u1  u2   un  un 1  un 1  Suy un dãy tăng Giả sử un bị chặn lúc tồn số L cho lim un  L ( L  2) Từ (*) ta có : n  u (u  1)  lim un lim(un 1 )  lim n n n  n  n  2013 L  L( L  1) L L  (vô lý) 2013 L   un không bị chặn 0 n  u n Suy lim un    lim n  Mặt khác : DeThiMau.vn un2  2012un un (un  1) un 1    un 2013 2013  un (un  1)  2013(un 1  un )  2013  un 1  1   un  1   u 1   un   un  2013  n 1  1   2013     un   un 1   un  un 1     u   Cho n    2013     2013 1   u2   u1  u2    u2    u2   2013    u3   u2  u3     Tương tự  un   2013    un 1   un  un 1   Cộng vế theo vế ta : n Sn   i 1  ui   2013 1   ui 1   un 1     lim Sn  lim 2013 1  n  n  Câu III Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P      2013 un 1   a3 b3 c3   1  b 1  c  1  c 1  a  1  b 1  a  HD: Áp dụng BĐT cauchy ta có: a3  b  c 3a    1  b 1  c  Câu IV 1)Cho hình chop S ABCD đáy hình thang, đáy lớn AB Trên SA, BD lấy hai điểm M, N 3 cho SM  SA , DN  DB Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC H, K a) Chứng minh rằng: MH / /  SBD  b) Gọi O giao điểm SB với  MNH  Chứng minh: OK / / SC a) Chứng minh: MH / /  SBD  Chỉ DA SM   Suy MH / / SD  (SBD)  MH//  SBD  DA SA b) Chứng minh: OK / / SC Chỉ được: MO / / SB  O  SB   BO AM BK BN BO BK   ;      OK / / SC SB SA BC BD SB BC DeThiMau.vn 2) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng (DMN) vng góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM  x, AN  y Tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ Kẻ DH  MN , (DMN)  (ABC) suy DH  (ABC) Mà ABCD tứ diện đều, nên suy H tâm tam giác ABC Ta có: SAMN = AM.AN.sin600 = xy ; SAMN = SAMH + SANH = 1 AM.AH.sin300+ AN.AH.sin300 = (x+y) 2 Suy 3 xy = (x+y)  x+y= 3xy (0  x,y  ) 4 D C B H N M A Diện tích tồn phần tứ diện DAMN: 1 S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN = AD.AM.sin600+ AD.AN.sin600 2 1 DH.MN + AM.AN.sin600 = xy + 3xy(3xy  1) 2 Từ xy  x  y  xy  xy   xy  + Suy S  3(4  2) , x  y  Câu V 1)Nếu số chọn ngẫu nhiên từ tập hợp gồm chữ số tổng chữ số 43 Tính xác xuất để số chọn chia hết cho 11 Trong số 10, chữ số lớn nên tổng d1 + d2 + d3 + d4 + d5 chữ số lớn 45 Nhưng theo giả thiết, tổng chữ số số chọn 43 = 45 – nên xảy trường hợp sau: - Một chữ số 7, tất chữ số lại 79999 ; 97999 ; 99799 ; 99997 : có số DeThiMau.vn - - Hai chữ số 8, ba chữ số cịn lại có tất 5.4  10 số Chẳng hạn: 88999 ; 89899 ; ; 99988 - Vậy tất có 15 số số có chữ số có tổng 43 để số chọn chia hết cho 11 cần đủ là: d1 - d2 + d3 - d4 + d5 chia hết cho 11 Chỉ có số 15 số nói thoả mãn điều kiện đó: 97999 ; 99979 98989 Nên xác xuất cần tìm  15 n  8n  2) Tìm tất số nguyên dương n cho phần nguyên số 3n nguyên tố Gọi S tập hợp số nguyên tố Trường hợp 1: n  3k n 8n 1 A    3k  8k  3 3n 9k  A  3k  8k  k  3k  8  A  S  k   n  Trường hợp 2: n  3k  1 1 n 8n A    3k  2k   8k    3k  10k   3 3n 3 3n 3n  A  3k  10k    k  3 3k  1  A  S  k   n  Trường hợp 3: n  3k   n  1 16 A  3k  4k   8k    3k  12k    3 3n 3n  A  3k  12k   k  4k  2  S Kết luận:  A  S  n  1;3 DeThiMau.vn ... 1)Nếu số chọn ngẫu nhiên từ tập hợp gồm chữ số tổng chữ số 43 Tính xác xuất để số chọn chia hết cho 11 Trong số 10, chữ số lớn nên tổng d1 + d2 + d3 + d4 + d5 chữ số lớn 45 Nhưng theo giả thi? ??t,... ; ; 99988 - Vậy tất có 15 số số có chữ số có tổng 43 để số chọn chia hết cho 11 cần đủ là: d1 - d2 + d3 - d4 + d5 chia hết cho 11 Chỉ có số 15 số nói thoả mãn điều kiện đó: 97999 ; 99979 98989... 45 Nhưng theo giả thi? ??t, tổng chữ số số chọn 43 = 45 – nên xảy trường hợp sau: - Một chữ số 7, tất chữ số lại 79999 ; 97999 ; 99799 ; 99997 : có số DeThiMau.vn - - Hai chữ số 8, ba chữ số cịn