Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 1854206

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NĂM HỌC 2008 - 2009 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x + + x − = 5x Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số thực x, y, z khác 0, ta có: x2 y2 z2 x y z + + ≥ + + y2 z2 x2 y z x u1 = 11 Câu (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi:  un+1 = 10un + − n,∀n∈ N Tìm cơng thức tính un theo n Câu (2,0 điểm) Tổng m số nguyên dương liên tiếp 2008 Xác định số Câu (2,5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ Gọi I, J, K tâm hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’ a) Chứng minh (IJK) song song với mặt đáy b) Chứng minh đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy _Hết _ DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu (5 điểm) x + + x − = 5x ⇔ 2x + 3 x2 − ( ) x + + x − = 5x ⇒ x2 − 5x = x ⇒ 4x3 − 5x = ⇒ x = 0;x = Thử lạita thấy phư ơng trình cã nghiÖm :x = 0;x = ± Câu 2: (4 điểm) Ta có:  x x2 + ≥ 2  y  y y2  y + ≥ 2  z  z z2  z ≥  x x2   Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:  x y z x2 y2 z2 + + + ≥  + +  (1) y z x  y z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được: x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + ≥ 3 = (2) y2 z2 x2 y z x  x2 y2 z2   x y z Từ (1) (2) suy ra:  + +  ≥  + +  y z x   y z x Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh Câu 3: Ta có: u1 = 11 = 10 + u2 = 10.11 + − = 102 = 100 + u3 = 10.102 + − 9.2 = 1003 = 1000 + Dự đoán un = 10n + n (1) Chứng minh: Ta có: u1 = 11 = 101 + công thức (1) với n = Giả sử công thức (1) với n = k ta có: uk = 10k + k Ta có: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức (1) với n = k + Vậy un = 10n + n, ∀n∈ ¥ Câu (4 điểm) Giả sử tổng m số nguyên dương liên tiếp số k 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 DeThiMau.vn m ( m − 1) = 2008 ⇒ m ( 2k + m − 1) = 4016 = 24.251 Nếu m lẻ ⇒ 2k + m - chẵn Khi đó: m = 251, 2k + m - = 24 (không xảy ra) 2k + m − = 251 m = 16 ⇒ Nếu m chẵn ⇒ 2k + m - lẻ Ta có:  m =  k = 118  Vậy số cần tìm 118, 119,…133 Câu (3 điểm) Trên tia BI, lấy điểm H cho BH = a Khi BH = AB = BC nên ta có: ∆A BM = ∆H BM (c.g.c)vµ ∆CBN = ∆H BN(c.g.c) Do đó: MH = AM NH = CN · M = BA · M = 900 vµ BH · N = BCN · BH = 900 Suy M, H, N thẳng hàng, BI vng góc với Mn H MN = AM + NC A B 1 Vậy SBM N = BH M N = a( A M + N C ) 2 Vì AM = 3MD nên M D = a;A M = a M 4 H Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho D IN C tam giác vng MDN, ta có: 2 M N = M D + D N ⇔ ( A M + N C ) = M D + ( DC − N C ) ⇒ m k+ 2 a 3  a ⇔  a + x = + ( a − x) ⇔ x = 4  16 3 a  25 Suy ra:SBM N = a a +  = a2 4  56 DeThiMau.vn ... cần chứng minh Câu 3: Ta có: u1 = 11 = 10 + u2 = 10 .11 + − = 102 = 100 + u3 = 10.102 + − 9.2 = 1003 = 1000 + Dự đoán un = 10n + n (1) Chứng minh: Ta có: u1 = 11 = 101 + cơng thức (1) với n = Giả... (không xảy ra) 2k + m − = 251 m = 16 ⇒ Nếu m chẵn ⇒ 2k + m - lẻ Ta có:  m =  k = 118  Vậy số cần tìm 118 , 119 ,…133 Câu (3 điểm) Trên tia BI, lấy điểm H cho BH = a Khi BH = AB = BC nên ta có:... sử tổng m số nguyên dương liên tiếp số k 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 DeThiMau.vn m ( m − 1) = 2008 ⇒ m ( 2k + m − 1) = 4016 = 24.251 Nếu m lẻ ⇒ 2k + m - chẵn Khi đó: m