Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 851655

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: (2 điểm) 1.Giải phương trình: (1  t anx)cos3 x  (1  cot x)sin x  2sin 2x Tìm nghiệm khoảng  ;   phương trình:   2sin  3x     8sin 2x cos 2x 4  Câu II: (3 điểm) Có số tự nhiên gồm chữ số khác có số chẵn số lẻ ? Cho k số tự nhiên thỏa mãn  k  2011 k k 1 k 5 Chứng minh rằng: C50 C2011  C15 C2011   C55 C2011  Ck2016 u  11 3.Cho dãy số (un) xác định :  u n 1  10u n   n, n  N Tìm cơng thức tính un theo n Câu III: (2 điểm)       Cho Pn= 1   1  1  2.3  3.4   (n  1)(n  2)   Gọi Un số hạng tổng quát Pn Tìm lim Un n (x  2012)  2x  2012 4x  Tìm giới hạn: lim x 0 x Câu IV: ( điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M điểm tùy ý cạnh AB, (P) mặt phẳng qua M song song với AC BD cắt BC, CD, DA N, P, Q Tìm vị trí M điều kiện a, b, c để thiết diện MNPQ hình vng, tính diện tích thiết diện trường hợp Cho tam giác ABC có góc nhọn Xác định điểm M bên tam giác cho MA + MB + MC nhỏ -Hết - DeThiMau.vn Kú thi chän häc sinh giái tØnh líp 11 h­íng dÉn biểu điểm Chấm đề thức (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: toán 11 THPT -Câu I Nội dung Điểm 2.0 (1.0 đ) ĐK: sin x cos x  Khi pt trở thành: 0.25 sinx  cos x  sin x cos x (1) ĐK: sinx  cos x  dẫn tới sinx  0;cos x  Khi đó: (1)  sin 2x   x  KL nghiệm : x 0.25   k 0.25   2m 0.25   (1.0 đ).ĐK: sin  3x    4  (1) Khi phương trình cho tương đương với pt: sin 2x   5  x   k; x  k 12 12 Trong khoảng  ;   ta nhận giá trị :  11 5 7 x ; x ; x ; x 12 12 12 12 Kết hợp với đk (1) ta nhận hai giá trị thỏa mãn là:  x ; 12 7 x 12 DeThiMau.vn 0,25 0.25 0.25 0,25 II (1.0 đ) TH1: Trong số chẵn có mặt số Số số tìm 5.C24 C35 5!  36000 (số) 3.0 0.5 TH2: Trong số chẵn khơng có mặt số Số số tìm C34 C53 6!  28800 (số) Đ/ số 36000  28800  64800 số (1.0 đ) Dễ thấy 1  x  1  x  2011  1  x  2016 0.25 0.25 ; M  1  x   C50  C15 x1  C52 x  C35 x  C54 x  C55 x 5 0.25 N  1  x  2011 2011 2011  C02011  C12011x1   Ck2011x k   C2011 x 0.25 P  1  x  2016 2016 2016  C02016  C12016 x   Ck2016 x k   C2016 x Ta có hệ số x k P Ck2016 Vì P  M.N , mà số hạng chứa x k M.N : 1 k 1 2 k 2 k 3 k 3 k 4 k 4   C50 Ck2011x k  C15 xCk2011 x  C52 x 2Ck2011 x  C35 x 3C2011 x  C54 x 4C2011 x  C55 x 5C 0.25 nên k k 1 k 5 C50 C2011  C15 C2011   C55 C2011  Ck2016 (1 điểm) Ta có: u1  11  10  u  10.11    102  100  u  10.102   9.2  1003  1000  un = 10n + n (1) Dự đốn: Chứng minh: Ta có: u1 = 11 = 101 + , công thức (1) với n=1 Giả sử công thức (1) với n=k ta có : uk = 10k + k Ta có: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức(1) với n=k+1 Vậy un = 10n + n, n  N III 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2.0 DeThiMau.vn (1 đ) Ta có:  k(k  3)  (k  1)(k  2) (k  1)(k  2) Cho k=1,2,3,…,n ta 1.4.2.5.3.6 n(n  3) 2.3.3.4.4.5 (n+2)(n  1) (n  3)  Un= 3(n  1) Sn   (n  3)  lim Un = lim n 3(n  1) n 0.25 0.25 0.25 0.25 2.(1 điểm)   2x  4x     2012 Ta có L  Lim  x  2x  2012  x 0 x x   Lim x  2x  0.25 x 0 Lim x 0 Lim x 0 IV 2x 2  2x   Lim  Lim  2 x 0 x x( (1  2x)   2x  1) x 0 ( (1  2x)   2x  1) 0.5 4x   4x  Lim  Lim 2 x 0 x( 4x   1) x 0 x 4x   2 16096 Vậy L   2012  2012.2  3 1.(2 đ) +) Chứng minh MNPQ hình bình hành  MN  NP +) MNPQ hình vng    M trung điểm  MP  NQ AB a = c +) Lúc SMNPQ = b 2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ DeThiMau.vn 0.25 3.0 0.5 1.0 0.5 0.25 Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’ MA+MB+MC bé bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng 0.5 Khi góc BMA=1200, góc AMC=1200 Ta vị trí M tam giác ABC 0.25 Chú ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn ... Ck2011x k  C15 xCk2 011 x  C52 x 2Ck2 011 x  C35 x 3C2 011 x  C54 x 4C2 011 x  C55 x 5C 0.25 nên k k 1 k 5 C50 C2 011  C15 C2 011   C55 C2 011  Ck2016 (1 điểm) Ta có: u1  11  10  u  10 .11. .. 1  x  2 011  1  x  2016 0.25 0.25 ; M  1  x   C50  C15 x1  C52 x  C35 x  C54 x  C55 x 5 0.25 N  1  x  2 011 2 011 2 011  C02 011  C12011x1   Ck2011x k   C2 011 x 0.25...Kú thi chän häc sinh giái tØnh líp 11 h­íng dẫn biểu điểm Chấm đề thức (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: toán 11 THPT -Câu I