Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 151775

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014 Mơn thi: Tốn (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1(4đ): cho n số : a1 , a2 , a3 , a4 , an   0;1 Chứng minh rằng: (1  a1  a2  a3  a4   an )  4(a12  a22  a32  a42   an2 ) 2012 x  cos 2012 x  2(sin 2014 x  cos 2014 x)  cos2 x Bài 2(4đ): Giải phương trình: sin Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển (1  x) n có hai hệ số liên tiếp có tỉ số 15 Bài 4(4đ): Cho hình vng ABCD, H trung điểm AB, K trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với (ABCD) lấy điểm S khác H Chứng minh rằng: a) AC  ( SHK ) b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) Bài 5(4đ): ฀' BA  B ฀' BC  ฀ ABC  600 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a B Chứng minh A’B’CD hình vng DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bài Bài (4đ) Nội dung Xét tam thức Điểm f ( x)  x  (1  a1  a2  a3  a4   an ) x  (a12  a22  a32  a42   an2 ) Ta có f (1)  12   a1  a2  a3  a4   an  a12  a22  a32  a42   an2  f (1)  a1 (a1  1)  a2 (a2  1)  a3 (a3  1)  a4 (a4  1)   an (an  1) Mặt khác a1 , a2 , a3 , a4 , an   0;1 nên 0,5 0.5 0.5 a1 (a1  1)  a (a  1)   2 a3 (a3  1)   f (1)    an (an  1)  Mà f (0)  a12  a22  a32  a42   an2   f (1) f (0)  Bài 0,5 0.5 Do phương trình f(x)=0 có nghiệm  0;1 0.5   (1  a1  a2  a3  a4   an )  4(a12  a22  a32  a42   an2 )  0.5  (1  a1  a2  a3  a4   an )  4(a12  a22  a32  a42   an2 ) 0.5 sin 2012 x  cos 2012 x  2(sin 2014 x  cos 2014 x )  (4đ) cos2 x  cos 2012 x (2 cos x  1)  sin 2012 x (1  sin x )   cos2 x (cos12 x  *cos2 x   x  *cos 2012 x  3  cos2 x   cos2 x  0(1)  sin12 x )     cos 2012 x   sin 2012 x  0(2)  k  (k  Z ) 0.5 cos x  0x  R  Ta nhận thấy *   cos 2012 x   sin 2012 x  0x  R 2012 x  0x  R   sin 2 2012 Phương trình có nghiệm là: x  0.5 0.5  sin 2012 x  Vậy pt(2) vô nghiệm 0.5  k  (k  Z ) DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài (4đ) n (1  x) n   Cnk x k  số hạng liên tiếp k 0 Cnk ; Cnk 1 ta có k 1 k 1    n  22k  15  n  3k   15 n  k 15 k 1 Do n, k  ¥ đặt t  n  22t  đế n số nguyên dương bé t phải số nguyên dương bé k  nên 7t    t   t  (vì t số nguyên dương bé nhất) n  22.1   21 k n k 1 n C C Bài 4: (4đ)  1 S 0.5 A K D I 0.5 H B C a) Cm: AC  ( SHK ) Vì H, K trung điểm AB, AD nên HK đường trung bình tam giác ABD nên HK//BD mà AC  BD  HK  AC (1) Mặt khác SH  ( ABCD)  SH  AC (2) từ (1);(2) ta có AC  ( SHK ) b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) · · CDK  DAH (c.g c)  CKD  DHA Ta có mà · · · · ·  900 (CK  DH  I ) HDA  DHA  900  CKD  HDA  900  KID hay CK  DH (1)mặt khác SH  ( ABCD)  SH  CK (2) từ (1); (2) ta có CK  ( SDH ) hay góc CK mặt phẳng (SDH) 900 DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 D' A' B' C' A B Bài 5: (4đ) D C Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD hình thoi uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur 1 CB 'CD  ( BB '  BC ) BA  BB '.BA  BC.BA  a.a  a.a  2  CB '  CD 1 Hay A’B’CD hình vng Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà cho điểm tối đa câu DeThiMau.vn ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bài Bài (4đ) Nội dung Xét tam thức Điểm f ( x)  x  (1  a1  a2  a3  a4   an... '.BA  BC.BA  a.a  a.a  2  CB '  CD 1 Hay A’B’CD hình vng Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà cho điểm tối đa câu DeThiMau.vn ... (1); (2) ta có CK  ( SDH ) hay góc CK mặt phẳng (SDH) 900 DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 D' A' B' C' A B Bài 5: (4đ) D C Theo giả thi? ??t ta có tứ giác A’B’CD hình thoi uuur uuur uuur uuur uur