Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 1654087

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TỈNH ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT chun ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (4 điểm) Giải phương trình:    cos x     sin x.cos x  sin x  cos x    x2  y   Giải hệ phương trình: 2 y  3z   xy  yz  zx    x, y , z  ฀  Câu II (2 điểm) ฀ ,฀ ฀ , CDA ฀ Giả sử A, B, C , D số đo góc DAB tứ giác lồi ABCD bất ABC , BCD kì A B C A Tìm giá trị lớn biểu thức P   sin  sin B  sin C  sin D Chứng minh sin A  sin B  sin C  3sin Câu III (1 điểm) Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Phân giác góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm A1 , B1 , C1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 điểm I ; đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC điểm N ; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng A1C1 điểm P Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 Đường thẳng OP cắt ฀ đường thẳng BC điểm M Biết BM  MN BAC  2฀ ABC Tính góc tam giác ABC Câu V (1 điểm) 1  Cho hàm số f :  0;     0;   thỏa mãn điều kiện f  3x   f  f  x    x với 2  x  Chứng minh f  x   x với x  -Hết Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Nội dung Câu I.1 (2 điểm) I 4điểm  cos x        sin x.cos x  sin x  cos x    Điểm 0,5  cos x   sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  2   sin x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x    sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  cos x    sin x  cos x    0,5 sin x  cos x      sin  x     sin x  cos x  4     sin x  cos x  sin  x        6   0,5      x   k x   k        x    k 2   x  k 2  6  2      k 2 x  x    k 2   6 0,5 k  ฀  I.2 (2 điểm) +) Nếu x  thay vào hệ ta có hệ vơ nghiệm +) Nếu x  ta đặt y  ax; z  bx thay vào hệ ta   0,25 0,25   x  2a  2 2   1  2a  2a  3b 4a  3b  2  1  x 2a  3b     1  2a  a  ab  b 2a  a   b  a  1  x a ab b        a  1  2 2 b  1 4a  3b  4a  3b      b   2a  a  1 2a  1  b  a  1   a  1 2a   b     2a  3a   a  1 +) Nếu  thay vào (1) không thỏa mãn b  1  DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,25  a    b  1   b a  a  +) Nếu  vào (1) không thỏa mãn, thay   thay   a  b  1 2a  3a     b   a  vào (1) ta có x   Do nghiệm hệ  b  1      x; y; z    2; ;0  ,   2;  ;0      0,25 II II.1 (1 điểm) x y 2điểm   Nhận xét Nếu  x,  y; x y x y x y sin x  sin y  2sin cos  2sin Dấu xảy x  y 2 0,25 Sử dụng nhận xét ta có A B C A B A  B  4C  2sin  2sin A  B A  B  4C  A B C  4sin  4sin A B C sin A  sin B  sin C  3sin Dấu xảy A  B  C sin A  sin B  sin C  sin 0,5 0,25 II.2 (1 điểm) Đặt t   2 BC  D , ta có A  2  3t ;  t  3 1 Khi theo phần II.1 ta có 0,25 0,25  2  3t  P   sin  cos t  sin t   3sin t   2   2  3 5  Khi P         sin t  cos t           ; sin t   2 28 28 Vậy max P   B  C  D  t , A  2  3t (với t xác định (1) (2)) III +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đơi khác chữ số đầu 1điểm tiên có cách chọn có A97 cho vị trí cịn lại Vậy n  A   A97 Đẳng thức xảy cos t   +) Giả sử B  0;1; 2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45 nên số có chín chữ số đơi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 tập B \ 0; 9 ; B \ 1; 8 ; B \ 2; 7 ; B \ 3; 6 ; B \ 4; 5 nên số số loại 0,5 A88  4.7 A77 A88  4.7 A77  Vậy xác suất cần tìm A97 0,25 ฀  900 , O trung điểm IC IV * Dễ thấy IPC 1 2điểm ฀  IC ฀ P  CAB ฀  CC ฀ B  BC // OP * IOP 1 * Do BM=MN; OI  OC1  IN // C1 B ฀  BAC ฀ , mà CIA ฀  BAC ฀ ฀ Do CIA ACB 1 ฀ ฀ ฀ Vậy BAC  BAC ฀ ACB  BAC ฀ ACB ฀ ฀ ฀ ACB  720 ; ฀ ABC  360 Cùng với BAC  2฀ ABC ta BAC     C 0,5 0,5 0,5 A1 N B1 I M 0,5 P B A O C1 V 1điểm 1  f (3 x)  f  f (2 x)   x (1) 2  1 Từ (1) suy f ( x)  f  2 2x  2x   2x , x  (2) f     f ( x)    0,25 Khi 1 f ( x)  f  2  2x   2x f       3  2x  2x f      3  2x  2x   f     x    27  Xét dãy (an ) , (n=1,2,…) xác định sau: a1  DeThiMau.vn 2 an 1  an2  3 0,25 Ta chứng minh quy nạp theo n với n  ฀ * ln có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n  theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n  k Khi   2x   2x  a f f ( x)  f  f        k a2   k x  ak 1.x 2x 2x  2x  2x  a a      k k 0,25 Vậy (3) với n  k  Tiếp theo ta chứng minh lim an  Thật vậy, ta thấy an  n  ฀ * Do đó: an 1  an  (an  1)(an  2)  , suy dãy (an ) tăng ngặt Dãy (an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an  l l  l  với l  , 3 suy l  Vậy lim an  Do ®ã tõ (3) suy f ( x)  x víi mäi x  (®pcm) DeThiMau.vn 0,25 ... xác định sau: a1  DeThiMau.vn 2 an 1  an2  3 0,25 Ta chứng minh quy nạp theo n với n  ฀ * ln có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n  theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n  k Khi... +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đơi khác chữ số đầu 1điểm tiên có cách chọn có A97 cho vị trí cịn lại Vậy n  A   A97 Đẳng thức xảy cos t   +) Giả sử B  0;1; 2;... thấy tổng phần tử B 45 nên số có chín chữ số đơi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 tập B 0; 9 ; B 1; 8 ; B 2; 7 ; B 3; 6 ; B 4; 5 nên