Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 1754251

K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 11 Mơn thi: to¸N THPT Thời gian làm bài: 180 phút Bài (2 điểm) Giải phương trình: a) 2   2sin x tan x  cot x 25  9   2 2sin  x    2cos  x    tan x     Giải phương trình: 0 cos x  sin x     Bài (3 điểm) u1   Cho dãy số  un  xác định  un1  un    2un Tìm công thức số hạng tổng quát un dãy số Cho n số tự nhiên, n  Chứng minh đẳng thức sau:   n  N * n 2Cn0   n  1 Cn1   n   Cn2   22 Cnn2  12 Cnn1  n(n  1)2n2 2 Có số tự nhiên có chữ số khác khác mà số ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ Bài (2 điểm) Cho dãy số {x k } xác định bởi: x k  k    2! 3! (k  1)! n Tính : lim n x1n  x2n  x3n   x2012 Cho hàm số :   x sin x   víi x  f ( x)   x 0 víi x   Tính đạo hàm hàm số x = chứng minh hàm số đạt cực tiểu x = Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC A M điểm nằm tam giác cho MA2  MB  MC Hãy tính góc BMC Một điểm S nằm ngồi (ABC ) cho tứ diện SABC , gọi I, K trung điểm cạnh AC SB Trên đường thẳng AS CK ta chọn điểm P,Q cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài Hết -Họ tên : Số báo danh : DeThiMau.vn Bài Lời giải Điểm 1.(1 đ) Bài cos x   Điều kiện : sin x  1  tan x  cot x   2sin x  cos x Ta có : tan x  cot x   sin x sin x 0.25đ Do phương trình cho tương đương với : 2   sin x   sin x  sin x   sin x  sin x     sin x   sin x  ( Thỏa điều kiện (1) )  sin x      Giải phương trình ta :   5 x   k ; x   k ; x   k  k  Z  12 12 0.25đ 0.25 đ 0.25 đ (1 đ)    x   l cos x      3   ĐK: cos x    x    l1 2  l; l1; l2 ; l3  Z     5   sin x    x    l2 2; x   l3 2       pt  2sin  x  6    2cos  x  4    tan x  4 2    sin x    cos  x    2sin x  tan x   sin x  2sin x  2 cos x    sin x  2sin x cos x  sin x  tan x  sin x  1  1  sin x 1  tan x   cos x   x   k  sin x     tan x  1  x     k   loai   DeThiMau.vn 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ So với điều kiện x    m 2  m  Z  nghiệm phương trình cho 0.25 đ Bài (1 đ) Đặt xn   2un n  N * xn2  Ta có xn  x   2un , n  N hay un  2 xn 1  1  xn       xn  9 Thay vào giả thiết, ta được:  n 0.25 đ *  xn21   xn2    xn   xn 1    xn   2 0.25 đ Suy ra: xn 1  xn  n  N * ( Do xn  , n  N * ) n 1 n n * Hay xn 1  xn  4.3 , n  N n * n * Đặt yn  xn , n  N Ta có: yn 1  yn  4.3 , n  N n n 1 * Từ yn 1  y1      3 , n  N Hay yn 1  y1   2.3 0.25 đ , n  N n Theo cách đặt ta có: x1   y1   yn   2.3 * Suy ra: xn   n 1 , n  N 1  * Do un    n 1  n   , n  N 2 3  n 1 * 0.25 đ (1 đ) n Ta có với x  ,  x  1   Cnk x n  k , 1 n 0.25 đ k 0 Đạo hàm hai vế (1) ta n  x  1 n 1 n 1   (n  k )Cnk x n  k 1 k 0 Suy nx  x  1 n 1 0.25 đ n 1    n  k  Cnk x n  k ,   k 0 Đạo hàm hai vế (2) ta n  x  1  n 1   n  1 x  1 n2 n 1     n  k 2 Cnk x n  k 1 ,  3  k 0 Thay x  vào (3) ta đpcm 0.25 đ 0.25 đ (1 đ) Từ giả thiết tốn ta thấy có C 52  10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu ) C53 =10 cách chọn hai chữ số lẻ  có C 52 C53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập  có tất C 52 C 53 5! = 12000 (số) Mặt khác số số lập mà có chữ số đứng đầu C 41 C 53 4! 960 (số) DeThiMau.vn 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thoả mãn YCBT Bài 1.(1 đ) Ta có: x k 1  x k  0.25 đ k 1  0, k  N*  x k 1  x k  0, k  N * (k  2)!  x n2012  x1n  x n2   x n2012  2012.x n2012  x 2012  x  x   x  2012.x 2012 k k 11 1 Mặt khác :    , k  N * (k  1)! (k  1)! k! (k  1)! 1 1 1 1  1   x k  1           1  x 2012    (k  1)! 2013!  2!   2! 3!   k! (k  1)!  n n n n 2012 n 1    n x1n  x n2   x n2012  n 2012 1   2013!  2013!  n n n Do đó: lim n x1  x   x 2012   2013! 0.25 đ 0.25đ 0.25đ Vậy:  (1 đ) f '    lim x 0  lim x 0 0.25 đ f ( x)  f (0) x  x sin x   lim x 0 x2 0.5 đ x sin x   x  1  x sin x    x sin x  1     sin x   lim  sin x x   2 x 0  1  x sin x    x sin x    0.25 đ sin x Mặt khác với x  , ta có f  x   1  x sin x  2   x sin x  Vì f ( x) liên tuc R nên từ suy f  x  liên tục x  DeThiMau.vn  f  x    f  0 0.25 đ ... 0.25 đ 0.25 đ (1 đ) Từ giả thi? ??t tốn ta thấy có C 52  10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu ) C53 =10 cách chọn hai chữ số lẻ  có C 52 C53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành... (số) Mặt khác số số lập mà có chữ số đứng đầu C 41 C 53 4! 960 (số) DeThiMau.vn 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ Vậy có tất 12000 – 960 = 110 40 số thoả mãn YCBT Bài 1.(1 đ) Ta có: x k 1  x k  0.25 đ k 1... 1  tan x   cos x   x   k  sin x     tan x  1  x     k   loai   DeThiMau.vn 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ So với điều kiện x    m 2  m  Z  nghiệm phương trình cho 0.25