K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 11 Mơn thi: to¸N THPT Thời gian làm bài: 180 phút Bài (2 điểm) Giải phương trình: a) 2 2sin x tan x cot x 25 9 2 2sin x 2cos x tan x Giải phương trình: 0 cos x sin x Bài (3 điểm) u1 Cho dãy số un xác định un1 un 2un Tìm công thức số hạng tổng quát un dãy số Cho n số tự nhiên, n Chứng minh đẳng thức sau: n N * n 2Cn0 n 1 Cn1 n Cn2 22 Cnn2 12 Cnn1 n(n 1)2n2 2 Có số tự nhiên có chữ số khác khác mà số ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ Bài (2 điểm) Cho dãy số {x k } xác định bởi: x k k 2! 3! (k 1)! n Tính : lim n x1n x2n x3n x2012 Cho hàm số : x sin x víi x f ( x) x 0 víi x Tính đạo hàm hàm số x = chứng minh hàm số đạt cực tiểu x = Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC A M điểm nằm tam giác cho MA2 MB MC Hãy tính góc BMC Một điểm S nằm ngồi (ABC ) cho tứ diện SABC , gọi I, K trung điểm cạnh AC SB Trên đường thẳng AS CK ta chọn điểm P,Q cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài Hết -Họ tên : Số báo danh : DeThiMau.vn Bài Lời giải Điểm 1.(1 đ) Bài cos x Điều kiện : sin x 1 tan x cot x 2sin x cos x Ta có : tan x cot x sin x sin x 0.25đ Do phương trình cho tương đương với : 2 sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x ( Thỏa điều kiện (1) ) sin x Giải phương trình ta : 5 x k ; x k ; x k k Z 12 12 0.25đ 0.25 đ 0.25 đ (1 đ) x l cos x 3 ĐK: cos x x l1 2 l; l1; l2 ; l3 Z 5 sin x x l2 2; x l3 2 pt 2sin x 6 2cos x 4 tan x 4 2 sin x cos x 2sin x tan x sin x 2sin x 2 cos x sin x 2sin x cos x sin x tan x sin x 1 1 sin x 1 tan x cos x x k sin x tan x 1 x k loai DeThiMau.vn 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ So với điều kiện x m 2 m Z nghiệm phương trình cho 0.25 đ Bài (1 đ) Đặt xn 2un n N * xn2 Ta có xn x 2un , n N hay un 2 xn 1 1 xn xn 9 Thay vào giả thiết, ta được: n 0.25 đ * xn21 xn2 xn xn 1 xn 2 0.25 đ Suy ra: xn 1 xn n N * ( Do xn , n N * ) n 1 n n * Hay xn 1 xn 4.3 , n N n * n * Đặt yn xn , n N Ta có: yn 1 yn 4.3 , n N n n 1 * Từ yn 1 y1 3 , n N Hay yn 1 y1 2.3 0.25 đ , n N n Theo cách đặt ta có: x1 y1 yn 2.3 * Suy ra: xn n 1 , n N 1 * Do un n 1 n , n N 2 3 n 1 * 0.25 đ (1 đ) n Ta có với x , x 1 Cnk x n k , 1 n 0.25 đ k 0 Đạo hàm hai vế (1) ta n x 1 n 1 n 1 (n k )Cnk x n k 1 k 0 Suy nx x 1 n 1 0.25 đ n 1 n k Cnk x n k , k 0 Đạo hàm hai vế (2) ta n x 1 n 1 n 1 x 1 n2 n 1 n k 2 Cnk x n k 1 , 3 k 0 Thay x vào (3) ta đpcm 0.25 đ 0.25 đ (1 đ) Từ giả thiết tốn ta thấy có C 52 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu ) C53 =10 cách chọn hai chữ số lẻ có C 52 C53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập có tất C 52 C 53 5! = 12000 (số) Mặt khác số số lập mà có chữ số đứng đầu C 41 C 53 4! 960 (số) DeThiMau.vn 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thoả mãn YCBT Bài 1.(1 đ) Ta có: x k 1 x k 0.25 đ k 1 0, k N* x k 1 x k 0, k N * (k 2)! x n2012 x1n x n2 x n2012 2012.x n2012 x 2012 x x x 2012.x 2012 k k 11 1 Mặt khác : , k N * (k 1)! (k 1)! k! (k 1)! 1 1 1 1 1 x k 1 1 x 2012 (k 1)! 2013! 2! 2! 3! k! (k 1)! n n n n 2012 n 1 n x1n x n2 x n2012 n 2012 1 2013! 2013! n n n Do đó: lim n x1 x x 2012 2013! 0.25 đ 0.25đ 0.25đ Vậy: (1 đ) f ' lim x 0 lim x 0 0.25 đ f ( x) f (0) x x sin x lim x 0 x2 0.5 đ x sin x x 1 x sin x x sin x 1 sin x lim sin x x 2 x 0 1 x sin x x sin x 0.25 đ sin x Mặt khác với x , ta có f x 1 x sin x 2 x sin x Vì f ( x) liên tuc R nên từ suy f x liên tục x DeThiMau.vn f x f 0 0.25 đ ... 0.25 đ 0.25 đ (1 đ) Từ giả thi? ??t tốn ta thấy có C 52 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu ) C53 =10 cách chọn hai chữ số lẻ có C 52 C53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành... (số) Mặt khác số số lập mà có chữ số đứng đầu C 41 C 53 4! 960 (số) DeThiMau.vn 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ Vậy có tất 12000 – 960 = 110 40 số thoả mãn YCBT Bài 1.(1 đ) Ta có: x k 1 x k 0.25 đ k 1... 1 tan x cos x x k sin x tan x 1 x k loai DeThiMau.vn 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ So với điều kiện x m 2 m Z nghiệm phương trình cho 0.25