ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Mơn : TỐN Thời gian làm : 150 phút , không kể thời gian phát đề Câu ( 2,0 điểm) Giải phương trình sau: x x 2013 2013 Câu ( 3,0 điểm) Cho phương trình (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 2cos x ( Với m tham số) a, Giải phương trình với m = b, Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0; Câu (5,0 điểm) a, Giải hệ phương trình : x y x y 2 3 x y x y b, Tìm hệ số x khai triển sau: n 3 nx biết n số nguyên thoả mãn hệ thức x 2Cn1 C n2 n 20 Câu (4,0 điểm) Cho A, B, C ba góc tam giác ABC cos B cosC sin B sin C 2 sin A sin B sin C b, Tìm giá trị lớn biểu thức: M cos A cos B cos 2C a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) : x y 13 ,đường tròn (C2) : ( x 6) y 25 a, Tìm giao điểm hai đường trịn (C1) (C2) b, Gọi giao điểm có tung độ dương (C1) (C2) A viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1) (C2) theo hai dây cung có độ dài Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,cạnh SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a, Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b, M điểm di động đoạn BC BM =x ,K hình chiếu S DM Tính độ dài đoạn SK theo a x Tính giá trị nhỏ đoạn SK …………… Hết………………… Họ tên thí sinh: SBD: DeThiMau.vn ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Mơn : TỐN Câu Câu Đáp án x x 2013 2013 ĐK x 2013 Đặt t x 2013 ( với t t 0) t x 2013 t x 2013 Ta có hệ PT: Điểm 0,25 0,5 x t 2013 ( x t )( x t 1) 2 t x 2013 0,5 + Với x +t =0 ta t = -x x 2013 x Giải ta x 8053 0,25 nghiệm + Với x – t +1 = ta : x +1 = t x x 2013 Giải ta 0,25 1 8049 nghiệm 8053 1 8049 Đáp số : x , x 2 (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 2cos x x Câu a Với , m =1 ta 0,25 phương (2sin x 1)(2co s x 2sin x 1) 2cos x (2sin x 1).cos x 5 + sin x x k 2 x k 2 6 + co s x x k trình : 1,5 0,5 b, Phương trình cho tương đương với : (2sin x 1)(2co s x m 1) 5 Với sin x x x 0; 0,5 0,25 0,25 Để phương trình cho có nghiệm thuộc 0; phương trình : 0,25 1 m 5 vơ nghiệm có hai nghiệm x ; x Từ ta m 3 v m =0 0,25 2 2 x y x y x x y y x x 2 3 x y x y 3( x x) 2( y y ) y y 13 13 13 13 ;0 ; ; ; ;0 ; ; ; Ta nghiệm hệ : 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 , Tìm hệ số x khai triển sau: n 3 nx biết n số nguyên thoả mãn x DeThiMau.vn hệ thức 2Cn1 C n 20 n Từ hệ thức 2C C n 20 Đk n 2, n Z n 3n 40 n n 5 Ta n= thoả mãn n n 1 1 k 8 Ta có : x5 x5 C8k 28 k x x x k 0 40 14 k Khai triển chứa x4m 0,5 40 14k k Vậy hệ số x4 C82 26 1792 Câu 0,5 0,5 0,5 0,5 a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A cos B cosC sin B sin C 0,5 A 0,5 cos B cosC A A 2cos A cos A Â góc Từ sin A 2sin cos 0,5 sin B sin C 2 cos A 2 0,5 sin vuông.Vậy tam giác ABC vuông A sin A sin B sin C sin A sin B sin C b, M M 1 1 cos A cos B cos 2C cos A cos B cos 2C 3 M 1 cos A cos B cos 2C Biến đổi 2 cos A cos B cos C M 1 cos 2C cos C.cos ( A B) 0 M 1 cos ( A B) 1 1 cos ( A B) M M 1 M 3 M 1 cos ( A B) A B C 600 M 3 cos C cos ( A B) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy MaxM = tam giác ABC 0,25 (C1) cú tõm O(0;0),bỏn kớnh R1 13 0,25 0,25 (C2) cú tõm I(6;0),bỏn kớnh R2 Giao điểm (C1) (C2) A (2;3) B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nên 1,0 A(2;3) DeThiMau.vn Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d1 d (O, d ); d d ( I , d ) 0,25 0,25 2 2 2 Yờu cầu toỏn trở thành: R2 d R1 d1 d d1 12 b (4a 3b) (2a 3b) 12 b 3ab 2 2 a b a b b 3a 0,25 *b=0 ,chọ a=1,suy pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy pt d là:x-3y+7=0 0,25 S a, SA vng góc với mp(ABCD) nên SA vng góc với AB AD Vậy tam giác SAB SAD vng A Lại có SA vng góc với (ABCD) AB Vng góc với BC nến SB vng góc với BC Vởy tam giác SBC vuông C Tương tự tam giác SDC vuông D b, Ta có BM =x nên CM = a- x 0,25 AKD DCM ˆ 900 , DAK ˆ CDM ˆ DCM ˆ ) (vì có AKD AK AD AD AK DC DC DM DM = a2 x 2ax 2a 2 Tam giác 0,25 0,25 A 0,25 D K 0,25 0,25 B M C 0,25 SAK vuông nên 0,25 A 0,25 x 2ax 3a SK SA AK a x 2ax 2a 2 0,25 SK nhỏ AK nhỏ K O x SK nhỏ -Hết Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - Chỉ chấm hình học sinh vẽ hình đầy đủ xác DeThiMau.vn 0,25 a 0,25 ...ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Mơn : TỐN Câu Câu Đáp án x x 2013 2013 ĐK x 2013 Đặt t x... -Hết Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - Chỉ chấm hình học sinh vẽ hình đầy đủ xác DeThiMau.vn 0,25 a 0,25 ... I(6;0),bỏn kớnh R2 Giao điểm (C1) (C2) A (2;3) B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nên 1,0 A(2;3) DeThiMau.vn Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0