Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 351685

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Mơn : TỐN Thời gian làm : 150 phút , không kể thời gian phát đề Câu ( 2,0 điểm) Giải phương trình sau: x  x  2013  2013 Câu ( 3,0 điểm) Cho phương trình (2sin x  1)(2co s x  2sin x  m)   2cos x ( Với m tham số) a, Giải phương trình với m = b, Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc  0;   Câu (5,0 điểm) a, Giải hệ phương trình :  x  y  x  y   2 3 x  y  x  y  b, Tìm hệ số x khai triển sau: n 3   nx   biết n số nguyên thoả mãn hệ thức x   2Cn1  C n2  n  20 Câu (4,0 điểm) Cho A, B, C ba góc tam giác ABC cos B  cosC sin B  sin C 2 sin A  sin B  sin C b, Tìm giá trị lớn biểu thức: M  cos A  cos B  cos 2C a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A  Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) : x  y  13 ,đường tròn (C2) : ( x  6)  y  25 a, Tìm giao điểm hai đường trịn (C1) (C2) b, Gọi giao điểm có tung độ dương (C1) (C2) A viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1) (C2) theo hai dây cung có độ dài Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,cạnh SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a, Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b, M điểm di động đoạn BC BM =x ,K hình chiếu S DM Tính độ dài đoạn SK theo a x Tính giá trị nhỏ đoạn SK …………… Hết………………… Họ tên thí sinh: SBD: DeThiMau.vn ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Mơn : TỐN Câu Câu Đáp án x  x  2013  2013 ĐK x  2013 Đặt t  x  2013 ( với t t  0)  t  x  2013  t  x  2013 Ta có hệ PT: Điểm 0,25 0,5  x  t  2013  ( x  t )( x  t  1)  2 t  x  2013 0,5 + Với x +t =0 ta t = -x  x  2013   x Giải ta x   8053 0,25 nghiệm + Với x – t +1 = ta : x +1 = t  x   x  2013 Giải ta 0,25 1  8049 nghiệm  8053 1  8049 Đáp số : x  , x 2 (2sin x  1)(2co s x  2sin x  m)   2cos x x Câu a Với , m =1 ta 0,25 phương (2sin x  1)(2co s x  2sin x  1)   2cos x  (2sin x  1).cos x   5 + sin x   x   k 2  x   k 2 6 + co s x   x   k trình :  1,5 0,5 b, Phương trình cho tương đương với : (2sin x  1)(2co s x  m  1)   5 Với sin x   x   x    0;   0,5 0,25 0,25 Để phương trình cho có nghiệm thuộc  0;   phương trình : 0,25 1 m  5 vơ nghiệm có hai nghiệm x  ; x  Từ ta m 3 v m =0 0,25 2 2  x  y  x  y   x  x  y  y   x  x        2 3 x  y  x  y  3( x  x)  2( y  y )   y  y    13    13    13    13  ;0  ;  ;  ;  ;0  ;  ;  ; Ta nghiệm hệ :          0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 , Tìm hệ số x khai triển sau: n 3   nx   biết n số nguyên thoả mãn x   DeThiMau.vn hệ thức 2Cn1  C  n  20 n Từ hệ thức 2C  C  n  20 Đk n  2, n  Z  n  3n  40   n   n  5 Ta n= thoả mãn n  n 1  1 k 8 Ta có :  x5     x5     C8k 28 k x x   x  k 0  40 14 k Khai triển chứa x4m 0,5 40  14k    k  Vậy hệ số x4 C82 26  1792 Câu 0,5 0,5 0,5 0,5 a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A  cos B  cosC sin B  sin C 0,5 A 0,5 cos B  cosC A A  2cos A   cos A   Â góc Từ sin A   2sin cos  0,5 sin B  sin C 2 cos A 2 0,5 sin vuông.Vậy tam giác ABC vuông A sin A  sin B  sin C sin A  sin B  sin C b, M   M 1  1 cos A  cos B  cos 2C cos A  cos B  cos 2C 3 M 1   cos A  cos B  cos 2C  Biến đổi 2 cos A  cos B  cos C M 1 cos 2C  cos C.cos ( A  B)   0 M 1        cos ( A  B)  1     1    cos ( A  B)  M  M       1   M 3 M 1 cos ( A  B)    A  B  C  600 M 3  cos C  cos ( A  B)  0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy MaxM = tam giác ABC 0,25 (C1) cú tõm O(0;0),bỏn kớnh R1  13 0,25 0,25 (C2) cú tõm I(6;0),bỏn kớnh R2  Giao điểm (C1) (C2) A (2;3) B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nên 1,0 A(2;3) DeThiMau.vn Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d1  d (O, d ); d  d ( I , d ) 0,25 0,25 2 2 2 Yờu cầu toỏn trở thành: R2  d  R1  d1  d  d1  12 b  (4a  3b) (2a  3b)   12  b  3ab    2 2 a b a b b  3a 0,25 *b=0 ,chọ a=1,suy pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy pt d là:x-3y+7=0 0,25 S a, SA vng góc với mp(ABCD) nên SA vng góc với AB AD Vậy tam giác SAB SAD vng A Lại có SA vng góc với (ABCD) AB Vng góc với BC nến SB vng góc với BC Vởy tam giác SBC vuông C Tương tự tam giác SDC vuông D b, Ta có BM =x nên CM = a- x 0,25 AKD ฀ DCM ˆ  900 , DAK ˆ  CDM ˆ  DCM ˆ ) (vì có AKD AK AD AD    AK  DC DC DM DM = a2 x  2ax  2a 2 Tam giác 0,25 0,25 A 0,25 D K 0,25 0,25 B M C 0,25 SAK vuông nên 0,25 A 0,25 x  2ax  3a SK  SA  AK  a x  2ax  2a 2 0,25 SK nhỏ AK nhỏ  K  O  x   SK nhỏ  -Hết Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - Chỉ chấm hình học sinh vẽ hình đầy đủ xác DeThiMau.vn 0,25 a 0,25 ...ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Mơn : TỐN Câu Câu Đáp án x  x  2013  2013 ĐK x  2013 Đặt t  x... -Hết Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - Chỉ chấm hình học sinh vẽ hình đầy đủ xác DeThiMau.vn 0,25 a 0,25 ... I(6;0),bỏn kớnh R2  Giao điểm (C1) (C2) A (2;3) B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nên 1,0 A(2;3) DeThiMau.vn Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0