Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 651686

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT ĐỀ THI MÔN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu Giải phương trình sin x  cos x   sin x  cos x     Câu a) Xét khai triển: 1  x 1  x  1  2013x   a0  a1 x  a2 x   a2013 x 2013 Tính a2  1  22   20132  b) Chọn ngẫu nhiên số có chữ số đơi khác Tính xác suất để số chọn không nhỏ 2013 Câu a) Cho dãy số  un  xác định sau: u1  1, u2  3, un   2un 1  un  1, n  1, 2, Tính un n  n lim b) Cho phương trình: m  x  1  x3  x   x3  3x   ( x ẩn, m tham số) Chứng minh với giá trị thực m phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt Câu a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh mặt phẳng  A ' BD  song song với mặt phẳng  CB ' D ' Tìm điểm M đoạn BD điểm N đoạn CD’ cho đường thẳng MN vng góc với mặt phẳng (A’BD) b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện Câu Cho a, b, c số thực P  x   ax3  bx  cx Tìm tất số a, b, c cho P    26 P  x   với số thực x cho x  -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…; Số báo danh…………………… DeThiMau.vn KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu 1(2đ) Nội dung trình bày   Điểm Ta có sin x  cos x   sin x  cos x      2sin x.cos x  cos x  1  2sin x    sin x     sin x  1  sin x  1  0,5  cos x  2sin x  1   2sin x  1    2sin x  1 cos x   sin x      sin x  cos x    x   k 2  +) sin x    k  ฀   x  5  k 2  +) sin x  cos x   0,5 0,25 1   sin x  cos x   sin  x    2 6  0,25       x    k 2 x   k 2    k  ฀    x    5  k 2  x    k 2  6 0,5 Vậy phương trình cho có họ nghiệm  5  x   k 2 , x   k 2 , x   k 2 , x    k 2  k  ฀  2(2đ) 2.a (1,0 điểm) 6   i j  x  A.x3  1i  j  2013   2013  Ta có 1  x 1  x  1  2013x      k  x    k 1  Suy a2   1i  j  2013 i j   1    2013  12  22   20132     2 0,5 0,25 1  2013  2014   2013 1007   a2  12  22   20132      2 2  0,25 A biến cố chọn số có bốn chữ số đơi khác abcd không nhỏ 2013 Ta tính số số có bốn chữ số đơi khác abcd 0,25 2 2.b (1,0 điểm) Ta có n     số cách chọn số có bốn chữ số đơi khác  9.9.8.7 số xảy với DeThiMau.vn a  , b  0,1, ,9 \ 1 , c  0;1; ;9 \ 1; b d  0;1; ;9 \ 1; b; c có cách chọn suy trường hợp có 9.8.7 số thỏa mãn Từ hai trường hợp ta n  A   7.8.9.9  7.8.9  7.8.9.8 Do xác suất cần tìm là: P  A  n  A  7.8.9.8   n    9.9.8.7 3(2,0đ) 3.a (1,0 điểm) Ta có un   un 1  un 1  un  1, n  1, 2, suy un   un 1 lập thành cấp số cộng có cơng sai nên un   un 1  u2  u1  n.1  n  (1) Từ (1) ta un  u1  un  un 1  un 1  un    u2  u1  n  n    n  n  1 n  n  1 u u lim n2  lim  Vậy lim n2  n  n n  n n  2n 0,25 0,25 3.b (1,0 điểm) Đặt f  x   m  x  1  x3  x   x3  3x  ta f  x  xác định liên tục ฀ Ta có f  2   1, f    1, f 1  1, f    0,5 f  2  f    0, f   f 1  0, f 1 f    nên phương trình f  x   có nghiệm thuộc  2;0  ,  0;1 , 1;  suy phương trình có nghiệm phân 4(3đ) 0,25 0,5  un     n  Do ta 0,5 0,5 biệt 4.a (1,5 điểm) A D M C B N D' A' 0,5 C' B' Ta có tứ giác BCD’A’ hình bình hành nên CD ' BA '  CD '  BDA ' (1) Ta có tứ giác BDD’B’ hình bình hành nên B ' D ' BD  B ' D '  BDA ' (2) Từ (1) (2) ta  A ' BD   CB ' D '           0,5  Đặt BM  x.BD, CN  y.CD ' Khi MN  MB  BC  CN   xBD  AD  y.CD '          x AB  AD  BC  y AA '  AB   x  y  AB  1  x  AD  y AA '     0,25 Do MN vng góc (A’BD) nên MN  BD, MN  BA ' Từ ta được:    x   MN BD  1  x   x  y   2 x  y         x  y  y   x  y    MN BA '  y   DeThiMau.vn 0,25     Do BM  BD, CN  CD ' 4.b (1,5 điểm) M A D S R C B O D' A' N 0,5 P Gọi S trung điểm C' Q B' NS C ' D  NS  BDC ' suy AB, MS BD  MS  BDC '  MNS   BDC ' Do  MNS  BC ' nên (MNS) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến qua N song song với BC’ cắt B’C’ Q Do  MNS  BD B ' D ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với B’D’ cắt D’C’ P’, P’ trung điểm C’D’ nên P’ trùng với P Do  MNS  C ' D nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ R Do thiết diện cắt (MNP) hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo lục a có tâm O suy ra: 3a 3a S MSNQPR  SOMS  OM OS sin 60  Vậy S MSNQPR  4 1 Đặt f 1  m, f  1  n, f    p , m , n , p  ta có hệ 2 3m  n  p   a  a  b  c  m a  b  c  m   mn    b  a  b  c  n  a  b  c  n a b c a  2b  4c  p      p  16 p  3m  n 8 c   3m  n  p 16 p  3m  n  m  n   9m  n  16 p    16  26 Ta có f    3 m  a    Dấu xảy n   b   p  1 c  3   giác MSNQPR cạnh MR  5(1đ) 0,5 0,5 0,5 0,25 Ta có f  x   x3  3x , xét 1  x  tồn  : x  cos  a    f  x   cos   3cos   cos 3 suy f  x   với 1  x  Vậy b  c  3  DeThiMau.vn 0,25 Hết DeThiMau.vn ...KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT ĐÁP ÁN MÔN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách... làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu 1(2đ) Nội dung trình...   2 2  0,25 A biến cố chọn số có bốn chữ số đôi khác abcd không nhỏ 2013 Ta tính số số có bốn chữ số đôi khác abcd 0,25 2 2.b (1,0 điểm) Ta có n     số cách chọn số có bốn chữ số đơi