Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 2245754

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi:4/4/2013 Câu a) Giải phương trình: MƠN TỐN LỚP 11 sin x 1  cos x   cos x.sin 2sin x  b)Tính giới hạn sau Câu a) Cho khai triển: x 3 0 x  2.3 x  3.4 x  2013 2012.2013 x  L  lim x 0 x 1  x  x  x3   x10  11  a0  a1 x  a2 x  a3 x3   a110 x110 Chứng minh đẳng thức sau: C110 a0  C111 a1  C112 a2  C113 a3   C1110 a10  C1111a11  11 b) Tính tổng: 1 nCnn  Cn1 2Cn2 3Cn3     S 2.3 3.4 4.5  n  1 n   n Câu a) Cho tam giác ABC có độ dài đường cao BB '  5; CC '  cos CBB '  Tính diện tích tam giác ABC b) Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn A  B  C  biểu thức sau đạt giá trị nhỏ  2 Tính góc tam giác P  cos 4C  cos 2C  cos A  cos B Câu Cho hình chóp SABC có SC   ABC  tam giác ABC vuông B Biết AB  a; AC  a góc hai mặt phẳng (SAB), (SAC)  với sin   Tính độ dài SC theo a Câu Cho dãy số  an  13 19  a1  n  1, n  ฀ thỏa mãn:  2  n   a  n a   n  1 a a n n 1 n n 1  Tìm lim an HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay, Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………………………………………………Số báo danh: ……………… DeThiMau.vn KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH Câu 1a) Đáp án   x   k   , k , l  ฀ (*) Điều kiện: sin x     x  5  l  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: x sin x 1  cos x   cos x.sin    sin x  sin x.cos x  cos x 1  cos x    2 3,0 điểm Điểm      0,5 0,5  sin x  cos x  3sin x  sin x.cos x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x      sin x  cos x    sin x  cos x   cot x   x  TH1: 0,5  0,5  k , k  ฀      sin x  cos x    sin x cos  cos x sin    sin  x    6 6     2  x    k 2  x   k 2 , k  ฀ 0,5 Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có họ nghiệm 7 2 x  k 2 , x   k 2 , k  ฀ 0,5 TH2: 1b)  L  lim  2x 1 1 2.3 x  3.4 x  2013 2012.2013 x x2 x 0 3,0 điểm   lim  2.3 x   1,0 3.4 x  2013 2012.2013 x x 0   lim 2013 x 0 x Chứng minh công thức: lim x 0 Áp dụng (1) ta thu n 2012.2013 x  x ax   a   a  0; n  ฀ *  (1) x n 1,0 1,0 2011.2012 L      2012   2011.1006  2023066 2a) Xét x  từ khai triển nhân hai vế với  x  1 ta có: 11 x    x  1  a 1 11 11 2,5 điểm VT (2)   C11k x11k  1 k 0 11 k 11 11  a1 x  a2 x   a110 x110 1,0  (2)  Hệ số x11 vế trái C111  11  11 k  VP(2)    C11k x11 k  1   a0  a1 x  a2 x   a110 x110   k 0  DeThiMau.vn 0,5 1,0  Hệ số x11 vế phải C110 a0  C111 a1  C112 a2  C113 a3   C1110 a10  C1111a11 Từ suy đẳng thức cần chứng minh 2b) Ta có  n  1! Cnk C k 1 n!    n 1 (3) k  k ! k  1 n  k  ! n   k  1 !  n  1   k  1  ! n   1 kCnk   1 kCnk22  k  1 k    n  1 n   k Áp dụng lần công thức (3) ta được: 2,0 điểm 0,5 0,5 k Cho k chạy từ đến n cộng vế đẳng thức ta có n  n  1 n   S  Cn3  2Cn4  3Cn5    1 nCnn22 0,5    Cn21  Cn31    Cn31  Cn41    Cn41  Cn51     1 nCnn11 n  Cn21  Cn31  Cn41    1 Cnn11 n   Cn01  Cn11  Cn01  Cn11  Cn21  Cn31  Cn41  Cn51    1 n 1  0,5 Cnn11    n  1  1  1  n n Vậy S   n  1 n   n 1 3a) 2,5 điểm Xét hai trường hợp: +) B C khơng tù Khi 2 cos CBB '   sin C  , cos C  5 BB ' BC   cos CBB ' CC '  , cos B  Suy sin B  BC 5 A B’ C’ H C B  sin A  sin B cos C  sin C cos B  BB ' 5  AB    S  AB.CC '  sin A 2 +) B C tù 3b) 1,0 0,5 , cos C   Do BB '  CC ' nên B  C C tù  sin C  5 25 25 , AB  Còn sin B  , cos B  (giống trường hợp 1)  sin A  Suy S  5 2 5   Ta có A  B  C   C    cos C  2 cos A  cos B  cos  A  B  cos  A  B   2cocC cos  A  B   2 cos C (3) DeThiMau.vn 0,5 0,5 ( Do cos C  cos  A  B   ) 2,5 điểm Dấu (3) xảy A  B C   Từ P   cos C  1   cos C  1  1  cos C    2  8cos C  cos C  1  cos C 0,5 16 cos C  8cos C    cos C    cos C  1  1  cos C    4 (4) 0,5 2 2 Dấu (4) xảy C   0,5 Vậy P đạt giá trị nhỏ A  B  C  4) Gọi H, K hình chiếu C lên SA, SB  1,0 S Ta chứng minh CK  ( SAB), SA  (CHK ) H Suy CHK vuông K SA  KH x Do   CHK K C A a 2,5 điểm B Đặt SC  x  Trong tam giác vng SAC ta có 1,0 1 3a x 2    CH  CH CA CS 3a  x 2a x Tương tự, tam giác vng SBC ta có CK  2a  x 2 13 CK 13 2(3a  x ) 13   Ta có sin      x  6a , x > Vậy SC  6a 19 CH 19 3(2a  x ) 19 5) Dễ thấy an  0, n  ฀ Từ giả thiết ta có * Với n  ฀ * , đặt yn  2,0 điểm  n  2 an 1  0,5 0.5 n2   n  1 an 1,0 1  ta có y1  an 1 1 n2 2 2 2 n y n y n n y n y y y               n1     n1 n n 1  n   n 4 4    n  2 4n  n  1  n 1   n     Do yn    an       y1  2  n 1   n 1    16  n  n  1  n  1 n2 2 2 Vậy lim an  DeThiMau.vn 0,5 Lưu ý: Mọi cách giải khác mà cho điểm tương ứng -HẾT - DeThiMau.vn ... 11 11  a1 x  a2 x   a110 x110 1,0  (2)  Hệ số x11 vế trái C 111  11  11 k  VP(2)    C11k x11 k  1   a0  a1 x  a2 x   a110 x110   k 0  DeThiMau.vn 0,5 1,0  Hệ số x11...  a110 x110   k 0  DeThiMau.vn 0,5 1,0  Hệ số x11 vế phải C110 a0  C 111 a1  C112 a2  C113 a3   C 1110 a10  C 1111 a11 Từ suy đẳng thức cần chứng minh 2b) Ta có  n  1! Cnk C k 1... 2 011. 2012 L      2012   2 011. 1006  2023066 2a) Xét x  từ khai triển nhân hai vế với  x  1 ta có: 11 x    x  1  a 1 11 11 2,5 điểm VT (2)   C11k x11k  1 k 0 11? ?? k 11